高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第四课时三角函数的图像与性质(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第四课时三角函数的图像与性质(原卷版+解析)，共35页。

【回归教材】
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
3.函数（A>0,ω>0）的性质
(1)奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.
(2)周期性：的最小正周期为 ；的最小正周期为 .
(3)单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；
由得单调减区间.
(4)对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x.
利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.
【典例讲练】
题型一 三角函数的周期性
【例1-1】求下列函数的周期：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【例1-2】求函数的最小正周期并作出函数图像．
【例1-3】设为实数，函数的最小正周期为，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【例1-4】函数的周期为___________；
归纳总结：
【练习1-1】求下列函数的周期.
（1）； （2）.
【练习1-2】函数的最小正周期为，则的值为（ ）．
A．2B．4C．1D．
【练习1-3】已知函数的最小正周期为，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型二 三角函数的奇偶性
【例2-1】判断下列函数的奇偶性．
(1)； (2)； (3)； (4)．
【例2-2】已知是奇函数，则__________．（写出一个值即可）
归纳总结：
【练习2-1】判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)； (3).
【练习2-2】若，是偶函数，则的值为________．
题型三 三角函数的对称性
【例3-1】求函数的对称轴和对称中心.
【例3-2】函数的图像关于直线对称，则可以为（ ）
A．B．C．D．1
【例3-3】已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．（，]B．（，]C．[，）D．[，）
归纳总结：
【练习3-1】已知函数，.求：
(1)的图像的对称轴方程； (2)的图像的对称中心坐标.
【练习3-2】已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
题型四 三角函数的单调性
【例4-1】函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【例4-2】已知函数在区间内单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习4-1】已知函数.
（1）求函数的值域； （2）求函数单调递增区间.
【练习4-2】函数在上单调递增，则取值范围为_____
【完成课时作业（二十七）】
【课时作业（二十七）】
A组 础题巩固
1．以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（ ）
A．B．C．D．
2．函数的单调递增区间是（ ）
A．，B．
C．D．
3．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的一个周期为B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减D．的一个零点为
4．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称B．函数图象的一条对称轴是直线
C．是奇函数D．若，则
5．函数为偶函数的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数有三个不同的零点，且，则（ ）
A．4πB．2πC．D．
8．【多选题】已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．是奇函数B．的最小正周期是π
C．的一个对称中心是D．的一个递增区间是
9．【多选题】已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递减
10．【多选题】已知 的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最大值为2
C．为的一条对称轴 D．为的一个对称中心
11．函数图象的一个对称中心的坐标是______．
12．设函数，若在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为______.
13．设，若在上为增函数，则的取值范围是___．
14．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.
B组 挑战自我
1．已知函数的图象关于对称，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．【多选题】已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．函数在上单调递减
C．当时，，
D．当函数在上有4个零点时，
3．设函数若在区间上单调，且，则的最小正周期为____．
4．已知函数（其中，），若（T为周期），是函数图像的一条对称轴，在区间上单调，则的值为______．函数
图象



定义域
值域
周期性
奇偶性
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
无
第 4 课时 三角函数的图像与性质
编写：廖云波
【回归教材】
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
3.函数（A>0,ω>0）的性质
(1)奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.
(2)周期性：的最小正周期为T= ；的最小正周期为T= .
(3)单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；
由得单调减区间.
(4)对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x.
利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.
【典例讲练】
题型一 三角函数的周期性
【例1-1】求下列函数的周期：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
根据三角函数周期公式即可得到结果.
(1)
∵
∴周期；
(2)
∵，
∴周期；
(3)
∵，
∴周期；
(4)
∵，
∴周期.
【例1-2】求函数的最小正周期．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数图象的变换规则画出函数图象，即可得到函数的最小正周期；
【详解】
解：函数是将位于轴下方的图象关于翻折上去，
函数图象如下所示，所以最小正周期为
【例1-3】设为实数，函数的最小正周期为，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦函数的周期公式计算即可得到答案.
【详解】
由题意可得，则，
故选:.
【例1-4】函数的周期为___________；
【答案】
【解析】
【分析】
利用降幂公式化简，即可求出答案.
【详解】
,
所以的周期为：
故答案为：.
归纳总结：
【练习1-1】求下列函数的周期.
（1）； （2）.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由求解即可；
（2）画出函数图像,根据图像得到周期即可
【详解】
（1）由题,,则
（2）（图像法）作出函数的图像,如图所示,
由图像可得,函数的周期为
【点睛】
本题考查正弦型函数的最小正周期,考查正弦型函数的图像的应用
【练习1-2】函数的最小正周期为，则的值为（ ）．
A．2B．4C．1D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二倍角的余弦公式可得，结合求最小正周期的公式计算即可.
【详解】
解：，
由得函数的最小正周期为，
∴，
故选：A．
【练习1-3】已知函数的最小正周期为，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
由正切函数的周期公式可求解.
【详解】
由题意，.
故选：B
题型二 三角函数的奇偶性
【例2-1】判断下列函数的奇偶性．
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)奇函数；
(2)偶函数；
(3)偶函数；
(4)既不是奇函数，也不是偶函数.
【解析】
【分析】
根据给定的各个函数，结合奇偶函数的定义逐一判断分别作答.
(1)
函数的定义域为R，因，
所以是奇函数.
(2)
函数的定义域为R，因，
所以是偶函数.
(3)
函数的定义域为R，因，
所以是偶函数.
(4)
函数的定义域为，而，
显然，并且，
所以既不是奇函数，也不是偶函数.
【例2-2】已知是奇函数，则__________．（写出一个值即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为是奇函数，所以，，解得，．
故答案为：（答案不唯一）
归纳总结：
【练习2-1】判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)； (3).
【答案】(1)函数为奇函数
(2)函数为非奇非偶函数
(3)函数既是奇函数又是偶函数
【解析】
【分析】
(1)把解析式化简成型或型，来判断其奇偶性；
(2)先求一下定义域，再进行奇偶性判断；
(3)先求一下定义域，再进行奇偶性判断；
(1)
函数的定义域为R,
故，
故函数为奇函数
(2)
函数定义域为,不关于原点中心对称，
故函数为非奇非偶函数
(3)
由，得函数定义域为，关于原点中心对称，
此时，
则有，且
故函数既是奇函数又是偶函数
【练习2-2】若，是偶函数，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
正弦型函数若成为偶函数，则必有一条对称轴是y轴，即，解之即可.
【详解】
要使成为偶函数，则必有
即，故,
又有，所以
故答案为：
题型三 三角函数的对称性
【例3-1】求函数的对称轴和对称中心.
【答案】对称轴为；对称中心为
【解析】
【分析】
结合的性质，分别令和可解得对称轴和对称中心.
【详解】
由，得，
所以对称轴为.
由，得，
所以对称中心为.
【例3-2】函数的图像关于直线对称，则可以为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
的对称轴为，化简得到得到答案.
【详解】
对称轴为：
当时，取值为.
故选:C.
【例3-3】已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．（，]B．（，]C．[，）D．[，）
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有3个整数k符合，解不等式即得解.
【详解】
解：，
令，，则，，
函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合，
，得，则，
即，∴.
故选：C.
归纳总结：
【练习3-1】已知函数，.求：
(1)的图像的对称轴方程； (2)的图像的对称中心坐标.
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
先将函数化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后整体代换ωx＋φ即可求出对称轴和对称中心﹒
(1)
由，得；
(2)
由，得，
∴对称中心为
【练习3-2】已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由对称性求得，再将代入函数解析式即可求得答案.
【详解】
因为的图象关于直线对称，所以，即，
解得，则．
故选：B
题型四 三角函数的单调性
【例4-1】函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定函数，利用余弦函数的单调性直接列式，求解作答.
【详解】
由，解得，
所以所求函数的增区间为.
故选：C
【例4-2】已知函数在区间内单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得，再根据周期公式即可求出的大致范围，再根据的取值范围，求出的取值范围，根据的范围求出左端点的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：依题意，即，又，所以，解得，
又，所以，所以，
要使函数在内单调递减，所以，解得，
即；
故选：B
归纳总结：
【练习4-1】已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）求函数单调递增区间.
【答案】(1) , (2)
【解析】
【分析】
（1）先对函数化简为，然后利用正弦函数的取值范围可求出的值域；
（2）由解出的范围就是所要求的递增区间.
【详解】
解：
（1）因为，
所以
所以的值域为；
（2）由，得
，
所以单调递增区间为
【点睛】
此题考查三角函数的恒等变换公式，正弦函数的性质，属于基础题.
【练习4-2】函数在上单调递增，则取值范围为_____
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可求得函数的单调区间，结合在上单调递增，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】
令，
可得，
因为函数在上单调递增，
故，解得，
结合，故当时，取值范围为，时不符合题意，
故取值范围为，
故答案为：
【完成课时作业（二十七）】
【课时作业（二十七）】
A组 础题巩固
1．以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据常见函数的奇偶性，单调性以及周期即可求解.
【详解】
对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求；
对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求；
对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求;
对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求；
故选：B
2．函数的单调递增区间是（ ）
A．，B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正切函数的单调区间，即可求解.
【详解】
因为函数，令，，解得，．
所以函数的单调递增区间是.
故选：B
3．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的一个周期为B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减D．的一个零点为
【答案】C
【解析】
【分析】
结合函数的图象与性质，逐项分析即可.
【详解】
解：因为，
所以最小正周期，所以为也是的一个周期，故A正确；
对称轴为，即，则当时，，故B正确；
因为在上单调递减，
所以，即，
当时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，故C错误;，零点为，即，
则当时，，故D正确.
故选：C.
4．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称B．函数图象的一条对称轴是直线
C．是奇函数D．若，则
【答案】B
【解析】
【分析】
将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答.
【详解】
对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确；
对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确；
对于C，不是奇函数，C不正确；
对于D，取，显然有，而，，D不正确.
故选：B
5．函数为偶函数的一个充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的奇偶性求参数，结合选项确定一个满足要求的值即可.
【详解】
若函数为偶函数，
所以，则.
故选：A
6．已知函数，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平方关系、降幂及辅助角公式可得，根据三角函数性质求最小正周期.
【详解】
由题设，，
所以最小正周期为.
故选：B
7．已知函数有三个不同的零点，且，则（ ）
A．4πB．2πC．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正弦函数的对称性，结合函数零点的定义进行求解即可.
【详解】
令，当时，函数有三个零点，
因此函数的图象有三个不同的交点，
因为，所以，
显然有，
而关于直线对称，关于直线对称，
所以，
故选：A
8．【多选题】已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．是奇函数B．的最小正周期是π
C．的一个对称中心是D．的一个递增区间是
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据题目可以判断，所以，所以的对称中心为，递增区间为.
【详解】
B．的最小正周期是，B正确；
A．由于的图象关于直线对称，且最小正周期是，因此的图象也关于直线对称，故是偶函数，A错误；
C．因为是偶函数，且最小正周期是π，则或，根据可得解析式为前者．的对称中心为，，C错误；
D．由于，在单调递增，D正确．
故选：BD.
9．【多选题】已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上单调递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据余弦函数的性质一一判断即可；
【详解】
解：因为，所以函数的最小正周期，故A错误；
，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
，所以的图象关于点对称，故C正确；
若，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确；
故选：BCD
10．【多选题】已知 的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最大值为2
C．为的一条对称轴
D．为的一个对称中心
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由题意利用三角函数恒等变换化简函数解析式，再利用正弦函数的图像和性质即可求解．
【详解】
解：
，
即，所以，解得，故A正确；
所以，
因为，所以，故B错误；
，所以函数关于对称，故C正确；
，所以为的一个对称中心，故D正确；
故选：ACD
11．函数图象的一个对称中心的坐标是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据正切型函数的对称中心可直接求出答案.
【详解】
令，解得,则图象的对称中心的坐标是．
当时，，则是图像的一个对称中心．
故答案为：（答案不唯一）.
12．设函数，若在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由的取值范围，求出，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为，当，
所以，
因为在上有且仅有个零点，
所以，解得，即；
故答案为：
13．设，若在上为增函数，则的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【分析】
由时，,根据单调区间列出不等关系，即可求解.
【详解】
，当时，,
由于为增函数，∴，即 ，
又，所以，
故答案为：
14．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）用二倍角公式以及辅助角公式化简，用周期的计算公式即可求解；（2）整体代入正弦函数的单调递增区间中，求解不等式即可；（3）画出图象，根据图象交点个数即可求解.
（1）由得，故最小正周期为,
（2）由，解得，故的单调递增区间为
（3）令，则，故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且，则问题等价于在有两个根，由的图象可知：当时，有两个根.故
B组 挑战自我
1．已知函数的图象关于对称，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果
【详解】
因为，
其中，，
由于函数的图象关于对称，所以，
即，化简得，
所以，即，
所以，
故选：C.
2．【多选题】已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．函数在上单调递减
C．当时，，
D．当函数在上有4个零点时，
【答案】AC
【解析】
【分析】
把函数化成分段函数，作出函数图像，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】
依题意，，函数部分图像如图，
函数是周期函数，周期为，故A正确；
若函数在上单调递减，则在上单调递减，从图中可知，B不正确.
因且，则当时，且，
则且，，因此，，，C正确；
函数在上有4个零点时，即，则与的图像在上有四个交点，所以或，所以或，故D不正确.
故选：AC
3．设函数若在区间上单调，且，则的最小正周期为____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据单调性可确定，结合，可得，分别为对称轴和对称中心，即可结合周期求解.
【详解】
函数，，，若在区间上单调，
则，．
，为的一条对称轴，
且即为的一个对称中心，
只有当时，解得，，
故答案为:
4．已知函数（其中，），若（T为周期），是函数图像的一条对称轴，在区间上单调，则的值为______．
【答案】2或6
【解析】
【分析】
由得，由对称轴得出的表达式，由单调性首先缩小的范围，然后对可能取值一一验证可得．
【详解】
，，，
又，所以，，
是函数图象的一条对称轴，则，，
，
，
，时，，则在区间上不单调，
所以，，
时，，符合题意，
时，，符合题意，
时，，而，不合题意，
时，，而，不合题意，
故答案为：2或6．
函数
图象



定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
无