高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第3课时平面向量的数量积(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第3课时平面向量的数量积(原卷版+解析)，共31页。

【回归教材】
1.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是： ．
2.平面向量的数量积
(1)设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量 叫做a与b的数量积，记作a·b
(2)注意任何一个向量与零向量的数量积均为零。
3.投影向量
（1）向量a在b方向上的投影向量为 (其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．
（2）向量a在b方向上的投影向量eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|).
注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，
即向量b在a上的投影向量可表示为 .
4.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|csθ.
(2)a⊥b⇔ .
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝ . 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)|a·b|≤|a||b|.
5.平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6.平面向量数量积满足的运算律
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝ .
(2)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ .
【典例讲练】
题型一 平面向量的数量积的运算
【例1-1】已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：
(1)； (2)； (3)．
【例1-2】已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则______.
【例1-3】如图，正六边形ABCDEF中，，点P是正六边形ABCDEF的中心，则______．
【例1-4】如图，平行四边形中，，，，点在边上，且，则___________.
归纳总结：
【练习1-1】若,,,的夹角为，若，则的值为________．
【练习1-2】已知是边长为2的正三角形，D是AC的中点，则______．
题型二 向量的模与投影向量
【例2-1】已知平面向量满足，且与的夹角为，则_________．
【例2-2】设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习2-1】已知向量，夹角为，且，，则（ ）
A．3B．C．4D．5
【练习2-2】已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
题型三 向量的夹角
【例3-1】已知平面向量，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为__________.
归纳总结：
【练习3-1】已知.
(1)求与夹角的余弦值. (2)当与的夹角为钝角时，求的取值范围.
题型四 数量积的最值（范围）问题
【例4-1】如图，已知四边形ABCD为直角梯形，，，AB=1，AD=3，，设点P为直角梯形ABCD内一点（不包含边界），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】已知在中，是边上中点，，则的取值范围是___________.
【例4-3】若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习4-1】已知直角梯形，，，，是边上的一动点，则的取值范围为_____.
【练习4-2】如图，已知点，正方形内接于⊙，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心旋转时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【完成课时作业（三十四）】
【课时作业（三十四）】
A组 础题巩固
1．已知向量，满足，，则（ ）
A．4B．3C．2D．0
2．已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A．4B．8C．D．
3．已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知向量与的夹角为，且，则（ ）
A．B．1C．2D．4
5．如图，在中，点D在边上，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．在中，是线段上的点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．【多选题】已知向量，其中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则；
B．若与夹角为锐角，则；
C．若，则在方向上投影向量为；
D．若，则
8．已知向量，，，则与的夹角为________．
9．已知向量.若，则___________.
10．设点在直线上，点A在直线外，且,，，则的最小值为_________.
11．已知是边长为1的正六边形内的一点，则的取值范围是__________.
12．在三角形中，，点F为边中点，点E在边上，且，与相交于P．
(1)将向量用向量表示； (2)若，求．
B组 挑战自我
1．如图，正方形的边长为2，为正方形四条边上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，的外接圆圆心为O，，，则（ ）
A． B．
C．3 D．2
3．已知向量满足，且对于任意x，
不等式恒成立，设的夹角为，则___________
4．如图，在矩形ABCD中，，，E为CD中点，，.
(1)若，求实数的值； (2)求的取值范围.
第 3 课时 平面向量的数量积
编写：廖云波
【回归教材】
1.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
2.平面向量的数量积
(1)设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·csθ叫做a与b的数量积，记作a·b
(2)注意任何一个向量与零向量的数量积均为零。
3.投影向量
（1）向量a在b方向上的投影向量为|a|cs θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．
（2）向量a在b方向上的投影向量eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|).
注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，
即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cs θeq \f(a,|a|).
4.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|csθ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)csθ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5)|a·b|≤|a||b|.
5.平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6.平面向量数量积满足的运算律
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2).
(2)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
【典例讲练】
题型一 平面向量的数量积的运算
【例1-1】已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据，代入数值，即可求出结果；
（2）因为，所以或，再根据即可求出结果；
（3）因为，所以，再根据即可求出结果.
(1)
解：因为，，，所以；
(2)
解：因为，所以或，
当时，；
当时，；
所以的值为或.
(3)
解：因为，所以，
所以.
【例1-2】已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则______.
【答案】11
【解析】
【分析】
根据数量积公式，可得的值，由题意得，展开计算，即可得答案.
【详解】
因为平面向量，的夹角为，且，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
故答案为：11.
【例1-3】如图，正六边形ABCDEF中，，点P是正六边形ABCDEF的中心，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】
找到向量的模长和夹角，带入向量的数量积公式即可.
【详解】
在正六边形中，点P是正六边形ABCDEF的中心，
，且,
.
故答案为：2.
【例1-4】如图，平行四边形中，，，，点在边上，且，则___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意可得，，代入，根据数量积的运算律计算可得；
【详解】
解：，，，，
故答案为：．
归纳总结：
【练习1-1】若,,,的夹角为，若，则的值为________．
【答案】 ## 2.875
【解析】
【分析】
根据，结合平面向量数量积的定义可求出结果.
【详解】
由题意知, ，
即，解得.
故答案为：.
【练习1-2】已知是边长为2的正三角形，D是AC的中点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
用转化法，即可求向量的数量积.
【详解】
解：由题意得，为，，
所以.
故答案为：-3.
题型二 向量的模与投影向量
【例2-1】已知平面向量满足，且与的夹角为，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接由结合已知条件求解即可
【详解】
因为平面向量满足，且与的夹角为，
所以
，
故答案为：
【例2-2】设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用投影向量的计算公式求解．
【详解】
解：，，
在方向上的投影向量.
故选：A.
归纳总结：
【练习2-1】已知向量，夹角为，且，，则（ ）
A．3B．C．4D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
将方程两边平方，然后结合数量积的定义可算出答案.
【详解】
因为向量，夹角为，且，，
所以，解得，
故选：D
【练习2-2】已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
通过投影公式进行计算即可．
【详解】
解：由定义可得向量在向量上的投影为，
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：D．
题型三 向量的夹角
【例3-1】已知平面向量，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用数量积的坐标运算求解，再利用夹角公式求解夹角.
【详解】
因为，所以，解得；
所以，；
；而，
所以与的夹角为.
故选：D.
【例3-2】已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
与的夹角为锐角，则且与不共线.
【详解】
与的夹角为锐角，则且与不共线
∴
∴，
故答案为：.
归纳总结：
【练习3-1】已知.
(1)求与夹角的余弦值.
(2)当与的夹角为钝角时，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据数量积的定义及数量积的运算性质求解即可；
（2）利用向量夹角为钝角时，数量积为负建立不等式求解，注意向量反向共线的情况不合题意.
(1)
，，，
，
解得
(2)
由（1）知，
当与的夹角为钝角时, ,
即，
解得，
当与反向共线时，有 ，
即，解得，此时不满足题意.
综上，实数的取值范围.
题型四 数量积的最值（范围）问题
【例4-1】如图，已知四边形ABCD为直角梯形，，，AB=1，AD=3，，设点P为直角梯形ABCD内一点（不包含边界），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意过点作交的延长线于点，即可求出，设与的夹角为，结合图形即可得到在方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；
【详解】
解：依题意过点作交的延长线于点，则，
设与的夹角为，
因为点为直角梯形内一点（不包含边界），所以在方向上的投影，且，
所以
故选：A
【例4-2】已知在中，是边上中点，，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先转化向量，再代入数量积公式，即可求解.
【详解】
由条件可知，，
所以

，,
所以
所以的取值范围是，
故答案为：
【例4-3】若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据几何关系结合平面向量的线性运算可得，，设，利用平面向量数量积的运算律即可求解.
【详解】
解：因为为等边三角形，是边的中点，故,,
又是线段上任意一点，故设，
因为，所以.
故,
又,故.
故选：C.
归纳总结：
【练习4-1】已知直角梯形，，，，是边上的一动点，则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
设（），把与表示为与的线性关系，把表示成关于的解析式，解出的取值范围.
【详解】
因为在上，不妨设，则（其中），所以
.
因为，所以，
故答案为：.
【练习4-2】如图，已知点，正方形内接于⊙，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心旋转时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意易知，将表示为，再结合数量积的运算律计算即可．
【详解】
解：由题意可知正方形的边长为2，
则，
∵，，
设，的夹角为，则，
.
故选：C.
【完成课时作业（三十四）】
【课时作业（三十四）】
A组 础题巩固
1．已知向量，满足，，则（ ）
A．4B．3C．2D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量的运算求解即可.
【详解】
故选：B．
2．已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据投影向量与投影之间的关系可知在方向上的投影为，进而根据数量积的几何意义即可求解.
【详解】
由得，根据在方向上的投影向量为，可知在方向上的投影为，故根据数量积的几何意义，等于与在方向上的投影的乘积，故，
故选：C
3．已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量夹角为锐角列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】
，
由题意得：且，
解得：且，
故选：D
4．已知向量与的夹角为，且，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
对两边平方，结合数量积公式得出.
【详解】
解:向量,夹角为,且,
∴,
即,
解得或（舍）,
∴,
故选：C
5．如图，在中，点D在边上，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
过点A作，可得，，三条边长，再通过线性运算，表达式可转化为，，表示，即可得出答案.
【详解】
过点A作，垂足为E.，，，
.
故选：A.
6．在中，是线段上的点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
以为坐标原点，建立直角坐标系，因为是线段上的点，所以，求出点的坐标，代入，由二次函数的性质即可求出答案.
【详解】
因为
是以为坐标原点，建立直角坐标系，
，因为是线段上的点，
所以，所以，
所以 所以，
，
当时，有最大值，当时，有最小值.
所以的取值范围是.
故选：B.
7．【多选题】已知向量，其中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则；
B．若与夹角为锐角，则；
C．若，则在方向上投影向量为；
D．若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据向量垂直的坐标表示直接求解可判断A；注意向量同向不满足题意可判断B；根据投影向量的定义直接求解，可判断C；根据性质可知与同向，然后可判断D.
【详解】
若，则，解得，A正确；
若与夹角为锐角，则，解得，又当，，此时，与夹角为0，故B错误；
若，则，因为在方向上投影为，与同向的单位向量为，所以在方向上投影向量为，C正确；
若，则与同向，由上可知，此时，D正确.
故选：ACD
8．已知向量，，，则与的夹角为________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据向量的坐标可得，再利用向量的夹角公式直接计算即可.
【详解】
由，得，
所以，
又
即，
故答案为：.
9．已知向量.若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标表示求出参数，然后由模的坐标表示计算．
【详解】
因为，所以，解得.所以.
所以.
故答案为：．
10．设点在直线上，点A在直线外，且,，，则的最小值为_________.
【答案】##2.4
【解析】
【分析】
由可判断，确定当时，最小，利用三角形面积即可求得答案.
【详解】
因为，则，
即得，即，
由于,，故,
当时，最小，最小值为，
故答案为：
11．已知是边长为1的正六边形内的一点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
画出图形,结合图形，利用平面向量的几何意义判断求解即可.
【详解】
画出图形如图，，
它的几何意义是的长度与在向量上的投影的乘积，
由图可知，在处时，取得最大值，，此时，可得，即最大值为.
在处取得最小值，此时，最小值为，
因为是边长为1的正六边形内的一点，取不到临界值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
12．在三角形中，，点F为边中点，点E在边上，且，与相交于点P．
(1)将向量用向量表示；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据垂直关系，建立平面直角坐标系，根据向量坐标运算以及共线的坐标运算，即可求解，
（2）用基地向量表示,根据数量积的运算即可求解.
（1）由，以分别为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，设，故，进而,因为,所以得：，解得，故，由,故
（2）由（1）知，又,故
B组 挑战自我
1．如图，正方形的边长为2，为正方形四条边上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，分点P在CD上，点P在BC上，点P在AB上，点P在AD上，利用数量积的坐标运算求解.
【详解】
解：建立如图所示平面直角坐标系：
则，
当点P在CD上时，设，
则，
所以；
当点P在BC上时，设，
则，
所以；
当点P在AB上时，设，
则，
所以；
当点P在AD上时，设，
则，
所以；
综上：的取值范围是.
故选：D
2．如图，的外接圆圆心为O，，，则（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据给定条件，分别求出、即可求解作答.
【详解】
因的外接圆圆心为O，，，由圆的性质得，
有，同理，
所以.
故选：A
【点睛】
方法点睛：求两个向量的数量积的方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
3．已知向量满足，且对于任意x，不等式恒成立，设的夹角为，则___________
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量数量积的定义将不等式恒成立进行转化，利用判别式的关系进行求解即可.
【详解】
∵不等式恒成立，
∴不等式恒成立，
即，
则，
即恒成立，
则判别式，
即，
则，则，
则，
故答案为：.
4．如图，在矩形ABCD中，，，E为CD中点，，.
(1)若，求实数的值；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）建立坐标系，利用坐标运算得出实数的值；
（2）由（1）得出，，再由数量积运算求解即可.
(1)
以点为坐标原点，以和为轴和轴正方向，如图建系.
可知，，，，，
∴
，
∵∴
(2)
由（1）知，，
∵∴取值范围是：