高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第3课时导数的应用(二)极值与最值(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第3课时导数的应用(二)极值与最值(原卷版+解析)，共40页。

【回归教材】
1.函数的极值
一般地，对于函数y=f (x)，
若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧，
右侧，则称x=a为f (x)的 ，叫做函数f (x)的 .
若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，
右侧，则称x=b为f (x)的 ，叫做函数f (x)的 ．
（3）极小值点与极大值点通称 ，极小值与极大值通称 .
2.函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，
对于最值，我们有如下结论：
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的 ；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，
其中最大的一个是 ，最小的一个是 .
3.函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，
极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
【典例讲练】
题型一 求函数的极值
【例1-1】已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，取得极小值1B．当时，取得极大值1
C．当时，取得极大值33D．当时，取得极大值
【例1-2】已知函数，求函数的极大值与极小值．
归纳总结：
【练习1-1】函数的极值点是_________.
【练习1-2】已知函数.求的单调区间和极值.
题型二 利用极值求参数
【例2-1】已知函数．若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值；
【例2-2】已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【例2-3】若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是______．
归纳总结：
【练习2-1】已知函数的极小值为，则a的值为______．
【练习2-2】若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【练习2-3】已知函数.若函数在上恰有一个极值，求a的值．
题型三 求函数的最值
【例3-1】【多选题】已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．时，取得极大值B．时，取得最小值
C．D．
【例3-2】设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值.
【例3-3】已知函数．当时．求函数f（x）的最大值．
归纳总结：
【练习3-1】【多选题】函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．为函数的一个零点
B．为函数的一个极大值点
C．函数在区间上单调递增
D．是函数的最大值
【练习3-2】已知函数，当时，有极小值.
(1)求函数的解析式： (2)求函数在上的最大值和最小值.
【练习3-3】已知函数（，为自然对数的底数）.
(1)求函数f（x）的单调区间； (2)求函数f（x）在区间[0，m]上的最大值和最小值.
题型四 利用最值求参数值
【例4-1】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．
【例4-2】若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.
归纳总结：
【练习4-1】已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【练习4-2】已知函数若的最小值为，求实数a的值.
题型五 最优化问题
【例5-1】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（为自然对数的底数）万件.已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元.
(1)求的值；
(2)求分公司经营该产品一年的利润（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式；
(3)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值.
【例5-2】如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，，，四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，，在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设．
(1)求包装盒的容积关于的函数表达式，并求出函数的定义域；
(2)当为多少时，包装盒的容积最大？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
归纳总结：
【练习5-1】欲设计如图所示的平面图形，它由上、下两部分组成，其中上部分是弓形（圆心为，半径为，，），下部分是矩形，且．
（1）求该平面图形的面积；
（2）试确定的值，使得该平面图形的面积最大，并求出最大面积．
【完成课时作业（十八）】
【课时作业（十八）】
A组 础题巩固
1．函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数在，上单调递增 B．函数在，上单调递减
C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值
2．使函数在上取得最大值的为（ ）
A．0B．C．D．
3．若函数在处有极小值，则实数m=（ ）
A．9B．3C．3或9D．以上都不对
4．不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
6．【多选题】已知函数，则（ ）
A．在上单调递增 B．是的极大值点
C．有三个零点 D．在上最大值是
7．【多选题】已知函数，则下列有关的叙述正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．在上是单调递减函数
C．是极大值点D．在上的最小值为0
8．若函数有三个零点，则实数a的取值范围是___________.
9．若一圆锥的母线长为2，则此圆锥体积的最大值为______．
10．已知函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______．
11．已知函数在处取得极小值．
(1)求c的值； (2)求在区间上的最值．
12．已知函数．
(1)若在上不单调，求a的取值范围； (2)若的最小值为，求a．
B组 能力提升
1．若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（ ）
A．－2B．－1C．2D．
2．已知函数有两个不同极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，．
(1)求函数的极值点； (2)若恒成立，求实数的取值范围．
第 3 课时 导数的应用（二）极值与最值
编写：廖云波
【回归教材】
1.函数的极值
一般地，对于函数y=f (x)，
若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧，
右侧，则称x=a为f (x)的极小值点，叫做函数f (x)的极小值.
若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，
右侧，则称x=b为f (x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
2.函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，
对于最值，我们有如下结论：
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，
其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，
极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
【典例讲练】
题型一 求函数的极值
【例1-1】已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，取得极小值1B．当时，取得极大值1
C．当时，取得极大值33D．当时，取得极大值
【答案】B
【解析】
【分析】
求导可得解析式，令，可得极值点，利用表格法，可得的单调区间，代入数据，可得的极值，分析即可得答案.
【详解】
由题意得，
令，解得或，
当x变化时，、变化如下
所以当时，取得极大值1，故B正确、C、D错误，
当时，取得极小值，故A错误，
故选：B
【例1-2】已知函数，求函数的极大值与极小值．
【答案】，
【解析】
【分析】
先求的值，发现需要讨论的正负，分别判定在的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值点与极小值点，求出极值．
【详解】
解：，
令，则或，
当，随着x的变化，与的变化情况如下：
所以，；
当时，随的变化，与的变化如下表：
所以，，
综上所述，，.
归纳总结：
【练习1-1】函数的极值点是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
极值点是导函数的“变号零点”，先求导函数的零点，在检查导函数零点附近的符号.
【详解】
，定义域为，令，解得，
当时，，单调递减；时，，单调递增，
故是极小值点.
故答案为：
【练习1-2】已知函数.求的单调区间和极值.
【答案】当时，在上单减，无极值；当时，在单减，在单增，有极小值，无极大值；
【解析】
【分析】
求导，分和求导确定单调性后，求出极值即可；
易得，，当时，在上恒成立，则在上单减，无极值；
当时，令，解得，令，解得，则在单减，在单增，有极小值，无极大值；
综上，当时，在上单减，无极值；当时，在单减，在单增，有极小值，无极大值.
题型二 利用极值求参数
【例2-1】已知函数．若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值；
【答案】
【解析】
【分析】
，则
即解得，经验证满足题意，
【例2-2】已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设知有两个变号零点，结合判别式的符号求m的范围即可.
【详解】
由，又有极大值、极小值，
所以有两个变号零点，则，
整理得，可得或.
故选：B
【例2-3】若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
求得，分、和三种情况讨论，求得函数的单调性，结合极大值点的定义进行判定，即可求解.
【详解】
由题意得：函数的定义域为，
且，，
当时，即时，
令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在单调递减，
此时函数在取得极大值，满足题意；
当时，即时，可得恒成立，可得函数在上单调递增，函数不存在极值，不满足题意；
当时，即时，
令，可得，令，可得，
所以函数在上单调递增，在单调递减，
此时函数在处取得极小值，不满足题意，
综上可得，实数的取值范围是．
故答案为：
归纳总结：
【练习2-1】已知函数的极小值为，则a的值为______．
【答案】-3
【解析】
【分析】
利用导数求出极小值，列方程即可求出a.
【详解】
函数的定义域为R，.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为，
解得：.
故答案为：-3.
【练习2-2】若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导，根据题意可得有2个不同的正实数根，从而可得出答案.
【详解】
解：，
因为函数的定义域为，且函数有2个极值点，
则有2个不同的正实数根，
所以且，
即实数的取值范围是.
故选：B．
【练习2-3】已知函数.若函数在上恰有一个极值，求a的值．
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意，问题转化为在上有且仅有一个解，构造并应用导数研究函数性质，即可求a值，注意验证对应零点是否变号．
由题设在有且仅有一个变号零点，所以在上有且仅有一个解，令，则，而，故时，时，时，所以在、上递增，在上递减，故极大值，极小值，，要使在上与有一个交点，则或或.经验证，或时对应零点不变号，而时对应零点为变号零点，所以.
题型三 求函数的最值
【例3-1】【多选题】已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．时，取得极大值B．时，取得最小值
C．D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
结合导函数的图像得出函数的单调性，再由极值和最值的含义进行判断即可.
【详解】
结合导函数的图像可知，在上单增，则，C正确；在上单减，则，D正确；
由于，显然不是最小值，B错误；又在上单增，上单减，则时，取得极大值，A正确.
故选：ACD.
【例3-2】设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最小值.
【答案】(1)；
(2)1.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
（2）根据给定条件，利用导数探讨单调性，求出最小值作答.
(1)
函数，求导得：，则有，而，
于是得，即，
所以曲线在点处的切线方程是.
(2)
函数，求导得：，
当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，.
【例3-3】已知函数．当时．求函数f（x）的最大值．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
由的根分类讨论，然后列表表示的正负，极值点，同时注意比较端点处函数值，从而得最大值．
由（1）知，
令，，
当即0，
由上可知，所以的最大值为．
当即时，f（x）和随x的变化情况如下表：
，
由上可知，所以f（x）的最大值为．
当即时，恒成立，即f（x）在［－2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（－2）=－7+6a，
综上所述，当时，f（x）的最大值为；
当时，f（x）的最大值为－7+6a．
归纳总结：
【练习3-1】【多选题】函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．为函数的一个零点
B．为函数的一个极大值点
C．函数在区间上单调递增
D．是函数的最大值
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用导函数的图象分析函数的单调性，由此可判断各选项的正误.
【详解】
由的导函数的图象可知，函数在、上单调递减，在、上单调递增，
故当或时，取得极小值；当时，取得极大值，故BC正确，AD错误.
故选：BC.
【练习3-2】已知函数，当时，有极小值.
(1)求函数的解析式：
(2)求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，依题意且，即可得到方程组，解得即可；
（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出区间端点值与极值，即可得到函数的最值.
(1)
解：因为，所以.
依题意可得，即，解得，
所以，经检验符合题意；
(2)
解：由（1）知，则，
令，解得或，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，，，
所以最大值为，最小值为.
【练习3-3】已知函数（，为自然对数的底数）.
(1)求函数f（x）的单调区间；
(2)求函数f（x）在区间[0，m]上的最大值和最小值.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为;
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）求导后求解导函数的正负区间即可；
（2）根据（1）中的单调区间，分，和三种情况讨论即可
(1)
，求导得，因为，
令，即，解得或.
令，即，解得.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
①当时，因为在上递减，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
②当时，因为在上递减，在上递增，且，
所以在上的最大值为，最小值为.
③当时，因为在上递减，在上递增，且，
所以在上的最大值为，最小值为.
题型四 利用最值求参数值
【例4-1】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．
【答案】
【解析】
【分析】
求出，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，结合题意列出方程，求解的值即可.
解：函数，
则，，，
①若，则，所以在上单调递增，
故，不符合题意；
②若，
当时，，当时，，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，
则，
令，可得，
解得，
因为，
所以符合题意，
综上所述.
【例4-2】若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
求函数导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间内，由此可以得到参数的不等式，解不等式即可得到的取值范围
【详解】
，
令 解得；令 ，解得或
由此可得在上时增函数，在上是减函数，在上是增函数，
故函数在处有极大值，在处有极小值，
，解得
故答案为：
归纳总结：
【练习4-1】已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导数确定函数的单调性，导函数的正负确定单调性进而取最值可求.
【详解】
由得，由于均为单调递增函数，故在单调递增，因为在有最小值，故
故选：A
【练习4-2】已知函数若的最小值为，求实数a的值.
【答案】或
【解析】
，，
令，得或，
①时，当或时，，当时，，
在和上单调递减，在上单调递增，
而趋向正无穷大时，，
若的最小值为，令，得，满足题意，
②时，在上单调递减，无最小值，不合题意，
③时，当或时，，当时，，
在和上单调递减，在上单调递增，
而趋向正无穷大时，，
若的最小值为，令，得，满足题意，
综上，或
题型五 最优化问题
【例5-1】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（为自然对数的底数）万件.已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元.
(1)求的值；
(2)求分公司经营该产品一年的利润（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式；
(3)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)36元，最大值为
【解析】
【分析】
（1）利用条件预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为万件，即可求得；
（2）根据一年的利润等于单件产品利润乘以年销售量即可列出函数关系式；
（3）利用导数求出函数的最值即可.
(1)
由题意可知，已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件
即，解得，
(2)
(3)
令，，令，
∴在区间上为增函数，为减函数
即时，
∴当每年产品的售价为36元时，分公司一年的利润最大，最大值为
【例5-2】如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，，，四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，，在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设．
(1)求包装盒的容积关于的函数表达式，并求出函数的定义域；
(2)当为多少时，包装盒的容积最大？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
【答案】(1)，定义域为
(2)当时，当时, 包装盒的容积最大是
【解析】
【分析】
（1）设包装盒的高为,底面边长为,求出函数的解析式,注明定义域即可.（2）利用函数的导数判断函数的单调性,求解函数的最值即可.
(1)
设包装盒的高为, 底面边长为,
则
所以
其定义域为
(2)
由,可得,
当时,;当时,;
当时,取得极大值也是最大值:.
答:当时, 包装盒的容积最大是
归纳总结：
【练习5-1】欲设计如图所示的平面图形，它由上、下两部分组成，其中上部分是弓形（圆心为，半径为，，），下部分是矩形，且．
（1）求该平面图形的面积；
（2）试确定的值，使得该平面图形的面积最大，并求出最大面积．
【答案】（1）；（2）当时，.
【解析】
【分析】
（1）过圆心作的垂线，垂足为，计算出矩形、三角形、扇形的面积，由此可得出的表达式，并可求得该函数的定义域；
（2）利用导数分析函数的单调性，由此可求得的最大值及其对应的值，即可得出结论.
【详解】
（1）过圆心作的垂线，垂足为，则为的中点，
则，，从而，．
矩形的面积为．
三角形的面积．
扇形的面积．
该平面图形的面积；
（2）因为，
所以
.
因为，则，
令得，，可得，列表如下：
所以当时，取得最大值，．
【完成课时作业（十八）】
【课时作业（十八）】
A组 础题巩固
1．函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数在，上单调递增
B．函数在，上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导函数的图象判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间和极值
【详解】
由导函数的图象可知，当或时，，
当或时，，
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
所以和为极小值点，为极大值点，所以函数有3个极值点，
所以和中的最小的，为函数的最小值，无最大值，
所以ABD正确，C错误，
故选：C
2．使函数在上取得最大值的为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数研究函数的单调性、最值.
【详解】

由有：；由有：；
在上单调递增，在上单调递减，
在上取得最大值的为，故A，C，D错误，B正确.
故选：B.
3．若函数在处有极小值，则实数m=（ ）
A．9B．3C．3或9D．以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得，且当时，，当时，，从而可求出的值
【详解】
由，得，
因为函数在处有极小值，
所以，解得或，
当时，，
当时，，当时，，
所以为函数的极小值点，
当时，，
当时，，当时，，
所以为函数的极大值点，所以不合题意，
综上，
故选：B
4．不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可得在区间上恒成立，然后求函数的最大值即得.
【详解】
由题可得在区间上恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
所以，
所以.
故选：D.
5．当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】
因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
6．【多选题】已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．是的极大值点
C．有三个零点
D．在上最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对求导，令，可得的值，列表可得函数的单调性与极值，再逐个选项判断即可．
【详解】
解：因为
所以，
令，解得或，
与随的变化情况如下表：
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；
是的极大值点，故正确；
因为，，，，
由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确；
当的定义域为时，
在，上单调递减，在，上单调递增，
又， ，
所以在，上的最大值是4，故正确．
故选：．
7．【多选题】已知函数，则下列有关的叙述正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．在上是单调递减函数
C．是极大值点D．在上的最小值为0
【答案】ACD
【解析】
【分析】
求出导函数，利用导数的几何意义可判断A；利用导数与函数单调性之间的关系可判断B；利用极大值点的定义可判断C；利用极值以端点值可判断D.
【详解】
，，
A，，，
所以函数在处的切线方程为，即，A正确；
B，，当时，则，
，，所以函数在上是单调递增函数，B错误；
C，，当时，，；
当时，，；
所以函数在上单调递增；在上单调递减；
所以是极大值点，C正确；
D， 由B、C可知，当时， ，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
，.
所以函数在上的最小值为0，D正确.
故选：ACD
8．若函数有三个零点，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出函数的极大值与极小值，再结合三次函数的性质列式计算作答.
【详解】
由函数求导得：，
当或时，，当时，，即在，上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取极大值，当时，函数取极小值，
因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有3个公共点，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
9．若一圆锥的母线长为2，则此圆锥体积的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设圆锥的高为，根据圆锥的体积公式将体积用表示，再利用导数求出函数的最大值即可得解.
【详解】
解：设圆锥的高为，则底面圆的半径为，
故圆锥体积，
令，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
即此圆锥体积的最大值为.
故答案为：.
10．已知函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
对求导，由函数在开区间上有最大值，易知有极大值，令且求a的范围，注意验证是否满足极大值定义.
【详解】
由题设， ，令即，则，
又函数在上有最大值，即存在极大值，则，可得，
令，则，
所以当时，，故在上递减，
所以上，上，满足在上存在极大值.
综上，.
故答案为：
11．已知函数在处取得极小值．
(1)求c的值；
(2)求在区间上的最值．
【答案】(1)；
(2)的最大值为0 ，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）由题意，根据，解得或，然后分情况讨论即可求解；
（2）由（1）判断函数在区间上的单调性，然后根据单调性即可求解.
(1)
解：，
由得或，
当时，，
令，可得或，令，可得，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数在处取得极小值；
当时，，
令，可得或，令，可得，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数在处取得极大值，舍去；
综上，；
(2)
解：由（1）知函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
又因为，
所以的最大值为0 ，最小值为.
12．已知函数．
(1)若在上不单调，求a的取值范围；
(2)若的最小值为，求a．
【答案】(1)
(2)-2
【解析】
【分析】
（1）求导，根据导数与函数单调性的关系求得在上恒成立时a的范围，即可求得在上不单调时a的取值范围.
（2）求导，分，，分别利用导数研究函数的最小值，再根据的最小值为，即可求出a的值.
(1)
．若在上单调，则在上恒成立，
所以在上恒成立，所以，即．
因为在上不单调，所以a的取值范围是．
(2)
．
①若，则，在上单调递增，此时无最值．
②若，令，得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以的最小值是，则．
令，则，所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，所以方程只有一个根．由，得，即a的值为．
B组 能力提升
1．若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（ ）
A．－2B．－1C．2D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对函数求导后，分和两种情况求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，使最小值等于零，从而可出实数a的值
【详解】
由，得，
当时，在上恒成立，
所以在上递增，
所以，解得（舍去），
当时，由，得或，
当时，在上恒成立，
所以在上递增，
所以，解得（舍去），
当时，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，所以，解得（舍去），
当时，当时，，所以在上递减，
所以，解得，
综上，，
故选：C
2．已知函数有两个不同极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
函数有两个不同极值点有两个不同解有两个不同交点，用导数法，求出相切时对应的，即可根据图形得出范围
【详解】
，函数有两个不同极值点有两个不同解有两个不同交点.
如图所示，与切于点，故，又，综上可解得，故当时有两个不同交点，
故选：C
3．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】
∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
4．已知函数，．
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)是的极大值点，无极小值点
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点；
（2）解法一，首先构造函数，，再根据函数的导数，判断函数的最大值，即可求解；解法二，首先证明，即可得，即，不等式恒成立，转化为，即可求解.
(1)
由已知可得，函数的定义域为，且，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以是的极大值点，无极小值点．
(2)
解法一：设，，
则，
令，，则对任意恒成立，
所以在上单调递减．
又，，
所以，使得，即，则，即．
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，
故，解得，
所以当时，恒成立．
解法二：令，，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即．
因为，所以，当时等号成立，
即，当时等号成立，
所以的最小值为1．
若恒成立，则，
所以当时，恒成立．
x
-1
+
0
-
0
+
极大值
极小值
x
0
0
0
极大值
极小值
x
0
0
0
极小值
极大值
x
－2
1
＋
0
－
0
＋
－7+6a
单调递增
单调递减
单调调增
2－3a
x
－2
1
＋
0
－
－7+6a
单调递增
单调递减
2－3a
0
单调递增
极大值
单调递减
2
0
0
极大值
极小值