高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第3课时不等式与不等关系(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第3课时不等式与不等关系(原卷版+解析)，共29页。

【回归教材】
1.比较大小基本方法
2.不等式的性质
【典例讲练】
题型一 不等式的性质
【例1-1】如果实数满足，那么（ ）．
A．B．C．D．
【例1-2】已知实数x，y满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【练习1-1】若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则<
【练习1-2】若a，b为实数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
题型二 比较大小（差、商、中间量、单调性）
【例2-1】已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【例2-2】，则的大小关系为_______．
【例2-3】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【例2-4】若 ，，，则的大小关系是（ ）
A． B．C．D．不能确定
归纳总结：
【练习2-1】已知，，则，的大小关系是________．
【练习2-2】已知a>0，b>0，试比较与的大小．
【练习2-3】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【练习2-4】若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
题型三 不等式性质的综合应用
【例3-1】若，，，则t的取值范围为______．
【例3-2】设，，则与的大小关系是___________.
【例3-3】随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具.小王在某段时间共加号汽油两次，两次加油单价不同.现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油元，第二种方式是每次加油升.我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为（ ）
A．第一种B．第二种C．两种一样D．不确定
【例3-4】已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
归纳总结
【练习3-1】已知x，y为实数，满足，，则的最大值是______，此时______.
【练习3-2】设，则（ ）
A．B．
C．D．
【练习3-3】已知且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【请完成课时作业（三）】
【课时作业（三）】
A组 基础题
1．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
2．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．设，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
5．若a是实数，，，则P，Q的大小关系是（ ）
A． B． C． D．由a的取值确定
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（多选题)已知实数x，y满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（多选题)已知实数，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（多选题)下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．，则D．若，则
11．（多选题)己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
12．设，，，则，，的大小关系__________．
B组 能力提升能
1．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．已知,且为自然对数),则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选题)已知，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
关系
方法
做差法与0比较
做商法与1比较
或
或
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
第 3 课时 不等式与不等关系
编写：廖云波
【回归教材】
1.比较大小基本方法
2.不等式的性质
（1）基本性质
【典例讲练】
题型一 不等式的性质
【例1-1】如果实数满足，那么（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由不等式的基本性质逐一判断即可
【详解】
对于A：
因为，所以，故A错误；
对于B：
因为，所以，
所以，即，故B正确；
对于C：
因为，当时，故C错误；
对于D：
因为，即，故D错误；
故选：B
【例1-2】已知实数x，y满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由指数函数单调性得大小，再由函数的单调性判断
【详解】
由可得，
对于A，取，，故A错误，
对于B，取，，故B错误，
对于C，，，故C错误，
对于D，由在上单调递增，故，D正确，
故选：D
【练习1-1】若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则<
【答案】C
【解析】
【分析】
对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断
【详解】
对于A，若，则，所以A错误，
对于B，若，则，所以B错误，
对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，
故选：C
【练习1-2】若a，b为实数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
据特值可说明ABC不正确；根据不等式的性质可得D正确.
【详解】
对于A，当时，满足，不满足，故A不正确；
对于B，当时，满足，不满足，故B不正确；
对于C，当时，满足，不满足，故C 不正确；
对于D，若，则，故D正确.
故选：D.
题型二 比较大小（差、商、中间量、单调性）
【例2-1】已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案.
【详解】
，
因为，所以，
又，所以，即.
故选：B
【例2-2】，则的大小关系为_______．
【答案】≥
【解析】
【分析】
用作商法比较的大小关系，化简即可得结果.
【详解】
因为， 则
由
所以
故答案为：
【例2-3】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
根据指数函数的单调性，可以判断的大小；根据作商法可得,可得答案.
【详解】
是减函数，
，即，
而，即，
，
故选：B
【例2-4】若 ，，，则的大小关系是（ ）
A． B．C．D．不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
对作商并化简，构造函数 ，根据函数的单调性判断与1的大小关系，即可得出的大小关系.
【详解】
作商可得，令·，则 ，当时， ，所以在 上单调递增，因为，所以 ，又，
所以，所以.
故选：C
归纳总结：
【练习2-1】已知，，则，的大小关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用作差法直接比大小.
【详解】
,
故答案为：.
【练习2-2】已知a>0，b>0，试比较与的大小．
【答案】≥
【解析】
【分析】
首先作商，，再讨论的大小，让商的结果和1比较大小，即可比较与的大小．
【详解】
＝＝＝．
①若a＝b>0，则＝1，a－b＝0，∴＝1，∴＝；
②若a>b>0，则>1，a－b>0，由指数函数的性质知>1，∴>．
③若01，∴>．
综上，≥．
【练习2-3】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
应用作商法，由对数的运算性质、基本不等式可得可知b、c的大小，再结合指对数的性质可知a、c的大小.
【详解】
，即，
∵，
∴综上，.
故选：B
【练习2-4】若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
【答案】＜
【解析】
【分析】
作商法比较大小，结合对数的运算律和性质，即得解
【详解】
易知a，b都是正数，＝＝lg89＞1，所以b＞a.
故答案为：＜
题型三 不等式性质的综合应用
【例3-1】若，，，则t的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，然后求出x,y，进而根据不等式的性质求出答案.
【详解】
设，则，解得．因为，，所以，即．
故答案为：.
【例3-2】设，，则与的大小关系是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用商比法，结合对数函数的性质和对数的运算性质进行判断即可.
【详解】
因为，，所以，
，而，
所以，
故答案为：
【例3-3】随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具.小王在某段时间共加号汽油两次，两次加油单价不同.现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油元，第二种方式是每次加油升.我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为（ ）
A．第一种B．第二种C．两种一样D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
设第一次的油价为，第二次的油价为，且，计算出两种加油方式的平均油价，比较大小后可得出结论.
【详解】
设第一次的油价为，第二次的油价为，且,
第一种加油方式的平均油价为，
第二种加油方式的平均油价为，
因为，则，
因此，更经济的加油方式为第一种.
故选：A.
【例3-4】已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得，，结合基本不等式，求出的范围，即可求出的取值范围．
【详解】
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，∴，
∴，
故选：C.
归纳总结：
【练习3-1】已知x，y为实数，满足，，则的最大值是______，此时______.
【答案】 32 3
【解析】
【分析】
由题干条件得到，又因为，故得到，化简可得到结果，通过可分别求出参数的值.
【详解】
∵，∴.∵，
∴.由不等式的性质，得，
即，故的最大值为32，此时，即，∴.
故答案为：32；3.
【练习3-2】设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用对数性质判断的范围，再利用作商法和作差法比较三式的大小即可.
【详解】
，
所以，，.
因为，所以；
因为，所以；
因为，
则，所以.
综上，.
故选：C.
【练习3-3】已知且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决
【详解】
由，可得，
则，则，令，则
，
又在单调递增，在单调递减
，，
则，即
故选：C
【请完成课时作业（三）】
【课时作业（三）】
A组 基础题
1．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】
对于A,可利用作差法判断；对于B,C,D，举反例即可判断正误.
【详解】
对于A，若，则，
故A正确；
对于B，当时，，故B不正确；
对于C，不妨取 ，则，故C错误；
对于D，若，，不妨取 ，则，D错误，
故选：A
2．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
取特殊值即可判断A、C、D选项，因式分解即可判断B选项.
【详解】
对于A，令，显然，错误；
对于B，，
又不能同时成立，故，正确；
对于C，取，则，错误；
对于D，取，则，错误.
故选：B.
3．设，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对ABC举反例判断即可；对D，根据函数的单调性判断即可
【详解】
对于A，，，选项A错误；
对于B，，时，，不存在，选项B错误；
对于C，由指数函数的单调性可知，选项C错误；
对于D，由不等式性质可得，选项D正确．
故选：D．
4．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作差法比较的大小，再作差法比较的大小，即可得到三者的大小关系.
【详解】
，又，则，则
，又，则，则
综上，
故选：A
5．若a是实数，，，则P，Q的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．由a的取值确定
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可得，，进而比较与即可.
【详解】
显然P，Q都是正数，
又，
，
若a是负数，则，，所以；
若a是非负数，则，，所以．
综上所述，．
故选：A．
6．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可判断的符号不能确定，举特例时，，判断项错误；根据不等式性质判断B,C,D;
【详解】
因为，所以的符号不能确定，
当时，，故项错误；
因为，所以，故B项错误；
因为，所以，故C项正确；
因为，所以，所以，所以，故D项错误,
故选:C
7．已知且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，求出结合条件可得结果.
【详解】
设，可得，
解得，，
因为可得，
所以.
故选：C.
8．（多选题)已知实数x，y满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
直接由不等式的性质依次判断4个选项即可.
【详解】
由，，知，，A、C正确；
，故，B错误；，故，D错误.
故选：AC.
9．（多选题)已知实数，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
首先求出，的范围，利用作差法判断A，利用基本不等式判断B、C，依题意可得，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而判断D；
【详解】
解：因为，所以，，
又，，
所以，，即，，
所以，所以，故A正确；
对于B：因为，，，
所以，所以，当且仅当，即，时取等号，故B正确；
对于C：，所以，当且仅当，时取等号，故C错误；
对于D：因为，，，所以，
所以，令，，
则，
所以当时，当时，
即在上单调递增，在单调递减，
所以，即，
又，所以，故D正确；
故选：ABD
10．（多选题)下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．，则D．若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据不等式的性质判断AD，结合作差法比较大小判断BC.
【详解】
解：对于A选项，因为，故，故，正确；
对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；
对于C选项，由于，故，故，即，正确；
对于D选项，当时，，故错误.
故选：ABC
11．（多选题)己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用不等式的性质及特殊值法判断即可．
【详解】
解：对于非零实数，满足，则，
即，故A一定成立；
因为，故B一定成立；
又，即，所以，故C一定成立；
对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立．
故选：ABC
12．设，，，则，，的大小关系__________．
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得，，即可得到，再由，，即可得到，从而得解；
【详解】
解：因为，，
因为，所以，所以，
而，而，所以，所以．
故答案为：
B组 能力提升能
1．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】
因为，所以，
对于A：，，所以，故A错误；
对于B：，所以在上为增函数，
又，所以，故B错误；
对于C：，
因为，，所以，
所以，故C错误；
对于D：，
因为，，
所以，即，故D正确.
故选：D
2．，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
构造，则，，，利用导数研究函数的单调性，结合作差法，即可判断a，b，c的大小关系.
【详解】
由，，，若，则，
令且，则，，，
所以，若得：，
在上，递增；上，递减；
所以，即中最大，而，即，
综上，，又在定义域上递增，故.
故选：A
3．已知,且为自然对数),则下列结论一定正确的是
（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
通过构造函数得出的不等关系，然后逐项检验即可
【详解】
设
则
所以
设,令,得
易知函数在单调递减
所以,即,即
,所以对
,所以B错
,所以C错
,所以错
故选：A
4．（多选题)已知，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
构造函数，求导，计算出其单调性即可判断.
【详解】
构造函数 ， ，
当 时， ， 时， ， 时， ，
在处取最大值， ， ，
函数图像如下：
， ，A正确；B错误；
， ，
，C正确，D错误；
故选：AC.
5．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
令，，求导研究函数的单调性，从而得到，利用不等式的性质比较得出，从而求得答案.
【详解】
令，
，
，可以判断在上单调递增，
所以，
，
所以，
又因为，，
所以，即，所以，
故选：D.
关系
方法
做差法与0比较
做商法与1比较
或
或
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性