高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第04课时圆和圆的位置关系及圆的综合问题(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第04课时圆和圆的位置关系及圆的综合问题(原卷版+解析)，共30页。

【回归教材】
1.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0).
2.相交两圆的公共弦所在直线方程
已知，①
和圆，②
用方程①-②，得．③
③表示过圆和圆的交点的直线，即圆和圆公共弦所在的直线方程．
圆系方程
①过两圆和的交点的圆系方程为(，其中不含圆)．
②当时，为两圆的公共弦所在直线的方程；
当两圆相切时，为过两圆切点的直线方程
【典例讲练】
题型一 圆与圆的位置关系
【例1-1】已知，且圆，圆．分别求这两圆外离、外切、相交、内切、内含时，实数a的取值范围．
【例1-2】已知圆：与：相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
归纳总结：
【练习1-1】已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条B．2条C．1条D．0条
【练习1-2】已知圆与圆．
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
题型二 与圆有关的最值问题
【例2-1】已知点在圆上．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
【例2-2】平面上两个点为A(－1，0)，B(1，0)，O为坐标原点，在圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0上取一点P，则|AP|2＋|BP|2的最小值为________．
【例2-3】已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．
归纳总结：
【练习2-1】已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为________.
【练习2-2】在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足 ，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型三 与圆有关的综合问题
【例3-1】已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
【例3-2】已知圆M与圆N：相外切，与y轴相切原点O．
(1)求圆M的方程；
(2)若圆M与圆N的切点在第一象限，过原点O的两条直线与圆M分别交于P，Q两点，且两直线互相垂直，求证：直线PQ过定点，并求出该定点坐标．
归纳总结：
【练习3-1】已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上．
(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
【请完成课时作业（五十三）】
【课时作业（五十三）】
A组 基础题
1．已知点P，Q分别为圆与上一点，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．7D．10
2．已知点A（2，0），B（0，﹣1），点是圆x2+（y﹣1）2＝1上任意一点，则 面积最大值为（ ）
A．2B．C．D．
3．在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知A，B为圆上的两动点，，点P是圆上的一点，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．过圆C: 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
8．圆与圆外切，则实数_________．
9．写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
10．如果复数z满足，那么的最大值是______ ．
11．已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为________．
12．设P为曲线上动点，Q为曲线上动点，则称的最小值为曲线，之间的距离，记作.若，，则___________.
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A（-1，0），B（1，2）．
(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；
(2)圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12?若存在，求点P的个数；
若不存在，请说明理由．
B组 能力提升
1．设M为圆外一点，过M引圆的切线，两切点分别为P和Q，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．在棱长为3的正方体中，P为内一点，若的面积为，则AP的最大值为________．
3．如图，在平面直角坐标系上，已知圆的直径，定直线到圆心的距离为，且直线垂直于直线，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交与、两点．
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)若，求以为直径的圆方程；
(3)当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，
请求出定点；若不过定点，请说明理由．
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
外切
相交
内切
内含
第 4 课时 圆与圆的位置关系及圆的综合应用
编写：廖云波
【回归教材】
1.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0).
2.相交两圆的公共弦所在直线方程
已知，①
和圆，②
用方程①-②，得．③
③表示过圆和圆的交点的直线，即圆和圆公共弦所在的直线方程．
圆系方程
①过两圆和的交点的圆系方程为(，其中不含圆)．
②当时，为两圆的公共弦所在直线的方程；
当两圆相切时，为过两圆切点的直线方程
【典例讲练】
题型一 圆与圆的位置关系
【例1-1】已知，且圆，圆．分别求这两圆外离、外切、相交、内切、内含时，实数a的取值范围．
【答案】时外离；时外切；时相交，时内切，时内含．
【解析】
【分析】
由两圆的连心距与半径的和差关系求解．
【详解】
，，半径为，
，，，
，
，
所以，时外离；时外切；时相交，时内切，时内含．
【例1-2】已知圆：与：相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
【答案】(1)x－2y＋4＝0
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）两圆相减，可得公共弦所在直线方程；
（2）首先设圆系方程（为常数），根据圆心在直线上，求，即可求得圆的方程；
（3）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，即可求得圆心和半径.
(1)
将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．
(2)
设经过A、B两点的圆的方程为（为常数），
则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故，
解得，故所求方程为．
(3)
由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，
与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为．
故面积最小的圆的方程为．
归纳总结：
【练习1-1】已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条B．2条C．1条D．0条
【答案】B
【解析】
【分析】
利用已知条件判断圆与圆的关系，进而可以求解.
【详解】
由，得圆，半径为，
由，得，半径为
所以，
，，
所以，所以圆与圆相交，
所以圆与圆有两条公共的切线.
故选：B.
【练习1-2】已知圆与圆．
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明；
（2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；
（3）首先求出两圆的交点坐标，设圆心为，根据得到方程，即可求出，从而求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程.
(1)
证明：圆：化为标准方程为，
，
圆的圆心坐标为，半径为，
，
，两圆相交；
(2)
解：由圆与圆，
将两圆方程相减，可得，
即两圆公共弦所在直线的方程为；
(3)
解：由，解得，
则交点为，，
圆心在直线上，设圆心为，
则，即，解得，
故圆心，半径，
所求圆的方程为．
题型二 与圆有关的最值问题
【例2-1】已知点在圆上．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
【答案】（1）的最大值为，最小值为；（2）的最大值为，最小值为.）（3）
【解析】（1）设，则，t可视为直线的纵截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即，解得或．
∴的最大值为，最小值为．
（2）可视为点与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即，解得或．
∴的最大值为，最小值为．
【例2-2】平面上两个点为A(－1，0)，B(1，0)，O为坐标原点，在圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0上取一点P，则|AP|2＋|BP|2的最小值为________．
【答案】20
【解析】设点P的坐标为(x，y)，则|OP|＝，
∵A(－1，0)，B(1，0)，∴|AP|2＋|BP|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2.
要使|AP|2＋|BP|2取得最小值，需使|OP|2最小．
将圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为(x－3)2＋(y－4)2＝4.
∵点P为圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4上的点，∴|OP|min＝|OC|－r(r为半径)．
由(x－3)2＋(y－4)2＝4知圆心C(3，4)，r＝2.
∴|OC|－r＝－2＝5－2＝3，即|OP|min＝3，
∴(|AP|2＋|BP|2)min＝2×32＋2＝20.
故答案为：20.
【例2-3】已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】
设圆和圆的圆心分别为,则根据椭圆的性质可知为定值,再根据三角形两边之和大于第三边可知的最大值为与两圆半径的和即可.
【详解】
由题, 设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.
则椭圆的焦点为.又,.
故,当且仅当分别在的延长线上时取等号.
此时最大值为.
故答案为：.
归纳总结：
【练习2-1】已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为________.
【答案】
【解析】设，则 ，
又在圆上
，即，
的轨迹方程为
所以当取最大值时，与相切，
此时 ,
故答案为：
【练习2-2】在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足 ，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设 ，则
∵，
∴
∴
∴为点的轨迹方程
∴点的参数方程为（为参数）
则由向量的坐标表达式有：
又∵
∴
题型三 与圆有关的综合问题
【例3-1】已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
(1) 设，，可得，代入圆化简即可；
(2) 联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程,再由弦长公式可求得结果；
(3) 作关于轴得对称点，连接与x轴交于Q点，根据时求解即可.
(1)
设，，点A在圆，所以有：，
P是A，B的中点，，即，得P得轨迹方程为：；
(2)
联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程，
设到直线MN得距离为d，则,
所以，；
(3)
作出关于轴得对称点，
如图所示；
连接与x轴交于Q点，点Q即为所求，
此时，所以的最小值为.
【例3-2】已知圆M与圆N：相外切，与y轴相切原点O．
(1)求圆M的方程；
(2)若圆M与圆N的切点在第一象限，过原点O的两条直线与圆M分别交于P，Q两点，且两直线互相垂直，求证：直线PQ过定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1)M：或M：
(2)证明见解析，
【解析】
【分析】
（1）由题意可设圆M的方程为，由两圆外切建立等式：，求解值可得圆的方程.（2）由切点在第一象限可知圆M：，设OP所在直线方程为，与圆联立求出点坐标，把k换做，可求出点坐标，点斜式计算直线PQ方程化简可求出过定点.
(1)
由题意知，圆M与y轴相切原点O，所以设圆M的方程为，
因为圆M与圆N：相外切，且N：，
所以，所以或，
所以M：或M：；
(2)
由题意知M：，
设OP所在直线方程为，联立，
得，，
同理把k换做，可得，，
所以PQ所在直线方程为，
化简为：
故直线PQ过定点．
归纳总结：
【练习3-1】已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上．
(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出圆心的坐标，设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求出相应的参数值，即可得出所求切线的方程；
（2）设点，由已知可得，分析可知圆与圆有公共点，可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
(1)
解：联立，解得，即圆心，所以，圆的方程为.
若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时直线与圆相离，不合乎题意；
所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，解得或.
故所求切线方程为或，即或.
(2)
解：设圆心的坐标为，则圆的方程为，
设点，由可得，
整理可得，
由题意可知，圆与圆有公共点，所以，，
即，解得.
所以，圆心的横坐标的取值范围是.
【请完成课时作业（五十三）】
【课时作业（五十三）】
A组 基础题
1．已知点P，Q分别为圆与上一点，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．7D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两圆位置关系求解.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为1；
圆的圆心坐标为，半径为2；
所以两圆的圆心距，两圆外离，
所以 ，
故选：A.
2．已知点A（2，0），B（0，﹣1），点是圆x2+（y﹣1）2＝1上任意一点，则 面积最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合点到直线距离公式及图形求出圆上点到直线距离的最大值，由此可求面积的最大值.
【详解】
由已知，
要使的面积最大，只要点P到直线的距离最大．
由于AB的方程为1，即x﹣2y﹣2＝0，
圆心（0，1）到直线AB的距离为d，
故P到直线AB的距离最大值为1，
所以面积的最大值为，
故选：D．
3．在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而求出最短、最长弦，即可得解；
【详解】
解：圆，即，圆心为，半径，
又，所以过点的最长弦，最短弦，
且最短弦与最长弦互相垂直，所以；
故选：B
4．已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意圆、相离，则，分别求圆心和半径代入计算．
【详解】
圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径
根据题意可得，圆、相离，则，即
∴
故选：A．
5．已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用数形结合思想，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
由，如图所示，
显然当P运动到坐标原点时，有最小值，
最小值为原点到直线的距离，
即，
故选：D
6．已知A，B为圆上的两动点，，点P是圆上的一点，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的运算律将题意转化为圆上的点到的中点的距离最值问题即可得解.
【详解】
设M是AB的中点，因为，所以，
即M在以O为圆心，1为半径的圆上，
，所以．
又，所以，
所以．
故选：C.
7．过圆C: 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
求出点P的轨迹为圆，再由圆心到直线的距离减去半径即可得出最小值.
【详解】
∵过圆C: 外一点向圆C引两条切线，
切点分别为A，B，由PA⊥PB可知，四边形CAPB为边长为1的正方形，所以，
所以点的轨迹E是以C(1,0)为圆心，为半径的圆，
圆心到直线的距离，
所以点P到直线的最短距离为，
故选：B
8．圆与圆外切，则实数_________．
【答案】9
【解析】
【分析】
由题意分别求两圆的圆心和半径，根据两圆外切可得，代入运算求解．
【详解】
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则
根据题意可得：，即，∴
故答案为：9．
9．写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【解析】
【分析】
先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
10．如果复数z满足，那么的最大值是______ ．
【答案】2＃＃＋2
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义表示，两点间距离，结合图形理解运算．
【详解】
设复数z在复平面中对应的点为
∵，则点到点的距离为2，即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆
表示点到点的距离，结合图形可得
故答案为：．
11．已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
令，由题可得，即得.
【详解】
令，则，代入，
可得，
∴，
解得，
即的取值范围为.
故答案为；.
12．设P为曲线上动点，Q为曲线上动点，则称的最小值为曲线，之间的距离，记作.若，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出圆心距，根据圆的对称性得出.
【详解】
由可得
故答案为：
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A（-1，0），B（1，2）．
(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；
(2)圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12?若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)x-y=0或x-y-4=0
(2)存在，点P的个数为2
【解析】
【分析】
（1）根据l∥AB，可得直线l的斜率为1，设直线l的方程为x-y+m=0，根据圆的弦长公式，结合题意，即可求得m值，即可得答案.
（2）设P（x，y），则，根据题意，化简可得x2+（y-1）2=4，根据圆心距可得两圆的位置关系，即可得答案.
(1)
圆C的标准方程为，所以圆心C（2，0），半径为2．
因为l∥AB，且A（-1，0），B（1，2），
所以直线l的斜率为．
设直线l的方程为x-y+m=0，
则圆心C到直线l的距离为．
因为，
而，所以，
解得m=0或m=-4，
所以直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0．
(2)
假设圆C上存在点P，设P（x，y），则，
所以PA2+PB2=，
整理得x2+y2-2y-3=0，即x2+（y-1）2=4．
因为，
所以圆（x-2）2+y2=4与圆x2+（y-1）2=4相交，
所以点P的个数为2．
B组 能力提升
1．设M为圆外一点，过M引圆的切线，两切点分别为P和Q，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作图，利用图中的几何关系，运用三角函数和向量数量积定义即可求解.
【详解】
设，则，设 ，
则 ， ，在 中， ，
则 ，解得 ，
，
，解得 ，
；
故选：A.
2．在棱长为3的正方体中，P为内一点，若的面积为，则AP的最大值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】
先证明平面，由条件确定点的轨迹，由此可求AP的最大值.
【详解】
因为，,平面，，
所以，同理可证，又，，
所以平面，
设与平面相交于点O，连接，因为平面，所以
所以，又，
则，即点P的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，
因为，平面，所以，
又为等边三角形，且,
所以，
所以AP的最大值为．
故答案为：.
3．如图，在平面直角坐标系上，已知圆的直径，定直线到圆心的距离为，且直线垂直于直线，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交与、两点．
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)若，求以为直径的圆方程；
(3)当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)或
(2)
(3)过定点，定点坐标为
【解析】
【分析】
（1）对所求直线的斜率是否存在进行分类讨论，在所求直线斜率不存在时，直接验证直线与圆相切；在所求直线斜率存在时，设所求直线方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，求出的值，综合可得出所求直线的方程；
（2）分点在轴上方、点在轴下方两种情况讨论，求出点、的坐标，可得出所求圆的圆心坐标和半径，即可得出所求圆的方程；
（3）设直线的方程为，其中，求出点、的坐标，可求得以线段为直径的圆的方程，并化简圆的方程，可求得定点的坐标.
(1)
解：易知圆的方程为，圆心为原点，半径为，
若所求直线的斜率不存在，则所求直线的方程为，此时直线与圆相切，合乎题意，
若所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为，即，
由已知可得，解得，此时所求直线的方程为.
综上所述，过点且与圆相切的直线方程为或.
(2)
解：易知直线的方程为，、，
若点在轴上方，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
线段的中点为，且，此时，所求圆的方程为；
若点在轴下方，同理可求得所求圆的方程为.
综上所述，以为直径的圆方程为.
(3)
解：不妨设直线的方程为，其中，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
线段的中点为，，
所以，以线段为直径的圆的方程为，
即，由，解得，
因此，当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的定点.
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解