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2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修三专题6.1 基本计数原理（5类必考点）
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这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修三专题6.1 基本计数原理（5类必考点），文件包含专题61基本计数原理5类必考点人教A版2019选择性必修第三册原卷版docx、专题61基本计数原理5类必考点人教A版2019选择性必修第三册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
专题6.1 基本计数原理 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1" HYPERLINK \l "_Toc118924532" 【考点1：分类加法计数原理】 PAGEREF _Toc118924532 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc118924533" 【考点2：分步乘法计数原理】 PAGEREF _Toc118924533 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc118924534" 【考点3：组数问题】 PAGEREF _Toc118924534 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc118924535" 【考点4：涂色问题】 PAGEREF _Toc118924535 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc118924536" 【考点5：利用两个计数原理解决其他实际问题】 PAGEREF _Toc118924536 \h 9【考点1：分类加法计数原理】【知识点：分类加法计数原理】(1)完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．(2) 能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点：①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类．②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事．③把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．1．（2024上·江西·高二江西省安义中学校联考期末）某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）A．90种 B．30种 C．14种 D．11种2．（2023下·河南·高二校联考期中）某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（ ）A．4种 B．6种 C．7种 D．9种3．（2024·广东广州·华南师大附中模拟预测）小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（ ）种练习的方案.A．31 B．18 C．21 D．334．（2024上·陕西汉中·高二统考期末）一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物9本，英语类读物8本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有 种．5．（2024·山东日照·高二日照一中校考阶段练习）某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行（1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场决出胜者）；（3）决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．则全部赛程共需比赛 场．6．（2024上·陕西汉中·高二统考期末）已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么三位渐升数有 个，其中比516大的三位渐升数有 个．【考点2：分步乘法计数原理】【知识点：分步乘法计数原理】(1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．(2) 能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点：①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可．②完成每一步有若干种方法．③把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．(3)1．（2024·河南·高二校联考阶段练习）学校筹办元旦晚会需要从5名男生和3名女生中各选1人作为志愿者，则不同选法的种数是（ ）A．8 B．28 C．20 D．152．（2023上·福建宁德·高二统考期末）学校组织研学活动，现有寿宁下党乡、福安柏柱洋、屏南潦头村、福鼎赤溪村4条路线供3个年级段选择，每个年段必项且只能选择一条路线，则不同的选择方法有（ ）A．4种 B．24种 C．64种 D．81种3．（2023上·广东深圳·高二校考期末）某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）A．种 B．种 C．种 D．种4．（2024·全国·一模）名同学从散打、跆拳道、击剑和太极拳四门课程中任选一门学习，则仅有跆拳道未被选中的概率为（ ）A． B． C． D．5．（2023下·河南·高二校联考期中）有且仅有语文、数学、英语、物理4科老师布置了作业，同一时刻3名学生都在做作业，则这3名学生做作业的可能情况有 种．6．（2024·福建厦门·统考一模）《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有 种．7．（2023下·河南·高二校联考期中）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“客醉花间花醉客”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中是奇数的个数是 ．8．（2024上·辽宁·高二期末）某单位职工义务献血，在身体检查合格的人中，是O型血的共有28人，是A型血的共有7人，是B型血的共有9人，是AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从4种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？(3)这些人中有2人去献血，他们的血型不同的概率是多少？【考点3：组数问题】【知识点：组数问题】对于组数问题,应掌握以下原则 ①明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类, 分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成, 如果正面分类较多, 可采用间接法求解. ②要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的首位.1．（2023·江苏·镇江市实验高级中学高二期中）用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（ ）A．125种 B．100种 C．64种 D．60种2．（2024·黑龙江·鸡西实验中学高二阶段练习）（多选题）已知数字0，1，2，3，4，由它们组成四位数，下列说法正确的有（ ）A．组成可以有重复数字的四位数有500个B．组成无重复数字的四位数有96个C．组成无重复数字的四位偶数有66个D．组成百位是奇数的四位偶数有28个3．（2024·全国·高二课时练习）由0、1、2、3、4、5这6个数字可以组成______个没有重复数字的三位偶数.4．（2024·甘肃·玉门油田第一中学高二练习）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数有________ 个.（用数字回答）5．（2023·广东·翠园中学高二期中）从不大于9的自然数中抽3个不同的数可以组成______个能被5整除的三位数．6．（2024·全国·高二课时练习）已知集合A=2,4,6,8，B=1,3,5,7,9，从A中取一个数作为十位数字，从B中取一个数作为个位数字，能组成______个不同的两位数，能组成______个十位数字小于个位数字的两位数．7．（2024·全国·高二专题练习）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？8．（2024·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：(1)这些数的数字和；(2)这些数的和．9．（2024·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：(1)这些数的数字和；(2)这些数的和．【考点4：涂色问题】【知识点：涂色问题】涂色问题常用方法: ①根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理区域涂色问题的基本方法; ②根据共用了多少种颜色,分别计算出各种情形的种数,再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数; ③根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数.1．（2024上·江西萍乡·高二统考期末）有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（ ）A．462 B．630 C．672 D．8822．（2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ）A．120 B．72 C．48 D．243．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）A．种 B．种C．种 D．种4．（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市第八十三中学校联考期末）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色､米白色､橄榄绿､薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有（ ）种不同的涂色方法.A．78 B．66 C．56 D．485．（2024·安徽安庆·高二安庆一中校考）如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ） A．120 B．96 C．72 D．486．（2024·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ） A．3125 B．1000 C．1040 D．10207．（2024上·河南南阳·高二统考期末）南阳素有“月季花城”的美誉，是“中国月季之乡”和世界月季名城.某社区对一个街心公园进行改造，在公园中央有一个正方形区域如图示，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该区域种植月季，有5种不同的月季可供选择，要求相邻区域种植的月季不同.在所有的种植方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种月季的概率是 .8．（2024·全国·模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求E，F处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有 种. 9．（2024·全国·高二随堂练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？10．（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）（1）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？（2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的不超过2024的正整数？【考点5：利用两个计数原理解决其他实际问题】【知识点：利用两个计数原理解决其他实际问题】在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．[方法技巧]使用两个计数原理进行计数的基本思想对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数． 1．（2022·全国·高二期末）有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为A．24 B．14 C．10 D．92．（2022·全国·高二课时练习）4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则4人拿的都不是自己的帽子方案总数为____________.（用数字作答）3．（2021·天津·静海一中高二期末）将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______________. 名称分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点都是解决完成一件事的不同方法的种数问题不同点运用加法运算运用乘法运算分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解
专题6.1 基本计数原理 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1" HYPERLINK \l "_Toc118924532" 【考点1：分类加法计数原理】 PAGEREF _Toc118924532 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc118924533" 【考点2：分步乘法计数原理】 PAGEREF _Toc118924533 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc118924534" 【考点3：组数问题】 PAGEREF _Toc118924534 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc118924535" 【考点4：涂色问题】 PAGEREF _Toc118924535 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc118924536" 【考点5：利用两个计数原理解决其他实际问题】 PAGEREF _Toc118924536 \h 9【考点1：分类加法计数原理】【知识点：分类加法计数原理】(1)完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．(2) 能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点：①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类．②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事．③把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．1．（2024上·江西·高二江西省安义中学校联考期末）某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）A．90种 B．30种 C．14种 D．11种2．（2023下·河南·高二校联考期中）某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（ ）A．4种 B．6种 C．7种 D．9种3．（2024·广东广州·华南师大附中模拟预测）小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（ ）种练习的方案.A．31 B．18 C．21 D．334．（2024上·陕西汉中·高二统考期末）一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物9本，英语类读物8本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有 种．5．（2024·山东日照·高二日照一中校考阶段练习）某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行（1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场决出胜者）；（3）决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．则全部赛程共需比赛 场．6．（2024上·陕西汉中·高二统考期末）已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么三位渐升数有 个，其中比516大的三位渐升数有 个．【考点2：分步乘法计数原理】【知识点：分步乘法计数原理】(1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．(2) 能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点：①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可．②完成每一步有若干种方法．③把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．(3)1．（2024·河南·高二校联考阶段练习）学校筹办元旦晚会需要从5名男生和3名女生中各选1人作为志愿者，则不同选法的种数是（ ）A．8 B．28 C．20 D．152．（2023上·福建宁德·高二统考期末）学校组织研学活动，现有寿宁下党乡、福安柏柱洋、屏南潦头村、福鼎赤溪村4条路线供3个年级段选择，每个年段必项且只能选择一条路线，则不同的选择方法有（ ）A．4种 B．24种 C．64种 D．81种3．（2023上·广东深圳·高二校考期末）某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）A．种 B．种 C．种 D．种4．（2024·全国·一模）名同学从散打、跆拳道、击剑和太极拳四门课程中任选一门学习，则仅有跆拳道未被选中的概率为（ ）A． B． C． D．5．（2023下·河南·高二校联考期中）有且仅有语文、数学、英语、物理4科老师布置了作业，同一时刻3名学生都在做作业，则这3名学生做作业的可能情况有 种．6．（2024·福建厦门·统考一模）《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有 种．7．（2023下·河南·高二校联考期中）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“客醉花间花醉客”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中是奇数的个数是 ．8．（2024上·辽宁·高二期末）某单位职工义务献血，在身体检查合格的人中，是O型血的共有28人，是A型血的共有7人，是B型血的共有9人，是AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从4种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？(3)这些人中有2人去献血，他们的血型不同的概率是多少？【考点3：组数问题】【知识点：组数问题】对于组数问题,应掌握以下原则 ①明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类, 分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成, 如果正面分类较多, 可采用间接法求解. ②要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的首位.1．（2023·江苏·镇江市实验高级中学高二期中）用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（ ）A．125种 B．100种 C．64种 D．60种2．（2024·黑龙江·鸡西实验中学高二阶段练习）（多选题）已知数字0，1，2，3，4，由它们组成四位数，下列说法正确的有（ ）A．组成可以有重复数字的四位数有500个B．组成无重复数字的四位数有96个C．组成无重复数字的四位偶数有66个D．组成百位是奇数的四位偶数有28个3．（2024·全国·高二课时练习）由0、1、2、3、4、5这6个数字可以组成______个没有重复数字的三位偶数.4．（2024·甘肃·玉门油田第一中学高二练习）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数有________ 个.（用数字回答）5．（2023·广东·翠园中学高二期中）从不大于9的自然数中抽3个不同的数可以组成______个能被5整除的三位数．6．（2024·全国·高二课时练习）已知集合A=2,4,6,8，B=1,3,5,7,9，从A中取一个数作为十位数字，从B中取一个数作为个位数字，能组成______个不同的两位数，能组成______个十位数字小于个位数字的两位数．7．（2024·全国·高二专题练习）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？8．（2024·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：(1)这些数的数字和；(2)这些数的和．9．（2024·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：(1)这些数的数字和；(2)这些数的和．【考点4：涂色问题】【知识点：涂色问题】涂色问题常用方法: ①根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理区域涂色问题的基本方法; ②根据共用了多少种颜色,分别计算出各种情形的种数,再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数; ③根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数.1．（2024上·江西萍乡·高二统考期末）有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（ ）A．462 B．630 C．672 D．8822．（2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ）A．120 B．72 C．48 D．243．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）A．种 B．种C．种 D．种4．（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市第八十三中学校联考期末）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色､米白色､橄榄绿､薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有（ ）种不同的涂色方法.A．78 B．66 C．56 D．485．（2024·安徽安庆·高二安庆一中校考）如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ） A．120 B．96 C．72 D．486．（2024·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ） A．3125 B．1000 C．1040 D．10207．（2024上·河南南阳·高二统考期末）南阳素有“月季花城”的美誉，是“中国月季之乡”和世界月季名城.某社区对一个街心公园进行改造，在公园中央有一个正方形区域如图示，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该区域种植月季，有5种不同的月季可供选择，要求相邻区域种植的月季不同.在所有的种植方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种月季的概率是 .8．（2024·全国·模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求E，F处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有 种. 9．（2024·全国·高二随堂练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？10．（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）（1）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？（2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的不超过2024的正整数？【考点5：利用两个计数原理解决其他实际问题】【知识点：利用两个计数原理解决其他实际问题】在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．[方法技巧]使用两个计数原理进行计数的基本思想对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数． 1．（2022·全国·高二期末）有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为A．24 B．14 C．10 D．92．（2022·全国·高二课时练习）4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则4人拿的都不是自己的帽子方案总数为____________.（用数字作答）3．（2021·天津·静海一中高二期末）将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______________. 名称分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点都是解决完成一件事的不同方法的种数问题不同点运用加法运算运用乘法运算分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解
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