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2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修三专题6.5 计数原理（基础巩固卷）
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这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修三专题6.5 计数原理（基础巩固卷），文件包含专题65计数原理基础巩固卷人教A版2019选择性必修第三册原卷版docx、专题65计数原理基础巩固卷人教A版2019选择性必修第三册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
专题6.5 计数原理（基础巩固卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2024高三上·天津河北·阶段练习）在的展开式中，的系数是（ ）A．35 B． C．560 D．【答案】C【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，所以的展开式中的系数为.故选：C2．（23-24高二下·云南昆明·期中）的展开式中，含的项的系数为（ ）A． B．40 C．80 D．120【答案】A【分析】利用二项式展开式的通项公式求解.【详解】解：因为的展开式中，通项为，所以含的项的系数为．故选：A3．（2024高三上·天津滨海新·阶段练习）若的展开式的二项式系数之和为，则的展开式中的系数为（ ）A．8 B．28 C．56 D．70【答案】C【分析】根据二项式系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的展开式的二项式系数之和，则展开式的通项公式为：，令，所以的系数为.故选：C4．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（ ）A．12种 B．48种 C．72种 D．120种【答案】C【分析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节即可得．【详解】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为.故选：C．5．（23-24高二下·江苏盐城·期中）在10件产品中，有8件合格品，2件不合格品，从这10件产品中不放回地抽取2次，每次抽取1件产品.若已知有一次为合格品，则另一次也是合格品的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据组合数公式的计算和古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】有一次为合格品，另一次可能为合格品或不合格品，有（种）；两次均为合格品则有（种），有古典概型的概率计算公式可得，，故选：B.6．（2024·安徽淮北·一模）淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科.若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有（ ）（同一半天如果有两科考试不计顺序）A． B． C． D．【答案】A【解析】先考虑将六科分为四组，科目数分别为、、、进行全排，减去语文、数学、物理三科中有两科放在同一个半天考的排法种数，即可得解.【详解】先考虑将六科分为四组，科目数分别为、、、进行全排，排法种数为.接下来考虑语文、数学、物理三科中有两科放在同一个半天考的排法，可在这三科中选两科放一组，其余四科分为三组，科目数分别为、、，排法种数为.综上所述，共有.故选：A.【点睛】本题考查了排列应用，考查了间接法的应用，考查了数学运算能力，属于中等题.7．（2024·河北·一模）为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（ ）A．144种 B．162种 C．216种 D．288种【答案】A【分析】利用排列组合公式进行合理分类讨论即可.【详解】分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有种，第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，剩余一本作为一组，再分给3名同学，共有方法；第二种情况：从4本里任选2本作为一组，剩余的两本作为一组，有种分法，分给3名同学中的2名同学，有种分法，剩余1名同学，从这4本中任选一本阅读，有种分法，共有种方法.故这三名同学选取图书的不同情况有种.故选：A.8．（2024高二下·江苏苏州·阶段练习）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为【答案】D【分析】由二项式系数之和为64，可得，得，所以二项式为，然后写出二项式展开式的通式公式，然后逐个分析判断．【详解】因为的二项展开式中二项式系数之和为64，所以，得，所以二项式为，则二项式展开式的通式公式，对于A，令，可得二项展开式中各项系数之和为，所以A错；对于B，第4项的二项式系数最大，此时，则二项展开式中二项式系数最大的项为，所以B错；对于C，令，则，所以二项展开式中的常数项为，所以C错误；对于D，令第项的系数最大，则，解得，因为，所以时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为，所以D正确，故选：D．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于先求得，然后结合二项式展开式的通式公式．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）下列各式正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用排列数与组合数公式计算可以判断BC；特殊值法可以判断AD.【详解】对于A，取，则，，所以，故A错误；对于B，因为，，所以，故B正确；对于C，因为，，所以，故C正确；对于D，取，则，，所以，故D错误.故选：BC.10．（23-24高二下·福建福州·期中）关于的展开式，则（ ）A．所有项的二项式系数和为128B．所有项系数和为1C．常数项为70D．二项式系数最大的项为第4项【答案】BD【分析】写出展开式的通项，二项式中，令即可得出常数项，令，得到各项系数和，二项式系数和为，即可判断；【详解】二项式展开式的通项为令，解得，则常数项为，故C不正确；且二项式系数最大的项为第4项，故D正确；二项式系数和；令，得所有项的系数和为1，故A错误，B正确；故选：BD11．（2024高二下·江苏常州·阶段练习）某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）A．若任意选择三门课程，选法总数为B．若物理和化学至少选一门，选法总数为C．若物理和历史不能同时选，选法总数为D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为20【答案】CD【分析】利用组合的概念可判断A；利用分类考虑，物理和化学只选一门、物理和化学都选，可判断B；利用间接法可判断C；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算可判断D．【详解】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法，由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，只选物理不选历史，有种选法，选化学，不选物理，有种选法，物理与化学都选，不选历史，有种选法故总数为种，故D正确．故选：CD.12．（2024高二下·河北石家庄·期末）对于任意实数，有，则下列结论成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由题设有，写出展开式通项，A、B令、分别求系数，C由，再应用赋值法求值，D赋值法令求值即可.【详解】由，其展开式通项公式为，A：当时，，故，正确；B：当时，，故，错误；C：由，则，故当时，，又，则，正确；D：当时，，正确.故选：ACD填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2024·河南·一模）的展开式中,项的系数为 ．【答案】56【分析】由，然后利用二项式的通项公式即得.【详解】因为，展开式的通项公式为，因此取可得和，故所求项的系数为，故答案为：．14．（23-24高三上·上海嘉定·期中）在的二项展开式中任取一项，则该项系数为无理数的概率为 ．【答案】【分析】首先求得二项式展开式的通式，根据通式确定展开式中无理项的个数，再根据古典概率求解即可.【详解】的展开式的通式，当，为无理数，得：概率为故答案为：15．（2024高二下·山西大同·阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为 ．【答案】72【分析】根据题意，分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．【详解】分4步进行分析：①，对于区域，有4种颜色可选；②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域、有种选择，则不同的涂色方案有种；故答案为：7216．（2024高三下·浙江杭州·开学考试）已知，则= ，= ．【答案】;【分析】（1）由，写出展开式中含的项，即可确定系数；（2）将题设等式两边求导，再令即可求值.【详解】由题设，，则，即；对等式两边求导得：，∴当时，.故答案为：-240；0【点睛】关键点点睛：第二空，将等式两侧同时求导，得到新的多项式，利用赋值法求系数和即可.解答题（共6小题，满分70分）17．（2024高二下·陕西西安·期末）解方程：(1)；(2)；(3)，求．【答案】(1)(2)(3)28【分析】对于(1)和(2)，可直接利用排列数公式进行求解；对于(3)，可利用组合数公式的阶乘形式：进行求解.【详解】（1），，由，得到：又，化简得到：所以.（2）由，即， ，又，所以得到：，即所以 ，解得：或（舍去），所以.（3），可化为，化简为，即，所以或又，所以.18．（2024高二下·山东菏泽·阶段练习）口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球．(1)至少有一个白球的取法有多少种？(2)两球的颜色相同的取法有多少种？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解；（2）根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解；【详解】（1）根据题意分2类完成任务：第一类：白球红球各一个有种，第二类：均为白球，种，所以共有种；（2）根据题意分2类完成任务：第一类：均为白球，种，第二类：均为红球，种，所以共有种．19．（23-24高二下·北京大兴·期中）用0，1，2，3，4，5这6个数字组成三位自然数.(1)各位数字可以重复的三位数有多少个？(2)比300大且各位数字不重复的三位偶数有多少个？【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分步计数原理，即可求解；（2）分百位是3，5或4两种情况，计算三位偶数的个数.【详解】（1）百位有5种方法，十位和个位都有6种方法，所以共有种方法；（2）百位是3或5时，个位有3种方法，十位有4种方法，所以满足条件的偶数有种方法，当百位是4时，个位有2种方法，十位有4种方法，满足条件的偶数有种方法，共有种方法.20．（2024高二下·上海普陀·阶段练习）某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．(1)若从两队中选2人值日，则有多少种不同的选法？（结果用数字表示）(2)若从甲、乙两队各选2人参加值日，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？（结果用数字表示）(3)让甲组成员排成一排，若女生身高互不相等，女生从左到右按高矮顺序排，有多少种不同排法？（结果用数字表示）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）对选出的2人进行讨论，再由分类加法计数原理得出答案；（2）以男生的选法进行分类，再由分类加法计数原理得出答案；（3）由除序法求解即可.【详解】（1）从甲组中选2人，共有种；从乙组中选2人，共有种；从甲组和乙组中各选1人，共有种；则由分类加法计数原理可知，有种不同的选法.（2）当这名男生选自甲组，共有种；当这名男生选自乙组，共有种；则由分类加法计数原理可知，有种不同的选法（3）因为女生身高互不相等，女生从左到右按高矮顺序排，所以有种不同排法.21．（2024·江西九江·模拟预测）已知的展开式中所有项的系数和是243．(1)求n的值，并求展开式中二项式系数最大的项；(2)求值．【答案】(1)，展开式中二项式系数最大的项为与(2)121【分析】（1）令可得n的值，再根据二项式系数的公式分析二项式系数最大项即可；（2）由（1），即求，再根据的展开式，令化简求解即可【详解】（1）由题意，令有，解得，故展开式中二项式系数中最大的为，为第3项与第4项，即展开式中二项式系数最大的项为与（2）由（1），即求，，故令有，故.22．（2024高二上·全国·课后作业）设．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，由求出的值，求出的值，即可求出的值；（2）由求出的值，由求出的值，两式相减即可求出的值；（3）根据展开式的通项公式知，结合展开式的各项系数，即可求出的值．【详解】（1）由，令，得，则；令，得，则，所以；（2）令，得①，令，得②，①②得，，所以；（3）根据展开式的通项公式知，，为负，，为正；令，所以．
专题6.5 计数原理（基础巩固卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2024高三上·天津河北·阶段练习）在的展开式中，的系数是（ ）A．35 B． C．560 D．【答案】C【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，所以的展开式中的系数为.故选：C2．（23-24高二下·云南昆明·期中）的展开式中，含的项的系数为（ ）A． B．40 C．80 D．120【答案】A【分析】利用二项式展开式的通项公式求解.【详解】解：因为的展开式中，通项为，所以含的项的系数为．故选：A3．（2024高三上·天津滨海新·阶段练习）若的展开式的二项式系数之和为，则的展开式中的系数为（ ）A．8 B．28 C．56 D．70【答案】C【分析】根据二项式系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的展开式的二项式系数之和，则展开式的通项公式为：，令，所以的系数为.故选：C4．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（ ）A．12种 B．48种 C．72种 D．120种【答案】C【分析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节即可得．【详解】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为.故选：C．5．（23-24高二下·江苏盐城·期中）在10件产品中，有8件合格品，2件不合格品，从这10件产品中不放回地抽取2次，每次抽取1件产品.若已知有一次为合格品，则另一次也是合格品的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据组合数公式的计算和古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】有一次为合格品，另一次可能为合格品或不合格品，有（种）；两次均为合格品则有（种），有古典概型的概率计算公式可得，，故选：B.6．（2024·安徽淮北·一模）淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科.若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有（ ）（同一半天如果有两科考试不计顺序）A． B． C． D．【答案】A【解析】先考虑将六科分为四组，科目数分别为、、、进行全排，减去语文、数学、物理三科中有两科放在同一个半天考的排法种数，即可得解.【详解】先考虑将六科分为四组，科目数分别为、、、进行全排，排法种数为.接下来考虑语文、数学、物理三科中有两科放在同一个半天考的排法，可在这三科中选两科放一组，其余四科分为三组，科目数分别为、、，排法种数为.综上所述，共有.故选：A.【点睛】本题考查了排列应用，考查了间接法的应用，考查了数学运算能力，属于中等题.7．（2024·河北·一模）为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（ ）A．144种 B．162种 C．216种 D．288种【答案】A【分析】利用排列组合公式进行合理分类讨论即可.【详解】分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有种，第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，剩余一本作为一组，再分给3名同学，共有方法；第二种情况：从4本里任选2本作为一组，剩余的两本作为一组，有种分法，分给3名同学中的2名同学，有种分法，剩余1名同学，从这4本中任选一本阅读，有种分法，共有种方法.故这三名同学选取图书的不同情况有种.故选：A.8．（2024高二下·江苏苏州·阶段练习）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为【答案】D【分析】由二项式系数之和为64，可得，得，所以二项式为，然后写出二项式展开式的通式公式，然后逐个分析判断．【详解】因为的二项展开式中二项式系数之和为64，所以，得，所以二项式为，则二项式展开式的通式公式，对于A，令，可得二项展开式中各项系数之和为，所以A错；对于B，第4项的二项式系数最大，此时，则二项展开式中二项式系数最大的项为，所以B错；对于C，令，则，所以二项展开式中的常数项为，所以C错误；对于D，令第项的系数最大，则，解得，因为，所以时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为，所以D正确，故选：D．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于先求得，然后结合二项式展开式的通式公式．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）下列各式正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用排列数与组合数公式计算可以判断BC；特殊值法可以判断AD.【详解】对于A，取，则，，所以，故A错误；对于B，因为，，所以，故B正确；对于C，因为，，所以，故C正确；对于D，取，则，，所以，故D错误.故选：BC.10．（23-24高二下·福建福州·期中）关于的展开式，则（ ）A．所有项的二项式系数和为128B．所有项系数和为1C．常数项为70D．二项式系数最大的项为第4项【答案】BD【分析】写出展开式的通项，二项式中，令即可得出常数项，令，得到各项系数和，二项式系数和为，即可判断；【详解】二项式展开式的通项为令，解得，则常数项为，故C不正确；且二项式系数最大的项为第4项，故D正确；二项式系数和；令，得所有项的系数和为1，故A错误，B正确；故选：BD11．（2024高二下·江苏常州·阶段练习）某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）A．若任意选择三门课程，选法总数为B．若物理和化学至少选一门，选法总数为C．若物理和历史不能同时选，选法总数为D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为20【答案】CD【分析】利用组合的概念可判断A；利用分类考虑，物理和化学只选一门、物理和化学都选，可判断B；利用间接法可判断C；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算可判断D．【详解】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法，由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，只选物理不选历史，有种选法，选化学，不选物理，有种选法，物理与化学都选，不选历史，有种选法故总数为种，故D正确．故选：CD.12．（2024高二下·河北石家庄·期末）对于任意实数，有，则下列结论成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由题设有，写出展开式通项，A、B令、分别求系数，C由，再应用赋值法求值，D赋值法令求值即可.【详解】由，其展开式通项公式为，A：当时，，故，正确；B：当时，，故，错误；C：由，则，故当时，，又，则，正确；D：当时，，正确.故选：ACD填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2024·河南·一模）的展开式中,项的系数为 ．【答案】56【分析】由，然后利用二项式的通项公式即得.【详解】因为，展开式的通项公式为，因此取可得和，故所求项的系数为，故答案为：．14．（23-24高三上·上海嘉定·期中）在的二项展开式中任取一项，则该项系数为无理数的概率为 ．【答案】【分析】首先求得二项式展开式的通式，根据通式确定展开式中无理项的个数，再根据古典概率求解即可.【详解】的展开式的通式，当，为无理数，得：概率为故答案为：15．（2024高二下·山西大同·阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为 ．【答案】72【分析】根据题意，分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．【详解】分4步进行分析：①，对于区域，有4种颜色可选；②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域、有种选择，则不同的涂色方案有种；故答案为：7216．（2024高三下·浙江杭州·开学考试）已知，则= ，= ．【答案】;【分析】（1）由，写出展开式中含的项，即可确定系数；（2）将题设等式两边求导，再令即可求值.【详解】由题设，，则，即；对等式两边求导得：，∴当时，.故答案为：-240；0【点睛】关键点点睛：第二空，将等式两侧同时求导，得到新的多项式，利用赋值法求系数和即可.解答题（共6小题，满分70分）17．（2024高二下·陕西西安·期末）解方程：(1)；(2)；(3)，求．【答案】(1)(2)(3)28【分析】对于(1)和(2)，可直接利用排列数公式进行求解；对于(3)，可利用组合数公式的阶乘形式：进行求解.【详解】（1），，由，得到：又，化简得到：所以.（2）由，即， ，又，所以得到：，即所以 ，解得：或（舍去），所以.（3），可化为，化简为，即，所以或又，所以.18．（2024高二下·山东菏泽·阶段练习）口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球．(1)至少有一个白球的取法有多少种？(2)两球的颜色相同的取法有多少种？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解；（2）根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解；【详解】（1）根据题意分2类完成任务：第一类：白球红球各一个有种，第二类：均为白球，种，所以共有种；（2）根据题意分2类完成任务：第一类：均为白球，种，第二类：均为红球，种，所以共有种．19．（23-24高二下·北京大兴·期中）用0，1，2，3，4，5这6个数字组成三位自然数.(1)各位数字可以重复的三位数有多少个？(2)比300大且各位数字不重复的三位偶数有多少个？【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分步计数原理，即可求解；（2）分百位是3，5或4两种情况，计算三位偶数的个数.【详解】（1）百位有5种方法，十位和个位都有6种方法，所以共有种方法；（2）百位是3或5时，个位有3种方法，十位有4种方法，所以满足条件的偶数有种方法，当百位是4时，个位有2种方法，十位有4种方法，满足条件的偶数有种方法，共有种方法.20．（2024高二下·上海普陀·阶段练习）某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．(1)若从两队中选2人值日，则有多少种不同的选法？（结果用数字表示）(2)若从甲、乙两队各选2人参加值日，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？（结果用数字表示）(3)让甲组成员排成一排，若女生身高互不相等，女生从左到右按高矮顺序排，有多少种不同排法？（结果用数字表示）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）对选出的2人进行讨论，再由分类加法计数原理得出答案；（2）以男生的选法进行分类，再由分类加法计数原理得出答案；（3）由除序法求解即可.【详解】（1）从甲组中选2人，共有种；从乙组中选2人，共有种；从甲组和乙组中各选1人，共有种；则由分类加法计数原理可知，有种不同的选法.（2）当这名男生选自甲组，共有种；当这名男生选自乙组，共有种；则由分类加法计数原理可知，有种不同的选法（3）因为女生身高互不相等，女生从左到右按高矮顺序排，所以有种不同排法.21．（2024·江西九江·模拟预测）已知的展开式中所有项的系数和是243．(1)求n的值，并求展开式中二项式系数最大的项；(2)求值．【答案】(1)，展开式中二项式系数最大的项为与(2)121【分析】（1）令可得n的值，再根据二项式系数的公式分析二项式系数最大项即可；（2）由（1），即求，再根据的展开式，令化简求解即可【详解】（1）由题意，令有，解得，故展开式中二项式系数中最大的为，为第3项与第4项，即展开式中二项式系数最大的项为与（2）由（1），即求，，故令有，故.22．（2024高二上·全国·课后作业）设．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，由求出的值，求出的值，即可求出的值；（2）由求出的值，由求出的值，两式相减即可求出的值；（3）根据展开式的通项公式知，结合展开式的各项系数，即可求出的值．【详解】（1）由，令，得，则；令，得，则，所以；（2）令，得①，令，得②，①②得，，所以；（3）根据展开式的通项公式知，，为负，，为正；令，所以．
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