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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课堂检测
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课堂检测，文件包含专题63平面向量的数量积运算5类必考点原卷版docx、专题63平面向量的数量积运算5类必考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc128038719" 【考点1：求向量的数量积】 PAGEREF _Tc128038719 \h 1
\l "_Tc128038721" 【考点2：利用向量的数量积求模】 PAGEREF _Tc128038721 \h 2
\l "_Tc128038723" 【考点3：利用向量的数量积求夹角】 PAGEREF _Tc128038723 \h 3
\l "_Tc128038725" 【考点4：向量垂直与向量的数量积关系】 PAGEREF _Tc128038725 \h 3
\l "_Tc128038727" 【考点5：投影向量】 PAGEREF _Tc128038727 \h 5
【考点1：求向量的数量积】
【知识点：求向量的数量积】
1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量||||cs θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cs θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·＝0.
(2)几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cs θ的乘积．
2．平面向量数量积的运算律
(1) ·＝· (交换律)．
(2)λ·＝λ(·)＝·(λb)(结合律)．
(3)( ＋)·＝·c＋· (分配律)．
[易错提醒]
(1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
(2)两向量，的数量积·与代数中，的乘积写法不同，不能省略掉其中的“·”．
1．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（ ）
A．4B．C．2D．
2．（2024·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）在边长为6的菱形ABCD中，，，则=（ ）
A．15B．C．30D．20
3．（2024·河南·模拟预测）中，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．2
4．（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中学校考阶段练习）如图，半径为为圆上两点，若，则（ ）
A．4B．2C．D．
5．（2024·贵州黔东南·高二校考期末）在矩形中，，点分别是的中点，则 ．
【考点2：利用向量的数量积求模】
【知识点：利用向量的数量积求模】
1．（2024上·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期末）已知单位向量与单位向量的夹角为，则（ ）
A．2B．C．D．
2．（2024上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知平面向量，均为单位向量，且它们的夹角为，则（ ）
A．7B．3C．D．1
3．（2024·山西大同·高三统考期末）设向量，满足，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．（2024上·河北张家口·高三统考期末）已知向量，的夹角为，，，则 ．
5．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知单位向量满足，则 .
6．（2024·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知向量，，满足：，且，则的取值范围是 ．
【考点3：利用向量的数量积求夹角】
【知识点：利用向量的数量积求夹角】
1．（2024·全国·模拟预测）若向量，，且，则 ．
2．（2024·全国·模拟预测）已知向量在向量上的投影向量为，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·青海西宁·高三统考期中）已知向量，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【考点4：向量垂直与向量的数量积关系】
【知识点：向量垂直与向量的数量积关系】
1．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）若向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知向量的夹角为，，则 ， ．
4．（2024上·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为
5．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）设，为两个单位向量，且，若与垂直，则 .
6．（2023下·陕西西安·高一期中）已知向量满足，且的夹角为.
(1)求的模；
(2)若与互相垂直，求λ的值.
7．（2024·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习），的夹角为，，.
(1)求；
(2)若与互相垂直，求.
【考点5：投影向量】
【知识点：投影向量】
在上的投影向量为：.
1．（福建省泉州市2023届高三毕业班质量监测（二）数学试题）已知向量a，b满足a+b=a−b，则a+b在a方向上的投影向量为（ ）
A．aB．bC．2aD．2b
2．（2022秋·安徽六安·高三校联考期末）已知△ABC中，O为BC的中点，且BC=4，AB+AC=AB−AC，∠ACB=π6，则向量AO在向量AB上的投影向量为（ ）
A．14ABB．13ABC．12ABD．AB
3．（2023·福建·统考一模）平面向量m,n满足|m|=|n|=1，对任意的实数t，m−12n≤|m+tn|恒成立，则（ ）
A．m与n的夹角为60°B．(m+tn)2+(m−tn)2为定值
C．|n−tm|的最小值为12D．m在m+n上的投影向量为12(m+n)
4．（2023·高一课时练习）已知向量a=6，e为单位向量，当向量a、e的夹角等于45°时，则向量a在向量e方向上的投影向量是________．
5．（2023·高一课时练习）设向量a、b满足a,b=π3，且a=2b，若c为b在a方向上的投影向量，并满足c=λa，则λ=________．几何表示
模
||＝
几何表示
夹角
cs θ＝
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc128038719" 【考点1：求向量的数量积】 PAGEREF _Tc128038719 \h 1
\l "_Tc128038721" 【考点2：利用向量的数量积求模】 PAGEREF _Tc128038721 \h 2
\l "_Tc128038723" 【考点3：利用向量的数量积求夹角】 PAGEREF _Tc128038723 \h 3
\l "_Tc128038725" 【考点4：向量垂直与向量的数量积关系】 PAGEREF _Tc128038725 \h 3
\l "_Tc128038727" 【考点5：投影向量】 PAGEREF _Tc128038727 \h 5
【考点1：求向量的数量积】
【知识点：求向量的数量积】
1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量||||cs θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cs θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·＝0.
(2)几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cs θ的乘积．
2．平面向量数量积的运算律
(1) ·＝· (交换律)．
(2)λ·＝λ(·)＝·(λb)(结合律)．
(3)( ＋)·＝·c＋· (分配律)．
[易错提醒]
(1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
(2)两向量，的数量积·与代数中，的乘积写法不同，不能省略掉其中的“·”．
1．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（ ）
A．4B．C．2D．
2．（2024·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）在边长为6的菱形ABCD中，，，则=（ ）
A．15B．C．30D．20
3．（2024·河南·模拟预测）中，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．2
4．（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中学校考阶段练习）如图，半径为为圆上两点，若，则（ ）
A．4B．2C．D．
5．（2024·贵州黔东南·高二校考期末）在矩形中，，点分别是的中点，则 ．
【考点2：利用向量的数量积求模】
【知识点：利用向量的数量积求模】
1．（2024上·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期末）已知单位向量与单位向量的夹角为，则（ ）
A．2B．C．D．
2．（2024上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知平面向量，均为单位向量，且它们的夹角为，则（ ）
A．7B．3C．D．1
3．（2024·山西大同·高三统考期末）设向量，满足，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．（2024上·河北张家口·高三统考期末）已知向量，的夹角为，，，则 ．
5．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知单位向量满足，则 .
6．（2024·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知向量，，满足：，且，则的取值范围是 ．
【考点3：利用向量的数量积求夹角】
【知识点：利用向量的数量积求夹角】
1．（2024·全国·模拟预测）若向量，，且，则 ．
2．（2024·全国·模拟预测）已知向量在向量上的投影向量为，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·青海西宁·高三统考期中）已知向量，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【考点4：向量垂直与向量的数量积关系】
【知识点：向量垂直与向量的数量积关系】
1．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）若向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知向量的夹角为，，则 ， ．
4．（2024上·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为
5．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）设，为两个单位向量，且，若与垂直，则 .
6．（2023下·陕西西安·高一期中）已知向量满足，且的夹角为.
(1)求的模；
(2)若与互相垂直，求λ的值.
7．（2024·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习），的夹角为，，.
(1)求；
(2)若与互相垂直，求.
【考点5：投影向量】
【知识点：投影向量】
在上的投影向量为：.
1．（福建省泉州市2023届高三毕业班质量监测（二）数学试题）已知向量a，b满足a+b=a−b，则a+b在a方向上的投影向量为（ ）
A．aB．bC．2aD．2b
2．（2022秋·安徽六安·高三校联考期末）已知△ABC中，O为BC的中点，且BC=4，AB+AC=AB−AC，∠ACB=π6，则向量AO在向量AB上的投影向量为（ ）
A．14ABB．13ABC．12ABD．AB
3．（2023·福建·统考一模）平面向量m,n满足|m|=|n|=1，对任意的实数t，m−12n≤|m+tn|恒成立，则（ ）
A．m与n的夹角为60°B．(m+tn)2+(m−tn)2为定值
C．|n−tm|的最小值为12D．m在m+n上的投影向量为12(m+n)
4．（2023·高一课时练习）已知向量a=6，e为单位向量，当向量a、e的夹角等于45°时，则向量a在向量e方向上的投影向量是________．
5．（2023·高一课时练习）设向量a、b满足a,b=π3，且a=2b，若c为b在a方向上的投影向量，并满足c=λa，则λ=________．几何表示
模
||＝
几何表示
夹角
cs θ＝
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