2024-2025 学年高中数学人教A版必修一专题1.9 常用逻辑用语专题中的3个重难点

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专题1.9 常用逻辑用语专题中的3个重难点TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc8692" 【考点1：充分、必要、充要条件的判断与证明】  PAGEREF _Toc8692 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc22485" 【考点2：充分、必要、充要条件与集合的关系】  PAGEREF _Toc22485 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc31951" 【考点3：求参数的范围】  PAGEREF _Toc31951 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc12938" 【押题专练】 12【考点1：充分、必要、充要条件的判断与证明】【知识点：充分、必要、充要条件的判断与证明】若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．若p⇔q，则p是q的充要条件．若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件．若p⇏q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件．1．（2023秋·宁夏吴忠·高三盐池高级中学校考阶段练习）使不等式2x−4≥0成立的一个充分不必要条件是（    ）A．x<2 B．x≤0或x≥2C．x∈2,3,5 D．x≥2【答案】C【分析】由题意要选的是xx≥2的真子集.【详解】由2x−4≥0得x≥2，因为选项中只有2,3,5⊂≠xx≥2，故只有C选项中的条件是使不等式2x−4≥0成立的一个充分不必要条件．故选：C.2．（2023秋·湖南益阳·高三统考阶段练习）“m>3”是“关于x的一元二次方程x2−mx+1=0有实数根”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先化简方程x2−mx+1=0有实数根得到m≥2，再利用集合的关系判断得解.【详解】因为关于x的一元二次方程x2−mx+1=0有实数根，所以Δ=m2−4≥0，所以m≤−2或m≥2，因为m∣m>3是集合m∣m≤−2或m≥2的真子集，所以“m>3”是“关于x的一元二次方程x2−mx+1=0有实数根”的充分不必要条件.故选：A.3．（2021秋·江苏连云港·高一东海县石榴高级中学校考阶段练习）设a∈R，则“a=−2”是“关于x的方程x2+x+a=0有实数根”的（    ）A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分性和必要性的定义进行求解判断即可.【详解】因为关于x的方程x2+x+a=0有实数根，所以该方程的判别式Δ=1−4a≥0⇒a≤14，显然由a=−2能推出a≤14，但是由a≤14不一定能推出a=−2，所以“a=−2”是“关于x的方程x2+x+a=0有实数根”的充分条件，故选：A4．（2023·全国·高一专题练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ）A．必要条件 B．充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】利用充分必要条件判断即可得解.【详解】由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，故选：A.5．（河南省新乡市卫辉市第一中学等2校2022-2023学年高一上学期期末数学试题）“a=b”是“a2+b2+c2=ab+bc+ac”的（    ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】化简已知条件，根据充分条件、必要条件的概念可得解.【详解】由a2+b2+c2=ab+bc+ac，得a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2=0，即(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0，则a=b=c，所以“a=b”是“a2+b2+c2=ab+bc+ac”的必要不充分条件．故选：A6．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）设p:a>1>b,q:ab+11>b，则a−1>0,b−1<0，所以a−1b−1<0，所以ab+11>b，所以p不是q的必要条件，故p是q的充分不必要条件．故选：A.7．（多选）（2023·全国·高一专题练习）下列选项中p是q的必要不充分条件的有（    ）A．p：a≤1，q：a<1 B．p：A∩B=A，q：A∪B=B C．p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等D．p：x2+y2=1，q：x=1,y=0 【答案】AD【分析】根据充分、必要条件的定义分别判断各选项中两个命题的逻辑推理关系即可．【详解】A：∵a<1成立，则必有a≤1，而当a≤1时，不一定有a<1，∴p是q的必要不充分条件，∴A正确，B：∵p：A∩B=A，∴A⊆B，∵q：A∪B=B，∴A⊆B，∴p是q的充要条件，∴B错误，C：∵两个三角形全等，则两个三角形面积相等，但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等，∴p是q的充分不必要条件，∴C错误，D：当x=1,y=0时，则x2+y2=1，反之，当x2+y2=1时，x=1,y=0不一定成立，∴p是q的必要不充分条件，∴D正确，故选：AD．8．（2023秋·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）“x≠0或y≠0”是“x2+y2≠0”的 条件.【答案】充要【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】命题“若x≠0或y≠0，则x2+y2≠0”是真命题，命题“若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0”是真命题，所以“x≠0或y≠0”是“x2+y2≠0”的充要条件.故答案为：充要9．（2023·江苏·高一专题练习）设a,b,c分别为△ABC的三边BC,AC,AB的长，求证：关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx−b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.【答案】证明见解析【分析】设两个方程公共实数根x0，代入方程化简得到(a−c)x0+b2=0，求得x0=b2c−a，代入x02+2ax0+b2=0，得到b2+c2=a2，证得必要性成立；由∠A=90°，可得b2=a2−c2，代入两个方程，化简得到两方程有公共实数根x=−(a+c)，进而得到充分性成立，即可得证.【详解】证明：必要性：设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx−b2=0有公共实数根x0，则x02+2ax0+b2=0,x02+2cx0−b2=0两式相减并整理，可得(a−c)x0+b2=0因为b≠0,a−c≠0，所以x0=b2c−a，将此式代入x02+2ax0+b2=0中，整理得b2+c2=a2，故∠A=90°.充分性：因为∠A=90°，可得b2+c2=a2，所以b2=a2−c2，将b2=a2−c2代入方程x2+2ax+b2=0中，可得x2+2ax+a2−c2=0，即(x+a−c)(x+a+c)=0，将b2=a2−c2代入方程x2+2cx−b2=0中，可得x2+2cx+c2−a2=0，即(x+c−a)(x+c+a)=0故两方程有公共实数根x=−(a+c).所以关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx−b2=0有公共实数根的充要条件∠A=90°.【考点2：充分、必要、充要条件与集合的关系】【知识点：充分、必要、充要条件与集合的关系】【方法技巧】充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．1．（2023秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知x∈R，若集合M={1,x}，N={1,2,3}，则“x=2”是“M⊆N”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】若x=2，则M=1,2，所以M⊆N，故充分性满足；若M⊆N，则x=2或3，显然必要性不满足；所以“x=2”是“M⊆N”的充分不必要条件.故选：A2．（2023秋·甘肃兰州·高三校考阶段练习）若A=x2a−11，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ．【答案】{a|a≤−2或a≥1}【分析】依题意有AB，根据集合的包含关系，列不等式求实数a的取值范围.【详解】因为A是B的充分不必要条件，所以AB，又A=x2a−11，因此2a+1≤−3或2a−1≥1，解得a≤−2或a≥1所以实数a的取值范围是{a|a≤−2或a≥1}．故答案为：{a|a≤−2或a≥1}3．（2023·全国·高一专题练习）若集合A=xx>−2，B=xx≤m,m∈R，试写出：(1)A∪B=R的一个既充分也必要条件；(2)A∪B=R的一个必要条件但不是充分条件.【答案】(1)m≥−2；(2)m≥−3.【分析】（1）首先求出集合A，再根据集合A∪B=R，求出参数m的取值范围，（2）由（1）即可求出A∪B=R的一个必要条件但不是充分条件.【详解】（1）（1）因为集合A={x∣x>−2}，B={x∣x≤m,m∈R}，若A∪B=R，则m≥−2，故A∪B=R的一个既充分也必要条件是m≥−2.（2）由（1）知A∪B=R的充要条件是m≥−2，所以A∪B=R的一个必要条件但不是充分条件可以是m≥−3.（答案不唯一）.4．（2023春·四川绵阳·高二盐亭中学校考阶段练习）设命题 p​: 实数x​满足M=x∣−2≤x≤5​， 命题q​: 实数x​满足N=x∣1−2m≤x≤2+m​.(1)若命题“ ∀x∈M，x∈N​”是真命题， 求实数m​的取值范围;(2)若命题 p​是命题q​的必要不充分条件， 求实数m​的取值范围.【答案】(1)m≥3(2)m≤32【分析】（1）由题意知，∀x∈M,x∈N，然后根据M⊆N求解即可；（2）命题 p​是命题q​的必要不充分条件,然后按照N​是M​的真子集求解即可；【详解】（1）因为命题" ∀x∈M,x∈N​"是真命题，所以M⊆N​，所以 1−2m≤−22+m≥5​解得m≥3​，即实数m​的取值范围是m≥3​.（2）命题 p​是命题q​的必要不充分条件,所以N​是M​的真子集，若 1−2m>2+m​即m<−13​，此时N=∅​，满足N​是M​的真子集，若 1−2m≤2+m​即m≥−13​，因为N​是M​的真子集，所以1−2m≥−22+m≤5,​解得−13≤m≤32​，经检验 m=32​时，N=x∣−2≤x≤72​满足N​是M​的真子集，综上，实数 m​的取值范围是m≤32​.5．（2023秋·江西新余·高一新余市第一中学校考开学考试）设全集U=R，集合A=x|1≤x≤5，集合B={x|−1−2a≤x≤a−2}．(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；(2)若命题“∀x∈B，则x∈A”是真命题，求实数a的取值范围．【答案】(1)a≥7；(2)a<13.【分析】（1）根据给定条件，利用集合的包含关系列出不等式求解作答.（2）将问题转化为B⊆A，再分空集和非空集合讨论求解作答.【详解】（1）由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得AB，又A=x|1≤x≤5，B={x|−1−2a≤x≤a−2}，因此−1−2a<1a−2≥5或−1−2a≤1a−2>5，解得a≥7，所以实数a的取值范围为a≥7.（2）命题“∀x∈B，则x∈A”是真命题，则有B⊆A，当B=∅时，−1−2a>a−2，解得a<13，符合题意，因此a<13；当B≠∅时，而A=x|1≤x≤5，B={x|−1−2a≤x≤a−2}，则1≤−1−2a≤a−2≤5，无解，所以实数a的取值范围a<13.6．（2023·全国·高一专题练习）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|−2≤x≤5}.(1)若a=3，求(∁UP)∩Q；(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】(1){x|−2≤x<4}(2)a≤2【分析】（1）将a=3代入求出集合P，Q，再由补集及交集的意义即可计算得解.（2）由给定条件可得PQ，再根据集合包含关系列式计算作答.【详解】（1）因a=3，则P={x|4≤x≤7}，则有∁UP={x|x<4或x>7}，又Q={x|−2≤x≤5}，所以(∁UP)∩Q={x|−2≤x<4}.（2）“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，于是得PQ，当a+1<2a+1，即a<0时，P=∅，又Q≠∅，即∅Q，满足PQ，则a<0，当P≠∅时，则有a+1≤2a+1a+1≥−22a+1<5或a+1≤2a+1a+1>−22a+1≤5，解得0≤a<2或0≤a≤2，即0≤a≤2，综上得：a≤2，所以实数a的取值范围是a≤2.7．（2023秋·天津武清·高一校考阶段练习）已知集合A=xx≤−1或x≥5，B=x2a≤x≤a+2．(1)若a=−1，求A∩B和A∪B；(2)若x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)A∩B=x−2≤x≤−1，A∪B=xx≤1或x≥5(2)aa>2或a≤−3【分析】（1）根据集合交集和并集的定义进行求解即可；（2）根据必要条件的性质进行求解即可.【详解】（1）∵a=−1，∴B=x−2≤x≤1，∴A∩B=x−2≤x≤−1，A∪B=xx≤1或x≥5；（2）∵x∈A是x∈B的必要条件，∴B⊆A∴当B=∅时，则有2a>a+2，解得a>2．满足题意．当B≠∅时，有2a≤a+2a+2≤−11，或2a≤a+22a≥52，由不等式组1可得a≤−3，不等式组2无解．综上所述，实数a的取值范围是aa>2或a≤−3.8．（2023秋·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）已知集合A=x−1≤x≤32，非空集合B=x1−m1−m3m+1≤321−m>−1，得00恒成立”是假命题的一个充分不必要条件是（    ）A．a<0 B．a≤0 C．a≥3 D．a<0或a>3【答案】ACD【分析】先讨论a=0和a≠0时求出“∀x∈R，ax2−2ax+3>0恒成立”对应的a的范围，再利用充分不必要条件的性质即可得解.【详解】当∀x∈R，ax2−2ax+3>0恒成立时，当a=0时，3>0恒成立，满足题意，当a≠0时，a>0Δ=4a2−12a<0，解得00恒成立”对应的a的范围为0,3，所以命题“∀x∈R，ax2−2ax+3>0恒成立”是假命题时，对应的a的范围为{a|a<0或a≥3}，故它的一个充分不必要条件是{a|a<0或a≥3}的真子集，故ACD正确.故选：ACD.2．（2023秋·宁夏吴忠·高三盐池高级中学校考阶段练习）“∀x∈R,x2−2x−a≥0”为真命题，则实数a的最大值为 .【答案】−1【分析】由Δ=(−2)2+4a≤0可求出结果.【详解】因为“∀x∈R,x2−2x−a≥0”为真命题，所以Δ=(−2)2+4a≤0，即a≤−1.所以实数a的最大值为−1.故答案为：−13．（2023·全国·高一专题练习）已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+1≠0”的否定为真命题，则实数a的取值范围是 .【答案】aa≤1【分析】根据命题的否定为真命题，转化为方程有解问题，即可求解.【详解】命题p的否定是“∃x∈R，ax2+2x+1=0”，为真命题，问题等价于ax2+2x+1=0有解，即Δ=4−4a≥0a≠0或a=0，解得a≤1.故答案为：aa≤14．（2023·江苏·高一专题练习）命题“∃x∈R,使mx2−mx−34≥0”是假命题，则实数m的取值范围为 ．【答案】−30成立；命题q:∃x∈R,x2+4mx+1<0成立．(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p真q假，求实数m的取值范围．【答案】(1)−30恒成立.（2）解出“命题q假”所对应的实数m的取值范围并与（1）中m的取值范围作交集.【详解】（1）因为命题p:∀x∈R,x2−2mx−3m>0为真命题.所以x2−2mx−3m>0在R上恒成立，则判别式Δ=−2m2−4×−3m<0，即m2+3m<0⇔mm+3<0解得−30即4m2−1>0⇔2m−12m+1>0解得m<−12或m>12.则命题q为假命题时，−12≤m≤12，故命题p真q假时，m满足−12≤m<0.所以实数m的取值范围为−12≤m<0.1．（2023·高一课时练习）集合的关系如图所示，那么“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由Venn图可知是的真子集，所以“”是“”的充分非必要条件，故选A．考点：充分必要条件．2．（2023春·江苏无锡·高二辅仁高中校考期中）已知x,y∈R，则“x=y”是“x+3=y+3”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，我们可先假设“x=y”成立，然后判断“x+3=y+3”是否一定成立；然后假设“x+3=y+3”成立，再判断“x=y”是否一定成立，然后结合充要条件的定义，即可得到结论．【详解】解：当“x=y”成立时，“x+3=y+3”一定成立，即“x=y” ⇒ “x+3=y+3”为真假命题；但当“x+3=y+3”成立时，x=y或x+y+6=0即“x=y”不一定成立，即“x+3=y+3” ⇒ “x=y”为假命题；故“x=y”是“x+3=y+3”的充分不必要条件故选：A．【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．（2023秋·高一单元测试）已知命题p:∃x∈R,x2+(a−1)x+1<0，若命题p是假命题，则a的取值范围为（    ）A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3C．10，都有2x2−λx+1≥0”是真命题，则实数λ可能的值是（   ）A．1 B．22 C．3 D．32【答案】AB【分析】求出二次函数的对称轴为x=λ4，分别对λ4≤0和λ4>0进行分类讨论，即可得到答案【详解】解：二次函数y=2x2−λx+1的对称轴为x=λ4，①若λ4≤0即λ≤0，如图，由图像可知当x>0时y随x的增大而增大，且x=0时y=1，即y>1满足题意；②若λ4>0时λ>0，如图，由图像可知y的最小值在对称轴处取得，则x=λ4时，ymin=λ28−λ24+1=1−λ28≥0，解得−22≤λ≤22，此时，0<λ≤22，综上，λ≤22，故选：AB．5．（多选）（2023·全国·高一专题练习）下列命题为真命题的是（    ）A．A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件B．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件C．A∪B=A是B⊆A的充分不必要条件D．a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是a=b=c【答案】BD【分析】由已知，选项A，可举例当A=∅时，判断是否满足必要性；选项B，选项C，选项D，可根据条件和结论分别验证充分性和必要性.【详解】选项A，必要性：A⊆B，当A=∅时，此时A∩B=∅，该选项错误；选项B，x，y中有一个数为有理数时，xy不一定为有理数（如：1×2=2），所以x或y为有理数不一定能推导出xy为有理数；xy为有理数时，x，y可能均为无理数（如：2×2=2），所以，此时xy为有理数不一定能推导出x或y为有理数，所以该选项正确；选项C，充分性：A∪B=A⇒B⊆A，必要性：B⊆A⇒A∪B=A，应为充要条件，所以该选项错误；选项D，必要性：a2+b2+c2=ab+bc+ca，所以a2+c2+b2+c2+a2+c2=2ab+2bc+2ca，即a−c2+b−c2+a−b2=0，所以a=b=c；充分性：a=b=c，则a2+b2+c2=3a2=ab+bc+ac，该选项正确.故选：BD.6．（2023·高一课时练习）若对于一切x∈R且x≠0，都有x>ax，求实数a的取值范围．【答案】a−10，由x>ax得a<|x|x=1；若x<0，由x>ax得a>|x|x=−1.若对于一切x∈R且x≠0，都有x>ax，则实数a的取值范围是{a|－10.(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【答案】(1){a|−2≤a≤10}；(2){m|00，根据Q⊂≠P可得不等式组，解不等式组可求得结果.【详解】（1）∵命题p为真命题，∴方程4x2−2ax+2a+5=0有两个相等的实数根或无实数根，∴Δ=−2a2−4×4×2a+5≤0，解得：−2≤a≤10.∴实数a的取值范围是{a|−2≤a≤10}.（2）设P=a−2≤a≤10，Q=a1−m≤a≤1+m,m>0，由题意得：Q⊂≠P，∴m>01−m≥−21+m<10或m>01−m>−21+m≤10，解得：00，因此C={x1,x2}，又x1∈A,x2∈A，因此不妨设x1=1，x2=2，则m=x1+x2=3．∴m的取值集合是{3}．【点睛】关键点点睛：本题考查由充分必要条件求参数，解题方法是根据充分条件，必要条件的定义得出集合中元素的性质，从而得出结论．也可由充分必要条件与集合包含之间的关系确定集合的关系，从而得出结论．11．（2023·高一课时练习）已知集合A=x−11+a，即a<0时，B=x1+a−1,1−a<3,解得−20时，B=x1−a−1,1+a<3,解得0