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所属成套资源：2024-2025 学年高中数学人教A版必修一必考点专题
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数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式精品同步达标检测题
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这是一份数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式精品同步达标检测题，文件包含专题23二次函数与一元二次方程不等式5类必考点人教A版2019必修第一册原卷版docx、专题23二次函数与一元二次方程不等式5类必考点人教A版2019必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc26861" 【考点1：三个“二次”之间的关系】 PAGEREF _Tc26861 \h 1
\l "_Tc9136" 【考点2：解不含参的一元二次不等式】 PAGEREF _Tc9136 \h 3
\l "_Tc20784" 【考点3：解含参的一元二次不等式】 PAGEREF _Tc20784 \h 4
\l "_Tc17673" 【考点4：一元二次不等式存在性或恒成立问题】 PAGEREF _Tc17673 \h 6
\l "_Tc32197" 【考点5：利用一元二次不等式解决实际问题】 PAGEREF _Tc32197 \h 8
【考点1：三个“二次”之间的关系】
【知识点：三个“二次”之间的关系】
1．（2022秋·江苏盐城·高一江苏省上冈高级中学校联考期中）已知不等式ax2+bx−1>0的解集为{x|3A．3B．4C．5D．6
2．（多选）（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x∣x<−3或x>4}，则下列结论正确的有（ ）
A．a>0
B．不等式bx+c>0的解集为{x∣x<−6}
C．a+b+c>0
D．不等式cx2−bx+a<0的解集为x∣x<−14或x>13
3．（多选）（2022秋·湖南永州·高一校考期中）已知方程x2+ax+b=0(a>0)有且只有一个实数根，则（ ）
A．a2−b2≤4
B．a2+1b≥4
C．若不等式x2+ax−b<0的解集为{x|x10
D．若不等式x2+ax−b<0的解集为{x|x14．（多选）（2022秋·黑龙江鸡西·高一校考阶段练习）已知关于x的不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 x|−1A．a>0
B．x=−1是方程ax2+bx+c =0的根
C．cx2+bx+a>0的解集为x|−1D．cx2+bx+a>0的解集为x|x<−1或x>12
5．（2023·高一课时练习）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(−3,2)，则不等式cx2+bx+a>0的解集为 ．
7．（2023·高一校考课时练习）已知不等式ax2+5x+c>0的解集是x∣138．（2023·高一课时练习）利用函数与不等式的关系．
(1)若不等式ax2−5x+b>0的解集为−23,14，求不等式ax2+5x+b<0的解集；
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,2)，求不等式cx2−bx+a>0的解集．
【考点2：解不含参的一元二次不等式】
【知识点：解不含参的一元二次不等式】
1．（2022秋·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）设x∈R，则x<2是x2−2x<0的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（多选）（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）下列不等式的解集为R的是（ ）
A．x2+6x+10>0B．x2+25x+5>0
C．−x2+x−2<0D．2x2−3x−3<0
3．（2023春·湖南怀化·高二校考期中）不等式8−x2>2x的解集是 .
4．（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）关于x的不等式x2−2x−3<0解集是 ．
（2023·高一校考课时练习）
（1）2x2−3x−2>0
（2）x2−3x+5>0
（3）−6x2−x+2≥0
（4）−4x2≥1−4x
【考点3：解含参的一元二次不等式】
【知识点：解含参的一元二次不等式】
①二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；
②当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系；
③确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
1．（2023春·江西赣州·高二统考期末）不等式ax2−a+2x+2≥0(a>0)的解集可能为（ ）
A．RB．∅
C．{x|x≤1或x≥2a}D．{x|x≤2a或x≥1}
2．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x的不等式ax2+(1−2a2)x−2a<0的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（ ）
A．−1B．32C．74D．2
3．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）设区间m,n的长度为n−m.已知一元二次不等式(x+a)x−5a≤0(a>0)的解集的区间长度为l，则（ ）
A．当a=1时，l=6
B．l的最小值为4
C．当a=1时，l=5
D．l的最小值为25
4．（2022秋·云南曲靖·高一校考期末）已知a<0，则不等式x2−2ax−3a2<0的解集为 ．
5．（2023·高一校考课时练习）解关于x的不等式：ax2−a+1x+1<0.
6．（2023·高一校考课时练习）解关于x的不等式: ax2−2a+1x+a+1<0.
7．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为x∣2≤x≤3
(1)若a>0，且不等式ax2+b−3x−c≤0有且仅有10个整数解，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式：ax2+b−1x+5<0.
【考点4：一元二次不等式存在性或恒成立问题】
【知识点：一元二次不等式存在性或恒成立问题】
方法一：①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0.))
②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0.))
方法二：将一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题.
1．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）“−3A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）若命题“∀x∈R,x2+ax+4>0”为真命题，则实数a的取值范围为 .
3．（2023春·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）若不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 .
4．（江西省南昌市部分学校2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题）已知x∈R，∃a∈2,4，使得x2+ax+a2≥x+am−1成立，则m的取值范围为 .
5．（2022秋·河南开封·高一校考期末）若不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是 .
6．（2023秋·新疆喀什·高一校联考期末）（1）已知不等式kx2+2kx－k+2<0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若不等式−x2+2x+3≤a2−3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
7．（2023春·福建三明·高二统考期末）使不等式4x2+4kx>8x−k对一切实数x恒成立的k的取值范围记为集合A，不等式x2−3mx+2m−1m+1<0的解集为B．
(1)求集合A；
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．
8．（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设y=ax2+(1−a)x+a−2．
(1)若不等式y≥−2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式ax2+(1−a)x−1<0a∈R．
【考点5：利用一元二次不等式解决实际问题】
【知识点：利用一元二次不等式解决实际问题】
1．（2023·高一课时练习）某商品在最近30天内的价格m与时间t (单位：天)的函数关系是m=t+10(0A．{t|15≤t≤20,t∈N}B．{t|10≤t≤15,t∈N}
C．{t|102．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按t%征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少52t万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（ ）
A．{t|1≤t≤3}B．{t|2≤t≤4}
C．{t|3≤t≤5}D．{t|4≤t≤6}
3．（2022秋·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P（单位：元/件）与月销售量x（单位：件）之间的关系为P=160−2x，生产x件的成本（单位：元）R=500+30x.若每月获得的利润y（单位：元）不少于1300元，则该厂的月销售量x的取值范围为（ ）
A．{x|20C．{x|204．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长x（单位：m）的取值范围是（ ）
A．x15≤x≤20B．x12≤x≤25
C．x10≤x≤30D．x20≤x≤30
5．（多选）（2023·全国·高一假期作业）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的20%，则桶的容积可能为（ ）
A．7B．9C．11D．13
6．（2023春·福建·高二统考学业考试）如图，在长为8m，宽为6m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 m．
7．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）某商场新进一批风衣，在市场试销中发现，此风衣的销售价p（元/件）与日销售量x之间的关系为p＝160－2x，总成本R为（500＋30x）元，该商场的日销售量在什么范围时，每天获得的利润不少于1300元？
8．（2023·全国·高一假期作业）学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围．
9．（2023·高一课时练习）某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(010．（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：s甲=0.01x2−0.1x，s乙=0.005x2−0.05x，问：甲、乙两车有无超速现象？判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|xx2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc26861" 【考点1：三个“二次”之间的关系】 PAGEREF _Tc26861 \h 1
\l "_Tc9136" 【考点2：解不含参的一元二次不等式】 PAGEREF _Tc9136 \h 3
\l "_Tc20784" 【考点3：解含参的一元二次不等式】 PAGEREF _Tc20784 \h 4
\l "_Tc17673" 【考点4：一元二次不等式存在性或恒成立问题】 PAGEREF _Tc17673 \h 6
\l "_Tc32197" 【考点5：利用一元二次不等式解决实际问题】 PAGEREF _Tc32197 \h 8
【考点1：三个“二次”之间的关系】
【知识点：三个“二次”之间的关系】
1．（2022秋·江苏盐城·高一江苏省上冈高级中学校联考期中）已知不等式ax2+bx−1>0的解集为{x|3
2．（多选）（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x∣x<−3或x>4}，则下列结论正确的有（ ）
A．a>0
B．不等式bx+c>0的解集为{x∣x<−6}
C．a+b+c>0
D．不等式cx2−bx+a<0的解集为x∣x<−14或x>13
3．（多选）（2022秋·湖南永州·高一校考期中）已知方程x2+ax+b=0(a>0)有且只有一个实数根，则（ ）
A．a2−b2≤4
B．a2+1b≥4
C．若不等式x2+ax−b<0的解集为{x|x1
D．若不等式x2+ax−b<0的解集为{x|x1
B．x=−1是方程ax2+bx+c =0的根
C．cx2+bx+a>0的解集为x|−1
5．（2023·高一课时练习）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(−3,2)，则不等式cx2+bx+a>0的解集为 ．
7．（2023·高一校考课时练习）已知不等式ax2+5x+c>0的解集是x∣13
(1)若不等式ax2−5x+b>0的解集为−23,14，求不等式ax2+5x+b<0的解集；
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,2)，求不等式cx2−bx+a>0的解集．
【考点2：解不含参的一元二次不等式】
【知识点：解不含参的一元二次不等式】
1．（2022秋·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）设x∈R，则x<2是x2−2x<0的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（多选）（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）下列不等式的解集为R的是（ ）
A．x2+6x+10>0B．x2+25x+5>0
C．−x2+x−2<0D．2x2−3x−3<0
3．（2023春·湖南怀化·高二校考期中）不等式8−x2>2x的解集是 .
4．（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）关于x的不等式x2−2x−3<0解集是 ．
（2023·高一校考课时练习）
（1）2x2−3x−2>0
（2）x2−3x+5>0
（3）−6x2−x+2≥0
（4）−4x2≥1−4x
【考点3：解含参的一元二次不等式】
【知识点：解含参的一元二次不等式】
①二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；
②当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系；
③确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
1．（2023春·江西赣州·高二统考期末）不等式ax2−a+2x+2≥0(a>0)的解集可能为（ ）
A．RB．∅
C．{x|x≤1或x≥2a}D．{x|x≤2a或x≥1}
2．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x的不等式ax2+(1−2a2)x−2a<0的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（ ）
A．−1B．32C．74D．2
3．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）设区间m,n的长度为n−m.已知一元二次不等式(x+a)x−5a≤0(a>0)的解集的区间长度为l，则（ ）
A．当a=1时，l=6
B．l的最小值为4
C．当a=1时，l=5
D．l的最小值为25
4．（2022秋·云南曲靖·高一校考期末）已知a<0，则不等式x2−2ax−3a2<0的解集为 ．
5．（2023·高一校考课时练习）解关于x的不等式：ax2−a+1x+1<0.
6．（2023·高一校考课时练习）解关于x的不等式: ax2−2a+1x+a+1<0.
7．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为x∣2≤x≤3
(1)若a>0，且不等式ax2+b−3x−c≤0有且仅有10个整数解，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式：ax2+b−1x+5<0.
【考点4：一元二次不等式存在性或恒成立问题】
【知识点：一元二次不等式存在性或恒成立问题】
方法一：①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0.))
②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0.))
方法二：将一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题.
1．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）“−3
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）若命题“∀x∈R,x2+ax+4>0”为真命题，则实数a的取值范围为 .
3．（2023春·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）若不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 .
4．（江西省南昌市部分学校2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题）已知x∈R，∃a∈2,4，使得x2+ax+a2≥x+am−1成立，则m的取值范围为 .
5．（2022秋·河南开封·高一校考期末）若不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是 .
6．（2023秋·新疆喀什·高一校联考期末）（1）已知不等式kx2+2kx－k+2<0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若不等式−x2+2x+3≤a2−3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
7．（2023春·福建三明·高二统考期末）使不等式4x2+4kx>8x−k对一切实数x恒成立的k的取值范围记为集合A，不等式x2−3mx+2m−1m+1<0的解集为B．
(1)求集合A；
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．
8．（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设y=ax2+(1−a)x+a−2．
(1)若不等式y≥−2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式ax2+(1−a)x−1<0a∈R．
【考点5：利用一元二次不等式解决实际问题】
【知识点：利用一元二次不等式解决实际问题】
1．（2023·高一课时练习）某商品在最近30天内的价格m与时间t (单位：天)的函数关系是m=t+10(0
C．{t|10
A．{t|1≤t≤3}B．{t|2≤t≤4}
C．{t|3≤t≤5}D．{t|4≤t≤6}
3．（2022秋·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P（单位：元/件）与月销售量x（单位：件）之间的关系为P=160−2x，生产x件的成本（单位：元）R=500+30x.若每月获得的利润y（单位：元）不少于1300元，则该厂的月销售量x的取值范围为（ ）
A．{x|20
A．x15≤x≤20B．x12≤x≤25
C．x10≤x≤30D．x20≤x≤30
5．（多选）（2023·全国·高一假期作业）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的20%，则桶的容积可能为（ ）
A．7B．9C．11D．13
6．（2023春·福建·高二统考学业考试）如图，在长为8m，宽为6m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 m．
7．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）某商场新进一批风衣，在市场试销中发现，此风衣的销售价p（元/件）与日销售量x之间的关系为p＝160－2x，总成本R为（500＋30x）元，该商场的日销售量在什么范围时，每天获得的利润不少于1300元？
8．（2023·全国·高一假期作业）学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围．
9．（2023·高一课时练习）某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
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