【暑假衔接】新高三（高二升高三）暑假自学专题15平面向量（教师版+学生版）

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基础知识复习
1．向量的有关概念
2.向量的线性运算
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
【知识拓展】
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(—————→))＋eq \(A2A3,\s\up6(—————→))＋eq \(A3A4,\s\up6(—————→))＋…＋eq \(A n－1An,\s\up6(—————————→))＝eq \(A1An,\s\up6(—————→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
3.eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
【知识拓展】
1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).
7．平面向量的数量积
8.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cs θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5)|a·b|≤|a||b|.
9．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))) .
【知识拓展】
1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．
2．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
典型习题强化
1．已知△ABC中，∠A=60∘，AB=4，AC=6，且CM=2MB，AN=NB，则AC⋅NM=（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【解析】
解：AB⋅AC=AB⋅AC⋅csA=4×6×12=12，
且NM=NB+BM=12AB+13BC=12AB+13AC−AB=16AB+13AC
所以：AC⋅NM=AC⋅16AB+13AC=16AB⋅AC+13|AC|2=16×12+13×36=14．
故选：B.
2．已知向量a=1,2，b=m,−1，若a∥b，则a⋅b=（ ）
A．−32B．32C．−52D．52
【答案】C
【解析】
因为向量a=1,2，b=m,−1，a//b，
所以−1−2m=0，m=−12，
所以 a⋅b=−12−2=−52.
故选：C.
3．艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列关系错误的是（ ）
A．AD+DB=OB−OAB．AO⋅BE=0
C．AC+AD=3AOD．AO⋅AD=BO⋅BD
【答案】C
【解析】
对于A，AD+DB=AB,OB−OA=AB，故A正确，
对于B：因为AB=AE，OB=OE，所以AO⊥BE，故B正确，
对于C：由题意O是△ACD的外心，不是△ACD的重心
设CD中点为M，则|AM|=|AO|+|OM|=|AO|+|AO|cs36°=|AO|⋅2cs218°，
AC+AD=4cs218°AO，故C错误，
对于D：AO⋅AD=12|AD|2=12|BD|2=BO⋅BD，故D正确．
故选：C
4．已知不共线的平面向量a,b,c两两所成的角相等，且a=1,b=4,a+b+c=7，则c=（ ）
A．2B．2C．3D．2或3
【答案】D
【解析】
由不共线的平面向量a，b，c两两所成的角相等，可设为θ，则θ=2π3.设|c|=m.
因为a=1，b=4，a+b+c=7，所以a+b+c2=7，
即a2+2a⋅b+b2+2b⋅c+2a⋅c+c2=7，
所以12+2×1×4cs2π3+42+2×4×mcs2π3+2×1×mcs2π3+m2=7
即m2−5m+6=0，解得：m=2或3.
所以|c|=2或3
故选：D
5．已知O为坐标原点，P1P=−2PP2，若P11,2、P22,−1，则与OP共线的单位向量为（ ）
A．3,−4B．3,−4或−3,4
C．35,−45或−35,45D．35,−45
【答案】C
【解析】
由P1P=−2PP2得P1P+2PP2=0，即P1P2+PP2=0，P1P2=P2P，
OP2−OP1=OP−OP2，
OP=2OP2−OP1=2(2,−1)−(1,2)=(3,−4)，
OP=32+(−4)2=5，
与OP同向的单位向量为OPOP=(35,−45)，反向的单位向量为(−35,45)．
故选：C．
6．已知△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则AF⋅BC的值为（ ）
A．12B．38C．−12D．−38
【答案】B
【解析】
如图所示，根据向量的线性运算法则，可得AF=AE+EF，
因为AB=AC=1，且E为BC的中点，可得AE⊥BC，所以AE⋅BC=0，
又因为点D，E分别是边AB，BC的中点，且DE=2EF，所以DE=2EF=14AC，
则AF⋅BC=(AE+EF)⋅BC=EF⋅BC=14AC⋅BC=14⋅1⋅3⋅cs30°=38.
故选：B.
7．如图在△ABC中，∠ABC=90°，F为AB中点，CE=3，CB=8，AB=12，则EA⋅EB=（ ）
A．−15B．−13C．13D．15
【答案】C
【解析】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(12,0)，B(0,0)，C(0,8)，F(6,0)，
又CE=3，CB=8，AB=12，
则CF=CB2+BF2=10，
即CE=310FC，即FE=710FC，
则BE=BF+710FC=6,0+710−6,8=95,285，
则EA=515,−285，EB=−95,−285，
则EA⋅EB=515×−95+−2852=13；
故选：C．
8．如图，在△ABC中，M，N分别是线段AB，AC上的点，且AM=23AB，AN=13AC，D，E是线段BC上的两个动点，且AD+AE=xAM+yAN(x,y∈R)，则1x+2y的的最小值是（ ）
A．4B．43C．94D．2
【答案】B
【解析】
设AD=mAB+nAC，m+n=1，AE=λAB+μAC，λ+μ=1，
则AD+AE=mAB+nAC+λAB+μAC=(m+λ)AB+(n+μ)AC=32(m+λ)AM+3(n+μ)AN=xAM+yAN，32(m+λ)=x，3(n+μ)=y⇒m+λ=23x，n+μ=13y，m+λ+n+μ=2⇒23x+13y=2⇒2x+y=6.
所以1x+2y=16(2x+y)1x+2y=162+2+yx+4xy≥162+2+2yx×4xy=43，
当且仅当x=32，y=3时等号成立.
所以1x+2y的的最小值是43.
故选：B
9．P､Q､R是等腰直角三角形ABC（∠A=π2）内的点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA，∠ACQ=∠CBQ=∠BAQ，sinARA+sinBRB+sinCRC=0，则下列说法正确的是（ ）
A．PA⋅PB>QA⋅QB>RA⋅RB
B．QA⋅QB>PA⋅PB>RA⋅RB
C．RA⋅RB>PA⋅PB>QA⋅QB
D．RA⋅RB>QA⋅QB>PA⋅PB
【答案】C
【解析】
∵sinARA+sinBRB+sinCRC=0
∴a2RRA+b2RRB+c2RRC=0 (正弦定理)
∴aRA+bRB+cRC=0
∴cRC=−aRA−bRB
∴cRC=−aRC+CA−bRC+CB
∴a+b+cOC=aAC+bBC=abACb+abBCa=abACAC+BCBC
∴R在∠ACB的角平分线上, 同理可证R在∠BAC,∠ABC的角平分线上,
∴R为内心
如图所示
由∠APB=∠BPC=∠CPA知,这三个角都是120∘
且P在∠BAC的平分线AR上,延长AR交BC于点D
取AB=6,则BD=AD=32,∠PBC=30∘
得PD=BD3=6,PB=26,PA=AD−PD=32−6
所以PA⋅PB=32−6⋅26⋅cs120∘=6−63
记△ABC的周长为C△ABC
由题意知R是△ABC的内心,内切圆半径RD=2S△ABCC△ABC=366+6+62=6−32
RA=AD−RD=62−6
所以RB⋅RA=RD+DB⋅RA=RD⋅RA+DB⋅RA
=−6−32⋅62−6+0=72−542
由∠ACQ=∠BAQ,且∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=90∘
则∠ACQ+∠CAQ=90∘
所以∠AQC=90∘,即AQ⊥CQ,则Q在以AC为直径的圆上
由∠CBQ=∠ACQ,且∠ACQ+∠BCQ=∠ACB=45∘
所以∠CBQ+∠BCQ=45∘,得∠BQC=135∘,∠AQB=135∘
由∠BQC=∠AQB,∠BCQ=∠ABQ,得△BQC~△AQB
所以BQAQ=BCAB=2
设AQ=x,BQ=2x,在△ABQ中由余弦定理得
x2+2x2−62=2x⋅2x⋅cs135∘,
解得 x2=365
所以QA⋅QB=x⋅2x⋅cs135∘=−x2=−365=−7.2
由 PA⋅PB=6−63≈6−6×1.732=−4.392
RB⋅RA=72−542≈−4.356
所以 RB⋅RA>PA⋅PB>QA⋅QB
故选:C
10．△ABC中，AB=2，∠ACB=π4，O是△ABC外接圆圆心，是OC⋅AB+CA⋅CB的最大值为（ ）
A．0B．1C．3D．5
【答案】C
【解析】
过点O作OD⊥AC,OE⊥BC，垂足分别为D，E，如图，因O是△ABC外接圆圆心，则D，E分别为AC，BC的中点，
在△ABC中，AB=CB−CA，则|AB|2=|CA|2+|CB|2−2CA⋅CB，即CA⋅CB=|CA|2+|CB|2−22，
CO⋅CA=CO|CAcs∠OCA=CD⋅CA=12CA|2，同理CO⋅CB=12|CB|2，
因此，OC⋅AB+CA⋅CB=OC⋅CB−CA+CA⋅CB=CO⋅CA−CO⋅CB+CA⋅CB
=12|CA|2−12|CB|2+|CA|2+|CB|2−22=|CA|2−1，
由正弦定理得：|CA|=|AB|sinBsin∠ACB=2sinBsinπ4=2sinB≤2，当且仅当B=π2时取“=”，
所以OC⋅AB+CA⋅CB的最大值为3.
故选：C
11．已知△ABC是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．若角C=π3，则AB⋅AO=12
B．若2OA+AB+AC=0，则|BC|=4
C．若|OA−OB|=OA⋅OB，则OA，OB的夹角为π3
D．若(BC+BA)⋅AC=|AC|2，则AB为圆O的一条直径
【答案】BC
【解析】
对于A，作OD垂直于AB.垂足为D，则AD=12AB ,
由正弦定理得AB=2×2×sinC=4×sinπ3=23 ，
故AB⋅AO=|AB|⋅|AO|⋅cs∠BAO=|AB|⋅|AD|=12×(23)2=6,故A错误；
对于B,由2OA+AB+AC=0得，OA+AB+OA+AC=0，
即OB+OC=0,则点O为BC的中点，即BC为圆的直径，故|BC|=4，B正确；
对于C，设OA，OB的夹角为θ ，
由|OA−OB|=OA⋅OB得，|OA−OB|2=(OA⋅OB)2，即8−8csθ=16cs2θ ，
解得csθ=12 或csθ=−1，
由于|OA−OB|=OA⋅OB>0，故csθ=12,θ∈(0,π)，故θ=π3，
则OA，OB的夹角为π3，C正确；
对于D,由 (BC+BA)⋅AC=|AC|2得(BC+BA)⋅AC−|AC|2=(BC+BA−AC)⋅AC=0，
即(BC+BA+CA)⋅AC=0,2BA⋅AC=0，则BC为圆O的一条直径，D错误，
故选:BC
12．已知点P在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若P为△ABC的垂心，AB⋅AC=2，则AP⋅AB=2
B．若△ABC为边长为2的正三角形，则PA⋅PB+PC的最小值为-1
C．若△ABC为锐角三角形且外心为P，AP=xAB+yAC且x+2y=1，则AB=BC
D．若AP=1ABcsB+12AB+1ACcsC+12AC，则动点P的轨迹经过△ABC的外心
【答案】AC
【解析】
A：如下图，BE⊥AC,AD⊥BC，则P为垂心，易知：Rt△AEP~Rt△ADC，
所以AEAD=APAC，则AE×AC=AP×AD，
根据向量数量积的几何意义知：AB⋅AC=AE×AC=2，同理AP⋅AB=AP×AD，
所以AP⋅AB=2，正确；
B：构建以BC中点O为原点的直角坐标系，则A(0,3)，若P(x,y)，
所以PA=(−x,3−y)，PO=(−x,−y)，
由PB+PC=2PO=(−2x,−2y)，则PA⋅PB+PC=2x2+2y2−23y=2x2+2(y−32)2−32，
当x=0,y=32时PA⋅PB+PC的最小值为−32，错误；

C：由题设AP=(1−2y)AB+yAC，则AP−AB=y(AC−2AB)，
所以BP=y(BC+BA)，若D为AC中点，则BC+BA=2BD，
故BP=2yBD，故B,P,D共线，又PD⊥AC，即BD垂直平分AC，
所以AB=BC，正确；
D：由题设，AP=ABABcsB+ACACcsC+12(AB+AC)，
则AP⋅BC=AB⋅BCABcsB+AC⋅BCACcsC+12(AB+AC)⋅BC=12(AB+AC)⋅BC，
所以2AP⋅BC=(AB+AC)⋅BC，若D为BC中点，则AB+AC=2AD，
故AP⋅BC=AD⋅BC，则P的轨迹不经过△ABC的外心，错误.
故选：AC
13．定义平面向量的一种运算“Θ”如下：对任意的两个向量a=x1,y1，b=x2,y2，令aΘb=x1y2−x2y1,x1x2+y1y2，下面说法一定正确的是（ ）
A．对任意的λ∈R，有λaΘb=λaΘb
B．存在唯一确定的向量e使得对于任意向量a，都有aΘe=eΘa=a成立
C．若a与b垂直，则aΘbΘc与aΘbΘc共线
D．若a与b共线，则aΘbΘc与aΘbΘc的模相等
【答案】AD
【解析】
设向量a=x1,y1，b=x2,y2，对于A，对任意的λ∈R，有λaΘb=λx1,λy1Θx2,y2=λx1y2−λx2y1,λx1x2+λy1y2
=λx1y2−x2y1,x1x2+y1y2=λaΘb，故A正确；
对于B，假设存在唯一确定的向量e=x0,y0使得对于任意向量a，都有aΘe=eΘa=a成立，即x1y0−x0y1,x1x0+y1y0=x0y1−x1y0,x0x1+y0y1=x1,y1恒成立，即方程组
x1y0−x0y1=x0y1−x1y0=x1x1x0+y1y0=y1，对任意x1,y1恒成立，而此方程组无解，故B不正确；
对于C，若a与b垂直，则x1x2+y1y2=0，设c=x3,y3，则aΘbΘc=x1y2−x2y1,0Θx3,y3=x1y2y3−x2y1y3,x1y2x3−x2y1x3，
aΘbΘc=x1,y1Θx2y3−x3y2,x2x3+y2y3
=x1x2x3+x1y2y3−y1x2y3+y1x3y2,x1x2y3−x1y2x3+y1x2x3+y1y2y3
=x1y2y3−y1x2y3,−x1y2x3+y1x2x3≠μx1y2y3−y1x2y3,x1y2x3−y1x2x3，其中μ∈R，故C不正确；
对于D，若a与b共线，则x1y2−x2y1=0，设c=x3,y3，
aΘbΘc=0,x1x2+y1y2Θx3,y3=−x1x2x3−y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3，
aΘbΘc=x1x2x3+x1y2y3−y1x2y3+y1y2x3,x1x2y3−x1y2x3+y1x2x3+y1y2y3
=x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3，所以aΘbΘc与aΘbΘc的模相等，故D正确.
故选：AD.
14．已知向量a，b的夹角为45°，a=2，且a⋅b=2，若λa+b⊥b，则λ=______．
【答案】-2
【解析】
因为a⋅b=abcs45°=2得b=2，
又因为λa+b⊥b，
所以λa+b⋅b=λa⋅b+b2=2λ+4=0，所以λ=−2．
故答案为：-2.
15．已知a，b 是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c 满足a−cb−2c=0， 则c 的最大值为__________．
【答案】52
【解析】
以a 为x轴，b 为y轴，建立直角坐标系，
则a=1,0 ，b=0,1 ，设c=x,y ，
依题意有a−c=1−x,−y ，b−2c=−2x,1−2y ，
a−c⋅b−2c=−2x1−x−y1−2y=0 ，
即x−122+y−142=516 ，向量c 的终点在圆心为12,14 ，半径为54 的圆上，
∴c 的最大值=122+142+54=52 ；
故答案为：52 .
16．已知平面向量x，y，z，|x|=12|y|=|z|=x⋅y=1，则12x+z+12y−z的取值范围是__________．
【答案】[3,7]
【解析】
设x，y的夹角为θ，∵|x|=12|y|=|z|=x⋅y=1，∴csθ=x⋅yx⋅y=12，
∵θ∈0,π，∴θ=π3.
如图，由题可设x=OA=(1,0)，y=OB=(1,3)，z=OC=(x,y)，
其中O为原点，C在单位圆上，记E−12,0，假设存在一点Fx0,y0，使得CE=12CF
则有(x+12)2+y2=14[(x−x0)2+(y−y0)2]
∴4(x2+x+14)+y2=x2−2x⋅x0+x02+y2−2y⋅y0+y02，
∴3x2+3y2+(4+2x0)x+2y0y+1−x02−y02=0
又∵x2+y2=1，∴4+2x03=02y03=0x02+y02−13=1解得x0=−2y0=0.
所以存在点F(−2,0)，使得CE=12CF.
∴12x+z+12y−z=|−OE+OC|+12|OB−OC|=EC+12CB=|CF|+|CB|2，
且直线BF的方程为y=33(x+2)，即x−3y+2=0，圆心O到直线的距离为1.
所以BF与圆相切，所以当B,C,F三点共线时，|CF|+|CB|2取得最小值为BF2=3，
如图，C在C1位置时， 因为BF=23，|C1B|+|C1F|=27，且27>25，
由椭圆定义可知，此时C1在以B，F为焦点的椭圆上，
当C在其他位置时，C在椭圆内部，
所以(|CB|+|CF|)的最大值为|C1B|+|C1F|=27，即|CF|+|CB|2的最大值为7.
∴12x+z+12y−z∈[3,7].
故答案为：[3,7]．
17．平面内给定两个向量a=3,1，b=−1,2.
(1)求3a+2b；
(2)若a+kb//2a−b，求实数k的值.
【答案】(1)72
(2)k=−12
【解析】
(1)解：由已知3a+2b=33,1+2−1,2=7,7，因此，3a+2b=2×72=72.
(2)解：由已知a+kb=3,1+k−1,2=3−k,1+2k，2a−b=23,1−−1,2=7,0，
因为a+kb//2a−b，则1+2k=0，解得k=−12.
18．如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2DC=2，∠BAD=π3，E是BC边的中点.
(1)试用AB，AD表示AC，EC；
(2)求DB⋅EC的值.
【答案】(1)AC=AD+12AB，EC=12AD−14AB
(2)−34
【解析】
(1)AC=AD+DC=AD+12AB，
EC=AC−AE=AC−12AC+AB=12AC−12AB=12AD−14AB.
(2)AD=12(AB−DC)csπ3=1212=1，
DB=AB−AD，
DB⋅EC=AB−AD⋅12AD−14AB=−14|AB|2−12|AD|2+34AB⋅AD
=−14|AB|2−12|AD|2+34|AB|⋅|AD|⋅csπ3
=−14×4−12×1+34×2×1×12
=−34.
19．两个非零向量a,b不共线．
(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a−b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)求实数k使ka+b与2a+kb共线．
【答案】(1)证明见解析；
(2)k=±2.
【解析】
(1)证明：因为AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a−b)，
所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a−b)=5a+5b，则BD=5AB，
所以BD,AB共线，两个向量有公共点B，
所以A、B、D三点共线.
(2)若ka+b与2a+kb共线，则存在实数μ，使得ka+b=μ2a+kb=2μa+kμb，
所以k=2μ1=kμ⇒1=2μ2⇒μ=±22，
所以k=2μ=±2.
20．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，AD为∠BAC的角平分线，已知c=2且a2+c2−b2=23−2csAbc，AD=655.
(1)求△ABC的面积；
(2)设点E,F分别为边AB,AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求AG⋅EF的最小值.
【答案】(1)245
(2)4825
【解析】
(1)由余弦定理可得：a2+c2−b2=2accsB，则2accsB=23−2csAbc，
∴acsB=13b−bcsA，由正弦定理得：sinAcsB=13sinB−csAsinB，
∴sinAcsB+csAsinB=sinA+B=sinπ−C=sinC=13sinB，则c=13b；
又c=2，∴b=6，
∵ABsin∠ADB=BDsin∠BAC2，ACsin∠ADC=CDsin∠BAC2，又sin∠ADC=sinπ−∠ADB=sin∠ADB，∴cb=ABAC=BDCD=13，
设BD=t，则CD=3t，
∵cs∠BAC2=AB2+AD2−BD22AB⋅AD=AD2+AC2−CD22AD⋅AC，即4+365−t24×655=36+365−9t212×655，解得：t=2105，∴BC=4t=8105，
∴cs∠BAC=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=4+36−128524=35，则sin∠BAC=45，
∴S△ABC=12AB⋅ACsin∠BAC=12×2×6×45=245.
(2)设AE=m0由（1）知：BD=13DC；
∴AD=AB+BD=AB+14BC=AB+14AC−AB=34AB+14AC；
设AG=λAD，则AG=3λ4AB+λ4AC，
∵E,F,G三点共线，∴可令AG=μAE+1−μAF=mμ2AB+1−μn6AC，
则3λ4=mμ2λ4=1−μn6，解得：μ=nm+n，∴AG=mn2m+2nAB+mn6m+6nAC；
又EF=AF−AE=n6AC−m2AB，AB⋅AC=AB⋅ACcs∠BAC=365，
∴AG⋅EF=mn2m+2nAB+mn6m+6nAC⋅n6AC−m2AB=−m2n4m+4nAB2+mn236m+36nAC2+mnn−m12m+12nAB⋅AC=−m2nm+n+mn2m+n+3mnn−m5m+5n=−8m2n+8mn25m+5n=85⋅mnn−mm+n；
∵S△AEF=12S△ABC=12mnsin∠BAC=25mn=125，∴mn=6，
∴AG⋅EF=485⋅n−mm+n=485⋅6m−m6m+m=485⋅6−m26+m2=485⋅126+m2−1，
∵0名称
定义
备注
向量
既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
非零向量a的单位向量为±eq \f(a,|a|)
平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积