【暑假衔接】新高三（高二升高三）暑假自学专题14解三角形（教师版+学生版）

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基础知识复习
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
3.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
【知识拓展】
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；(4)cs eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；
b＝acs C＋ccs A；
c＝bcs A＋acs B.
4.实际测量中的常见问题
【知识拓展】
实际问题中的常用术语
1．仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．
2．方向角
相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
3．方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
4．坡度(又称坡比)
坡面的垂直高度与水平长度之比．
典型习题强化
1．在△ABC中，a=3，B=π3，b=3，则c的值为（ ）
A．3B．23C．33D．3
【答案】B
【解析】
由余弦定理可得9=b2=a2+c 2 −2accsπ3=3+c2−3c，即c2−3c−6=0，
∵c>0，解得c=23.
故选：B.
2．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且c=2acsB，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】A
【解析】
因为c=2acsB，所以sinC=2sinAcsB，
即sinA+B=sinAcsB+csAsinB=2sinAcsB，
整理得到sinAcsB−csAsinB=sinA−B=0，
因为0即A−B=0，A=B，△ABC为等腰三角形.
故选：A
3．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 （ ）
A．206海里B．406海里C．20(1+3)海里D．40海里
【答案】A
【解析】
由题意可知CD=40,∠ADC=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°，
所以∠CAD=45°,∠ADB=60°，
在△ACD中，由正弦定理得ADsin30°=40sin45°，得AD=202，
在Rt△BCD中，因为∠BDC=45°,∠BCD=90°，
所以BD=2CD=402，
在△ABD中，由余弦定理得
AB=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB
=800+3200−2×202×402×12
=2400=206，
故选：A
4．在△ABC中，AC＝3，BC=7，AB＝2，则AB边上的高等于（ ）
A．32B．262C．332D．23
【答案】C
【解析】
在△ABC中，由余弦定理得：csA=AC2+AB2−BC22AC⋅BC=32+22−(7)22×3×2=12，
则有sinA=1−cs2A=32，所以AB边上的高ℎ=ACsinA=332.
故选：C
5．已知△ABC的三边a､b､c满足：a3+b3=c3，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定
【答案】A
【解析】
因为a3+b3=c3,所以c>a,c>b
两边同除以c3,得ac3+bc3=1
因为01.所以a2+b2>c2
即csC=a2+b2−c22ab>0
所以C为锐角,又C为最大角,所以此三角形是锐角三角形
故选：A
6．在锐角△ABC中，若3sinA(csAa+csCc)=sinBsinC，且3sinC+csC=2，则a+b的取值范围是（ ）
A．23,4B．2,23C．0,4D．2,4
【答案】A
【解析】
由3sinC+csC=2sin(C+π6)=2，得C+π6=π2+2kπ，k∈Z，
∵C∈(0,π2)，∴C=π3．由题csAa+csCc=sinBsinC3sinA，由正弦定理有csAa+csCc=b⋅323a=b2a，故csAsinA+csCsinC=b2sinA，即csA⋅sinC+sinA⋅csC=bsinC2=3b4，故sinA+C=sinB=3b4，即bsinB=433，由正弦定理有asinA=bsinB=csinC=433，故a=433sinA，b=433sinB，又锐角△ABC，且C=π3，∴A∈(0,π2)，B=2π3−A∈(0,π2)，解得A∈(π6，π2)，∴a+b=433(sinA+sinB)=433[sinA+sin(2π3−A)]=433(sinA+32csA+12sinA)=4sin(A+π6)，
∵A∈(π6，π2)，∴A+π6∈(π3，2π3)，sin(A+π6)∈(32，1]，
∴a+b的取值范围为23,4．
故选：A．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的分别为a，b，c，下列结论错误的是（ ）
A．若a＝2，b＝2021，c＝2022，则△ABC为钝角三角形
B．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形
C．若a：b：c＝2：3：4，则△ABC中最小的内角为A，且A∈0,π6
D．若a＝2，c=6，C=π3，则B=5π12
【答案】B
【解析】
在△ABC中，最大的内角为C，csC=a2+b2−c22ab=22+20112−202222×2×2011<0，故△ABC为钝角三角形，A正确．
因为sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A+B=π2，故△ABC是等腰三角形或直角三角形，B错误．
设a＝2x，b＝3x，c＝4x（x>0），△ABC中最小的内角为A，由余弦定理知csA=b2+c2−a22bc=9x2+16x2−4x224x2=78．因为32<78<1，所以0sinA=asinCc=2×326=22．因为0a，所以C>A．则A=3π4不符合题意，舍去，故B=π−π3−π4=5π12，D正确．
故选：B.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinC=23sinBsinA，b=λa，则实数λ的最小值是（ ）
A．323B．32+3C．2−3D．2+3
【答案】C
【解析】
由sinC=23sinBsinA，可得c=23bsinA，
由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccsA ，
两式结合得：a2=12b2sin2A+b2−2b×23bsinAcsA，
即a2b2=12sin2A+1−23sin2A=7−6cs2A−23sin2A，
即a2b2=7−43sin(2A+π3),A∈(0,π)，
则当A=7π12时，(a2b2)max=7+43，则(b2a2)min=17+43=7−43，
故由λ=ba 可得其最小值为7−43=2−3 ，
故选：C
9．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2bcsB，且b≠c，则下列命题正确的有（ ）个
①A=2B ②角B的取值范围是0,π4
③csA的取值范围是0,12 ④ab的取值范围是(2,3)
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
解：因为a=2bcsB，由正弦定理可得sinA=2sinBcsB=sin2B，
所以A=2B或A+2B=π．
因为b≠c，所以B≠C，
所以A+2B≠A+B+C=π，则A=2B，故①正确．
因为A+B+C=π，所以C=π−A−B=π−3B．
因为△ABC是锐角三角形，
所以0即0<2B<π20所以22利用正弦定理：ab=sinAsinB=sin2BsinB=2csB∈(2,3)，故②错误，④正确．
因为A=2B，所以π3所以0故选：C．
10．在面积为S的锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S=12c2，则tanAtanB的最小值为（ ）
A．92B．4C．23D．2
【答案】B
【解析】
解：由S=12c2，所以12bcsinA=12c2，可得bsinA=c，由正弦定理可得sinAsinB=sinC，
所以sinAsinB=sinA+B，所以sinAsinB=sinAcsB+csAsinB，
所以1=sinAcsBsinAsinB+csAsinBsinAsinB，即1tanA+1tanB=1，
所以1tanA+1tanB=1≥21tanA⋅1tanB=2tanA⋅tanB，所以tanAtanB≥4，当且仅当tanA=tanB=2时取等号；
故选：B
11．在△ABC中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，下列说法中正确的是（ ）
A．sinB+C=sinA
B．若sinA>sinB，则A>B
C．若acsB−bcsA=c，则△ABC是直角三角形
D．若b=3,A=60∘，三角形面积S=33，则三角形的外接圆半径为133
【答案】ABC
【解析】
对于A，在△ABC中，sinB+C=sin(π−A)=sinA，A正确；
对于B，在△ABC中，由正弦定理得：sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，B正确；
对于C，在△ABC中，由余弦定理得：a⋅a2+c2−b22ac−b⋅b2+c2−a22bc=c，整理得b2+c2=a2，A=90∘，C正确；
对于D，依题意，S=12bcsinA=12×3csin60∘=334c=33，解得c=4，
由余弦定理得：a=b2+c2−2bccsA=32+42−2×3×4cs60∘=13，
由正弦定理得外接圆半径R=12⋅asinA=133=393，D不正确.
故选：ABC
12．在△ABC中，a,b,c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若△ABC为钝角三角形，则a2+b2B．若△ABC是锐角三角形，则不等式sinA>csB恒成立
C．a=bsinC+ccsB，则∠C=π4
D．若tanA+tanB+tanC<0，则△ABC为钝角三角形
【答案】BCD
【解析】
对于A中，由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab<0，所以角C为钝角，但是△ABC为钝角三角形，不一定是角C为钝角，故选项A不正确；
对于B中，若△ABC是锐角三角形，可得A+B>π2，所以A>π2−B，
且0sin(π2−B)=csB，
即不等式sinA>csB恒成立，所以B正确；
对于C中，因为a=bsinC+ccsB，由正弦定理得sinA=sinBsinC+sinCcsB，
又由sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
所以sinBcsC+csBsinC=sinBsinC+sinCcsB，可得sinBcsC=sinBsinC，
因为B∈(0,π)，可得sinB>0，所以csC=sinC，即tanC=1，
又因为C∈(0,π)，所以C=π4，所以C正确；
对于D中，在△ABC中，可得tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB，
所以tanA+tanB=tanAtanBtanC−tanC，
因为tanA+tanB+tanC<0，可得tanAtanBtanC<0，
所以tanA,tanB,tanC必有一个小于0，不妨设tanC<0，可得C∈(π2,π)，
所以△ABC为钝角三角形，所以D正确；
故选：BCD
13．已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A．若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形
B．若sinA>sinB，则A>B
C．若△ABC是锐角三角形，则sinA>csB
D．若AB=3，AC=1，B=30°，则△ABC的面积为34或32
【答案】BCD
【解析】
解：对于A：若sin2A=sin2B，则sin(π−2A)=sin2B，整理得：2A=2B或π−2A=2B，
即A=B或A+B=π2，故△ABC为直角三角形或等腰三角形，故A错误；
对于B：若sinA>sinB，即2RsinA>2RsinB，利用正弦定理得：a>b，故A>B，故B正确；
对于C：△ABC是锐角三角形，所以A+B>π2，整理得π2>A>π2−B>0，故sinA>sin(π2−B)，
整理得：sinA>csB，故C正确；
对于D：由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，即a2−3a+2=0，解得a=1或a=2，
所以S△ABC=12acsinB=12×1×3×12=34或S△ABC=12acsinB=12×2×3×12=32，故D正确；
故选：BCD
14．设△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，且A−C=π2.若a､b､c成等差数列，则csB=___________
【答案】34##0.75
【解析】
由A+B+C=π且A−C=π2，故A=π2+C，B=π2−2C>0，则0所以sinA=sinπ2+C=csC，sinB=sinπ2−2C=cs2C，
因为a，b，c成等差，则2b=a+c，故2sinB=sinA+sinC，
所以2cs2C=2(csC+sinC)(csC−sinC)=csC+sinC，而csC+sinC=2sin(C+π4)>0，
所以csC−sinC=12，两边同时平方(csC−sinC)2=14，化简2sinCcsC=34，即sin2C=34，
所以csB=csπ2−2C=sin2C=34.
故答案为：34
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=3，b=4，sinB=23，则A=__________．
【答案】π6##30∘
【解析】
解：因为a=3，b=4，sinB=23，a所以，A为锐角，由正弦定理asinA=bsinB可得sinA=asinBb=12，
所以B=π6.
故答案为：π6.
16．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinAa=3csBb=22，则该三角形周长的最大值为___________.
【答案】362
【解析】
由正弦定理变形有：sinAa=sinBb，又因为sinAa=3csBb=22，所以3csB=sinB，则tanB=3,∴B=π3，又因为3csBb=22，所以b=23csB2=23×122=62，
又因为b2=a2+c2−2accsB=a+c2−3ac≥a+c2−3⋅a+c24=14a+c2，
所以a+c2≤4b2=4×64=6⇒a+c≤6，当且仅当 “a=c”时取等.
则该三角形周长的最大值为a+b+c=6+62=362.
故答案为：362.
17．在①2c−ba=csBcsA；②sinA=csA2；③3b=asinC+3csC，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若__________．（填条件序号）
(1)求角A的大小；
(2)若a=3，求△ABC面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，A=π3；
(2)3.
【解析】
(1)选①，在△ABC中，由正弦定理及2c−ba=csBcsA得：2sinC−sinBsinA=csBcsA，
即2sinCcsA=sinAcsB+csAsinB=sin(A+B)=sinC，而00，
因此，csA=12，又0选②，2sinA2csA2=csA2，在△ABC中，有0选③，在△ABC中，由正弦定理及3b=a(sinC+3csC)得：3sinB=sinA(sinC+3csC)，
sinAsinC+3sinAcsC=3sin(A+C)=3sinAcsC+3csAsinC，即sinAsinC=3csAsinC，
而00，有tanA=3，又又0(2)由（1）知，A=π3，由余弦定理得：4=a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，
当且仅当b=c时取“=”，
则S△ABC=12bcsinA=12bcsinπ3=34bc≤3，
所以当b=c=2时，△ABC面积的最大值为3.
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①bcsA+acsB=2ccsC，② a+b+ca+b−c=3ab，③ cs2C+csC=0中任选一个，
(1)求角C的大小；
(2)若c=2，求△ABC周长的最大值．
【答案】(1)C=π3
(2)6
【解析】
(1)选①bcsA+acsB=2ccsC，得sinBcsA+sinAcsB=2sinCcsC
∴sinA+B=sinC=2sinCcsC
∵C∈0,π
∴sinC≠0
∴csC=120选②a+b+ca+b−c=3ab⇒a+b2−c2=3ab⇒c2=a2+b2−ab
∵c2=a2+b2−2abcsC
∴csC=120选③cs2C+csC=0⇒2cs2C+csC−1=0⇒(2csC−1)(csC+1)=0
又0所以csC=12，
所以C=π3
(2)由余弦定理知：c2=a2+b2−2ab⋅csC=a2+b2−ab=a+b2−3ab
由基本不等式知：ab≤a+b22
所以c2=a+b2−3ab≥a+b2−34a+b2=14a+b2
所以：a+b≤2c=4(当且仅当a=b时，等号成立)，
所以a+b+c≤6
综上：△ABC的周长的最大值为6．
19．在①a=7，②AC边上的高为332，③sinB=217这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答.
问题：记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠A=60°，c=b+1，______.
(1)求c的值；
(2)若点D是边BC上一点，且∠ADB−∠ABC=π3，求AD的长.
【答案】(1)c=3
(2)2
【解析】
(1)解：选条件①：a=7,c=b+1，
由余弦定理csA=b2+c2−a22bc=12，则b2+b−6=0，
解得b=2，则c=b+1=3；
选条件②：AC边上的高为332，
由三角形的面积公式12bb+1sinA=334b，
解得b=2，c=3.
选条件③：sinB=217，
由题意可知B因为A+B+C=π，
sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB，
=32×277+12×217=32114，
由正弦定理得sinBsinC=bc，即21732114=bb+1，
解得b=2，c=3.
(2)选条件①：
因为∠ADB−∠ABC=π3，所以∠ADB=∠ABC+π3，
csB=a2+c2−b22ac=7+9−42×7×3=277，
sinB=1−cs2B=1−47=217，
则sin∠ADB=sin∠ABC+π3=217×12+277×32=32114，
由正弦定理ADsinB=ABsin∠ADB，AD=ABsinBsin∠ADB=3×21732114=2；
选条件②；
因为∠ADB−∠ABC=π3，所以∠ADB=∠ABC+π3，
csB=a2+c2−b22ac=7+9−42×7×3=277，
sinB=1−cs2B=1−47=217，
则sin∠ADB=sin∠ABC+π3=217×12+277×32=32114，
由正弦定理ADsinB=ABsin∠ADB，AD=ABsinBsin∠ADB=3×21732114=2；
选条件③：
sin∠ADB=sin∠ABC+π3=217×12+277×32=32114 ，
由正弦定理ADsinB=ABsin∠ADB，AD=ABsinBsin∠ADB=3×21732114=2.
20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA+sinC−B=2sin2B，A=π3.
(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)已知c≠2b，a=23，点P，Q是边AC上的两个动点（P，Q不重合），记∠PBQ=θ.
①当θ=π6时，设△PBQ的面积为S，求S的最小值；
②记∠BPQ=α，∠BQP=β.问：是否存在实常数θ和k，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k=4ksinαsinβ成立？若存在，求出θ和k的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)①32−3②存在，θ=π3，k=32
【解析】
(1)证明：在△ABC中，因为A+B+C=π，
且sinA+sinC−B=2sin2B，
所以sinC+B+sinC−B=2sin2B，
即2sinCcsB=4sinBcsB，
所以csB=0或者sinC=2sinB.
当csB=0时，即B=π2，所以△ABC为直角三角形；
当sinC=2sinB时，sinC=2sin2π3−C=3csC+sinC，
从而csC=0，因此C=π2，所以△ABC为直角三角形.
综上所述，△ABC是直角三角形.
(2)解：①因为c≠2b，所以B=π2，
又A=π3，a=23，所以c=2，b=4.
如图，设∠QBC=x，x∈0,π3，
则在△QBC中，由正弦定理，得BQsinC=BCsinC+x，
所以BQ=3sinx+π6.
在△ABP中，由正弦定理，得BPsinA=BAsinx+π3，
所以BP=3sinx+π3.
所以S=12BP⋅BQsinπ6=34sinx+π6sinx+π3=33+2sin2x，
因为x∈0,π3，所以2x∈0,2π3，
故当2x=π2，即x=π4时，Smin=33+2=32−3.
②假设存在实常数θ,k，对于所有满足题意的α,β，
都有sin2α+sin2β+k=4ksinαsinβ成立，
则存在实常数θ,k，对于所有满足题意的α,β，
都有2sinα+βcsα−β+k=2k[csα−β−csα+β.
由题意，α+β=π−θ是定值，
所以sinα+β，csα+β是定值，
2sinα+β−kcsα−β+k1+2csα+β=0对于所有满足题意的α,β成立，
故有sin(α+β)−k=0k[1+2cs(α+β)]=0，
因为k=sinα+β≠0，从而1+2csα+β=0，
即csα+β=−12，
因为α,β为△BPQ的内角，所以α+β=2π3，
从而θ=π−2π3=π3，k=32.
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccs_A；
b2＝c2＋a2－2cacs_B；
c2＝a2＋b2－2abcs_C
变形
(3)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin_B，
c＝2Rsin_C；
(4)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(5)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
(6)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
(7)cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)