【暑假衔接】新高三（高二升高三）暑假自学专题06对数函数与幂函数（教师版+学生版）

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基础知识复习
1．分数指数幂
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
【知识拓展】
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．
典型习题强化
1．已知3−a=8，则alg23=（ ）
A．6B．−6C．8D．−8
【答案】B
【解析】
由3−a=8，得−a2=lg38，所以a=−2lg38，
所以alg23=−2lg38×lg23=−2×ln8ln3×ln3ln2=−6
故选：B
2．已知a=lg52,b=lg244,c=25．则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．c>b>a
【答案】B
【解析】
∵a=lg52=lg252=lg2lg25，b=lg244=2lg242=lg242=lg2lg24，c=25=lg2225=lg252=lg322=lg2lg32，且1<24<25<32，
∴ b>a>c
故选：B
3．已知函数①y=4x；②y=lgx2；③y=−lg3x；④y=lg0.2x；⑤y=lg3x+1；⑥y=lg2x+1.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③B．③④⑤
C．③④D．②④⑥
【答案】C
【解析】
根据对数函数的定义，只有符合y=lgax（a>0且a≠1）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中y=−lg3x=lg13x，是对数函数；④中y=lg0.2x=lg0.04x，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
4．已知f2x+1=lgx，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)=lg2x+1B．f(x)=lg2x−1
C．f(x)=lg12x−1D．f(x)=lg12x+1
【答案】B
【解析】
令2x+1=t,(t>1)，则x=2t−1，
所以f(t)=lg2t−1(t>1)，
所以f(x)=lg2x−1(x>1).
故选：B
5．函数y=lgax−1+4的图像恒过定点P，点P在幂函数y=fx的图像上，则f(4)=（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】A
【解析】
当x=2时，y=lga1+4=4，
所以函数y=lgax−1+4的图像恒过定点(2,4)
记f(x)=xm，则有2m=4，解得m=2
所以f(4)=42=16.
故选：A
6．“当x∈0,+∞时，幂函数y=m2−m−1xm2−2m−3为减函数”是“m=−1或2”的（ ）条件
A．既不充分也不必要B．必要不充分
C．充分不必要D．充要
【答案】C
【解析】
当x∈0,+∞时，幂函数y=m2−m−1xm2−2m−3为减函数，
所以有m2−m−1=1m2−2m−3<0⇒m=2，
所以幂函数y=m2−m−1xm2−2m−3为减函数”是“m=−1或2”的充分不必要条件，
故选：C
7．函数y=ln(x−2)+1的值域为（ ）
A．RB．(1,+∞)C．[1,+∞)D．(2,+∞)
【答案】A
【解析】
由对数函数y=lnx的值域为R，向右平移2个单位得函数y1=ln(x−2)的值域为R，
则y=ln(x−2)+1的值域为R，
故选：A.
8．已知函数fx=lgx2+ax−a−1，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A．当a=0时，fx的定义域为−∞,−1∪1,+∞
B．fx一定有最小值
C．当a=0时，fx的定义域为R
D．若fx在区间2,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是aa≥−4
【答案】A
【解析】
对A，当a=0时，解x2−1>0有x∈−∞,−1∪1,+∞，故A正确；
对B，当a=0时，fx=lgx2−1，此时x∈−∞,−1∪1,+∞，x2−1∈0,+∞，
此时fx=lgx2−1值域为R，故B错误；
对C，由A，fx的定义域为−∞,−1∪1,+∞，故C错误；
对D，若fx在区间2,+∞上单调递增，此时y=x2+ax−a−1在2,+∞上单调递增，所以对称轴x=−a2≤2，解得a≥−4，但当a=−4时，fx=lgx2−4x+3在x=2处无定义，故D错误.
故选：A.
9．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理，解决下面问题：已知函数f(x)满足f(8−x)=f(x)，且当x∈0,4时的解析式为fx=2lg22−x2,0≤x≤22lg12x2,2A．4B．8C．16D．32
【答案】C
【解析】
由题意知：fx关于x=4对称，
而当x∈[0,4]时，f(x)=2lg2(2−x2),0≤x≤22lg12x2,2且f(0)=f(8)=2，f(4)=−2，
∴在x∈0,8上，f(x)、f(8−x)及y=2的图象如下，
∴将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域，
可得到图示：由x轴、y轴、y=2、x=8所围成的矩形的面积，
∴函数y=fx在x∈0,4的图象与直线y=2围成封闭图形的面积为16.
故选：C
10．已知函数fx=lgax−b（a>0且a≠1）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A．a+b<0B．ab<−1C．00
【答案】C
【解析】
由图象可知fx在定义域内单调递增，所以a>1，
令fx=lgax−b=0，即x=b+1，所以函数fx的零点为b+1，结合函数图象可知0因此a+b>0，故A错误；
−a1，所以−a<−1，因此ab<−1不一定成立，故B错误；
因为a−1因为0故选：C.
11．已知正实数a，b，c满足cbA．a<1B．a【答案】AB
【解析】
由正实数a，b，c，以及cb<1，ba<1可得c,b∈0,1，
又lgca>1=lgcc，所以a所以ab即blna构造函数fx=lnxx，x>0
f'x=1−lnxx2，
当x∈0,1时，f'x=1−lnxx2>0
故fx=lnxx在0,1上递增，从而a又取b=c时，原式为bb故CD不正确，
故选：AB
12．如图所示，直线y=a分别与函数y=lg2x和y=lg2x−2的图象交于P，Q两点，若在函数y=lg2x−2的图象上存在点A，使得△APQ为等腰直角三角形，则a的值可以为（ ）
A．1B．lg23C．3−lg23D．2lg23
【答案】AC
【解析】
由题意，设P2a，a，Q2a+2，a，A2t+2，t．
若∠AQP=90°，
则a=t，Q2a+2，a与A2t+2，t重合，不合题意．
若∠APQ=90°，
则2a=2t+2a−t=2，即2a=2a−2+2，即2a=83，
解得：a=3−lg23．
若∠PAQ=90°，
则2a+2a+22=2t+2a−t=PQ2=1，
即2a=2t+1a−t=1，即2a=2a−1+1，
即2a=2，解得：a=1．
故选：AC．
13．fx=lnx，下列说法正确的有（ ）
A．y=fx+f2−x关于x=1对称
B．y=fx−2−fx+2是奇函数
C．fx增长速度先快后慢
D．y=fx+f2−x无最大值
【答案】AC
【解析】
对于A，令gx=fx+f2−x，则g2−x=f2−x+fx=gx，
∴gx关于x=1对称，A正确；
对于B，由y=fx−2−fx+2知：x−2>0x+2>0，解得：x>2，∴函数定义域不关于原点对称，原函数为非奇非偶函数，B错误；
对于C，fx=lnx图象如下图所示，
根据图象可知：fx增长速度先快后慢，C正确；
对于D，y=fx+f2−x=lnx+ln2−x=ln−x2+2x，
则当x=1时，−x2+2xmax=1，此时y=fx+f2−x取得最大值0，D错误.
故选：AC.
14．已知函数 fx=lga3−x+14(a>0 且 a≠1) 的图象经过定点A， 若幂函数 y=gx的图象也经过该点， 则 g12=_______________________．
【答案】4
【解析】
因为f(2)=14，所以A(2,14)，设幂函数y=gx=xα，
因为幂函数 y=gx的图象经过A(2,14)，
所以2α=14⇒α=−2⇒g(x)=x−2，
因此g(12)=(12)−2=4，
故答案为：4
15．已知函数fx=lgax+b的图象如图，则ab=________．
【答案】8
【解析】
由图像可得：fx=lgax+b过点−3,0和0,2，则有：lgab−3=0lgab=2，解得b=4a=2．
∴ab=8．
故答案为：８．
16．已知函数y=lga(x+3)−89(a>0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A也在函数fx=3x+b的图象上，则b=__________．
【答案】−1
【解析】
解：由题意函数y=lga(x+3)−89(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，故得A(−2,−89)，
又点A也在函数fx=3x+b的图象上，
∴−89=3−2+b，解得b=−1，
故答案为：−1．
17．已知函数fx=m2−5m+1xm+1m∈Z为幂函数，且为奇函数.
(1)求m的值，并确定fx的解析式；
(2)令g(x)=f(x)+2x+1，求y=gx在x∈−12,1的值域.
【答案】(1)0,fx=x；
(2)−12,3+1.
【解析】
(1)因为函数fx=m2−5m+1xm+1m∈Z为幂函数，
所以m2−5m+1=1，解得m=0或m=5，
当m=0时，函数fx=x是奇函数，符合题意，
当m=5时，函数fx=x6是偶函数，不符合题意，
综上所述，m的值为0，函数fx的解析式为fx=x.
(2)由（1）知，fx=x，
所以g(x)=f(x)+2x+1=x+2x+1，
令t=2x+1，则x=t2−12，
∵−12≤x≤1,∴0≤1+2x≤3,∴0≤t≤3，
所以g(t)=t2−12+t=t22+t−12，t∈0,3，
根据二次函数的性质知，g(t)的对称轴为t=−12×12=−1，开口向上，
所以g(t)在0,3上单调递增；
所以g(t)min=g(0)=022+0−12=−12，
g(t)max=g(3)=322+3−12=3+1
所以函数gx在−12,1的值域为−12,3+1.
18．（1）已知2x−2−x=3，求4x+4−x的值；
（2）化简并计算0.25−12+(827)−13−12lg16−2lg5+(12)0.
【答案】（1）11；（2）52.
【解析】
解：（1）∵2x−2−x=3，∴(2x−2−x)2=9，
∴4x+4−x−2=9，∴4x+4−x=11.
（2）原式=0.5−1+(23)−1−2lg2−2lg5+1
=2+32−2+1=52.
19．已知函数fx=lg44x+1−12x，x∈R.
(1)证明：fx为偶函数；
(2)若函数gx=4fx+x2+m⋅2x−1，x∈0,lg23，是否存在m，使gx最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)m=−1
【解析】
(1)证明：∵f(x)=lg4(4x+1)−12x定义域为R，
∴f(−x)−f(x)
=lg4(4−x+1)+12x−lg4(4x+1)+12x
=lg44x+14x+12x−lg4(4x+1)+12x
=lg44x+1−lg44x+12x−lg4(4x+1)+12x
=lg4(4x+1)−x−lg4(4x+1)+x=0，
即为f(−x)=f(x)，
则f(x)为偶函数；
(2)解：g(x)=4f(x)+x2+m⋅2x−1=4lg4(4x+1)+m⋅2x−1
=(2x)2+m⋅2x，
当x∈0,lg23时，2x∈1,3，
令2x=t，则y=t2+mt，t∈1,3，
当−m2≤1时，即m≥−2，y=t2+mt在1,3上单调递增，
所以t=1时，ymin=m+1=0，解得m=−1，
当1<−m2<3时即−6解得：m=0不成立；
当−m2≥3时，即m⩽−6，y=t2+mt在1,3上单调递减，所以t=3时，ymin=3m+9=0，
解得m=−3不成立．
故存在满足条件的m=−1．
20．已知函数f(x)=lga(x−a)+lga(x−3a)（a＞0，且a≠1）
(1)已知f（4a）=4，若函数g(x)=1−lga(x−λ)在−1,2上有零点，求λ的最小值
(2)若函数f（x）−2≤0 ，对于x∈[2a+5,2a+6] 恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)−1−3；
(2)(0,1)∪[32,+∞)
【解析】
(1)f(4a)=lga3a+lgaa=2+lga3=4,解得：a=3，
因为g(x)=1−lg3(x−λ)在−1,2上有零点，
所以lg3(x−λ)=1在−1,2上有根，即λ=x−3在−1,2上有根，
因为x−3∈−1−3,2−3，所以λ∈−1−3,2−3，
所以λ的最小值为−1−3；
(2)lga(x−a)+lga(x−3a)=lga(x−a)(x−3a)=lgax2−4ax+3a2≤2，
若0所以x2−4ax+2a2≥0对于x∈[2a+5,2a+6]恒成立，
令y=x2−4ax+2a2，则对称轴为x=2a，
所以y=x2−4ax+2a2在x∈[2a+5,2a+6]单调递增，
当x=2a+5时，ymin=2a+52−4a2a+5+2a2=25−2a2，
因为00恒成立，满足题意，
所以0当a>1时，x2−4ax+3a2≤a2，
所以x2−4ax+2a2≤0对于x∈[2a+5,2a+6]恒成立，
令y=x2−4ax+2a2，则对称轴为x=2a，
所以y=x2−4ax+2a2在x∈[2a+5,2a+6]单调递增，
当x=2a+6时，ymax=2a+62−4a2a+6+2a2=36−2a2，
令36−2a2≤0，解得：a≥32或a≤−32，
因为a>1，所以a≥32，
综上：a的取值范围是(0,1)∪[32,+∞).