【暑假衔接】新高三（高二升高三）暑假自学专题03函数及其表示（教师版+学生版）

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基础知识复习
1．函数与映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【知识拓展】
简单函数定义域的类型
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}；
(5)指数函数的底数大于0且不等于1；
(6)正切函数y＝tan x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).
典型习题强化
1．若函数fx=ax2−ax+1的定义域为R，则a的范围是（ ）
A．0,4B．0,4
C．0,4D．0,4
【答案】D
【解析】
若fx的定义域为R，则当a=0时，fx=1满足题意；
当a≠0时，a>0Δ=a2−4a≤0，解得：0当a<0时，无法满足定义域为R．
综上所述：0≤a≤4，D正确．
故选：D
2．已知fx是定义在R上的奇函数，且f(x+4)=f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x，则f−2021=（ ）
A．2B．－2C．0D．2
【答案】B
【解析】
由题意，fx的周期为4，又fx是定义在R上的奇函数，
所以f(−2021)=−f(2021)=−f(4×505+1)=−f(1)=−2．
故选：B．
3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）
A．fx=x，gx=x2B．fx=x2，gx=x2
C．fx=x2−1x−1，gx=x+1D．fx=x+1⋅x−1，gx=x2−1
【答案】A
【解析】
对于A，∵fx与gx定义域均为R，x2=x，∴fx与gx为相等函数，A正确；
对于B，∵fx定义域为R，gx定义域为0,+∞，∴fx与gx不是相等函数，B错误；
对于C，∵fx定义域为xx≠1，gx定义域为R，∴fx与gx不是相等函数，C错误；
对于D，∵fx定义域为1,+∞，gx定义域为−∞,−1∪1,+∞，∴fx与gx不是相等函数，D错误.
故选：A.
4．函数fx=lnex−2+x−102−x定义域为（ ）
A．1,2B．ln2,2C．ln2,1∪1,2D．ln2,1∪1,2
【答案】C
【解析】
解：因为fx=lnex−2+x−102−x，
所以ex−2>0x−1≠02−x>0，解得ln2所以函数的定义域为ln2,1∪1,2；
故选：C
5．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f(x)=x2+xx+1与g(x)=x−1B．fx=2x与gx=4x2
C．fx=x2与gx=x2D．y=x+1x−1与y=x2−1
【答案】B
【解析】
A中，f(x)的定义域为{x|x≠−1}，g(x)的定义域为R，故A错误；
B中，gx=4x2=2x=f(x)，B正确；
C中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0,+∞)，故C错误；
D中，y=x+1x−1的定义域为[1,+∞)，由x2−1≥0可得y=x2−1的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)，D错误.
故选：B
6．已知函数fx=lg2x，x>03x，x≤0，则ff14的值是（ ）
A．−9B．9C．−19D．19
【答案】D
【解析】
解：由题知，f14=lg214=−2，ff14=f−2=3−2=19.
故选：D
7．已知f12x−1=2x+3，若ft=5，则t=（ ）
A．−14B．14C．−12D．12
【答案】C
【解析】
设12x−1=t，因为f12x−1=2x+3
所以f(t)=4t+7，
又ft=5，所以4t+7=5，
所以t=−12.
故选：C.
8．已知函数fx=2x−1,x≤22x−1,x>2，则方程ffx=1的实数根的个数为（ ）
A．7B．5C．3D．2
【答案】B
【解析】
令f(x)=t，则f(t)=1，
①当t⩽2时，2|t|−1=1，∴2|t|=2，∴|t|=1，即t=±1，
②当t>2时，2t−1=1，∴t=3，
画出函数f(x)的图象，如图所示，
若t=−1，即f(x)=−1，无解；
若t=1，直线y=t=1与y=f(x)的图象有3个交点，即ffx=1有3个不同实根；
若t=3，直线y=t=3与y=f(x)的图象有2个交点，即ffx=1有2个不同实根；
综上所述，方程f[f(x)]=1的实数根的个数为5个，
故选：B．
9．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费（单位：元）由函数fm=3.71,04给出，其中m是不小于m的最小整数，例如2=2，1.21=2，那么从甲地到乙地通话5分钟的话费为（ ）
A．3.71元B．4.24元C．4.7元D．7.95元
【答案】B
【解析】
由m是不小于m的最小整数可得5.2=6，
所以f(5.2)=1.06×(0.5×6+1)=1.06×4=4.24，
故从甲地到乙地通话5分钟的话费为4.24元．
故选：B.
10．已知fx=3−2x，gx=x2−2x，若Fx=gx,fx≥gxfx,fxA．最大值为3，最小值−1B．最大值为7−27，无最小值C．最大值为3，无最小值D．无最大值，最小值为−1
【答案】B
【解析】
解：根据已知条件，可以求出Fx=3+2x， x≤2−7x2−2x， 2−7如图所示，F(x)在A处取得最大值，没有最小值.
由3+2x=x2−2x得xA=2−7,∴yA=3+2xA=7−27.
所以有最大值7−27，无最小值.
故选：B．
11．已知符号函数sgnx=1,x>00,x=0−1,x<0，下列说法正确的是（ ）
A．函数y=sgnx是奇函数
B．函数y=2xsgnx是奇函数
C．函数y=2xsgnx的值域为−1,0∪1,+∞
D．函数y=2xsgnx的值域为1,+∞
【答案】AC
【解析】
对于A，由题意y=sgnx的图象关于原点对称，是奇函数，故A正确，
对于B，因为y=2x⋅sgnx=2x,x>00,x=0−2x,x<0，当x=1时，y=2，当x=−1时，y=−12，所以函数y=2x⋅sgnx不是奇函数，故B错误；
对于C，D，因为当x∈0,+∞时，y∈1,+∞，x∈−∞,0时，y∈−1,0，x=0时y=0，所以函数的值域为−1,0∪1,+∞．故C正确，D错误
故选：AC
12．已知函数fx=ex−1,x≥a,−(x+1)2,xA．任意a∈R，函数fx的值域为R
B．任意a∈R，函数fx都有零点
C．任意a∈R，存在函数gx满足g−x=fx
D．当a∈−∞,−4时，任意x1≠x2,x1−x2fx1−fx2>0
【答案】BD
【解析】
设函数y=ex−1和y=−(x+1)2的左右两交点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)
对于选项A，由图像可知，当a对于选项B，由图像可知，无论a取何值，函数fx都有零点，故B正确
对于选项C，当x>0时g(−x)=g(−x)，g(−−x)=g(−x)由图像可知f(−x)≠f(x)
所以不存在函数gx满足g−x=fx
对于选项D，若x10成立
若x1>a，x2>a因为y=ex−1为增函数，所以对于任意x1≠x2,x1−x2fx1−fx2>0成立
当x1，x2不在同一区间时，因为a∈−∞,−4，所以y=ex−1(x>a)的图像在y=−(x+1)2(x0成立
故D正确
故选：BD
13．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如[−2.1]=−3，[2.1]=2.则下列说法正确的是（ ）
A．函数y=x−[x]在区间[k,k+1)（k∈Z）上单调递增
B．若函数f(x)=sinxex−e−x，则y=[f(x)]的值域为{0}
C．若函数f(x)=|1+sin2x−1−sin2x|，则y=[f(x)]的值域为{0,1}
D．x∈R，x≥[x]+1
【答案】AC
【解析】
对于A，x∈[k,k+1)，k∈Z，有[x]=k，则函数y=x−[x]=x−k在[k,k+1)上单调递增，A正确；
对于B，f(3π2)=sin3π2e3π2−e−3π2=−1e3π2−e−3π2∈(−1,0)，则[f(3π2)]=−1，B不正确；
对于C，f(x)=(1+sin2x−1−sin2x)2=2−21−sin22x=2−2|cs2x|，
当0≤|cs2x|≤12时，1≤2−2|cs2x|≤2，1≤f(x)≤2，有[f(x)]=1，
当12<|cs2x|≤1时，0≤2−2|cs2x|<1，0≤f(x)<1，有[f(x)]=0，y=[f(x)]的值域为{0,1}，C正确；
对于D，当x=2时，[x]+1=3，有2<[2]+1，D不正确.
故选：AC
14．已知函数fx=2−ax−1,x≤5ax−5,x>5是增函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】85,2
【解析】
解：∵fx是定义域R上的增函数，
∴2−a>0a>12−a×5−1≤a0，
即a<2a>1a≥85，解得：85≤a<2，
∴实数a的取值范围为85,2．
故答案为：85,2．
15．设fx=x,0【答案】19
【解析】
由y=x在(0,2)上递增，y=3(x−2)在(2,+∞)上递增，
所以，由fa=fa+2，则0故a=3a，可得a=19.
故答案为：19
16．已知f(x)为定义在(0,+∞)上的增函数，且任意x>0，均有ffx+1x=1fx，则f(1)=_____.
【答案】1−52
【解析】
设f(1)=a，
令x=1得：ff1+1=1f1⇒fa+1=1a；
令x=a+1得：ffa+1+1a+1=1fa+1⇒f1a+1a+1=a=f1，
因为f(x)为定义在(0,+∞)上的增函数，
所以1a+1a+1=1⇒a=1±52，
当f1=a=1+52时，由1+a>1⇒f1+a>f1⇒1a>a⇒a<−1或0故f1=a=1−52.
故答案为：1−52
17．已知函数f(x)=−ax2+2x+5.
(1)若函数定义域为R，求a的取值范围；
(2)若函数值域为[0,+∞)，求a的取值范围.
【答案】(1)(−∞,−15]
(2)−15,0
【解析】
(1)∵函数定义域为R，
∴−ax2+2x+5⩾0对任意x∈R都成立，
当a=0时，2x+5⩾0显然不恒成立，不合题意；
当a≠0时，由二次函数的性质可知，需满足−a>0Δ=4+20a⩽0，解得a⩽−15，
综上，实数a的取值范围为(−∞,−15]
(2)∵函数值域为[0,+∞)，
∴g(x)=−ax2+2x+5能取遍所有正数，
1：−a>0Δ=4+20a⩾0，解得−15⩽a<0，
2：a=0，g(x)=2x+5 符合题意
∴实数a的取值范围为−15,0
18．已知函数f(x)=x+3+1x+2.
(1)求函数的定义域；
(2)求f−23的值；
(3)当a>0时，求fa，fa−1的值．
【答案】(1){x|x≥−3且x≠−2}
(2)213+34
(3)a+3+1a+2，a+2+1a+1
【解析】
(1)由题意x+3≥0x+2≠0，解得x≥−3且x≠−2,
∴函数fx的定义域为{x|x≥−3且x≠−2}.
(2)f−23=3−23+12−23=213+34.
(3)fa=a+3+1a+2，fa−1=a−1+3+1a−1+2=a+2+1a+1．
19．已知a>0且a≠1，fx=lga1+x，gx=lga1−x，ℎx=1x.
(1)求fx+gx+ℎx的定义域D；
(2)已知x0∈D，请比较fx0与gx0的大小关系.
【答案】(1)0,1；
(2)当a>1时，fx0>gx0；当0【解析】
(1)依题意，x应满足1+x>01−x>0x>0，解得0∴函数fx+gx+ℎx的定义域D=0,1；
(2)当x0∈0,1时，有1+x0>1−x0，
①当a>1时，函数y=lgax单调递增，∴fx0>gx0；
②当020．已知函数fx=lg22x−1a−2x+1−1a∈R
(1)当a=1时，求fx的定义域；
(2)若存在x0∈0,+∞使得fx0=x0成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(−1,0)；
(2)8,+∞.
【解析】
(1)当a=1时，函数f(x)=lg2(2x−1)(1−2x+1)−1有意义，必有(2x−1)(1−2x+1)>0，
即(2x−1)(2x−12)<0，则有12<2x<1，解得−1所以函数fx的定义域是(−1,0).
(2)依题意，∃x∈(0,+∞)，lg2(2x−1)(a−2x+1)−1=x⇔lg2(2x−1)(a−2x+1)=x+1，
则有(2x−1)(a−2x+1)=2x+1，即a=2x+12x−1+2x+1，而当x>0时，2x−1>0，
则2x+12x−1+2x+1=2(2x−1+12x−1+2x)=2[12x−1+(2x−1)+2]≥2[212x−1⋅(2x−1)+2]=8，
当且仅当12x−1=2x−1，即x=1时取“=”，因此，当x>0时，2x+12x−1+2x+1的值域是[8,+∞)，依题意，a≥8，
所以实数a的取值范围是8,+∞.
函数
映射
两个集合A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
函数记法
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B