【暑假衔接】新高三（高二升高三）暑假自学专题02命题与常用逻辑（教师版+学生版）

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基础知识复习
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
【知识拓展】
从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A⊆B，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A⊇B，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A⊊B且A⊊B，则p是q的既不充分也不必要条件．
典型习题强化
1．若x，y为实数，则“1x<1y”是“lg2x>lg2y”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由题意可知当x=−2,y=1时，满足1x<1y，但不满足lg2x>lg2y；
由lg2x>lg2y，得x>y>0，满足1x<1y，
所以 “1x<1y”是“lg2x>lg2y”的必要不充分条件，
故选：B．
2．命题“∀x∈R ，x>sinx”的否定是（ ）
A．∃x0∈R ，x0C．∀x∈R ，x≤sinxD．∃x0∈R ，x0≤sinx0
【答案】D
【解析】
对于全称量词的否定是特称量词，并对结果求反，
即∃x0∈R,x0≤sinx0 ；
故选：D.
3．已知集合A={x|x−2x+1≤0}，x∈A的一个必要条件是x≥a，则实数a的取值范围为（ ）
A．a<0B．a≥2C．a≤−1D．a≥−1
【答案】C
【解析】
解不等式x−2x+1≤0，即(x+1)(x−2)≤0x+1≠0 ，得−1故A={x|−1所以x∈A的一个必要条件是x≥a，
则对于A, a<0，A={x|−1对于B，a≥2，A={x|−1对于C，a≤−1，A={x|−1对于D, a≥−1,A={x|−1故选：C
4．下列命题正确的是（ ）
A．命题“若x2−3x+2=0，则x=2”的否命题为“若x2−3x+2=0，则x≠2”
B．若给定命题p:∃x∈R，x2+x−1<0，则¬p:∀x∈R，x2+x−1>0
C．已知p:−1D．若p∨q为假命题，则p，q都为假命题
【答案】D
【解析】
命题“若x2−3x+2=0，则x=2”的否命题为“若x2−3x+2≠0，则x≠2”，A错；
命题p:∃x∈R，x2+x−1<0的否定是∀x∈R，x2+x−1≥0，B错；
易知函数f(x)=2x+1+lg2(x+2)在定义域内是增函数，f(−1)=1，f(2)=10，
所以−1但2x+1+lg2x+2<10时，−2p∨q为假命题，则p，q都为假命题，若p,q中有一个为真，则p∨q为真命题，D正确．
故选：D．
5．已知条件p:直线x+2y−1=0与直线a2x+a+1y−1=0平行，条件q:a=1，则p是q的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
当直线x+2y−1=0与直线a2x+a+1y−1=0平行时，
a21=a+12≠1，解得a=−12，
当a=1时，直线x+2y−1=0与直线a2x+a+1y−1=0重合，
所以p是q的既不充分也不必要条件，
故选：D
6．设a,b∈R，则“|a|+1≤b”是“|a+b|≥1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
b≥|a|+1⇒|a+b|≥|a+|a|+1|≥1，所以充分性成立，
当a=0，b=−5时，满足|a+b|≥1，但|a|+1≤b不成立，所以必要性不成立．
所以“|a|+1≤b”是“|a+b|≥1”的充分不必要条件.
故选：A．
7．已知x,y∈R，则“x<1且y<2”是“x+y<3”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
解：充分性：若x<1,y<2，则x+y≤x+y<3，充分性得证；
必要性：若x+y<3，取x=2，y=0.5满足条件，但不能得出x<1,y<2，
故为非必要条件；
综上所述，“x<1,y<2”是“x+y<3”的充分不必要条件，
故选：A．
8．“x>1”是“lg12(x+2)<0”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
当x>1时，可得x+2>3，可得lg12x+2<0，即充分性成立；
反之：当lg12(x+2)<0时，可得x+2>1，解得x>−1，所以必要性不成立，
综上可得“x>1”时“lg12(x+2)<0”的充分不必要条件.
故选：B.
9．设命题p:∃a0<0,a0+12022>0，则¬p为（ ）
A．∀a0≥0,a0+12022≤0B．∀a<0,a+12022≤0
C．∃a0<0,a0+12022≤0D．∀a≥0,a+12022≤0
【答案】B
【解析】
根据全称命题与存在性命题的关系，可得：
命题“p:∃a0<0,a0+12022>0”的否定为“¬p:∀a<0,a+12022≤0”.
故选：B.
10．已知命题q:∀x∈R，x2+x−1>0，则（ ）
A．命题¬q:∀x∈R，x2+x−1≤0为假命题
B．命题¬q:∀x∈R，x2+x−1≤0为真命题
C．命题¬q:∃x∈R，x2+x−1≤0为假命题
D．命题¬q:∃x∈R，x2+x−1≤0为真命题
【答案】D
【解析】
解：显然当x=0时不满足x2+x−1>0，故命题q:∀x∈R，x2+x−1>0为假命题，
所以¬q:∃x∈R，x2+x−1≤0为真命题，
故选：D．
11．下列命题中正确命题的是（ ）
A．已知a、b是实数，则“13a<13b”是“lg3a>lg3b”的必要不充分条件
B．命题：∃x∈−∞,0，2x<3x，其否定形式为：∀x∈−∞,0，2x>3x
C．函数y=f1+x与y=f1−x的图象关于直线x=1对称
D．在等比数列an中，a4、a12是方程x2+3x+1=0的两根，则a8=−1
【答案】AD
【解析】
对于A选项，已知a、b是实数，13a<13b⇔a>b，lg3a>lg3b⇔a>b>0，
因此，“13a<13b”是“lg3a>lg3b”必要不充分条件，A对；
对于B选项，命题：∃x∈−∞,0，2x<3x，其否定形式为：∀x∈−∞,0，2x≥3x，B错；
对于C选项，函数y=f1+x与y=f1−x的图象关于直线y轴对称，C错；
对于D选项，在等比数列an中，a4、a12是方程x2+3x+1=0的两根，
设等比数列an的公比为q，则a4a12=1，a4+a12=a41+q8=−3，则a4<0，
∵a8=a4q4<0，所以，a8=−a4a12=−1，D对.
故选：AD.
12．下列说法正确的是（ ）
A．对于任意两个向量a,b，若a>b，且a与b同向，则a>b
B．已知a=6，e为单位向量，若=3π4，则a在e上的投影向量为−32e
C．设m,n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m⋅n<0”的充分不必要条件
D．若a⋅b<0，则a与b的夹角是钝角
【答案】BC
【解析】
选项A：向量是既有大小又有方向的量，但不能比较大小，故选项A错误；
选项B：a在单位向量e上的投影向量为acse=6×−22e=−32e，故选项B正确；
选项C：若存在负数λ，使得m=λn，则m⋅n=λn2=λn2<0；
若m⋅n<0，则向量m与n的夹角为钝角或180°，故选项C正确；
选项D：若a⋅b<0，则a与b的夹角是钝角或180°角，故选项D错误；
故选：BC.
13．在半径为10的圆上有三点M，N，C，其中M，N两点的坐标分别为0,−4､103,6.现有两个命题如下：p：若∠MNC为60°，则三角形MNC的面积为503；q：若CD=−3,3，则四边形MCND的面积为403.那么下列选项正确的是（ ）
A．命题p是真命题B．命题p是假命题
C．命题q是真命题D．命题q是假命题
【答案】AD
【解析】
M，N都在圆上，线段|MN|=(103−0)2+(6+4)2=20，因此MN为直径.由圆的性质知△MNC为直角三角形，有一个角为60°，|NC|=10,因此其面积为12×20×10×32=503，故命题p为真命题，因此A正确.
MN=(103,10)，CD=−3,3，则MN⋅CD=103×(−3)+10×3=0，所以MN与CD垂直，因此四边形MCND的面积应当为MN⋅CD2=203，命题q为假命题，故D正确.
故选:AD.
14．命题p：若x≥2，则x2−x+2022>0．则命题p的否命题是___________．
【答案】若x<2，则x2−x+2022≤0
【解析】
根据否命题的定义，若x≥2，则x2−x+2022>0的否命题为：若x<2，则x2−x+2022≤0.
故答案为：若x<2，则x2−x+2022≤0.
15．若命题“∃x0∈π6,π3,tanx0>m”是假命题，则实数m的取值范围是__________．
【答案】[3,+∞)
【解析】
由题意得“∀x0∈π6,π3,tanx0≤m”为真命题，故m≥（tanx0）max=tanπ3=3，
故答案为：[3,+∞)
16．已知下列命题：
①命题：“∀x∈(0，2)，3x>x3”的否定是：“∃x∈(0，2)，3x≤x3”；
②若 f(x)=2x−2−x，则 ∀x∈R，f(−x)=−f(x)；
③若f(x)=x+1x+1，则∃x0∈(0，+∞)，f(x0)=1；
④等差数列an的前n项和为Sn，若a4=3，则S7=21；
⑤在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB.
其中真命题是________________.（只填写序号）
【答案】①②④⑤
【解析】
对于①，全称命题的否定为特称命题，所以命题：“∀x∈(0，2)，3x>x3”的否定是：“∃x∈(0，2)，3x≤x3”，故①正确；
对于②，因为f(x)=2x−2−x，所以f(−x)=2−x−2x，所以f(−x)=−f(x)，故②正确；
对于③，∵x0∈(0，+∞)，所以f(x0)=x0+1x0+1=x0+1+1x0+1−1≥2x0+1×1x0+1−1=1，当今当x0+1=1x0+1，即x0+12=1，所以x0=0（舍去），
所以f(x0)>1，故③错误；
对于④，等差数列an中，S7=7a1+a72=7a4，因为a4=3，所以S7=21，故④正确；
对于⑤，在△ABC中，若A>B，则a>b，所以2RsinA>2RsinB，所以sinA>sinB，故⑤正确；
故答案为：①②④⑤
17．已知函数fx=lnx2+ax+1．
(1)若fx为偶函数，求a；
(2)若命题“∃x∈0,1，fx≥0”为假命题，求实数a的取值范围．
【答案】(1)a=0
(2)−2,−1
【解析】
(1)解：因为函数fx=lnx2+ax+1为偶函数，
所以f−x=fx，即lnx2−ax+1=lnx2+ax+1，
所以x2−ax+1=x2+ax+1，即2ax=0，
所以a=0.
(2)解：因为命题“∃x∈0,1，fx≥0”为假命题，
所以命题“∀x∈0,1，fx<0”为真命题，
所以，对∀x∈0,1，x2+ax<0且x2+ax+1>0恒成立，
所以，对∀x∈0,1，a<−x且a>−x−1x恒成立，
由对勾函数性质知，函数y=−x−1x在0,1上单调递增，
所以，a<−1且a>−2，即实数a的取值范围是−2,−1.
18．已知命题P：方程x2+tx+t=0没有实数根．
(1)若P是真命题，求实数t的取值集合A；
(2)集合B=t2a−1【答案】(1)A=t0(2)a≥12
【解析】
(1)若P是真命题，则Δ=t2−4t<0，解得0(2)因为t∈A是t∈B的必要条件，所以B⊆A，
当B=∅时，由2a−1≥a+1，得a≥2，此时B⊆A，符合题意；
当B≠∅时，则有2a−1综上所述，a的取值范围为a≥12．
19．已知p:∃x∈R，x2+ax+2=0.q:∀x∈0,1，x2−a<0.
(1)若p为真命题，求a的取值范围；
(2)若p，q一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围．
【答案】(1)22,+∞∪−∞,−22
(2)−∞,−22∪1,22
【解析】
(1)解：由p:∃x∈R，x2+ax+2=0，
若p为真命题，
则Δ=a2−8≥0，解得a≥22或a≤−22，
所以a的取值范围为22,+∞∪−∞,−22；
(2)解：若q为真命题时，
则a>x2对∀x∈0,1恒成立，
所以a≥1，
若p，q一个是真命题，一个是假命题，
当p是真命题，q是假命题时，
则a≥22a<1或a≤−22a<1，解得a≤−22，
当p是假命题，q是真命题时，
则−22综上所述a∈−∞,−22∪1,22.
20．对于有限个自然数组成的集合A，定义集合S(A)=a+b|a∈A,b∈A，记集合S(A)的元素个数为d(S(A)).定义变换T，变换T将集合A变换为集合T(A)=A⋃S(A).
（1）若A=0,1,2，求S(A),T(A)；
（2）若集合A=x1,x2⋯xn,(x1【答案】（1）S(A)=T(A)=0,1,2,3,4；（2）证明见解析.
【解析】
解：（1）若集合A=0,1,2, 则根据定义可得：S(A)=T(A)=0,1,2,3,4.
（2）由A=x1,x2⋯xn,(x1充分性：设xk是公差为d(d≠0)的等差数列,
则xi+xj=x1+(i−1)d+x1+(j−1)d=2x1+(i+j−2)d(1≤i,j≤n)
且2≤i+j≤2n, 所以xi+xj共有2n个不同的值, 即d(S(A))=2n.
必要性：若d(S(A))=2n,
因为2xi所以S(A)中有2n个不同的元素：2x1,2x2⋯2xn,x1+x2,x2+x3⋯xn−1+xn,
任意xi+xj（1≤i,j≤n）的值都与上述某一项相等.
又xi+xi+1所以xi+xi+2=2xi+1, 所以xk是等差数列，且公差不为0.
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p