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【暑假衔接】新高三（高二升高三）暑假自学专题01集合及其运算（教师版+学生版）
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这是一份【暑假衔接】新高三（高二升高三）暑假自学专题01集合及其运算（教师版+学生版），文件包含暑假衔接新高三高二升高三暑假自学专题01集合及其运算教师版docx、暑假衔接新高三高二升高三暑假自学专题01集合及其运算学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
基础知识复习
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
【知识拓展】
1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.
2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
3．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.
典型习题强化
1．已知集合A=x0A．∅B．1C．2D．2,3
【答案】A
【解析】
由x2−5x+6=0解得x=2或x=3，即B=2,3.
又∁RA=x|x≤0或x≥4，所以∁RA⋂B=∅．
故选：A
2．已知全集U=xx>0，集合A=xx(x−2)<0，则∁UA=（ ）
A．xx>2或x<0B．xx≥2或x≤0
C．xx>2D．xx≥2
【答案】D
【解析】
因为A={x|x(x−2)<0}={x|0又全集U=xx>0，
所以∁UA=xx≥2.
故选：D.
3．已知全集为R，集合A=xy=lg2x+1，B=x1x≥1，则A∩∁RB=（ ）
A．xx>1B．x0C．x−11D．x−11
【答案】C
【解析】
由x+1>0，得x>−1，所以A=xx>−1，
由1x≥1，得1−xx≥0，则x(1−x)≥0x≠0，得0所以B=x01，
所以A∩∁RB=x−11，
故选：C
4．已知全集U=0,1,2,3,4,5,6，集合A=0,2,4,5，集合B=2,3,4,6，用如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．{2，4}B．{0，3，5，6}
C．{0，2，3，4，5，6}D．{1，2，4}
【答案】B
【解析】
A∩B={2,4}，A∪B=0,2,3,4,5,6，阴影部分为0,3,5,6.
故选：B．
5．已知集合A=x1≤x≤3，B=x∈Zx2−6x+5<0，则A⋂B=（ ）
A．∅B．{1,2,3}C．(1,3]D．{2,3}
【答案】D
【解析】
由题，B=x∈Zx−1x−5<0=2,3,4，故A∩B=2,3
故选：D
6．已知集合A=x,yy=x2，B=x,yy=2x−1，则集合A⋂B的子集个数为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【解析】
由题意得y=2x−1=2x−1,x≥0−2x−1,x<0，
当x≥0时，y=2x−1 联立y=x2，解得x=1y=1 ；当x<0时，y=−2x−1 联立y=x2，解得x=−1y=1 ；
故抛物线y=x2与曲线y=2|x|−1有两个公共点，分别为(−1， 1)，(1， 1)，
则集合A⋂B有两个元素，所以A⋂B的子集个数为22=4，
故选:B．
7．已知集合A={x∈Z|−2≤x<4},B=x|lg2x+1<2，则A⋂B的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】
由题设A={−2,−1,0,1,2,3},B={x|−1所以A∩B={0,1,2}，共有3个元素.
故选：A
8．已知集合A=x,yy−2x−1=1，集合B=x,yax+y−2−a=0，A⋂B=∅，则a的取值范围是（ ）
A．a=−1B．a∈R且a≠1
C．a∈R且a≠−1D．a∈R且a≠1且a≠−1
【答案】C
【解析】
集合A表示直线y−2=x−1上去掉点1,2所构成的两条射线，
在方程ax−1+y−2=0中，令x−1=0y−2=0可得x=1y=2，
集合B表示过定点1,2且斜率存在的直线，
由A⋂B=∅得两直线斜率不同，则−a≠1，解得a≠−1．
故选：C.
9．设集合A=yy=x2,x>0，B=yy=12x,x>0，则A∪B=（ ）
A．(0,1)B．(0,+∞)C．(1,+∞)D．∅
【答案】B
【解析】
由x>0，得x2>0，所以A=yy=x2,x>0=yy>0，B=yy=12x,x>0=y0故选：B
10．已知集合A={−3,−2,−1,0,1},B=x∈Z∣x+3x−1<0，则A⋂B=（ ）
A．(-3，1)B．[-3，1]C．{-3，-2，-1，0，1}D．{-2，-1，0}
【答案】D
【解析】
由不等式x+3x−1<0，解得−3又由A={−3,−2,−1,0,1}，所以A⋂B={−2,−1,0}.
故选：D.
11．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．B∩A∪CB．∁UB∩A∪C
C．B∩∁UA⋃CD．A∩B∪B∩C
【答案】AD
【解析】
在阴影部分区域内任取一个元素x，则x∈A⋂B或x∈B⋂C，
故阴影部分所表示的集合为B∩A∪C或 A∩B∪B∩C.
故选：AD.
12．下面说法中，正确的为（ ）
A．xx+y=1=yx+y=1B．x,yx+y=2=xx+y=2
C．xx>2=yy>2D．1,2=2,1
【答案】ACD
【解析】
解：方程x+y=1中x的取值范围为R，所以xx+y=1=R，同理yx+y=1=R，所以A正确；
x,yx+y=2表示直线x+y=2上点的集合，而xx+y=2=R，所以x,yx+y=2≠xx+y=2，所以B错误；
集合xx>2，yy>2都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；
由于集合的元素具有无序性，所以1,2=2,1，所以D正确．
故选：ACD．
13．已知集合A，B均为R的子集，若A⋂B=∅，则（ ）
A．A⊆∁RBB．∁RA⊆B
C．A⋃B=RD．(∁RA)∪(∁RB)=R
【答案】AD
【解析】
如图所示
根据图像可得A⊆∁RB,故A正确；由于B⊆∁RA ，故B错误；A⋃B⊆R ,故C错误
∁RA∪∁RB=∁RA∩B=R
故选：AD
14．已知集合P=yy≥x2,x∈R，Q=yy=2x,x∈R，则P⋂Q=_______.
【答案】0,+∞.
【解析】
∵x2≥0，∴P=0,+∞；∵2x>0，∴Q=0,+∞；∴P⋂Q=0,+∞.
故答案为：0,+∞.
15．集合A=xx+1x−2≤0,x∈R,B=x2x−1<1,x∈R，则A∩∁RB=_________．
【答案】1,2
【解析】
由题意，A=[−1,2),B=x|2x−1<20=−∞,1,∁RB=[1,+∞),∴A∩∁RB=[1,2).
故答案为：[1,2).
16．集合A满足1,3A⊆xy=15x,x∈N∗,y∈N∗，则集合A的个数有________个.
【答案】3
【解析】
因为1,3A⊆xy=15x,x∈N∗,y∈N∗，即1,3A⊆1,3,5,15，所以A=1,3,5，A=1,3,15，A=1,3,5,15，即集合A的个数有3个.
故答案为：3.
17．设全集为Z，A={x|x2+2x−15=0}，B={x|ax−1=0}.
(1)若a=15，求A∩(∁ZB)；
(2)若B⊆A，求实数a的取值组成的集合C.
【答案】(1)−5,3
(2)−15,13,0
【解析】
(1)解： A={x|x2+2x−15=0}=−5,3，
当a=15，则B={x|ax−1=0}=5，
则A∩(∁ZB)=−5,3；
(2)解：当B=∅时，a=0，此时满足B⊆A，
当B≠∅时，B={1a}，此时若满足B⊆A，
则1a=−5或1a=3，解得a=−15或13，
综上C=−15,13,0.
18．已知集合A=x2<2x<8，集合B=x2(1)求A⋃B；
(2)设集合P=x|2a【答案】(1)A∪B={x|1(2)[12,+∞).
【解析】
(1)由2<2x<8，得1(2)当P=∅时：2a≥a+2，即a≥2，
当P≠∅时：2a综上所述，a的取值范围为[12,+∞).
19．（1）已知全集U=x|−5≤x≤10, x∈Z，集合M={x|0≤x≤7,x∈Z}，N={x|−2≤x<4,x∈Z}，求(∁UN)⋂M（分别用描述法和列举法表示结果）；
（2）已知全集U=A∪B=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，若集合A⋂∁UB=2,4,6,8，求集合B；
（3）已知集合P={x|ax2+2ax+1=0,a∈R,x∈R}，当集合P只有一个元素时，求实数a的值，并求出这个元素.
【答案】（1）x|4≤x≤7,x∈Z，4,5,6,7；（2）0,1,3,5,7,9,10；（3）a=1，元素为−1.
【解析】
（1）由U=x|−5≤x≤10, x∈Z，N={x|−2≤x<4,x∈Z}，
得：∁UN={x|−5≤x<−2或4≤x≤10,x∈Z}，而M={x|0≤x≤7,x∈Z}，
所以(∁UN)⋂M=x|4≤x≤7,x∈Z=4,5,6,7.
（2）由U=A∪B=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，A⋂∁UB=2,4,6,8，得∁UB={2,4,6,8}，
所以B=∁U(∁UB)=0,1,3,5,7,9,10.
（3）当a=0时，P=∅，不符合题意，
当a≠0时，因集合P只有一个元素，则方程ax2+2ax+1=0有等根，Δ=4a2−4a=0，
此时a=1，集合P中的元素为−1，
所以a=1，这个元素是−1.
20．设集合A为非空数集，定义A+={x|x=a+b，a、b∈A}，A−={x|x=|a−b|，a、b∈A}．
(1)若A={−1，1}，写出集合A+、A−；
(2)若A={x1，x2，x2，x4}，x1(3)若A⊆{x|0⩽x⩽2021，x∈N}且A+A−=∅，求集合A元素个数的最大值．
【答案】(1)A+=−2,0,2，A−=0,2；
(2)证明见解析；
(3)1348.
【解析】
(1)由题意知，A={−1，1}，
得A+={−2，0，2}，A−={0，2}；
(2)由于集合A={x1，x2，x3，x4}，x1所以集合A−中有且仅有4个元素，即A−={0，x2−x1，x3−x1，x4−x1}
剩下的元素满足x2−x1=x3−x2=x4−x3，即x1+x4=x2+x3；
(3)设A={a1，a2，⋯，ak}满足题意，其中a1则2a1所以A+≥2k−1，a1−a1因为A+⋂A−=∅，由容斥原理，A+⋃A−=A++A−≥3k−1，
A+⋃A−最小的元素为0，最大的元素为2ak，所以A+⋃A−≤2ak+1，
所以3k−1≤2ak+1≤4043(k∈N∗)，解得k≤1348，
实际上当A={674，675，⋯，2021}时满足题意，证明如下：
设A={m，m+1，m+2，⋯，2021}(m∈N)，
则A+={2m，2m+1，2m+2，⋯，4042}，A−={0，1，2，⋯，2021−m}，
依题意，有2021−m<2m，即m>67323，所以m的最小值为674，
于是当m=674时，集合A中的元素最多，即A={674，675，⋯，2021}时满足题意.
综上所述，集合A中元素的个数的最大值为1348.
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
基础知识复习
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
【知识拓展】
1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.
2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
3．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.
典型习题强化
1．已知集合A=x0
【答案】A
【解析】
由x2−5x+6=0解得x=2或x=3，即B=2,3.
又∁RA=x|x≤0或x≥4，所以∁RA⋂B=∅．
故选：A
2．已知全集U=xx>0，集合A=xx(x−2)<0，则∁UA=（ ）
A．xx>2或x<0B．xx≥2或x≤0
C．xx>2D．xx≥2
【答案】D
【解析】
因为A={x|x(x−2)<0}={x|0
所以∁UA=xx≥2.
故选：D.
3．已知全集为R，集合A=xy=lg2x+1，B=x1x≥1，则A∩∁RB=（ ）
A．xx>1B．x0
【答案】C
【解析】
由x+1>0，得x>−1，所以A=xx>−1，
由1x≥1，得1−xx≥0，则x(1−x)≥0x≠0，得0
所以A∩∁RB=x−1
故选：C
4．已知全集U=0,1,2,3,4,5,6，集合A=0,2,4,5，集合B=2,3,4,6，用如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．{2，4}B．{0，3，5，6}
C．{0，2，3，4，5，6}D．{1，2，4}
【答案】B
【解析】
A∩B={2,4}，A∪B=0,2,3,4,5,6，阴影部分为0,3,5,6.
故选：B．
5．已知集合A=x1≤x≤3，B=x∈Zx2−6x+5<0，则A⋂B=（ ）
A．∅B．{1,2,3}C．(1,3]D．{2,3}
【答案】D
【解析】
由题，B=x∈Zx−1x−5<0=2,3,4，故A∩B=2,3
故选：D
6．已知集合A=x,yy=x2，B=x,yy=2x−1，则集合A⋂B的子集个数为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【解析】
由题意得y=2x−1=2x−1,x≥0−2x−1,x<0，
当x≥0时，y=2x−1 联立y=x2，解得x=1y=1 ；当x<0时，y=−2x−1 联立y=x2，解得x=−1y=1 ；
故抛物线y=x2与曲线y=2|x|−1有两个公共点，分别为(−1， 1)，(1， 1)，
则集合A⋂B有两个元素，所以A⋂B的子集个数为22=4，
故选:B．
7．已知集合A={x∈Z|−2≤x<4},B=x|lg2x+1<2，则A⋂B的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】
由题设A={−2,−1,0,1,2,3},B={x|−1
故选：A
8．已知集合A=x,yy−2x−1=1，集合B=x,yax+y−2−a=0，A⋂B=∅，则a的取值范围是（ ）
A．a=−1B．a∈R且a≠1
C．a∈R且a≠−1D．a∈R且a≠1且a≠−1
【答案】C
【解析】
集合A表示直线y−2=x−1上去掉点1,2所构成的两条射线，
在方程ax−1+y−2=0中，令x−1=0y−2=0可得x=1y=2，
集合B表示过定点1,2且斜率存在的直线，
由A⋂B=∅得两直线斜率不同，则−a≠1，解得a≠−1．
故选：C.
9．设集合A=yy=x2,x>0，B=yy=12x,x>0，则A∪B=（ ）
A．(0,1)B．(0,+∞)C．(1,+∞)D．∅
【答案】B
【解析】
由x>0，得x2>0，所以A=yy=x2,x>0=yy>0，B=yy=12x,x>0=y0
10．已知集合A={−3,−2,−1,0,1},B=x∈Z∣x+3x−1<0，则A⋂B=（ ）
A．(-3，1)B．[-3，1]C．{-3，-2，-1，0，1}D．{-2，-1，0}
【答案】D
【解析】
由不等式x+3x−1<0，解得−3
故选：D.
11．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．B∩A∪CB．∁UB∩A∪C
C．B∩∁UA⋃CD．A∩B∪B∩C
【答案】AD
【解析】
在阴影部分区域内任取一个元素x，则x∈A⋂B或x∈B⋂C，
故阴影部分所表示的集合为B∩A∪C或 A∩B∪B∩C.
故选：AD.
12．下面说法中，正确的为（ ）
A．xx+y=1=yx+y=1B．x,yx+y=2=xx+y=2
C．xx>2=yy>2D．1,2=2,1
【答案】ACD
【解析】
解：方程x+y=1中x的取值范围为R，所以xx+y=1=R，同理yx+y=1=R，所以A正确；
x,yx+y=2表示直线x+y=2上点的集合，而xx+y=2=R，所以x,yx+y=2≠xx+y=2，所以B错误；
集合xx>2，yy>2都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；
由于集合的元素具有无序性，所以1,2=2,1，所以D正确．
故选：ACD．
13．已知集合A，B均为R的子集，若A⋂B=∅，则（ ）
A．A⊆∁RBB．∁RA⊆B
C．A⋃B=RD．(∁RA)∪(∁RB)=R
【答案】AD
【解析】
如图所示
根据图像可得A⊆∁RB,故A正确；由于B⊆∁RA ，故B错误；A⋃B⊆R ,故C错误
∁RA∪∁RB=∁RA∩B=R
故选：AD
14．已知集合P=yy≥x2,x∈R，Q=yy=2x,x∈R，则P⋂Q=_______.
【答案】0,+∞.
【解析】
∵x2≥0，∴P=0,+∞；∵2x>0，∴Q=0,+∞；∴P⋂Q=0,+∞.
故答案为：0,+∞.
15．集合A=xx+1x−2≤0,x∈R,B=x2x−1<1,x∈R，则A∩∁RB=_________．
【答案】1,2
【解析】
由题意，A=[−1,2),B=x|2x−1<20=−∞,1,∁RB=[1,+∞),∴A∩∁RB=[1,2).
故答案为：[1,2).
16．集合A满足1,3A⊆xy=15x,x∈N∗,y∈N∗，则集合A的个数有________个.
【答案】3
【解析】
因为1,3A⊆xy=15x,x∈N∗,y∈N∗，即1,3A⊆1,3,5,15，所以A=1,3,5，A=1,3,15，A=1,3,5,15，即集合A的个数有3个.
故答案为：3.
17．设全集为Z，A={x|x2+2x−15=0}，B={x|ax−1=0}.
(1)若a=15，求A∩(∁ZB)；
(2)若B⊆A，求实数a的取值组成的集合C.
【答案】(1)−5,3
(2)−15,13,0
【解析】
(1)解： A={x|x2+2x−15=0}=−5,3，
当a=15，则B={x|ax−1=0}=5，
则A∩(∁ZB)=−5,3；
(2)解：当B=∅时，a=0，此时满足B⊆A，
当B≠∅时，B={1a}，此时若满足B⊆A，
则1a=−5或1a=3，解得a=−15或13，
综上C=−15,13,0.
18．已知集合A=x2<2x<8，集合B=x2
(2)设集合P=x|2a
【解析】
(1)由2<2x<8，得1
当P≠∅时：2a
19．（1）已知全集U=x|−5≤x≤10, x∈Z，集合M={x|0≤x≤7,x∈Z}，N={x|−2≤x<4,x∈Z}，求(∁UN)⋂M（分别用描述法和列举法表示结果）；
（2）已知全集U=A∪B=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，若集合A⋂∁UB=2,4,6,8，求集合B；
（3）已知集合P={x|ax2+2ax+1=0,a∈R,x∈R}，当集合P只有一个元素时，求实数a的值，并求出这个元素.
【答案】（1）x|4≤x≤7,x∈Z，4,5,6,7；（2）0,1,3,5,7,9,10；（3）a=1，元素为−1.
【解析】
（1）由U=x|−5≤x≤10, x∈Z，N={x|−2≤x<4,x∈Z}，
得：∁UN={x|−5≤x<−2或4≤x≤10,x∈Z}，而M={x|0≤x≤7,x∈Z}，
所以(∁UN)⋂M=x|4≤x≤7,x∈Z=4,5,6,7.
（2）由U=A∪B=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，A⋂∁UB=2,4,6,8，得∁UB={2,4,6,8}，
所以B=∁U(∁UB)=0,1,3,5,7,9,10.
（3）当a=0时，P=∅，不符合题意，
当a≠0时，因集合P只有一个元素，则方程ax2+2ax+1=0有等根，Δ=4a2−4a=0，
此时a=1，集合P中的元素为−1，
所以a=1，这个元素是−1.
20．设集合A为非空数集，定义A+={x|x=a+b，a、b∈A}，A−={x|x=|a−b|，a、b∈A}．
(1)若A={−1，1}，写出集合A+、A−；
(2)若A={x1，x2，x2，x4}，x1
【答案】(1)A+=−2,0,2，A−=0,2；
(2)证明见解析；
(3)1348.
【解析】
(1)由题意知，A={−1，1}，
得A+={−2，0，2}，A−={0，2}；
(2)由于集合A={x1，x2，x3，x4}，x1
剩下的元素满足x2−x1=x3−x2=x4−x3，即x1+x4=x2+x3；
(3)设A={a1，a2，⋯，ak}满足题意，其中a1
A+⋃A−最小的元素为0，最大的元素为2ak，所以A+⋃A−≤2ak+1，
所以3k−1≤2ak+1≤4043(k∈N∗)，解得k≤1348，
实际上当A={674，675，⋯，2021}时满足题意，证明如下：
设A={m，m+1，m+2，⋯，2021}(m∈N)，
则A+={2m，2m+1，2m+2，⋯，4042}，A−={0，1，2，⋯，2021−m}，
依题意，有2021−m<2m，即m>67323，所以m的最小值为674，
于是当m=674时，集合A中的元素最多，即A={674，675，⋯，2021}时满足题意.
综上所述，集合A中元素的个数的最大值为1348.
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
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