【暑假衔接】新高三（高二升高三）暑假自学专题04函数的基本性质（教师版+学生版）

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基础知识复习
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
【知识拓展】
函数单调性的常用结论
(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0⇔f(x)在D上是增函数，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0⇔f(x)在D上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的增区间为(－∞，－eq \r(a)]和[eq \r(a)，＋∞)，减区间为[－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a)]．
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
3．函数的奇偶性
4.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【知识拓展】
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
典型习题强化
1．下列函数中，是偶函数且在区间0,+∞上为增函数的是（ ）
A．y=3xB．y=lg3xC．y=1xD．y=−x2+1
【答案】B
【解析】
y=3x为非奇非偶函数，y=1x为奇函数，故A、C不符合；
y=lg3x、y=−x2+1为偶函数，
在0,+∞上y=lg3x递增，而y=−x2+1递减，B符合，D不符合.
故选：B
2．已知函数fx是奇函数，且当x>0时，fx=10x+x+1，那么当x<0时，fx的解析式是（ ）
A．110x+x−1B．−110x+x−1
C．110x−x+1D．−110x−x+1
【答案】B
【解析】
解：当x<0时，则−x>0，所以f−x=10−x−x+1，
又因为函数fx是奇函数，所以−f−x=fx，
所以当x<0时fx=−10−x+x−1=−110x+x−1．
故选：B
3．已知函数f(x)=lg(|x|+1)+2x+2−x，则使不等式f(x+1)A．(−∞,−1)∪(1,+∞)B．(−2,−1)C．(−∞,−13)∪(1,+∞)D．(1,+∞)
【答案】C
【解析】
函数f(x)=lg(|x|+1)+2x+2−x定义域为(−∞,0)⋃(0,+∞)，
显然有f(−x)=lg(|−x|+1)+2−x+2x=f(x)，即函数f(x)是偶函数，
当x>0时，f(x)=lg(x+1)+2x+2−x，令g(x)=2x+2−x(x>0)，
∀x1,x2∈(0,+∞)，x1因00，有g(x1)又y=lg(x+1)在(0,+∞)上单调递增，因此，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
于是得f(x+1)1，
所以不等式f(x+1)故选：C
4．定义在R的奇函数fx满足fx+3=f−x−2，且f−12=1，则f40432+3f40452+2f2021=（ ）．
A．4B．2C．−52D．−2
【答案】D
【解析】
因为fx是奇函数，
所以fx+3=f−x−2=−fx+2=−f−x+1−2=fx+1，
所以fx是以2为周期的周期函数，且f0=0.
令x=−2，f1=f0=0，
又f−12=−f12=1，即f12=−1
故f40432+3f40452+2f2021=f−12+3f12+2f1=2f12=−2.
故选：D
5．已知y=f(x),(x∈R)是奇函数，当x<0时，f(x)=8x3+lg12(−x)，则f(|lg2x|)<0的解集为（ ）
A．[22,1)⋃(1,2]B．(22,2)
C．(22,1)⋃(1,2)D．(0,22)⋃(2,+∞)
【答案】C
【解析】
因为y=f(x),(x∈R)是奇函数，当x<0时，f(x)=8x3+lg12(−x)；
所以当x=0时，f(x)=0；
当x>0时，则−x<0，所以f(−x)=8−x3+lg12x.
因为y=f(x)是奇函数，所以−fx=f(−x)=8−x3+lg12x，所以fx=8x3−lg12x.即当x>0时，fx=8x3−lg12x.
综上所述：fx=8x3+lg12−x,x<00, x=08x3−lg12x, x>0 .
令t=lg2x，则t=lg2x≥0，所以不等式f(|lg2x|)<0可化为：f(t)<0t≥0.
当t=0时，ft=0不合题意舍去.
当t>0时，对于fx=8x3−lg12x.
因为y=x3在0,+∞上递增，y=−lg12x在0,+∞上递增，所以fx=8x3−lg12x在0,+∞上递增.
又f12=8×123−lg1212=0，
所以由f(t)<0t≥0可解得：0故选：C
6．若函数fx=gx,x<02x−3,x>0为奇函数，则fg−1=（ ）
A．−1B．0C．1D．−52
【答案】A
【解析】
函数为奇函数且f−1=g−1，则f−1=−f1=−(21−3)=1，
所以g−1=1，故fg−1=f1=−1．
故选：A
7．已知定义在R上的偶函数fx满足f−x+fx−2=0，当−1≤x≤0时，fx=1+xex，则（ ）
A．ftan7π24B．f2022C．fln12D．f2022【答案】B
【解析】
因为定义在R上的偶函数fx满足f−x+fx−2=0，
则fx+fx−2=0，得fx+2+fx=0，所以，fx−2=fx+2，即fx=fx+4，
当−1≤x≤0时，fx=1+xex，则f'x=x+2ex>0，
所以，函数fx在−1,0上为增函数，则该函数在0,1上为减函数，
且当−10，
因为π4<7π24<π3，则1∵−1=ln1e0，
f2022=f2=−f0<0，ftan7π24=−ftan7π24−2<0，
且−1因此，f2022故选：B.
8．函数fx的定义域为R，若fx+1是奇函数，fx−1是偶函数，则（ ）
A．fx是奇函数B．fx+3是偶函数
C．f3=0D．fx=fx+3
【答案】B
【解析】
因为fx+1是奇函数，
∴fx+1=−f−x+1，
∵fx−1是偶函数，
∴fx−1=f−x−1，即fx+1=f−x−3，
∴−f−x+1=f−x−3⇒fx+fx+4=0，
则fx+8=−fx+4=fx，即周期为8；
另一方面fx+5=−fx+1=f−x+1，
∴fx+3=f−x+3，即fx+3是偶函数.
故选：B.
9．如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l与半圆相交于F，G两点，与△ABC两边相交于E，D两点，设弧FG的长为x(0A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
由题，∠FOG=x，点O到FG的距离d=csx2，
所以f(x)=EB+BC+CD=233+43(1−csx2)3=23−433csx2(0f'(x)=233sinx2，
故f(x)在定义域(0,π)内单调递增，且变化率越来越大，
故选：D.
10．已知函数f(x)的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）
A．f(x)=x2+ln2+csx2−csxB．f(x)=x3ln2+csx2−csx
C．f(x)=x3+ln2+sinx2−sinxD．f(x)=x2ln2+sinx2−sinx
【答案】B
【解析】
观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数，由图象可得f(2)<0，
对于函数f(x)=x2+ln2+csx2−csx，
因为f(−x)=−x2+ln2+cs−x2−cs−x=x2+ln2+csx2−csx=f(x)，
所以函数f(x)=x2+ln2+csx2−csx为偶函数，A错，
对于函数f(x)=x3+ln2+sinx2−sinx，f(−x)=−x3+ln2−sinx2+sinx=−f(x)，
所以函数f(x)=x3+ln2+sinx2−sinx为奇函数，又f(2)=23+ln2+sin22−sin2>0，与图象不符，故C错误，
对于函数f(x)=x2ln2+sinx2−sinx，f(−x)=−x2ln2−sinx2+sinx=−f(x)，
所以函数f(x)=x2ln2+sinx2−sinx为奇函数，又f(2)=22ln2+sin22−sin2>0，与图象不符，故D错误，
对于函数f(x)=x3ln2+csx2−csx，因为f(−x)=−x3ln2+csx2−csx=−f(x)，
所以函数f(x)=x3ln2+csx2−csx为奇函数，且f(2)=23ln2+cs22−cs2<0，与图象基本相符，B正确，
故选：B.
11．定义在R上的偶函数fx满足f2+x=f2−x，当x∈0,2时，fx=2−x，设函数gx=e−x−2−2A．函数fx图像关于直线x=2对称B．函数fx的周期为6
C．f7=−1D．fx和gx的图像所有交点横坐标之和等于8
【答案】AD
【解析】
∵f2+x=f2−x，∴函数fx图像关于直线x=2对称，故A正确；
又∵f(x)为偶函数，∵f2+x=f2−x=f(x−2)，所以函数fx的周期为4，故B错误；由周期性和对称性可知，f7=f(3)=f(1)=1，故C错误；
做出f(x)与g(x)的图像，如下：
由图可知，当−2故选：AD.
12．fx是定义在R上的函数，若fx+x2是奇函数，fx−x是偶函数，函数gx=fx,x∈0,12gx−1,x∈1,+∞，则（ ）
A．当x∈1,2时，gx=−2x2+6x−4B．当x∈2,3时，gx=−4x2+20x−20
C．g2k+12g2k−12=4k∈N∗D．k=1ng2k−12=2n−14
【答案】AD
【解析】
因为fx+x2是奇函数,fx−x是偶函数,则有f−x+x2=−fx−x2f−x+x=fx−x，解得fx=x−x2.
对于A：任取x∈1,2，则x−1∈0,1，所以gx=2gx−1=2x−1−x−12=−2x2+6x−4.故A正确；
对于B：任取x∈2,3，则x−1∈1,2，所以gx=2gx−1=2−2x−12+6x−1−4=−4x2+40x−48.故B错误；
对于C:当x∈(2,3)时,有x-1∈(1,2),x-2∈(0,1).所以gx=2gx−1=4gx−2=4fx−2，则有g(2k+12)=g(k+12)=2k−2，g(2k−12)=g(k−12)=2k−3，故g(2k+12)g(2k−12)=2(k∈N∗).故C错误;
对于D：由C的结论, g(2k−12)=2k−3，则k=1ng(2k−12)=14+12+1+⋯⋯+2k−3=2n−14.故D正确.
故选：AD
13．设x∈R，x表示不超过x的最大整数，例如：−3.5=−4，2.1=2，已知函数fx=ex1+ex−12，则下列叙述中正确的是（ ）
A．fx是偶函数B．fx是奇函数
C．fx在R上是增函数D．fx的值域是−1,0,1
【答案】BC
【解析】
根据题意知，fx=ex1+ex−12=1+ex−11+ex−12=12−11+ex，
f1=e1+e−12=0，f−1=1e+1−12=−1，
所以，f1≠f−1且f1≠−f−1，
所以，函数fx既不是奇函数，也不是偶函数，A错；
∵f−x=e−x1+e−x−12=1ex1+e−x−12=11+ex−12=−fx，
所以，函数fx为奇函数，B对；
因为函数y=1+ex为R上的增函数，则函数y=11+ex为R上的减函数，
故函数fx=12−11+ex上的增函数，C对；
因为ex>0，则1+ex>1，所以，0<11+ex<1，故−12所以，函数fx的值域为−1,0，D错.
故选：BC.
14．已知函数fx=lnx2+a−x为R上的奇函数，则实数a=______________________．
【答案】1
【解析】
由题设f(−x)=ln[(−x)2+a−(−x)]=ln(x2+a+x)=lnax2+a−x=−f(x)，
所以lnax2+a−x=−ln(x2+a−x)，可得a=1.
故答案为：1
15．已知定义在R上的奇函数y=fx满足f1+x=f1−x，当−1≤x<0时，fx=x2，则方程fx+12=0在−2,6内的所有根之和为__________.
【答案】12
【解析】
因为f1+x=f1−x，所以y=fx的图象关于直线x=1对称，
又函数y=fx在R为奇函数，且当−1≤x<0时，fx=x2，
由此画出fx在区间−2,6上的图象如下图所示.
fx+12=0⇒fx=−12，
由图可知，y=−12与fx图象的4个交点，
其中两个关于直线x=1对称，两个关于直线x=5对称，
所以方程fx+12=0在−2,6内的所有根之和为2×1+2×5=12.
故答案为：12
16．已知函数y=fx，x∈D，若存在实数m，使得对于任意的x∈D，都有fx≥m，则称函数y=fx，x∈D有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的x∈D，都有fx≤M，则称函数y=fx，x∈D有上界，M为其一个上界．若函数y=fx，x∈D既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数．对于下列4个结论中正确的序号是______．
①若函数y=fx有下界，则函数y=fx有最小值；
②若定义在R上的奇函数y=fx有上界，则该函数是有界函数；
③对于函数y=fx，若函数y=fx有最大值，则该函数是有界函数；
④若函数y=fx的定义域为闭区间a,b，则该函数是有界函数．
【答案】②③
【解析】
解：①当x>0时，f(x)=1x，则f(x)⩾0恒成立，则函数y=f(x)有下界，但函数y=f(x)没有最小值，故①错误；
②若定义在R上的奇函数y=f(x)有上界，不妨设当x⩾0时，f(x)⩽M成立，则当x<0时，−x>0，则f(−x)⩽M，
即−f(x)⩽M，则f(x)⩾−M，该f(x)的下界是−M，则函数是有界函数，故②正确；
③对于函数y=f(x)，若函数y=|f(x)|有最大值，设|f(x)|⩽M，则−M⩽f(x)⩽M，该函数是有界函数，故③正确；
④函数f(x)=tanx,0⩽x<π20x=π2，则函数y=f(x)的定义域为闭区间0，π2，
则函数f(x)的值域为0，+∞，则f(x)只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数．故④错误；
故答案为：②③．
17．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”.
(1)已知二次函数f(x)=ax2+3x−2a（a∈R），试判断f(x)是否为“局部奇函数”，并说明理由；
(2)若f(x)=3x−m是定义在区间[−1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
(3)若f(x)=9x−2m⋅3x+m2−4为定义在R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围.
【答案】(1)f(x)为“局部奇函数”，理由见解析；
(2)m∈1,53；
(3)[−1,10].
【解析】
(1)f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)+f(−x)=0有解.
当f(x)=ax2+3x−2a（a∈R）时，
方程f(x)+f(−x)=0，即2ax2−2=0有解，而a≠0，
所以x=±2，从而f(x)为“局部奇函数”.
(2)当f(x)=3x−m时，f(x)+f(−x)=0可化为3x+3−x−2m=0.
因为f(x)的定义域为[−1,1]，所以方程3x+3−x−2m=0在[−1,1]上有解.
令t=3x，则t∈13,3，上式化为2m=t+1t.
设g(t)=t+1t，则g(t)在(0,1)上为单调减函数；在(1,+∞)上为单调增函数.
因为g13=103，g(3)=103，g(1)=2，
所以t∈13,3时，g(t)∈2,103.
所以2m∈2,103，即m∈1,53.
(3)当f(x)=9x−2m⋅3x+m2−4时，
f(x)+f(−x)=0可化为9x+9−x−2m3x+3−x+2m2−8=0，
设s=3x+3−x，则s∈[2,+∞)，则9x+9−x=s2−2，
从而只需要关于s的方程s2−2ms+2m2−10=0在[2,+∞)上有解即可.
令F(s)=s2−2ms+2m2−10.
当F(2)≤0时，s2−2ms+2m2−10=0在[2,+∞)上有解，
由F(2)≤0，即m2−2m−3≤0，解得−1≤m≤3；
当F(2)>0时，s2−2ms+2m2−10=0在[2,+∞)上有解等价于
Δ=4m2−42m2−10≥0m>2F2>0，解得3综上，所求实数m的取值范围为[−1,10].
18．已知二次函数fx=x2−2kx+3k∈R．
(1)若fx在区间1,+∞上单调递增，求实数k的取值范围；
(2)若fx≥2在x∈0,+∞上恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)k≤1
(2)k≤1
【解析】
(1)解：因为fx在x∈1,+∞单调递增，
所以−−2k2≤1，
解得k≤1；
(2)因为fx≥2在x∈0,+∞上恒成立，
所以x2−2kx+1≥0在x∈0,+∞恒成立，
即2k≤x+1x在x∈0,+∞恒成立．
令gx=x+1x，则gx=x+1x≥2x⋅1x=2，
当且仅当x=1时等号成立．
所以k≤1．
19．已知函数f(x)=a⋅2x−12x+1的图象经过点1,13，
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的定义域和值域；
(3)判断函数f(x)的奇偶性并证明．
【答案】(1)a=1；
(2)f(x)的定义域为R ，值域为(−1,1)；
(3)奇函数，证明见解析.
【解析】
(1)依题意，函数f(x)的图象过点1,13，则有f(1)=2a−13=13，解得a=1，
所以a的值是1.
(2)由（1）知函数f(x)=2x−12x+1=1−22x+1，因2x>0,2x+1>1，所以f(x)的定义域为R，
而22x+1∈(0,2)，所以f(x)的值域为(−1,1).
(3)函数f(x)是R上的奇函数，
因f(x)的定义域为R，且f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−f(x)，所以f(x)是奇函数.
20．已知函数f(x)=33x+23x.
(1)写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)求证：函数f(x)的图像关于直线y=3x对称；
(3)某同学经研究发现，函数f(x)的图像为双曲线，x=0和y=33x为其两条渐进线，试求出其顶点､焦点的坐标，并利用双曲线的定义加以验证.
【答案】(1)(−∞,−6),(6,+∞)
(2)证明见解析
(3)A1(−3,−3)，A2(3,3)，F1(−2,−23)，F2(2,23)，验证答案见解析
【解析】
(1)解：由题意，函数f(x)=33x+23x，可得f'(x)=33−23x2=3(x+6)(x−6)x2，
令f'(x)>0，即(x+6)(x−6)>0，解得x<−6或x>6，
所以函数fx的单调递增区间为(−∞,−6),(6,+∞).
(2)证明：设P(x0,y0)为函数fx的图像上一点，点P关于直线y=3x对称的点Q的坐标为(x1,y1)，
由直线y=3x垂直且平分线段PQ，可得x1=32y0−12x0y1=12y0+32x0，
因为y0=33x0+23x0，所以x1=3x0y1=233x0+3x0，
将x0=3x1代入y1=233x0+3x0，可得y1=23x1+33x1，
即点Q也在函数f(x)的图像上，所以函数f(x)的图像关于直线y=3x对称.
(3)解：由（2）得直线y=3x为函数fx图像的一条对称轴，
于是y=33x+23xy=3x，解得x=±3y=±3，
因为y=33x+23x的图像是双曲线（以下记作Γ），
那么双曲线的两个顶点一定只能是A1(−3,−3),A2(3,3)，
于是半实轴a的值一定只能是23，
双曲线Γ的实轴所在直线y=3x与它的一条渐近线y=33x的夹角为π6，
以双曲线Γ的一个顶为直角的顶点，以π6为一个锐角，以半实轴a的长为一条直角边的直角三角形的另一条直角边的长应当等于Γ的半虚轴b之长，其斜边则等于Γ的半焦距c之长.因此b=2,c=4.
因为双曲线的两个焦点在双曲线的实轴所在的一条对称轴上，
所以Γ的两个焦点F1x1,y1,F2x2,y2，应在直线y=3x上，
由OF2=4，得F2(2,23)，利用对称性另一个焦点应为F1(−2,−23)，
以下验证f(x)=33x+23x图像上的任意一点到F1､F2两点的距离之差的绝对值为定值，设Px,y为函数f(x)=33x+23x图像上的任意一点，
则PF1|−|PF22=PF12+PF22−2PF1PF2∣
=(x+2)2+(y+23)2+(x−2)2+(y−23)2−2(x+2)2+(y+23)2(x−2)2+(y−23)2=2x2+2y2+32−2x2+y22+32x2+y2+256−16x2−48y2−323xy
由y=33x+23x，得xy=33x2+23，
故有
||PF1|−|PF2||2=2x2+2y2+32−2x2+y22+32x2+y2+256−16x2−48y2−32x2−192=2x2+2y2+32−2|x2+y2−8|，
因为x2+y2−8=x2+33x+23x2−8=43x2+12x24≥243x2⋅12x2−4>0，
故得PF1−PF22=2x2+2y2+32−2x2+y2−8=48，
即|PF1|−|PF2|=43为定值，且恰等于前面所得的2a的值，
由此验证函数f(x)=33x+23x的图像为双曲线.
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称