【暑假衔接】新高三（高二升高三）暑假自学专题12三角函数的图象与性质（教师版+学生版）

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1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
【知识拓展】
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
典型习题强化
1．已知函数fx=2sinωxω>0在区间−π4,π3上是增函数，若函数fx在0,π2上的图像与直线y=2有且仅有一个交点，则ω的最小值为（ ）
A．43B．34C．32D．1
2．已知函数f(x)=sinωx+π3−ω(ω>0)在区间0,7π3ω上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．(0,1)B．32,1C．12,1D．[1,2]
3．已知函数fx=sin2x+12.给出下列结论：
①fx的最小正周期为π；
②fx的最小值为12；
③把函数y=fx的图象上所有点向左或向右平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数都是偶函数；
④fx在0,π2上单调递增.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④B．②C．②③D．①②③
4．若函数f(x)=sinxcsx，则下列说法正确的是（ ）
A．f(x)是偶函数
B．f(x)的最小正周期是π
C．f(x)在区间−π4,π4上单调递增
D．f(x)的图象关于直线x=π4对称
5．已知函数fx=sinωx+csωx+sinωx−csωxω>0，则下列结论错误的是（ ）
①ω=1时，函数fx图象关于x=π4对称；②函数fx的最小值为-2；③若函数fx在−π4,0上单调递增，则ω∈0，3；④x1，x2为两个不相等的实数，若fx1+fx2=4且x1−x2的最小值为π，则ω=2.
A．②③B．②④C．①③④D．②③④
6．设函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)，若f(x1)−f(x2)=2时，x1−x2的最小值为π3，则（ ）
A．函数f(x)的周期为π3
B．将函数f(x)的图像向左平移π4个单位，得到的函数为奇函数
C．当x∈(π6,π3)，f(x)的值域为(22,1)
D．函数f(x)在区间[−π,π]上的零点个数共有6个
7．函数y=sinx+csx2的最小正周期为（ ）
A．πB．3π2C．2πD．π2
8．下列函数中最小正周期为π的函数的个数是（ ）
①y=|sinx|；②y=cs|x|；③y=tan2x；④y=sin2x
A．1B．2C．3D．4
9．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图所示，则（ ）
A．函数f(x)的最小正周期是2πB．函数y=fx+π12关于直线x=−π2对称
C．函数f(x)在区间π2,π上单调递增D．函数f(x)在区间3π4,4π3上的最大值是32
10．已知函数f(x)=2sinxcsx−3cs2x−3，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．x=π3时f(x)取得最大值
C．f(x)的对称中心坐标是kπ2+π6,0（k∈Z）
D．f(x)在0,π3上单调递增
11．已知函数fx=sinωx−3csωxω>0,x∈R的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数fx的图象沿x轴向左平移π3个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数gx的图象，则下列关于函数gx的结论正确的是（ ）
A．函数gx是偶函数B．gx的图象关于点−π3,0对称
C．gx在−π3,π3上是增函数D．当x∈−π6,π6时，函数gx的值域是[1，2]
12．设函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)，已知fx在0,2π上有且仅有4个零点.下述四个结论正确的是（ ）
A．fx在0,2π上有且仅有3个极大值点
B．fx在0,2π上有且仅有2个极小值点
C．fx在0,π8上单调递增
D．ω的取值范围是158,198
13．已知函数fx=Asinωx+φ（A>0，ω>0，φ<π2）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．fx=2cs2x−π3
B．满足fx>1的x的取值范围为kπ,kπ+π3（k∈Z）
C．将函数fx的图象向右平移π12个单位长度，得到的图象的一条对称轴x=π3
D．函数fx与gx=−2cs2x的图象关于直线x=π3对称
14．已知函数f(x)=3sinωx+π4,(ω>0)在0,π4上单调递增，则ω的最大值为______．
15．已知函数fx=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示，则φ=________．
16．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.则下列有关说法中：
①函数fx=sinx+1是圆O:x2+(y−1)2=1的一个太极函数；
②对于圆O:x2+y2=1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
③存在圆O，使得fx=ex+1ex−1是圆O的一个太极函数；
④函数fx是奇函数，且当0≤x≤1时，fx=k⋅x−12−12，若fx是圆O:x2+y2=1的太极函数，则k∈−3,3.
所有正确的是___________.
17．设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数f(x)=2sin(x−A)csx+sinA．
(1)若f(0)=−12,a=3,b=1，求△ABC的面积；
(2)当x=5π12时，f(x)取最大值，求f(x)在0,π2上的值域.
18．已知函数f(x)=4csωx⋅csωx−π3−1(ω>0)的部分图像如图所示，若AB⋅BC=π28−8，B，C分别为最高点与最低点．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数y=f(x)−m在0,13π12，上有且仅有三个不同的零点x1，x2，x3，（x119．已知函数fx=Asinωx+φx∈R,A>0,ω>0,φ<π2部分图象如图所示.
(1)求fx的最小正周期及解析式；
(2)将函数y=fx的图象向右平移π3个单位长度得到函数y=gx的图象，求函数gx在区间0,π2上的最大值和最小值.
20．已知fx=csx⋅sinx−π6
(1)求f（x）的最小正周期；
(2)求f（x）的单调区间；
(3)求f（x）在区间0,3π4上的最值，并说明取得最值时对应的x值．