【暑假衔接】新高三（高二升高三）暑假自学专题08导数的概念、运算与几何意义（教师版+学生版）

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基础知识复习
1．导数与导函数的概念
(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区(a，b)间内的导函数．记作f′(x)或y′.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【知识拓展】
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
典型习题强化
1．已知fx是定义在R上的可导函数，若limΔx→0f2−f2+ΔxΔx=12，则f'2=（ ）
A．0B．2C．12D．−12
【答案】D
【解析】
由导数的定义，可得f'2=limΔx→0f2+Δx−f2Δx=−limΔx→0f2−f2+ΔxΔx=−12．
故选：D
2．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设f2−f12−1=a，则下列不等式正确的是（ ）
A．f'(1)C．f'(2)【答案】A
【解析】
因为1,2函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，
又f(2)−f(1)2−1=a，所以f'(1)故选：A
3．已知函数fx的导函数为f'x，且满足fx=2xf'1+lnx，则f'1=（ ）
A．−eB．−1C．1D．e
【答案】B
【解析】
由题意，函数fx=2xf'1+lnx，可得f'x=2f'1+1x，
所以f'1=2f'1+1，则f'1=−1．
故选：B.
4．下列求导运算正确的是（ ）
A．csπ3'=−sinπ3B．exlnx'=ex1x−lnx
C．lnx'=1xD．3x'=3x
【答案】C
【解析】
解：对于A：csπ3'=0，故A错误；
对于B：exlnx'=ex'lnx+exlnx'=ex1x+lnx，故B错误；
对于C：lnx'=1x，故C正确；
对于D：3x'=3xln3，故D错误；
故选：C
5．已知a，b为正实数，直线y=x−a与曲线y=ln(x+b)相切，则1a+4b的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．13
【答案】B
【解析】
设切点为(x0,y0) ，
y=ln(x+b)的导数为y'=1x+b，
由切线的方程y=x−a可得切线的斜率为1，令1x0+b=1,x0=1−b，
则y0=ln(1−b+b)=0 ，故切点为(1−b,0)，
代入y=x−a，得a+b=1，
∵a、b为正实数，
则1a+4b=(a+b)(1a+4b)=5+ba+4ab≥5+2ba⋅4ab=9，
当且仅当a=13，b=23时，1a+4b取得最小值9，
故选：B
6．曲线y=x3+1在点−1,a处的切线方程为（ ）
A．y=3x+3B．y=3x+1C．y=−3x−1D．y=−3x−3
【答案】A
【解析】
∵y=fx=x3+1
∴f'x=3x2，所以f'−1=3，
又当x=−1时，a=x3+1=−1+1=0，
所以y=x3+1在点(−1,a)处的切线方程为：y=3x+1，即y=3x+3.
故选：A.
7．已知P是曲线C:y=lnx+x2+3−ax上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为θ，若π3≤θ<π2，则实数a的取值范围是（ ）
A．23,0B．22,0C．−∞,23D．−∞,22
【答案】D
【解析】
因为y=lnx+x2+3−ax，所以y'=1x+2x+3−a，
因为曲线在M处的切线的倾斜角θ∈π3,π2，
所以y'≥tanπ3=3对于任意的x>0恒成立，
即1x+2x+3−a≥3对任意x>0恒成立，
即a≤2x+1x，又2x+1x≥22，当且仅当2x=1x，
即x=22时，等号成立，故a≤22，
所以a的取值范围是−∞,22．
故选：D．
8．过点P1,mm∈R有n条直线与函数fx=xex的图像相切，当n取最大值时，m的取值范围为（ ）
A．−5e2【答案】B
【解析】
由fx=xex，f'x=x+1ex，故当x<−1时，f'x<0，fx单调递减，且fx<0；当x>−1时，f'x>0，fx单调递增，结合图象易得，过点P1,mm∈R至多有3条直线与函数fx=xex的图像相切，故n=3.
此时，设切点坐标为x0,y0，则切线斜率k=x0+1⋅ex0，所以切线方程为y−x0ex0=x0+1⋅ex0x−x0，将P1,m代入得m=−x02+x0+1⋅ex0，存在三条切线即函数m=−x2+x+1⋅ex有三个不同的根，又g'x=−x−1x+2⋅ex，易得在−2,1上，g'x>0，gx单调递增；在−∞,−2和1,+∞上，g'x<0，gx单调递减，画出图象可得当g−2故选：B
9．若函数y=fx的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线y=fx在这两点处的切线重合，则称函数y=fx为“自重合”函数.下列函数中既是奇函数又是“自重合”函数的是（ ）
A．y=lnx+xB．y=x3
C．y=x−csxD．y=x+sinx
【答案】D
【解析】
对于A，C，函数都不是奇函数，故排除. 若曲线y=f(x)在这两点处的切线重合，则首先要保证两点处导数相同；对于B，y'=3x2，若斜率相同，则切点A(x0， x03)，B(−x0， −x03)，代入解得切线方程分别为y=3x02x−2x03，y=3x02x+2x03；若切线重合，则x0=0，此时两切点A，B为同一点，不符合题意，故B错误；对于D，y'=1+csx，令y'=1+csx=1， 得x=k2π(k∈Z)，则取Aπ2， π2+1， B5π2， 5π2+1，切线均为y=x+1，即存在不同的两点A，B使得切线重合，故D正确.
故选：D．
10．若直线y=k1x+1−1与曲线y=ex相切，直线y=k2x+1−1与曲线y=lnx相切，则k1k2的值为（ ）
A．12B．1C．eD．e2
【答案】B
【解析】
设直线f=k1x+1−1与曲线y=ex相切于点x1,ex1，
直线y=k2x+1−1与曲线y=lnx相切于点x2,lnx2，
则k1=ex1，且k1=ex1+1x1+1，所以x1ex1=1，
k2=1x2，且k2=lnx2+1x2+1，所以x2lnx2=1，
令fx=xlnx，f'x=1+lnx，
当x∈0,1e时，f'x<0，fx单调递减，
当x∈1e,+∞时，f'x>0，fx单调递增，
且f1=0，limx→0fx=0，所以当x∈0,1时，fx<0，
因为fx2=x2lnx2=1，fex1=x1ex1=1，即fx2=fex1=1>0，
所以x2∈1,+∞,ex1∈1,+∞，
所以x2=ex1，故k1k2=ex1⋅1x2=1
故选：B
11．过平面内一点P作曲线y=|lnx|两条互相垂直的切线l1,l2，切点为P1、P2(P1、P2不重合），设直线l1,l2分别与y轴交于点A，B，则下列结论正确的是（ ）
A．P1、P2两点的横坐标之积为定值
B．直线P1P2的斜率为定值
C．线段AB的长度为定值
D．三角形ABP面积的取值范围为(0，1]
【答案】ABC
【解析】
因为y=lnx=−lnx,0所以，当0不妨设点P1，P2的横坐标分别为x1,x2，且x1若00，不合题意；
若x2>x1≥1时，则直线l1，l2的斜率分别为k1=1x1，k2=1x2，此时k1k2=1x1x2>0，不合题意.
所以0由题意可得k1k2=−1x1x2=−1，可得x1x2=1，
若x1=1，则x2=1；若x2=1，则x1=1，不合题意，所以0对于选项B，易知点P1x1,−lnx1，P2x2,lnx2，
所以，直线P1P2的斜率为kP1P2=lnx2+lnx1x2−x1=lnx1x2x2−x1=0，选项B对；
对于选项C，直线l1的方程为y+lnx1=−1x1x−x1，令x=0可得y=1−lnx1，即点A0,1−lnx1，
直线l2的方程为y−lnx2=1x2x−x2，令x=0可得y=lnx2−1=−lnx1−1，即点B0,−lnx1−1，
所以，AB=1−lnx1−−1−lnx1=2，选项C对；
对于选项D，联立{y=−1x1x+1−lnx1y=1x2x+lnx2−1可得xP=2x1x2x1+x2=2x1x12+1，
令fx=2xx2+1，其中x∈0,1，则f'x=21−x2x2+12>0，
所以，函数fx在0,1上单调递增，则当x∈0,1时，fx∈0,1，
所以，S△ABP=12AB⋅xP=2x1x12+1∈0,1，选项D错.
故选：ABC.
12．若曲线fx=xsinx−1在x=π处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则（ ）
A．f'x=sinx−xcsxB．f'x=sinx+xcsx
C．f'π=−πD．a=−2π
【答案】BCD
【解析】
选项A，已知曲线fx=xsinx−1，所以f'x=sinx+xcsx，故该选项错误；
选项B，已知曲线fx=xsinx−1，所以f'x=sinx+xcsx，故该选项正确；
选项C，因为f'x=sinx+xcsx，所以f'π=sinπ+πcsπ=0−π=−π，故该选项正确；
选项D，直线ax+2y+1=0的斜率为−a2，而f'π=−π，由已知，曲线fx=xsinx−1在x=π处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，所以−a2⋅(−π)=−1，所以a=−2π，该选项正确；
故选：BCD.
13．设函数fx=x2+ax+ae−xa∈R的导函数f'x存在两个零点x1、x2x1>x2，当a变化时，记点x1,fx1构成的曲线为C1，点x2,fx2构成的曲线为C2，则（ ）
A．曲线C1恒在x轴上方
B．曲线C1与C2有唯一公共点
C．对于任意的实数t，直线y=t与曲线C1有且仅有一个公共点
D．存在实数m，使得曲线C1、C2分布在直线y=−x+m两侧
【答案】AD
【解析】
对于A选项，因为fx=x2+ax+ae−xa∈R，则f'x=2−ax−x2e−x，
令f'x=0可得x=0或x=2−a，
因为函数f'x存在两个零点x1、x2x1>x2，则2−a≠0，即a≠2.
当2−a<0时，即当a>2时，x1=0，则fx1=a>2，
当2−a>0时，即当a<2时，x1=2−a，则fx1=f2−a=4−aea−2=x1+2e−x1，
则曲线C1为函数gx=x+2e−xx>0的图象以及射线x=0y>2，
且当x>0时，gx=x+2e−x>0，所以，曲线C1在x轴上方，A对；
对于B选项，当2−a<0时，即当a>2时，x2=2−a，
则fx2=f2−a=4−aea−2=x2+2e−x2，
当2−a>0时，即当a<2时，x2=0，则fx2=a<2
所以，曲线C2为函数ℎx=x+2e−xx<0的图象以及射线x=0y<2，
由图可知，曲线C1、C2无公共点，B错；
对于C选项，对于函数gx=x+2ex，g'x=1−x+2ex=−x+1ex<0，
此时函数gx在0,+∞上单调递减，且gx>0，
结合图象可知，当m≤0时，直线y=t与曲线C1没有公共点，C错；
对于D选项，对于函数φx=x+2ex，φ'x=−x+1ex，则φ'0=−1，
又因为φ0=2，所以，曲线y=φx在x=0处的切线方程为y−2=−x，即y=−x+2.
构造函数px=x+2ex−−x+2=x+2ex+x−2，则p0=0，
p'x=1−x+1ex=ex−x−1ex，
令mx=ex−x−1，则m'x=ex−1，
当x<0时，m'x<0，此时函数mx单调递减，
当x>0时，m'x>0，此时函数mx单调递增，
所以，mx≥m0=0，所以，p'x=ex−x−1ex≥0且p'x不恒为零，
所以，函数px在R上为增函数，
当x<0时，px当x>0时，px>p0=0，即x+2ex>−x+2，
所以，曲线C1、C2分布在直线y=−x+2的两侧，D对.
故选：AD.
14．已知函数fx=xlnx−ax2+xa∈R，则曲线y=fx在点1,f1处的切线l恒过定点_____________.
【答案】12,0##0.5,0
【解析】
函数fx=xlnx−ax2+xa∈R的定义域为0,+∞，
由fx=xlnx−ax2+x，得f'x=lnx+2−2ax，则f'1=2−2a．
又f1=1−a，则曲线y=fx在点1,f1处的切线l的方程为y−1−a=21−ax−1，
即y=21−ax−12，由x−12=0y=0可得x=12y=0，
所以直线l恒过定点12,0．
故答案为：12,0．
15．已知f(x)=lnxx2+1，则曲线在(1,1)处的切线方程为________．
【答案】y=x
【解析】
因为f(x)=lnxx2+1
所以f'(x)=1x⋅x2−lnx⋅2xx4=x−2xlnxx4=1−2lnxx3，
所以f'(1)=1，
∴切线方程为y−1=x−1，即y=x．
故答案为：y=x.
16．已知过点P(0，a)可作出曲线y=2x3–3x2的3条不同的切线，则实数a的取值范围是_______________ .
【答案】(0,14)
【解析】
函数y=2x3−3x2,求导得y'=6x2−6x,设切点为x0,2x03−3x02，
可得切线方程为y−2x03+3x02=6x02−6x0x−x0，
又切线过点P(0，a)代入得a−2x03+3x02=6x02−6x0−x0，即
4x03−3x02+a=0，由题意可得此方程有三个根，
令fx=4x3−3x2+a，f'x=12x2−6x=6x2x−1，
当x<0或x>12时，f'x>0，函数单调递增，
当0可得函数的极大值为f0=a，极小值为f12=a−14，若方程有三个根即函数的图象与x轴有三个交点，只需满足a>0a−14<0，即0故答案为：(0,14).
17．已知函数fx=csx+lnx+1．
(1)求函数fx的图象在x=0处的切线方程；
(2)判断函数fx的零点个数，并说明理由.
【答案】(1)y=x+1
(2)fx在区间−1,+∞上有且仅有一个零点，理由见解析
【解析】
(1)f'(x)=−sinx+1x+1，f'(0)=1,f(0)=1
所以函数fx的图象在x=0处的切线方程为y−1=x，
即y=x+1.
(2)设gx=f'x=−sinx+11+x，则g'x=−csx−11+x2，
①当x∈−1,π2时，g'x<0，所以gx=f'x单调递减；
且g0=f'0=1>0，gπ2=f'π2<0，
由零点存在定理可知，在区间−1,π2存在唯一的α，使gα=f'α=0
又当x∈−1,α时，gx=f'x>0；当x∈α,π2时，g(x)=f'(x)<0，
所以fx=csx+lnx+1在−1,α上单调递增，
且f0=1>0，f1e2−1=cs1e2−1+ln1e2=cs1e2−1−2<0 ，
所以fx在−1,α上有唯一零点；
当x∈α,π2时，fx单调递减，且fπ2=ln1+π2>0，
所以fx在α,π2上没有零点.
②当x∈π2,π时，
g'x单调递增，g'π2<0， g'π=1−11+π2>0，
所以g'x在区间π2,π有唯一零点，设为x=β，
当x∈π2,β时，g'x<0，此时gx=f'x单调递减；
当x∈β,π时，g'x>0，此时gx=f'x单调递增；
在区间π2,β上g'x<0，此时gx=f'x单调递减，
且gπ2=f'π2<0，故有f'x<0，此时fx单调递减，且fπ2=ln1+π2>0，
由g'β=0，得csβ=−11+β2，
所以fβ=csβ+ln1+β=ln1+β−11+β2>ln1+β−11+β>ln2−12>0.
当x∈β,π时， g'x>0，所以gx单调递增，
又g'5π6=−cs5π6−11+5π62=32−11+5π62>0，故5π6∈β,π，
g5π6=−sin5π6+11+5π6=−12+11+5π6<0，gπ=11+π>0，
所以存在γ∈5π6,π，使gγ=0，即f'γ=0，故x=γ为fx的极小值点.
此时fγ=csγ+lnγ+1>ln5π6+1+csγ>1+csγ≥0.
所以fx在π2,π上没有零点.
③当x∈π,+∞时，ln1+x>ln1+π>1，
所以fx=csx+ln1+x>1+csx≥0，所以fx在区间π,+∞上没有零点.
综上fx在区间−1,+∞上有且仅有一个零点.
18．已知fx=alnx−1x，求：
(1)当a=1时，求f'x；
(2)当f'2=1时，求a；
(3)fx在1,f1处的切线与直线2x−y=0平行，求a？
【答案】(1)f'x=1x+1x2
(2)a=32
(3)1
【解析】
(1)解：当a=1时，fx=lnx−1x，f'x=1x+1x2
(2)解：由题知f'x=ax+1x2，
因为f'2=1，所以f'2=a2+14=1，解得a=32
所以a=32
(3)解：由（2）知f'x=ax+1x2，
因为fx在1,f1处的切线与直线2x−y=0平行
所以f'1=a+1=2，解得a=1.
此时f1=−1，切线方程为：y+1=2x−1，即y=2x−3
满足与直线2x−y=0平行
所以a=1.
19．已知函数fx=lnx−ax.
(1)若a=1时，求曲线fx在点e,1−e处的切线方程；
(2)若函数fx有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)1e−1x−y=0
(2)0,1e
【解析】
(1)当a=1时，fx=lnx−x，f'x=1x−1.
k=f'e=1e−1
∴切线方程为y−1−e=1e−1x−e，即1e−1x−y=0
(2)令fx=0⇒lnxx=ax>0
设ℎx=lnxxx>0⇒ℎ'x=1−lnxx2
当x∈0,e时ℎ'x>0，当x∈e,+∞时ℎ'x<0，
∴ℎx在0,e上单调递增，在(e,+∞)单调递减
∵ℎe=1e,x→0时y→−∞,x→+∞时y→0
∴函数fx有两个零点时，a的取值范围为0,1e
20．已知函数fx=kx+1e−x+x2.
(1)求导函数f'x；
(2)当k=e时，求函数fx的图像在点1,1处的切线方程.
【答案】(1)f'(x)=−kxe−x+2x
(2)y=x+2
【解析】
(1)解：由题意，函数f(x)=k(x+1)e−x+x2，
可得f'(x)=k(e−x−(x+1)e−x)+2x=−kxe−x+2x.
(2)解：当k=e时，可得f(1)=3，
由（1）得f'(x)=−exe−x+2x，所以f'(1)=1，
所以函数fx的图像在点1,1处的切线方程y−3=1⋅(x−1)，即y=x+2.
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
f(x)＝lgax(a>0，a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)