【暑假衔接】新高三（高二升高三）暑假自学专题05指数与指数函数（教师版+学生版）

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基础知识复习
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
【知识拓展】
1．幂函数的图象和性质
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；
当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．
2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0))时恒有f(x)>0，当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0))时，恒有f(x)<0.
典型习题强化
1．设y1=90.9，y2=270.48，y3=13−1.5，则（ ）
A．y3>y1>y2B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2D．y1>y2>y3
2．下列运算中正确的是（ ）
A．2−π2=2−πB．a−1a=−a
C．m14n−388=m2n3D．x3−23+2=x9
3．已知a=1.50.2，b=lg0.81.2，c=0.80.2，则（ ）
A．a>c>bB．c>b>aC．a>b>cD．c>a>b
4．若实数x，y满足2x+4y=2x+2y，则x+2y的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(−x0)=−f(x0)，则称f(x)为“局部奇函数”．已知f(x)=−aex−1在R上为“局部奇函数”，则a的取值范围是（ ）
A．[−1,+∞)B．(−∞,−1]
C．[−1,0)D．(−∞,1]
6．函数fx=11+e−x，下列关于函数fx的说法错误的是（ ）
A．函数fx的图象关于原点对称
B．函数fx的值域为0,1
C．不等式fx>12的解集是0,+∞
D．fx是增函数
7．指数函数fx=a−1x在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．−2,−1B．2,+∞C．−∞,−2D．1,2
8．若x>0，函数y=a2−8x的值恒大于1，则实数a的取值范围为（ ）
A．−2,2；B．−∞,−2∪2,+∞；
C．−3,3；D．−∞,−3⋃3,+∞．
9．已知a>0，则“a>2”是“aa>a2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=4x−3×2x+2a．则关于x的不等式fx≤−6的解集为（ ）
A．(−∞,−2]B．(−∞,−1]C．−2,0⋃0,2D．−2,0∪2,+∞
11．下列化简结果中正确的有（m、n均为正数）（ ）
A．1amn=a−mnB．nan=a
C．amn=amanD．π−3.140=1
12．函数f(x)=(12)(−x2+6x−5)在下列哪些区间内单调递减（ ）
A．(−∞,3)B．(3,5)C．(1,3)D．(2,3)
13．已知函数f(x)=1−3x1+3x，则下列结论正确的有（ ）
A．f(x)的图象关于坐标原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的最大值为1D．f(x)在定义域上单调递减
14．若函数fx=2x+a2x是偶函数，则f1=___________．
15．已知函数f(x)=2x+a⋅2−x的图象关于原点对称，若f(2x−1)>32，则x的取值范围为________．
16．设fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=ex，若对任意的x∈0,b+2，不等式fx+b≥fx2恒成立，则符合条件的实数b的一个值是_______.
17．已知函数fx=4x−1，gx=a2x−1．
(1)当x∈R时，不等式fx≥gx恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当a>0时，求函数φx=fx+gx在区间−1,1上的最值．
18．函数fx=2x−12x+1x∈R.
(1)判断并证明函数f(x)的单调性；
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性；
(3)解不等式f(1−m)+f(1−m2)<0.
19．已知函数y=fx的定义域为R，满足对任意的x、y都有fx+y=fx+fy，当x<0时，fx>0.
(1)证明fx的奇偶性；
(2)是否存在k使得f22x+fk⋅2x+1>0在x∈1,2上恒成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.
20．已知f(x)=k⋅ax且f(0)=1,f(1)=2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式：f(2x)>2f(x)+3.
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇