高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题13导数与函数的极(最)值【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题13导数与函数的极(最)值【原卷版+解析】，共44页。

【热点聚焦】
新课程及新高考对极值（最值）的基本要求是：了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.从高考命题看，往往以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．
【重点知识回眸】
（一）函数的极值
1.函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2.函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
3.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点：
（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
4.极值点的作用：
（1）极值点为单调区间的分界点
（2）极值点是函数最值点的候选点
5.在处可导，那么为的一个极值点
说明：①前提条件：在处可导
②单向箭头：在可导的前提下，极值点导数，但是导数不能推出为的一个极值点，例如：在处导数值为0，但不是极值点
③上述结论告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：在处不可导，但是为函数的极小值点）
6.求极值点的步骤：
（1）筛选： 令求出的零点（此时求出的点有可能是极值点）
（2）精选：判断函数通过的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点
（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点
7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题.但要注意检验零点能否成为极值点.
8、极值点与函数奇偶性的联系：
（1）若为奇函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极小（极大）值点
（2）若为偶函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极大（极小）值点
（二）函数的最值
1.在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
2.若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3.最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点
4.最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值.例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到.没有最大值.
5.一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个.
6．“最值”与“极值”的区别和联系
如图为一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是
（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.
（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
7.结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．
8.最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点.
9.利用导数求函数的最值步骤:
一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求在内的极值；
（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值.
10.最值(点)的作用
（1）关系到函数的值域
（2）由最值可构造恒成立的不等式：
例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式.
【典型考题解析】
热点一 函数极值的辨析
【典例1】（重庆·高考真题（理））设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
【典例2】【多选题】(2023·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）已知函数，则（ ）
A．和0是函数的极值点
B．在上单调递增
C．的极大值为
D．的极小值为
【总结提升】
1.函数极值的辨析问题，特别是有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
2.f(x)在x＝x0处有极值时，一定有f ′(x0)＝0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在x＝x0两侧的符号后才可下结论；若f ′(x0)＝0，则f(x)未必在x＝x0处取得极值，只有确认x13.易错提醒：
（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
热点二 已知函数（图象），求极值点的个数
【典例3】(2023·北京·北师大二附中高二阶段练习）已知函数的定义域为(a，b)，导函数在(a，b)上的图象如图所示，则函数在(a，b)上的极大值点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例4】【多选题】(2023·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【易错提醒】
极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
热点三 已知函数（图象），求极值（点）
【典例5】（陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．是的零点B．1是的极值点
C．3是的极值D．点在曲线上
【典例6】(2023·全国·高考真题（理））若是函数的极值点，则的极小值为（ ）．
A．B．C．D．
【典例7】(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））函数的极值点是_________.
【方法总结】
一般地，有两种类型，即根据函数图象和已知函数求极值（点）问题，已知函数求极值（点）问题，求已知函数的极值，要注意f ′(x)＝0的根是否在定义域内．
热点四 已知极值(点)，求参数的值或取值范围
【典例8】（2023·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【典例9】（广东·高考真题（文））设，若函数，，有大于零的极值点，则（ ）
A．B．C．D．
【典例10】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例11】(2023·全国·高考真题（理））已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【典例12】(2023·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））若函数无极值点，则a的取值范围是______．
【规律方法】
1.已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
2.由函数极值（个数）求参数的值或范围．
讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
热点五 利用导数求函数的最值
【典例13】(2023·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________.
【典例14】(2023·安徽滁州·高二期末）已知函数，若在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)求函数在上的最大值．
【典例15】（2023·北京高考真题）已知函数．
（1）若，求在处切线方程；
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．
【规律方法】
1.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
2.当导函数y＝f ′(x)无法判断正负时，可令g(x)＝f ′(x)再求g′(x)，先判断g(x)＝f ′(x)的单调性，再根据单调性确定y＝f ′(x)的正负号．
热点六 函数的最值求参数值（范围）
【典例16】（2023·全国高三二模）已知直线与曲线相切，当取得最大值时，的值为_______________________．
【典例17】(2023·福建·莆田一中高二期末）已知函数，其中.
(1)当时，求函数在内的极值点；
(2)若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围.
【易错提醒】
1．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．
2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
热点七 利用导数解决生活中的优化问题
【典例18】](2023·江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝eq \f (1,40)a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－eq \f (1,800)b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价eq \f (3,2)k(万元)(k＞0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
【易错提醒】
1.利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f (x)．
(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
(4)回归实际问题，结合实际问题作答．
2.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等一般都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，若函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数（ ）
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
2．(2023·新疆·新和县实验中学高二期末（文））已知函数的导函数的图像如图所示，以下结论：
①在区间上有2个极值点
②在处取得极小值
③在区间上单调递减
④的图像在处的切线斜率小于0
正确的序号是（ ）
A．①④B．②③④C．②③D．①②④
3．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有极大值和
B．函数有极小值和
C．函数有极小值和极大值
D．函数有极小值和极大值
4．（2023·全国·高三专题练习）设直线与函数，的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A．1B．C．D．
5．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知函数有极值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·青海·西宁市海湖中学高三开学考试（理））若函数，满足恒成立，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．D．
7．(2023·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）若函数处有极大值，则常数的值为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．B．C．-1D．0
9．（河南省部分名校2023-2024学年高三上学期8月数学（理）开学考试巩固试题）已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，，且，则的最大值是（ ）
A．0B．2C．D．
10．(2023·福建·泉州市城东中学高二期中）已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
11．(2023·江西·丰城九中高二期末（理））函数在区间内仅有唯一极值点的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．C．D．
12．(2023·辽宁葫芦岛·高二期末）设函数.若在处取得极大值，a的值可能为（ ）
A．-2B．C．1D．2
三、填空题
13．（2023·浙江·杭州四中高三开学考试）已知函数在区间上的最大值是5，则实数a的取值范围是________．
14．(2023·广东广州·高二期末）已知函数有两个不同的极值点、，且，则实数的取值范围是___________.
15．(2023·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知关于不等式对任意和正数恒成立，则的最小值为______．
16．（2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）若是函数的极值点，则______；的极大值为______.
三、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
(1)讨论函数f（x）的定义域内的极值点的个数；
(2)若函数f（x）在x＝1处取得极值，∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的最大值．
18.(2023·北京高考真题（文））设函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]ex.
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围.
专题13 导数与函数的极（最）值
【热点聚焦】
新课程及新高考对极值（最值）的基本要求是：了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.从高考命题看，往往以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．
【重点知识回眸】
（一）函数的极值
1.函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2.函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
3.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点：
（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
4.极值点的作用：
（1）极值点为单调区间的分界点
（2）极值点是函数最值点的候选点
5.在处可导，那么为的一个极值点
说明：①前提条件：在处可导
②单向箭头：在可导的前提下，极值点导数，但是导数不能推出为的一个极值点，例如：在处导数值为0，但不是极值点
③上述结论告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：在处不可导，但是为函数的极小值点）
6.求极值点的步骤：
（1）筛选： 令求出的零点（此时求出的点有可能是极值点）
（2）精选：判断函数通过的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点
（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点
7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题.但要注意检验零点能否成为极值点.
8、极值点与函数奇偶性的联系：
（1）若为奇函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极小（极大）值点
（2）若为偶函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极大（极小）值点
（二）函数的最值
1.在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
2.若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3.最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点
4.最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值.例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到.没有最大值.
5.一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个.
6．“最值”与“极值”的区别和联系
如图为一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是
（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.
（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
7.结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．
8.最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点.
9.利用导数求函数的最值步骤:
一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求在内的极值；
（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值.
10.最值(点)的作用
（1）关系到函数的值域
（2）由最值可构造恒成立的不等式：
例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式.
【典型考题解析】
热点一 函数极值的辨析
【典例1】（重庆·高考真题（理））设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
答案：D
【解析】
【详解】
则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
【典例2】【多选题】(2023·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）已知函数，则（ ）
A．和0是函数的极值点
B．在上单调递增
C．的极大值为
D．的极小值为
答案：ACD
分析：先求导，再求出函数的单调区间和极值，判断即得解.
【详解】解：由题得
当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
所以和0分别是函数的极大值点和极小值点，所以选项A正确；
所以在上单调递减，所以选项B错误；
函数的极大值为，所以选项C正确；
函数的极小值为，所以选项D正确.
故选：ACD
【总结提升】
1.函数极值的辨析问题，特别是有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
2.f(x)在x＝x0处有极值时，一定有f ′(x0)＝0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在x＝x0两侧的符号后才可下结论；若f ′(x0)＝0，则f(x)未必在x＝x0处取得极值，只有确认x13.易错提醒：
（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
热点二 已知函数（图象），求极值点的个数
【典例3】(2023·北京·北师大二附中高二阶段练习）已知函数的定义域为(a，b)，导函数在(a，b)上的图象如图所示，则函数在(a，b)上的极大值点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
分析：根据极大值点的定义结合导函数的图象分析判断即可
【详解】由函数极值的定义和导函数的图象可知，在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点．
其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，
故极大值点有2个．
故选：B
【典例4】【多选题】(2023·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
答案：AC
【解析】
分析：
利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】
由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，
故D错误.
故选：AC.
【易错提醒】
极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
热点三 已知函数（图象），求极值（点）
【典例5】（陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．是的零点B．1是的极值点
C．3是的极值D．点在曲线上
答案：A
【解析】
【详解】
若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．
【典例6】(2023·全国·高考真题（理））若是函数的极值点，则的极小值为（ ）．
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
【典例7】(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））函数的极值点是_________.
答案：
分析：极值点是导函数的“变号零点”，先求导函数的零点，在检查导函数零点附近的符号.
【详解】，定义域为，令，解得，
当时，，单调递减；时，，单调递增，
故是极小值点.
故答案为：
【方法总结】
一般地，有两种类型，即根据函数图象和已知函数求极值（点）问题，已知函数求极值（点）问题，求已知函数的极值，要注意f ′(x)＝0的根是否在定义域内．
热点四 已知极值(点)，求参数的值或取值范围
【典例8】（2023·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】
若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【典例9】（广东·高考真题（文））设，若函数，，有大于零的极值点，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
题意即有大于0的实根,数形结合令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A.
【典例10】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：先利用导数求出函数的极小值点，然后使极小值点在内，从而可求出的取值范围
【详解】由题意，得，
当时，在上恒成立，所以在上递增，函数无极值，
所以，
令，则x＝±，
∵函数在（，）上，函数递减，在（，+∞）上，函数递增
∴x时，函数取得极小值
∵函数在区间（0，1）内有极小值，
∴01，
∴b∈（0，1）
故选：B．
【典例11】(2023·全国·高考真题（理））已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
答案：
【解析】
分析：
由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】
解：，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，当时，，则此时，与前面矛盾，
故不符合题意，
若时，则方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，
又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，
故切线方程为，
则有，解得，
则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，
又，所以，
综上所述，的范围为.
【典例12】(2023·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））若函数无极值点，则a的取值范围是______．
答案：
分析：先求导数，分离参数，构造新函数，结合导数研究新函数的单调性，最值，然后可得a的范围.
【详解】当时，单调递增，显然没有极值点，符合题意；
当时，，令，得，即；
设，则；
时，，为增函数；时，，为减函数；所以，简图如下：

因为无极值点，所以，解得.
故答案为：.
【规律方法】
1.已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
2.由函数极值（个数）求参数的值或范围．
讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
热点五 利用导数求函数的最值
【典例13】(2023·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________.
答案：
分析：由外接球表面积求出半径，设球心到底面距离为，由三角函数关系解出底面三角形面积，由此可确定正三棱锥体积关于的函数关系.
【详解】因为，所以正三棱锥外接球半径，
正三棱锥如图所示，设外接球圆心为，过向底面作垂线垂足为，
因为是正三棱锥，所以是的中心，
所以，,
又因为，所以
，
所以，
令，
解得
所以在递增，在递减，
故当时，取最大值，.
故答案为：.
【典例14】(2023·安徽滁州·高二期末）已知函数，若在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)求函数在上的最大值．
答案：(1)，；(2)
分析：（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解，；
（2）结合导数分析函数的单调性，然后结合单调性与最值关系可求函数的最大值．
（1）因为，所以，由题意得，所以，；
（2）由（1）得，，因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极大值，又，，因为故函数在上的最大值为．
【典例15】（2023·北京高考真题）已知函数．
（1）若，求在处切线方程；
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．
答案：（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【解析】
（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】
（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
【规律方法】
1.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
2.当导函数y＝f ′(x)无法判断正负时，可令g(x)＝f ′(x)再求g′(x)，先判断g(x)＝f ′(x)的单调性，再根据单调性确定y＝f ′(x)的正负号．
热点六 函数的最值求参数值（范围）
【典例16】（2023·全国高三二模）已知直线与曲线相切，当取得最大值时，的值为_______________________．
答案：
【解析】
设切点为，根据导数的几何意义，可得，即可求得b的表达式，又切点在曲线上，代入可得，设，利用导数判断其单调性，求得极值，即可得答案.
【详解】
设切点为，
因为，
所以，即，
又因为，
所以，所以.
令
所以当时，，则在区间上单调递增，
当时，，则在区间上单调递减﹐
所以
所以的最大值为1，此时.
故答案为：1
【典例17】(2023·福建·莆田一中高二期末）已知函数，其中.
(1)当时，求函数在内的极值点；
(2)若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围.
答案：(1)极大值点为，无极小值点
(2)
分析：（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此可求得函数的值域；
（2）求得函数的解析式，然后结合导函数的符号确定函数的单调性，分类讨论即可求得实数的取值范围.
（1）解：由题意得：当时，，则，令得，，列表如下：
故在内的极大值点为，无极小值点.
（2）①当时，，函数在区间单调递增所以即（舍）；②当时，，函数在区间单调递减所以，符合题意；③当时当时，，区间在单调递减当时，，区间在单调递减所以化简得：，即所以或（都舍）；注：也可令，则则在单调递减所以，不符合题意；综上所述：实数k取值范围为.
【易错提醒】
1．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．
2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
热点七 利用导数解决生活中的优化问题
【典例18】](2023·江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝eq \f (1,40)a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－eq \f (1,800)b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价eq \f (3,2)k(万元)(k＞0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
答案：(1)桥AB的长度为120米；
(2)当O′E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低．
【解析】(1)如图，设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．由条件知，当O′B＝40时，BB1＝－eq \f (1,800)×403＋6×40＝160，则AA1＝160.
由eq \f (1,40)O′A2＝160，
得O′A＝80.
所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝120(米)．
(2)以O为原点，OO′为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)．
设F(x，y2)，x∈(0,40)，则y2＝－eq \f (1,800)x3＋6x，
EF＝160－y2＝160＋eq \f (1,800)x3－6x.
因为CE＝80，所以O′C＝80－x.
设D(x－80，y1)，则y1＝eq \f (1,40)(80－x)2，
所以CD＝160－y1＝160－eq \f (1,40)(80－x)2＝－eq \f (1,40)x2＋4x.
记桥墩CD和EF的总造价为f (x)，
则f (x)＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(160＋\f (1,800)x3－6x))＋eq \f (3,2)keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (1,40)x2＋4x))
＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,800)x3－\f (3,80)x2＋160))(0＜x＜40)．
f ′(x)＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3,800)x2－\f (3,40)x))＝eq \f (3k,800)x(x－20)，
令f ′(x)＝0，得x＝20.
所以当x＝20时，f (x)取得最小值．
答：(1)桥AB的长度为120米；
(2)当O′E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低．
【易错提醒】
1.利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f (x)．
(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
(4)回归实际问题，结合实际问题作答．
2.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等一般都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，若函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数（ ）
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
答案：C
分析：设的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为，根据导函数的图象写出函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得出答案.
【详解】解：设的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为，
当或或时，，
当或时，，
所以函数在，和上递增，
在和上递减，
所以函数的极小值点为，极大值点为，
所以函数有两个极大值点、两个极小值点.
故选：C．
2．(2023·新疆·新和县实验中学高二期末（文））已知函数的导函数的图像如图所示，以下结论：
①在区间上有2个极值点
②在处取得极小值
③在区间上单调递减
④的图像在处的切线斜率小于0
正确的序号是（ ）
A．①④B．②③④C．②③D．①②④
答案：B
分析：根据导函数的图像，求出函数的单调区间，求出函数的极值点，分析判断①②③，对于④：由于的图像在处的切线斜率为，从而可由导函数的图像判断.
【详解】根据的图像可得，在上，，所以在上单调递减，
所以在区间上没有极值点，故①错误，③正确；
由的图像可知，在单调递减，在单调递增，故②正确；
根据的图像可得，即的图像在处的切线斜率小于0，故④正确.
故选：B.
3．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有极大值和
B．函数有极小值和
C．函数有极小值和极大值
D．函数有极小值和极大值
答案：D
分析：根据函数的图象判断导数在各个区间上的符号，再根据极值的定义即可得解.
【详解】解：由图可知，当时，，当，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以函数有极小值和极大值.
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）设直线与函数，的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A．1B．C．D．
答案：B
分析：由题意，函数的最小值即|MN|达到最小值时，再求导分析的极小值点即可
【详解】设函数，求导数得
因为，故当时，，函数在上为单调减函数，
当时，，函数在上为单调增函数
所以x为的极小值点.故当|MN|达到最小时t的值为．
故选：B．
5．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知函数有极值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：先求导，由题设得必有两个不等的实根，再利用判别式求解即可.
【详解】由题意知，定义域为R，，要使函数有极值，则必有两个不等的实根，
则，解得.
故选：D.
6．（2023·青海·西宁市海湖中学高三开学考试（理））若函数，满足恒成立，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．D．
答案：C
分析：由题意，分离参数可得，令，然后利用导数求出的最小值即可求解.
【详解】解：因为，满足恒成立，
所以，
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
所以的最大值为，
故选：C.
7．(2023·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）若函数处有极大值，则常数的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：由导函数在2处的函数值为0求出c，再检验在处是否取得极大值即可得解.
【详解】函数，
依题意得，即或，
时，，
当时，，当时，，
则在处取极小值，不符合条件，
时，，
当时，，当时，，
则在处取极大值，符合条件，
所以常数的值为6.
故选：D.
8．(2023·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．B．C．-1D．0
答案：C
分析：根据题意得到为偶函数，由时，，利用导数求得函数的的单调区间，进而求得函数的最小值.
【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
且满足，所以为偶函数，当时，，
可得，在单调递增，
又由为偶函数，所以在单调递减，单调递增，
所以.
故选：C.
9．（河南省部分名校2023-2024学年高三上学期8月数学（理）开学考试巩固试题）已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，，且，则的最大值是（ ）
A．0B．2C．D．
答案：C
分析：利用导数判断出函数在上递增，转化为存在，使得有两个相异实根，
作出函数的图象，结合图象有，设，再利用导数可得答案.
【详解】由于，故函数在上递增，
又有两个相异实根，所以存在，使得有两个相异实根，
作出函数的图象，如图所示：
由图以及题意可知，，
由，解得，，即有，
设，，可得，
所以在上单调递增，．
故选：C.
10．(2023·福建·泉州市城东中学高二期中）已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：先求导由，是极值点，得，进而将不等式恒成立转化为，构造函数求得最小值，即可求出实数的取值范围.
【详解】由题意得，，，所以，是方程的两个正根，
所以，不等式恒成立，即恒成立；
又，
则，又，可得，则.
令，则，
所以在上单调递减，所以，故.
故选：B.
二、多选题
11．(2023·江西·丰城九中高二期末（理））函数在区间内仅有唯一极值点的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．C．D．
答案：AB
分析：在区间内仅有唯一极值点等价于在区间内仅有唯一异号零点.利用零点存在定理即可求出的取值范围.则可选出答案.
【详解】在区间内仅有唯一极值点
等价于在区间内仅有唯一异号零点.
当时：不满足题意;
当时：或
当时：；
当时：
综上所述：当或时函数在区间内仅有唯一极值点.
故选：AB.
12．(2023·辽宁葫芦岛·高二期末）设函数.若在处取得极大值，a的值可能为（ ）
A．-2B．C．1D．2
答案：AB
分析：求得的导数，注意分解因式，讨论a＝0， ，a，0＜a，a＜0，由极大值的定义，即可得到所求a的范围．
【详解】的导数为，
若a＝0则x＜2时，，递增；x＞2，，递减．
x＝2处取得极大值，满足题意；
若a，则，递增，无极值；
若，则2，在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，
可得在x＝2处取得极小值；不满足题意．
当0＜a，则2，在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，
可得在x＝2处取得极大值，满足题意；
若a＜0，则0x＝2处取得极大值，满足题意；综上可得，a的范围是：．
故选：AB
三、填空题
13．（2023·浙江·杭州四中高三开学考试）已知函数在区间上的最大值是5，则实数a的取值范围是________．
答案：
分析：结合绝对值的定义把a分成三段讨论：，，．
【详解】，，
（1）当时，，，
，
时，，递减，时，，递增，
所以最大值为或中的最大值，此时满足题意；
（2）时，，，
，递增，，不合题意，
（3）时，，，不合题意，
综上，．
故答案为：．
14．(2023·广东广州·高二期末）已知函数有两个不同的极值点、，且，则实数的取值范围是___________.
答案：
分析：由可得，分析可知函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，且，
令可得，
设，其中，则函数在上有两个不等的零点，
所以，，解得.
故答案为：.
15．(2023·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知关于不等式对任意和正数恒成立，则的最小值为______．
答案：1
分析：不等式，化为不等式，设，利用导数和函数最值的关系求出，可得的关系，在构造函数利用导数求出函数的最小值即可．
【详解】解：不等式，化为不等式，
设，，
当时，，在上单调递减，
则函数无最小值，不符合题意，
若时，令，，
在时，，为增函数，
在时，，为减函数．
由题意可得，
当时，，
因为，所以，所以
则，
设，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
所以，
即的最小值为1．
故答案为：1.
16．（2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）若是函数的极值点，则______；的极大值为______.
答案： 4e
分析：根据题意得出，可求得实数的值，然后利用导数可求得函数的极大值.
【详解】∵，∴，
由题意可得，解得.
，，令，得或.
列表如下：
所以，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为，
所以，函数的极大值为.
故答案为：；的极大值为.
三、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
(1)讨论函数f（x）的定义域内的极值点的个数；
(2)若函数f（x）在x＝1处取得极值，∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的最大值．
答案：(1)答案见解析；
(2)1.
分析：（1）求导，再对分和两种情况讨论得解；
（2）等价于1，令g（x）＝1，求出函数的最小值即得解.
（1）解： f（x）的定义域为（0，+∞）．．当a≤0时，≤0在 （0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．f（x）在（0，+∞）上没有极值点．当a＞0时，由＞0得x，所以，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，即f（x）在x处有极小值．综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上没有极值点；当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．
（2）解：∵函数f（x）在x＝1处取得极值，＝a﹣1＝0，则a＝1，从而f（x）＝x﹣1﹣lnx．因此f（x）≥bx﹣2 ，即1，令g（x）＝1，则，由≥0得x≥e2则g（x）在（0，e2）上递减，在（e2，+∞）上递增，，故实数b的最大值是1．
18.(2023·北京高考真题（文））设函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]ex.
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围.
答案：（Ⅰ）12；（Ⅱ）(1,+∞)
【解析】
（Ⅰ）因为f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]ex，
所以f'(x)=[ax2−(a+1)x+1]ex.
f'(2)=(2a−1)e2，
由题设知f'(2)=0，即(2a−1)e2=0，解得a=12.
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得f'(x)=[ax2−(a+1)x+1]ex=(ax−1)(x−1)ex.
若a>1，则当x∈(1a,1)时，f'(x)<0；
当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0.
所以f(x)在x=1处取得极小值.
若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax−1≤x−1<0，
所以f'(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点.
综上可知，a的取值范围是(1,+∞).
方法二：f'(x)=(ax−1)(x−1)ex.
（1）当a=0时，令f'(x)=0得x=1.
f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：
∴f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0时，令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.
①当x1=x2，即a=1时，f'(x)=(x−1)2ex≥0，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(x)无极值，不合题意.
②当x1>x2，即0∴f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.
③当x11时，f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：
∴f(x)在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.
（3）当a<0时，令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.
f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：
∴f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.
综上所述，a的取值范围为(1,+∞).
增
极大值
减
极小值
增
x
0
1
3
+
0
-
0
1
单调递增
5
单调递减
1
x
(0,20)
20
(20,40)
f ′(x)
－
0
＋
f (x)
↘
极小值
↗
极小值
极大值
x
(−∞,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
−
f(x)
↗
极大值
↘
x
(−∞,1)
1
(1,1a)
1a
(1a,+∞)
f'(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
(−∞,1a)
1a
(1a,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
(−∞,1a)
1a
(1a,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
−
0
+
0
−
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘