高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题13导数与函数的极(最)值【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题13导数与函数的极(最)值【原卷版+解析】，共44页。
【热点聚焦】
新课程及新高考对极值（最值）的基本要求是：了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.从高考命题看，往往以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．
【重点知识回眸】
（一）函数的极值
1.函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2.函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
3.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点：
（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
4.极值点的作用：
（1）极值点为单调区间的分界点
（2）极值点是函数最值点的候选点
5.在处可导，那么为的一个极值点
说明：①前提条件：在处可导
②单向箭头：在可导的前提下，极值点导数，但是导数不能推出为的一个极值点，例如：在处导数值为0，但不是极值点
③上述结论告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：在处不可导，但是为函数的极小值点）
6.求极值点的步骤：
（1）筛选： 令求出的零点（此时求出的点有可能是极值点）
（2）精选：判断函数通过的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点
（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点
7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题.但要注意检验零点能否成为极值点.
8、极值点与函数奇偶性的联系：
（1）若为奇函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极小（极大）值点
（2）若为偶函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极大（极小）值点
（二）函数的最值
1.在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
2.若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3.最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点
4.最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值.例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到.没有最大值.
5.一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个.
6．“最值”与“极值”的区别和联系
如图为一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是
（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.
（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
7.结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．
8.最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点.
9.利用导数求函数的最值步骤:
一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求在内的极值；
（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值.
10.最值(点)的作用
（1）关系到函数的值域
（2）由最值可构造恒成立的不等式：
例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式.
【典型考题解析】
热点一 函数极值的辨析
【典例1】（重庆·高考真题（理））设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
【典例2】【多选题】(2023·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）已知函数，则（ ）
A．和0是函数的极值点
B．在上单调递增
C．的极大值为
D．的极小值为
【总结提升】
1.函数极值的辨析问题，特别是有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
2.f(x)在x＝x0处有极值时，一定有f ′(x0)＝0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在x＝x0两侧的符号后才可下结论；若f ′(x0)＝0，则f(x)未必在x＝x0处取得极值，只有确认x10时，令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.
①当x1=x2，即a=1时，f'(x)=(x−1)2ex≥0，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(x)无极值，不合题意.
②当x1>x2，即01满足题意.
（3）当a