高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题25解三角形中的最值、范围问题【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题25解三角形中的最值、范围问题【原卷版+解析】，共39页。

【热点聚焦】
近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.
【重点知识回眸】
余弦定理变形应用：
变式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值
（二）三角形中的不等关系
（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少
（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：
其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效.
（三）解三角形中处理不等关系的几种方法
1．三角形中的最值、范围问题的解题策略和步骤
（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）
（2）利用均值不等式求得最值
（3）
= 1 \* GB3 ①定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．
= 2 \* GB3 ②构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．
= 3 \* GB3 ③求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．
2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．
【典型考题解析】
热点一 三角形角(函数值)相关的最值(范围)问题
【典例1】（2023·山西·祁县中学高三阶段练习（理））在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【典例2】（2023·河南·高三开学考试（文））的内角的对边分别为，若，则的最小值为________.
【典例3】（2023·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
【总结提升】
求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解．
热点二 三角形边(周长)相关的最值(范围)
【典例4】(2023·北京·高考真题（文））若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.
【典例5】(2023·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【典例6】(2023·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【典例7】（2023·全国·高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
【典例8】(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【规律方法】
求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解．
热点三 求三角形面积的最值(范围)
【典例9】（2023·山西大同·高三阶段练习）在中，角的对边分别为，且，且，则面积的最大值为___________.
【典例10】(2023·全国·高三专题练习）已知A，B，C分别是椭圆上的三个动点，则面积最大值为_____________.
【典例11】（2023·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【典例12】（2023·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）在中，内角的对边分别是，.
(1)求角的大小；
(2)若点满足，且，求面积的最小值.
【规律方法】
求三角形面积的最值(范围)的两种思路
(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．
(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc的最值从而求出三角形面积的最值．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·上海市松江一中高三阶段练习）在中，、、分别是角、、所对的边，是、的等差中项，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（ ）
A．16B．C．64D．
3．(2023·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（ ）
A．6B．12C．18D．24
4．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则 的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．7
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，的内角所对的边分别为，且.若是外一点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．的内角
B．的内角
C．四边形面积的最小值为
D．四边形面积无最大值
6．(2023·云南·高三阶段练习）如图，在长方体中，，，点满足，点在底面的边界及其内部运动，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点所在区域面积为B．线段长度最小值为
C．有且仅有一个点使得D．四面体的体积取值范围为
三、填空题
7．(2023·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC周长的最大值为________．
8．（2023·江西南昌·高三阶段练习）已知的内角所对应的边分别为，且满足， 则的面积取得最大值时，=______．
9．（2023·河南·高三开学考试（理））的内角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为________，此时________．
10．(2023·全国·高三专题练习）的外接圆半径为1，角的对边分别为若，且，则________；的最大值为_________
四、解答题
11．(2023·湖北·襄阳五中高三阶段练习）在中，为上一点，.
(1)若为的中点，，求的面积；
(2)若，求的面积的最小值.
12．(2023·广东广州·高三开学考试）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
13．(2023·广东·高三开学考试）已知锐角中，角、、所对边为、、，且．
(1)求角；
(2)若，求的取值范围．
14．(2023·河南·高三开学考试（文））已知分别为的内角所对的边，且
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
15．(2023·上海·模拟预测）在如图所示的五边形中，，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距离相等，角，P，Q关于OM对称；
(1)若点P与点C重合，求的大小；
(2)求五边形面积S的最大值，
16．(2023·广东·广州市真光中学高三开学考试）在平面四边形中，，，．
(1)若为等边三角形，求的面积．
(2)若，求的最大值．
17．（2023·河北·高三阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，在
①，②
两个条件中任选一个完成以下问题：
(1)求B；
(2)若D在上，且，求的最大值．
18．(2023·浙江·高三开学考试）记内角的对边分别是，已知.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
专题25 解三角形中的最值、范围问题
【热点聚焦】
近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.
【重点知识回眸】
余弦定理变形应用：
变式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值
（二）三角形中的不等关系
（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少
（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：
其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效.
（三）解三角形中处理不等关系的几种方法
1．三角形中的最值、范围问题的解题策略和步骤
（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）
（2）利用均值不等式求得最值
（3）
= 1 \* GB3 ①定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．
= 2 \* GB3 ②构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．
= 3 \* GB3 ③求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．
2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．
【典型考题解析】
热点一 三角形角(函数值)相关的最值(范围)问题
【典例1】（2023·山西·祁县中学高三阶段练习（理））在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
答案：C
分析：先由正弦定理化简得，结合基本不等式求得，再由正切和角公式求解即可.
【详解】在中，，所以，又，整理得：，
又，得到，因为角A、B、C为锐角，故、、均为正数，
故整理得，当且仅当时等号成立，
此时，
当取最小值时，取最大值，取最小值，故的最大值为，
即当时，的最大值为．
故选：C．
【典例2】（2023·河南·高三开学考试（文））的内角的对边分别为，若，则的最小值为________.
答案：
分析：先根据题目条件和正弦定理得到，结合的余弦定理表达式，得到的关系，利用此关系求的最小值.
【详解】由条件可知，，由正弦定理得，由余弦定理得，，化简可得.所以，当且仅当时取得等号，取得最小值.
故答案为：
【典例3】（2023·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
答案：（I）；（II）
【解析】
分析：
（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】
（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即．
结合余弦定，
∴，
即,
即,
即,
即,
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故．
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II）
[方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即．
结合，得．
由临界状态（不妨取）可知．
而为锐角三角形，所以．
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是．
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
【整体点评】
（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
【总结提升】
求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解．
热点二 三角形边(周长)相关的最值(范围)
【典例4】(2023·北京·高考真题（文））若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.
答案：
【解析】
分析：
根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.
【详解】
，
，即，
，
则，
为钝角，，
，故.
故答案为，.
【典例5】(2023·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
答案：##
【解析】
分析：
设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
【典例6】(2023·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
答案：9
【解析】
【详解】
分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
【典例7】（2023·全国·高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】
（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
【整体点评】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；
方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.
方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.
【典例8】(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
答案：(1)；
(2)．
【解析】
分析：
（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
(1)
因为，即，
而，所以；
(2)
由（1）知，，所以，
而，
所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
【规律方法】
求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解．
热点三 求三角形面积的最值(范围)
【典例9】（2023·山西大同·高三阶段练习）在中，角的对边分别为，且，且，则面积的最大值为___________.
答案：##
分析：利用余弦定理进行角化边后，结合基本不等式，三角形面积公式求解.
【详解】由余弦定理，可化为，整理可得，由余弦定理，又，故，根据基本不等式，取得等号，故，即面积的最大值为.
故答案为：.
【典例10】(2023·全国·高三专题练习）已知A，B，C分别是椭圆上的三个动点，则面积最大值为_____________.
答案：##4.5
分析：作变换之后椭圆变为圆，方程为，是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则，求出，代入即可得出答案.
【详解】作变换之后椭圆变为圆，方程为，
是圆的内接三角形，设的半径为，
设所对应边长为，所以
，当且仅当时取等，
因为在上为凸函数，则，
，当且仅当时取等，
所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此，又因为，
∴.
故答案为：.
【典例11】（2023·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
答案：(1) ;(2).
【解析】
分析：
(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
【详解】
(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.
又应用正弦定理，，
由三角形面积公式有：
.
又因,故，
故.
故的取值范围是
【典例12】（2023·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）在中，内角的对边分别是，.
(1)求角的大小；
(2)若点满足，且，求面积的最小值.
答案：(1)
(2)
分析：（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；
（2）由题意得，进而利用三角面积可转化，从而有，再由面积公式与基本不等式求解即可
（1）
因为，所以.
因为，
所以.
因为，
所以.
又因为，
所以.
（2）
因为，
所以点D在线段上，且.
因为，
所以，
即为的角平分线.
由（1）得，
所以.
由，得，
即，得，当且仅当时，等号成立，
.
故面积的最小值为.
【规律方法】
求三角形面积的最值(范围)的两种思路
(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．
(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc的最值从而求出三角形面积的最值．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·上海市松江一中高三阶段练习）在中，、、分别是角、、所对的边，是、的等差中项，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据等差中项的性质及内角和的性质求出，再由余弦定理及基本不等式计算可得.
【详解】解：依题意，在中是、的等差中项，所以，
又，所以，
由余弦定理
，
又，当且仅当时取等号，所以，
所以，
即，即，所以；
故选：D
2．(2023·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（ ）
A．16B．C．64D．
答案：B
分析：利用正弦定理及诱导公式可得，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得.
【详解】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由题可知，，
所以，即，
又，即，
当且仅当取等号，
所以.
故选：B.
3．(2023·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（ ）
A．6B．12C．18D．24
答案：A
分析：利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值．
【详解】设，，
由于，
在和中应用余弦定理可得：
，整理可得：，
结合勾股定理可得的面积：
，
当且仅当时等号成立．
则面积的最大值为6．
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则 的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．7
答案：B
分析：根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得 ，
即 ，得，
得 ，
当且仅当，即时，取等号，
故选：B．
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，的内角所对的边分别为，且.若是外一点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．的内角
B．的内角
C．四边形面积的最小值为
D．四边形面积无最大值
答案：AB
分析：根据正弦定理进行边化角求角，从而判断选项A，B正确；把四边形的面积表示成的三角函数，从而根据三角函数求最值
【详解】因为，
所以由正弦定理，得，
所以，
又因为，所以，所以
因为所以，
又因为，所以， 所以，
所以，因此A，B正确；
四边形面积等于
，
所以当即时，取最大值，
所以四边形面积的最大值为，
因此C，D错误
故选：AB
6．(2023·云南·高三阶段练习）如图，在长方体中，，，点满足，点在底面的边界及其内部运动，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点所在区域面积为B．线段长度最小值为
C．有且仅有一个点使得D．四面体的体积取值范围为
答案：AD
分析：A选项，由时，与底面的所成角求解判断； B选项，若取最小值时，则线段长度最小，由，，三点共线求解判断； C选项，由点与点重合，由点与点重合，利用余弦定理求解判断；，D选项，由点位于上时，此时点到平面的距离最大，当与点重合时，此时点到平面的距离最小求解判断.
【详解】如图所示：
A选项，当时，与底面的所成角，故点所在区域为以为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界弧长），即圆的，面积为，A正确；
B选项，当取最小值时，线段长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当，，三点共线时，取得最小值，即，则，B错误；
C选项，不妨点与点重合，此时，由余弦定理得：，则，同理可得：，故多于一个点使得，C错误；
D选项，当点位于上时，此时点到平面的距离最大，最大距离，此时四面体的体积为，当与点重合时，此时点到平面的距离最小，最小距离为，因为，所以，所以最小体积为，故四面体的体积取值范围为 ，D正确，
故选：AD．
三、填空题
7．(2023·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC周长的最大值为________．
答案：
分析：根据正弦定理，结合三角恒等变换可得，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.
【详解】由正弦定理，即，又，故，即.
由二倍角公式有，因为，故，所以，所以，即.
由余弦定理，结合基本不等式有，即，，故，当且仅当时取等号.
故△ABC周长的最大值为的最大值为.
故答案为：
8．（2023·江西南昌·高三阶段练习）已知的内角所对应的边分别为，且满足， 则的面积取得最大值时，=______．
答案：
分析：根据余弦定理结合同角三角函数的关系可得，进而表达出，结合基本不等式求解的最值，进而求得即可.
【详解】由余弦定理，，又，故，故
.
又，故
，当且仅当，即时取等号.
此时，即.
故的面积取得最大值时，.
故答案为：
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
9．（2023·河南·高三开学考试（理））的内角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为________，此时________．
答案：
分析：由已知条件结合正余弦定理可得，再利用余弦定理结合基本不等式可求出的最小值，从而可求出的最大值，则可求出，再利用二倍角公式可求出.
【详解】由条件可知，，由正弦定理得，
由余弦定理得，，则．
所以，
当且仅当时取得等号，取得最小值．
因为，
所以，当且仅当时取得等号，
故的最大值为．
此时，
所以，
所以，
因为角为锐角，
所以．
故答案为：，
10．(2023·全国·高三专题练习）的外接圆半径为1，角的对边分别为若，且，则________；的最大值为_________
答案：
分析：由余弦定理求得，由向量数量积可得为锐角，再由正弦定理结合外接圆半径可求得，用正弦定理把表示为的三角函数，利用两角和与差的正弦公式变形化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质得最大值．
【详解】,
又，所以，
，所以是钝角，所以，
由得，，
，
设，（为锐角），
则，
由得，，为锐角，则，
所以时，取得最大值．
故答案为：；．
四、解答题
11．(2023·湖北·襄阳五中高三阶段练习）在中，为上一点，.
(1)若为的中点，，求的面积；
(2)若，求的面积的最小值.
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据中线向量公式可得关系，结合余弦定理可求，从而可求面积.
（2）根据不同三角形的面积关系可得，利用基本不等式可求的最小值，从而可求面积的最小值.
（1）
因为为的中点，所以，
.
记角的对边分别为，
因为，故A为锐角，所以，
则.
又由余弦定理得：
两式联立解得：，所以.
（2）
，
，
，
即，
即（当且仅当时取得最小值）
所以.
12．(2023·广东广州·高三开学考试）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
答案：(1)证明见解析
(2)
分析：（1）由已知及余弦定理可推出,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得，即可证明结论；
（2）利用（1）的结论将边化角，结合三角恒等变换可得，由基本不等式可求得答案.
（1）
证明：在中，由已知及余弦定理，得，
即,
由正弦定理，得，又，
故
.
∵，∴,
∵，∴，故.
（2）
由（1）得，∴，，
由（1），得
，
当且仅当时等号成立，
所以当时，的最小值为.
13．(2023·广东·高三开学考试）已知锐角中，角、、所对边为、、，且．
(1)求角；
(2)若，求的取值范围．
答案：(1)
(2)
分析：（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于的三角函数，根据的取值范围及正弦函数的性质计算可得.
（1）
解：因为，所以，
所以，从而，
即，
所以，因为，所以．
（2）
解：因为，，由正弦定理，有
所以，，
所以，
又因为为锐角三角形，
所以，即，所以，
所以，从而的取值范围为．
14．(2023·河南·高三开学考试（文））已知分别为的内角所对的边，且
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
答案：(1)；
(2).
分析：（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；
（2）由余弦定理表示出关系，再由基本不等式得出的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得．
（1）
在中，由题意及正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得，
因为，
所以；
（2）
方法一：由（1）知，，又，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以；
方法二：由（1）知，，又，
所以由正弦定理，知，
所以，
所以，
又因为，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，的面积取得最大值，最大值为.
15．(2023·上海·模拟预测）在如图所示的五边形中，，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距离相等，角，P，Q关于OM对称；
(1)若点P与点C重合，求的大小；
(2)求五边形面积S的最大值，
答案：(1)
(2)
分析：（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理即可得出答案；
（2）根据题意可得，则，设，则，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.
(1)
解：若点P与点C重合，连接，
，
在中，，
所以，
因为，
所以，
所以；
(2)
解：连接，
因为曲线CMD上任一点到O距离相等，
所以，
因为P，Q关于OM对称，
所以，
设，则，
则
，其中，
当时，取得最大值，
所以五边形面积S的最大值为.
16．(2023·广东·广州市真光中学高三开学考试）在平面四边形中，，，．
(1)若为等边三角形，求的面积．
(2)若，求的最大值．
答案：(1)
(2)
分析：（1）利用余弦定理求出的长，结合勾股定理可知，进而可求得的大小，利用三角形的面积公式可求得的面积；
（2）设，利用正弦定理可得出，利用余弦定理可得出关于的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得的最大值.
（1）
解：在中，由余弦定理，得．
即，所以，
所以，因此，
因为为等边三角形，所以，，所以．
所以.
（2）
解：设，则，
在中，由正弦定理得，
即，所以．
在中，由余弦定理，得，
，
，则，故当时，即当时，
取到最大值，即的最大值为.
17．（2023·河北·高三阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，在
①，②
两个条件中任选一个完成以下问题：
(1)求B；
(2)若D在上，且，求的最大值．
答案：(1)
(2)
分析：（1）选①，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求出；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到，从而求出；
（2）法一：利用余弦定理得到，利用基本不等式求出，求出面积的最大值，从而求出的最大值；法二：利用正弦定理外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出的最大值.
(1)
若选①，由正弦定理得，
即，即
∴，
∵，∴，
若选②,
∵，
∴，即，
即（舍）或，
∵，∴，
(2)
∵，为边上的高，当面积最大时，高取得最大值
法一：由余弦定理得，，
由重要不等式得，
当且仅当时取等，
所以
所以边上的高的最大值为
法二：由正弦定理得外接圆的直径为，
利用正弦定理表示面积得：
所以边上的高的最大值为．
18．(2023·浙江·高三开学考试）记内角的对边分别是，已知.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
答案：(1)证明见解析；
(2)
分析：（1）首先化简条件中的正切等式，再将正切写成正弦和余弦，最后利用正弦定理，角化为边，即可证明；
（2）首先设，利用三角不等式的恒等式，化简后可得的取值范围，再计算的取值范围.
（1）
由得：即
两边同时除以得：
即所以
因此得证；
（2）
设①，代入可得②，
由三角不等式得：，即③，
将①②代入③得，
整理得且解得，
因为，显然在上单调递增，所以