高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题14利用导数证明一元不等式【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题14利用导数证明一元不等式【原卷版+解析】，共38页。

【热点聚焦】
从高考命题看，通过研究函数性质与最值证明一元不等式，是导数综合题常涉及的一类问题. 导数是研究函数的工具，利用导数我们可以方便地求出函数的单调性、极值、最值等，在证明与函数有关的不等式时，我们可以把不等式问题转化为函数的最值问题，也常构造函数，把不等式的证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题
【重点知识回眸】
（一）证明方法的理论基础
（1）若要证(为常数）恒成立，则只需证明：，进而将不等式的证明转化为求函数的最值
（2）已知的公共定义域为，若，则
证明：对任意的，有
由不等式的传递性可得：，即
（二）证明一元不等式主要的方法
1.方法一：将含的项或所有项均移至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明. 例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式.其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性
2.方法二：利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为的形式，若能证明，即可得：，本方法的优点在于对的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强，如果与不满足，则无法证明.
（三）常见构造函数方法
(1)直接转化为函数的最值问题：把证明f (x)＜g(a)转化为f (x)max＜g(a).
(2)移项作差构造函数法：把不等式f (x)＞g(x)转化为f (x)－g(x)＞0，进而构造函数h(x)＝f (x)－g(x).
(3)构造双函数法：若直接构造函数求导，难以判断符号，导函数零点不易求得，即函数单调性与极值点都不易获得，可转化不等式为f (x)＞g(x)利用其最值求解.
(4)换元法，构造函数证明双变量函数不等式：对于f (x1，x2)≥A的不等式，可将函数式变为与eq \f (x1,x2)或x1·x2有关的式子，然后令t＝eq \f (x1,x2)或t＝x1x2，构造函数g(t)求解.
(5)适当放缩构造函数法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1). ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；当x≥0时，ex≥1＋x＋x2, 当且仅当x＝0时取等号；当x≥0时，ex≥x2＋1, 当且仅当x＝0时取等号；
≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号；当x≥1时，≤ln x≤，当且仅当x＝1时取等号．
(6)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数等．把不等式左、右两边转化为结构相同的式子，然后根据“相同结构”，构造函数.
(7)赋值放缩法：函数中对与正整数有关的不等式，可对已知的函数不等式进行赋值放缩，然后通过多次求和达到证明的目的.
【典型考题解析】
热点一 直接将不等式转化为函数的最值问题
【典例1】(2023·全国·高考真题（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
【典例2】(2023年新课标I卷文）已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
【总结提升】
(1)若证f (x)＞g(a)或f (x)＜g(a)，只需证f (x)min＞g(a)或f (x)max＜g(a)．
(2)若证f (a)＞M或f (a)＜M(a，M是常数)，只需证f (x)min＞M或f (x)max＜M.
热点二 移项作差构造函数证明不等式
【典例3】（辽宁·高考真题（文））设函数f（x）=x+a+blnx，曲线y=f（x）过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2.
（I）求a，b的值；
（II）证明：f(x)≤2x-2．
【典例4】(2023·青海·模拟预测（理））已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若，证明：.
【规律方法】
若证明f (x)＞g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数h(x)＝f (x)－g(x)．如果能证明h(x)min＞0，x∈(a，b)，即可证明f (x)＞g(x)，x∈(a，b)．使用此法证明不等式的前提是h(x)＝f (x)－g(x)易于用导数求最值．
热点三 构造双函数证明不等式
【典例5】已知函数f (x)＝ex2－xln x.
证明：当x＞0时，f (x)＜xex＋.
【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求的最小值；
(2)证明：.
【方法总结】
(1)若证f (x)＜g(x)，只需证f (x)max＜g(x)min；
(2)若证f (x)＞g(x)，只需证f (x)min＞g(x)max.
热点四 适当放缩构造函数证明不等式
【典例7】(2023·全国·模拟预测（文））已知函数在区间上单调．
(1)求的最大值；
(2)证明：当时，．
【规律方法】
通过适当放缩可将较复杂的函数变为简单的函数，一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)等.
热点五 利用二阶导数（两次求导）证明不等式
【典例8】(2023·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．
【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：.
【典例10】（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，证明：（其中为自然对数的底数）．
【规律方法】
两种做法，一是对函数直接两次求导，求导函数的最值；二是令导函数为一“新函数”，通过对其求导，进一步研究函数的最值．
热点六 构造“形似”函数证明不等式
【典例11】(2023·河南·高三开学考试（理））设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例12】（2023·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））若且，且，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【规律方法】
根据条件构造“形似”函数，再判断此函数的单调性，最后根据函数的单调性证明不等式．
热点七 “放缩”“赋值”证明与数列有关的不等式
【典例13】(2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
【典例14】(2023·广东·高三开学考试）已知函数，．
(1)当时，比较与2的大小；
(2)求证：，．
【规律方法】
证明与数列有关的不等式的策略
(1)证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．
(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如ex＞x＋1可化为ln(x＋1)＜x等．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·广东·高三开学考试）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·山东·高三开学考试）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A．0
C．>D．>
三、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b是实数，且，其中e是自然对数的底数，则与的大小关系是__．
四、解答题
5.（2023·全国·高三专题练习）设函数，．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围；
(3)求证：当时，．
6．(2023·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知函数.
(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)证明：.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
8．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知函数，，
(1)判断函数的单调性；
(2)证明：.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若函数f(x)的图象与直线y＝x－1相切，求a的值；
(2)若a≤2，证明f(x)>ln x.
10．(2023·新疆·三模（理））已知函数，
(1)若在处的切线为，求实数a的值；
(2)当，时，求证：
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(为自然对数的底数，为常数)的图像在(0，1)处的切线斜率为.
(1)求的值及函数的极值；
(2)证明：当时，.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知．
(1)当时，判断函数零点的个数；
(2)求证：.
14．(2023·全国·高三专题练习（文））已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
15．（2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（文））已知函数．
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)当时，证明：．
16．(2023·河南安阳·模拟预测（理））已知函数．
(1)若是的极值点，求a；
(2)若，证明：．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：．
18．(2023·山东泰安·模拟预测）已知函数.
(1)若函数，讨论的单调性.
(2)若函数，证明：.
专题14 利用导数证明一元不等式
【热点聚焦】
从高考命题看，通过研究函数性质与最值证明一元不等式，是导数综合题常涉及的一类问题. 导数是研究函数的工具，利用导数我们可以方便地求出函数的单调性、极值、最值等，在证明与函数有关的不等式时，我们可以把不等式问题转化为函数的最值问题，也常构造函数，把不等式的证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题
【重点知识回眸】
（一）证明方法的理论基础
（1）若要证(为常数）恒成立，则只需证明：，进而将不等式的证明转化为求函数的最值
（2）已知的公共定义域为，若，则
证明：对任意的，有
由不等式的传递性可得：，即
（二）证明一元不等式主要的方法
1.方法一：将含的项或所有项均移至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明. 例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式.其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性
2.方法二：利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为的形式，若能证明，即可得：，本方法的优点在于对的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强，如果与不满足，则无法证明.
（三）常见构造函数方法
(1)直接转化为函数的最值问题：把证明f (x)＜g(a)转化为f (x)max＜g(a).
(2)移项作差构造函数法：把不等式f (x)＞g(x)转化为f (x)－g(x)＞0，进而构造函数h(x)＝f (x)－g(x).
(3)构造双函数法：若直接构造函数求导，难以判断符号，导函数零点不易求得，即函数单调性与极值点都不易获得，可转化不等式为f (x)＞g(x)利用其最值求解.
(4)换元法，构造函数证明双变量函数不等式：对于f (x1，x2)≥A的不等式，可将函数式变为与eq \f (x1,x2)或x1·x2有关的式子，然后令t＝eq \f (x1,x2)或t＝x1x2，构造函数g(t)求解.
(5)适当放缩构造函数法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1). ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；当x≥0时，ex≥1＋x＋x2, 当且仅当x＝0时取等号；当x≥0时，ex≥x2＋1, 当且仅当x＝0时取等号；
≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号；当x≥1时，≤ln x≤，当且仅当x＝1时取等号．
(6)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数等．把不等式左、右两边转化为结构相同的式子，然后根据“相同结构”，构造函数.
(7)赋值放缩法：函数中对与正整数有关的不等式，可对已知的函数不等式进行赋值放缩，然后通过多次求和达到证明的目的.
【典型考题解析】
热点一 直接将不等式转化为函数的最值问题
【典例1】(2023·全国·高考真题（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
答案：（1）见解析；（2）见解析.
分析：（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.
（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证.
【详解】（1） 的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当时，时；当x∈时，.
故f（x）在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.
所以等价于，即.
设g（x）=lnx-x+1，则.
当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.
【典例2】(2023年新课标I卷文）已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
答案：(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.
【详解】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；
(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.
详解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．
由题设知，f ′（2）=0，所以a=．
从而f（x）=，f ′（x）=．
当02时，f ′（x）>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a≥时，f（x）≥．
设g（x）=，则
当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当时，．
【总结提升】
(1)若证f (x)＞g(a)或f (x)＜g(a)，只需证f (x)min＞g(a)或f (x)max＜g(a)．
(2)若证f (a)＞M或f (a)＜M(a，M是常数)，只需证f (x)min＞M或f (x)max＜M.
热点二 移项作差构造函数证明不等式
【典例3】（辽宁·高考真题（文））设函数f（x）=x+a+blnx，曲线y=f（x）过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2.
（I）求a，b的值；
（II）证明：f(x)≤2x-2．
答案：（I）a＝－1，b＝3. （II）见解析
【详解】试题分析： (1)f ′(x)＝1＋2ax＋.
由已知条件得即
解得a＝－1，b＝3.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则
g′(x)＝－1－2x＋＝－.
当00；当x>1时，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．
而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.
【典例4】(2023·青海·模拟预测（理））已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若，证明：.
答案：(1)0；
(2)证明见解析.
分析：（1）利用导数求出函数的单调区间即得解；
（2）即证，设，求出函数的最小值即得证.
(1)
解：由题意可得.
由，得；由，得.
则在上单调递减，在上单调递增，
故.
(2)
证明：要证，即证，
即证.
设，则.
由（1）可知当时，.
由，得，由，得，
则，当且仅当时，等号成立.
即.
【规律方法】
若证明f (x)＞g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数h(x)＝f (x)－g(x)．如果能证明h(x)min＞0，x∈(a，b)，即可证明f (x)＞g(x)，x∈(a，b)．使用此法证明不等式的前提是h(x)＝f (x)－g(x)易于用导数求最值．
热点三 构造双函数证明不等式
【典例5】已知函数f (x)＝ex2－xln x.
证明：当x＞0时，f (x)＜xex＋.
答案：见解析
【解析】要证f (x)＜xex＋，只需证ex－ln x＜ex＋，即ex－ex＜ln x＋.
令h(x)＝ln x＋ (x＞0)，则h′(x)＝，易知h(x)在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，则h(x)min＝h（）＝0，所以ln x＋≥0.
令φ(x)＝ex－ex，则φ′(x)＝e－ex，
易知φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0.
因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以ex－ex＜ln x＋，故原不等式成立．
【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求的最小值；
(2)证明：.
答案：(1)
(2)证明见解析
分析：（1）用导数法直接求解即可；
（2）要证，即证，即证.构造函数与，这问题可转化为，利用导数法即可求解
【详解】(1)由题意可得.
由，得；由，得.
在上单调递减，在上单调递增，
故.
(2)
证明：要证，即证，
即证.
设，则，
由，得，由，得，
则，当且仅当时，等号成立.
设，则.
由（1）可知当时，.
由，得，由，得，
则，当且仅当时，等号成立.
因为与等号成立的条件不同，
所以，即.
【方法总结】
(1)若证f (x)＜g(x)，只需证f (x)max＜g(x)min；
(2)若证f (x)＞g(x)，只需证f (x)min＞g(x)max.
热点四 适当放缩构造函数证明不等式
【典例7】(2023·全国·模拟预测（文））已知函数在区间上单调．
(1)求的最大值；
(2)证明：当时，．
答案：(1)
(2)证明见解析
分析：（1）利用导数的符号求出函数的单调区间，通过单调区间可求得结果．
（2）将问题转化为证明，再分别证明及成立即可．
(1)
由已知得，，
要使函数在区间上单调，可知在区间上单调递增，
令，得，即，
解得，（），
当时满足题意，此时，在区间上是单调递增的，故的最在值为.
(2)
当时，要证明，即证明，
而，故需要证明.
先证：，（）
记，
，
时，，所以在上递增，
，
故，即.
再证：，（）
令，
则则,
故对于，都有，因而在，上递减，
对于，都有，
因此对于，都有.
所以成立，即成立，
故原不等式成立.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键利用不等式放缩，从而使得问题得以顺利解决.
【规律方法】
通过适当放缩可将较复杂的函数变为简单的函数，一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)等.
热点五 利用二阶导数（两次求导）证明不等式
【典例8】(2023·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．
答案：（1）切线方程是（2）证明见解析
分析：（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．
（2）当时，,令，只需证明即可．
【详解】（1），．
因此曲线在点处的切线方程是．
（2）当时，．
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以 ．因此．
【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：.
答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
分析：（1）求导可得，再分和两种情况讨论即可；
（2）当根据函数的正负证明，当时，转证，构造函数求导分析单调性与最值即可
(1)
依题意知，，
令得，
当时，在上，单调递减，在单调递增；
当时，在上，单调递增，在单调递减.
(2)
依题意，要证，
①当时，，，故原不等式成立，
②当时，要证：，即证：，
令，则，，
∴在单调递减，∴，∴在单调递减，∴，即，
故原不等式成立.
【典例10】（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，证明：（其中为自然对数的底数）．
答案：(1)
(2)证明见解析
分析：（1）求出函数的导函数，即可求切线的斜率，从而求出切线方程；
（2）依题意只需证明，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最小值，再利用基本不等式计算可得；
(1)
解：当时，，
所以，，
故在点处的切线方程是；
(2)
解：当时，要证明，
只需证明，
令，，则，令
，故在上单调递增，
又，，
故存在，使得，即，
当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，
故时，取得唯一的极小值，也是最小值，
即．
所以，即．
【规律方法】
两种做法，一是对函数直接两次求导，求导函数的最值；二是令导函数为一“新函数”，通过对其求导，进一步研究函数的最值．
热点六 构造“形似”函数证明不等式
【典例11】(2023·河南·高三开学考试（理））设，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：构造，并利用导数、对数的性质研究大小关系即可.
【详解】设函数，则，
所以为减函数，则，即，又，
所以．
故选：D
【典例12】（2023·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））若且，且，且，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：构造函数，求导，根据函数的单调性比大小即可.
【详解】由，两边同时以为底取对数得，
同理可得，，
设，，则，，，
，令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
则，且，
所以，
故，
故选：A.
【规律方法】
根据条件构造“形似”函数，再判断此函数的单调性，最后根据函数的单调性证明不等式．
热点七 “放缩”“赋值”证明与数列有关的不等式
【典例13】(2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
答案：(1)的减区间为，增区间为.
(2)
(3)见解析
分析：（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.
（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
（1）当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有， 所以在上为减函数，所以.综上，.
（3）取，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立.所以对任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.
【典例14】(2023·广东·高三开学考试）已知函数，．
(1)当时，比较与2的大小；
(2)求证：，．
答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
分析：（1）当时，求得导函数，再根据，分不同范围讨论即可.
（2）由（1）中结论可知，当时，，然后换元，即可得，
结合对数运算从而可证得结论.
（1）
当时，，，
所以，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，当时，
（2）
由（1）知，当时，，即，令，，
则有，即，
所以，
即，．
【规律方法】
证明与数列有关的不等式的策略
(1)证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．
(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如ex＞x＋1可化为ln(x＋1)＜x等．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·广东·高三开学考试）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：构造函数，求导得其单调性，再利用单调性，即可判断出的大小关系.
【详解】设，，
因为，令，得；
令，得．
所以在上单调递增，在上单调递减，
而，
，
，
因为，所以．
故选：A．
2．(2023·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：设，利用导数求得的单调性和最值，化简可得，，，根据函数解析式，可得且，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.
【详解】设，
则，
当时，，则为单调递增函数，
当时，，则为单调递减函数，
所以，
又，，，
又，，且在上单调递减，
所以，
所以.
故选：D
二、多选题
3．（2023·山东·高三开学考试）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A．0
C．>D．>
答案：CD
分析：根据题干中的条件，构造出新函数：，利用新函数的单调性逐一检查每个选项是否正确.
【详解】令，则，
因为，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减，故，即，即，故A错；
又，所以，所以在上恒成立，
因为，所以，故B错；
又，所以，即，故C正确；
又，所以，即，故D正确.
故选：CD
三、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b是实数，且，其中e是自然对数的底数，则与的大小关系是__．
答案：##
分析：构造函数，，利用导数判断单调性，即得.
【详解】构造函数，，则，
当时，，单调递减，
∵，
∴，即blna＞alnb，
即，
所以．
故答案为：．
四、解答题
5.（2023·全国·高三专题练习）设函数，．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围；
(3)求证：当时，．
答案：(1)
(2)
(3)证明见解析
分析：（1）利用导数的几何意义求解即可.
（2）首先将问题转化为恒成立，设，再利用导数求出其最大值即可得到答案.
（3）首先将问题转化为，，设，利用导数求出，即可得到答案.
(1)
，，即切线.
，，则切线方程为：.
(2)
，恒成立等价于，恒成立.
设，，
，，为增函数，
，，为减函数，
所以，即.
(3)
，等价于，.
设，，，
设，，，
所以在为增函数，即，
所以，
即在为增函数，即，
即证：.
6．(2023·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知函数.
(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)证明：.
答案：(1)
(2)证明见解析
分析：（1）利用导数求得的单调区间，从而求得的取值范围.
（2）将转化为，对不等式的两边分别构造函数，然后结合导数来证得不等式成立.
（1）的定义域为.令，可得.当时，单调递减；当时，单调递增，所以的单调递增区间为.因为函数在上单调递增，所以.所以.故实数的取值范围为.
（2）因为，所以要证，只需证明成立.令，则.令，得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以.令，则，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以.因此，即，当且仅当时等号成立.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
分析：（1）求出函数的导数，分类讨论导数的正负，即可求得答案;
（2）当时，要证,即证，只需证明 ；构造函数，利用其导数，只需证明，即证明即可.
（1）函数,定义域：, ，①当 时， 单调递增，②当时，由，得x，当x∈(0，）时，单调递增；当x∈(，+∞）时，单调递减；综上讨论得：①当时， 在单调递增；②当时， 当x∈(0，）时，单调递增；当x∈(，+∞）时，单调递减；
（2）证明：当时，要证,即证，只需证 ； 令 ，则 ，令 ，则，∴在单调递增，而故方程有唯一解，即，则，且 时，，在单调递减；时，，在单调递增；∴，∴，故当 时，.
8．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知函数，，
(1)判断函数的单调性；
(2)证明：.
答案：(1)在上单调递减
(2)证明见解析
分析：（1）求出函数的导数，判断导数的正负，从而判断原函数的单调性；
（2）将不等式等价转化为，然后构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而证明不等式.
(1)
因为，，所以，
设，则，
因为，故，在区间上单调递减，
故，即，
所以函数在区间上单调递减.
(2)
证明：；
设，，在区间上单调递减，
，，即，即；
设，，，
则在上单调递增，
，，
即，所以.
综上，.
【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及证明函数不等式的问题，解答时要明确导数与函数的单调性之间的关系，解答的关键是对不等式进行合理变形，从而构造函数，利用导数判断单调性，从而证明不等式.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若函数f(x)的图象与直线y＝x－1相切，求a的值；
(2)若a≤2，证明f(x)>ln x.
答案：(1)a＝2
(2)证明见解析
分析：（1）求导函数，令f′(x)＝1，得x＝0，继而有f(0)＝－1，代入可求得答案；
（2）由已知得f(x)＝ex－a≥ex－2，令φ(x)＝ex－x－1，运用导函数分析所令函数的单调性得φ(x)≥0，可证得ex－2≥x－1，当且仅当x＝0时等号成立，令h(x)＝lnx－x+1，运用导函数分析所令函数的单调性得，证得，当且仅当x＝1时等号成立，从而有ex－2≥x－1≥ln x，两等号不能同时成立，由此可得证.
(1)
解：f(x)＝ex－a，∴f′(x)＝ex，令f′(x)＝1，得x＝0，
而当x＝0时，y＝－1，即f(0)＝－1，所以，解得a＝2.
(2)
证明 ∵a≤2，∴f(x)＝ex－a≥ex－2，
令φ(x)＝ex－x－1，则φ′(x)＝ex－1，令φ′(x)＝0⇒x＝0，
∴当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0；当x∈(－∞，0)时，φ′(x)<0，
∴φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(0)＝0，即φ(x)≥0，即ex≥x＋1，
∴ex－2≥x－1，当且仅当x＝0时等号成立，
令h(x)＝lnx－x+1，则，令h′(x)＝0⇒x＝1，
∴当x∈(0，1)时，h′(x)>0；当x∈(1，+∞)时，h′(x)<0，
∴h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴h(x)max＝h(1)＝0，即，即，
∴，当且仅当x＝1时等号成立，
∴ex－2≥x－1≥ln x，两等号不能同时成立，
∴ex－2>ln x，即证f(x)>ln x.
10．(2023·新疆·三模（理））已知函数，
(1)若在处的切线为，求实数a的值；
(2)当，时，求证：
答案：(1)
(2)证明见解析
分析：（1）由导数的几何意义有，求解即可；
（2）将变形成，故只需证，用导数法证明即可
(1)
∵，∴，∴
(2)
要证，即证，只需证，因为，也就是要证，
令，
∵，∴
∴在为减函数，∴，
∴，得证
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：.
答案：(1)
(2)证明见解析
分析：（1）根据函数有两个极值点转化为导函数等于0有两不相等的根，分离参数后，转化为分析大致图象，根据数形结合求解即可;
（2）不等式可转化为，构造函数，求导后得到函数极小值，转化为求极小值大于0即可.
（1）的定义域为，，由题意在上有两解，即，即有两解.令，即的图象与直线有两个交点.，得，当时，，递增；当时，，递减，，，时，；时，，，，a的取值范围是.
（2）当时，，即证，即证，令，，令，则，当时，，在递增.，，存在唯一的，使得，当时，，递减；当时，，递增，.又，，，，，.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(为自然对数的底数，为常数)的图像在(0，1)处的切线斜率为.
(1)求的值及函数的极值；
(2)证明：当时，.
答案：(1)，极小值，无极大值
(2)证明见解析
分析：（1）对函数求导得到，由导数的几何意义得到，解得，再利用导数研究其单调性和极值，即可得出；
（2）令，对其求导，结合（1）可得：，得到的单调性，即可证明.
(1)
由，得.
由题意得，，即，
所以，.
令，得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
所以当时，取得极小值，且极小值为，
无极大值．
(2)
证明：令，则.
由(1)知，，
故在上单调递增．
所以当时，，
即.
【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)恒成立恒成立；
(2)恒成立恒成立.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知．
(1)当时，判断函数零点的个数；
(2)求证：.
答案：(1)1；
(2)证明见解析.
分析：（1）把代入，求导得函数的单调性，再由作答.
（2）构造函数，利用导数借助单调性证明作答.
(1)
当时，，，当且仅当时取“=”，
所以在R上单调递增，而，即0是的唯一零点，
所以函数零点的个数是1.
(2)
，令，则，因，则，
因此，函数在上单调递增，，，
所以当时，成立.
14．(2023·全国·高三专题练习（文））已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
答案：(1)的减区间为，增区间为.
(2)
(3)见解析
分析：（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.
（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
（1）当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有， 所以在上为减函数，所以.综上，.
（3）取，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立.所以对任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.
15．（2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（文））已知函数．
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)当时，证明：．
答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
分析：（1）求导，分情况讨论函数的单调性；
（2）构造函数，将证明不等式转化为函数最值问题.
（1）
，定义域为，
，
又，，
所以当时，恒成立，函数在单调递增；
当时，令，解得，当时，，
当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，函数在单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）
当时，即，，可转化为，
令，则
令，解得，（舍）
可得函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故不等式成立．
16．(2023·河南安阳·模拟预测（理））已知函数．
(1)若是的极值点，求a；
(2)若，证明：．
答案：(1)；
(2)证明见解析
分析：（1）直接求导，由解出，再检验此时是的极值点即可；
（2）将转化为证，求导确定单调性，借助隐零点得，，由即可证明.
(1)
由题意知，，则，解得；
当时，，当时，，，，
当时，，，，则是的极值点，则；
(2)
若，则，令，则，
令，则，又，则存在使，
则，，，，则函数在单减，在单增，
则，则.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：．
答案：(1)答案不唯一，具体见解析
(2)证明见解析
分析：（1）分类讨论参数的取值范围，利用导数求解函数的单调性；
（2）代入，化简不等式，通过构造函数，，利用导数求解函数的最值，将不等式转化为即可求证.
(1)
解：由题可知，，．
若，，所以在上单调递增，在上单调递减；
若，令，解得或（舍），
所以在上单调递增，在上单调递减；
若，当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
(2)
证明：若，要证，即证，即证．
令函数，则．
令，得；令，得．
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
令函数，则．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
因为，所以，
即，从而得证．
18．(2023·山东泰安·模拟预测）已知函数.
(1)若函数，讨论的单调性.
(2)若函数，证明：.
答案：(1)当时，f(x)在上单调递增; 当时,f(x)在(0,1-a)上单调递减，在(1-a,+)上单调递增 ；
(2)证明见解析
分析：(1)由题意可得，求导，分和讨论即可；
(2)令，利用导数确定的单调性并求出最小值，再令，利用导数确定的单调性并求出最小值即可得证.
(1)
解：因为，所以，
的定义域为，
.
当时，在上单调递增.
当时，若，则单调递减；
若，则单调递增.
综上所述：当时，f(x)在上单调递增; 当时,f(x)在(0,1-a)上单调递减，在(1-a,+)上单调递增 ；
(2)
证明：.
设，则.
当时，单调递减；当时，单调递增.
所以，
因此，当且仅当时，等号成立.
设，则.
当时，单调递减：当时，单调递增.
因此，
从而，则，
因为，所以中的等号不成立，
故.
单调递减
极小值
单调递增