高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题16破解恒成立问题【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题16破解恒成立问题【原卷版+解析】，共37页。

【热点聚焦】
从高考命题看，方程有解问题、无解问题以及不等式的恒成立问题，也是高考命题的热点.而此类问题的处理方法较为灵活，用导数解决不等式“恒成立”“存在性”问题的常用方法是分离参数，或构造新函数分类讨论，将不等式问题转化为函数的最值问题.也可以结合题目的条件、结论，采用数形结合法等.
【重点知识回眸】
（一）参变参数法
1.参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围
2.一般地，若a＞f (x)对x∈D恒成立，则只需a＞f (x)max；若a＜f (x)对x∈D恒成立，则只需a＜f (x)min.若存在x0∈D，使a＞f (x0)成立，则只需a＞f (x)min；若存在x0∈D，使a＜f (x0)成立，则只需a＜f (x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围.
3.参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等
（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）
（二）构造函数分类讨论法
有两种常见情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数.
1.构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参
2.参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论
（三）数形结合法
1.函数的不等关系与图象特征：
（1）若，均有的图象始终在的下方
（2）若，均有的图象始终在的上方
2.在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数
3.作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）.作图要突出“信息点”.
4.利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：
（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图
（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义
（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征
【典型考题解析】
热点一 参变分离法解决不等式恒成立问题
【典例1】（2023·天津·高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高考真题（理））已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
【总结提升】
利用分离参数法来确定不等式f (x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：
(1)将参数与变量分离，化为f 1(λ)≥f 2(x)或f 1(λ)≤f 2(x)的形式．
(2)求f 2(x)在x∈D时的最大值或最小值．
(3)解不等式f 1(λ)≥f 2(x)max或f 1(λ)≤f 2(x)min，得到λ的取值范围．
热点二 构造函数分类讨论法解决不等式恒成立问题
【典例3】（2023·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【典例4】(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围.
【规律方法】
对于f (x)≥g(x)型的不等式恒成立问题，若无法分离参数，一般采用作差法构造函数h(x)＝f (x)－g(x)或h(x)＝g(x)－f (x)，进而只需满足h(x)min≥0或h(x)max≤0即可．
热点三 利用数形结合法解决不等式恒成立问题
【典例5】(2023·全国·高考真题（文））已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例6】(2023·全国·高考真题（理））设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例7】（2023·全国高二）若关于的不等式的解集为()，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·湖北·黄冈中学模拟预测）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·青海·西宁市海湖中学高三开学考试（文））若函数，满足恒成立，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（文））已知函数，直线与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．
二、多选题
6．(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知定义在上函数满足：，且，设函数，则下列正确的是（ ）
A．的单调递增区间为
B．在上的最大值为2025
C．有且只有2个零点
D．恒成立.
三、填空题
7．(2023·湖北·黄冈中学模拟预测）函数，其中a，b为实数，且.已知对任意，函数有两个不同零点，a的取值范围为___________________.
8．（2023·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）若关于的不等式恒成立，则实数的最小值为________
9．(2023·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是___________.
10．(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________.
四、解答题
11．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，．
(1)若0是函数的零点，求a的值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
12．（2023·河南·高三开学考试（文））已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在上恒成立，求证：.（注：）
13．(2023·云南省下关第一中学高三开学考试）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
14．(2023·甘肃定西·高二开学考试（理））已知函数，
(1)求在处的切线方程
(2)若存在时，使恒成立，求的取值范围．
15．(2023·四川·高考真题（理））设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．
16．（2023·河南开封市·高三一模（理））已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若对于任意的都成立，求的最大值.
17．(2023·广东·高三阶段练习）已知函数
(1)求证：；
(2)设函数，若在上存在最大值，求实数a的取值范围．
18．(2023·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数．（注：是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．
专题16 破解恒成立问题
【热点聚焦】
从高考命题看，方程有解问题、无解问题以及不等式的恒成立问题，也是高考命题的热点.而此类问题的处理方法较为灵活，用导数解决不等式“恒成立”“存在性”问题的常用方法是分离参数，或构造新函数分类讨论，将不等式问题转化为函数的最值问题.也可以结合题目的条件、结论，采用数形结合法等.
【重点知识回眸】
（一）参变参数法
1.参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围
2.一般地，若a＞f (x)对x∈D恒成立，则只需a＞f (x)max；若a＜f (x)对x∈D恒成立，则只需a＜f (x)min.若存在x0∈D，使a＞f (x0)成立，则只需a＞f (x)min；若存在x0∈D，使a＜f (x0)成立，则只需a＜f (x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围.
3.参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等
（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）
（二）构造函数分类讨论法
有两种常见情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数.
1.构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参
2.参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论
（三）数形结合法
1.函数的不等关系与图象特征：
（1）若，均有的图象始终在的下方
（2）若，均有的图象始终在的上方
2.在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数
3.作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）.作图要突出“信息点”.
4.利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：
（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图
（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义
（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征
【典型考题解析】
热点一 参变分离法解决不等式恒成立问题
【典例1】（2023·天津·高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
【典例2】（2023·全国·高考真题（理））已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
答案：（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）
分析：(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
【详解】(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2) [方法一]【最优解】：分离参数
由得，，其中，
①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数a得，，
记，，
令，
则，，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.
[方法二]：特值探路
当时，恒成立．
只需证当时，恒成立．
当时，．
只需证明⑤式成立．
⑤式，
令，
则，
所以当时，单调递减；
当单调递增；
当单调递减．
从而，即，⑤式成立．
所以当时，恒成立．
综上．
[方法三]：指数集中
当时，恒成立，
记，
，
①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意；
②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，
所以若满足，只需，即，所以当时，成立；
③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立，
所以时，满足题意.
综上，.
【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：
方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；
方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；
方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！
【总结提升】
利用分离参数法来确定不等式f (x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：
(1)将参数与变量分离，化为f 1(λ)≥f 2(x)或f 1(λ)≤f 2(x)的形式．
(2)求f 2(x)在x∈D时的最大值或最小值．
(3)解不等式f 1(λ)≥f 2(x)max或f 1(λ)≤f 2(x)min，得到λ的取值范围．
热点二 构造函数分类讨论法解决不等式恒成立问题
【典例3】（2023·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
答案：（1）见解析；
（2）.
分析：（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，，当时，，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.
【详解】（1）
令，则
当时，令，解得：
当时，；当时，
在上单调递增；在上单调递减
又，，
即当时，，此时无零点，即无零点
，使得
又在上单调递减 为，即在上的唯一零点
综上所述：在区间存在唯一零点
（2）若时，，即恒成立
令
则，
由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减
且，，
，
①当时，，即在上恒成立
在上单调递增
，即，此时恒成立
②当时，，，
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，即恒成立
③当时，，
，使得
在上单调递减，在上单调递增
时，，可知不恒成立
④当时，
在上单调递减
可知不恒成立
综上所述：
【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
【典例4】(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围.
答案：(1)答案见解析
(2)
分析：（1）求出函数的定义域，求得，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）令，，利用导数分析函数的单调性，对实数的取值进行分类讨论，求出的取值范围，结合函数的图象可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.
（1）解：函数的定义域为，且.当时，因为，则，此时函数的单调递减区间为；当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：，设，其中，则，设，则，当时，，，且等号不同时成立，则恒成立，当时，，，则恒成立，则在上单调递增，又因为，，所以，存在使得，当时，；当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，作出函数的图象如下图所示：由（1）中函数的单调性可知，①当时，在上单调递增，当时，，当时，，所以，，此时，不合乎题意；②当时，，且当时，，此时函数的值域为，即.（i）当时，即当时，恒成立，合乎题意；（ii）当时，即当时，取，结合图象可知，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.
【规律方法】
对于f (x)≥g(x)型的不等式恒成立问题，若无法分离参数，一般采用作差法构造函数h(x)＝f (x)－g(x)或h(x)＝g(x)－f (x)，进而只需满足h(x)min≥0或h(x)max≤0即可．
热点三 利用数形结合法解决不等式恒成立问题
【典例5】(2023·全国·高考真题（文））已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】作出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解.
【详解】由题意可作出函数的图像，和函数的图像.

由图像可知：函数的图像是过原点的直线，
当直线介于与轴之间符合题意，
直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为
，
求其导数可得，因为，故，
故直线的斜率为，
故只需直线的斜率.
故选：D
【典例6】(2023·全国·高考真题（理））设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.
【详解】设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
【典例7】（2023·全国高二）若关于的不等式的解集为()，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
不等式有唯一整数解，即不等式有唯一整数解，设，，求出的单调区间，作出其大致图像，恒过定点，数形结合可得答案.
【详解】
设，，
，由，解得，由解得
所以在上单调递减，在上单调递增.
又当 ，且，又，则的大致图象如下
由题意由不等式有唯一整数解，即不等式有唯一整数解
即在直线下方的部分，
故，恒过定点，
结合函数图像得，即，
故选：B．
【点睛】
本题考查根不等式的解集中整数的个数求参数范围的问题，解答本题的关键的根据题意转化为不等式有唯一整数解，即在直线下方的部分中唯一整数，
讨论出的单调区间，得出其大致图象，属于中档题.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·湖北·黄冈中学模拟预测）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答.
【详解】依题意，，令，，
则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减，
因此，，，而，则，
所以实数的取值范围是.
故选：C
2．（2023·青海·西宁市海湖中学高三开学考试（文））若函数，满足恒成立，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．D．
答案：C
分析：由题意，分离参数可得，令，然后利用导数求出的最小值即可求解.
【详解】解：因为，满足恒成立，
所以，
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
所以的最大值为，
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】因为函数与函数的图象关于x轴对称，
根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
由于，，且，
所以．
故选：A．
4．（2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（文））已知函数，直线与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：首先考查临界情况，利用导数求得切线的斜率，据此可求得实数的取值范围
【详解】
当过原点的直线与函数的图象相切时，设切点为，
由，可得过点的切线方程为，
代入点可得，解得，此时切线的斜率为，
由函数的图象可知，若直线与函数的图象有两个交点，直线的斜率的取值范围为．
故答案选：D
5．(2023·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．
答案：C
分析：由题意易知恒成立，则可等价为对，恒成立，利用参变分离，可变形为恒成立，易证，则可得，即可选出答案.
【详解】对，都，使得不等式成立，
等价于,
当时，，所以，
当时，，所以，
所以恒成立，当且仅当时，，
所以对，恒成立，即，
当，成立，
当时，恒成立.
记,
因为恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以恒成立，即
所以.
所以的最大值为1.
故选：C.
【点睛】本题考查导数在不等式的恒成立与有解问题的应用，属于难题，
此类问题可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故；
（5）若，，有，则的值域是值域的子集．
二、多选题
6．(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知定义在上函数满足：，且，设函数，则下列正确的是（ ）
A．的单调递增区间为
B．在上的最大值为2025
C．有且只有2个零点
D．恒成立.
答案：ABD
分析：由题可知函数为周期函数，根据导数判断函数的单调性，进而可得函数的值域可判断D，结合条件可得函数可判断AB，利用数形结合可判断C.
【详解】由题可得函数为周期函数，
当时，，则，
函数单调递增，，
当时，，
故可得函数的值域为，
因为，，
所以()，
故，
所以函数的单调递增区间为，单调减区间为，故A正确；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故在上的最大值为
，故B正确；
由可得，
所以函数与函数交点的个数即为函数的零点数，
作出函数与函数的大致图象，
由图可知函数与函数有一个交点，
即函数有且只有1个零点，故C错误；
由，即，因为，故恒成立，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
7．(2023·湖北·黄冈中学模拟预测）函数，其中a，b为实数，且.已知对任意，函数有两个不同零点，a的取值范围为___________________.
答案：
分析：将函数有两个不同零点转化为方程有两个不等实根；再将方程变形构造新函数，求导并研究新函数的单调性，求其最小值，得到，再由已知条件求得即可.
【详解】因为有两个不同零点有两个不相等的实根
即有两个不相等的实根；
所以 ，令 ，
则 ，显然不为零，
所以 ，因为 ， ，
所以 ，所以 ；
令 ，则 ；
令 ，则 ，
所以在上单调递增，又 ，
所以当时， ；当 时， ；
所以当时， ；当 时， ；
故在上单调递减，在上单调递增；
所以 ，所以 ；
又，所以 ，所以 即 ， ，
又 ，所以 ；
故答案为： .
8．（2023·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）若关于的不等式恒成立，则实数的最小值为________
答案：
分析：将不等式两边同时除以，进而转化为，令，进而将原不等式转化为恒成立，再根据单调性转化为恒成立，进而构造函数，求导分析最大值即可.
【详解】∵，∴不等式两边同时除以，得：
∴ ∴
∴ ①
令，可知单调递增.
①式等价于恒成立
∴恒成立.
构造，则，故当时，
当时，所以在时取得最小值.
即，∴
∴恒成立
令
∴
∴当时，，∴单调递增；当时，
∴单调递减；
∴的最大值为 ∴，故实数的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是将已知不等式转化为，构造，进而将原不等式转化为恒成立，再根据单调性即可得到.
9．(2023·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是___________.
答案：
分析：将题目所给不等式进行变形，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
【详解】不等式可变形为.
因为且，所以.
令，则.
所以函数在上单调递增.
不等式等价于，所以.
因为，所以.
设，则.
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
所以，所以.
故正实数的取值范围是.
10．(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________.
答案：
分析：将不等式的解集为转化为的解为及当时，恒成立，从而可求得.
【详解】不等式等价于或，
而的解集为，
故的解为
且对任意的恒成立.
又即为，
若，则即为，这与解为矛盾；
若，则即为，这与解为矛盾；
若，则即为，
因为的解为，故.
当时，恒成立即为恒成立，
令，则，
故在为增函数，故，
故.
综上，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：与分段函数有关的不等式解的问题，应该就不同解析式对应的范围分类讨论，讨论时注意结合解析式的形式确定分类讨论还是参变分离.
四、解答题
11．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，．
(1)若0是函数的零点，求a的值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
答案：(1)0
(2)
分析：（1）0是函数的零点代入可得；
（2）由题意知在上恒成立，转化为在上恒成立，化简可得，利用均值不等式求最值可得答案.
（1）
因为0是函数的零点，所以，
解得a＝0；
（2）
由题意知在上恒成立，
则，
又因为，所以，则，
令，则，
可得，
又因为，当且仅当即时，等号成立，所以，
即a的取值范围是．
12．（2023·河南·高三开学考试（文））已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在上恒成立，求证：.（注：）
答案：（1）当时，在上单调递；当时，数在上单调递增；在上单调递减；
（2）证明见解析.
分析：（1）对函数求导，讨论和两种情况，即可得出函数的单调性；
（2）利用分类参数的方法，先得到，构造新的函数，用导数的方法求其最小值，即可证明结论成立.
【详解】（1）由题知函数的定义域为，
①当时，，此时函数在上单调递；
②当时，令，得；令，得，
所以函数在上单调递增；在上单调递减；
综上，当时，在上单调递；当时，数在上单调递增；在上单调递减；
（2）由题意，在上恒成立，
可化为在上恒成立，
设，
则
设，则，
所以在上单调递增，
又，
所以方程有且只有一个实根，且，，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以函数的最小值为，
从而.
【点睛】思路点睛：
求解不等式在给定区间内恒成立求参数的问题时，优先考虑分离参数的方法，分离出所求参数，构造新的函数，利用导数的方法求解函数的最值，进而即可求解.
13．(2023·云南省下关第一中学高三开学考试）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
答案：(1)极小值为；无极大值
(2)a的取值范围为
分析：（1）先判断函数定义域，再求导结合函数单调性求出极值即可；
（2）对函数进行同构变形，令，则对任意恒成立，首先可以证明对恒成立，原题转化为求在上单调递增时a的取值范围即可.
（1）
由题意得：，，
所以，
令，解得，
当时；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以有极小值，为；无极大值．
（2）
由已知得，对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则对任意恒成立，
下证：对任意恒成立，
令，．
则在上恒成立，且仅当时取""．
所以在上单调递减，，
即，
所以对任意恒成立，只需在上单调递增，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
所以即a的取值范围为.
【点睛】导数求参问题要善于运用转化的手法，本题先运用同构方法对原不等式变形，最终转化为函数单调性问题，结合函数的单调性与导数的关系，即可解答.
14．(2023·甘肃定西·高二开学考试（理））已知函数，
(1)求在处的切线方程
(2)若存在时，使恒成立，求的取值范围．
答案：(1)
(2)
分析：（1）求出函数的导函数，确定切线的斜率，即可求在处的切线方程；（2）先把不等式成立转化为成立，设，，利用导函数求出在上的最大值，即可求实数的取值范围．
（1）
由，可得，
所以切线的斜率，．
所以在处的切线方程为，即；
（2）
令，
则，
令，，
在上，，
在上单调递增，
，
．
15．(2023·四川·高考真题（理））设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．
答案：（I） 见解析（II） .
【详解】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对求导，再对a进行讨论，从而判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论.
试题解析：（Ⅰ）
<0，在内单调递减.
由=0，有.
此时，当时，<0，单调递减；
当时，>0，单调递增.
（Ⅱ）令=，=.
则=.
而当时，>0，
所以在区间内单调递增.
又由=0，有>0，
从而当时，>0.
当，时，=.
故当>在区间内恒成立时，必有.
当时，>1.
由（Ⅰ）有,从而，
所以此时>在区间内不恒成立.
当时，令，
当时，，
因此，在区间单调递增.
又因为，所以当时，，即恒成立.
综上，.
【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题
【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度．
16．（2023·河南开封市·高三一模（理））已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若对于任意的都成立，求的最大值.
答案：（1）；（2）最大值为.
【解析】
（1）先由，得到，对其求导，根据导数的几何意义，即可求出切线方程；
（2）先由不等式恒成立，得到，构造函数，利用导数的方法判定其单调性，得到对于任意的都成立，分离参数，得到对于任意的都成立，再由导数的方法求出的最小值，即可得出结果.
【详解】
（1）当时，，得，
则，，
所以在处的切线方程为：.
（2）当且时，
由于，
构造函数，
得在上恒成立，所以在上单调递增，
，
由于对任意的都成立，
又，，再结合的单调性知道：
对于任意的都成立，即对于任意的都成立.
令，得，
由，由，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，故，
所以的最大值为.
【点睛】
思路点睛：
由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
17．(2023·广东·高三阶段练习）已知函数
(1)求证：；
(2)设函数，若在上存在最大值，求实数a的取值范围．
答案：(1)证明见解析
(2)
分析：（1）将所证不等式转化为，再构造函数，求导分析函数的单调性，并求出最小值证明即可；
（2）令，再求导分，和三种情况讨论可得的单调性，结合零点存在性定理可得的零点区间，进而判断出有最大值即可.
（1）
要证明，只要证明
设，
则，
令，则；令，则，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，即，
即，即．
（2）
由题可得，
令，则，
①当时，，在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，无最大值，不符合题意，
②当时，在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，无最大值，不符合题意．
③当时，由，可得，
∴，在上单调递增，，在上单调递减；
由（1）知：．
所以当时，．
取，则，且．
又，所以由零点存在性定理，存在，使得，所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上存在最大值，符合题意．
综上，实数a的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式的问题，同时也考查了构造函数求导分析单调性与最值的问题，在遇到极值点不能直接求出的情况，可设极值点，根据零点存在性定理确定极值点所在的区间，再根据不等式适当放缩得出极值的范围进行求解.属于难题.
18．(2023·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数．（注：是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．
答案：(1)
(2)
(3)
【解析】
分析：
（1）根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程；（2）讨论的符号，判断的单调性，进而确定的零点；（3）要使取到最小值，则，分析可得结合零点代换处理．
(1)
当时，，故，
故在点处的切线方程为，化简得．
(2)
由题意知有且只有一个根且有正有负．
构建，则
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，当时恒成立，即无极值点；
③当时，当；当，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则即.
当时，，
当时，,
设，故，
故在上为增函数，故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点．
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：．
(3)
由题意知，对与任意的，使得恒成立，则，又要使取到最小值，则．
当时，，故，所以的最小值为e；
当时，当时，，
所以无最小值，即无最小值；
当时，由（2）得只有一个零点，即且
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
此时，因，所以代入得，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，此时，
所以的最小值为．