高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题35圆锥曲线的最值、取值范围问题【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题35圆锥曲线的最值、取值范围问题【原卷版+解析】，共39页。

【热点聚焦】
高考命题中，对圆锥曲线的最值、取值范围问题考查，既有小题，也有大题.从考查的内容看，椭圆、双曲线、抛物线中的最值范围问题均有，亦有综合考查的情况.直线与圆锥曲线的位置关系中，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值存在性和探索性问题等.
【重点知识回眸】
（一）圆锥曲线上的点坐标的取值范围
① 椭圆（以为例），则，
② 双曲线：（以为例），则（左支）（右支）

③ 抛物线：（以为例，则
（二）直线与圆锥曲线位置关系：
若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程
（三）点与椭圆（以为例）位置关系：
若点在椭圆内，则
（四）圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
【典型考题解析】
热点一 椭圆中的最值、范围问题
【典例1】（全国·高考真题（理））椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【典例3】（2023·全国·高考真题（文））已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．
（1）若为等边三角形，求C的离心率；
（2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
【典例4】(2023·北京·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求.
【典例5】(2023·山东·高考真题（文））在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.
热点二 双曲线的最值、范围问题
【典例6】（2023·全国高考真题（理））设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【典例7】(2023·山东济南·模拟预测）已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（ ）
A．8B．12C．16D．24
【典例8】（2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
【典例9】(2023·全国·高三专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为______．
热点三 抛物线中的最值、范围问题
【典例10】（2023·江西·高三阶段练习（文））已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于、两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．9
【典例11】（2023·全国·高三专题练习）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.
【典例12】（2023·浙江·高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【典例13】（2023·全国高考真题（文））已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·江西南昌·模拟预测（理））若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·广东·高三开学考试）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若上存在无数个点，满足：，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知点、，直线，动点到点的距离和它到直线的距离之比为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（ ）
A．6B．2C．5D．8
5．（2023·全国·高三专题练习）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，点，是曲线W上两点，若，则的最大值为（ ）
A．10B．14C．12D．16
二、多选题
11．(2023·江苏南通·高三开学考试）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
12．(2023·河北秦皇岛·高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（ ）
A．
B．双曲线C的离心率为
C．直线倾斜角的取值范围为
D．若，则三角形的面积为2
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线斜率的最大值为_______．
14．(2023·山西·高三阶段练习）已知抛物线，过点和点做两条斜率为2的平行线，分别与抛物线相交于点，和点，，得到一个梯形．若存在实数，使得，则实数的取值范围为______．
四、解答题
15．(2023·山东青岛·高三开学考试）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.
（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.
16．(2023·河南省杞县高中高三开学考试（文））已知椭圆的左､右焦点分别为是上一动点，的最大面积为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值.
17．(2023·贵州黔南·高三开学考试（理））已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛物线C的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C相交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．
18．（2023·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切．圆心的轨迹记为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设为曲线上的两点，记中点为，过作的垂线交轴于．
①求；
②当时，求的最大值．
专题35 圆锥曲线的最值、取值范围问题
【热点聚焦】
高考命题中，对圆锥曲线的最值、取值范围问题考查，既有小题，也有大题.从考查的内容看，椭圆、双曲线、抛物线中的最值范围问题均有，亦有综合考查的情况.直线与圆锥曲线的位置关系中，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值存在性和探索性问题等.
【重点知识回眸】
（一）圆锥曲线上的点坐标的取值范围
① 椭圆（以为例），则，
② 双曲线：（以为例），则（左支）（右支）

③ 抛物线：（以为例，则
（二）直线与圆锥曲线位置关系：
若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程
（三）点与椭圆（以为例）位置关系：
若点在椭圆内，则
（四）圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
【典型考题解析】
热点一 椭圆中的最值、范围问题
【典例1】（全国·高考真题（理））椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】设P点坐标为，则，，，
于是，故.
∵ ∴.故选B.
【典例2】（2023·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
答案：C
分析：本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【典例3】（2023·全国·高考真题（文））已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．
（1）若为等边三角形，求C的离心率；
（2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
答案：(1) ；（2），a的取值范围为.
分析：（1）先连结，由为等边三角形，得到，，；再由椭圆定义，即可求出结果；
（2）先由题意得到，满足条件的点存在，当且仅当，，，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】（1）连结，由为等边三角形可知：在中，，，，
于是，
故椭圆C的离心率为；
（2）由题意可知，满足条件的点存在，当且仅当，，，
即 ①
②
③
由②③以及得，又由①知，故；
由②③得，所以，从而，故；
当，时，存在满足条件的点.
故，a的取值范围为.
【典例4】(2023·北京·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求.
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
分析：（Ⅰ）根据题干可得的方程组，求解的值，代入可得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线方程为，联立，消整理得，利用根与系数关系及弦长公式表示出，求其最值；
（Ⅲ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率.
【详解】（Ⅰ）由题意得，所以，
又，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
设，，则，，
则，
易得当时，，故的最大值为；
（Ⅲ）设，，，，
则 ①， ②，
又，所以可设，直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
又，代入①式可得，所以，
所以，同理可得．
故，，
因为三点共线，所以，
将点的坐标代入化简可得，即．
【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式变形为，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.
【典例5】(2023·山东·高考真题（文））在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.
答案：（Ⅰ） .(II) .
【详解】试题分析：（Ⅰ）由得,由椭圆C截直线y=1所得线段的长度为,得,求得椭圆的方程为；（Ⅱ）由,解得,确定,,
结合的单调性求的最小值.
试题解析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，得，
又当时，，得，
所以，
因此椭圆方程为.
（Ⅱ）设，
联立方程，
得，
由得.（*）
且，
因此，
所以，
又，
所以
整理得 ，
因为，
所以.
令，
故，
所以 .
令，所以.
当时，,
从而在上单调递增，
因此，
等号当且仅当时成立，此时，
所以，
由（*）得 且.
故，
设，
则 ，
所以的最小值为，
从而的最小值为，此时直线的斜率是.
综上所述：当，时，取到最小值.
【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系
【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．
热点二 双曲线的最值、范围问题
【典例6】（2023·全国高考真题（理））设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
答案：B
【解析】
∵ C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)
∴双曲线的渐近线方程是y=±bax
∵直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设D为在第一象限，E在第四象限
联立x=ay=bax，解得x=ay=b
故D(a,b)
联立x=ay=−bax，解得x=ay=−b
故E(a,−b)
∴ |ED|=2b
∴ △ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8
∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)
∴其焦距为2c=2a2+b2≥22ab=216=8
当且仅当a=b=22取等号
∴ C的焦距的最小值：8
故选：B.
【典例7】(2023·山东济南·模拟预测）已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（ ）
A．8B．12C．16D．24
答案：C
分析：根据双曲线的离心率可得，则双曲线的方程为，设直线为，设，将直线方程代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，结合弦长公式可求出的最小值，从而可求出，表示出的周长结合双曲线的定义可求出其最小值.
【详解】因为双曲线的离心率为，
所以，得，
所以，，所以，
所以双曲线方程为，
所以，
设直线为，设，
由，得，
所以，，
所以
，
因为直线与的左支交于两点，
所以，得，
所以
令，则，
所以，
所以当时，取得最小值，
所以，得，
因为的周长为
所以最小值时，的周长取得最小值，即为，
故选：C
【典例8】（2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
答案：4.
分析：将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.
由，得，，
即切点，
则切点Q到直线的距离为，
故答案为．
【典例9】(2023·全国·高三专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为______．
答案：22
分析：由双曲线的定义可得，，据此，再由两点的位置特征可得是双曲线的通径时，最小，从而可得答案.
【详解】根据双曲线，得，，
由双曲线的定义可得： ①，
②，
①+②可得：，
由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，
可得，即有．
则，当是双曲线的通径时最小，
故.
故答案为：22
热点三 抛物线中的最值、范围问题
【典例10】（2023·江西·高三阶段练习（文））已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于、两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．9
答案：A
分析：根据抛物线的定义求得，进而求得抛物线方程.设出直线的方程，并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，
所以，抛物线的方程为．设直线的方程为，
将此方程代入，整理得．
设，，（）则，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
故选：A．
【典例11】（2023·全国·高三专题练习）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.
答案：4
分析：利用抛物线的定义求解.
【详解】解：如图所示：
设点M在准线上的射影为D，
由抛物线的定义知，
∴要求的最小值，即求的最小值，
当D，M，P三点共线时，最小，
最小值为.
故答案为：4
【典例12】（2023·浙江·高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）
分析：（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案；
（Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得关于的表达式，得到关于的方程，利用基本不等式消去参数，得到关于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得的坐标关于的表达式，根据点在椭圆上，得到关于关于的函数表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到．根据判别式大于零，得到不等式，通过解方程组求得，代入求解得到的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点的参数坐标，利用斜率关系求得的坐标关于的表达式．作换元，利用点A在椭圆上，得到，然后利用二次函数的性质求得的最大值
【详解】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；
（Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法
设，
由，
，
由在抛物线上，所以，
又，
，，
.
由即
，
所以，，，
所以，的最大值为，此时.
[方法二]【最优解】：
设直线，.
将直线的方程代入椭圆得：，
所以点的纵坐标为.
将直线的方程代入抛物线得：，
所以，解得，因此，
由解得，
所以当时，取到最大值为.
[方法三] ：点差和判别式法
设，其中．
因为所以．
整理得，所以．
又，
所以，整理得．
因为存在，所以上述关于的二次方程有解，即判别式． ①
由得．
因此，将此式代入①式解得．
当且仅当点M的坐标为时，p的最大值为．
[方法四]：参数法
设，
由，得．
令，则，点A坐标代入椭圆方程中，得．
所以，此时M坐标为．
【典例13】（2023·全国高考真题（文））已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
答案：（1）；（2）最大值为.
分析：
（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】
（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
【易错提醒】
直线和抛物线有一个交点有两种情况：相切以及平行于对称轴．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·江西南昌·模拟预测（理））若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据化简可得该方程表示双曲线的右支，再结合双曲线的性质判断.
【详解】由，左右两边同时平方得，
即，
该方程可表示双曲线的右支，如图所示，
故的最小值为，
故选：A.
2．(2023·广东·高三开学考试）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若上存在无数个点，满足：，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
分析：由题意得到以为直径的圆与椭圆有4个交点，进而得到，求出的取值范围.
【详解】设椭圆的半焦距为，因为上存在无数个点满足：，
所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，
所以，所以，所以.
故选：D
3．(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知点、，直线，动点到点的距离和它到直线的距离之比为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：设点，由题意可求出点的轨迹方程，再利用平面内两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】设点，由题意可得，整理可得，
则，其中，
所以，，
所以，当时，取最大值，即.
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（ ）
A．6B．2C．5D．8
答案：A
分析：分别画出抛物线与圆的图像，观察图像即可得到距离最大值.
【详解】
拋物线的焦点为，
圆，即
所以，圆心为，半径，
F到圆C上点的距离的最大值为.
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：首先利用两点间距离表示，再结合基本不等式求最值，并且求得点的坐标，根据双曲线上的点和焦点坐标，即可求得双曲线的离心率.
【详解】设，，，则
，当且仅当时取等号，此时, ，
所以.
故选：C
6．(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：由已知可得，设，，由点差法可得，可得，可求，圆表示圆心为，半径为，，计算可求最小值．
【详解】由双曲线知渐近线方程为，
又双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，，双曲线方程为，
设，，
，，
，
又弦的中点为，
，，设，
，解得，，解得，
所以双曲线的方程为，
由圆的方程可得，
圆心为，半径为，
．
当且仅当，，三点共线时取等号．
故选：D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有，将表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.
【详解】设上的切点分别为H､I､J，
则.
由，得，
∴，即.
设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，
得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得的内心在直线上，
设直线的领斜角为，则，
，
当时，；
当时，由题知，，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴，且，所以或，
∴且，
∴，
综上所述，.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
答案：D
分析：设在右支上，根据双曲线的性质求得、且，由已知双曲线有，结合的范围求范围，即可得结果.
【详解】由双曲线的对称性，假设在右支上，即，
由到的距离为，而，
所以，
综上，，同理，则，
对于双曲线，有且，
所以，而，即.
故选：D
9．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：利用两点间距离公式和抛物线焦半径公式可得，令可将所求式子化为，根据二次函数的最大值点可求得结果.
【详解】由题意知：，；
，，
；
令，则，
，
则当，即时，取最大值，此时.
故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，点，是曲线W上两点，若，则的最大值为（ ）
A．10B．14C．12D．16
答案：C
分析：确定抛物线的准线方程，由抛物线定义可得，结合条件可得，结合抛物线的几何性质可得当且仅当A，F，B三点共线时，即可得答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，则,焦准距,准线方程为，
根据抛物线的定义得，．
又，所以．
因为，当且仅当A，F，B三点共线时等号成立，即，
所以的最大值为12，
故选：C
二、多选题
11．(2023·江苏南通·高三开学考试）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
答案：BCD
分析：将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D.
【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；
由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；
设点，所以，
所以，故C正确；
如图过点作准线，交于点，，，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD
12．(2023·河北秦皇岛·高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（ ）
A．
B．双曲线C的离心率为
C．直线倾斜角的取值范围为
D．若，则三角形的面积为2
答案：ABD
分析：根据双曲线的几何性质，再对各个选项进行逐个计算检验即可得出结论.
【详解】设焦距为，则，设，
则，，作差得，即，
，
故，又，所以，A正确；
而离心率，B正确；
双曲线C的渐近线方程为，直线过原点，由题可知直线与C有两个不同的交点，
所以直线倾斜角的取值范围为，C错误；
若，则，由双曲线的定义以及选项A的结论可得
，故，
又，可得，
所以三角形的面积为，D正确．
故选：ABD.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线斜率的最大值为_______．
答案：##
分析：设出点坐标，利用向量法求得点坐标并代入抛物线的方程，求得直线斜率平方的表达式，结合二次函数的性质求得最大值.
【详解】设，，
依题意，
所以，
所以，将点的坐标代入抛物线的方程得：
，整理得，
设直线的斜率为，则，
根据二次函数的性质可知，当时，
取得最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：
14．(2023·山西·高三阶段练习）已知抛物线，过点和点做两条斜率为2的平行线，分别与抛物线相交于点，和点，，得到一个梯形．若存在实数，使得，则实数的取值范围为______．
答案：
分析：写出直线的方程，联立抛物线方程，利用弦长公式求出、，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，求出梯形的面积，得到与的关系式，结合的范围计算即可．
【详解】设点，、，,
代入可得：，
所以
所以，
点到直线的距离为，
，
同理可求得：，
，
，
，
，，
故答案为：．
四、解答题
15．(2023·山东青岛·高三开学考试）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.
（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.
答案：(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
分析：（1）根据两圆内切和外切列出圆心距与半径的关系，即可发现圆心的轨迹满足椭圆的定义，进而可求其方程，
（2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据点坐标可得方程，进而代入韦达定理即可求出坐标，根据弦长公式可求长度，进而得长，根据垂直，即可表示四边形的面积，根据不等式即可求解最值.
（1）
设动圆的半径为，圆心的坐标为
由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.
动圆与圆内切，且与圆外切，
动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，
其中
从而轨迹的方程为：
（2）
（i）设直线的方程为，则
由可得：
直线的方程为，
令可得点的横坐标为：
为一个定点，其坐标为
（ii）根据（i）可进一步求得：
.
，
则
，
四边形面积
（法一）
等号当且仅当时取，即时，
（法二）令，
则
当，即时，
16．(2023·河南省杞县高中高三开学考试（文））已知椭圆的左､右焦点分别为是上一动点，的最大面积为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值.
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据焦距求出，利用的最大面积求出，从而求出，求出椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，求出两点的坐标，从而求出，再设出直线的方程，联立椭圆方程，表达出，及四边形的面积，求出的长度的最大值，从而求出四边形的面积最大值.
（1）
设椭圆的半焦距为.因为，所以，
当为上顶点或下顶点时，的面积最大，
因为的最大面积为，所以，即，
所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）
设，联立消去得，
解得，
所以，所以两点的坐标分别为，
所以.
因为，设四边形的面积为，
所以.
设直线的方程为.
联立消去得，
所以，
即，
，
所以
，
所以当时，，
此时.
所以四边形面积的最大值为.
17．(2023·贵州黔南·高三开学考试（理））已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛物线C的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C相交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．
答案：(1)
(2)4
分析：（1）设抛物线C的方程为，根据题意得到焦点坐标，即可求得抛物线C的方程；
（2）设､，联立方程组得到，求得，化简抛物线方程，结合导数的几何意义求得点和点处的切线方程，联立方程组求得点的坐标和到直线的距离，得出的面积，即可求解最小值.
（1）
由题意，设抛物线C的方程为，
因为直线经过，即抛物线C的焦点，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）
设､，联立方程组，整理得，
因为，且，，，
所以，
由，可得，则，
所以抛物线经过点的切线方程是，
将代入上式整理得，
同理可得抛物线C经过点B的切线方程为，
联立方程组，解得，所以，
所以到直线的距离，
所以的面积，
因为，所以，
即当时，，所以面积的最小值为.
18．（2023·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切．圆心的轨迹记为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设为曲线上的两点，记中点为，过作的垂线交轴于．
①求；
②当时，求的最大值．
答案：(1)
(2)① ；②
分析：（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）①设，再求出，根据垂直关系的直线方程求得即可得；
②根据两点间的距离公式表达，结合基本不等式可得，进而求得的最大值
(1)
设，由题意，则到的距离等于到的距离，故的轨迹为抛物线；
(2)
设，则，
①故，
，令，得
，故，即，
②由题意，即
，故．