高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题12导数与函数的单调性【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题12导数与函数的单调性【原卷版+解析】，共33页。

【热点聚焦】
单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.从高考命题看，对函数单调性的考查主要有：利用导数求函数的单调区间、判断单调性、已知单调性，求参数等．
【重点知识回眸】
（一）函数的单调性与导数的关系
提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．
（二）常用结论
1．在某区间内f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数f (x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
（三）常见问题解题方法
1.导数求单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间.即确定定义域→求出导函数→令解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格.
2.求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解
3.求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式
4.含参数问题分类讨论的时机
分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，当参数的不同取值对下一步的结果影响不相同时，就是分类讨论开始的时机.
【典型考题解析】
热点一 不含参数的函数的单调性
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是 （ ）
A．B．(0,3)C．(1,4)D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cs x，则f(x)的单调递增区间为________．
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的单调递增区间为__．
【规律方法】
(1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降，函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度，也可用来研究导函数图象的上升与下降．
(2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．
热点二 含参数的函数的单调性
【典例5】（2023·全国·高考真题（文））设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数在区间内的单调性.
【方法总结】
解决含参数的函数的单调性问题应注意两点
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
热点三 已知函数的单调性求参数的取值范围
【典例7】（全国·高考真题（文））若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例8】（全国·高考真题（理））若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_______.
【典例9】（2023·北京·高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【规律方法】
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间D上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，从而构建不等式，求出参数的取值范围，要注意“＝”是否可以取到．
(2)可导函数在区间D上存在单调区间，实际上就是f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)在该区间上存在解集，即f ′(x)max＞0(或f ′(x)min＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
(3)若已知f (x)在区间D上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
热点四 函数单调性与函数图像
【典例10】(2023·全国·高考真题（文））函数的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
【典例11】（2023·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例12】（2023·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【规律方法】
有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
热点五 函数单调性与比较大小、解不等式
【典例13】(2023·全国·高考真题（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例14】(2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【典例15】(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【典例16】（全国·高考真题（理））设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【典例17】（2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【典例18】(2023·湖北·襄阳五中高三阶段练习）设，则的大小关系是___________.
【规律方法】
构造函数解不等式或比较大小
一般地，在不等式中若同时含有f (x)与f ′(x)，常需要通过构造含f (x)与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果．
常见构造的辅助函数形式有：
(1)f (x)＞g(x)→F(x)＝f (x)－g(x)；
(2)xf ′(x)＋f (x)→[xf (x)]′；
(3)xf ′(x)－f (x)→；
(4)f ′(x)＋f (x)→[exf (x)]′；
(5)f ′(x)－f (x)→eq \s\up12(′).
（6）→
（7）→
（8）→.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·高三专题练习）函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数B．在区间上，是减函数
C．为的极小值点D．2为的极大值点
3．（2023·全国·高三专题练习）函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
4．(2023·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·河北深州市中学高三阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·四川成都·高三期末（理））若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））若且，且，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
11．(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知，且满足，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的单调递减区间是________ ．
13．（2023·河南宋基信阳实验中学高三开学考试（文））若函数在上为单调减函数，则实数的取值范围是_________.
14．(2023·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）函数的单调递增区间为__________.
15．（2023·全国·高三专题练习），若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______
16．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数的定义域为，当讨，，且，则不等式的解集为___________.
三、解答题
17．(2023·四川成都·高三期末（理））设函数，其中．若函数的图象在处的切线与x轴平行．
(1)求a的值；
(2)求函数的单调区间．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）．
(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
条件
结论
函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导
f ′(x)＞0
f (x)在(a，b)内单调递增
f ′(x)＜0
f (x)在(a，b)内单调递减
f ′(x)＝0
f (x)在(a，b)内是常数函数
专题12 导数与函数的单调性
【热点聚焦】
单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.从高考命题看，对函数单调性的考查主要有：利用导数求函数的单调区间、判断单调性、已知单调性，求参数等．
【重点知识回眸】
（一）函数的单调性与导数的关系
提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．
（二）常用结论
1．在某区间内f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数f (x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
（三）常见问题解题方法
1.导数求单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间.即确定定义域→求出导函数→令解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格.
2.求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解
3.求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式
4.含参数问题分类讨论的时机
分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，当参数的不同取值对下一步的结果影响不相同时，就是分类讨论开始的时机.
【典型考题解析】
热点一 不含参数的函数的单调性
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：求导，解不等式可得.
【详解】的定义域为
解不等式，可得，
故函数的递减区间为.
故选：B．
【典例2】（广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是 （ ）
A．B．(0,3)C．(1,4)D．
答案：D
【解析】
【详解】
试题分析：由题意得，，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故选D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cs x，则f(x)的单调递增区间为________．
答案：，
分析：对求导，令f′(x)＝0，得x＝或x＝，求出 的解即可求出答案.
【详解】f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．令f′(x)＝0，得x＝或x＝，
当00，
当0，
∴f(x)在和上单调递增，在上单调递减．
故答案为：，.
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的单调递增区间为__．
答案：，
分析：先根据题意求出的解析式，然后在每一段上求出函数的增区间即可
【详解】由，得，由，得，
所以当时，，则在上递增，
当时，，
则，
由，得，解得，
所以在上递增，
综上得函数的单调递增区间为，．
故答案为：．
【规律方法】
(1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降，函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度，也可用来研究导函数图象的上升与下降．
(2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．
热点二 含参数的函数的单调性
【典例5】（2023·全国·高考真题（文））设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
答案：（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【解析】
分析：
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数在区间内的单调性.
答案：见解析
分析：先求出，然后分与的关系进行分类讨论,从而得出答案.
【详解】由，
①当，即时，，
，在单调递减；
②当，即时，，
，在单调递增；
③当，即时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
综上所述，当时，在单调递减
当时，在单调递增
当时，在单调递增，在单调递减.
【方法总结】
解决含参数的函数的单调性问题应注意两点
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
热点三 已知函数的单调性求参数的取值范围
【典例7】（全国·高考真题（文））若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．
【典例8】（全国·高考真题（理））若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_______.
答案：
【解析】
【详解】
试题分析：时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．
【典例9】（2023·北京·高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
答案： -1; .
【解析】
分析：
首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.
【详解】
若函数为奇函数,则，
对任意的恒成立.
若函数是上的增函数,则恒成立,.
即实数的取值范围是
【规律方法】
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间D上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，从而构建不等式，求出参数的取值范围，要注意“＝”是否可以取到．
(2)可导函数在区间D上存在单调区间，实际上就是f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)在该区间上存在解集，即f ′(x)max＞0(或f ′(x)min＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
(3)若已知f (x)在区间D上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
热点四 函数单调性与函数图像
【典例10】(2023·全国·高考真题（文））函数的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
【详解】
分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
【典例11】（2023·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：根据导函数的图象判断原函数的单调性，即可判断选项.
【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内.符合条件的只有D.
故选：D
【典例12】（2023·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】
对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
【规律方法】
有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
热点五 函数单调性与比较大小、解不等式
【典例13】(2023·全国·高考真题（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解.
【详解】
因为,因为当
所以,即,所以；
设，
，所以在单调递增，
则,所以，
所以,所以，
故选：A
【典例14】(2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
【典例15】(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据导数判断出函数的单调性，根据解析式可判断函数为偶函数，从而可求不等式的解.
【详解】函数的定义域为，
，
当时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数.
又
，
故为上的偶函数，
故等价于，
即，两边平方得，故.
故选：D.
【典例16】（全国·高考真题（理））设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是( )
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
构造新函数,，当时.
所以在上单减，又，即.
所以可得,此时，
又为奇函数，所以在上的解集为：.
故选A.
【典例17】（2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：根据已知条件构造函数，可得在上为增函数，且为奇函数，然后将可转化为，从而可求出不等式的解集.
【详解】令，则，
因为当时，有，
所以当时，，
所以在上为增函数，
因为为奇函数，所以，
所以，
所以为R上的奇函数，
所以在R上为增函数，
由，得
，
，
所以，
因为为奇函数，所以，
所以，得，
所以不等式的解集为，
故选：C
【典例18】(2023·湖北·襄阳五中高三阶段练习）设，则的大小关系是___________.
答案：
分析：利用导数研究函数， ，在上的单调性，利用函数的单调性可比较的大小.
【详解】由已知可得，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
所以
故答案为：.
【规律方法】
构造函数解不等式或比较大小
一般地，在不等式中若同时含有f (x)与f ′(x)，常需要通过构造含f (x)与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果．
常见构造的辅助函数形式有：
(1)f (x)＞g(x)→F(x)＝f (x)－g(x)；
(2)xf ′(x)＋f (x)→[xf (x)]′；
(3)xf ′(x)－f (x)→；
(4)f ′(x)＋f (x)→[exf (x)]′；
(5)f ′(x)－f (x)→eq \s\up12(′).
（6）→
（7）→
（8）→.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·高三专题练习）函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：的解集即为单调递增区间，结合图像理解判断．
【详解】的解集即为单调递增区间
结合图像可得单调递增区间为
则的解集为
故选：C．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数B．在区间上，是减函数
C．为的极小值点D．2为的极大值点
答案：D
分析：利用函数与导函数的关系及其极值的定义即可求解.
【详解】由导函数的图像可知，
在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，则选项不正确；
在区间上，，则是增函数，则选项不正确；
由图像可知，且为单调递增区间，为单调递减区间，则为的极大值点，则选项不正确；
由图像可知，且为单调递增区间，为单调递减区间，则为的极大值点，则选项正确；
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
答案：D
分析：结合函数单调性得到在上恒成立，
分，和三种情况，数形结合列出不等式，求出实数a的取值范围.
【详解】∵函数在上是增函数，
∴在上恒成立，
∵，
∴当时，恒成立，满足题意；
当时，在上恒成立，
在上恒成立，
故只需，解得：，故可得：
当时，在上恒成立，
在上恒成立，
故只需，解得：，故可得：
综上可得：实数a的取值范围是，
故选：D．
4．(2023·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用导数说明函数的单调性，再根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】解：由题意可知，函数的定义域为.
因为恒成立，所以在上单调递减.
则由可得，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
5．(2023·河北深州市中学高三阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：由题设有，分别构造、、、，利用导数研究在上的单调性，进而判断各项的正误.
【详解】由，即，
A：若且，则，
故，，即在上存在零点且在上递增，
所以在上不单调，则不一定成立，排除；
B：若且，则，
所以上，递增；上，递减；
故在上不单调，则不一定成立，排除；
C：若且，则，即在上递增，
所以，即，排除；
D：若且，则，即在上递增，
所以，即，正确.
故选：D
6．(2023·四川成都·高三期末（理））若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据已知条件等价为在上恒成立，即在上恒成立，求解的取值情况即可得出结果.
【详解】
由题意，已知条件等价为在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
在上单调递减，，
，
的取值范围是.
故选：B.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：由已知可得在恒成立，从而进行参变分离求最值即可.
【详解】解：，
因为函数在上单调递增，
所以在恒成立，
即在恒成立，
令
则在恒成立，
故在单调递增，所以，
故a的取值范围是，
故选：D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：令、、，结合导数研究的单调性及值域判断可能的图象，即可得答案.
【详解】当时，且，则，
所以上 ，递增；上 ，递减，且，
所以A图象可能；
当时，且，则，
所以上，递减，上 ，递增，上 ，递减，
所以B图象可能；
当时，且，则，
所以上，递增，上 ，递减，上 ，递增，
又时，而时，
所以D图象可能；
综上，排除A、B、D.
故选：C
9．（2023·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））若且，且，且，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：构造函数，求导，根据函数的单调性比大小即可.
【详解】由，两边同时以为底取对数得，
同理可得，，
设，，则，，，
，令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
则，且，
所以，
故，
故选：A.
10．(2023·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：构造函数，根据导数判断单调性，再利用奇偶性求出解集.
【详解】设，则，
因为当时，，所以当时，，
即在上单调递增，
因为，所以为偶函数，则也是偶函数,所以在上单调递减.
因为,所以,
即,
则，解得，
故选：D.
11．(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知，且满足，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：利用指对数互化及对数的运算性质可得，进而可得，然后构造函数，利用函数的单调性即得.
【详解】由，可得，
所以，或，
∴(舍去)，或，即，故A错误；
又，故，
∴，对于函数，
则，函数单调递增，
∴，故D错误；
∵，，
∴，
令，则，
∴函数单调递增，
∴，即，
∴，即，故B正确；
∵，
∴函数单调递增，故函数单调递增，
∴，即，故C错误.
故选：B.
二、填空题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的单调递减区间是________ ．
答案：
分析：求出函数导数，由即可求出单调递减区间.
【详解】，令，解得 ，
所以的单调递减区间为.
故答案为：.
13．（2023·河南宋基信阳实验中学高三开学考试（文））若函数在上为单调减函数，则实数的取值范围是_________.
答案：
分析：由题可得函数在区间上是减函数，结合条件即得.
【详解】对于函数，，
∴，，
由，可得，
因为函数在上为单调减函数，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：.
14．(2023·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）函数的单调递增区间为__________.
答案：
分析：先求得导函数，并令，再判断导函数的符号，由此可得函数的单调递增区间.
【详解】函数，则，
令解得，
当时,,函数单调递减，
当时,,函数单调递增，
当时,,函数单调递减，
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习），若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______
答案：
分析：分析可知，，使得，求出函数在上的值域，可得出实数的取值范围.
【详解】因为，则，
有已知条件可得：，使得，即，
当，所以.
故答案为：.
16．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数的定义域为，当讨，，且，则不等式的解集为___________.
答案：
分析：构造函数,利用导函数判断出当x>0时, 单调递增，得到当x>2时，从而；当时，，从而.由为奇函数得到不等式的解集.
【详解】构造函数，则当时，，所以当x>0时单调递增.
因为f(2)=0，所以，所以当x>2时，从而.
当时，，从而.
又奇函数的图像关于原点中心对称，所以的解集为.
故答案为: .
三、解答题
17．(2023·四川成都·高三期末（理））设函数，其中．若函数的图象在处的切线与x轴平行．
(1)求a的值；
(2)求函数的单调区间．
答案：(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为，
分析：（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）由（1）得，再求导分析函数的单调区间即可
(1)
．∵函数的图象在处的切线与x轴平行，
∴，解得．此时，满足题意．∴．
(2)
由（1）得，故．令，解得或．当x变化时，，的变化情况如下表：
∴函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）．
(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
答案：(1)
(2)答案见解析
分析：（1）求得函数的导数，根据导数的几何意义即可求得切线方程；
（2）求出函数的导数，分类讨论a的取值，判断导数的正负，从而确定函数的单调性.
(1)
当时，，所以,
，所以,
所以函数在处的切线方程为，即.
(2)
的定义域为， ,
当时， 恒成立，所以在 上单调递减；
当 时， ,
在上，，所以单调递减；
在上，，所以单调递增.条件
结论
函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导
f ′(x)＞0
f (x)在(a，b)内单调递增
f ′(x)＜0
f (x)在(a，b)内单调递减
f ′(x)＝0
f (x)在(a，b)内是常数函数
0
2
0
0
单调递减
单调递增
单调递减