高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.6直线与圆锥曲线(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.6直线与圆锥曲线(知识点讲解)(原卷版+解析)，共30页。


【核心素养】
通过考查直线与圆锥曲线的位置关系，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理等核心数学素养.
【知识点展示】
（一）直线和圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0，))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
（二）“弦”的问题
1.弦长公式
设斜率为k（）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，，则＝＝.
2．处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：
即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq \f(y1－y2,x1－x2)三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．
【常考题型剖析】
题型一：直线与椭圆的位置关系
例1.(2023·内蒙古·海拉尔第二中学高三期末（文））设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直；
B．若直线方程为，则.
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若点M坐标为，则直线方程为；
例2.(2023·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
例3.（2023·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
例4.（2023·天津高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
【总结提升】
1.涉及直线与椭圆的基本题型有：
（1）位置关系的判断
（2）弦长、弦中点问题
（3）轨迹问题
（4）定值、最值及参数范围问题
（5）存在性问题
2．常用思想方法和技巧有：
（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系
3.解决椭圆中点弦问题的三种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为
P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0－x,2y0－y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,\f(2x0－x2,a2)＋\f(2y0－y2,b2)＝1，))
两式作差即得所求直线方程．
4．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．
5.提醒：(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况．
(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
题型二：直线与双曲线的位置关系
例5.(2023·山西·太原市外国语学校高三开学考试）已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A．B．C．D．
例6.（2023·全国高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
例7．(2023·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【规律方法】
1.直线与双曲线位置关系的判断方法：
(1)方程思想的应用
判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去y(或x)．则二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；二次项系数不等于0时，若Δ>0则直线与双曲线有两个公共点，Δ＝0有一个公共点，Δ<0无公共点．
(2)数形结合思想的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．
2．求直线与双曲线相交弦长，一般将两方程联立，消元化为一元二次方程，结合根与系数的关系求解．
3.直线与双曲线位置关系的解题策略
(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
(3)弦长公式：设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|.
题型三：直线与抛物线的位置关系
例8．【多选题】(2023·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
例9.【多选题】(2023·福建省厦门集美中学模拟预测）过抛物线的焦点F的直线l与C交于A，B两点，设、，已知，，则（ ）
A．若直线l垂直于x轴，则B．
C．若P为C上的动点，则的最小值为5D．若点N在以AB为直径的圆上，则直线l的斜率为2
例10.(2023·全国·高考真题（文））设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
【规律总结】
解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|xA|＋|xB|＋p或|AB|＝|yA|＋|yB|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.
题型四 弦长问题和中点弦问题
例11.（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（ ）
A．B．C．D．
例12.（2023·天津高考真题）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
例13.（2023·全国·高考真题（理））已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
【总结提升】
1.处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：
即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq \f(y1－y2,x1－x2)三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．
2.中点坐标公式一个作用是可以利用“设而不求”技巧解题，其二是可以将未知点坐标和已知点坐标联系起来；涉及求范围问题，注意方程不等式思想的运用．
3.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.
题型五 直线与圆锥曲线的位置关系求参数问题
例14. (2023·四川内江·模拟预测（理））若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.
例15.(2023·全国·高考真题（理））已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
例16.(2023·天津高考真题（文））设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．
专题9.6 直线与圆锥曲线（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
通过考查直线与圆锥曲线的位置关系，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理等核心数学素养.
【知识点展示】
（一）直线和圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0，))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
（二）“弦”的问题
1.弦长公式
设斜率为k（）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，，则＝＝.
2．处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：
即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq \f(y1－y2,x1－x2)三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．
【常考题型剖析】
题型一：直线与椭圆的位置关系
例1.(2023·内蒙古·海拉尔第二中学高三期末（文））设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直；
B．若直线方程为，则.
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若点M坐标为，则直线方程为；
答案：D
分析：利用椭圆中中点弦问题的处理方法，结合弦长的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】不妨设坐标为，则，两式作差可得：
，设，则.
对A：，故直线不垂直，则A错误；
对B：若直线方程为，联立椭圆方程，
可得：，解得，故，
则，故错误；
对：若直线方程为y=x+1，故可得，即，又，
解得，即，故错误；
对：若点M坐标为,则，则，
又过点，则直线的方程为，即，故正确.
故选：.
例2.(2023·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；
（2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程.
（1）
解：，
离心率为.
（2）
解：由（1）可知椭圆的方程为，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．
例3.（2023·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
答案：（1）；（2）.
【解析】
（1）设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2-c2，得b2=3.
因此，椭圆C的标准方程为.
（2）解法一：
由（1）知，椭圆C：，a=2，
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4).
又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由，得，
解得或.
将代入，得，
因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.
由，得，解得或.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.
将代入，得.因此.
解法二：
由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.
因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1，0)，由，得.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.
因此.
例4.（2023·天津高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
答案：（1）；（2）.
分析：
（1）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程.
【详解】
（1）易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点为椭圆上一点，
先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为.
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即.
【总结提升】
1.涉及直线与椭圆的基本题型有：
（1）位置关系的判断
（2）弦长、弦中点问题
（3）轨迹问题
（4）定值、最值及参数范围问题
（5）存在性问题
2．常用思想方法和技巧有：
（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系
3.解决椭圆中点弦问题的三种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为
P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0－x,2y0－y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,\f(2x0－x2,a2)＋\f(2y0－y2,b2)＝1，))
两式作差即得所求直线方程．
4．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．
5.提醒：(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况．
(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
题型二：直线与双曲线的位置关系
例5.(2023·山西·太原市外国语学校高三开学考试）已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：中点弦问题利用点差法处理.
【详解】法一：设，则，
所以，又AB的中点为，
所以，所以，由题意知，
所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，
代入并整理得，
因为为线段AB的中点，所以，整理得，
所以C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
例6.（2023·全国高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
答案：（1）；（2）.
分析：
（1）利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；
（2）设点，设直线的方程为，设点、，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，求出的表达式，设直线的斜率为，同理可得出的表达式，由化简可得的值.
【详解】
因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为；
（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，
不妨直线的方程为，即，
联立，消去并整理可得，
设点、，则且.
由韦达定理可得，，
所以，，
设直线的斜率为，同理可得，
因为，即，整理可得，
即，显然，故.
因此，直线与直线的斜率之和为.
例7．(2023·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
答案：(1)
(2)见解析
分析：（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
（1）
右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
（2）
由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
【规律方法】
1.直线与双曲线位置关系的判断方法：
(1)方程思想的应用
判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去y(或x)．则二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；二次项系数不等于0时，若Δ>0则直线与双曲线有两个公共点，Δ＝0有一个公共点，Δ<0无公共点．
(2)数形结合思想的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．
2．求直线与双曲线相交弦长，一般将两方程联立，消元化为一元二次方程，结合根与系数的关系求解．
3.直线与双曲线位置关系的解题策略
(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
(3)弦长公式：设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|.
题型三：直线与抛物线的位置关系
例8．【多选题】(2023·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
答案：BCD
分析：求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
例9.【多选题】(2023·福建省厦门集美中学模拟预测）过抛物线的焦点F的直线l与C交于A，B两点，设、，已知，，则（ ）
A．若直线l垂直于x轴，则B．
C．若P为C上的动点，则的最小值为5D．若点N在以AB为直径的圆上，则直线l的斜率为2
答案：ABD
分析：联立抛物线与直线求其交点判断A，联立直线的方程与抛物线的方程，结合设而不求法判断B，结合抛物线定义判断C，利用设而不求法判断D.
【详解】直线l垂直于x轴时，其方程为，联立可得或，
所以，，所以，A对，
由已知可得直线l的斜率不为0，故可设其方程为，
联立化简可得，
，设，
则，，B对，
点N在以AB为直径的圆上，则，又
所以，又，
所以，
所以，
所以，故，此时直线l的斜率为2，D对，
过点作垂直与准线，垂足为，
过点作垂直与准线，垂足为，
则，
所以，
当且仅当点的坐标为时等号成立，
所以的最小值为4，C错，
故选：ABD.
例10.(2023·全国·高考真题（文））设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
答案：（1）1；（2）y＝x＋7．
分析：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；
（2）由（1）中直线AB的斜率，根据导数的几何意义求得M点坐标，设直线AB的方程为y＝x＋m，与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，从而求得参数m.
【详解】解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1．
（2）由y＝，得y′＝．
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0．
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2．
从而|AB|＝|x1－x2|＝．
由题设知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)，
解得m＝7．
所以直线AB的方程为y＝x＋7．
【规律总结】
解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|xA|＋|xB|＋p或|AB|＝|yA|＋|yB|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.
题型四 弦长问题和中点弦问题
例11.（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：设，，把直线与椭圆联立，求出，
，即可求出.
【详解】由，得，，，左焦点为．
则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为．代入，得，
设，，则，，
又，
根据弦长公式得：，
且，
∴，
故选：A．
例12.（2023·天津高考真题）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ），或．
【解析】
（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，
，
由，得，
又由，得，
所以，椭圆的方程为；
（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，
根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
，消去，可得，解得或.
将代入，得，
所以，点的坐标为，
因为为线段的中点，点的坐标为，
所以点的坐标为，
由，得点的坐标为，
所以，直线的斜率为，
又因为，所以，
整理得，解得或.
所以，直线的方程为或.
例13.（2023·全国·高考真题（理））已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
答案：（1）；（2）.
分析：（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.
【详解】（1）设直线方程为：，，
由抛物线焦半径公式可知：
联立得：
则
，解得：
直线的方程为：，即：
（2）设，则可设直线方程为：
联立得：
则
，
，
则
【总结提升】
1.处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：
即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq \f(y1－y2,x1－x2)三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．
2.中点坐标公式一个作用是可以利用“设而不求”技巧解题，其二是可以将未知点坐标和已知点坐标联系起来；涉及求范围问题，注意方程不等式思想的运用．
3.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.
题型五 直线与圆锥曲线的位置关系求参数问题
例14. (2023·四川内江·模拟预测（理））若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.
答案：
分析：设双曲线上两点，，，，直线的方程是，代入双曲线方程化简得，的中点是，，利用判别式大于0，韦达定理结合的中点在直线上，转化求解的范围即可．
【详解】解：依题意，双曲线上两点，，，，
若点A、B关于直线对称，则
设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：
，
则，且，解得，且
又，设的中点是，，
所以，．
因为的中点在直线上，
所以，所以，又
所以，即，所以
所以，整理得，
所以或，
实数的取值范围为：
故答案为：.
例15.(2023·全国·高考真题（理））已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
答案：2
分析：利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】详解：设
则
所以
所以
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,
，
因为为AB中点，
所以平行于x轴
因为M(-1,1)
所以，则即
故答案为2.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点, 分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率．
例16.(2023·天津高考真题（文））设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．
答案：（1）；(2)．
【解析】
（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,从而．
所以，椭圆的方程为．
（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，
点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，
从而，即．
易知直线的方程为，由方程组消去y，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．
当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．
所以，的值为．