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高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试新高考数学模拟试卷01(新高考I卷)【原卷版+解析】
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这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试新高考数学模拟试卷01(新高考I卷)【原卷版+解析】，共29页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．(2023·陕西·高三阶段练习（文））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·河北·高三阶段练习）已知复数z满足，复数复数z的共轭复数，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·江西·高三阶段练习（文））已知在矩形中，，线段交于点，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·湖北·黄冈中学高三阶段练习）图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态.如图2，将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体.已知半球的密度是圆锥的2倍，已知要让半球质量不小于圆锥质量，才能使它在一定角度范围内“不倒”，则圆锥的高和底面半径之比至多为（ ）
A．B．1C．2D．4
5．（2023·全国·高三专题练习）奥林匹克标志由5个奥林匹克环套接组成，五环象征五大洲的团结以及全世界的运动员以公正、坦率的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上相见．如图，5个奥林匹克环共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·河北·高三阶段练习）已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）已知，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·重庆·高三阶段练习）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）在正方体中，下列几种说法正确的有（ ）
A．为异面直线B．
C．与平面所成的角为D．二面角的正切值为
10．(2023·广东广州·高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的极小值为2
B．有两个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
11．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知是抛物线的焦点， 是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ）
A．曲线的准线方程为
B．若，则的面积为
C．若，则
D．若，的中点在的准线上的投影为，则
12．(2023·山东·滕州市第一中学新校高三阶段练习）已知函数，的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．(2023·湖南岳阳·高三阶段练习）已知的展开式中含项的系数为8，则实数___________.
14．(2023·江西·临川一中高三阶段练习（文））若直线被圆截得线段的长为4，则实数的值为______________．
15．(2023·广东·高三阶段练习）已知函数，直线l的方程为，过函数上任意一点P作与l夹角为的直线，交l于点A，则的最小值为_______.
16．(2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，椭圆经过点，且点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为．若椭圆上存在两点，使得的垂心（三角形三条高的交点）恰为坐标原点，则直线的方程________________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·广东·深圳市龙岗区德琳学校高三阶段练习）设是等差数列的前项和，已知，，
(1)求和；
(2)若，求数列的前项和．
18．(2023·重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习）已知锐角△中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求的值；
(2)若，求△面积的最大值
19．(2023·广东广州·高三阶段练习）如图，在直三棱锥中，，，，是的中点．
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)若是的中点，，则在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
20．(2023·湖南岳阳·高三阶段练习）伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善.据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一，某市一健身连锁机构对去年的参与了该连锁机构健身的会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图
若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”.
(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100人的样本，根据上图的数据，补全下方列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为是否为“健身达人”与年龄有关；
临界值表：
(2)将（1）中的频率作为概率，连锁机构随机选取会员进行回访，抽取3人回访.
①若选到的3人中2人为“年轻人”，1人为“非年轻人”,再从这3人中随机选取的1人，了解到该会员是“健身达人”，求该人为非年轻人的概率；
②设3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和期望值.
21．(2023·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
22．(2023·北京·北理工附中高三阶段练习）设函数，其中为实数.
(1)若，求的极值和单调区间；
(2)若在上有最小值，求的取值范围；
(3)若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.
类别
年轻人
非年轻人
合计
健身达人
健身爱好者
合计
100
数 学 试 卷
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．(2023·陕西·高三阶段练习（文））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据集合的运算可求解.
【详解】解：由题意得：
，
则.
故选：C
2．(2023·河北·高三阶段练习）已知复数z满足，复数复数z的共轭复数，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用复数的运算及基本概念求解即可.
【详解】解：根据题意，.
所以，复数的虚部为.
故选：B.
3．(2023·江西·高三阶段练习（文））已知在矩形中，，线段交于点，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：结合向量的运算性质，从出发进行计算，进行合理的“插点”，使其能被表示即可.
【详解】依题意得，结合图形有：.
故选：D
4．(2023·湖北·黄冈中学高三阶段练习）图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态.如图2，将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体.已知半球的密度是圆锥的2倍，已知要让半球质量不小于圆锥质量，才能使它在一定角度范围内“不倒”，则圆锥的高和底面半径之比至多为（ ）
A．B．1C．2D．4
答案：D
分析：由圆锥和球的体积公式列不等式求解
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，由题意得，
即，则，
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）奥林匹克标志由5个奥林匹克环套接组成，五环象征五大洲的团结以及全世界的运动员以公正、坦率的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上相见．如图，5个奥林匹克环共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：由组合法计算出从8个点中任取3个点的取法，这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上有3种可能，再由组合知识计算，然后由概率公式计算概率．
【详解】从8个点中任取3个点，共有种情况，这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上有种情况，故所求的概率．
故选：A．
6．(2023·河北·高三阶段练习）已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据图象先求得A和，得到，再将代入求得，再利用平移变换得到即可.
【详解】解：依题意，，，故，
故，故，
将代入可知，，
解得，故，
故，
则.
故选：A.
7．(2023·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）已知，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：由题意变形得，构造函数证得，观察选项，通过变形可知比较的是的大小，故构造函数证得其单调递减，由此得到所比大小排序.
【详解】因为，，，
所以由两边取自然对数得，即，故，
再由得，故，
令，则，故在上单调递减，
又由上式可知，故，
由四个选项的不等式同时除以可知，比较的是的大小，
故令，则，
再令，则，
故在上单调递减，
所以，故，
所以在上单调递减，
又因为，所以，即，
上述不等式两边同时乘以得，.
故选：D.
8．(2023·重庆·高三阶段练习）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：先求得内切球半径，再画图设底面半径为，利用三角函数值代换表达出表面积的公式，再设，根据基本不等式求最小值即可
【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号.
故选：A.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）在正方体中，下列几种说法正确的有（ ）
A．为异面直线B．
C．与平面所成的角为D．二面角的正切值为
答案：ABD
分析：A. 用反证法判断；B.易证平面判断；C. 易知平面，得到为与平面所成的角求解判断；D. 易知平面，得到是二面角的平面角求解判断.
【详解】解：如图所示：
A. 假设共面，则共面，所以与共面，与异面矛盾，故假设错误，则直线为异面直线，故正确；
B. 在正方体中，易知，，又，所以平面，又平面，所以，故正确；
C. 易知平面，则为与平面所成的角，设正方体的棱长为1，则，所以，故错误；
D. 易知平面，则，所以是二面角的平面角，其正切值为，故正确，
故选：ABD
10．(2023·广东广州·高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的极小值为2
B．有两个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
答案：BCD
分析：利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D.
【详解】，，
令，解得：或，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增；
的极小值为：，
的极大值为：，
有两个零点，的极小值为4，故A错误、B正确；
对C，若点是曲线的对称中心，则有，
将函数代入上式验证得：
，故C正确；
对于D，，解得：，
当时，， 切线方程为：，即，故D正确.
故选：BCD.
11．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知是抛物线的焦点， 是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ）
A．曲线的准线方程为
B．若，则的面积为
C．若，则
D．若，的中点在的准线上的投影为，则
答案：BCD
分析：对于A，由抛物线的方程易知准线为，故A错误；
对于B，利用抛物线的定义求得，进而可求的面积，故B正确；
对于C，由及点在抛物线上得到，再利用两点距离公式及基本不等式，即可证得，故C正确；
对于D，结合图像，利用余弦定理及基本不等式即可证得，故D正确.
【详解】因为抛物线，故，焦点，准线为，设，则
对于A，易知准线为，故A错误；
对于B，如图1，由抛物线的定义可知，即，故，
代入，解得，
所以，故B正确；
对于C，由得，故，即，
又，，故，
得或（舍去），则，
所以，
故，故C正确；
对于D，如图2，过作准线的垂线，垂足分别为，连接，则
，
在中，，
故
所以，即，故D正确.
故选：BCD.
12．(2023·山东·滕州市第一中学新校高三阶段练习）已知函数，的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
分析：本题首先利用求导证明为奇函数，再证明其还为周期为4的函数，再通过合理赋值可一一核对各选项的对错.
【详解】因为为偶函数,则，两边求导得,所以为奇函数,
因为,
,
所以,
故,
所以,即的周期且,
在，中,
令,可得,
所以，故A正确；
令，可得，而为奇函数，则，
所以，则，故B正确;
令得,
,则
,无法求得,
同理令得,
,
因此,
相加得,只有在时,
有,但不一定为0,因此C错误;
在中,
令得,,
在中,
令得,,
两式相加得,即，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】抽象函数的周期性和奇偶性结合的问题难度较大，需要通过合理赋值才能得到相应的结果.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．(2023·湖南岳阳·高三阶段练习）已知的展开式中含项的系数为8，则实数___________.
答案：3
分析：根据题意得到的展开式的通项公式，再由条件列出方程即可得到结果.
【详解】因为的展开式的通项公式为，
则展开式中含项的系数为
解得
故答案为:
14．(2023·江西·临川一中高三阶段练习（文））若直线被圆截得线段的长为4，则实数的值为______________．
答案：7
分析：把圆的一般方程化为圆的标准方程，利用点到直线的距离公式以及勾股定理进行求解.
【详解】把圆：化为标准方程有：，
可得，即，
所以圆心，半径，又直线：，
所以圆心到直线的距离为，
因为直线：被圆：截得线段的长为4，
根据勾股定理有：，解得，
所以，解得.
故答案为：7.
15．(2023·广东·高三阶段练习）已知函数，直线l的方程为，过函数上任意一点P作与l夹角为的直线，交l于点A，则的最小值为_______.
答案：
分析：利用已知将转化为点P到直线l的距离为d，即可得出当过点P的的切线与直线l平行时，点P到直线l的距离最小，再通过求导，令导数等于直线l的斜率，即可得出点P的坐标，再通过点到直线的距离得出d，即可代入与d的关系式得出答案.
【详解】设点P到直线l的距离为d，
点P作与l夹角为，
，即，
要使最小，只需d最小即可，
则当过点P的的切线与直线l平行时，点P到直线l的距离最小，即d最小，
设，
求导得，
即时d最小，此时，
，
则，
则，
故答案为：.
16．(2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，椭圆经过点，且点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为．若椭圆上存在两点，使得的垂心（三角形三条高的交点）恰为坐标原点，则直线的方程________________．
答案：
分析：根据题意列式求出，即可得出椭圆方程，再设，，根据题意，得到，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据判别式，以及根与系数关系，由题意，得到，求出，即可得出结果．
【详解】由题意，得，解得，∴椭圆的方程为．
设，．∵，而，∴，
故可设直线的方程为．
联立，得，
首先，由得，解得．（*）且，．
又，∴，得，
即，整理得，，
∴，
即，解得或（均适合（*）式）．
当时，直线恰好经过点，不能构成三角形，不合题意，故舍去．
∴直线的方程为．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·广东·深圳市龙岗区德琳学校高三阶段练习）设是等差数列的前项和，已知，，
(1)求和；
(2)若，求数列的前项和．
答案：(1)；；
(2).
分析：（1）利用等差数列的通项公式、前项和公式得到关于首项和公差的方程组求出和，进而求出及；
（2）利用（1）求出，再利用裂项相消法进行求和.
（1）
设等差数列的公差为d，
则，
解得，
所以，
；
（2）
由（1）得：，，
则，
所以
.
18．(2023·重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习）已知锐角△中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求的值；
(2)若，求△面积的最大值
答案：(1)
(2)
分析：（1）将已知条件中的化为，使用两角和的正弦公式打开化简，可求得；
（2）由余弦定理，结合不等式，求出的最大值，代入面积公式即可.
（1）
∵
∴，
∴
∴
∵△为锐角三角形，为锐角，∴
∴，即，
∴△内角.
（2）
由余弦定理知，，
∴，当且仅当时取等号，
即当且仅当时，
∴
∴△面积的最大值为.
19．(2023·广东广州·高三阶段练习）如图，在直三棱锥中，，，，是的中点．
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)若是的中点，，则在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)存在点，且的长为；
分析：（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案.
（2）假设在线段上是否存在点，使得平面，设，利用求得参数，即可说明结论，继而求得的长.
（1）
由题意在直三棱锥中，，故以A为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ,故,
设平面的法向量为，则 ，
令，则，
平面的法向量可取，
则 ，
故平面与平面夹角的余弦值为；
（2）
由（1）可知是的中点，故 ,
假设在线段上是否存在点，使得平面，
则设,则,
又，故,
故由，可得，
即在线段上是否存在点且，使得平面，
则，即的长为.
20．(2023·湖南岳阳·高三阶段练习）伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善.据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一，某市一健身连锁机构对去年的参与了该连锁机构健身的会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图
若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”.
(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100人的样本，根据上图的数据，补全下方列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为是否为“健身达人”与年龄有关；
临界值表：
(2)将（1）中的频率作为概率，连锁机构随机选取会员进行回访，抽取3人回访.
①若选到的3人中2人为“年轻人”，1人为“非年轻人”,再从这3人中随机选取的1人，了解到该会员是“健身达人”，求该人为非年轻人的概率；
②设3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和期望值.
答案：(1)列联表答案见解析，不能认为“健身达人”与年龄有关
(2)①；②分布列答案见解析，数学期望：
分析：（1）首先根据题意填写好表格，根据公式计算值，对照表格得到结论；
（2）根据条件概率公式得到此人为非年轻人的概率，根据独立性检验实验分，计算各自概率，得到分布列.
（1）
根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为，则非年轻人为20人，根据图2表格得健身达人所占比60%，所以其人数为，根据其中年轻人占比，所以健身达人中年轻人人数为，则非年轻人为10人；
健身爱好者人数为，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为，3根据非年轻人总共为20人，则健身爱好者中非年轻人人数为，具体表格填写如下.
列联表为
零假设，是否为“健身达人”与年龄无关.
所以，依据的独立性检验，不能认为“健身达人”与年龄有关；
（2）
①设事件为：该人为年轻人，事件为：该人为健身达人，故此人为“非年轻人”的概率为则
②由（1）知，既是年轻人又是健身达人的概率为，
，
故X的分布列：
的数学期望值
.
21．(2023·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
答案：(1)；
(2)．
分析：（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；
（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线的距离，即可得出的面积．
（1）
因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
（2）
［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，
当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，
因为，所以，即，
即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，，点到直线的距离，
故的面积为．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为，，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；
法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．
22．(2023·北京·北理工附中高三阶段练习）设函数，其中为实数.
(1)若，求的极值和单调区间；
(2)若在上有最小值，求的取值范围；
(3)若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.
答案：(1)当时，函数有极大值，极大值为
函数的单调递增区间为，
函数的单调递减区间为
(2).
(3)当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.
分析：（1）将代入，求导即可得到单调区间与极值；
（2）对函数求导，然后分与讨论，结合在上有最小值，即可得到结果；
（3）根据题意可得，然后分，，分别讨论，其中当时，需再讨论的大小，即可得到结果.
（1）
当时，，
则，令，则
当时，，则递增
当时，，则递减
所以，当时，函数有极大值，极大值为
函数的单调递增区间为，
函数的单调递减区间为
（2）
因为，则
显然当时，，则函数单调递增，此时在无极值，即没有最小值，
当时，令，得，当时，；当时，，
又在上有最小值，所以，即，
综上所述，.
（3）
当时，必是单调增函数；当时，令，
解得，即，
∵在上是单调函数，类似（2）有，即，
综合上述两种情况，有.
①当时，由以及，得存在唯一的零点；
②当时，，在是单调增函数，由于，，且函数在上的图像不间断，∴在上存在零点. 另外，当时，，则在上是单调增函数，只有一个零点.
③当时，令，解得.
当时，，递增；当时，，递减. ∴是的最大值点，且最大值为.
1)当，即时，有一个零点.
2)当，即时，对于，由于，，且函数在上的图像不间断，∴在上存在零点.
另外，当时，，故在上是单调增函数，∴在上有一个零点.
下面需要考虑在上的情况，先证，
为此，我们要证明：当时，，设，则，再设，则.
当时，，∴在上是单调增函数，
故当时，，从而在上是单调增函数，进而当
时，，即当时，.
当，即时，，又，且函数
在的图像不间断，∴在上存在零点.
又当时，，故在是单调减函数，所以，在上只有一个零点.
综上所述，当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.
【点睛】本题主要考查导数的运算及用导数研究函数的性质，考查函数、方程及不等式的相互转化，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.，分类讨论是解决问题的关键.
类别
年轻人
非年轻人
合计
健身达人
健身爱好者
合计
100
类别
年轻人
非年轻人
合计
健身达人
50
10
60
健身爱好者
30
10
40
合计
80
20
100
0
1
2
3
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．(2023·陕西·高三阶段练习（文））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·河北·高三阶段练习）已知复数z满足，复数复数z的共轭复数，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·江西·高三阶段练习（文））已知在矩形中，，线段交于点，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·湖北·黄冈中学高三阶段练习）图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态.如图2，将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体.已知半球的密度是圆锥的2倍，已知要让半球质量不小于圆锥质量，才能使它在一定角度范围内“不倒”，则圆锥的高和底面半径之比至多为（ ）
A．B．1C．2D．4
5．（2023·全国·高三专题练习）奥林匹克标志由5个奥林匹克环套接组成，五环象征五大洲的团结以及全世界的运动员以公正、坦率的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上相见．如图，5个奥林匹克环共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·河北·高三阶段练习）已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）已知，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·重庆·高三阶段练习）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）在正方体中，下列几种说法正确的有（ ）
A．为异面直线B．
C．与平面所成的角为D．二面角的正切值为
10．(2023·广东广州·高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的极小值为2
B．有两个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
11．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知是抛物线的焦点， 是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ）
A．曲线的准线方程为
B．若，则的面积为
C．若，则
D．若，的中点在的准线上的投影为，则
12．(2023·山东·滕州市第一中学新校高三阶段练习）已知函数，的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．(2023·湖南岳阳·高三阶段练习）已知的展开式中含项的系数为8，则实数___________.
14．(2023·江西·临川一中高三阶段练习（文））若直线被圆截得线段的长为4，则实数的值为______________．
15．(2023·广东·高三阶段练习）已知函数，直线l的方程为，过函数上任意一点P作与l夹角为的直线，交l于点A，则的最小值为_______.
16．(2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，椭圆经过点，且点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为．若椭圆上存在两点，使得的垂心（三角形三条高的交点）恰为坐标原点，则直线的方程________________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·广东·深圳市龙岗区德琳学校高三阶段练习）设是等差数列的前项和，已知，，
(1)求和；
(2)若，求数列的前项和．
18．(2023·重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习）已知锐角△中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求的值；
(2)若，求△面积的最大值
19．(2023·广东广州·高三阶段练习）如图，在直三棱锥中，，，，是的中点．
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)若是的中点，，则在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
20．(2023·湖南岳阳·高三阶段练习）伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善.据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一，某市一健身连锁机构对去年的参与了该连锁机构健身的会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图
若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”.
(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100人的样本，根据上图的数据，补全下方列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为是否为“健身达人”与年龄有关；
临界值表：
(2)将（1）中的频率作为概率，连锁机构随机选取会员进行回访，抽取3人回访.
①若选到的3人中2人为“年轻人”，1人为“非年轻人”,再从这3人中随机选取的1人，了解到该会员是“健身达人”，求该人为非年轻人的概率；
②设3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和期望值.
21．(2023·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
22．(2023·北京·北理工附中高三阶段练习）设函数，其中为实数.
(1)若，求的极值和单调区间；
(2)若在上有最小值，求的取值范围；
(3)若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.
类别
年轻人
非年轻人
合计
健身达人
健身爱好者
合计
100
数 学 试 卷
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．(2023·陕西·高三阶段练习（文））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据集合的运算可求解.
【详解】解：由题意得：
，
则.
故选：C
2．(2023·河北·高三阶段练习）已知复数z满足，复数复数z的共轭复数，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用复数的运算及基本概念求解即可.
【详解】解：根据题意，.
所以，复数的虚部为.
故选：B.
3．(2023·江西·高三阶段练习（文））已知在矩形中，，线段交于点，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：结合向量的运算性质，从出发进行计算，进行合理的“插点”，使其能被表示即可.
【详解】依题意得，结合图形有：.
故选：D
4．(2023·湖北·黄冈中学高三阶段练习）图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态.如图2，将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体.已知半球的密度是圆锥的2倍，已知要让半球质量不小于圆锥质量，才能使它在一定角度范围内“不倒”，则圆锥的高和底面半径之比至多为（ ）
A．B．1C．2D．4
答案：D
分析：由圆锥和球的体积公式列不等式求解
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，由题意得，
即，则，
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）奥林匹克标志由5个奥林匹克环套接组成，五环象征五大洲的团结以及全世界的运动员以公正、坦率的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上相见．如图，5个奥林匹克环共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：由组合法计算出从8个点中任取3个点的取法，这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上有3种可能，再由组合知识计算，然后由概率公式计算概率．
【详解】从8个点中任取3个点，共有种情况，这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上有种情况，故所求的概率．
故选：A．
6．(2023·河北·高三阶段练习）已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据图象先求得A和，得到，再将代入求得，再利用平移变换得到即可.
【详解】解：依题意，，，故，
故，故，
将代入可知，，
解得，故，
故，
则.
故选：A.
7．(2023·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）已知，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：由题意变形得，构造函数证得，观察选项，通过变形可知比较的是的大小，故构造函数证得其单调递减，由此得到所比大小排序.
【详解】因为，，，
所以由两边取自然对数得，即，故，
再由得，故，
令，则，故在上单调递减，
又由上式可知，故，
由四个选项的不等式同时除以可知，比较的是的大小，
故令，则，
再令，则，
故在上单调递减，
所以，故，
所以在上单调递减，
又因为，所以，即，
上述不等式两边同时乘以得，.
故选：D.
8．(2023·重庆·高三阶段练习）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：先求得内切球半径，再画图设底面半径为，利用三角函数值代换表达出表面积的公式，再设，根据基本不等式求最小值即可
【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号.
故选：A.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）在正方体中，下列几种说法正确的有（ ）
A．为异面直线B．
C．与平面所成的角为D．二面角的正切值为
答案：ABD
分析：A. 用反证法判断；B.易证平面判断；C. 易知平面，得到为与平面所成的角求解判断；D. 易知平面，得到是二面角的平面角求解判断.
【详解】解：如图所示：
A. 假设共面，则共面，所以与共面，与异面矛盾，故假设错误，则直线为异面直线，故正确；
B. 在正方体中，易知，，又，所以平面，又平面，所以，故正确；
C. 易知平面，则为与平面所成的角，设正方体的棱长为1，则，所以，故错误；
D. 易知平面，则，所以是二面角的平面角，其正切值为，故正确，
故选：ABD
10．(2023·广东广州·高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的极小值为2
B．有两个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
答案：BCD
分析：利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D.
【详解】，，
令，解得：或，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增；
的极小值为：，
的极大值为：，
有两个零点，的极小值为4，故A错误、B正确；
对C，若点是曲线的对称中心，则有，
将函数代入上式验证得：
，故C正确；
对于D，，解得：，
当时，， 切线方程为：，即，故D正确.
故选：BCD.
11．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知是抛物线的焦点， 是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ）
A．曲线的准线方程为
B．若，则的面积为
C．若，则
D．若，的中点在的准线上的投影为，则
答案：BCD
分析：对于A，由抛物线的方程易知准线为，故A错误；
对于B，利用抛物线的定义求得，进而可求的面积，故B正确；
对于C，由及点在抛物线上得到，再利用两点距离公式及基本不等式，即可证得，故C正确；
对于D，结合图像，利用余弦定理及基本不等式即可证得，故D正确.
【详解】因为抛物线，故，焦点，准线为，设，则
对于A，易知准线为，故A错误；
对于B，如图1，由抛物线的定义可知，即，故，
代入，解得，
所以，故B正确；
对于C，由得，故，即，
又，，故，
得或（舍去），则，
所以，
故，故C正确；
对于D，如图2，过作准线的垂线，垂足分别为，连接，则
，
在中，，
故
所以，即，故D正确.
故选：BCD.
12．(2023·山东·滕州市第一中学新校高三阶段练习）已知函数，的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
分析：本题首先利用求导证明为奇函数，再证明其还为周期为4的函数，再通过合理赋值可一一核对各选项的对错.
【详解】因为为偶函数,则，两边求导得,所以为奇函数,
因为,
,
所以,
故,
所以,即的周期且,
在，中,
令,可得,
所以，故A正确；
令，可得，而为奇函数，则，
所以，则，故B正确;
令得,
,则
,无法求得,
同理令得,
,
因此,
相加得,只有在时,
有,但不一定为0,因此C错误;
在中,
令得,,
在中,
令得,,
两式相加得,即，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】抽象函数的周期性和奇偶性结合的问题难度较大，需要通过合理赋值才能得到相应的结果.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．(2023·湖南岳阳·高三阶段练习）已知的展开式中含项的系数为8，则实数___________.
答案：3
分析：根据题意得到的展开式的通项公式，再由条件列出方程即可得到结果.
【详解】因为的展开式的通项公式为，
则展开式中含项的系数为
解得
故答案为:
14．(2023·江西·临川一中高三阶段练习（文））若直线被圆截得线段的长为4，则实数的值为______________．
答案：7
分析：把圆的一般方程化为圆的标准方程，利用点到直线的距离公式以及勾股定理进行求解.
【详解】把圆：化为标准方程有：，
可得，即，
所以圆心，半径，又直线：，
所以圆心到直线的距离为，
因为直线：被圆：截得线段的长为4，
根据勾股定理有：，解得，
所以，解得.
故答案为：7.
15．(2023·广东·高三阶段练习）已知函数，直线l的方程为，过函数上任意一点P作与l夹角为的直线，交l于点A，则的最小值为_______.
答案：
分析：利用已知将转化为点P到直线l的距离为d，即可得出当过点P的的切线与直线l平行时，点P到直线l的距离最小，再通过求导，令导数等于直线l的斜率，即可得出点P的坐标，再通过点到直线的距离得出d，即可代入与d的关系式得出答案.
【详解】设点P到直线l的距离为d，
点P作与l夹角为，
，即，
要使最小，只需d最小即可，
则当过点P的的切线与直线l平行时，点P到直线l的距离最小，即d最小，
设，
求导得，
即时d最小，此时，
，
则，
则，
故答案为：.
16．(2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，椭圆经过点，且点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为．若椭圆上存在两点，使得的垂心（三角形三条高的交点）恰为坐标原点，则直线的方程________________．
答案：
分析：根据题意列式求出，即可得出椭圆方程，再设，，根据题意，得到，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据判别式，以及根与系数关系，由题意，得到，求出，即可得出结果．
【详解】由题意，得，解得，∴椭圆的方程为．
设，．∵，而，∴，
故可设直线的方程为．
联立，得，
首先，由得，解得．（*）且，．
又，∴，得，
即，整理得，，
∴，
即，解得或（均适合（*）式）．
当时，直线恰好经过点，不能构成三角形，不合题意，故舍去．
∴直线的方程为．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·广东·深圳市龙岗区德琳学校高三阶段练习）设是等差数列的前项和，已知，，
(1)求和；
(2)若，求数列的前项和．
答案：(1)；；
(2).
分析：（1）利用等差数列的通项公式、前项和公式得到关于首项和公差的方程组求出和，进而求出及；
（2）利用（1）求出，再利用裂项相消法进行求和.
（1）
设等差数列的公差为d，
则，
解得，
所以，
；
（2）
由（1）得：，，
则，
所以
.
18．(2023·重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习）已知锐角△中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求的值；
(2)若，求△面积的最大值
答案：(1)
(2)
分析：（1）将已知条件中的化为，使用两角和的正弦公式打开化简，可求得；
（2）由余弦定理，结合不等式，求出的最大值，代入面积公式即可.
（1）
∵
∴，
∴
∴
∵△为锐角三角形，为锐角，∴
∴，即，
∴△内角.
（2）
由余弦定理知，，
∴，当且仅当时取等号，
即当且仅当时，
∴
∴△面积的最大值为.
19．(2023·广东广州·高三阶段练习）如图，在直三棱锥中，，，，是的中点．
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)若是的中点，，则在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)存在点，且的长为；
分析：（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案.
（2）假设在线段上是否存在点，使得平面，设，利用求得参数，即可说明结论，继而求得的长.
（1）
由题意在直三棱锥中，，故以A为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ,故,
设平面的法向量为，则 ，
令，则，
平面的法向量可取，
则 ，
故平面与平面夹角的余弦值为；
（2）
由（1）可知是的中点，故 ,
假设在线段上是否存在点，使得平面，
则设,则,
又，故,
故由，可得，
即在线段上是否存在点且，使得平面，
则，即的长为.
20．(2023·湖南岳阳·高三阶段练习）伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善.据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一，某市一健身连锁机构对去年的参与了该连锁机构健身的会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图
若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”.
(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100人的样本，根据上图的数据，补全下方列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为是否为“健身达人”与年龄有关；
临界值表：
(2)将（1）中的频率作为概率，连锁机构随机选取会员进行回访，抽取3人回访.
①若选到的3人中2人为“年轻人”，1人为“非年轻人”,再从这3人中随机选取的1人，了解到该会员是“健身达人”，求该人为非年轻人的概率；
②设3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和期望值.
答案：(1)列联表答案见解析，不能认为“健身达人”与年龄有关
(2)①；②分布列答案见解析，数学期望：
分析：（1）首先根据题意填写好表格，根据公式计算值，对照表格得到结论；
（2）根据条件概率公式得到此人为非年轻人的概率，根据独立性检验实验分，计算各自概率，得到分布列.
（1）
根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为，则非年轻人为20人，根据图2表格得健身达人所占比60%，所以其人数为，根据其中年轻人占比，所以健身达人中年轻人人数为，则非年轻人为10人；
健身爱好者人数为，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为，3根据非年轻人总共为20人，则健身爱好者中非年轻人人数为，具体表格填写如下.
列联表为
零假设，是否为“健身达人”与年龄无关.
所以，依据的独立性检验，不能认为“健身达人”与年龄有关；
（2）
①设事件为：该人为年轻人，事件为：该人为健身达人，故此人为“非年轻人”的概率为则
②由（1）知，既是年轻人又是健身达人的概率为，
，
故X的分布列：
的数学期望值
.
21．(2023·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
答案：(1)；
(2)．
分析：（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；
（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线的距离，即可得出的面积．
（1）
因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
（2）
［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，
当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，
因为，所以，即，
即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，，点到直线的距离，
故的面积为．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为，，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；
法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．
22．(2023·北京·北理工附中高三阶段练习）设函数，其中为实数.
(1)若，求的极值和单调区间；
(2)若在上有最小值，求的取值范围；
(3)若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.
答案：(1)当时，函数有极大值，极大值为
函数的单调递增区间为，
函数的单调递减区间为
(2).
(3)当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.
分析：（1）将代入，求导即可得到单调区间与极值；
（2）对函数求导，然后分与讨论，结合在上有最小值，即可得到结果；
（3）根据题意可得，然后分，，分别讨论，其中当时，需再讨论的大小，即可得到结果.
（1）
当时，，
则，令，则
当时，，则递增
当时，，则递减
所以，当时，函数有极大值，极大值为
函数的单调递增区间为，
函数的单调递减区间为
（2）
因为，则
显然当时，，则函数单调递增，此时在无极值，即没有最小值，
当时，令，得，当时，；当时，，
又在上有最小值，所以，即，
综上所述，.
（3）
当时，必是单调增函数；当时，令，
解得，即，
∵在上是单调函数，类似（2）有，即，
综合上述两种情况，有.
①当时，由以及，得存在唯一的零点；
②当时，，在是单调增函数，由于，，且函数在上的图像不间断，∴在上存在零点. 另外，当时，，则在上是单调增函数，只有一个零点.
③当时，令，解得.
当时，，递增；当时，，递减. ∴是的最大值点，且最大值为.
1)当，即时，有一个零点.
2)当，即时，对于，由于，，且函数在上的图像不间断，∴在上存在零点.
另外，当时，，故在上是单调增函数，∴在上有一个零点.
下面需要考虑在上的情况，先证，
为此，我们要证明：当时，，设，则，再设，则.
当时，，∴在上是单调增函数，
故当时，，从而在上是单调增函数，进而当
时，，即当时，.
当，即时，，又，且函数
在的图像不间断，∴在上存在零点.
又当时，，故在是单调减函数，所以，在上只有一个零点.
综上所述，当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.
【点睛】本题主要考查导数的运算及用导数研究函数的性质，考查函数、方程及不等式的相互转化，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.，分类讨论是解决问题的关键.
类别
年轻人
非年轻人
合计
健身达人
健身爱好者
合计
100
类别
年轻人
非年轻人
合计
健身达人
50
10
60
健身爱好者
30
10
40
合计
80
20
100
0
1
2
3
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