高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题11.2二项式定理(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题11.2二项式定理(知识点讲解)(原卷版+解析)，共20页。


【核心素养】
1.考查对二项式定理及通项公式的理解与应用，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合求二项展开式中的特定项及二项式系数性质的研究，考查二项式定理的应用，凸显数学运算的核心素养．
【知识点展示】
1. 二项式定理
，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.
(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.
(4)二项式的系数从，，一直到，.
3. 二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.
(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．
当是偶数时，中间的一项取得最大值．
当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，
4.二项式定理的应用
（1）求某些多项式系数的和；
（2）证明一些简单的组合恒等式；
（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；
（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：
①；②；
（5）证明不等式.
【常考题型剖析】
题型一：形如的展开式问题
例1.(2023·福建泉州·模拟预测）的展开式中，的系数等于（ ）
A．B．C．10D．45
例2.（2023·全国·高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
例3．（2023·浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
例4．(2023·山西·高三阶段练习）二项式的展开式中含项的系数为24，则______．
【总结提升】
1.二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：
①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．
②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
2.已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
题型二：形如的展开式问题
例5.(2023·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
例6. (2023·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________．
【总结提升】
1.求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
2. 求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．
题型三：形如的展开式问题
例7.(2023·全国·高考真题（理））的展开式中，的系数为（ ）
A．10B．20
C．30D．60
例8．(2023·云南师大附中高三阶段练习）在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．-120B．-40C．-30D．200
【规律方法】
1．求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的方法
2.逐层展开法的求解步骤：
题型四 二项式系数的和与各项的系数和问题
例9.(2023·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理）），则（ ）
A．16 B．27 C．43 D．70
例10.(2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．-2B．-1C．0D．2
例11.(2023·福建省漳州第一中学模拟预测）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（ ）
A．90B．10C．10D．90
【总结提升】
赋值法在求各项系数和中的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．
①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.
②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
题型五 二项式系数的性质
例12.（2023·全国·高三专题练习）在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
例13. 已知(eq \r(3,x)＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f (1,x)))2n的展开式中，二项式系数最大的项为 ，系数的绝对值最大的项为 ．
【总结提升】
1．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．
2．展开式系数最大值的两种求解思路
(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．
(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．
题型六 二项式定理应用
例14．（2023·山西·三模（理））分子间作用力存在于分子与分子之间或惰性气体原子之间，在一定条件下两个惰性气体原子接近，则彼此因静电力作用产生极化，从而导致有相互作用力，称为范德瓦尔斯作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U，且，其中为静电常量，分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，且的绝对值远小于．当x的值接近于0时，在近似计算中，则U的近似值为（ ）
A．B．
C．D．
例15．(2023·全国·高三专题练习（文））中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被m除得的余数相同，则称和对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
例16.【多选题】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第行所有数之和为”猜想：
D．由“，，”猜想
例17．(2023·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（ ）
A．1009B．1010C．1011D．1012
【总结提升】
1.二项式定理应用的常见题型及求解策略
（1）逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．
（2）利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．
（3） 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.
2.特别提醒:
（1）分清是第项，而不是第项.
（2）在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.
（3）求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系.
（4）在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．
（5）在应用通项公式时，要注意以下几点：
①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；
②是展开式中的第项，而不是第项；
③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置；
④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．
= 5 \* GB3 ⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．
专题11.2 二项式定理（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.考查对二项式定理及通项公式的理解与应用，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合求二项展开式中的特定项及二项式系数性质的研究，考查二项式定理的应用，凸显数学运算的核心素养．
【知识点展示】
1. 二项式定理
，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.
(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.
(4)二项式的系数从，，一直到，.
3. 二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.
(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．
当是偶数时，中间的一项取得最大值．
当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，
4.二项式定理的应用
（1）求某些多项式系数的和；
（2）证明一些简单的组合恒等式；
（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；
（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：
①；②；
（5）证明不等式.
【常考题型剖析】
题型一：形如的展开式问题
例1.(2023·福建泉州·模拟预测）的展开式中，的系数等于（ ）
A．B．C．10D．45
答案：D
分析：由二项式展开式的通项公式即可求出的系数.
【详解】的通项为，
令，解得，
所以项的系数为：.
故选：D
例2.（2023·全国·高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
答案：
分析：写出二项式展开通项，即可求得常数项.
【详解】
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
例3．（2023·浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
答案：
分析：本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.
【详解】的通项为
可得常数项为，
因系数为有理数，，有共5个项
例4．(2023·山西·高三阶段练习）二项式的展开式中含项的系数为24，则______．
答案：
分析：写出二项式展开式的通项公式，根据已知项系数求参数a即可.
【详解】由二项式展开式通项为，且项的系数为24，
所以，可得.
故答案为：
【总结提升】
1.二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：
①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．
②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
2.已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
题型二：形如的展开式问题
例5.(2023·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
答案：-28
分析：可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
例6. (2023·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________．
答案：
分析：第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．
【详解】含的项为：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案为：；．
【总结提升】
1.求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
2. 求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．
题型三：形如的展开式问题
例7.(2023·全国·高考真题（理））的展开式中，的系数为（ ）
A．10B．20
C．30D．60
答案：C
【详解】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.
例8．(2023·云南师大附中高三阶段练习）在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．-120B．-40C．-30D．200
答案：C
分析：将整理为，根据二项展开式分析可得，对每种情况再根据二项展开式理解运算.
【详解】，其展开式为：
根据题意可得：
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
综上所述：含的项的系数为
故选：C．
【规律方法】
1．求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的方法
2.逐层展开法的求解步骤：
题型四 二项式系数的和与各项的系数和问题
例9.(2023·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理）），则（ ）
A．16 B．27 C．43 D．70
答案：C
分析：利用赋值法求得正确答案.
【详解】依题意，
令，得.
故选：C
例10.(2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．-2B．-1C．0D．2
答案：B
分析：根据题意，分别令和，代入计算即可求解.
【详解】根据题意，令，得，
令，得，
因此.
故选：B.
例11.(2023·福建省漳州第一中学模拟预测）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（ ）
A．90B．10C．10D．90
答案：A
分析：由题意可得，得，然后求出二项式展开式的通项公式，由的次数为零，求出，从而可求出常数项.
【详解】因为（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，
所以，得，
所以，
则其展开式的通项公式为，
令，得，
所以该展开式中的常数项为，
故选：A
【总结提升】
赋值法在求各项系数和中的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．
①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.
②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
题型五 二项式系数的性质
例12.（2023·全国·高三专题练习）在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
答案：D
分析：由题意，利用二项式系数的性质，求得的值．
【详解】当时，的展开式有8项，的展开式中二项式系数最大，
即第四项和第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有9项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有10项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项和第六项的二项式系数最大.
当时，的展开式有11项，的展开式中二项式系数最大，
即第六项的二项式系数最大.
故选：D．
例13. 已知(eq \r(3,x)＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f (1,x)))2n的展开式中，二项式系数最大的项为 ，系数的绝对值最大的项为 ．
答案：－8 064 －15 360x4
【解析】由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f (1,x)))eq \s\up12(10)的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝Ceq \\al(5,10)(2x)5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (1,x)))eq \s\up12(5)＝－8 064.
设第k＋1项的系数的绝对值最大，
则Tk＋1＝Ceq \\al(k,10)·(2x)10－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (1,x)))eq \s\up12(k)＝(－1)kCeq \\al(k,10)·210－k·x10－2k，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C\\al(k,10)·210－k≥C\\al(k－1,10)·210－k＋1，,C\\al(k,10)·210－k≥C\\al(k＋1,10)·210－k－1，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C\\al(k,10)≥2C\\al(k－1,10)，,2C\\al(k,10)≥C\\al(k＋1,10)，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(11－k≥2k，,2k＋1≥10－k)) 解得eq \f (8,3)≤k≤eq \f (11,3).
∵k∈Z，∴k＝3.
故系数的绝对值最大的项是第4项，
T4＝－Ceq \\al(3,10)·27·x4＝－15 360x4.
【总结提升】
1．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．
2．展开式系数最大值的两种求解思路
(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．
(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．
题型六 二项式定理应用
例14．（2023·山西·三模（理））分子间作用力存在于分子与分子之间或惰性气体原子之间，在一定条件下两个惰性气体原子接近，则彼此因静电力作用产生极化，从而导致有相互作用力，称为范德瓦尔斯作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U，且，其中为静电常量，分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，且的绝对值远小于．当x的值接近于0时，在近似计算中，则U的近似值为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：根据题意，由题目中所给的公式变形分析可得答案．
【详解】根据题意，
；
故选：A．
例15．(2023·全国·高三专题练习（文））中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被m除得的余数相同，则称和对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
答案：A
分析：利用二项式定理化简为，展开可得到被10除余9，由此可得答案.
【详解】
,
所以被10除余9，
2019,2020,2021,2022除以10余9的是2019，
故选：A.
例16.【多选题】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第行所有数之和为”猜想：
D．由“，，”猜想
答案：ABC
【解析】
由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确；
，故D错误.
故选：ABC.
例17．(2023·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（ ）
A．1009B．1010C．1011D．1012
答案：C
分析：根据题意可得第斜列各项之和为，第斜列各项之和为，则可求出.
【详解】当时，第斜列各项之和为，
同理，第斜列各项之和为，所以，
所以第斜列与第斜列各项之和最大时，，则.
故选：C．
【总结提升】
1.二项式定理应用的常见题型及求解策略
（1）逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．
（2）利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．
（3） 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.
2.特别提醒:
（1）分清是第项，而不是第项.
（2）在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.
（3）求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系.
（4）在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．
（5）在应用通项公式时，要注意以下几点：
①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；
②是展开式中的第项，而不是第项；
③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置；
④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．
= 5 \* GB3 ⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．