高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题9.6   直线与圆锥曲线

【知识清单】

知识点1．直线和圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．

即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；

Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．

(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

知识点2．“弦”的问题

1.弦长公式

设斜率为k（）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，，则＝＝.

2．处理中点弦问题常用的求解方法

(1)点差法：

即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．

(2)根与系数的关系：

即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．

注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．

【考点分类剖析】

考点一 ：直线和圆锥曲线的位置关系

【典例1】（2021·全国（文））已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，与轴正半轴交于点，与抛物线的准线交于点.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

作，，垂足分别为，，且与轴交于点，

作，，垂足分别为，，由三角形相似的性质与抛物线的性质求解即可

【详解】

如图，作，，垂足分别为，，且与轴交于点，

作，，垂足分别为，.

设，则，，故.

因为，

所以，

所以.

因为，

所以，

所以，则.

因为为的中点，且轴，

所以为的中点，即.

因为，

所以，

所以，

所以，

故.

故选：C

【典例2】（2021·全国高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；

（2）设点，设直线的方程为，设点、，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，求出的表达式，设直线的斜率为，同理可得出的表达式，由化简可得的值.

【详解】

因为，

所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，

设轨迹的方程为，则，可得，，

所以，轨迹的方程为；

（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，

不妨直线的方程为，即，

联立，消去并整理可得，

设点、，则且.

由韦达定理可得，，

所以，，

设直线的斜率为，同理可得，

因为，即，整理可得，

即，显然，故.

因此，直线与直线的斜率之和为.

【典例3】（2019·全国高考真题（理））已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

【答案】(1)见详解；(2) 3或.

【解析】

 (1)证明：设,,则.

又因为，所以.则切线DA的斜率为，

故，整理得.

设，同理得.

,都满足直线方程.

于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，

当时等式恒成立.所以直线恒过定点.

（2）由（1）得直线的方程为.

由，可得，

于是

.

设分别为点到直线的距离，则.

因此，四边形ADBE的面积.

设M为线段AB的中点，则，

由于，而，与向量平行，所以，解得或.

当时，；当时

因此，四边形的面积为3或.

【典例4】（2020·全国高考真题（文））已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．

（1）求C1的离心率；

（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．

【答案】（1）；（2）：，： .

【解析】

（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中.

不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：，

所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；

又因为抛物线的方程为，所以当时，有，

所以的纵坐标分别为，，故，.

由得，即，解得（舍去），.

所以的离心率为.

（2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为.

由已知得，即.

所以的标准方程为，的标准方程为.

【规律方法】

直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及关注点

(1)判定方法：直线与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)后当得到关于x(或y)的一元二次方程时，设其判别式为Δ，

①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交；

②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；

③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．

(2)关注点：①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零．②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根；第三：若Δ的表达式非常复杂，则可以采用列而不求，最后验证的策略．

提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．

【变式探究】

1. 【多选题】（2020·江苏泰州·高三月考）双曲线的方程为，分别为左右焦点，为双曲线上一点，且，直线：与交于A，两点，则（    ）

A．或

B．的离心率为

C．的渐近线与圆相切

D．满足的直线有3条

【答案】CD

【分析】

先得出双曲线的，判断出点在左支上，由双曲线的定义，可判断选项A；由双曲线的离心率公式可判断选项B；求出双曲线的渐近线方程，由直线和圆的位置关系可判断选项C；分别讨论A，两点分别在左右支上和都在右支上，结合弦的最小值，可判断选项D.

【详解】

由双曲线的方程为，则在双曲线中

选项A，当点在右支上时，，

由，所以点在左支上，

则，所以选项A不正确.

选项B.双曲线的离心率为，所以选项B不正确.

选项C.双曲线的渐近线方程为

圆的半径为1，圆心为到渐近线的距离为

所以的渐近线与圆相切，故选项C正确.

选项D. 由直线：恒过点，即直线：过双曲线的右焦点.

若直线与双曲线的右支相交于A，两点，当轴时，

由，所以此时满足条件的直线有2条.

若直线与双曲线的左、右支各有一个交点，此时

则满足条件的直线即为，故此时只有一条直线满足条件.

综上所述：满足条件的直线有3条，故选项D正确

故选：CD

2．【多选题】（2021·全国高三月考）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，的延长线交抛物线的准线于点，已知，则（    ）

A．

B．抛物线的方程为

C．

D．

【答案】AB

【分析】

对A，过点和点分别向直线作垂线，根据三角形中的比例关系求解即可；

对B，根据图形中的关系求得焦点到准线的距离即可；

对C，利用点差法求得，进而得出即可；

对D，联立直线与抛物线的方程，根据求解即可

【详解】

对A，因为，所以，抛物线的准线为，过点和点分别向直线作垂线，垂足分别为，．因为直线经过焦点，所以，．过点向线段作垂线，垂足为，则易得．在中，，，，则.在中，，故选项A正确；

对B，设准线与轴交于点，易得在中，，，则抛物线的方程为，故选项B正确；对C，当点在轴上方时，易得直线的倾斜角为60°，当点在轴下方时，易得直线的倾斜角为120°，即，由题意可得，，则，整理可得，易得，故选项C错误；

对D，设直线的倾斜角为60°，则直线的方程为，与抛物线的方程联立消去可得，则，，故选项D错误

故选：AB.

3.（2020·四川遂宁�高二期末（文））已知椭圆长半轴为2，且过点M(0，1).若过点M引两条互相垂直的两直线，若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为，则的最大值为（    ）

A．2 B． C．5 D．

【答案】B

【解析】

由题意可得,则椭圆的方程为，设

（1）若直线中有一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0.

设直线的方程为，则直线的方程为

由在椭圆上，则

所以，

故当时，有最大值，即的最大值为.

（2）当直线的斜率都存在，且不为0,时

设直线的方程为，即

则直线的方程为，即

所以

所以

由（1）可得的最大值为.

故选：B

4.（2018·全国高考真题（理））设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）设为坐标原点，证明：.

【答案】（1）的方程为或；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由已知得，l的方程为.

由已知可得，点的坐标为或.

所以的方程为或.

（2）当与轴重合时，.

当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.

当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，

则，直线、的斜率之和为.

由得.

将代入得.

所以，.

则.

从而，故、的倾斜角互补，所以.

综上，.

【总结提升】

1.研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．

2.直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．

3.直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．

4.直线和圆锥曲线的位置关系利用代数方法判断，其中直线和双曲线的位置关系，还可以通过比较直线的斜率和渐近线斜率来判断.

考点二 ：  弦长问题和中点弦问题

【典例5】（2021·河南高三月考（理））已知抛物线的焦点为，过作一条直线与抛物线及抛物线的准线相交，交点从上到下依次为，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

首先求得直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示焦点弦长.

【详解】

作垂直于准线，垂足为，根据抛物线的定义可知，，，，即，

所以直线的斜率，设直线方程为，，， 与抛物线方程联立，

，得，

所以焦点弦长.

故选：C

【典例6】（2022·全国高三专题练习）已知椭圆C：x2＋＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两点，B为上顶点．若BM＝BN，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

由直线方程与椭圆方程联立，结合条件和判别式即求.

【详解】

设直线y＝x＋m与椭圆x2＋＝1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，

联立得(b2＋1)x2＋2mx＋m2－b2＝0，

所以x1＋x2＝－，x1x2＝，

Δ＝(2m)2－4(b2＋1)(m2－b2)＝4b2(b2＋1－m2)>0.

设线段MN的中点为G，知G点坐标为，

因为BM＝BN，所以直线BG垂直平分线段MN，

所以直线BG的方程为y＝－x＋b，且经过点G，

可得＝＋b，解得m＝.

因为b2＋1－m2>0，所以b2＋1－2>0，

解得0<b<，

因为e2＝1－b2，所以<e<1.

故选：C.

【典例7】（2019·安徽高三月考（理））已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若的面积为，则线段的长是（    ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

当直线垂直于轴时，，不符合题设；

当直线不垂直于轴时，设方程为，即.

点到直线距离.

联立得，

设,

则由韦达定理得,,,

所以由弦长公式得,

,

因为的面积为,

所以，所以，

所以.

故选C.

【典例8】（2021·浙江高三月考）已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5.

（1）求的值；

（2）如图，已知为抛物线上过焦点的任意一条弦，弦的中点为垂直与抛物线准线交于点，若，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由抛物线的定义可得，由此即可求解；

（2）先设出直线：，与联立，再由根与系数的关系，结合垂直平分线的性质与点到直线的距离公式即可求解

【详解】

（1）抛物线（）的焦点为，准线方程为，由抛物线定义得：

，所以.

（2）由（1）得抛物线方程为

设直线：，与联立，消去x，整理得：，

设，，，有，

则弦长，弦中点

故弦的垂直平分线方程为

令得，即

故点P到直线的距离.

所以

所以，直线方程为

【典例9】（2019·全国高考真题（理））已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设直线方程为：，，

由抛物线焦半径公式可知：   

联立得：

则   

，解得：

直线的方程为：，即：

（2）设，则可设直线方程为：

联立得：

则   

，

        ，   

则

【规律方法】

1．处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：

2．解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点A，B关于直线l对称，则l垂直于直线AB且A，B的中点在直线l上”的应用．

3.求解弦长的四种方法

(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．

(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．

(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2或(y1－y2)2，代入两点间的距离公式．

(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．

提醒：利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．

【变式探究】

1.（2020·岳麓�湖南师大附中高三三模（文））已知椭圆,作倾斜角为的直线交椭圆于两点,线段的中点为为坐标原点与的夹角为,且，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

分析：设，利用“点差法”可得，设直线的倾斜角为，则或，又，由，从而可得结果.

详解：设，

则，两式作差得，

，即，

设直线的倾斜角为，则或，

又，由，

解得，即，故选B.

2.（2019·河北高考模拟（文））已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设A（，），B（，），又的中点为，则

又因为A、B在椭圆上

所以

两式相减，得：

∵,

∴，∴，平方可得, ∴=,，

故选A.

3.（2019·广西高二期末）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，点是弦的中点，则直线的方程为__________．

【答案】

【解析】

设，因为直线与椭圆相交于两点，

所以有，两式作差得：整理得，

因为点是弦的中点，所以，所以，

所以直线的方程为，整理得

故答案为

4.给定双曲线．过的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程．

【答案】

【解析】

设，代入方程得

两式相减得：

又设中点

将代入，当时得

又

 代入得

当弦斜率不存在时，其中点的坐标也满足上述方程

因此所求轨迹方程是

【特别提醒】

1.中点坐标公式一个作用是可以利用“设而不求”技巧解题，其二是可以将未知点坐标和已知点坐标联系起来；涉及求范围问题，注意方程不等式思想的运用．

2.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.