高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.1直线与直线方程(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.1直线与直线方程(知识点讲解)(原卷版+解析)，共24页。


【核心素养】
（1）通过考查直线的斜率与倾斜角、考查直线方程的几种形式，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
（2）通过考查两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用、考查与充要条件、基本不等式、导数的几何意义等相结合，以及考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系.凸显直观想象、数学运算、逻辑推理、数学应用的核心素养．
【知识点展示】
知识点1．直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
②范围：倾斜角的范围为．
2．直线的斜率
①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时, , .
②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.
3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．
4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：
（1）当时，越大，斜率越大；
（2）当时，越大，斜率越大.
知识点2．直线的方程
1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：
.这个方程就叫做直线点斜式方程.
特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程.
2.直线的两点式方程
直线过两点其中，则直线的方程为：
.这个方程叫做直线的两点式方程.
当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.
特别地，若直线过两点，则直线的方程为：
，这个方程叫做直线的截距式方程.
3.直线的一般式方程
关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.
由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距.
知识点3．两条直线平行与垂直
1．两直线的平行关系
(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，有
.
2．两条直线的垂直关系
(1) 对于两条直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，有.
知识点4．距离问题
1．两点间的距离公式
设两点，则.
2．点到直线的距离公式
设点，直线，则点到直线的距离
.
3．两平行线间的距离公式
设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离
.
知识点5．两条直线的交点
1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.
2.两条直线，联立方程组，
若方程组有无数组解，则重合．
知识点6．对称问题
1.中点坐标公式
2．两条直线的垂直关系
(1) 对于两条直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，有.
【常考题型剖析】
题型一：直线的倾斜角与斜率
例1.(2023·全国·高三专题练习）过点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．1D．
例2.(2023·全国·高三专题练习）如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
例3.（2023·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【规律方法】
1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.
2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．
3.从高考题看，对直线斜率的考查，越侧重其应用.
题型二：直线的方程
例4.(2023·山东·高考真题）如下图，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
例5.(2023·全国·高三专题练习）过点且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【规律方法】
求直线方程的常用方法：
1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．
2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．
3.直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．
4.从高考命题看，侧重于直线与圆、直线与圆锥曲线位置关系的考查.
题型三：两条直线平行与垂直
例6.（2023·全国·高三专题练习）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
例7.（2023·台州市书生中学高二期中）已知直线：，直线：，若，则_________若，则________
【易错提醒】
当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
题型四：距离问题
例8.（2023·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
例9.(2023·上海·高考真题（文））已知平行直线，则的距离是_______________.
【规律方法】
两种距离的求解思路
(1)点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
(2)两平行线间的距离的求法
①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)．
题型五：两条直线的交点
例10.(2023·全国·高三专题练习）直线，相交于点，其中.
(1)求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；
(2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出最大值.
例11.（2023·全国高三专题练习）求过直线和的交点P，且与直线垂直的直线l的方程.
【规律方法】
1.两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．
2.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
3.涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.
题型六：对称问题
例12.（2023·山东高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
例13.（浙江·高考真题（理））直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
例14.（2023·河北高考模拟（理））设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
涉及对称问题，主要有以下几种情况：
1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标.
2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，则有，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．
3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程．
4.中心对称问题的两种类型及求解方法
5.轴对称问题的两种类型及求解方法
点关于直线对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)
直线关于直线对称
①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．
②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解
专题9.1 直线与直线方程（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
（1）通过考查直线的斜率与倾斜角、考查直线方程的几种形式，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
（2）通过考查两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用、考查与充要条件、基本不等式、导数的几何意义等相结合，以及考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系.凸显直观想象、数学运算、逻辑推理、数学应用的核心素养．
【知识点展示】
知识点1．直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
②范围：倾斜角的范围为．
2．直线的斜率
①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时, , .
②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.
3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．
4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：
（1）当时，越大，斜率越大；
（2）当时，越大，斜率越大.
知识点2．直线的方程
1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：
.这个方程就叫做直线点斜式方程.
特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程.
2.直线的两点式方程
直线过两点其中，则直线的方程为：
.这个方程叫做直线的两点式方程.
当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.
特别地，若直线过两点，则直线的方程为：
，这个方程叫做直线的截距式方程.
3.直线的一般式方程
关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.
由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距.
知识点3．两条直线平行与垂直
1．两直线的平行关系
(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，有
.
2．两条直线的垂直关系
(1) 对于两条直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，有.
知识点4．距离问题
1．两点间的距离公式
设两点，则.
2．点到直线的距离公式
设点，直线，则点到直线的距离
.
3．两平行线间的距离公式
设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离
.
知识点5．两条直线的交点
1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.
2.两条直线，联立方程组，
若方程组有无数组解，则重合．
知识点6．对称问题
1.中点坐标公式
2．两条直线的垂直关系
(1) 对于两条直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，有.
【常考题型剖析】
题型一：直线的倾斜角与斜率
例1.(2023·全国·高三专题练习）过点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．1D．
答案：A
【解析】
分析：
利用斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】
过A、B的斜率为，则该直线的倾斜角为，
故选：A．
例2.(2023·全国·高三专题练习）如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
直接由斜率的定义判断即可.
【详解】
由斜率的定义可知，.
故选：A．
例3.（2023·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
答案：①②③
【解析】
分析：
根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】
表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【规律方法】
1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.
2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．
3.从高考题看，对直线斜率的考查，越侧重其应用.
题型二：直线的方程
例4.(2023·山东·高考真题）如下图，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解.
【详解】
由图可得直线的倾斜角为30°，
所以斜率，
所以直线与轴的交点为，
所以直线的点斜式方程可得：，
即．
故选：D
例5.(2023·全国·高三专题练习）过点且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可求解.
【详解】
由题意可知，设所求直线的方程为，
将点代入直线方程中，得，解得，
所以所求直线的方程为，即.
故选：B.
【规律方法】
求直线方程的常用方法：
1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．
2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．
3.直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．
4.从高考命题看，侧重于直线与圆、直线与圆锥曲线位置关系的考查.
题型三：两条直线平行与垂直
例6.（2023·全国·高三专题练习）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】
分析：
由直线与直线垂直求出的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】
直线与直线垂直,
则，解得：或，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
故选：B.
例7.（2023·台州市书生中学高二期中）已知直线：，直线：，若，则_________若，则________
答案：
分析：
根据直线平行和垂直得到的关系，再结合二倍角公式及弦化切得到答案.
【详解】
若，则，
此时，则两条直线不重合，故；
若，则，
∴.
故答案为：，.
【易错提醒】
当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
题型四：距离问题
例8.（2023·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
答案：4.
【解析】
当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x相切位置时，切点Q即为点P到直线x+y=0的距离最小.
由y'=1−4x2=−1，得x=2(−2舍)，y=32，
即切点Q(2,32)，
则切点Q到直线x+y=0的距离为2+3212+12=4，
故答案为：4．
例9.(2023·上海·高考真题（文））已知平行直线，则的距离是_______________.
答案：
【解析】
利用两平行线间的距离公式得.
【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数必须相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.
【规律方法】
两种距离的求解思路
(1)点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
(2)两平行线间的距离的求法
①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)．
题型五：两条直线的交点
例10.(2023·全国·高三专题练习）直线，相交于点，其中.
(1)求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；
(2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出最大值.
答案：(1)证明见解析，，
(2)时，取得最大值
【解析】
分析：
（1）在直线的方程中令可得出定点的坐标，在直线的方程中令可得出定点的坐标，由此可得出结论；
（2）联立直线、的方程，可求得两直线的交点的坐标，计算出和，利用三角形的面积公式可计算出的表达式，由的表达式可求得的最大值及其对应的的值.
（1）在直线的方程中，令可得，则直线过定点，在直线的方程中，令可得，则直线过定点；
（2）联立直线、的方程，解得，即点.，，，所以，；且，因此，当时，取得最大值，即.
例11.（2023·全国高三专题练习）求过直线和的交点P，且与直线垂直的直线l的方程.
答案：
分析：
解法一：先取得两直线的交点，再根据与直线垂直求解；解法二：根据直线l垂直于直线，设直线l的方程为，再将.与的交点代入求解；解法三：根据直线l过与的交点，设直线l的方程为，再根据与直线垂直求解.
【详解】
解法一：由，解得
直线的斜率为，
直线的斜率为4.
因此满足条件的直线l的方程为：，即.
解法二：直线l垂直于直线.
设直线l的方程为.
与的交点为，
，
解得从而.
所以直线l的方程为.
解法三：因为直线l过与的交点，
设直线l的方程为，
即，
与直线垂直，
，解得.
直线l的方程为.
【规律方法】
1.两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．
2.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
3.涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.
题型六：对称问题
例12.（2023·山东高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】
设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
例13.（浙江·高考真题（理））直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．
【详解】
设所求直线上任一点（），则它关于对称点为在直线上，∴化简得故选答案D．
故选D．
例14.（2023·河北高考模拟（理））设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
依据题意作出图像如下：
设点关于直线的对称点为，
则它们的中点坐标为：，且
由对称性可得：，解得：，
所以
因为，所以当三点共线时，最大
此时最大值为
故选：A
【规律方法】
涉及对称问题，主要有以下几种情况：
1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标.
2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，则有，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．
3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程．
4.中心对称问题的两种类型及求解方法
5.轴对称问题的两种类型及求解方法
点关于直线对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)
直线关于直线对称
①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．
②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解