高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.6数学归纳法(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.6数学归纳法(知识点讲解)(原卷版+解析)，共20页。


【核心素养】
与数列、函数、不等式、几何等相结合，通过考查数学归纳法的应用，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学直观等的核心素养．
【知识点展示】
数学归纳法
1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)
时命题成立．
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
2.数学归纳法的框图表示
【常考题型剖析】
题型一：利用数学归纳法证明不等式
例1.(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.
（1）求数列、的通项公式；
（2）数列满足：，，证明
例2.(2023·上海市复旦实验中学高二期末）已知数列满足：，且，（n为正整数）．
(1)计算：，，的值；
(2)猜测的通项公式，并证明；
(3)设，问是否存在使不等式对于一切的正整数均成立的最大整数p，若存在请求出，若不存在，请说明理由．
例3．(2023·浙江·高考真题）已知数列满足：，
证明：当时，
（I）；
（II）；
（III）.
【总结提升】
数学归纳法证明不等式的适用范围及关键
(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化
题型二：归纳、猜想、证明
例4.(2023·全国·高二课时练习）数列中，，，，成等差数列，分别计算，，的值，猜想的表达式为______．
例5.（2023·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
例6.(2023·广东·高考真题（理））设数列的前项和为，满足，，且.
（1）求、、的值；
（2）求数列的通项公式.
【总结提升】
(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤
①计算(根据条件，计算若干项)．
②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．
③证明(用数学归纳法证明)．
(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略
①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．
②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．
题型三：利用数学归纳法证明等式
例7．（2023·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
例8.(2023·江苏·高考真题）已知集合，，，令表示集合所含元素的个数.
（1）写出的值；
（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.
【总结提升】
数学归纳法证明等式的思路和注意点
(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．
专题7.6 数学归纳法（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
与数列、函数、不等式、几何等相结合，通过考查数学归纳法的应用，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学直观等的核心素养．
【知识点展示】
数学归纳法
1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)
时命题成立．
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
2.数学归纳法的框图表示
【常考题型剖析】
题型一：利用数学归纳法证明不等式
例1.(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.
（1）求数列、的通项公式；
（2）数列满足：，，证明
答案：（1），；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列的通项公式，再由数列的前项和为，进而求得的通项公式；
（2）把的通项公式代入，首先利用数学归纳法证得，再利用放缩法及等差数列的前项和，即可证明.
【详解】
（1）由，是，的等差中项，
可得，即，即，解得或，
又因为，所以，
又由，所以，
因为数列的前项和为，
当时，，
当时，，
当时，满足上式，
所以，所以.
（2）先用数学归纳法证明当，，
①当时，，左式>右式，不等式成立；
②假设时，不等式成立，即，
当时，，因为在上单调递增，
由，得，即，
可得，不等式也成立.
由①②得证当，，
所以.
例2.(2023·上海市复旦实验中学高二期末）已知数列满足：，且，（n为正整数）．
(1)计算：，，的值；
(2)猜测的通项公式，并证明；
(3)设，问是否存在使不等式对于一切的正整数均成立的最大整数p，若存在请求出，若不存在，请说明理由．
答案：(1)，，
(2)，证明见解析
(3)最大整数
【解析】
分析：
（1）将依次代入递推关系式即可；
（2）由可猜想得到；利用数学归纳法可证得猜想；
（3）分离变量得，令，通过计算可知，由此可得.
(1)
由题意得：；，
(2)
猜想：；
证明：当时，，满足；
假设当时，成立，
那么当时，，
即当时，成立；
综上所述：对于任意，成立.
(3)
由（2）得：，；
若恒成立，则；
令，
则，
；
，，
即递增，，，
又为整数，最大整数.
例3．(2023·浙江·高考真题）已知数列满足：，
证明：当时，
（I）；
（II）；
（III）.
答案：（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
分析：
（I）用数学归纳法可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证；
（Ⅲ）由及，递推可得.
【详解】
（Ⅰ）用数学归纳法证明：．
当时，．
假设时，，那么时，若，
则，矛盾，故．
因此，所以，因此．
（Ⅱ）由得，
．
记函数，
，
函数在上单调递增，所以，
因此，故．
（Ⅲ）因为，所以，
由，得，
所以，故．
综上，．
【名师点睛】
本题主要考查利用数列不等式的证明，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．
【总结提升】
数学归纳法证明不等式的适用范围及关键
(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化
题型二：归纳、猜想、证明
例4.(2023·全国·高二课时练习）数列中，，，，成等差数列，分别计算，，的值，猜想的表达式为______．
答案：
【解析】
分析：
由题意可得，再利用，可依次求出，，的值，从而可猜想，然后利用数学归纳法证明即可
【详解】
因为数列中，，，，成等差数列，
所以，得，
当时，，
当时，，
当时，，
由此可猜想，
证明如下：当时，成立，
假设当时，成立，即，则
当时，，
所以当时成立，
所以
故答案为：
例5.（2023·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
答案：（1），，，证明见解析；（2）.
【解析】
分析：
（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．
【详解】
（1）
［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即．
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
［方法二］：构造法
由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以．
［方法三］：累加法
由题意可得，．
由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，．
［方法四］：构造法
，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即．
（2）由（1）可知，
［方法一］：错位相减法
，①
，②
由①②得：
，
即.
［方法二］【最优解】：裂项相消法
，所以．
［方法三］：构造法
当时，，设，即，则，解得．
所以，即为常数列，而，所以．
故．
［方法四］：
因为，令，则
，
，
所以．
故．
【整体点评】
（1）方法一：通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；
方法二：根据递推式，代换得，两式相减得，设，从而简化递推式，再根据构造法即可求出，从而得出数列的通项公式；
方法三：由化简得，根据累加法即可求出数列的通项公式；
方法四：通过递推式求出数列的部分项，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成，求出，从而可得构造数列为常数列，即得数列的通项公式．
（2）
方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；
方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；
方法三：由时，，构造得到数列为常数列，从而求出；
方法四：将通项公式分解成，利用分组求和法分别求出数列的前项和即可，其中数列的前项和借助于函数的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．
例6.(2023·广东·高考真题（理））设数列的前项和为，满足，，且.
（1）求、、的值；
（2）求数列的通项公式.
答案：（1），，；（2）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由代入，得到，然后由的值逐步算出与的值，然后利用求出、、的值；（2）利用（1）中的结论归纳出的通项公式，并以此归纳出的表达式，然后利用数学归纳法证明数列的通项公式的正确性.
试题解析：（1）由得，
整理得，因此有，
即，解得，
同理有，即，解得，
，，；
（2）由题意得，
由（1）知，，，猜想，
假设当时，猜想成立，即，则有，
则当时，有，
这说明当时，猜想也成立，
由归纳原理知，对任意，.
【总结提升】
(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤
①计算(根据条件，计算若干项)．
②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．
③证明(用数学归纳法证明)．
(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略
①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．
②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．
题型三：利用数学归纳法证明等式
例7．（2023·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
答案：（1）证明见解析；（2）.
【解析】
分析：
（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】
（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【整体点评】
（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；
方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；
例8.(2023·江苏·高考真题）已知集合，，，令表示集合所含元素的个数.
（1）写出的值；
（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.
答案：（1）13
（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据题意按分类计数：共13个（2）由（1）知，所以当时，的表达式要按除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明
试题解析：（1）．
（2）当时，（）．
下面用数学归纳法证明：
①当时，，结论成立；
②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：
1）若，则，此时有
，结论成立；
2）若，则，此时有
，结论成立；
3）若，则，此时有
，结论成立；
4）若，则，此时有
，结论成立；
5）若，则，此时有
，结论成立；
6）若，则，此时有
，结论成立．
综上所述，结论对满足的自然数均成立．
【总结提升】
数学归纳法证明等式的思路和注意点
(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．