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高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题11.3《计数原理》真题+模拟试卷(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题11.3《计数原理》真题+模拟试卷(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．(2023·北京·高三开学考试）在的展开式中，x的系数为（ ）
A．1B．3C．6D．9
2．（2023·江西·金溪一中高二阶段练习（理））将五辆车停在5个车位上，其中A车不能停在1号车位上，则不同的停车方案有（ ）
A．24种B．78种C．96种D．120种
3．(2023·全国·高二课时练习）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．24B．18C．12D．6
4．(2023·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））若，则的值是（ ）
A．B．127C．128D．129
5．(2023·全国·高考真题（理））展开式中的系数为( )
A．B．
C．D．
6．(2023·黑龙江·佳木斯一中三模（理））佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．240B．180C．690D．150
7．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．80D．200
8．（2023·江西·金溪一中高二阶段练习（理））将二项式的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·山东泰安·高二期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）现有5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组（ ）
A．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法
B．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法
C．若每个小组至少要有1人参加，则共有540种不同的安排方法
D．若每个小组至少要有1人参加，则共有150种不同的安排方法
11．(2023·全国·高二课时练习）对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为64
C．常数项为1215D．系数最大的项为第3项
12．(2023·吉林·高二期末）甲、乙、丙、丁、戊五个人并排站在一起拍照，下列说法错误的是（ ）
A．若甲站正中间，则共有24种排法
B．若甲、乙相邻，则共有36种排法
C．若甲不站两端，则共有48种排法
D．若甲、乙、丙各不相邻，则共有12种排法
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．(2023·天津·高考真题）的展开式中的常数项为______.
14．(2023·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习）为丰富学生的校园生活，拓宽学生的视野，某学校为学生安排了丰富多彩的选修课，每学期每名同学可任选2门进行学习. 甲同学计划从，，，，，，这7门选修课中任选2门，其中至少从课程，，中选一门，则甲同学的选择方法有______种.
15．(2023·云南师大附中高三阶段练习）各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____．
16．(2023·全国·高二专题练习）已知在的展开式中，第6项为常数项，则含项的系数为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·全国·高二课时练习）全运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加、、三个项目的志愿者工作．因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加1个项目，若甲不能参加、项目，乙不能参加、项目，那么共有多少种不同的选拔志愿者的方案？
18．(2023·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：
(1)这些数的数字和；
(2)这些数的和．
19．（2023·上海市奉贤中学高二阶段练习）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？
(1)偶数：
(2)左起第二､四位是奇数的偶数；
(3)比21034大的偶数.
20．(2023·全国·高二课时练习）已知在的展开式中，第4项是常数项.
(1)求第6项的二项式系数；
(2)若，求的值.
21．(2023·全国·高二课时练习）现有8个人（5男3女）站成一排．
(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(5)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
(6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
22．(2023·全国·高二课时练习）在二项式展开式中，第3项和第4项的系数比为．
(1)求n的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项．
专题11.3 《计数原理》真题+模拟试卷
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．(2023·北京·高三开学考试）在的展开式中，x的系数为（ ）
A．1B．3C．6D．9
答案：B
分析：根据二项式展开式的特征即可求解.
【详解】的展开式中，含x的项为，故x的系数为3，
故选：B
2．（2023·江西·金溪一中高二阶段练习（理））将五辆车停在5个车位上，其中A车不能停在1号车位上，则不同的停车方案有（ ）
A．24种B．78种C．96种D．120种
答案：C
分析：根据分步计数原理，先让车选车位，再让剩余车辆选车位，即可得出结论.
【详解】第一步：先让车选车位，有种；
第二步：让剩余四辆车选车位，有种，
所以共有：种.
故选：C.
3．(2023·全国·高二课时练习）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．24B．18C．12D．6
答案：C
分析：由分步乘法计数原理结合排列直接求解即可.
【详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能，
从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为．
故选：C．
4．(2023·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））若，则的值是（ ）
A．B．127C．128D．129
答案：D
分析：利用赋值法计算可得.
【详解】解：因为，
令，可得，
令，可得，
所以；
故选：D
5．(2023·全国·高考真题（理））展开式中的系数为( )
A．B．
C．D．
答案：C
分析：化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中的系数．
【详解】因为，则展开式中含的项为；展开式中含的项为，故的系数为，
故选：C．
6．(2023·黑龙江·佳木斯一中三模（理））佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．240B．180C．690D．150
答案：A
分析：根据中门志愿者的人数，分情况讨论，再按照分组分配问题，即可求解.
【详解】第一种情况，当中门的志愿者有3人时，其他两个门有1个门1人，1个门2人，有种，
第二种情况，当中门有2人时，其他两个门也分别是2人，种，
第三种情况，当中门有4人时，其他两个们分别1人，有种，
所以不同的分配方法种数是.
故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．80D．200
答案：B
分析：先利用二项式定理求出的展开式通项，再利用多项式相乘进行求解.
【详解】的展开式的通项为，
因为，
在中，令，得，
在中，令，得，
所以展开式中项的系数为.
故选：B.
8．（2023·江西·金溪一中高二阶段练习（理））将二项式的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：先利用二项式定理判断其展开式中有理式的项数，再利用插空法进行排列即可.
【详解】根据题意，得，
因为且，
当时，，即为有理式；
当时，，即为有理式；
当时，，即为有理式；
当时，，即为无理式；
所以展开式一共有9个项，有3个有理式， 6个无理式，
先对6个无理式进行排列，共有种方法；
再将3个有理式利用“插空法”插入这6个无理式中，共有种方法；
利用分步乘法计数原理可得，一共有种方法.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·山东泰安·高二期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
分析：由通项公式可判断B，由特值法可判断ACD
【详解】令得，，故A正确；
因为的通项为，所以，故B正确；
令，则，
又，所以，故C错误；
令，则，故D正确；
故选：ABD
10．(2023·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）现有5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组（ ）
A．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法
B．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法
C．若每个小组至少要有1人参加，则共有540种不同的安排方法
D．若每个小组至少要有1人参加，则共有150种不同的安排方法
答案：BD
分析：利用分步计数原理及排列组合分析即得.
【详解】5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组，
若报名没有任何限制，则每人都有3种选择，故共有种不同的安排方法，故B正确，A错误；
若每个小组至少要有1人参加，则先分组后排列，
先将5名同学分为三组有种方法，
再将分好的三组分到3个不同的课后服务小组有种情况，
所以每个小组至少要有1人参加，则共有种不同的安排方法，故C错误，D正确.
故选：BD.
11．(2023·全国·高二课时练习）对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为64
C．常数项为1215D．系数最大的项为第3项
答案：ABC
分析：根据二项系数和为判断A；利用赋值法求得各项系数和，判断B；利用二项式展开式的通项公式可求得常数项，判断C; 利用二项式展开式的通项公式可判断第2，4，6项系数为负值，求得第1，3，5,7项系数，即可判断D.
【详解】的展开式中所有项的二项式系数和为，A正确；
中，令x＝1，得，B正确；
展开式的通项为，
令12－3k=0，得k=4，所以常数项为，C正确；
由C的分析可知第2，4，6项系数为负值，第1项系数为1，
第3项系数为，第5项系数为，
第7项系数为，则系数最大的项为第5项，D不正确．
故选：ABC．
12．(2023·吉林·高二期末）甲、乙、丙、丁、戊五个人并排站在一起拍照，下列说法错误的是（ ）
A．若甲站正中间，则共有24种排法
B．若甲、乙相邻，则共有36种排法
C．若甲不站两端，则共有48种排法
D．若甲、乙、丙各不相邻，则共有12种排法
答案：BC
分析：对于A，采用特殊元素优先法；对于B，采用捆绑法；对于C，采用特殊元素优先法；对于D，采用插空法.
【详解】若甲站在最中间，有种排法，A正确；
若甲、乙两人相邻站在一起，共有种排法，B错误；
若甲不站最边上，则共有种排法，C错误；
若甲、乙、丙各不相邻，则共有种排法，D正确．
故选：BC.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．(2023·天津·高考真题）的展开式中的常数项为______.
答案：
分析：由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解.
【详解】由题意的展开式的通项为，
令即，则，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
14．(2023·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习）为丰富学生的校园生活，拓宽学生的视野，某学校为学生安排了丰富多彩的选修课，每学期每名同学可任选2门进行学习. 甲同学计划从，，，，，，这7门选修课中任选2门，其中至少从课程，，中选一门，则甲同学的选择方法有______种.
答案：
分析：根据题意，分2种情况讨论：①、当甲从，，中选1门时，另一门需要在、、、中选出，②、甲从，，中选2门，由加法原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、当甲从，，中选1门时，另一门需要在、、、中选出，有种选法，
②、当甲从，，中选2门时，有种选法，
则甲的选择方法有种，
故答案为：15．
15．(2023·云南师大附中高三阶段练习）各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____．
答案：120
分析：四个数位数字分别为，则，应用插空法求四位数个数.
【详解】设对应个位到千位上的数字，则，且，
相当于将3个表示0的球与8个表示1的球排成一排，即10个空用3个隔板将其分开，故共种.
故答案为：120
16．(2023·全国·高二专题练习）已知在的展开式中，第6项为常数项，则含项的系数为______．
答案：405
分析：利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】解：通项公式为．
因为第6项为常数项，
所以时，有，
解得．
即．
令，
解得．
所以含项的系数为．
故答案为：405．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·全国·高二课时练习）全运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加、、三个项目的志愿者工作．因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加1个项目，若甲不能参加、项目，乙不能参加、项目，那么共有多少种不同的选拔志愿者的方案？
答案：52
分析：根据甲乙参加与否，分类计数，可分四种情况讨论，分别计算选拔方法数量，最后汇总即可
【详解】根据题意，分4种情况讨论：
①甲乙都不参加志愿活动，在剩下的4人中任选3人参加即可，有种选拔方法；
②甲参加但乙不参加志愿活动，甲只能参加C项目，在剩下的4人中任选2人参加A、B项目，有种选拔方法；
③乙参加但甲不参加志愿活动，乙只能参加A项目，在剩下的4人中任选2人参加B、C项目，有种选拔方法；
④甲乙都参加志愿活动，在剩下的4人中任选1人参加B项目，有种选拔方法.
综上，则有.
∴共有52种不同的选拔志愿者的方案
18．(2023·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：
(1)这些数的数字和；
(2)这些数的和．
答案：(1)408
(2)113322
分析：（1）根据分步乘法原理计算所有的四位数，进而可得这24个数的数字之和，
（2）确定24个数中，每个数位上2，3，5，7出现的次数，进而可求这些数的和,
（1）
共可组成4×3×2×1＝24个四位数，这24个四位数的数字和为．
（2）
这24个四位数中，数字2在千位的有3×2×1＝6个，同样，3、5、7在千位的各有6个．
同理，2、3、5、7在百位、十位、个位各出现6次．
所以所有数之和为
19．（2023·上海市奉贤中学高二阶段练习）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？
(1)偶数：
(2)左起第二､四位是奇数的偶数；
(3)比21034大的偶数.
答案：(1)个
(2)个
(3)个
分析：（1）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.
（2）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.
（3）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.
（1）
末位是0，有个，
末位是2或4，有个，
故满足条件的五位数共有个.
（2）
法一：可分两类，0是末位数，有个，
2或4是末位数，则个.
故共在个.
法二：四位从奇数1，3中取，有；
首位从2，4中取，有个：余下的排在剩下的两位，有个；
故共有个.
（3）
法一：可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，有个；
当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有个；
当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有个；
当末位数字是4，而首位数字是2时，有个；
当末位数字是4，而首位数字是3吋，有个.
故有个.
法二：不大于21034的偶数可分为三类：
万位数字为1的偶数，有个；
万位数字为2，而千位数字是0的偶数，有个：还有21034本身.
而由组成的五位偶数有个.
故满足条件的五位偶数共有个.
20．(2023·全国·高二课时练习）已知在的展开式中，第4项是常数项.
(1)求第6项的二项式系数；
(2)若，求的值.
答案：(1)126；
(2)3.
分析：（1）根据给定的二项式，求出其展开式的通项，再求出幂指数n即可计算作答.
（2）利用（1）中n值，结合组合数性质计算作答.
（1）
二项式展开式的通项为，
依题意，当时，，解得，
所以二项式的第6项的二项式系数为.
（2）
由（1）知，，则化为，显然无整数解，
由组合数的性质得：，解得，经验证符合题意，
所以.
21．(2023·全国·高二课时练习）现有8个人（5男3女）站成一排．
(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(5)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
(6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
答案：(1)5040
(2)4320
(3)21600
(4)20160
(5)14400
(6)2880
分析：（1）分两步，先考虑甲必须站在排头的特殊要求，用特殊元素优先法可解；
（2）女生必须排在一起，用捆绑法求解；
（3）甲、乙两人不能排在两端，用插空法求解；
（4）甲在乙的左边，可采用倍缩法求解；
（5）甲、乙不能排在前3位，用特殊元素或特殊位置优先法可解；
（6）女生两旁必须有男生，用插空法求解.
（1）
根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，
则甲必须站在排头有种排法；
（2）
根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；
（3）
根据题意，将甲、乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，
则甲、乙两人不能排在两端有种排法；
（4）
根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，
则甲在乙的左边有种不同的排法；
（5）
根据题意，将甲、乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，甲、乙不能排在前3位，有种不同排法；
（6）
根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，
则女生两旁必须有男生，有种不同排法．
22．(2023·全国·高二课时练习）在二项式展开式中，第3项和第4项的系数比为．
(1)求n的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项．
答案：(1)，
(2)第5项
分析：（1）根据展开式的通项以及系数之比即可求解，由值和通项特征即可求解常数项，
（2）根据不等式法即可求解最大项，
（1）
二项式展开式的通项公式为:，因为第3项和第4项的系数比为，所以，化简得，解得，
所以，令，得，所以常数项为．
（2）
设展开式中系数最大的项是第项，则
解得，因为，所以，所以展开式中系数最大的项是第5项．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．(2023·北京·高三开学考试）在的展开式中，x的系数为（ ）
A．1B．3C．6D．9
2．（2023·江西·金溪一中高二阶段练习（理））将五辆车停在5个车位上，其中A车不能停在1号车位上，则不同的停车方案有（ ）
A．24种B．78种C．96种D．120种
3．(2023·全国·高二课时练习）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．24B．18C．12D．6
4．(2023·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））若，则的值是（ ）
A．B．127C．128D．129
5．(2023·全国·高考真题（理））展开式中的系数为( )
A．B．
C．D．
6．(2023·黑龙江·佳木斯一中三模（理））佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．240B．180C．690D．150
7．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．80D．200
8．（2023·江西·金溪一中高二阶段练习（理））将二项式的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·山东泰安·高二期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）现有5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组（ ）
A．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法
B．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法
C．若每个小组至少要有1人参加，则共有540种不同的安排方法
D．若每个小组至少要有1人参加，则共有150种不同的安排方法
11．(2023·全国·高二课时练习）对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为64
C．常数项为1215D．系数最大的项为第3项
12．(2023·吉林·高二期末）甲、乙、丙、丁、戊五个人并排站在一起拍照，下列说法错误的是（ ）
A．若甲站正中间，则共有24种排法
B．若甲、乙相邻，则共有36种排法
C．若甲不站两端，则共有48种排法
D．若甲、乙、丙各不相邻，则共有12种排法
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．(2023·天津·高考真题）的展开式中的常数项为______.
14．(2023·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习）为丰富学生的校园生活，拓宽学生的视野，某学校为学生安排了丰富多彩的选修课，每学期每名同学可任选2门进行学习. 甲同学计划从，，，，，，这7门选修课中任选2门，其中至少从课程，，中选一门，则甲同学的选择方法有______种.
15．(2023·云南师大附中高三阶段练习）各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____．
16．(2023·全国·高二专题练习）已知在的展开式中，第6项为常数项，则含项的系数为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·全国·高二课时练习）全运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加、、三个项目的志愿者工作．因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加1个项目，若甲不能参加、项目，乙不能参加、项目，那么共有多少种不同的选拔志愿者的方案？
18．(2023·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：
(1)这些数的数字和；
(2)这些数的和．
19．（2023·上海市奉贤中学高二阶段练习）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？
(1)偶数：
(2)左起第二､四位是奇数的偶数；
(3)比21034大的偶数.
20．(2023·全国·高二课时练习）已知在的展开式中，第4项是常数项.
(1)求第6项的二项式系数；
(2)若，求的值.
21．(2023·全国·高二课时练习）现有8个人（5男3女）站成一排．
(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(5)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
(6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
22．(2023·全国·高二课时练习）在二项式展开式中，第3项和第4项的系数比为．
(1)求n的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项．
专题11.3 《计数原理》真题+模拟试卷
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．(2023·北京·高三开学考试）在的展开式中，x的系数为（ ）
A．1B．3C．6D．9
答案：B
分析：根据二项式展开式的特征即可求解.
【详解】的展开式中，含x的项为，故x的系数为3，
故选：B
2．（2023·江西·金溪一中高二阶段练习（理））将五辆车停在5个车位上，其中A车不能停在1号车位上，则不同的停车方案有（ ）
A．24种B．78种C．96种D．120种
答案：C
分析：根据分步计数原理，先让车选车位，再让剩余车辆选车位，即可得出结论.
【详解】第一步：先让车选车位，有种；
第二步：让剩余四辆车选车位，有种，
所以共有：种.
故选：C.
3．(2023·全国·高二课时练习）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．24B．18C．12D．6
答案：C
分析：由分步乘法计数原理结合排列直接求解即可.
【详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能，
从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为．
故选：C．
4．(2023·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））若，则的值是（ ）
A．B．127C．128D．129
答案：D
分析：利用赋值法计算可得.
【详解】解：因为，
令，可得，
令，可得，
所以；
故选：D
5．(2023·全国·高考真题（理））展开式中的系数为( )
A．B．
C．D．
答案：C
分析：化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中的系数．
【详解】因为，则展开式中含的项为；展开式中含的项为，故的系数为，
故选：C．
6．(2023·黑龙江·佳木斯一中三模（理））佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．240B．180C．690D．150
答案：A
分析：根据中门志愿者的人数，分情况讨论，再按照分组分配问题，即可求解.
【详解】第一种情况，当中门的志愿者有3人时，其他两个门有1个门1人，1个门2人，有种，
第二种情况，当中门有2人时，其他两个门也分别是2人，种，
第三种情况，当中门有4人时，其他两个们分别1人，有种，
所以不同的分配方法种数是.
故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．80D．200
答案：B
分析：先利用二项式定理求出的展开式通项，再利用多项式相乘进行求解.
【详解】的展开式的通项为，
因为，
在中，令，得，
在中，令，得，
所以展开式中项的系数为.
故选：B.
8．（2023·江西·金溪一中高二阶段练习（理））将二项式的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：先利用二项式定理判断其展开式中有理式的项数，再利用插空法进行排列即可.
【详解】根据题意，得，
因为且，
当时，，即为有理式；
当时，，即为有理式；
当时，，即为有理式；
当时，，即为无理式；
所以展开式一共有9个项，有3个有理式， 6个无理式，
先对6个无理式进行排列，共有种方法；
再将3个有理式利用“插空法”插入这6个无理式中，共有种方法；
利用分步乘法计数原理可得，一共有种方法.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·山东泰安·高二期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
分析：由通项公式可判断B，由特值法可判断ACD
【详解】令得，，故A正确；
因为的通项为，所以，故B正确；
令，则，
又，所以，故C错误；
令，则，故D正确；
故选：ABD
10．(2023·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）现有5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组（ ）
A．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法
B．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法
C．若每个小组至少要有1人参加，则共有540种不同的安排方法
D．若每个小组至少要有1人参加，则共有150种不同的安排方法
答案：BD
分析：利用分步计数原理及排列组合分析即得.
【详解】5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组，
若报名没有任何限制，则每人都有3种选择，故共有种不同的安排方法，故B正确，A错误；
若每个小组至少要有1人参加，则先分组后排列，
先将5名同学分为三组有种方法，
再将分好的三组分到3个不同的课后服务小组有种情况，
所以每个小组至少要有1人参加，则共有种不同的安排方法，故C错误，D正确.
故选：BD.
11．(2023·全国·高二课时练习）对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为64
C．常数项为1215D．系数最大的项为第3项
答案：ABC
分析：根据二项系数和为判断A；利用赋值法求得各项系数和，判断B；利用二项式展开式的通项公式可求得常数项，判断C; 利用二项式展开式的通项公式可判断第2，4，6项系数为负值，求得第1，3，5,7项系数，即可判断D.
【详解】的展开式中所有项的二项式系数和为，A正确；
中，令x＝1，得，B正确；
展开式的通项为，
令12－3k=0，得k=4，所以常数项为，C正确；
由C的分析可知第2，4，6项系数为负值，第1项系数为1，
第3项系数为，第5项系数为，
第7项系数为，则系数最大的项为第5项，D不正确．
故选：ABC．
12．(2023·吉林·高二期末）甲、乙、丙、丁、戊五个人并排站在一起拍照，下列说法错误的是（ ）
A．若甲站正中间，则共有24种排法
B．若甲、乙相邻，则共有36种排法
C．若甲不站两端，则共有48种排法
D．若甲、乙、丙各不相邻，则共有12种排法
答案：BC
分析：对于A，采用特殊元素优先法；对于B，采用捆绑法；对于C，采用特殊元素优先法；对于D，采用插空法.
【详解】若甲站在最中间，有种排法，A正确；
若甲、乙两人相邻站在一起，共有种排法，B错误；
若甲不站最边上，则共有种排法，C错误；
若甲、乙、丙各不相邻，则共有种排法，D正确．
故选：BC.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．(2023·天津·高考真题）的展开式中的常数项为______.
答案：
分析：由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解.
【详解】由题意的展开式的通项为，
令即，则，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
14．(2023·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习）为丰富学生的校园生活，拓宽学生的视野，某学校为学生安排了丰富多彩的选修课，每学期每名同学可任选2门进行学习. 甲同学计划从，，，，，，这7门选修课中任选2门，其中至少从课程，，中选一门，则甲同学的选择方法有______种.
答案：
分析：根据题意，分2种情况讨论：①、当甲从，，中选1门时，另一门需要在、、、中选出，②、甲从，，中选2门，由加法原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、当甲从，，中选1门时，另一门需要在、、、中选出，有种选法，
②、当甲从，，中选2门时，有种选法，
则甲的选择方法有种，
故答案为：15．
15．(2023·云南师大附中高三阶段练习）各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____．
答案：120
分析：四个数位数字分别为，则，应用插空法求四位数个数.
【详解】设对应个位到千位上的数字，则，且，
相当于将3个表示0的球与8个表示1的球排成一排，即10个空用3个隔板将其分开，故共种.
故答案为：120
16．(2023·全国·高二专题练习）已知在的展开式中，第6项为常数项，则含项的系数为______．
答案：405
分析：利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】解：通项公式为．
因为第6项为常数项，
所以时，有，
解得．
即．
令，
解得．
所以含项的系数为．
故答案为：405．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·全国·高二课时练习）全运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加、、三个项目的志愿者工作．因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加1个项目，若甲不能参加、项目，乙不能参加、项目，那么共有多少种不同的选拔志愿者的方案？
答案：52
分析：根据甲乙参加与否，分类计数，可分四种情况讨论，分别计算选拔方法数量，最后汇总即可
【详解】根据题意，分4种情况讨论：
①甲乙都不参加志愿活动，在剩下的4人中任选3人参加即可，有种选拔方法；
②甲参加但乙不参加志愿活动，甲只能参加C项目，在剩下的4人中任选2人参加A、B项目，有种选拔方法；
③乙参加但甲不参加志愿活动，乙只能参加A项目，在剩下的4人中任选2人参加B、C项目，有种选拔方法；
④甲乙都参加志愿活动，在剩下的4人中任选1人参加B项目，有种选拔方法.
综上，则有.
∴共有52种不同的选拔志愿者的方案
18．(2023·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：
(1)这些数的数字和；
(2)这些数的和．
答案：(1)408
(2)113322
分析：（1）根据分步乘法原理计算所有的四位数，进而可得这24个数的数字之和，
（2）确定24个数中，每个数位上2，3，5，7出现的次数，进而可求这些数的和,
（1）
共可组成4×3×2×1＝24个四位数，这24个四位数的数字和为．
（2）
这24个四位数中，数字2在千位的有3×2×1＝6个，同样，3、5、7在千位的各有6个．
同理，2、3、5、7在百位、十位、个位各出现6次．
所以所有数之和为
19．（2023·上海市奉贤中学高二阶段练习）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？
(1)偶数：
(2)左起第二､四位是奇数的偶数；
(3)比21034大的偶数.
答案：(1)个
(2)个
(3)个
分析：（1）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.
（2）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.
（3）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.
（1）
末位是0，有个，
末位是2或4，有个，
故满足条件的五位数共有个.
（2）
法一：可分两类，0是末位数，有个，
2或4是末位数，则个.
故共在个.
法二：四位从奇数1，3中取，有；
首位从2，4中取，有个：余下的排在剩下的两位，有个；
故共有个.
（3）
法一：可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，有个；
当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有个；
当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有个；
当末位数字是4，而首位数字是2时，有个；
当末位数字是4，而首位数字是3吋，有个.
故有个.
法二：不大于21034的偶数可分为三类：
万位数字为1的偶数，有个；
万位数字为2，而千位数字是0的偶数，有个：还有21034本身.
而由组成的五位偶数有个.
故满足条件的五位偶数共有个.
20．(2023·全国·高二课时练习）已知在的展开式中，第4项是常数项.
(1)求第6项的二项式系数；
(2)若，求的值.
答案：(1)126；
(2)3.
分析：（1）根据给定的二项式，求出其展开式的通项，再求出幂指数n即可计算作答.
（2）利用（1）中n值，结合组合数性质计算作答.
（1）
二项式展开式的通项为，
依题意，当时，，解得，
所以二项式的第6项的二项式系数为.
（2）
由（1）知，，则化为，显然无整数解，
由组合数的性质得：，解得，经验证符合题意，
所以.
21．(2023·全国·高二课时练习）现有8个人（5男3女）站成一排．
(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(5)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
(6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
答案：(1)5040
(2)4320
(3)21600
(4)20160
(5)14400
(6)2880
分析：（1）分两步，先考虑甲必须站在排头的特殊要求，用特殊元素优先法可解；
（2）女生必须排在一起，用捆绑法求解；
（3）甲、乙两人不能排在两端，用插空法求解；
（4）甲在乙的左边，可采用倍缩法求解；
（5）甲、乙不能排在前3位，用特殊元素或特殊位置优先法可解；
（6）女生两旁必须有男生，用插空法求解.
（1）
根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，
则甲必须站在排头有种排法；
（2）
根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；
（3）
根据题意，将甲、乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，
则甲、乙两人不能排在两端有种排法；
（4）
根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，
则甲在乙的左边有种不同的排法；
（5）
根据题意，将甲、乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，甲、乙不能排在前3位，有种不同排法；
（6）
根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，
则女生两旁必须有男生，有种不同排法．
22．(2023·全国·高二课时练习）在二项式展开式中，第3项和第4项的系数比为．
(1)求n的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项．
答案：(1)，
(2)第5项
分析：（1）根据展开式的通项以及系数之比即可求解，由值和通项特征即可求解常数项，
（2）根据不等式法即可求解最大项，
（1）
二项式展开式的通项公式为:，因为第3项和第4项的系数比为，所以，化简得，解得，
所以，令，得，所以常数项为．
（2）
设展开式中系数最大的项是第项，则
解得，因为，所以，所以展开式中系数最大的项是第5项．
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