新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)第7讲解析几何(2022-2023年高考真题)(原卷版+解析)

这是一份新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)第7讲解析几何(2022-2023年高考真题)(原卷版+解析)，共45页。试卷主要包含了已知实数，满足，则的最大值是，双曲线的左、右焦点分别为，，设椭圆，的离心率分别为，等内容，欢迎下载使用。

1．（2023•乙卷）设为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为，则直线的倾斜角不大于的概率为
A．B．C．D．
2．（2023•乙卷）已知实数，满足，则的最大值是
A．B．4C．D．7
3．（2023•甲卷）设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则
A．1B．2C．4D．5
4．（2023•天津）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
5．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则
A．B．C．D．
6．（2023•乙卷）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是
A．B．C．D．
7．（2023•乙卷）已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为
A．B．C．D．
8．（2023•上海）已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
9．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则
A．B．C．D．
10．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则
A．B．C．D．
11．（2023•新高考Ⅰ）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则
A．1B．C．D．
12．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和，直线与交于点，两点，若△面积是△面积的两倍，则
A．B．C．D．
13．（2022•甲卷）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为
A．B．C．D．
14．（2022•北京）若直线是圆的一条对称轴，则
A．B．C．1D．
15．（2022•甲卷）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为
A．B．
C．D．
二．多选题
16．（2023•新高考Ⅱ）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．为等腰三角形
17．（2022•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则
A．的准线为B．直线与相切
C．D．
18．（2022•新高考Ⅱ）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点．若，则
A．直线的斜率为B．
C．D．
19．（2022•乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为
A．B．C．D．
三．填空题
20．（2023•乙卷）已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 ．
21．（2023•天津）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
22．（2023•上海）已知圆的面积为，则 ．
23．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 ．
24．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ．
25．（2022•天津）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
26．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是 ．
27．（2022•甲卷）设点在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
28．（2022•乙卷）过四点，，，中的三点的一个圆的方程为 ．
29．（2022•北京）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
30．（2022•新高考Ⅱ）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为 ．
31．（2022•甲卷）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
32．（2022•新高考Ⅱ）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 ．
33．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
34．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 ．
四．解答题
35．（2023•乙卷）已知椭圆的离心率为，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．
36．（2023•天津）设椭圆的左、右顶点分别为，．右焦点为，已知，．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若△的面积是△面积的二倍，求直线的方程．
37．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
38．（2023•新高考Ⅱ）双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．
（1）求的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．
39．（2022•天津）椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于．记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
40．（2022•上海）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，．
（1），中点在轴上，求点的坐标；
（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；
（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值．
41．（2022•浙江）如图，已知椭圆．设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．
（Ⅰ）求点到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求的最小值．
42．（2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
43．（2022•北京）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，．当时，求的值．
44．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求的方程；
（2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，，，在上，且，．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
第7讲 解析几何（2022-2023年高考真题）
一．选择题
1．（2023•乙卷）设为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为，则直线的倾斜角不大于的概率为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】如图，为第一象限与第三象限的角平分线，
根据题意可得构成的区域为圆环，
而直线的倾斜角不大于的点构成的区域为图中阴影部分，
所求概率为．
故选：．
2．（2023•乙卷）已知实数，满足，则的最大值是
A．B．4C．D．7
【答案】
【解析】根据题意，，即，其几何意义是以为圆心，半径为3的圆，
设，变形可得，其几何意义为直线，
直线与圆有公共点，则有，解可得，
故的最大值为．
故选：．
3．（2023•甲卷）设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则
A．1B．2C．4D．5
【答案】
【解析】根据题意，点在椭圆上，满足，可得，
又由椭圆，其中，
则有，，
可得，
故选：．
4．（2023•天津）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为过作一条渐近线的垂线，垂足为，
则，
所以①，
联立，可得，，即，，
因为直线的斜率，
整理得②，
①②联立得，，，
故双曲线方程为．
故选：．
5．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】双曲线的离心率为，
可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故选：．
6．（2023•乙卷）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】设，，，，中点为，，
，
①②得，
即，
即或．
故选：．
7．（2023•乙卷）已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】如图，设，则，
根据题意可得：，
，又，
当，，时，
取得最大值．
故选：．
8．（2023•上海）已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【答案】
【解析】椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的点，使得成立，故①正确，
在双曲线中，，而是个固定值，则无法对任意的，都存在，使得，故②错误．
故选：．
9．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】双曲线的离心率为，
可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故选：．
10．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由椭圆可得，，，
椭圆的离心率分别为，
，，，
，
或（舍去）．
故选：．
11．（2023•新高考Ⅰ）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则
A．1B．C．D．
【答案】
【解析】圆可化为，则圆心，半径为；
设，切线为、，则，
中，，所以，
所以．
故选：．
12．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和，直线与交于点，两点，若△面积是△面积的两倍，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】记直线与轴交于，
椭圆的左，右焦点分别为，，，，
由△面积是△的2倍，可得，
，解得或，
或，或，
联立可得，，
直线与相交，所以△，解得，
不符合题意，
故．
故选：．
13．（2022•甲卷）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】已知，设，，则，，
，
，
故①，
，即②，
②代入①整理得：，
．
故选：．
14．（2022•北京）若直线是圆的一条对称轴，则
A．B．C．1D．
【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，
直线是圆的一条对称轴，
圆心在直线上，可得，即．
故选：．
15．（2022•甲卷）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为，
则，
由平面向量数量积的运算法则可得：
，，
则椭圆方程为．
故选：．
二．多选题
16．（2023•新高考Ⅱ）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．为等腰三角形
【答案】
【解析】直线过抛物线的焦点，可得，所以，
所以正确；
抛物线方程为：，与交于，两点，
直线方程代入抛物线方程可得：，
，
所以，所以不正确；
，的中点的横坐标：，中点到抛物线的准线的距离为：，
所以以为直径的圆与相切，所以正确；
，
不妨可得，，，，
，，，
所以不是等腰三角形，所以不正确．
故选：．
17．（2022•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则
A．的准线为B．直线与相切
C．D．
【答案】
【解析】点在抛物线上，
，解得，
抛物线的方程为，准线方程为，选项错误；
由于，，则，直线的方程为，
联立，可得，解得，故直线与抛物线相切，选项正确；
根据对称性及选项的分析，不妨设过点的直线方程为，与抛物线在第一象限交于，，，，
联立，消去并整理可得，则，，，
，由于等号在时才能取到，故等号不成立，选项正确；
，选项正确．
故选：．
18．（2022•新高考Ⅱ）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点．若，则
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】
【解析】如图，
，，，且，，，
由抛物线焦点弦的性质可得，则，则，，
，故正确；
，，，故错误；
，故正确；
，，，，，
，，
，均为锐角，可得，故正确．
故选：．
19．（2022•乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为，
设过的切线与圆相切于点，
则，，又，
所以，
过点作于点，
所以，又为的中点，
所以，，
因为，，所以，
所以，则，
所以，
由双曲线的定义可知，
所以，可得，即，
所以的离心率．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为，连接，则，，
过作于，则，因为，所以，，
，即，
所以，正确．
故选：．
三．填空题
20．（2023•乙卷）已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 ．
【答案】．
【解析】点在抛物线上，
则，解得，
由抛物线的定义可知，到的准线的距离为．
故答案为：．
21．（2023•天津）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
【答案】6．
【解析】如图，
由题意，不妨设直线方程为，即，
由圆的圆心到的距离为，
得，解得，
则直线方程为，
联立，得或，即．
可得，解得．
故答案为：6．
22．（2023•上海）已知圆的面积为，则 ．
【答案】．
【解析】圆化为标准方程为：，
圆的面积为，圆的半径为1，
，
．
故答案为：．
23．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 ．由圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为的面积为，可得，
解得，设所以，
可得，，或，
或，
圆心眼到直线的距离或，
或，
解得或．
故答案为：2（或或或．
24．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ．（法一）如图，设，，，
设，则，
又，则，可得，
又，且，
则，化简得．
又点在上，
则，整理可得，
代，可得，即，
解得或（舍去），
故．
（法二）由，得，
设，由对称性可得，
则，
设，则，
所以，解得，
所以，
在△ 中，由余弦定理可得，
即，则．
故答案为：．
25．（2022•天津）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【答案】2．
【解析】圆心到直线的距离，
又直线与圆相交所得的弦长为，
，
，
解得．
故答案为：2．
26．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】．
【解析】（法一）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
由于，且，则点在渐近线上，不妨设，
设直线的倾斜角为，则，则，即，则，
，
又，则，
又，则，则，
点的坐标为，
，即，
．
（法二）由，解得，
又，
所以点的纵坐标为，
代入方程中，解得，
所以，代入双曲线方程中，可得，
所以．
故答案为：．
27．（2022•甲卷）设点在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】．
【解析】由点在直线上，可设，
由于点和均在上，圆的半径为，
求得，可得半径为，圆心，
故的方程为，
故答案为：．
28．（2022•乙卷）过四点，，，中的三点的一个圆的方程为 ．设过点，，的圆的方程为，
即，解得，，，
所以过点，，圆的方程为．
同理可得，过点，，圆的方程为．
过点，，圆的方程为．
过点，，圆的方程为．
故答案为：（或或或．
29．（2022•北京）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
【答案】．
【解析】双曲线化为标准方程可得，
所以，双曲线的渐近线方程，
又双曲线的渐近线方程为，
所以，解得．
故答案为：．
30．（2022•新高考Ⅱ）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为 ．
【答案】．
【解析】设，，，，线段的中点为，
由，，
相减可得：，
则，
设直线的方程为：，，，，，，
，，，
，解得，
，，化为：．
，，解得．
的方程为，即，
故答案为：．
31．（2022•甲卷）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】．
【解析】双曲线的渐近线：，
圆的圆心与半径1，
双曲线的渐近线与圆相切，
，解得，舍去．
故答案为：．
32．（2022•新高考Ⅱ）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】，．
【解析】点，，，所以直线关于对称的直线的斜率为：，所以对称直线方程为：，即：，
的圆心，半径为1，
所以，得，解得，．
故答案为：，．
33．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】（填，都正确）．
【解析】圆的圆心坐标为，半径，
圆的圆心坐标为，半径，
如图：
，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
，的斜率为，设直线，即，
由，解得（负值舍去），则；
由图可知，；与关于直线对称，
联立，解得与的一个交点为，在上取一点，
该点关于的对称点为，，则，解得对称点为，．
，则，即．
与圆和都相切的一条直线的方程为：
（填，都正确）．
故答案为：（填，都正确）．
34．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 ．
【答案】13．
【解析】椭圆的离心率为，
不妨可设椭圆，，
的上顶点为，两个焦点为，，
△为等边三角形，
过且垂直于的直线与交于，两点，
，
由等腰三角形的性质可得，，，
设直线方程为，，，，，
将其与椭圆联立化简可得，，
由韦达定理可得，，，
，解得，
的周长等价于．
故答案为：13．
四．解答题
35．（2023•乙卷）已知椭圆的离心率为，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．
【解析】（1）由题意，，解得．
椭圆的方程为；
证明：（2）如图，
要使过点的直线交于点，两点，则的斜率存在且小于0，
设，即，，，，，，
联立，得．
△．
，，
直线，取，得；
直线，取，得．
．
的中点为，为定点．
36．（2023•天津）设椭圆的左、右顶点分别为，．右焦点为，已知，．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若△的面积是△面积的二倍，求直线的方程．
【解析】（Ⅰ）由题意可知，，解得，
．
则椭圆方程为，椭圆的离心率为；
（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，
当时，直线方程为，取，得．
联立，得．
△，
，得，则．
．
．
，即，得；
同理求得当时，．
直线的方程为．
37．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【分析】
（1）设点坐标，结合几何条件即可得出的方程．
（2）首先利用平移性，化简的方程可简化计算，核心是把两邻边的和用其他方式表示出来．
【详解】
（1）设点点坐标为，由题意得，
两边平方可得：，
化简得：，符合题意．
故的方程为．
（2）解法一：不妨设，，三点在上，且．
设，，，
则，．
由题意，，即，
显然，于是．
此时，．．于是，．
不妨设，则，
则
．
设，则，即，
又．
显然，为最小值点．故，
故矩形的周长为．
注意这里有两个取等条件，一个是，另一个是，
这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．
解法二：不妨设，，在抛物线上，不在抛物线上，欲证命题为．
由图象的平移可知，将抛物线看作不影响问题的证明．
设，，平移坐标系使为坐标原点，
则新抛物线方程为，写为极坐标方程，
即，即．
欲证明的结论为，
也即．
不妨设，将不等式左边看成关于的函数，根据绝对值函数的性质，
其最小值当即时取得，
因此欲证不等式为，即，
根据均值不等式，有
，
由题意，等号不成立，故原命题得证．
38．（2023•新高考Ⅱ）双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．
（1）求的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．
【分析】
（1）根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解；
（2）设出直线的方程，并与双曲线联立，再结合韦达定理，推得，，设出，直线方程，再联立方程，即可求解．
【详解】
（1）双曲线中心为原点，左焦点为，，离心率为，
则，解得，
故双曲线的方程为；
（2）证明：过点的直线与的左支交于，两点，
则可设直线的方程为，，，，，
记的左，右顶点分别为，，
则，，
联立，化简整理可得，，
故△且，
，，
直线的方程为，直线方程，
故
，
故，解得，
所以，
故点在定直线上运动．
39．（2022•天津）椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于．记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
【解析】（1），，
，
，，
；
（2）由（1）可知椭圆为，
即，
设直线，联立，消去可得：
，又直线与椭圆只有一个公共点，
△，，
又，，
又，，
解得，，
又的面积为，
，，
又，，，，
椭圆的标准方程为．
40．（2022•上海）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，．
（1），中点在轴上，求点的坐标；
（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；
（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值．
【解析】（1）由题意可得，
，
的中点在轴上，
的纵坐标为，
代入得．
（2）由直线方程可知，
①若，则，即，
，
．
②若，则，
，，
，．
即，，，
综上或．
（3）设，
由点到直线距离公式可得，
很明显椭圆在直线的左下方，则，
即，
，，
据此可得，，
整理可得，即，
从而．
即的最小值为．
41．（2022•浙江）如图，已知椭圆．设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．
（Ⅰ）求点到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求的最小值．
【解析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点，则，，，
而函数的对称轴为，则其最大值为，
，即点到椭圆上点的距离的最大值为；
（Ⅱ）设直线，
联立直线与椭圆方程有，消去并整理可得，，
由韦达定理可得，，
，
设，，，，直线，直线，
联立以及，
可得，
由弦长公式可得
，
当且仅当时等号成立，
的最小值为．
42．（2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
【解析】（1）将点代入双曲线方程得，
化简得，，故双曲线方程为，
由题显然直线的斜率存在，设，设，，，
则联立双曲线得：，
故，，
，
化简得：，
故，
即，而直线不过点，故；
（2）设直线的倾斜角为，由，
，得
由，，
得，即，
联立，及得，
同理，
故，
而，由，得，
故．
43．（2022•北京）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，．当时，求的值．
【解析】（Ⅰ）由题意得，
，，，，
椭圆的方程为．
（Ⅱ）设过点的直线为，，，，，
联立得，即，
直线与椭圆相交，△，，
由韦达定理得，，
，直线为，
令，则，，，同理，，
，
，，
．
44．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求的方程；
（2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，，，在上，且，．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】（1）由题意可得，，
解得，，
因此的方程为，
（2）解法一：设直线的方程为，，将直线的方程代入可得，
△，
，，
，
，
设点的坐标为，，则，
两式相减可得，
，
，
解得，
两式相加可得，
，
，
解得，
，其中为直线的斜率；
若选择①②：
设直线的方程为，并设的坐标为，，的坐标为，，
则，解得，，
同理可得，，
，，
此时点的坐标满足，解得，，
为的中点，即；
若选择①③：
当直线的斜率不存在时，点即为点，此时不在直线上，矛盾，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，并设的坐标为，，的坐标为，，
则，解得，，
同理可得，，
此时，
，
由于点同时在直线上，故，解得，
因此．
若选择②③，
设直线的方程为，并设的坐标为，，的坐标为，，
则，解得，，
同理可得，，
设的中点，，则，，
由于，故在的垂直平分线上，即点在直线上，
将该直线联立，解得，，
即点恰为中点，故点在直线上．
（2）解法二：由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②③，或选由②③①：由②成立可知直线的斜率存在且不为0．
若选①③②，则为线段的中点，假设的斜率不存在，
则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点，
此时由对称性可知、关于轴对称，从而，已知不符．
综上，直线的斜率存在且不为0，
直线的斜率为，直线的方程为．
则条件①在直线上，等价于，
两渐近线的方程合并为，
联立方程组，消去并化简得：，
设，，，，线段中点为，，
则．，
设，，
则条件③等价于，
移项并利用平方差公式整理得：
，
，
，
，
，
，
由题意知直线的斜率为，直线的斜率为，
由，，
，
直线的斜率，
直线，即，
代入双曲线的方程为，即中，
得，
解得的横坐标为，
同理，，，
，
条件②等价于，
综上所述：
条件①在上等价于，
条件②等价于，
条件③等价于．
选①②③：
由①②解得，③成立；
选①③②：
由①③解得：，，，②成立；
选②③①：
由②③解得：，，，①成立．