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中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题44中考解答题最常考题型解直角三角形的应用(原卷版+解析)
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这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题44中考解答题最常考题型解直角三角形的应用(原卷版+解析)，共58页。试卷主要包含了2022中考真题集训，俯角仰角问题，方向角问题，解直角三角形问题等内容，欢迎下载使用。
类型一 坡度坡角问题
1．(2023•菏泽）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
2．(2023•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73．结果精确到0.1m）
3．(2023•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
4．(2023•台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
5．(2023•株洲）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN=2千米．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．
类型二 俯角仰角问题
6．(2023•凉山州）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．
7．(2023•陕西）端午假期，小明和小昊与家人到一山庄度假．闲暇时，他们想利用所学数学知识测量所住楼前小河的宽．如图所示，他们先在六层房间窗台点F处，测得河岸点A处的俯角∠1的度数，然后来到四层房间窗台点E处，测得河对岸点B处的俯角∠2的度数（AB与河岸垂直），并且发现∠1与∠2正好互余．其中O，E，F三点在同一直线上，O，A，B三点在同一直线上，OF⊥OA．已知OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，求河宽AB．
8．(2023•钢城区）如图，某数学研究小组测量山体AC的高度，在点B处测得山体A的仰角为45°，沿BC方向前行20m至点D处，斜坡DE的坡度为1：2，在观景台E处测得山顶A的仰角为58°，且点E到水平地面BC的垂直距离EF为10m．点B，D，C在一条直线上，AB，AE，AC在同一竖直平面内．
（1）求斜坡DE的水平宽度DF的长；
（2）求山体AC的高度．（结果精确到1m．参考数据sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，2≈1.41）
9．(2023•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ=34，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.732）
10．(2023•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，csα=45．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：3≈1.7）
11．(2023•襄阳）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cs61°≈0.48，tan61°≈1.80）
12．(2023•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：3≈1.7）
13．(2023•鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
14．(2023•安顺）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
15．(2023•大连）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．
（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 米；
（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
类型三 方向角问题
16．(2023•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
17．(2023•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
18．(2023•丹东）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．
（参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
19．(2023•辽宁）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192，2≈1.414）
20．(2023•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：2≈1.414，3≈1.732）
类型四 解直角三角形问题
21．(2023•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24）
22．(2023•青海）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
23．(2023•通辽）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点后一位，3≈1.7）．
24．(2023•张家界）阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：asinA=bsinB．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD＝asinB
在Rt△ACD中，CD＝bsinA
∴asinB＝bsinA
∴asinA=bsinB
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：bsinB=csinC；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）
模块二 2023中考押题预测
25．（2023•庐阳区校级模拟）周末爬大蜀山，是合肥市民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一，如图，某个周末小张同学从大蜀山西坡沿坡角为37°的山坡爬了280米，到达点E处，紧接着沿坡角为45°的山坡又爬了160米，到达山顶A处；请你计算大蜀山的高度．（结果精确到个位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
26．（2023•新抚区三模）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD，BE和一段水平平台DE构成，AD＝10米，DE＝7米，BE＝5米．求：天桥高度BC及引桥水平跨度AC．
（参考数据：取sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
27．（2023•包河区一模）数学测绘社团欲测算平台DB上旗杆的拉绳AC的长．从旗杆AB的顶端A拉直绳子，绳子末端正好与斜坡CD的底部C重合，此时拉绳AC与水平线CN所成的夹角∠ACN＝53°，已知斜坡CD的高DN＝4米，坡比为1：2.5（即DN：CN＝1：2.5），DB＝6米，求拉绳AC的长．（结果保留1位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
28．（2023•双桥区模拟）如图，已知山坡AB的坡度为 i1＝1：2.4，b山坡BC的坡度为i2＝1：0.75，山坡CD的坡角∠D＝30°，已知点B到水平面AD的距离为200m，山坡CD的长为2000m．某登山队沿山坡AB﹣BC上山后，再沿山坡CD下山．
（1）求山顶点C到水平面AD的距离；
（2）求山坡AB﹣BC的长．
29．（2023•河东区校级模拟）赤峰桥，中国唯一的斜塔双锁面弯斜拉桥（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设测得拉索AB与水平桥面的夹角是27°，拉索BD与水平桥面的夹角是58°，两拉索底端距离AD＝20米，求立柱BC的高．（结果保留一位小数）（参考数据：tan58°≈1.6，tan27°≈0.5）
30．（2023•天山区一模）如图杨帆同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A点的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡CF走到点D处，测得大树顶端A点的仰角为30°，D点到地面的距离是5m．若斜坡CP的坡度i＝1：2（点E，C，B在同一水平线上）．求大树AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73，5≈2.24，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）
31．（2023•前郭县一模）如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的点P处测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时点P距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67）
32．（2023•甘井子区模拟）如图，大连观光塔是大连的旅游景点之一．游客可以从山底乘坐观光电动车到达山顶，观光电动车的速度是2米/秒．小明要测量观光塔的高度，他在山底A处测得观光塔底部B的仰角约为30°，测得观光塔顶部C的仰角约为51°，观光电动车从A处运行到B处所用时间约为170秒．
（1）观光电动车从A处行驶到B处的距离约为 米；
（2）请你利用小明测量的数据，求观光塔BC的高度（结果取整数）．（参考数据．sin51°≈0.78，cs51°≈0.63，tan51°≈1.23，3≈1.73）
33．（2023•鼓楼区一模）为测量建筑物DE的高度，小明从建筑物AB的A处测得E处的仰角为37°，C处的俯角为22°，从C处测得E处的仰角为58°．已知B，C，D在同一直线上，AB高为6.8m．求建筑物DE的高度．
（参考数据：tan37°≈34，tan22°≈25，tan58°≈85）
34．（2023•市北区一模）如图，某小区车库顶部BC是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB．已知平台斜坡CD的坡度i＝1：1.8，CD＝6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角∠ADE＝45°，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角∠ACB＝63.3°，求灯的顶端A与地面DE的距离．
（参考数据：sin63.3°≈0.89，cs63.3°≈0.45，tan63.3°≈2）
35．（2023•长沙模拟）某海域有A，B两个航标，B航标在A航标北偏西30°方向上，距A航标12海里，有一艘巡航船从A航标出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B航标南偏东75°方向的C航标处．
（1）填空：∠ABC＝ °，∠BCA＝ °；
（2）求该船与B航标之间的距离，即CB的长（结果保留根号）．
36．（2023•城阳区一模）小明参观海军博物馆的军舰时，想测量一下军舰AB的长度．军舰AB停放位置平行于岸边主于道CD，军舰AB距离岸边主干道CD的距离是120米，由于军舰停放的位置正对的岸边是另一片展区，无法穿越，他想到借助于所学三角函数知识来测量计算，他沿平行于岸边的主干道CD从点C处走200米到点D处，在点C处测得军舰头部点A位于南偏东22°，在点D处测得军舰尾部点B位于南偏东30°．求军舰AB的长度（结果保留1位小数）．（sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，3≈1.73）
37．（2023•西青区一模）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔368海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东45°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）．参考数据：tan40°≈0.84，2取1.41．
38．（2023•来安县一模）如图，线段MN是南北方向的一段码头，点M和点N分别是码头的两端，MN＝23海里，某一时刻在点M处测得货船B位于其北偏东75°的方向上，同时测得灯塔A位于其南偏东30°方向上，在点N处测得灯塔A位于其北偏东75°方向上，已知货船B位于灯塔A北偏东30°方向上，求此时货船B距灯塔A的距离AB的长（最终结果精确到0.1海里，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）．
39．（2023•历城区一模）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B，游轮以202海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上．
（1）求C到直线AB的距离；
（2）求游轮继续向正东方向航行过程中与灯塔B的最小距离是多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
40．（2023•靖江市模拟）某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD的长度为60cm，B，C是转动点，且AB、BC与CD始终在同一平面内．
（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）．
（2）物品在操作台l上，距离底座A端122cm的点M处，转动连杆BC，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
41．（2023•许昌一模）许昌市中央公园是目前国内最大的开放式城市中心公园，是市民们游玩的好去处，公园内有许多供游客休息用的凉亭．某数学兴趣小组测量凉亭最高点到地面的距离，如图，点D，A、E在同一水平线上，测得∠DAC＝80°，∠BCA＝110°，AC＝2米．BC＝2.2米．求凉亭最高点到地面的距离BN的长．（sin80°≈0.985，cs80°≈0.174，tan80°≈5.671，3≈1.732，结果精确到0.01米）
42．（2023•成都模拟）如图，小茗家车库的宽AB长为3米，小茗妈妈将一辆宽为1.8米（即MN＝1.8米）的汽车正直停入车库，此时MN∥AB，车门CD长为1.2米，当左侧车门CD接触到墙壁时，车门与车身的夹角∠CDE为45°，此时FG为右侧车门开至最大的宽度（也是物体进出的最大宽度），小茗妈妈能否将车内一个边长为40厘米的正方体包裹从右侧车门取出？（结果精确到0.01米；参考数据：2≈1.414）
专题44 中考解答题最常考题型解直角三角形的应用（解析版）
模块一 2022中考真题集训
类型一 坡度坡角问题
1．(2023•菏泽）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
思路引领：在△ABC中求出BC以及AC的长度，再求出CD，最后BD＝CD﹣BC即可求解．
解：由题意得，在△ABC中，
∵∠ABC＝37°，AB＝8米，
∴AC＝AB•sin37°＝4.8（米），
BC＝AB•cs37°＝6.4（米），
在Rt△ACD中，CD=ACtan30°≈8.304（米），
则BD＝CD﹣BC＝8.304﹣6.4≈1.9（米）．
答：改动后电梯水平宽度增加部分BD的长为1.9米．
总结提升：本题考查了坡度和坡角的知识，解题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
2．(2023•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73．结果精确到0.1m）
思路引领：在Rt△BCD中，根据BC的坡度为i1＝1：1，可求出BD的长，再在Rt△ACD中，根据AC的坡度为i2＝1：3，可求出AD的长，然后利用AB＝AD﹣BD，进行计算即可解答．
解：在Rt△BCD中，
∵BC的坡度为i1＝1：1，
∴CDBD=1，
∴CD＝BD＝20米，
在Rt△ACD中，
∵AC的坡度为i2＝1：3，
∴CDAD=13，
∴AD=3CD＝203（米），
∴AB＝AD﹣BD＝203−20≈14.6（米），
∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡度是解题的关键．
3．(2023•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
思路引领：（1）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（2）在△ACD中，根据∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，求出AC＝AB，从而得出AC的长．
解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，
∴BD=12BA＝10（m），
答：该斜坡的高度BD为10m；
（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，
∴∠CBA＝15°，
∴AB＝AC＝20（m），
答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．
总结提升：本题主要考查坡度坡角的定义及解直角三角形，得到AB＝AC是解题的关键．
4．(2023•台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
思路引领：在Rt△ABC中，AB＝3m，sin∠BAC＝sin75°=BCAB=BC3≈0.97，解方程即可．
解：在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，
sin∠BAC＝sin75°=BCAB=BC3≈0.97，
解得BC≈2.9．
答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
5．(2023•株洲）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN=2千米．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．
思路引领：（1）根据坡度的概念求出∠BCN＝45°，根据平角的概念计算即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，进而得到答案．
解：（1）∵山坡②的坡度i＝1：1，
∴CN＝BN，
∴∠BCN＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°；
（2）在Rt△ACM中，∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，AM＝0.6千米，
∴AC＝2AM＝1.2千米，
在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，CN=2千米，
则BC=CNcs∠BCN=2（千米），
∴该登山运动爱好者走过的路程为：1.2+2＝3.2（千米），
答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米．
总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
类型二 俯角仰角问题
6．(2023•凉山州）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．
思路引领：根据锐角三角函数和勾股定理，可以分别求得AD、CD和BC长，然后将它们相加，即可得到压折前该输电铁塔的高度．
解：由已知可得，
BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，
∴∠E＝∠DBA＝30°，
∴AD＝8米，
∴BD=AB2−AD2=162−82=83（米），
∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，
∴∠C＝∠CBD＝45°，
∴CD＝BD＝83米，
∴BC=CD2+BD2=(83)2+(83)2=86（米），
∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+83+86）米，
答：压折前该输电铁塔的高度是（8+83+86）米．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，求出AD、CD和BC长．
7．(2023•陕西）端午假期，小明和小昊与家人到一山庄度假．闲暇时，他们想利用所学数学知识测量所住楼前小河的宽．如图所示，他们先在六层房间窗台点F处，测得河岸点A处的俯角∠1的度数，然后来到四层房间窗台点E处，测得河对岸点B处的俯角∠2的度数（AB与河岸垂直），并且发现∠1与∠2正好互余．其中O，E，F三点在同一直线上，O，A，B三点在同一直线上，OF⊥OA．已知OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，求河宽AB．
思路引领：根据∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，可得∠FAO+∠EBO＝90°，又OF⊥OA，即得∠EBO＝∠AFO，故△EBO∽△AFO，有1516=OB21.6，求出OB＝20.25，从而可得河宽AB为4.25米．
解：∵∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，
∴∠FAO+∠EBO＝90°，
∵OF⊥OA，
∴∠O＝90°，
∴∠FAO+∠AFO＝90°，
∴∠EBO＝∠AFO，
∵∠O＝∠O，
∴△EBO∽△AFO，
∴OEOA=OBOF，
∵OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，
∴1516=OB21.6，
解得OB＝20.25，
∴AB＝OB﹣OA＝20.25﹣16＝4.25（米），
答：河宽AB为4.25米．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣俯角问题，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是读懂题意，证明△EBO∽△AFO．
8．(2023•钢城区）如图，某数学研究小组测量山体AC的高度，在点B处测得山体A的仰角为45°，沿BC方向前行20m至点D处，斜坡DE的坡度为1：2，在观景台E处测得山顶A的仰角为58°，且点E到水平地面BC的垂直距离EF为10m．点B，D，C在一条直线上，AB，AE，AC在同一竖直平面内．
（1）求斜坡DE的水平宽度DF的长；
（2）求山体AC的高度．（结果精确到1m．参考数据sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，2≈1.41）
思路引领：（1）由斜坡DE的坡度EFDF=12，EF＝10即可得出答案；
（2）作EH⊥AC，知四边形EFCH为矩形，设EH＝CF＝xm，在Rt△AEH中，AH＝EH⋅tan58°≈1.60x（m），继而知AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，在Rt△ABC中，根据AC＝BC得1.60x+10＝40+x，解之求出x的值，进一步求解可得答案．
解：（1）∵斜坡DE的坡度EFDF=12，EF＝10m，
∴10DF=12，
∴DF＝20．即斜坡DE的水平宽度DF长为20米．
（2）过点E作EH⊥AC于点H，则四边形EFCH为矩形，
∴HC＝EF＝10m，CF＝EH，
设EH＝CF＝xm，
在Rt△AEH中，AH＝EH•tan∠AEH＝EH•tan58°≈1.60x（m），
∴AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，
在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，
∴AC＝BC，即1.60x+10＝40+x，
解得x＝50，
∴AH＝1.60x＝1.60×50＝80（m），
∴AC＝AH+HC＝80+10＝90（m）．即山体AC的高度为90米．
总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．(2023•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ=34，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.732）
思路引领：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，根据已知可设DE＝3x米，则CE＝4x米，然后利用勾股定理进行计算可求出DE，CE的长，再设BF＝y米，从而可得AB＝（12+y）米，最后在Rt△DBF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而求出AC的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答．
解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DE＝AF，DF＝AE，
在Rt△DEC中，tanθ=DEEC=34，
设DE＝3x米，则CE＝4x米，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴（3x）2+（4x）2＝400，
∴x＝4或x＝﹣4（舍去），
∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，
设BF＝y米，
∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，
在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，
∴DF=BFtan30°=y33=3y（米），
∴AE＝DF=3y米，
∴AC＝AE﹣CE＝（3y﹣16）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴tan60°=ABAC=12+y3y−16=3，
解得：y＝6+83，
经检验：y＝6+83是原方程的根，
∴AB＝BF+AF＝18+83≈31.9（米），
∴建筑物的高度AB约为31.9米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．(2023•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，csα=45．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：3≈1.7）
思路引领：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，在Rt△DCE中，可得CE=CD⋅csα=15×45=12（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．
（2）过点D作DF⊥AB于F，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan30°=AFDF=xDF=33，解得DF=3x，在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（3x﹣12）m，tan60°=ABBC=x+93x−12=3，求出x的值，即可得出答案．
解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∵在Rt△DCE中，csα=45，CD＝15m，
∴CE=CD⋅csα=15×45=12（m）．
∴DE=CD2−CE2=152−122=9（m）．
答：C，D两点的高度差为9m．
（2）过点D作DF⊥AB于F，
由题意可得BF＝DE，DF＝BE，
设AF＝xm，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°=AFDF=xDF=33，
解得DF=3x，
在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（3x﹣12）m，
tan60°=ABBC=x+93x−12=3，
解得x=63+92，
经检验，x=63+92是原方程的解且符合题意，
∴AB=63+92+9≈24（m）．
答：居民楼的高度AB约为24m．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
11．(2023•襄阳）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cs61°≈0.48，tan61°≈1.80）
思路引领：在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，则BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC＝tan61°=CDAD=CD10≈1.80，解得CD≈18，由BC＝BD+CD可得出答案．
解：由题意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°，
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，
∴BD＝AD＝10m，
在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，
tan61°=CDAD=CD10≈1.80，
解得CD≈18，
∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．
∴烈士塔的高度约为28m．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
12．(2023•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：3≈1.7）
思路引领：延长DF交AB于点G，根据题意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后设AG＝xm，在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而求出DG的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：延长DF交AB于点G，
由题意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
设AG＝xm，
在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，
∴FG=AGtan45°=x（m），
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴tan30°=AGDG=xx+8=33，
∴x＝43+4，
经检验：x＝43+4是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．(2023•鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
思路引领：设AC与GE相交于点H，根据题意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，然后设CH＝x米，则AH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，从而求出GH的长，最后再在Rt△AHG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：设AC与GE相交于点H，
由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
设CH＝x米，
∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH•tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°=GHAH=x+812+x≈0.75，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），
∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．(2023•安顺）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
思路引领：（1）过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由勾股定理可求出答案；
（2）设DF＝4a米，则ME＝4a米，BF＝3a米，由于△ACN是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADF中由锐角三角函数可列方程求出DF，进而求出AB．
解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．
在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，
∴CM＝40米，
∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；
（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，
∵∠ACN＝45°，
∴∠CAN＝∠ACN＝45°，
∴AN＝CN＝（40+4a）米，
∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．
在Rt△ADF中，
∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF=AFDF，
∴43=10+4a4a，
∴解得a=152，
∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），
∵BF＝3a=452米，
∴AB＝AF﹣BF＝40−452=352（米）．
答：基站塔AB的高为352米．
总结提升：本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
15．(2023•大连）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．
（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 300 米；
（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
思路引领：（1）根据路程＝速度×时间，进行计算即可解答；
（2）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．
解：（1）由题意得：
5分钟＝300秒，
∴1×300＝300（米），
∴索道车从A处运行到B处的距离约为300米，
故答案为：300；
（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BD=12AB＝150（米），
AD=3BD＝1503（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD•tan37°≈1503×0.75≈194.6（米），
∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣150≈45（米），
∴白塔BC的高度约为45米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
类型三 方向角问题
16．(2023•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
思路引领：（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；
（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．
解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△ADC中，
∴AD=DC×tan∠ACD=1003×tan60°=1003×3=300（米），
答：点D与点A的距离为300米．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB是东西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，
在Rt△ADE中，
∴DE=AE=AD×sin∠ADE=300×sin45°=300×22=1502（米），
在Rt△BDE中，
∴BE=DE×tan∠BDE=1502×tan60°=1502×3=1506（米），
∴AB=AE+BE=(1502+1506)（米），
答：隧道AB的长为(1502+1506)米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
17．(2023•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
思路引领：过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
解：过B作BD⊥AC于D，
由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．(2023•丹东）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．
（参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
思路引领：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据题意得：EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，从而可得∠ADC＝53°，然后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AE的长，最后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答．
解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，
由题意得：
EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，
∴∠GAD＝∠ADC＝53°，
在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，
∴AF＝AB•sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），
∴AE＝AF+EF＝64（海里），
在Rt△ADE中，AD=AEsin53°≈640.8=80（海里），
∴货船与A港口之间的距离约为80海里．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．(2023•辽宁）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192，2≈1.414）
思路引领：过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据题意得：∠BAC＝50°，∠BCA＝45°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，最后进行计算即可解答．
解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
由题意得：
∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，
在Rt△ABD中，AB＝100海里，
∴AD＝AB•cs50°≈100×0.643＝64.3（海里），
BD＝AB•sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），
在Rt△BDC中，CD=BDtan45°=76.6（海里），
∴AC＝AD+CD＝64.3+76.6≈141（海里），
∴此时货轮与A港口的距离约为141海里．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．(2023•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：2≈1.414，3≈1.732）
思路引领：过点C作CD垂直AB，利用特殊角的三角函数值求得CD的长度，从而根据无理数的估算作出判断．
解：安全，理由如下：
过点C作CD垂直AB，
由题意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，
在Rt△CBD中，设CD＝BD＝xkm，则AD＝（x+30）km，
在Rt△ACD中，tan30°=CDAD，
∴CDAD=33，
∴xx+30=33，
解得：x＝153+15≈40.98＞40，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线构建直角三角形，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
类型四 解直角三角形问题
21．(2023•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24）
思路引领：（1）过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．
解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE=AEAB，cs∠ABE=BEAB，
∴AE5=0.60，BE5=0.80，
∴AE＝3m，BE＝4m，
∴CE＝6m，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC=32+62=35≈6.7m．
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD＝AO＝1m，
∴CF＝5m，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF=45−25=25m．
∴OD＝25≈4.5m．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．(2023•青海）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
思路引领：通过作垂线，构造矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质，可求出BE、CE、DF、AF，进而求出AB，利用梯形面积的计算公式进行计算即可．
解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E，
∵AB∥CD，
∴四边形AECF是矩形，
∵∠BCD＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，
∴BE=12BC＝4，CE=32BC＝43，
∵∠ADC＝135°，
∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝AF＝CE＝43，
由于FC＝AE，即43+2＝AB+4，
∴AB＝43−2，
∴S梯形ABCD=12（2+43−2）×43=24，
答：垂尾模型ABCD的面积为24．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造矩形、直角三角形是解决问题的关键．
23．(2023•通辽）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点后一位，3≈1.7）．
思路引领：在Rt△BDE中求出ED，再在Rt△ACM中求出AM，最后根据线段的和差关系进行计算即可．
解：如图，过点C、D分别作BE的平行线交BA的延长线于点M、N，
在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝BE＝14m，
在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，
∴AM=3CM＝143（m），
∴AB＝BM﹣AM
＝CE﹣AM
＝20+14﹣143
≈10.2（m），
答：AB的长约为10.2m．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
24．(2023•张家界）阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：asinA=bsinB．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD＝asinB
在Rt△ACD中，CD＝bsinA
∴asinB＝bsinA
∴asinA=bsinB
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：bsinB=csinC；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）
思路引领：（1）根据题目提供的方法进行证明即可；
（2）根据（1）的结论，直接进行计算即可．
（1）证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，AD＝csinB，
在Rt△ACD中，AD＝bsinC，
∴csinB＝bsinC，
∴bsinB=csinC；
（2）解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，
∴∠C＝60°，
在Rt△ACE中，AE＝AC•sin60°＝80×32=403（m），
又∵ACsinB=BCsin∠BAC，
即800.8=BC0.9，
∴BC＝90m，
∴S△ABC=12×90×403=18003（m2）．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
模块二 2023中考押题预测
25．（2023•庐阳区校级模拟）周末爬大蜀山，是合肥市民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一，如图，某个周末小张同学从大蜀山西坡沿坡角为37°的山坡爬了280米，到达点E处，紧接着沿坡角为45°的山坡又爬了160米，到达山顶A处；请你计算大蜀山的高度．（结果精确到个位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
思路引领：过点A作AD⊥BC于D，过点E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，根据正弦的定义可以分别求出AF和EG的长，然后结合矩形的对边相等即可得到答案．
解：过点A作AD⊥BC于D，过点E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，则四边形EGDF为矩形，
∴EG＝FD，
在Rt△AEF中，sin∠AEF=AFAE，
则AF=AE⋅sin∠AEF=160×22=802≈113.12（米），
在Rt△EBG中，sinB=EGBE，
则EG＝BE⋅sinB≈280×0.6＝168（米），
∴AD＝AF+EG＝113.12+168＝281.12≈281（米），
答：大蜀山的高度约为281米．
总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，将坡度坡角与三角函数的定义结合并熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．
26．（2023•新抚区三模）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD，BE和一段水平平台DE构成，AD＝10米，DE＝7米，BE＝5米．求：天桥高度BC及引桥水平跨度AC．
（参考数据：取sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
思路引领：根据题意得：DF⊥AC，DG⊥BC，DF＝GC，DG＝CF，∠BEG＝37°，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DF，AF的长，再在Rt△BEG中，利用锐角三角函数的定义求出BG和EG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
解：如图：
由题意得：DF⊥AC，DG⊥BC，DF＝GC，DG＝CF，∠BEG＝37°，
在Rt△ADF中，∠DAF＝37°，AD＝10米，
∴DF＝AD•sin37°≈10×0.6＝6（米），
AF＝AD•cs37°≈10×0.8＝8（米），
∴DF＝CG＝6米，
在Rt△BEG中，BE＝5米，
∴BG＝BE•sin37°≈5×0.6＝3（米），
EG＝BE•cs37°≈5×0.8＝4（米），
∴BC＝BG+CG＝3+6＝9（米），
∵DE＝7米，
∴FG＝DG＝DE+EG＝11（米），
∴AG＝AF+FG＝8+11＝19（米），
∴天桥高度BC约为9米，引桥水平跨度AC约为19米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用＝坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
27．（2023•包河区一模）数学测绘社团欲测算平台DB上旗杆的拉绳AC的长．从旗杆AB的顶端A拉直绳子，绳子末端正好与斜坡CD的底部C重合，此时拉绳AC与水平线CN所成的夹角∠ACN＝53°，已知斜坡CD的高DN＝4米，坡比为1：2.5（即DN：CN＝1：2.5），DB＝6米，求拉绳AC的长．（结果保留1位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
思路引领：延长AB交CN于E，则四边形DBEN为矩形，那么NE＝DB＝6米．解Rt△CDN，求出CN＝10米，得出CE＝CN+NE＝16米．解Rt△ACE，即可求出拉绳AC的长．
解：如图，延长AB交CN于E，则四边形DBEN为矩形，
∴NE＝DB＝6米．
∵斜坡CD的高DN＝4米，坡比为1：2.5（即DN：CN＝1：2.5），
∴CN＝10米，
∴CE＝CN+NE＝16米．
在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，CE＝16米，∠ACE＝53°，
∴AC=CEcs∠ACE≈160.6≈26.7（米）．
故拉绳AC的长约为26.7米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．（2023•双桥区模拟）如图，已知山坡AB的坡度为 i1＝1：2.4，b山坡BC的坡度为i2＝1：0.75，山坡CD的坡角∠D＝30°，已知点B到水平面AD的距离为200m，山坡CD的长为2000m．某登山队沿山坡AB﹣BC上山后，再沿山坡CD下山．
（1）求山顶点C到水平面AD的距离；
（2）求山坡AB﹣BC的长．
思路引领：（1）过点C作CF⊥AD，利用直角三角形的边角间关系可得结论；
（2）过点B作BH⊥AD，BE⊥CF，先判断四边形BHFE的形状，再利用坡度求出AH、
解：（1）过点C作CF⊥AD，垂足为F．
在Rt△CDF中，
∵sinD=CFCD，∠D＝30°，CD＝2000m，
∴CF＝sinD•CD=12×2000＝1000（m）．
答：山顶点C到水平面AD的距离为1000m．
（2）过点B作BH⊥AD，BE⊥CF，垂足分别为H、E．
∴四边形BHFE是矩形．
∴BH＝EF＝200m，CE＝CF﹣EF＝800m，
在Rt△ABH中，
∵AB的坡度为 i1＝1：2.4=BHAH，
∴AH＝200×2.4＝480（m）．
∴AB=BH2+AH2=2002+4802=520（m）．
在Rt△BEC中，
∵山坡BC的坡度为i2＝1：0.75=CEBE，
∴BE＝0.75CE＝600（m）．
∴BC=CE2+BE2=8002+6002=1000（m）．
∴山坡AB﹣BC的长为：520+1000＝1520（m）．
答：山坡AB﹣BC的长为1520m．
总结提升：本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理及坡度的相关知识是解决本题的关键．
29．（2023•河东区校级模拟）赤峰桥，中国唯一的斜塔双锁面弯斜拉桥（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设测得拉索AB与水平桥面的夹角是27°，拉索BD与水平桥面的夹角是58°，两拉索底端距离AD＝20米，求立柱BC的高．（结果保留一位小数）（参考数据：tan58°≈1.6，tan27°≈0.5）
思路引领：直接利用锐角三角函数关系得出CD表示出CD的长，进而表示出AC的长，进而得出答案．
解：设立柱BC的高为x米，根据题意可得：
在Rt△BCD中，
∵tan∠BDC=BCCD，
∴CD=BCtan∠BDC=xtan58°≈x1.6=58x（米），
在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC，
∴AC=BCtan∠BAC≈2x（米），
由题意得：2x−58x=20，
解得：x≈14.5．
答：立柱BC的高约为14.5米．
总结提升：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出CD，AC的长是解题关键．
30．（2023•天山区一模）如图杨帆同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A点的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡CF走到点D处，测得大树顶端A点的仰角为30°，D点到地面的距离是5m．若斜坡CP的坡度i＝1：2（点E，C，B在同一水平线上）．求大树AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73，5≈2.24，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）
思路引领：过点D作DG⊥BE于点G，作DH⊥AB于点H，设AB＝xm，用含x的代数式表示出AH、DH，根据tan∠ADH=AHDH列出方程，解方程得到答案．
解：过点D作DG⊥BE于点G，作DH⊥AB于点H，
∵斜坡CF的坡度i＝1：2，D到地面的距离是5m，即DG＝5m，
∴CG＝2DG＝10m，
设大树AB的高为xm，
∵∠ACB＝45°，
∴在Rt△ABC中，
AB＝BC＝xm，DH＝BG＝BC+CG＝（x+10）m，AH＝AB﹣BH＝AB﹣DG＝（x﹣5）m，
在Rt△ADH中，
∠ADH＝30°，
∴tan30°=AHDH，即33=x−5x+10，
解得x=153+252．
经检验：x=153+252是原方程的根且符合题意．x=153+252≈25.5m．
答：大树AB的高度是25.5m．
总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度比问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念、坡度比的概念．
31．（2023•前郭县一模）如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的点P处测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时点P距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67）
思路引领：延长BA交PQ于点D，根据题意可得：∠PDB＝90°，PC＝BD＝75米，然后在Rt△PBD中，利用锐角三角函数的定义求出PD的长，再在Rt△PHA中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
解：延长BA交PQ于点D，
由题意可得：∠PDB＝90°，PC＝BD＝75米，
在Rt△PBD中，∠DPB＝45°，
∴PD=BDtan45°=75（米），
在Rt△PHA中，∠DPA＝34°，
∴AD＝PD•tan34°≈75×0.67＝50.25（米），
∴AB＝BD﹣AD＝75﹣50.25＝24.75≈24.8（米），
答：旗杆AB的高度约为24.8米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线解题的关键．
32．（2023•甘井子区模拟）如图，大连观光塔是大连的旅游景点之一．游客可以从山底乘坐观光电动车到达山顶，观光电动车的速度是2米/秒．小明要测量观光塔的高度，他在山底A处测得观光塔底部B的仰角约为30°，测得观光塔顶部C的仰角约为51°，观光电动车从A处运行到B处所用时间约为170秒．
（1）观光电动车从A处行驶到B处的距离约为 340 米；
（2）请你利用小明测量的数据，求观光塔BC的高度（结果取整数）．（参考数据．sin51°≈0.78，cs51°≈0.63，tan51°≈1.23，3≈1.73）
思路引领：（1）根据路程＝速度×时间，进行计算即可解答；
（2）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．
解：（1）由题意得：
∴2×170＝340（米），
∴索道车从A处运行到B处的距离约为340米，
故答案为：340；
（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BD=12AB＝170（米），
AD=3BD＝1703（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝51°，
∴CD＝AD•tan51°≈1703×1.23≈361.7（米），
∴BC＝CD﹣BD＝361.7﹣170≈192（米），
∴白塔BC的高度约为192米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
33．（2023•鼓楼区一模）为测量建筑物DE的高度，小明从建筑物AB的A处测得E处的仰角为37°，C处的俯角为22°，从C处测得E处的仰角为58°．已知B，C，D在同一直线上，AB高为6.8m．求建筑物DE的高度．
（参考数据：tan37°≈34，tan22°≈25，tan58°≈85）
思路引领：过点A作AF⊥ED，垂足为F，根据题意可得：ED⊥BD，AB＝FD＝6.8m，AF＝BD，AF∥BD，从而可得∠FAC＝∠ACB＝22°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，设CD＝xm，则AF＝BD＝（x+17）m，再在Rt△ECD中，利用锐角三角函数的定义求出ED的长，最后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而根据EF+DF＝ED，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：过点A作AF⊥ED，垂足为F，
由题意得：
ED⊥BD，AB＝FD＝6.8m，AF＝BD，AF∥BD，
∴∠FAC＝∠ACB＝22°，
在Rt△ABC中，BC=ABtan22°≈6.825=17（m），
设CD＝xm，
∴AF＝BD＝BC+CD＝（x+17）m，
在Rt△ECD中，∠ECD＝58°，
∴ED＝CD•tan58°≈85x（m），
在Rt△EAF中，∠EAF＝37°，
∴EF＝AF•tan37°≈34（x+17）m，
∵EF+DF＝ED，
∴34（x+17）+6.8=85x，
解得：x＝23，
∴DE=85x＝36.8（m），
∴建筑物DE的高度约为36.8m．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
34．（2023•市北区一模）如图，某小区车库顶部BC是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB．已知平台斜坡CD的坡度i＝1：1.8，CD＝6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角∠ADE＝45°，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角∠ACB＝63.3°，求灯的顶端A与地面DE的距离．
（参考数据：sin63.3°≈0.89，cs63.3°≈0.45，tan63.3°≈2）
思路引领：过点B作BF⊥DE于点F，过点C作CG⊥DE于点G，由坡度的定义及斜坡CD的坡长为6米，可得DG＝33米，CG＝BF＝3米，设BC＝FG＝x米，则DF＝（x+33）米，在Rt△ABC中，tan63.3°=ABBC=ABx=3，解得AB=3x，则AF＝（3+3x）米，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，可得AF＝DF，即3+3x＝x+33，求出x的值，进而可得答案．
解：过点B作BF⊥DE于点F，过点C作CG⊥DE于点G，
由题意得，BC＝6米，∠ADF＝45°，∠ACB＝60，CG＝BF，BC＝FG，
∵斜坡CD的坡度i＝1：1.8，
∴CGDG=11.8，
即DG＝1.8CG，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：
CG2+（1.8CG）2＝62，
解得CG＝3，
∴DG＝33米，BF＝3米，
设BC＝FG＝x米，则DF＝（x+33）米，
在Rt△ABC中，tan60°=ABBC=ABx=3，
解得AB=3x，
∴AF＝（3+3x）米，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴AF＝DF，
即3+3x＝x+33，
解得x＝3，
∴AF＝（3+33）米．
∴灯的顶端A与地面DE的距离为（3+33）米．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
35．（2023•长沙模拟）某海域有A，B两个航标，B航标在A航标北偏西30°方向上，距A航标12海里，有一艘巡航船从A航标出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B航标南偏东75°方向的C航标处．
（1）填空：∠ABC＝ 45 °，∠BCA＝ 60 °；
（2）求该船与B航标之间的距离，即CB的长（结果保留根号）．
思路引领：（1）由平行线的性质以及方向角的定义得出∠FBA＝∠EAB＝30°，∠FBC＝75°，那么∠ABC＝45°，又根据方向角的定义得出∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝75°，利用三角形内角和定理求出∠ACB＝60°；
（2）作AD⊥BC交BC于点D，解Rt△ABD，得出BD＝AD，解Rt△ACD，得出CD，进而得出BC＝BD+CD．
解：（1）如图，∵∠EAB＝30°，AE∥BF，
∴∠FBA＝∠EAB＝30°，
又∵∠FBC＝75°，
∴∠ABC＝∠FBC﹣∠FBA＝45°，
又∵∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝30°+45°＝75°，
∴∠ACB＝180°﹣45°﹣75°＝60°；
故答案为：45，60；
（2）如图，作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝12海里，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝12×22=62（海里），
在Rt△ACD中，∠C＝60°，AD＝62海里，
∴CD＝AD•tan30°＝62×33=26（海里），
∴BC＝BD+CD＝（62+26）（海里）．
答：BC的长为（62+26）海里．
总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，构造直角三角形，利用三角函数求出线段BD与CD的长度是解题的关键．
36．（2023•城阳区一模）小明参观海军博物馆的军舰时，想测量一下军舰AB的长度．军舰AB停放位置平行于岸边主于道CD，军舰AB距离岸边主干道CD的距离是120米，由于军舰停放的位置正对的岸边是另一片展区，无法穿越，他想到借助于所学三角函数知识来测量计算，他沿平行于岸边的主干道CD从点C处走200米到点D处，在点C处测得军舰头部点A位于南偏东22°，在点D处测得军舰尾部点B位于南偏东30°．求军舰AB的长度（结果保留1位小数）．（sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，3≈1.73）
思路引领：过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，根据矩形的性质得到AE＝BF＝120米，EF＝AB，解直角三角形即可得到结论．
解：过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，
则四边形ABFE是矩形，
∴AE＝BF＝120米，EF＝AB，
在Rt△DFB中，∵∠F＝90°，BF＝120米，
∴DF=BFtan30°=12033=1203≈208（米），
在Rt△ACE中，CE=AEtan22°≈1200.4=300（米），
∵CD＝200米，
∴DE＝CE﹣CD＝100（米），
∴AB＝EF＝208﹣100＝108（米），
答：军舰AB的长度为108米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
37．（2023•西青区一模）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔368海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东45°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）．参考数据：tan40°≈0.84，2取1.41．
思路引领：通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可．
解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
由题意得，∠BAC＝45°，∠BCA＝40°，AC＝368海里，
在Rt△ABH中，
∵tan∠BAH=BHAH，cs∠BAH=AHAB，
∴BH＝AH•tan45°＝AH，AB=AHCOS45°=AH22=2AH，
在Rt△BCH中，
∵tan∠BCH=BHCH，
∴CH=BHtan40°=AHtan40°（海里），
又∵CA＝CH+AH，
∴368=AH0.84+AH，
所以AH=368×tan40°tan40°+1（海里），
∴AB=2×368×+1≈2×368×（海里），
答：AB的长约为336海里．
总结提升：本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
38．（2023•来安县一模）如图，线段MN是南北方向的一段码头，点M和点N分别是码头的两端，MN＝23海里，某一时刻在点M处测得货船B位于其北偏东75°的方向上，同时测得灯塔A位于其南偏东30°方向上，在点N处测得灯塔A位于其北偏东75°方向上，已知货船B位于灯塔A北偏东30°方向上，求此时货船B距灯塔A的距离AB的长（最终结果精确到0.1海里，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）．
思路引领：先说明△AMN是等腰三角形即MA=MN=23（海里），再根据三角形内角和可得∠AMB＝75°；由AQ∥MN可得∠MAQ＝30°得∠ABM＝180°﹣∠AMB﹣∠BAM＝45°；过点M作MC⊥AB于点C，再在Rt△ACM中解直角三角形可得AC=3、MC＝3，最后在Rt△BCM中解直角三角形可得BC＝MC＝3，最后根据AB＝AC+BC即可解答．
解：在△AMN中，∠MAN＝180°﹣∠AMN﹣∠ANM＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠MAN＝∠MNA，
∴MA=MN=23（海里）．
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣75°﹣30°＝75°．
∵AQ∥MN，
∴∠MAQ＝30°，
∴∠BAM＝30°+30°＝60°，
∴∠ABM＝180°﹣∠AMB﹣∠BAM＝45°．
过点M作MC⊥AB于点C，
在Rt△ACM中，∠AMC＝90°﹣∠CAM＝30°，
∴AC=12AM=3海里，
∴MC=tan∠CAM×AC=tan60°×3海里＝3海里，
在Rt△BCM中，∠CBM＝45°，则BC＝MC＝3海里．
∴AB=AC+BC=3+3≈4.7（海里）．
答：此时货船B距灯塔A的距离约为4.7海里．
总结提升：本题主要考查了解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
39．（2023•历城区一模）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B，游轮以202海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上．
（1）求C到直线AB的距离；
（2）求游轮继续向正东方向航行过程中与灯塔B的最小距离是多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
思路引领：（1）作辅助线，构建直角三角形，证明△ACM是等腰直角三角形，可得CM的长，从而得结论；
（2）由题意得到∠DCB＝15°，则∠ACB＝105°，求得∠CBE＝30°，解直角三角形即可得到结论．
解：（1）如图，由题意可得，∠CAB＝45°，
过点C作CE⊥AB于点E，
在△ABC中，∠BAC＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
由题意得：AC＝2×202=402，
∴CE=22AC＝40，
即点C到线段AB的距离为40海里；
（2）由题意可得，∠DCB＝15°，则∠ACB＝105°，
∵∠ACE＝45°，
∴∠CBE＝30°，
在Rt△BEC中，AE＝CE＝40，
∴BE=3CE＝403，
∴AB＝AE+BE＝40+403，
作BF⊥AC于点F，则∠AFB＝90°，
在Rt△BEC中，cs∠BAC=BFAB=22，
∴BF＝202+206≈77，
答：与灯塔B的最小距离是77海里．
总结提升：此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，三角形内角和定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
40．（2023•靖江市模拟）某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD的长度为60cm，B，C是转动点，且AB、BC与CD始终在同一平面内．
（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）．
（2）物品在操作台l上，距离底座A端122cm的点M处，转动连杆BC，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
思路引领：（1）过点C作CF⊥AE于F，过点B作BH⊥CF于点H，根据矩形的性质可知AB＝HF，CF＝DE，然后根据锐角三角函数的定义可求出BH的值，最后根据CF＝CH+HF即可求出答案．
（2）根据勾股定理可求出BM的长度，然后比较BC+CD与BM的长度即可求出答案．
解：（1）过点C作CF⊥AE于F，过点B作BH⊥CF于点H，
∵CD∥l，
∴四边形CDEF与四边形BHFA是矩形，
∴AB＝HF＝50（cm），CF＝DE，
∵∠ABC＝143°，
∴∠CBH＝53°，
在Rt△CBH中，cs∠CBH=BHBC，
∴BH≈70×0.6≈42（cm），
∴CF＝DE＝CH+HF≈92（cm）
答：手臂端点D离操作台l的高度DE的长为92cm．
（2）连接BM，
在Rt△BMA中，AB＝50（cm），AM＝122（cm），
由勾股定理可知：BM=502+1222≈131.84，
∵BC+CD＝70+60＝130cm，
∴BC+CD＜BM，
答：故手臂端点D不能碰到点M．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及勾股定理，本题属于中等题型．
41．（2023•许昌一模）许昌市中央公园是目前国内最大的开放式城市中心公园，是市民们游玩的好去处，公园内有许多供游客休息用的凉亭．某数学兴趣小组测量凉亭最高点到地面的距离，如图，点D，A、E在同一水平线上，测得∠DAC＝80°，∠BCA＝110°，AC＝2米．BC＝2.2米．求凉亭最高点到地面的距离BN的长．（sin80°≈0.985，cs80°≈0.174，tan80°≈5.671，3≈1.732，结果精确到0.01米）
思路引领：过点C作CF⊥BN与点F，过点C作CG⊥DE于点G，则四边形CGNF为矩形，以此得到CF∥GN，CG＝FN，根据平行线的性质可得∠DAC＝∠ACF＝80°，进而得∠BCF＝30°，则BF＝BC•sin∠BCF，CG＝AC•sin∠GAC，以此即可求解．
解：如图，过点C作CF⊥BN于点F，过点C作CG⊥DE于点G，
则四边形CGNF为矩形，
∴CF∥GN，CG＝FN，
∴∠DAC＝∠ACF＝80°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝30°，
在Rt△BCF中，BF＝BC•sin∠BCF＝2.2×12=1.1（米），
在Rt△ACG中，CG＝AC•sin∠GAC＝2×0.985≈1.97（米），
∴FN＝CG≈1.97米，
∴BN＝BF+FN＝1.1+1.97≈3.07（米）．
∴凉亭最高点到地面的距离BN的长为3.07米．
总结提升：本题主要考查解直角三角形的应用，结合题目意思，构造合适的直角三角形解决问题是解题关键．
42．（2023•成都模拟）如图，小茗家车库的宽AB长为3米，小茗妈妈将一辆宽为1.8米（即MN＝1.8米）的汽车正直停入车库，此时MN∥AB，车门CD长为1.2米，当左侧车门CD接触到墙壁时，车门与车身的夹角∠CDE为45°，此时FG为右侧车门开至最大的宽度（也是物体进出的最大宽度），小茗妈妈能否将车内一个边长为40厘米的正方体包裹从右侧车门取出？（结果精确到0.01米；参考数据：2≈1.414）
思路引领：过点C作CO⊥DE于点O，根据锐角三家函数可得OC的长，从而得到FG的长，即可求解．
解：如图所示，过点C作CO⊥DE于点O，
∵∠CDE＝45°，CD＝1.2米，
∴CO=CDsin∠CDE=CD×sin45°=325米，
∵AB＝MN+CO+FG，
∴FG=3−1.8−325=(65−325)米，
∴FG≈1.2﹣0.8484＝0.3516米＝35.16厘米，
∵35.16＜40，
∴小茗妈妈不能把包裹从右侧车门取出．
总结提升：本题主要考查了解直角三角形，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
类型一 坡度坡角问题
1．(2023•菏泽）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
2．(2023•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73．结果精确到0.1m）
3．(2023•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
4．(2023•台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
5．(2023•株洲）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN=2千米．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．
类型二 俯角仰角问题
6．(2023•凉山州）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．
7．(2023•陕西）端午假期，小明和小昊与家人到一山庄度假．闲暇时，他们想利用所学数学知识测量所住楼前小河的宽．如图所示，他们先在六层房间窗台点F处，测得河岸点A处的俯角∠1的度数，然后来到四层房间窗台点E处，测得河对岸点B处的俯角∠2的度数（AB与河岸垂直），并且发现∠1与∠2正好互余．其中O，E，F三点在同一直线上，O，A，B三点在同一直线上，OF⊥OA．已知OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，求河宽AB．
8．(2023•钢城区）如图，某数学研究小组测量山体AC的高度，在点B处测得山体A的仰角为45°，沿BC方向前行20m至点D处，斜坡DE的坡度为1：2，在观景台E处测得山顶A的仰角为58°，且点E到水平地面BC的垂直距离EF为10m．点B，D，C在一条直线上，AB，AE，AC在同一竖直平面内．
（1）求斜坡DE的水平宽度DF的长；
（2）求山体AC的高度．（结果精确到1m．参考数据sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，2≈1.41）
9．(2023•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ=34，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.732）
10．(2023•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，csα=45．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：3≈1.7）
11．(2023•襄阳）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cs61°≈0.48，tan61°≈1.80）
12．(2023•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：3≈1.7）
13．(2023•鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
14．(2023•安顺）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
15．(2023•大连）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．
（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 米；
（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
类型三 方向角问题
16．(2023•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
17．(2023•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
18．(2023•丹东）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．
（参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
19．(2023•辽宁）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192，2≈1.414）
20．(2023•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：2≈1.414，3≈1.732）
类型四 解直角三角形问题
21．(2023•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24）
22．(2023•青海）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
23．(2023•通辽）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点后一位，3≈1.7）．
24．(2023•张家界）阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：asinA=bsinB．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD＝asinB
在Rt△ACD中，CD＝bsinA
∴asinB＝bsinA
∴asinA=bsinB
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：bsinB=csinC；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）
模块二 2023中考押题预测
25．（2023•庐阳区校级模拟）周末爬大蜀山，是合肥市民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一，如图，某个周末小张同学从大蜀山西坡沿坡角为37°的山坡爬了280米，到达点E处，紧接着沿坡角为45°的山坡又爬了160米，到达山顶A处；请你计算大蜀山的高度．（结果精确到个位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
26．（2023•新抚区三模）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD，BE和一段水平平台DE构成，AD＝10米，DE＝7米，BE＝5米．求：天桥高度BC及引桥水平跨度AC．
（参考数据：取sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
27．（2023•包河区一模）数学测绘社团欲测算平台DB上旗杆的拉绳AC的长．从旗杆AB的顶端A拉直绳子，绳子末端正好与斜坡CD的底部C重合，此时拉绳AC与水平线CN所成的夹角∠ACN＝53°，已知斜坡CD的高DN＝4米，坡比为1：2.5（即DN：CN＝1：2.5），DB＝6米，求拉绳AC的长．（结果保留1位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
28．（2023•双桥区模拟）如图，已知山坡AB的坡度为 i1＝1：2.4，b山坡BC的坡度为i2＝1：0.75，山坡CD的坡角∠D＝30°，已知点B到水平面AD的距离为200m，山坡CD的长为2000m．某登山队沿山坡AB﹣BC上山后，再沿山坡CD下山．
（1）求山顶点C到水平面AD的距离；
（2）求山坡AB﹣BC的长．
29．（2023•河东区校级模拟）赤峰桥，中国唯一的斜塔双锁面弯斜拉桥（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设测得拉索AB与水平桥面的夹角是27°，拉索BD与水平桥面的夹角是58°，两拉索底端距离AD＝20米，求立柱BC的高．（结果保留一位小数）（参考数据：tan58°≈1.6，tan27°≈0.5）
30．（2023•天山区一模）如图杨帆同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A点的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡CF走到点D处，测得大树顶端A点的仰角为30°，D点到地面的距离是5m．若斜坡CP的坡度i＝1：2（点E，C，B在同一水平线上）．求大树AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73，5≈2.24，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）
31．（2023•前郭县一模）如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的点P处测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时点P距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67）
32．（2023•甘井子区模拟）如图，大连观光塔是大连的旅游景点之一．游客可以从山底乘坐观光电动车到达山顶，观光电动车的速度是2米/秒．小明要测量观光塔的高度，他在山底A处测得观光塔底部B的仰角约为30°，测得观光塔顶部C的仰角约为51°，观光电动车从A处运行到B处所用时间约为170秒．
（1）观光电动车从A处行驶到B处的距离约为 米；
（2）请你利用小明测量的数据，求观光塔BC的高度（结果取整数）．（参考数据．sin51°≈0.78，cs51°≈0.63，tan51°≈1.23，3≈1.73）
33．（2023•鼓楼区一模）为测量建筑物DE的高度，小明从建筑物AB的A处测得E处的仰角为37°，C处的俯角为22°，从C处测得E处的仰角为58°．已知B，C，D在同一直线上，AB高为6.8m．求建筑物DE的高度．
（参考数据：tan37°≈34，tan22°≈25，tan58°≈85）
34．（2023•市北区一模）如图，某小区车库顶部BC是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB．已知平台斜坡CD的坡度i＝1：1.8，CD＝6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角∠ADE＝45°，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角∠ACB＝63.3°，求灯的顶端A与地面DE的距离．
（参考数据：sin63.3°≈0.89，cs63.3°≈0.45，tan63.3°≈2）
35．（2023•长沙模拟）某海域有A，B两个航标，B航标在A航标北偏西30°方向上，距A航标12海里，有一艘巡航船从A航标出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B航标南偏东75°方向的C航标处．
（1）填空：∠ABC＝ °，∠BCA＝ °；
（2）求该船与B航标之间的距离，即CB的长（结果保留根号）．
36．（2023•城阳区一模）小明参观海军博物馆的军舰时，想测量一下军舰AB的长度．军舰AB停放位置平行于岸边主于道CD，军舰AB距离岸边主干道CD的距离是120米，由于军舰停放的位置正对的岸边是另一片展区，无法穿越，他想到借助于所学三角函数知识来测量计算，他沿平行于岸边的主干道CD从点C处走200米到点D处，在点C处测得军舰头部点A位于南偏东22°，在点D处测得军舰尾部点B位于南偏东30°．求军舰AB的长度（结果保留1位小数）．（sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，3≈1.73）
37．（2023•西青区一模）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔368海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东45°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）．参考数据：tan40°≈0.84，2取1.41．
38．（2023•来安县一模）如图，线段MN是南北方向的一段码头，点M和点N分别是码头的两端，MN＝23海里，某一时刻在点M处测得货船B位于其北偏东75°的方向上，同时测得灯塔A位于其南偏东30°方向上，在点N处测得灯塔A位于其北偏东75°方向上，已知货船B位于灯塔A北偏东30°方向上，求此时货船B距灯塔A的距离AB的长（最终结果精确到0.1海里，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）．
39．（2023•历城区一模）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B，游轮以202海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上．
（1）求C到直线AB的距离；
（2）求游轮继续向正东方向航行过程中与灯塔B的最小距离是多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
40．（2023•靖江市模拟）某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD的长度为60cm，B，C是转动点，且AB、BC与CD始终在同一平面内．
（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）．
（2）物品在操作台l上，距离底座A端122cm的点M处，转动连杆BC，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
41．（2023•许昌一模）许昌市中央公园是目前国内最大的开放式城市中心公园，是市民们游玩的好去处，公园内有许多供游客休息用的凉亭．某数学兴趣小组测量凉亭最高点到地面的距离，如图，点D，A、E在同一水平线上，测得∠DAC＝80°，∠BCA＝110°，AC＝2米．BC＝2.2米．求凉亭最高点到地面的距离BN的长．（sin80°≈0.985，cs80°≈0.174，tan80°≈5.671，3≈1.732，结果精确到0.01米）
42．（2023•成都模拟）如图，小茗家车库的宽AB长为3米，小茗妈妈将一辆宽为1.8米（即MN＝1.8米）的汽车正直停入车库，此时MN∥AB，车门CD长为1.2米，当左侧车门CD接触到墙壁时，车门与车身的夹角∠CDE为45°，此时FG为右侧车门开至最大的宽度（也是物体进出的最大宽度），小茗妈妈能否将车内一个边长为40厘米的正方体包裹从右侧车门取出？（结果精确到0.01米；参考数据：2≈1.414）
专题44 中考解答题最常考题型解直角三角形的应用（解析版）
模块一 2022中考真题集训
类型一 坡度坡角问题
1．(2023•菏泽）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
思路引领：在△ABC中求出BC以及AC的长度，再求出CD，最后BD＝CD﹣BC即可求解．
解：由题意得，在△ABC中，
∵∠ABC＝37°，AB＝8米，
∴AC＝AB•sin37°＝4.8（米），
BC＝AB•cs37°＝6.4（米），
在Rt△ACD中，CD=ACtan30°≈8.304（米），
则BD＝CD﹣BC＝8.304﹣6.4≈1.9（米）．
答：改动后电梯水平宽度增加部分BD的长为1.9米．
总结提升：本题考查了坡度和坡角的知识，解题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
2．(2023•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73．结果精确到0.1m）
思路引领：在Rt△BCD中，根据BC的坡度为i1＝1：1，可求出BD的长，再在Rt△ACD中，根据AC的坡度为i2＝1：3，可求出AD的长，然后利用AB＝AD﹣BD，进行计算即可解答．
解：在Rt△BCD中，
∵BC的坡度为i1＝1：1，
∴CDBD=1，
∴CD＝BD＝20米，
在Rt△ACD中，
∵AC的坡度为i2＝1：3，
∴CDAD=13，
∴AD=3CD＝203（米），
∴AB＝AD﹣BD＝203−20≈14.6（米），
∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡度是解题的关键．
3．(2023•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
思路引领：（1）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（2）在△ACD中，根据∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，求出AC＝AB，从而得出AC的长．
解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，
∴BD=12BA＝10（m），
答：该斜坡的高度BD为10m；
（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，
∴∠CBA＝15°，
∴AB＝AC＝20（m），
答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．
总结提升：本题主要考查坡度坡角的定义及解直角三角形，得到AB＝AC是解题的关键．
4．(2023•台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
思路引领：在Rt△ABC中，AB＝3m，sin∠BAC＝sin75°=BCAB=BC3≈0.97，解方程即可．
解：在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，
sin∠BAC＝sin75°=BCAB=BC3≈0.97，
解得BC≈2.9．
答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
5．(2023•株洲）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN=2千米．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．
思路引领：（1）根据坡度的概念求出∠BCN＝45°，根据平角的概念计算即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，进而得到答案．
解：（1）∵山坡②的坡度i＝1：1，
∴CN＝BN，
∴∠BCN＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°；
（2）在Rt△ACM中，∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，AM＝0.6千米，
∴AC＝2AM＝1.2千米，
在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，CN=2千米，
则BC=CNcs∠BCN=2（千米），
∴该登山运动爱好者走过的路程为：1.2+2＝3.2（千米），
答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米．
总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
类型二 俯角仰角问题
6．(2023•凉山州）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．
思路引领：根据锐角三角函数和勾股定理，可以分别求得AD、CD和BC长，然后将它们相加，即可得到压折前该输电铁塔的高度．
解：由已知可得，
BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，
∴∠E＝∠DBA＝30°，
∴AD＝8米，
∴BD=AB2−AD2=162−82=83（米），
∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，
∴∠C＝∠CBD＝45°，
∴CD＝BD＝83米，
∴BC=CD2+BD2=(83)2+(83)2=86（米），
∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+83+86）米，
答：压折前该输电铁塔的高度是（8+83+86）米．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，求出AD、CD和BC长．
7．(2023•陕西）端午假期，小明和小昊与家人到一山庄度假．闲暇时，他们想利用所学数学知识测量所住楼前小河的宽．如图所示，他们先在六层房间窗台点F处，测得河岸点A处的俯角∠1的度数，然后来到四层房间窗台点E处，测得河对岸点B处的俯角∠2的度数（AB与河岸垂直），并且发现∠1与∠2正好互余．其中O，E，F三点在同一直线上，O，A，B三点在同一直线上，OF⊥OA．已知OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，求河宽AB．
思路引领：根据∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，可得∠FAO+∠EBO＝90°，又OF⊥OA，即得∠EBO＝∠AFO，故△EBO∽△AFO，有1516=OB21.6，求出OB＝20.25，从而可得河宽AB为4.25米．
解：∵∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，
∴∠FAO+∠EBO＝90°，
∵OF⊥OA，
∴∠O＝90°，
∴∠FAO+∠AFO＝90°，
∴∠EBO＝∠AFO，
∵∠O＝∠O，
∴△EBO∽△AFO，
∴OEOA=OBOF，
∵OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，
∴1516=OB21.6，
解得OB＝20.25，
∴AB＝OB﹣OA＝20.25﹣16＝4.25（米），
答：河宽AB为4.25米．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣俯角问题，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是读懂题意，证明△EBO∽△AFO．
8．(2023•钢城区）如图，某数学研究小组测量山体AC的高度，在点B处测得山体A的仰角为45°，沿BC方向前行20m至点D处，斜坡DE的坡度为1：2，在观景台E处测得山顶A的仰角为58°，且点E到水平地面BC的垂直距离EF为10m．点B，D，C在一条直线上，AB，AE，AC在同一竖直平面内．
（1）求斜坡DE的水平宽度DF的长；
（2）求山体AC的高度．（结果精确到1m．参考数据sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，2≈1.41）
思路引领：（1）由斜坡DE的坡度EFDF=12，EF＝10即可得出答案；
（2）作EH⊥AC，知四边形EFCH为矩形，设EH＝CF＝xm，在Rt△AEH中，AH＝EH⋅tan58°≈1.60x（m），继而知AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，在Rt△ABC中，根据AC＝BC得1.60x+10＝40+x，解之求出x的值，进一步求解可得答案．
解：（1）∵斜坡DE的坡度EFDF=12，EF＝10m，
∴10DF=12，
∴DF＝20．即斜坡DE的水平宽度DF长为20米．
（2）过点E作EH⊥AC于点H，则四边形EFCH为矩形，
∴HC＝EF＝10m，CF＝EH，
设EH＝CF＝xm，
在Rt△AEH中，AH＝EH•tan∠AEH＝EH•tan58°≈1.60x（m），
∴AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，
在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，
∴AC＝BC，即1.60x+10＝40+x，
解得x＝50，
∴AH＝1.60x＝1.60×50＝80（m），
∴AC＝AH+HC＝80+10＝90（m）．即山体AC的高度为90米．
总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．(2023•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ=34，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.732）
思路引领：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，根据已知可设DE＝3x米，则CE＝4x米，然后利用勾股定理进行计算可求出DE，CE的长，再设BF＝y米，从而可得AB＝（12+y）米，最后在Rt△DBF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而求出AC的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答．
解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DE＝AF，DF＝AE，
在Rt△DEC中，tanθ=DEEC=34，
设DE＝3x米，则CE＝4x米，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴（3x）2+（4x）2＝400，
∴x＝4或x＝﹣4（舍去），
∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，
设BF＝y米，
∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，
在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，
∴DF=BFtan30°=y33=3y（米），
∴AE＝DF=3y米，
∴AC＝AE﹣CE＝（3y﹣16）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴tan60°=ABAC=12+y3y−16=3，
解得：y＝6+83，
经检验：y＝6+83是原方程的根，
∴AB＝BF+AF＝18+83≈31.9（米），
∴建筑物的高度AB约为31.9米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．(2023•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，csα=45．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：3≈1.7）
思路引领：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，在Rt△DCE中，可得CE=CD⋅csα=15×45=12（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．
（2）过点D作DF⊥AB于F，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan30°=AFDF=xDF=33，解得DF=3x，在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（3x﹣12）m，tan60°=ABBC=x+93x−12=3，求出x的值，即可得出答案．
解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∵在Rt△DCE中，csα=45，CD＝15m，
∴CE=CD⋅csα=15×45=12（m）．
∴DE=CD2−CE2=152−122=9（m）．
答：C，D两点的高度差为9m．
（2）过点D作DF⊥AB于F，
由题意可得BF＝DE，DF＝BE，
设AF＝xm，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°=AFDF=xDF=33，
解得DF=3x，
在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（3x﹣12）m，
tan60°=ABBC=x+93x−12=3，
解得x=63+92，
经检验，x=63+92是原方程的解且符合题意，
∴AB=63+92+9≈24（m）．
答：居民楼的高度AB约为24m．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
11．(2023•襄阳）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cs61°≈0.48，tan61°≈1.80）
思路引领：在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，则BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC＝tan61°=CDAD=CD10≈1.80，解得CD≈18，由BC＝BD+CD可得出答案．
解：由题意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°，
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，
∴BD＝AD＝10m，
在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，
tan61°=CDAD=CD10≈1.80，
解得CD≈18，
∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．
∴烈士塔的高度约为28m．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
12．(2023•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：3≈1.7）
思路引领：延长DF交AB于点G，根据题意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后设AG＝xm，在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而求出DG的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：延长DF交AB于点G，
由题意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
设AG＝xm，
在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，
∴FG=AGtan45°=x（m），
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴tan30°=AGDG=xx+8=33，
∴x＝43+4，
经检验：x＝43+4是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．(2023•鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
思路引领：设AC与GE相交于点H，根据题意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，然后设CH＝x米，则AH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，从而求出GH的长，最后再在Rt△AHG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：设AC与GE相交于点H，
由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
设CH＝x米，
∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH•tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°=GHAH=x+812+x≈0.75，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），
∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．(2023•安顺）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
思路引领：（1）过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由勾股定理可求出答案；
（2）设DF＝4a米，则ME＝4a米，BF＝3a米，由于△ACN是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADF中由锐角三角函数可列方程求出DF，进而求出AB．
解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．
在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，
∴CM＝40米，
∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；
（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，
∵∠ACN＝45°，
∴∠CAN＝∠ACN＝45°，
∴AN＝CN＝（40+4a）米，
∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．
在Rt△ADF中，
∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF=AFDF，
∴43=10+4a4a，
∴解得a=152，
∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），
∵BF＝3a=452米，
∴AB＝AF﹣BF＝40−452=352（米）．
答：基站塔AB的高为352米．
总结提升：本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
15．(2023•大连）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．
（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 300 米；
（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
思路引领：（1）根据路程＝速度×时间，进行计算即可解答；
（2）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．
解：（1）由题意得：
5分钟＝300秒，
∴1×300＝300（米），
∴索道车从A处运行到B处的距离约为300米，
故答案为：300；
（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BD=12AB＝150（米），
AD=3BD＝1503（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD•tan37°≈1503×0.75≈194.6（米），
∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣150≈45（米），
∴白塔BC的高度约为45米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
类型三 方向角问题
16．(2023•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
思路引领：（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；
（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．
解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△ADC中，
∴AD=DC×tan∠ACD=1003×tan60°=1003×3=300（米），
答：点D与点A的距离为300米．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB是东西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，
在Rt△ADE中，
∴DE=AE=AD×sin∠ADE=300×sin45°=300×22=1502（米），
在Rt△BDE中，
∴BE=DE×tan∠BDE=1502×tan60°=1502×3=1506（米），
∴AB=AE+BE=(1502+1506)（米），
答：隧道AB的长为(1502+1506)米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
17．(2023•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
思路引领：过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
解：过B作BD⊥AC于D，
由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．(2023•丹东）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．
（参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
思路引领：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据题意得：EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，从而可得∠ADC＝53°，然后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AE的长，最后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答．
解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，
由题意得：
EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，
∴∠GAD＝∠ADC＝53°，
在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，
∴AF＝AB•sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），
∴AE＝AF+EF＝64（海里），
在Rt△ADE中，AD=AEsin53°≈640.8=80（海里），
∴货船与A港口之间的距离约为80海里．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．(2023•辽宁）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192，2≈1.414）
思路引领：过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据题意得：∠BAC＝50°，∠BCA＝45°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，最后进行计算即可解答．
解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
由题意得：
∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，
在Rt△ABD中，AB＝100海里，
∴AD＝AB•cs50°≈100×0.643＝64.3（海里），
BD＝AB•sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），
在Rt△BDC中，CD=BDtan45°=76.6（海里），
∴AC＝AD+CD＝64.3+76.6≈141（海里），
∴此时货轮与A港口的距离约为141海里．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．(2023•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：2≈1.414，3≈1.732）
思路引领：过点C作CD垂直AB，利用特殊角的三角函数值求得CD的长度，从而根据无理数的估算作出判断．
解：安全，理由如下：
过点C作CD垂直AB，
由题意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，
在Rt△CBD中，设CD＝BD＝xkm，则AD＝（x+30）km，
在Rt△ACD中，tan30°=CDAD，
∴CDAD=33，
∴xx+30=33，
解得：x＝153+15≈40.98＞40，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线构建直角三角形，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
类型四 解直角三角形问题
21．(2023•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24）
思路引领：（1）过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．
解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE=AEAB，cs∠ABE=BEAB，
∴AE5=0.60，BE5=0.80，
∴AE＝3m，BE＝4m，
∴CE＝6m，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC=32+62=35≈6.7m．
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD＝AO＝1m，
∴CF＝5m，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF=45−25=25m．
∴OD＝25≈4.5m．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．(2023•青海）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
思路引领：通过作垂线，构造矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质，可求出BE、CE、DF、AF，进而求出AB，利用梯形面积的计算公式进行计算即可．
解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E，
∵AB∥CD，
∴四边形AECF是矩形，
∵∠BCD＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，
∴BE=12BC＝4，CE=32BC＝43，
∵∠ADC＝135°，
∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝AF＝CE＝43，
由于FC＝AE，即43+2＝AB+4，
∴AB＝43−2，
∴S梯形ABCD=12（2+43−2）×43=24，
答：垂尾模型ABCD的面积为24．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造矩形、直角三角形是解决问题的关键．
23．(2023•通辽）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点后一位，3≈1.7）．
思路引领：在Rt△BDE中求出ED，再在Rt△ACM中求出AM，最后根据线段的和差关系进行计算即可．
解：如图，过点C、D分别作BE的平行线交BA的延长线于点M、N，
在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝BE＝14m，
在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，
∴AM=3CM＝143（m），
∴AB＝BM﹣AM
＝CE﹣AM
＝20+14﹣143
≈10.2（m），
答：AB的长约为10.2m．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
24．(2023•张家界）阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：asinA=bsinB．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD＝asinB
在Rt△ACD中，CD＝bsinA
∴asinB＝bsinA
∴asinA=bsinB
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：bsinB=csinC；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）
思路引领：（1）根据题目提供的方法进行证明即可；
（2）根据（1）的结论，直接进行计算即可．
（1）证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，AD＝csinB，
在Rt△ACD中，AD＝bsinC，
∴csinB＝bsinC，
∴bsinB=csinC；
（2）解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，
∴∠C＝60°，
在Rt△ACE中，AE＝AC•sin60°＝80×32=403（m），
又∵ACsinB=BCsin∠BAC，
即800.8=BC0.9，
∴BC＝90m，
∴S△ABC=12×90×403=18003（m2）．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
模块二 2023中考押题预测
25．（2023•庐阳区校级模拟）周末爬大蜀山，是合肥市民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一，如图，某个周末小张同学从大蜀山西坡沿坡角为37°的山坡爬了280米，到达点E处，紧接着沿坡角为45°的山坡又爬了160米，到达山顶A处；请你计算大蜀山的高度．（结果精确到个位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
思路引领：过点A作AD⊥BC于D，过点E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，根据正弦的定义可以分别求出AF和EG的长，然后结合矩形的对边相等即可得到答案．
解：过点A作AD⊥BC于D，过点E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，则四边形EGDF为矩形，
∴EG＝FD，
在Rt△AEF中，sin∠AEF=AFAE，
则AF=AE⋅sin∠AEF=160×22=802≈113.12（米），
在Rt△EBG中，sinB=EGBE，
则EG＝BE⋅sinB≈280×0.6＝168（米），
∴AD＝AF+EG＝113.12+168＝281.12≈281（米），
答：大蜀山的高度约为281米．
总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，将坡度坡角与三角函数的定义结合并熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．
26．（2023•新抚区三模）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD，BE和一段水平平台DE构成，AD＝10米，DE＝7米，BE＝5米．求：天桥高度BC及引桥水平跨度AC．
（参考数据：取sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
思路引领：根据题意得：DF⊥AC，DG⊥BC，DF＝GC，DG＝CF，∠BEG＝37°，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DF，AF的长，再在Rt△BEG中，利用锐角三角函数的定义求出BG和EG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
解：如图：
由题意得：DF⊥AC，DG⊥BC，DF＝GC，DG＝CF，∠BEG＝37°，
在Rt△ADF中，∠DAF＝37°，AD＝10米，
∴DF＝AD•sin37°≈10×0.6＝6（米），
AF＝AD•cs37°≈10×0.8＝8（米），
∴DF＝CG＝6米，
在Rt△BEG中，BE＝5米，
∴BG＝BE•sin37°≈5×0.6＝3（米），
EG＝BE•cs37°≈5×0.8＝4（米），
∴BC＝BG+CG＝3+6＝9（米），
∵DE＝7米，
∴FG＝DG＝DE+EG＝11（米），
∴AG＝AF+FG＝8+11＝19（米），
∴天桥高度BC约为9米，引桥水平跨度AC约为19米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用＝坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
27．（2023•包河区一模）数学测绘社团欲测算平台DB上旗杆的拉绳AC的长．从旗杆AB的顶端A拉直绳子，绳子末端正好与斜坡CD的底部C重合，此时拉绳AC与水平线CN所成的夹角∠ACN＝53°，已知斜坡CD的高DN＝4米，坡比为1：2.5（即DN：CN＝1：2.5），DB＝6米，求拉绳AC的长．（结果保留1位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
思路引领：延长AB交CN于E，则四边形DBEN为矩形，那么NE＝DB＝6米．解Rt△CDN，求出CN＝10米，得出CE＝CN+NE＝16米．解Rt△ACE，即可求出拉绳AC的长．
解：如图，延长AB交CN于E，则四边形DBEN为矩形，
∴NE＝DB＝6米．
∵斜坡CD的高DN＝4米，坡比为1：2.5（即DN：CN＝1：2.5），
∴CN＝10米，
∴CE＝CN+NE＝16米．
在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，CE＝16米，∠ACE＝53°，
∴AC=CEcs∠ACE≈160.6≈26.7（米）．
故拉绳AC的长约为26.7米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．（2023•双桥区模拟）如图，已知山坡AB的坡度为 i1＝1：2.4，b山坡BC的坡度为i2＝1：0.75，山坡CD的坡角∠D＝30°，已知点B到水平面AD的距离为200m，山坡CD的长为2000m．某登山队沿山坡AB﹣BC上山后，再沿山坡CD下山．
（1）求山顶点C到水平面AD的距离；
（2）求山坡AB﹣BC的长．
思路引领：（1）过点C作CF⊥AD，利用直角三角形的边角间关系可得结论；
（2）过点B作BH⊥AD，BE⊥CF，先判断四边形BHFE的形状，再利用坡度求出AH、
解：（1）过点C作CF⊥AD，垂足为F．
在Rt△CDF中，
∵sinD=CFCD，∠D＝30°，CD＝2000m，
∴CF＝sinD•CD=12×2000＝1000（m）．
答：山顶点C到水平面AD的距离为1000m．
（2）过点B作BH⊥AD，BE⊥CF，垂足分别为H、E．
∴四边形BHFE是矩形．
∴BH＝EF＝200m，CE＝CF﹣EF＝800m，
在Rt△ABH中，
∵AB的坡度为 i1＝1：2.4=BHAH，
∴AH＝200×2.4＝480（m）．
∴AB=BH2+AH2=2002+4802=520（m）．
在Rt△BEC中，
∵山坡BC的坡度为i2＝1：0.75=CEBE，
∴BE＝0.75CE＝600（m）．
∴BC=CE2+BE2=8002+6002=1000（m）．
∴山坡AB﹣BC的长为：520+1000＝1520（m）．
答：山坡AB﹣BC的长为1520m．
总结提升：本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理及坡度的相关知识是解决本题的关键．
29．（2023•河东区校级模拟）赤峰桥，中国唯一的斜塔双锁面弯斜拉桥（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设测得拉索AB与水平桥面的夹角是27°，拉索BD与水平桥面的夹角是58°，两拉索底端距离AD＝20米，求立柱BC的高．（结果保留一位小数）（参考数据：tan58°≈1.6，tan27°≈0.5）
思路引领：直接利用锐角三角函数关系得出CD表示出CD的长，进而表示出AC的长，进而得出答案．
解：设立柱BC的高为x米，根据题意可得：
在Rt△BCD中，
∵tan∠BDC=BCCD，
∴CD=BCtan∠BDC=xtan58°≈x1.6=58x（米），
在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC，
∴AC=BCtan∠BAC≈2x（米），
由题意得：2x−58x=20，
解得：x≈14.5．
答：立柱BC的高约为14.5米．
总结提升：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出CD，AC的长是解题关键．
30．（2023•天山区一模）如图杨帆同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A点的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡CF走到点D处，测得大树顶端A点的仰角为30°，D点到地面的距离是5m．若斜坡CP的坡度i＝1：2（点E，C，B在同一水平线上）．求大树AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73，5≈2.24，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）
思路引领：过点D作DG⊥BE于点G，作DH⊥AB于点H，设AB＝xm，用含x的代数式表示出AH、DH，根据tan∠ADH=AHDH列出方程，解方程得到答案．
解：过点D作DG⊥BE于点G，作DH⊥AB于点H，
∵斜坡CF的坡度i＝1：2，D到地面的距离是5m，即DG＝5m，
∴CG＝2DG＝10m，
设大树AB的高为xm，
∵∠ACB＝45°，
∴在Rt△ABC中，
AB＝BC＝xm，DH＝BG＝BC+CG＝（x+10）m，AH＝AB﹣BH＝AB﹣DG＝（x﹣5）m，
在Rt△ADH中，
∠ADH＝30°，
∴tan30°=AHDH，即33=x−5x+10，
解得x=153+252．
经检验：x=153+252是原方程的根且符合题意．x=153+252≈25.5m．
答：大树AB的高度是25.5m．
总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度比问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念、坡度比的概念．
31．（2023•前郭县一模）如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的点P处测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时点P距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67）
思路引领：延长BA交PQ于点D，根据题意可得：∠PDB＝90°，PC＝BD＝75米，然后在Rt△PBD中，利用锐角三角函数的定义求出PD的长，再在Rt△PHA中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
解：延长BA交PQ于点D，
由题意可得：∠PDB＝90°，PC＝BD＝75米，
在Rt△PBD中，∠DPB＝45°，
∴PD=BDtan45°=75（米），
在Rt△PHA中，∠DPA＝34°，
∴AD＝PD•tan34°≈75×0.67＝50.25（米），
∴AB＝BD﹣AD＝75﹣50.25＝24.75≈24.8（米），
答：旗杆AB的高度约为24.8米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线解题的关键．
32．（2023•甘井子区模拟）如图，大连观光塔是大连的旅游景点之一．游客可以从山底乘坐观光电动车到达山顶，观光电动车的速度是2米/秒．小明要测量观光塔的高度，他在山底A处测得观光塔底部B的仰角约为30°，测得观光塔顶部C的仰角约为51°，观光电动车从A处运行到B处所用时间约为170秒．
（1）观光电动车从A处行驶到B处的距离约为 340 米；
（2）请你利用小明测量的数据，求观光塔BC的高度（结果取整数）．（参考数据．sin51°≈0.78，cs51°≈0.63，tan51°≈1.23，3≈1.73）
思路引领：（1）根据路程＝速度×时间，进行计算即可解答；
（2）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．
解：（1）由题意得：
∴2×170＝340（米），
∴索道车从A处运行到B处的距离约为340米，
故答案为：340；
（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BD=12AB＝170（米），
AD=3BD＝1703（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝51°，
∴CD＝AD•tan51°≈1703×1.23≈361.7（米），
∴BC＝CD﹣BD＝361.7﹣170≈192（米），
∴白塔BC的高度约为192米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
33．（2023•鼓楼区一模）为测量建筑物DE的高度，小明从建筑物AB的A处测得E处的仰角为37°，C处的俯角为22°，从C处测得E处的仰角为58°．已知B，C，D在同一直线上，AB高为6.8m．求建筑物DE的高度．
（参考数据：tan37°≈34，tan22°≈25，tan58°≈85）
思路引领：过点A作AF⊥ED，垂足为F，根据题意可得：ED⊥BD，AB＝FD＝6.8m，AF＝BD，AF∥BD，从而可得∠FAC＝∠ACB＝22°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，设CD＝xm，则AF＝BD＝（x+17）m，再在Rt△ECD中，利用锐角三角函数的定义求出ED的长，最后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而根据EF+DF＝ED，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：过点A作AF⊥ED，垂足为F，
由题意得：
ED⊥BD，AB＝FD＝6.8m，AF＝BD，AF∥BD，
∴∠FAC＝∠ACB＝22°，
在Rt△ABC中，BC=ABtan22°≈6.825=17（m），
设CD＝xm，
∴AF＝BD＝BC+CD＝（x+17）m，
在Rt△ECD中，∠ECD＝58°，
∴ED＝CD•tan58°≈85x（m），
在Rt△EAF中，∠EAF＝37°，
∴EF＝AF•tan37°≈34（x+17）m，
∵EF+DF＝ED，
∴34（x+17）+6.8=85x，
解得：x＝23，
∴DE=85x＝36.8（m），
∴建筑物DE的高度约为36.8m．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
34．（2023•市北区一模）如图，某小区车库顶部BC是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB．已知平台斜坡CD的坡度i＝1：1.8，CD＝6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角∠ADE＝45°，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角∠ACB＝63.3°，求灯的顶端A与地面DE的距离．
（参考数据：sin63.3°≈0.89，cs63.3°≈0.45，tan63.3°≈2）
思路引领：过点B作BF⊥DE于点F，过点C作CG⊥DE于点G，由坡度的定义及斜坡CD的坡长为6米，可得DG＝33米，CG＝BF＝3米，设BC＝FG＝x米，则DF＝（x+33）米，在Rt△ABC中，tan63.3°=ABBC=ABx=3，解得AB=3x，则AF＝（3+3x）米，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，可得AF＝DF，即3+3x＝x+33，求出x的值，进而可得答案．
解：过点B作BF⊥DE于点F，过点C作CG⊥DE于点G，
由题意得，BC＝6米，∠ADF＝45°，∠ACB＝60，CG＝BF，BC＝FG，
∵斜坡CD的坡度i＝1：1.8，
∴CGDG=11.8，
即DG＝1.8CG，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：
CG2+（1.8CG）2＝62，
解得CG＝3，
∴DG＝33米，BF＝3米，
设BC＝FG＝x米，则DF＝（x+33）米，
在Rt△ABC中，tan60°=ABBC=ABx=3，
解得AB=3x，
∴AF＝（3+3x）米，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴AF＝DF，
即3+3x＝x+33，
解得x＝3，
∴AF＝（3+33）米．
∴灯的顶端A与地面DE的距离为（3+33）米．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
35．（2023•长沙模拟）某海域有A，B两个航标，B航标在A航标北偏西30°方向上，距A航标12海里，有一艘巡航船从A航标出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B航标南偏东75°方向的C航标处．
（1）填空：∠ABC＝ 45 °，∠BCA＝ 60 °；
（2）求该船与B航标之间的距离，即CB的长（结果保留根号）．
思路引领：（1）由平行线的性质以及方向角的定义得出∠FBA＝∠EAB＝30°，∠FBC＝75°，那么∠ABC＝45°，又根据方向角的定义得出∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝75°，利用三角形内角和定理求出∠ACB＝60°；
（2）作AD⊥BC交BC于点D，解Rt△ABD，得出BD＝AD，解Rt△ACD，得出CD，进而得出BC＝BD+CD．
解：（1）如图，∵∠EAB＝30°，AE∥BF，
∴∠FBA＝∠EAB＝30°，
又∵∠FBC＝75°，
∴∠ABC＝∠FBC﹣∠FBA＝45°，
又∵∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝30°+45°＝75°，
∴∠ACB＝180°﹣45°﹣75°＝60°；
故答案为：45，60；
（2）如图，作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝12海里，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝12×22=62（海里），
在Rt△ACD中，∠C＝60°，AD＝62海里，
∴CD＝AD•tan30°＝62×33=26（海里），
∴BC＝BD+CD＝（62+26）（海里）．
答：BC的长为（62+26）海里．
总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，构造直角三角形，利用三角函数求出线段BD与CD的长度是解题的关键．
36．（2023•城阳区一模）小明参观海军博物馆的军舰时，想测量一下军舰AB的长度．军舰AB停放位置平行于岸边主于道CD，军舰AB距离岸边主干道CD的距离是120米，由于军舰停放的位置正对的岸边是另一片展区，无法穿越，他想到借助于所学三角函数知识来测量计算，他沿平行于岸边的主干道CD从点C处走200米到点D处，在点C处测得军舰头部点A位于南偏东22°，在点D处测得军舰尾部点B位于南偏东30°．求军舰AB的长度（结果保留1位小数）．（sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，3≈1.73）
思路引领：过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，根据矩形的性质得到AE＝BF＝120米，EF＝AB，解直角三角形即可得到结论．
解：过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，
则四边形ABFE是矩形，
∴AE＝BF＝120米，EF＝AB，
在Rt△DFB中，∵∠F＝90°，BF＝120米，
∴DF=BFtan30°=12033=1203≈208（米），
在Rt△ACE中，CE=AEtan22°≈1200.4=300（米），
∵CD＝200米，
∴DE＝CE﹣CD＝100（米），
∴AB＝EF＝208﹣100＝108（米），
答：军舰AB的长度为108米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
37．（2023•西青区一模）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔368海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东45°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）．参考数据：tan40°≈0.84，2取1.41．
思路引领：通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可．
解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
由题意得，∠BAC＝45°，∠BCA＝40°，AC＝368海里，
在Rt△ABH中，
∵tan∠BAH=BHAH，cs∠BAH=AHAB，
∴BH＝AH•tan45°＝AH，AB=AHCOS45°=AH22=2AH，
在Rt△BCH中，
∵tan∠BCH=BHCH，
∴CH=BHtan40°=AHtan40°（海里），
又∵CA＝CH+AH，
∴368=AH0.84+AH，
所以AH=368×tan40°tan40°+1（海里），
∴AB=2×368×+1≈2×368×（海里），
答：AB的长约为336海里．
总结提升：本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
38．（2023•来安县一模）如图，线段MN是南北方向的一段码头，点M和点N分别是码头的两端，MN＝23海里，某一时刻在点M处测得货船B位于其北偏东75°的方向上，同时测得灯塔A位于其南偏东30°方向上，在点N处测得灯塔A位于其北偏东75°方向上，已知货船B位于灯塔A北偏东30°方向上，求此时货船B距灯塔A的距离AB的长（最终结果精确到0.1海里，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）．
思路引领：先说明△AMN是等腰三角形即MA=MN=23（海里），再根据三角形内角和可得∠AMB＝75°；由AQ∥MN可得∠MAQ＝30°得∠ABM＝180°﹣∠AMB﹣∠BAM＝45°；过点M作MC⊥AB于点C，再在Rt△ACM中解直角三角形可得AC=3、MC＝3，最后在Rt△BCM中解直角三角形可得BC＝MC＝3，最后根据AB＝AC+BC即可解答．
解：在△AMN中，∠MAN＝180°﹣∠AMN﹣∠ANM＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠MAN＝∠MNA，
∴MA=MN=23（海里）．
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣75°﹣30°＝75°．
∵AQ∥MN，
∴∠MAQ＝30°，
∴∠BAM＝30°+30°＝60°，
∴∠ABM＝180°﹣∠AMB﹣∠BAM＝45°．
过点M作MC⊥AB于点C，
在Rt△ACM中，∠AMC＝90°﹣∠CAM＝30°，
∴AC=12AM=3海里，
∴MC=tan∠CAM×AC=tan60°×3海里＝3海里，
在Rt△BCM中，∠CBM＝45°，则BC＝MC＝3海里．
∴AB=AC+BC=3+3≈4.7（海里）．
答：此时货船B距灯塔A的距离约为4.7海里．
总结提升：本题主要考查了解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
39．（2023•历城区一模）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B，游轮以202海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上．
（1）求C到直线AB的距离；
（2）求游轮继续向正东方向航行过程中与灯塔B的最小距离是多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
思路引领：（1）作辅助线，构建直角三角形，证明△ACM是等腰直角三角形，可得CM的长，从而得结论；
（2）由题意得到∠DCB＝15°，则∠ACB＝105°，求得∠CBE＝30°，解直角三角形即可得到结论．
解：（1）如图，由题意可得，∠CAB＝45°，
过点C作CE⊥AB于点E，
在△ABC中，∠BAC＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
由题意得：AC＝2×202=402，
∴CE=22AC＝40，
即点C到线段AB的距离为40海里；
（2）由题意可得，∠DCB＝15°，则∠ACB＝105°，
∵∠ACE＝45°，
∴∠CBE＝30°，
在Rt△BEC中，AE＝CE＝40，
∴BE=3CE＝403，
∴AB＝AE+BE＝40+403，
作BF⊥AC于点F，则∠AFB＝90°，
在Rt△BEC中，cs∠BAC=BFAB=22，
∴BF＝202+206≈77，
答：与灯塔B的最小距离是77海里．
总结提升：此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，三角形内角和定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
40．（2023•靖江市模拟）某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD的长度为60cm，B，C是转动点，且AB、BC与CD始终在同一平面内．
（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）．
（2）物品在操作台l上，距离底座A端122cm的点M处，转动连杆BC，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
思路引领：（1）过点C作CF⊥AE于F，过点B作BH⊥CF于点H，根据矩形的性质可知AB＝HF，CF＝DE，然后根据锐角三角函数的定义可求出BH的值，最后根据CF＝CH+HF即可求出答案．
（2）根据勾股定理可求出BM的长度，然后比较BC+CD与BM的长度即可求出答案．
解：（1）过点C作CF⊥AE于F，过点B作BH⊥CF于点H，
∵CD∥l，
∴四边形CDEF与四边形BHFA是矩形，
∴AB＝HF＝50（cm），CF＝DE，
∵∠ABC＝143°，
∴∠CBH＝53°，
在Rt△CBH中，cs∠CBH=BHBC，
∴BH≈70×0.6≈42（cm），
∴CF＝DE＝CH+HF≈92（cm）
答：手臂端点D离操作台l的高度DE的长为92cm．
（2）连接BM，
在Rt△BMA中，AB＝50（cm），AM＝122（cm），
由勾股定理可知：BM=502+1222≈131.84，
∵BC+CD＝70+60＝130cm，
∴BC+CD＜BM，
答：故手臂端点D不能碰到点M．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及勾股定理，本题属于中等题型．
41．（2023•许昌一模）许昌市中央公园是目前国内最大的开放式城市中心公园，是市民们游玩的好去处，公园内有许多供游客休息用的凉亭．某数学兴趣小组测量凉亭最高点到地面的距离，如图，点D，A、E在同一水平线上，测得∠DAC＝80°，∠BCA＝110°，AC＝2米．BC＝2.2米．求凉亭最高点到地面的距离BN的长．（sin80°≈0.985，cs80°≈0.174，tan80°≈5.671，3≈1.732，结果精确到0.01米）
思路引领：过点C作CF⊥BN与点F，过点C作CG⊥DE于点G，则四边形CGNF为矩形，以此得到CF∥GN，CG＝FN，根据平行线的性质可得∠DAC＝∠ACF＝80°，进而得∠BCF＝30°，则BF＝BC•sin∠BCF，CG＝AC•sin∠GAC，以此即可求解．
解：如图，过点C作CF⊥BN于点F，过点C作CG⊥DE于点G，
则四边形CGNF为矩形，
∴CF∥GN，CG＝FN，
∴∠DAC＝∠ACF＝80°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝30°，
在Rt△BCF中，BF＝BC•sin∠BCF＝2.2×12=1.1（米），
在Rt△ACG中，CG＝AC•sin∠GAC＝2×0.985≈1.97（米），
∴FN＝CG≈1.97米，
∴BN＝BF+FN＝1.1+1.97≈3.07（米）．
∴凉亭最高点到地面的距离BN的长为3.07米．
总结提升：本题主要考查解直角三角形的应用，结合题目意思，构造合适的直角三角形解决问题是解题关键．
42．（2023•成都模拟）如图，小茗家车库的宽AB长为3米，小茗妈妈将一辆宽为1.8米（即MN＝1.8米）的汽车正直停入车库，此时MN∥AB，车门CD长为1.2米，当左侧车门CD接触到墙壁时，车门与车身的夹角∠CDE为45°，此时FG为右侧车门开至最大的宽度（也是物体进出的最大宽度），小茗妈妈能否将车内一个边长为40厘米的正方体包裹从右侧车门取出？（结果精确到0.01米；参考数据：2≈1.414）
思路引领：过点C作CO⊥DE于点O，根据锐角三家函数可得OC的长，从而得到FG的长，即可求解．
解：如图所示，过点C作CO⊥DE于点O，
∵∠CDE＝45°，CD＝1.2米，
∴CO=CDsin∠CDE=CD×sin45°=325米，
∵AB＝MN+CO+FG，
∴FG=3−1.8−325=(65−325)米，
∴FG≈1.2﹣0.8484＝0.3516米＝35.16厘米，
∵35.16＜40，
∴小茗妈妈不能把包裹从右侧车门取出．
总结提升：本题主要考查了解直角三角形，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
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