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中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题47解答题最常考题型数式计算及解方程(组)和不等式(组)(原卷版+解析)
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这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题47解答题最常考题型数式计算及解方程(组)和不等式(组)(原卷版+解析)，共48页。试卷主要包含了2022中考真题集训，解方程等内容，欢迎下载使用。
类型一 数式计算
1．(2023•无锡）计算：
（1）|﹣5|+（﹣2）﹣1+tan45°； （2）m−6m2−4−12−m．
2．(2023•德州）（1）化简：（m+2−5m−2）•m−2m−3； （2）解方程组：4x−y=32x−5y=−3．
3．(2023•淮安）（1）计算：|﹣5|+（3−2）0﹣2tan45°； （2）化简：aa2−9÷（1+3a−3）．
4．(2023•巴中）解答题
（1）计算：12−4cs30°+（3.14﹣π）0+|1−2|． （2）先化简，再求值x−2x−1÷（x+1−3x−1），其中x=5−4．
5．(2023•徐州）计算：
（1）（﹣1）2022+|3−3|﹣（13）﹣1+9； （2）（1+2x）÷x2+4x+4x2．
6．(2023•镇江）（1）计算：（12）﹣1﹣tan45°+|2−1|； （2）化简：（1−1a）÷（a−1a）．
7．(2023•东营）（1）计算：（3+2）（3−2）+48÷3−（−3）0+（﹣2sin30°）2022；
（2）先化简，再求值：（1x−y−1x+y）÷2yx2+2xy+y2，其中x＝3，y＝2．
8．(2023•黄石）先化简，再求值：（1+2a+1）÷a2+6a+9a+1，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．
9．(2023•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
（xx2−4−1x+2）÷2x−2
＝（xx2−4−x−2x2−4）•x−22⋯第一步
=x−x−2x2−4⋅x−22⋯第二步
=−2(x+2)(x−2)⋅x−22⋯第三步
=−1x+2⋯第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第 步是通分，通分的依据是 ．
②第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
10．(2023•襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a=3−2，b=3+2．
11．(2023•衢州）（1）因式分解：a2﹣1． （2）化简：a−1a2−1+1a+1．
12．(2023•朝阳）先化简，再求值：x2−4x2−4x+4÷x+3x2−2x+xx+3，其中x＝（12）﹣2．
13．(2023•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1−3|−12．
（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x=12．
14．(2023•六盘水）计算：
（1）32+（13）0+（13）﹣1； （2）若（a+1）2+|b﹣2|+c+3=0，求a（b+c）的值．
15．(2023•南通）（1）计算：2aa2−4⋅a−2a+aa+2； （2）解不等式组：2x−1＞x+14x−1≥x+8．
16．(2023•锦州）先化简，再求值：(2x+1+1x−2)÷x−1x−2，其中x=3−1．
17．(2023•枣庄）先化简，再求值：（xx−2−1）÷x2−4x2−4x+4，其中x＝﹣4．
18．(2023•鄂尔多斯）（1）解不等式组x−3(x−2)＞4①2x−13≥3x+26−1②，并写出该不等式组的最小整数解．
（2）先化简，再求值：（a2−9a2−6a+9+1）÷a22a−6，其中a＝4sin30°﹣（π﹣3）0．
19．(2023•日照）（1）先化简再求值：（m+2−5m−2）×m2−3m+2m+3，其中m＝4．
（2）解不等式组x+1＜2x−12x−53≤1．并将解集表示在所给的数轴上．
20．(2023•荆门）已知x+1x=3，求下列各式的值：
（1）（x−1x）2； （2）x4+1x4．
类型二 解方程（组）或不等式（组）
21．(2023•无锡）（1）解方程：x2+6x﹣1＝0； （2）解不等式组：6x−5≤72x+1＞3x−12．
22．(2023•陕西）求不等式x2−1＜x+14的正整数解．
23．(2023•淮安）解不等式组：2(x−1)≥−43x−62＜x−1并写出它的正整数解．
24．(2023•淄博）解方程组：x−2y=312x+34y=134．
25．(2023•徐州）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0； （2）解不等式组：2x−1≥11+x3＜x−1．
26．(2023•镇江）（1）解方程：2x−2=1+xx−2+1； （2）解不等式组：x−1＜2x2(x−3)≤3−x．
27．(2023•黄石）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 ；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：1m4+1m2=7，n2﹣n＝7且n＞0，求1m4+n2的值．
28．(2023•宁夏）解不等式组：4(x−2)≤x−53x+12＞x．
29．(2023•菏泽）解不等式组3(x−1)≤2x−2①x+33+1＞x+22②，并将其解集在数轴上表示出来．
30．(2023•枣庄）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③43x+3≥1−23x．
31．(2023•荆门）已知关于x的不等式组x+1+2a＞0x−3−2a＜0（a＞﹣1）．
（1）当a=12时，解此不等式组；
（2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．
32．(2023•湘西州）解不等式组：3x≤6+x①x−1≤3(x+1)②．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ．
（Ⅱ）解不等式②，得 ．
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）所以原不等式组的解集为 ．
33．(2023•通辽）先化简，再求值：（a−4a）÷a−2a2，请从不等式组a+1＞04a−53≤1的整数解中选择一个合适的数求值．
模块二 2023中考押题预测
34．（2023•永定区一模）先化简，再求值：x−3x2−1÷x−3x2+2x+1−(1x−1+1)，其中x从﹣1，0，1，2，3中选取一个合适的数．
35．（2023•松江区二模）计算：π0−1812+（2−3）﹣1+|32−1|．
36．（2023•息县模拟）（1）计算：（625）0﹣2﹣2+364； （2）化简：5x2−x÷(x+11−x2−1)．
37．（2023•西城区一模）已知a是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，求代数式（a+1）2+a（a+2）的值．
38．（2023•呼和浩特一模）计算求解：
（1）计算：6×22−6tan30°+(−12)−2−|1−3|；
（2）先化简，再求值：x−3x−2÷(x+2−5x−2)，其中x=2−3．
39．（2023•天门校级模拟）（1）计算：8sin260°+tan45°﹣4cs30°；
（2）先化简：(x−1x−2−x+2x)÷4−xx2−4x+4，然后选择一个合适的x值代入求值．
40．（2023•铜山区一模）（1）先化简，再求值：(1a−1+1)÷aa2−1，其中a＝﹣2；
（2）解不等式组：x−x−12≤15x≥3(x−1)．
41．（2023•罗湖区模拟）计算：12+2sin60°−|1−3|−(2023−π)0．
42．（2023•浚县三模）（1）计算：(12)−2+(2023−121)0−|−5|−2cs45°．
（2）化简：a2−4a÷(a−4a−4a)−2a−2．
43．（2023•海淀区一模）已知2x2+x﹣1＝0，求代数式（2x+1）2﹣2（x﹣3）的值．
44．（2023•徐州模拟）计算：
（1）20130+8−(12)−1+|2−2|； （2）(1+2x+1)÷x2−9x2+2x+1．
45．（2023•海安市一模）（1）解方程组3x−2y=5x+4y=4； （2）计算：xx−3−x+3x−3⋅x2+3xx2+6x+9．
46．（2023•张家口二模）已知实数x，y满足y2＝20﹣x．
（1）当y＞1时，求x的取值范围；
（2）①当x＝16时，求y的值；
②若x的取值范围如图所示，求非正数y的取值范围．
47．（2023•永定区一模）计算：−12022+|3−2|+tan60°+(π−3.14)0+(12)−2．
48．（2023•徐州模拟）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0； （2）解不等式组：3x−1≥51+2x3＞x−1．
49．（2023•庐阳区校级模拟）解不等式组：5x+6≤2(x−3)x3−1＜x−44．
50．（2023•南明区校级模拟）（1）如图，有理数a、b、c在数轴上的位置大致如图，比较大小：b c，a+c 0；
（2）请在下列不等式中任意选择两个组成不等式组，解不等式组并将解集表示在数轴上．
①4（x+3）＜x﹣6；
②3x﹣2＞1；
③x+1＜3．
51．（2023•临安区一模）解分式方程：xx−2+42−x=3
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括号，得：x+4＝3x﹣6．
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣10．
两边同时除以﹣2，得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
52．（2023•武汉模拟）解不等式组2x≤3−xx−4≥4x+2，请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ．
53．（2023•达州一模）（1）计算：（1−3）0+|−2|﹣2cs45°+（14）﹣1．
（2）已知方程m2x2+（2m+1）x+1＝0有实数根，求m的取值范围．
54．（2023•章丘区一模）解不等式组：4(x−1)＞2x+32x−23≤4，并写出它的所有整数解．
55．（2023•南湖区校级一模）（1）解方程：xx−1+21−x=3； （2）解不等式组：x−1＜4x+25−2x＜15−4x．
56．（2023•邗江区一模）解不等式组：4x≤2(x+1)2+x＞x2，并求出不等式组所有非正整数解的和．
57．（2023•韩城市一模）求不等式3x−13−x+12≤1的正整数解．
58．（2023•京口区模拟）（1）解不等式组：x+2≥03x−12＜2x+1；（2）解方程：2x−5x−2+3=3x−3x−2．
59．（2023•茅箭区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22−x1x2=19，求m的值．
60．（2023•青海一模）提出问题：
为解方程（x2﹣2）2﹣11（x2﹣2）+18＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后可设x2﹣2＝y，则（x2﹣2）2＝y2，于是原方程可转化为y2﹣11y+18＝0，解此方程，得y1＝2，y2＝9．
当y1＝2时，x2﹣2＝2，x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝9时，x2﹣2＝9，x2＝11，∴x=±11．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，x3=−11，x4=11．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
（1）运用上述换元法解方程x4﹣3x2﹣4＝0．
延伸拓展：
（2）已知实数m，n满足（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，求4m+12n﹣3的值．
专题47 解答题最常考题型数式计算及解方程和不等式（解析版）
模块一 2022中考真题集训
类型一 数式计算
1．(2023•无锡）计算：
（1）|﹣5|+（﹣2）﹣1+tan45°；
（2）m−6m2−4−12−m．
思路引领：（1）先算负整数指数幂，去绝对值，把特殊角三角函数值代入，再算加减即可；
（2）先通分，根据同分母分式相加的法则计算，再约分即可．
解：（1）原式=5−12+1
=112；
（2）原式=m−6(m+2)(m−2)+m+2(m+2)(m−2)
=2m−4(m+2)(m−2)
=2m+2．
总结提升：本题考查实数运算和分数化简，解题的关键是掌握实数，分式的相关的运算法则．
2．(2023•德州）（1）化简：（m+2−5m−2）•m−2m−3；
（2）解方程组：4x−y=32x−5y=−3．
思路引领：（1）先通分，把能分解的因式进行分解，再进行约分即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
解：（1）（m+2−5m−2）•m−2m−3
=m2−4−5m−2⋅m−2m−3
=(m−3)(m+3)m−2⋅m−2m−3
＝m+3；
（2）4x−y=3①2x−5y=−3②，
②×2得：4x﹣10y＝﹣6③，
①﹣③得：9y＝9，
解得y＝1，
把y＝1代入①得：4x﹣1＝3，
解得x＝1，
故原方程组的解是：x=1y=1．
总结提升：本题主要考查分式的混合运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握．
3．(2023•淮安）（1）计算：|﹣5|+（3−2）0﹣2tan45°；
（2）化简：aa2−9÷（1+3a−3）．
思路引领：（1）先计算零次幂、代入特殊角的函数值，再化简绝对值，最后算加法；
（2）先通分计算括号里面的，再把除法转化为乘法．
解：（1）原式＝5+1﹣2×1
＝5+1﹣2
＝4；
（2）原式=a(a+3)(a−3)÷aa−3
=a(a+3)(a−3)×a−3a
=1a+3．
总结提升：本题考查了实数和分式的运算，掌握零次幂、绝对值的意义及分式的运算法则是解决本题的关键．
4．(2023•巴中）解答题
（1）计算：12−4cs30°+（3.14﹣π）0+|1−2|．
（2）先化简，再求值x−2x−1÷（x+1−3x−1），其中x=5−4．
（3）求不等式组2x−x+32≤0①5x+1＞3(x−1)②的整数解．
思路引领：（1）先求特殊角的三角函数值，零指数幂，去绝对值，再加减运算即可；
（2）先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将x的值代入化简后的式子计算即可；
（3）分别解不等式①，②，再按“大小小大取中间”求得不等式组解集．
解：（1）12−4cs30°+（3.14﹣π）0+|1−2|
＝23−4×32+1+2−1
＝23−23+1+2−1
=2．
（2）x−2x−1÷（x+1−3x−1）
=x−2x−1÷(x+1)(x−1)−3x−1
=x−2x−1•x−1x2−4
=x−2(x+2)(x−2)
=1x+2，
当x=5−4时，原式=15−4+2=5+2．
（3）2x−x+32≤0①5x+1＞3(x−1)②，
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集是﹣2＜x≤1，
∴该不等式组的整数解是﹣1，0，1．
总结提升：本题考查了实数的混合运算，锐角三角函数，零指数幂，二次根式的性质和运算，分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握相应的运算法则是解题关键．
5．(2023•徐州）计算：
（1）（﹣1）2022+|3−3|﹣（13）﹣1+9；
（2）（1+2x）÷x2+4x+4x2．
思路引领：（1）根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂可以解答本题；
（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
解：（1）（﹣1）2022+|3−3|﹣（13）﹣1+9
＝1+3−3−3+3
＝4−3；
（2）（1+2x）÷x2+4x+4x2
=x+2x•x2(x+2)2
=xx+2．
总结提升：本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．(2023•镇江）（1）计算：（12）﹣1﹣tan45°+|2−1|；
（2）化简：（1−1a）÷（a−1a）．
思路引领：（1）利用负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则计算即可；
（2）利用分式的混合运算来做即可．
解：（1）原式＝2﹣1+2−1
=2；
（2）原式＝（aa−1a）÷（a2a−1a）
=a−1a×aa2−1
=a−1(a−1)(a+1)
=1a+1．
总结提升：本题考查了实数的运算和分式的混合运算，做题关键要掌握负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则、通分、约分．
7．(2023•东营）（1）计算：（3+2）（3−2）+48÷3−（−3）0+（﹣2sin30°）2022；
（2）先化简，再求值：（1x−y−1x+y）÷2yx2+2xy+y2，其中x＝3，y＝2．
思路引领：（1）根据平方差公式、零指数幂、二次根式的除法法则计算；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
解：（1）原式＝（3）2﹣22+48÷3−1+（﹣2×12）2022
＝3﹣4+4﹣1+1
＝3；
（2）原式＝[x+y(x+y)(x−y)−x−y(x+y)(x−y)]•(x+y)22y
=2y(x+y)(x−y)•(x+y)22y
=x+yx−y，
当x＝3，y＝2时，原式=3+23−2=5．
总结提升：本题考查的是实数的混合运算、分式的化简求值，掌握平方差公式、零指数幂、二次根式的除法法则、分式的混合运算法则是解题的关键．
8．(2023•黄石）先化简，再求值：（1+2a+1）÷a2+6a+9a+1，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．
思路引领：根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
解：原式=a+3a+1÷(a+3)2a+1
=a+3a+1•a+1(a+3)2
=1a+3，
由分式有意义的条件可知：a不能取﹣1，﹣3，
故a＝2，
原式=12+3
=15．
总结提升：本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
9．(2023•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
（xx2−4−1x+2）÷2x−2
＝（xx2−4−x−2x2−4）•x−22⋯第一步
=x−x−2x2−4⋅x−22⋯第二步
=−2(x+2)(x−2)⋅x−22⋯第三步
=−1x+2⋯第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第 一 步是通分，通分的依据是 分式的性质 ．
②第 二 步开始出现错误，错误的原因是 去括号没有变号 ．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
思路引领：任务一：①根据分式的基本性质分析即可；
②利用去括号法则得出答案；
任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．
解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．
故答案为：①一，分式的性质．
②二，去括号没有变号．
任务二：
（xx2−4−1x+2）÷2x−2
＝（xx2−4−x−2x2−4）•x−22
=x−x+2x2−4•x−22
=2(x+2)(x−2)•x−22
=1x+2．
总结提升：本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
10．(2023•襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a=3−2，b=3+2．
思路引领：直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2+2ab﹣2a2
＝6ab，
∵a=3−2，b=3+2，
∴原式＝6ab
＝6×（3−2）（3+2）
＝6．
总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
11．(2023•衢州）（1）因式分解：a2﹣1．
（2）化简：a−1a2−1+1a+1．
思路引领：（1）应用因式分解﹣运用公式法，平方差公式进行计算即可得出答案；
（2）运算异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进行计算即可得出答案．
解 （1）a2﹣1＝（a﹣1）（a+1）；
（2）a−1a2−1+1a+1=1a+1+1a+1=2a+1．
总结提升：本题主要考查了分式的加减法及因式分解﹣运用公式法，熟练掌握分式的加减法及因式分解﹣运用公式法的方法进行求解是解决本题的关键．
12．(2023•朝阳）先化简，再求值：x2−4x2−4x+4÷x+3x2−2x+xx+3，其中x＝（12）﹣2．
思路引领：把除化为乘，再算同分母的分式相加，化简后求出x的值，代入即可．
解：原式=(x+2)(x−2)(x−2)2•x(x−2)x+3+xx+3
=x2+2xx+3+xx+3
=x2+3xx+3
=x(x+3)x+3
＝x，
∵x＝（12）﹣2＝4，
∴原式＝4．
总结提升：本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
13．(2023•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1−3|−12．
（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x=12．
思路引领：（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1−3|−12
＝1+1+2×32+3−1﹣23
＝2+3+3−1﹣23
＝1；
（2）（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1）
＝x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x
＝4x，
当x=12时，原式＝4×12=2．
总结提升：本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．(2023•六盘水）计算：
（1）32+（13）0+（13）﹣1；
（2）若（a+1）2+|b﹣2|+c+3=0，求a（b+c）的值．
思路引领：（1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
（2）利用非负数的性质求出a，b，c的值，代入原式计算即可求出值．
解：（1）原式＝9+1+3
＝13；
（2）∵（a+1）2+|b﹣2|+c+3=0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，c+3＝0，
解得：a＝﹣1，b＝2，c＝﹣3，
则原式＝﹣1×（2﹣3）＝1．
总结提升：此题考查了实数的运算，非负数的性质，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．(2023•南通）（1）计算：2aa2−4⋅a−2a+aa+2；
（2）解不等式组：2x−1＞x+14x−1≥x+8．
思路引领：（1）利用分式的混合运算法则运算即可；
（2）分别求得不等式组中两个不等式的解集，取它们的公共部分即可得出结论．
解：（1）原式=2a(a+2)(a−2)⋅a−2a+aa+2
=2a+2+aa+2
=a+2a+2
＝1；
（2）不等式2x﹣1＞x+1的解集为：x＞2，
不等式4x﹣1≥x+8的解集为：x≥3，
它们的解集在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为：x≥3．
总结提升：本题主要考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
16．(2023•锦州）先化简，再求值：(2x+1+1x−2)÷x−1x−2，其中x=3−1．
思路引领：先对分式进行化简，然后再代入求解即可．
解：原式=[2x−4(x+1)(x−2)+x+1(x+1)(x−2)]÷x−1x−2
=3x−3(x+1)(x−2)÷x−1x−2
=3(x−1)(x+1)(x−2)×x−2x−1
=3x+1，
当x=3−1时，
原式=33−1+1=3．
总结提升：本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是解题的关键．
17．(2023•枣庄）先化简，再求值：（xx−2−1）÷x2−4x2−4x+4，其中x＝﹣4．
思路引领：根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
解：原式=x−(x−2)x−2•(x−2)2(x+2)(x−2)
=2x−2•x−2x+2
=2x+2，
当x＝﹣4时，
原式=2−4+2
＝﹣1．
总结提升：本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
18．(2023•鄂尔多斯）（1）解不等式组x−3(x−2)＞4①2x−13≥3x+26−1②，并写出该不等式组的最小整数解．
（2）先化简，再求值：（a2−9a2−6a+9+1）÷a22a−6，其中a＝4sin30°﹣（π﹣3）0．
思路引领：（1）根据不等式组的解法求出x的范围，然后根据x的范围即可求出该不等式组的最小整数解．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
解：（1）由①得：x＜1，
由②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
∴该不等式组的最小整数解为x＝﹣2．
（2）原式＝[(a−3)(a+3)(a−3)2+1]•2(a−3)a2
＝（a+3a−3+a−3a−3）•2(a−3)a2
=2aa−3•2(a−3)a2
=4a，
当a＝4sin30°﹣（π﹣3）0＝4×12−1＝2﹣1＝1时，
原式＝4．
总结提升：本题考查不等式组的解法、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
19．(2023•日照）（1）先化简再求值：（m+2−5m−2）×m2−3m+2m+3，其中m＝4．
（2）解不等式组x+1＜2x−12x−53≤1．并将解集表示在所给的数轴上．
思路引领：（1）直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案；
（2）直接解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．
解：（1）原式=(m+2)(m−2)−5m−2×(m−1)(m−2)m+3
=(m−3)(m+3)m−2×(m−1)(m−2)m+3
＝（m﹣3）（m﹣1）
＝m2﹣4m+3，
当m＝4时，
原式＝42﹣4×4+3
＝3；
（2）x+1＜2x−1①2x−53≤1②，
解①得：x＞2，
解②得：x≤4，
故不等式组的解集是：2＜x≤4，
解集在数轴上表示：
．
总结提升：此题主要考查了分式的化简求值以及解一元一次不等式组，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．(2023•荆门）已知x+1x=3，求下列各式的值：
（1）（x−1x）2；
（2）x4+1x4．
思路引领：（1）利用完全平方公式的特征得到：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，用上述关系式解答即可；
（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．
解：（1）∵(x+1x)2=x2+2⋅x⋅1x+1x2，
∴(x−1x)2=x2−2⋅x⋅1x+1x2
=x2+2x⋅1x+1x2−4x⋅1x
=(x+1x)2−4x•1x
＝32﹣4
＝5；
（2）∵(x−1x)2=x2−2+1x2，
∴x2+1x2
=(x−1x)2+2
＝5+2
＝7，
∵(x2+1x2)2=x4+2+1x4，
∴x4+1x4
=(x2+1x2)2−2
＝49﹣2
＝47．
总结提升：本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式的特征将所求的式子进行适当变形是解题的关键．
类型二 解方程（组）或不等式（组）
21．(2023•无锡）（1）解方程：x2+6x﹣1＝0；
（2）解不等式组：6x−5≤72x+1＞3x−12．
思路引领：（1）用配方法解方程即可；
（2）求出每个不等式的解集，再找公共解集即可．
解：（1）∵x2+6x﹣1＝0，
∴（x+3）2＝10，
∴x+3=10或x+3=−10，
∴x1=10−3，x2=−10−3；
（2）解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
总结提升：本题考查解一元二次方程和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握配方法和求公共解集的方法．
22．(2023•陕西）求不等式x2−1＜x+14的正整数解．
思路引领：解不等式求出x的范围，再取符合条件的正整数即可．
解：两边同时乘以4得：2x﹣4＜x+1，
移项得：2x﹣x＜1+4，
合并同类项得：x＜5，
∴不等式的正整数解有：4，3，2，1．
总结提升：本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．
23．(2023•淮安）解不等式组：2(x−1)≥−43x−62＜x−1并写出它的正整数解．
思路引领：解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
解：解不等式2（x﹣1）≥﹣4得x≥﹣1．
解不等式3x−62＜x﹣1得x＜4，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜4．
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
总结提升：本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．
24．(2023•淄博）解方程组：x−2y=312x+34y=134．
思路引领：利用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组即可．
解：整理方程组得x−2y=3①2x+3y=13②，
①×2﹣②得﹣7y＝﹣7，
y＝1，
把y＝1代入①得x﹣2＝3，
解得x＝5，
∴方程组的解为x=5y=1．
总结提升：本题考查了解二元一次方程组，做题关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．
25．(2023•徐州）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
（2）解不等式组：2x−1≥11+x3＜x−1．
思路引领：（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
解：（1）方程移项得：x2﹣2x＝1，
配方得：x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝±2，
解得：x1＝1+2，x2＝1−2；
（2）2x−1≥1①1+x3＜x−1②，
由①得：x≥1，
由②得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞2．
总结提升：此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握不等式组的解法及方程的解法是解本题的关键．
26．(2023•镇江）（1）解方程：2x−2=1+xx−2+1；
（2）解不等式组：x−1＜2x2(x−3)≤3−x．
思路引领：（1）方程两边同时乘以（x﹣2），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解；
（2）根据解不等式组的一般步骤，进行解答，即可得出答案．
解：（1）去分母得：2＝1+x+x﹣2，
解得：x=32，
检验：当x=32时，x﹣2≠0，
∴原分式方程的解为x=32；
（2）x−1＜2x①2(x−3)≤3−x②，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤3，
∴原不等式组的解集是﹣1＜x≤3．
总结提升：本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，掌握解分式方程及一元一次不等式组的一般步骤是解决问题的关键．
27．(2023•黄石）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 x1=2，x2=−2，x3=3，x4=−3 ；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：1m4+1m2=7，n2﹣n＝7且n＞0，求1m4+n2的值．
思路引领：（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令1m2=a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣0，再模仿例题解决问题．
解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，
∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，
∴y1＝2，y2＝3，
∴x2＝2或3，
∴x1=2，x2=−2，x3=3，x4=−3；
故答案为：x1=2，x2=−2，x3=3，x4=−3；
（2）∵a≠b，
∴a2≠b2或a2＝b2，
①当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n．
∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，
∴m+n=72mn=12，
此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn=454．
②当a2＝b2（a＝﹣b）时，a2＝b2=7±414，此时a4+b4＝2a4＝2（a2）2=45±7414，
综上所述，a4+b4=454或45±7414．
（3）令1m2=a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，
∵n＞0，
∴1m2≠−n，即a≠b，
∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b=−1ab=−7，
故1m4+n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．
总结提升：本题考查根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
28．(2023•宁夏）解不等式组：4(x−2)≤x−53x+12＞x．
思路引领：分别解出每个不等式，再求公共解集即可．
解：4(x−2)≤x−5①3x+12＞x②，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤1．
总结提升：本题考查解不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法．
29．(2023•菏泽）解不等式组3(x−1)≤2x−2①x+33+1＞x+22②，并将其解集在数轴上表示出来．
思路引领：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
解：由①得：x≤1，
由②得：x＜6，
∴不等式组的解集为x≤1，
解集表示在数轴上，如图所示：
．
总结提升：此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
30．(2023•枣庄）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③43x+3≥1−23x．
思路引领：选出两个不等式，组成不等式组，并解不等式组即可．
解：2x−1＜7①5x−2＞3(x+1)②，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x＞52，
∴不等式组的解集52＜x＜4，
把解集表示在数轴上如下：
总结提升：本题考查一元一次不等式组的解法，能熟练地解不等式组是解题关键．
31．(2023•荆门）已知关于x的不等式组x+1+2a＞0x−3−2a＜0（a＞﹣1）．
（1）当a=12时，解此不等式组；
（2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．
思路引领：（1）把a的值代入再求解；
（2）先解不等式组，再根据题意列不等式求解．
解：（1）当a=12时，不等式组化为：x+2＞0x−4＜0，
解得：﹣2＜x＜4；
（2）解不等式组得：﹣2a﹣1＜x＜2a+3，
解法一：令y1＝﹣2a﹣1，y2＝2a+3，（a＞﹣1）
如图所示：
当a＝0时．x只有一个奇数解1，不合题意；
当a＝1，x有奇数解1，﹣1，3，符合题意；
∵不等式组的解集中恰含三个奇数，
∴0＜a≤1．
解法二：∵−2a−1+3a+32=1，且不等式组的解集中恰含三个奇数，
∴不等式组的解集的三个奇数必为：﹣1，1，3，
∴﹣3≤﹣2a﹣1＜﹣1，且3＜2a+3≤5，
解得：0＜a≤1．
总结提升：本题考查了不等式的解法，正确运算是解题的关键．
32．(2023•湘西州）解不等式组：3x≤6+x①x−1≤3(x+1)②．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤3 ．
（Ⅱ）解不等式②，得 x≥﹣2 ．
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）所以原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤3 ．
思路引领：按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
解：3x≤6+x①x−1≤3(x+1)②．
（Ⅰ）解不等式①，得x≤3，
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2，
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）所以原不等式组的解集为﹣2≤x≤3，
故答案为：（Ⅰ）x≤3；
（Ⅱ）x≥﹣2；
（Ⅲ）数轴表示见解答；
（Ⅳ）﹣2≤x≤3．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
33．(2023•通辽）先化简，再求值：（a−4a）÷a−2a2，请从不等式组a+1＞04a−53≤1的整数解中选择一个合适的数求值．
思路引领：先算括号里的异分母分式的减法，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
解：（a−4a）÷a−2a2
=a2−4a•a2a−2
=(a+2)(a−2)a•a2a−2
＝a（a+2）
＝a2+2a，
a+1＞04a−53≤1，
解得：﹣1＜a≤2，
∴该不等式组的整数解为：0，1，2，
∵a≠0，a﹣2≠0，
∴a≠0且a≠2，
∴a＝1，
∴当a＝1时，原式＝12+2×1
＝1+2
＝3．
总结提升：本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
模块二 2023中考押题预测
34．（2023•永定区一模）先化简，再求值：x−3x2−1÷x−3x2+2x+1−(1x−1+1)，其中x从﹣1，0，1，2，3中选取一个合适的数．
思路引领：根据分式的混合运算进行计算，然后根据分式有意义的条件，取x＝0代入化简结果进行计算即可求解．
解：原式=x−3(x+1)(x−1)÷x−3(x+1)2−1+x−1x−1
=x−3(x+1)(x−1)×(x+1)2x−3−xx−1
=x+1x−1−xx−1
=1x−1．
∵x取﹣1，1，3时，原分式没有意义，
∴当x＝0时，原式=10−1=−1．
总结提升：本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
35．（2023•松江区二模）计算：π0−1812+（2−3）﹣1+|32−1|．
思路引领：根据实数的运算法则，先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根，再计算加减．
解：π0−1812+（2−3）﹣1+|32−1|
＝1−18+12−3+32−1
＝1−32+2+3+32−1
＝2+3．
总结提升：本题主要考查实数的运算、绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根，熟练掌握实数的运算法则、绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根的定义是解决本题的关键．
36．（2023•息县模拟）（1）计算：（625）0﹣2﹣2+364；
（2）化简：5x2−x÷(x+11−x2−1)．
思路引领：（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
解：（1）（625）0﹣2﹣2+364
＝1−14+4
＝434；
（2）5x2−x÷(x+11−x2−1)
=5x(x−1)÷x+1−1+x21−x2
=5x(x−1)÷x+x21−x2
=5x(x−1)•(1+x)(1−x)x(1+x)
=−5x2．
总结提升：本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
37．（2023•西城区一模）已知a是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，求代数式（a+1）2+a（a+2）的值．
思路引领：根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．
解：（a+1）2+a（a+2）
＝a2+2a+1+a2+2a
＝2a2+4a+1，
∵a是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，
∴a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
则原式＝2（a2+2a）+1＝2×1+1＝3．
总结提升：本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
38．（2023•呼和浩特一模）计算求解：
（1）计算：6×22−6tan30°+(−12)−2−|1−3|；
（2）先化简，再求值：x−3x−2÷(x+2−5x−2)，其中x=2−3．
思路引领：（1）根据负整数指数幂、锐角三角函数、零指数幂和绝对值可以解答本题；
（2）先化简式子，再将x的值代入即可解答本题．
解：（1）6×22−6tan30°+(−12)−2−|1−3|
=122−6×33+4−(3−1)
=3−23+4−3+1
=5−23；
（2）x−3x−2÷(x+2−5x−2)
=x−3x−2÷x2−9x−2
=x−3x−2×x−2(x+3)(x−3)
=1x+3，
当x=2−3时，
原式=12−3+3=22．
总结提升：本题考查了含有特殊角的三角函数的混合运算以及分式的化简求值，掌握分式化简求值的方法以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
39．（2023•天门校级模拟）（1）计算：8sin260°+tan45°﹣4cs30°；
（2）先化简：(x−1x−2−x+2x)÷4−xx2−4x+4，然后选择一个合适的x值代入求值．
思路引领：（1）把特殊角的三角函数值代入计算即可；
（2）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算，得到答案．
解：（1）原式＝8×（32）2+1﹣4×32
＝8×34+1﹣23
＝6+1﹣23
＝7﹣23；
（2）原式＝[x2−xx(x−2)−x2−4x(x−2)]•(x−2)24−x
=4−xx(x−2)•(x−2)24−x
=x−2x，
要使原式有意义，则x≠0、2、4，
当x＝1时，原式=1−21=−1．
总结提升：本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件、特殊角的三角函数值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
40．（2023•铜山区一模）（1）先化简，再求值：(1a−1+1)÷aa2−1，其中a＝﹣2；
（2）解不等式组：x−x−12≤15x≥3(x−1)．
思路引领：（1）先计算括号内的，再计算除法，然后把a＝﹣2代入化简后的结果，即可求解；
（2）分别求出两个不等式的解集，即可求解．
解：（1）(1a−1+1)÷aa2−1
=1+a−1a−1×(a+1)(a−1)a
＝a+1，
当a＝﹣2时，原式＝﹣2+1＝﹣1；
（2）x−x−12≤1①5x≥3(x−1)②，
解不等式得：x≤1，
解不等式得：x≥−32，
∴原不等式组的解集为−32≤x≤1．
总结提升：本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
41．（2023•罗湖区模拟）计算：12+2sin60°−|1−3|−(2023−π)0．
思路引领：先化简二次根式、计算特殊角的正弦值、化简绝对值、计算零指数幂，再计算实数的混合运算即可．
解：12+2sin60°−|1−3|−(2023−π)0
=23+2×32−(3−1)−1
=23+3−3+1−1
=23．
总结提升：本题考查了实数的混合运算，涉及化简二次根式、特殊角的正弦值、化简绝对值和零指数幂．掌握实数的混合运算法则是解题关键．
42．（2023•浚县三模）（1）计算：(12)−2+(2023−121)0−|−5|−2cs45°．
（2）化简：a2−4a÷(a−4a−4a)−2a−2．
思路引领：（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
解：（1）(12)−2+(2023−121)0−|−5|−2cs45°
＝4+1﹣5﹣2×22
＝4+1﹣5−2
=−2；
（2）a2−4a÷(a−4a−4a)−2a−2
=(a+2)(a−2)a÷a2−4a+4a−2a−2
=(a+2)(a−2)a•a(a−2)2−2a−2
=a+2a−2−2a−2
=a+2−2a−2
=aa−2．
总结提升：本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
43．（2023•海淀区一模）已知2x2+x﹣1＝0，求代数式（2x+1）2﹣2（x﹣3）的值．
思路引领：先根据完全平方公式和单项式乘多项式，化简（2x+1）2﹣2（x﹣3）＝4x2+2x+7，再根据2x2+x﹣1＝0，可得2x2+x＝1，整体代入求值即可．
解：（2x+1）2﹣2（x﹣3）
＝4x2+4x+1﹣2x+6
＝4x2+2x+7，
∵2x2+x﹣1＝0，
∴2x2+x＝1，
∴4x2+2x＝2（2x2+x）＝2，
∴原式＝2+7＝9．
总结提升：本题考查了完全平方公式，代数式求值，涉及单项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握整体代入法是解题的关键．
44．（2023•徐州模拟）计算：
（1）20130+8−(12)−1+|2−2|；
（2）(1+2x+1)÷x2−9x2+2x+1．
思路引领：（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
解：（1）20130+8−(12)−1+|2−2|
＝1+22−2+2−2
＝1+2；
（2）(1+2x+1)÷x2−9x2+2x+1
=x+1+2x+1•(x+1)2(x+3)(x−3)
=x+3x+1•(x+1)2(x+3)(x−3)
=x+1x−3．
总结提升：本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
45．（2023•海安市一模）（1）解方程组3x−2y=5x+4y=4；
（2）计算：xx−3−x+3x−3⋅x2+3xx2+6x+9．
思路引领：（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）把能分解的因式进行分解，再约分，最后进行分式的减法运算即可．
解：（1）3x−2y=5①x+4y=4②，
①×2得：6x﹣4y＝10③，
②+③得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得：2+4y＝4，
解得：y=12，
故原方程组的解是：x=2y=12；
（2）xx−3−x+3x−3⋅x2+3xx2+6x+9
=xx−3−x+3x−3⋅x(x+3)(x+3)2
=xx−3−xx−3
＝0．
总结提升：本题主要考查分式的混合运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
46．（2023•张家口二模）已知实数x，y满足y2＝20﹣x．
（1）当y＞1时，求x的取值范围；
（2）①当x＝16时，求y的值；
②若x的取值范围如图所示，求非正数y的取值范围．
思路引领：根据不等式的基本性质和等式的基本性质可得相关答案．
解：（1）∵当y＞1，
∴y2＞1，
∵y2＝20﹣x，
∴20﹣x＞1，
∴x＜19．
（2）①把x＝16代入y2＝20﹣x，
∴y2＝20﹣16＝4，
y＝±2．
②由图得，16≤x≤20，
∴﹣20≤﹣x≤﹣16，
0≤20﹣x≤4，即0≤y2≤4，
∴﹣2≤y≤2．
∵y为非正数，
∴﹣2≤y≤0．
总结提升：本题考查了不等式的性质和等式的性质，关键是不等式两边同时乘除负数时改变符号的问题．
47．（2023•永定区一模）计算：−12022+|3−2|+tan60°+(π−3.14)0+(12)−2．
思路引领：根据有理数的乘方，化简绝对值，特殊的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可求解．
解：原式=−1+2−3+3+1+4
=−1+2−3+3+1+4
＝6．
总结提升：本题考查了实数的混合运算，熟练掌握有理数的乘方，化简绝对值，特殊的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂是解题的关键．
48．（2023•徐州模拟）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；
（2）解不等式组：3x−1≥51+2x3＞x−1．
思路引领：（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1；
（2）由3x﹣1≥5得：x≥2，
由1+2x3＞x﹣1得：x＜4，
则不等式组的解集为2≤x＜4．
总结提升：本题考查的是解二元一次方程和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
49．（2023•庐阳区校级模拟）解不等式组：5x+6≤2(x−3)x3−1＜x−44．
思路引领：分别解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定答案即可．
解：5x+6≤2(x−3)①x3−1＜x−44②，
解不等式①，得 x≤﹣4，
解不等式②，得，x＜0，
∴原不等式组的解集为x≤﹣4．
总结提升：本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键．
50．（2023•南明区校级模拟）（1）如图，有理数a、b、c在数轴上的位置大致如图，比较大小：b ＞ c，a+c ＜ 0；
（2）请在下列不等式中任意选择两个组成不等式组，解不等式组并将解集表示在数轴上．
①4（x+3）＜x﹣6；
②3x﹣2＞1；
③x+1＜3．
思路引领：（1）由数轴可得b＞c，由a＜0，c＜0可得a+c＜0；
（2）任选两个不等式联立成不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）由数轴知b＞c，
∵a＜0，c＜0，
∴a+c＜0，
故答案为：＞，＜；
（2）3x−2＞1①x+1＜3②，
由①得x＞1，
由②得x＜2，
则不等式组的解集为1＜x＜2，
将解集表示在数轴上如下：
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
51．（2023•临安区一模）解分式方程：xx−2+42−x=3
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括号，得：x+4＝3x﹣6．
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣10．
两边同时除以﹣2，得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
思路引领：根据解分式方程的步骤计算即可．
解：有错误．
去分母，得：x﹣4＝3（x﹣2），
去括号，得：x﹣4＝3x﹣6，
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣2，
两边同时除以﹣2，得：x＝1．
经检验，x＝1是原方程的解．
总结提升：本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．
52．（2023•武汉模拟）解不等式组2x≤3−xx−4≥4x+2，请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 x≤1 ；
（2）解不等式②，得 x≤﹣2 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 x≤﹣2 ．
思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可．
解：（1）解不等式①，得x≤1；
（2）解不等式②，得x≤﹣2；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是x≤﹣2．
故答案为：x≤1，x≤﹣2，x≤﹣2．
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
53．（2023•达州一模）（1）计算：（1−3）0+|−2|﹣2cs45°+（14）﹣1．
（2）已知方程m2x2+（2m+1）x+1＝0有实数根，求m的取值范围．
思路引领：（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义和特殊角的三角函数值计算，然后合并即可；
（2）方程有实数根，可以分为一元一次方程和一元二次方程．一元一次方程始终是有实数根，一元二次方程可以用Δ≥0判断．
解：（1）（1−3）0+|−2|﹣2cs45°+（14）﹣1
＝1+2−2×22+4
＝1+2−2+4
＝5；
（2）当m2＝0，即m＝0时，方程变为x+1＝0，有实数根；
当m2≠0，即m≠0时，原方程要有实数根，则Δ≥0，即Δ＝（2m+1）2﹣4m2＝4m+1≥0，解得m≥−14，
则m的范围是m≥−14且m≠0．
综上所述，m的取值范围为m≥−14．
总结提升：本题考查了实数的运算，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂和根的判别式是解决问题的关键．
54．（2023•章丘区一模）解不等式组：4(x−1)＞2x+32x−23≤4，并写出它的所有整数解．
思路引领：首先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求出所有整数解即可．
解：4(x−1)＞2x+3①2x−23≤4②
由①得：4x﹣4＞2x+3，
解得：x＞72
由②得：2x﹣2≤12，
解得：x≤7，
所以，不等式组的解集为：72＜x≤7，
所以，它的所有整数解为4，5，6，7．
总结提升：本题考查了求不等式组的整数解，准确求得不等式组的解集是解决本题的关键．
55．（2023•南湖区校级一模）（1）解方程：xx−1+21−x=3；
（2）解不等式组：x−1＜4x+25−2x＜15−4x．
思路引领：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
解：（1）去分母得：x+（﹣2）＝3（x﹣1），
解：x=12，
经检验x=12是原方程的解；
（2）x−1＜4x+2①5−2x＜15−4x②，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x＜5，
∴不等式组的解集是﹣1＜x＜5．
总结提升：此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
56．（2023•邗江区一模）解不等式组：4x≤2(x+1)2+x＞x2，并求出不等式组所有非正整数解的和．
思路引领：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出非正整数解的和即可．
解：4x≤2(x+1)①2+x＞x2②，
解不等式①得x≤1，
解不等式②得x＞﹣2，
∴不等式组的解集是：﹣2＜x≤1．
∴不等式组的非正整数解为0，﹣1，
∴不等式组所有非正整数解的和为﹣1+0＝﹣1．
总结提升：此题考查了一元一次方程组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
57．（2023•韩城市一模）求不等式3x−13−x+12≤1的正整数解．
思路引领：根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去考号、移项、合并同类项、化系数为1，依次计算求出x的解集，在解集中找出符合要求的正整数解即可．
解：3x−13−x+12≤1，
去分母得：2（3x﹣1）﹣3（x+1）≤6，
去括号得：6x﹣2﹣3x﹣3≤6，
移项得：6x﹣3x≤6+2+3，
合并同类项得：3x≤11，
化系数为1得：x≤113，
∴原不等式的正整数解为1，2，3．
总结提升：本题主要考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．
58．（2023•京口区模拟）（1）解不等式组：x+2≥03x−12＜2x+1；
（2）解方程：2x−5x−2+3=3x−3x−2．
思路引领：（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）x+2≥0①3x−12＜2x+1②，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为x≥﹣2；
（2）去分母得：2x﹣5+3x﹣6＝3x﹣3，
解得：x＝4，
检验：把x＝4代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝4．
总结提升：此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
59．（2023•茅箭区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22−x1x2=19，求m的值．
思路引领：（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出m的值．
（1）证明：x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
∵Δ＝（m﹣3）2﹣4×（﹣m）
＝m2﹣6m+9+4m
＝m2﹣2m+1+8
＝（m﹣1）2+8≥8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系可得：x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m，
∵x12+x22−x1x2=19，
∴(x1+x2)2−3x1x2=19，即（m﹣3）2+3m＝19，
整理得：m2﹣3m﹣10＝0，即（m﹣5）（m+2）＝0，
所以m﹣5＝0或m+2＝0，
解得：m＝5或m＝﹣2．
故m的值是5或﹣2．
总结提升：此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键
60．（2023•青海一模）提出问题：
为解方程（x2﹣2）2﹣11（x2﹣2）+18＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后可设x2﹣2＝y，则（x2﹣2）2＝y2，于是原方程可转化为y2﹣11y+18＝0，解此方程，得y1＝2，y2＝9．
当y1＝2时，x2﹣2＝2，x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝9时，x2﹣2＝9，x2＝11，∴x=±11．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，x3=−11，x4=11．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
（1）运用上述换元法解方程x4﹣3x2﹣4＝0．
延伸拓展：
（2）已知实数m，n满足（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，求4m+12n﹣3的值．
思路引领：（1）设x2＝y，则原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解该方程得到y的值，然后解关于x的一元二次方程即可；
（2）设m+3n＝t，（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4可变形为t（t﹣2）＝2t﹣4，解此方程t＝2，则m+3n＝2，再将其整体代入即可求解．
解：（1）设x2＝y，
则原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，
解得：y1＝4，y2＝﹣1，
当y1＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝﹣1，x2＝﹣1，此方程无解．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2；
（2）∵（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，
∴（m+3n）（m+3n﹣2）＝2（m+3n）﹣4，
设m+3n＝t，
则t（t﹣2）＝2t﹣4，
整理得：t2﹣4t+4＝（t﹣2）2＝0，
解得：t＝2，
∴m+3n＝2，
∴4m+12n﹣3＝4（m+3n）﹣3＝4×2﹣3＝5．
总结提升：本题主要考查换元法解一元二次方程、代数式求值．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
类型一 数式计算
1．(2023•无锡）计算：
（1）|﹣5|+（﹣2）﹣1+tan45°； （2）m−6m2−4−12−m．
2．(2023•德州）（1）化简：（m+2−5m−2）•m−2m−3； （2）解方程组：4x−y=32x−5y=−3．
3．(2023•淮安）（1）计算：|﹣5|+（3−2）0﹣2tan45°； （2）化简：aa2−9÷（1+3a−3）．
4．(2023•巴中）解答题
（1）计算：12−4cs30°+（3.14﹣π）0+|1−2|． （2）先化简，再求值x−2x−1÷（x+1−3x−1），其中x=5−4．
5．(2023•徐州）计算：
（1）（﹣1）2022+|3−3|﹣（13）﹣1+9； （2）（1+2x）÷x2+4x+4x2．
6．(2023•镇江）（1）计算：（12）﹣1﹣tan45°+|2−1|； （2）化简：（1−1a）÷（a−1a）．
7．(2023•东营）（1）计算：（3+2）（3−2）+48÷3−（−3）0+（﹣2sin30°）2022；
（2）先化简，再求值：（1x−y−1x+y）÷2yx2+2xy+y2，其中x＝3，y＝2．
8．(2023•黄石）先化简，再求值：（1+2a+1）÷a2+6a+9a+1，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．
9．(2023•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
（xx2−4−1x+2）÷2x−2
＝（xx2−4−x−2x2−4）•x−22⋯第一步
=x−x−2x2−4⋅x−22⋯第二步
=−2(x+2)(x−2)⋅x−22⋯第三步
=−1x+2⋯第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第 步是通分，通分的依据是 ．
②第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
10．(2023•襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a=3−2，b=3+2．
11．(2023•衢州）（1）因式分解：a2﹣1． （2）化简：a−1a2−1+1a+1．
12．(2023•朝阳）先化简，再求值：x2−4x2−4x+4÷x+3x2−2x+xx+3，其中x＝（12）﹣2．
13．(2023•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1−3|−12．
（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x=12．
14．(2023•六盘水）计算：
（1）32+（13）0+（13）﹣1； （2）若（a+1）2+|b﹣2|+c+3=0，求a（b+c）的值．
15．(2023•南通）（1）计算：2aa2−4⋅a−2a+aa+2； （2）解不等式组：2x−1＞x+14x−1≥x+8．
16．(2023•锦州）先化简，再求值：(2x+1+1x−2)÷x−1x−2，其中x=3−1．
17．(2023•枣庄）先化简，再求值：（xx−2−1）÷x2−4x2−4x+4，其中x＝﹣4．
18．(2023•鄂尔多斯）（1）解不等式组x−3(x−2)＞4①2x−13≥3x+26−1②，并写出该不等式组的最小整数解．
（2）先化简，再求值：（a2−9a2−6a+9+1）÷a22a−6，其中a＝4sin30°﹣（π﹣3）0．
19．(2023•日照）（1）先化简再求值：（m+2−5m−2）×m2−3m+2m+3，其中m＝4．
（2）解不等式组x+1＜2x−12x−53≤1．并将解集表示在所给的数轴上．
20．(2023•荆门）已知x+1x=3，求下列各式的值：
（1）（x−1x）2； （2）x4+1x4．
类型二 解方程（组）或不等式（组）
21．(2023•无锡）（1）解方程：x2+6x﹣1＝0； （2）解不等式组：6x−5≤72x+1＞3x−12．
22．(2023•陕西）求不等式x2−1＜x+14的正整数解．
23．(2023•淮安）解不等式组：2(x−1)≥−43x−62＜x−1并写出它的正整数解．
24．(2023•淄博）解方程组：x−2y=312x+34y=134．
25．(2023•徐州）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0； （2）解不等式组：2x−1≥11+x3＜x−1．
26．(2023•镇江）（1）解方程：2x−2=1+xx−2+1； （2）解不等式组：x−1＜2x2(x−3)≤3−x．
27．(2023•黄石）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 ；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：1m4+1m2=7，n2﹣n＝7且n＞0，求1m4+n2的值．
28．(2023•宁夏）解不等式组：4(x−2)≤x−53x+12＞x．
29．(2023•菏泽）解不等式组3(x−1)≤2x−2①x+33+1＞x+22②，并将其解集在数轴上表示出来．
30．(2023•枣庄）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③43x+3≥1−23x．
31．(2023•荆门）已知关于x的不等式组x+1+2a＞0x−3−2a＜0（a＞﹣1）．
（1）当a=12时，解此不等式组；
（2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．
32．(2023•湘西州）解不等式组：3x≤6+x①x−1≤3(x+1)②．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ．
（Ⅱ）解不等式②，得 ．
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）所以原不等式组的解集为 ．
33．(2023•通辽）先化简，再求值：（a−4a）÷a−2a2，请从不等式组a+1＞04a−53≤1的整数解中选择一个合适的数求值．
模块二 2023中考押题预测
34．（2023•永定区一模）先化简，再求值：x−3x2−1÷x−3x2+2x+1−(1x−1+1)，其中x从﹣1，0，1，2，3中选取一个合适的数．
35．（2023•松江区二模）计算：π0−1812+（2−3）﹣1+|32−1|．
36．（2023•息县模拟）（1）计算：（625）0﹣2﹣2+364； （2）化简：5x2−x÷(x+11−x2−1)．
37．（2023•西城区一模）已知a是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，求代数式（a+1）2+a（a+2）的值．
38．（2023•呼和浩特一模）计算求解：
（1）计算：6×22−6tan30°+(−12)−2−|1−3|；
（2）先化简，再求值：x−3x−2÷(x+2−5x−2)，其中x=2−3．
39．（2023•天门校级模拟）（1）计算：8sin260°+tan45°﹣4cs30°；
（2）先化简：(x−1x−2−x+2x)÷4−xx2−4x+4，然后选择一个合适的x值代入求值．
40．（2023•铜山区一模）（1）先化简，再求值：(1a−1+1)÷aa2−1，其中a＝﹣2；
（2）解不等式组：x−x−12≤15x≥3(x−1)．
41．（2023•罗湖区模拟）计算：12+2sin60°−|1−3|−(2023−π)0．
42．（2023•浚县三模）（1）计算：(12)−2+(2023−121)0−|−5|−2cs45°．
（2）化简：a2−4a÷(a−4a−4a)−2a−2．
43．（2023•海淀区一模）已知2x2+x﹣1＝0，求代数式（2x+1）2﹣2（x﹣3）的值．
44．（2023•徐州模拟）计算：
（1）20130+8−(12)−1+|2−2|； （2）(1+2x+1)÷x2−9x2+2x+1．
45．（2023•海安市一模）（1）解方程组3x−2y=5x+4y=4； （2）计算：xx−3−x+3x−3⋅x2+3xx2+6x+9．
46．（2023•张家口二模）已知实数x，y满足y2＝20﹣x．
（1）当y＞1时，求x的取值范围；
（2）①当x＝16时，求y的值；
②若x的取值范围如图所示，求非正数y的取值范围．
47．（2023•永定区一模）计算：−12022+|3−2|+tan60°+(π−3.14)0+(12)−2．
48．（2023•徐州模拟）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0； （2）解不等式组：3x−1≥51+2x3＞x−1．
49．（2023•庐阳区校级模拟）解不等式组：5x+6≤2(x−3)x3−1＜x−44．
50．（2023•南明区校级模拟）（1）如图，有理数a、b、c在数轴上的位置大致如图，比较大小：b c，a+c 0；
（2）请在下列不等式中任意选择两个组成不等式组，解不等式组并将解集表示在数轴上．
①4（x+3）＜x﹣6；
②3x﹣2＞1；
③x+1＜3．
51．（2023•临安区一模）解分式方程：xx−2+42−x=3
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括号，得：x+4＝3x﹣6．
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣10．
两边同时除以﹣2，得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
52．（2023•武汉模拟）解不等式组2x≤3−xx−4≥4x+2，请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ．
53．（2023•达州一模）（1）计算：（1−3）0+|−2|﹣2cs45°+（14）﹣1．
（2）已知方程m2x2+（2m+1）x+1＝0有实数根，求m的取值范围．
54．（2023•章丘区一模）解不等式组：4(x−1)＞2x+32x−23≤4，并写出它的所有整数解．
55．（2023•南湖区校级一模）（1）解方程：xx−1+21−x=3； （2）解不等式组：x−1＜4x+25−2x＜15−4x．
56．（2023•邗江区一模）解不等式组：4x≤2(x+1)2+x＞x2，并求出不等式组所有非正整数解的和．
57．（2023•韩城市一模）求不等式3x−13−x+12≤1的正整数解．
58．（2023•京口区模拟）（1）解不等式组：x+2≥03x−12＜2x+1；（2）解方程：2x−5x−2+3=3x−3x−2．
59．（2023•茅箭区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22−x1x2=19，求m的值．
60．（2023•青海一模）提出问题：
为解方程（x2﹣2）2﹣11（x2﹣2）+18＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后可设x2﹣2＝y，则（x2﹣2）2＝y2，于是原方程可转化为y2﹣11y+18＝0，解此方程，得y1＝2，y2＝9．
当y1＝2时，x2﹣2＝2，x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝9时，x2﹣2＝9，x2＝11，∴x=±11．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，x3=−11，x4=11．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
（1）运用上述换元法解方程x4﹣3x2﹣4＝0．
延伸拓展：
（2）已知实数m，n满足（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，求4m+12n﹣3的值．
专题47 解答题最常考题型数式计算及解方程和不等式（解析版）
模块一 2022中考真题集训
类型一 数式计算
1．(2023•无锡）计算：
（1）|﹣5|+（﹣2）﹣1+tan45°；
（2）m−6m2−4−12−m．
思路引领：（1）先算负整数指数幂，去绝对值，把特殊角三角函数值代入，再算加减即可；
（2）先通分，根据同分母分式相加的法则计算，再约分即可．
解：（1）原式=5−12+1
=112；
（2）原式=m−6(m+2)(m−2)+m+2(m+2)(m−2)
=2m−4(m+2)(m−2)
=2m+2．
总结提升：本题考查实数运算和分数化简，解题的关键是掌握实数，分式的相关的运算法则．
2．(2023•德州）（1）化简：（m+2−5m−2）•m−2m−3；
（2）解方程组：4x−y=32x−5y=−3．
思路引领：（1）先通分，把能分解的因式进行分解，再进行约分即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
解：（1）（m+2−5m−2）•m−2m−3
=m2−4−5m−2⋅m−2m−3
=(m−3)(m+3)m−2⋅m−2m−3
＝m+3；
（2）4x−y=3①2x−5y=−3②，
②×2得：4x﹣10y＝﹣6③，
①﹣③得：9y＝9，
解得y＝1，
把y＝1代入①得：4x﹣1＝3，
解得x＝1，
故原方程组的解是：x=1y=1．
总结提升：本题主要考查分式的混合运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握．
3．(2023•淮安）（1）计算：|﹣5|+（3−2）0﹣2tan45°；
（2）化简：aa2−9÷（1+3a−3）．
思路引领：（1）先计算零次幂、代入特殊角的函数值，再化简绝对值，最后算加法；
（2）先通分计算括号里面的，再把除法转化为乘法．
解：（1）原式＝5+1﹣2×1
＝5+1﹣2
＝4；
（2）原式=a(a+3)(a−3)÷aa−3
=a(a+3)(a−3)×a−3a
=1a+3．
总结提升：本题考查了实数和分式的运算，掌握零次幂、绝对值的意义及分式的运算法则是解决本题的关键．
4．(2023•巴中）解答题
（1）计算：12−4cs30°+（3.14﹣π）0+|1−2|．
（2）先化简，再求值x−2x−1÷（x+1−3x−1），其中x=5−4．
（3）求不等式组2x−x+32≤0①5x+1＞3(x−1)②的整数解．
思路引领：（1）先求特殊角的三角函数值，零指数幂，去绝对值，再加减运算即可；
（2）先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将x的值代入化简后的式子计算即可；
（3）分别解不等式①，②，再按“大小小大取中间”求得不等式组解集．
解：（1）12−4cs30°+（3.14﹣π）0+|1−2|
＝23−4×32+1+2−1
＝23−23+1+2−1
=2．
（2）x−2x−1÷（x+1−3x−1）
=x−2x−1÷(x+1)(x−1)−3x−1
=x−2x−1•x−1x2−4
=x−2(x+2)(x−2)
=1x+2，
当x=5−4时，原式=15−4+2=5+2．
（3）2x−x+32≤0①5x+1＞3(x−1)②，
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集是﹣2＜x≤1，
∴该不等式组的整数解是﹣1，0，1．
总结提升：本题考查了实数的混合运算，锐角三角函数，零指数幂，二次根式的性质和运算，分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握相应的运算法则是解题关键．
5．(2023•徐州）计算：
（1）（﹣1）2022+|3−3|﹣（13）﹣1+9；
（2）（1+2x）÷x2+4x+4x2．
思路引领：（1）根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂可以解答本题；
（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
解：（1）（﹣1）2022+|3−3|﹣（13）﹣1+9
＝1+3−3−3+3
＝4−3；
（2）（1+2x）÷x2+4x+4x2
=x+2x•x2(x+2)2
=xx+2．
总结提升：本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．(2023•镇江）（1）计算：（12）﹣1﹣tan45°+|2−1|；
（2）化简：（1−1a）÷（a−1a）．
思路引领：（1）利用负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则计算即可；
（2）利用分式的混合运算来做即可．
解：（1）原式＝2﹣1+2−1
=2；
（2）原式＝（aa−1a）÷（a2a−1a）
=a−1a×aa2−1
=a−1(a−1)(a+1)
=1a+1．
总结提升：本题考查了实数的运算和分式的混合运算，做题关键要掌握负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则、通分、约分．
7．(2023•东营）（1）计算：（3+2）（3−2）+48÷3−（−3）0+（﹣2sin30°）2022；
（2）先化简，再求值：（1x−y−1x+y）÷2yx2+2xy+y2，其中x＝3，y＝2．
思路引领：（1）根据平方差公式、零指数幂、二次根式的除法法则计算；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
解：（1）原式＝（3）2﹣22+48÷3−1+（﹣2×12）2022
＝3﹣4+4﹣1+1
＝3；
（2）原式＝[x+y(x+y)(x−y)−x−y(x+y)(x−y)]•(x+y)22y
=2y(x+y)(x−y)•(x+y)22y
=x+yx−y，
当x＝3，y＝2时，原式=3+23−2=5．
总结提升：本题考查的是实数的混合运算、分式的化简求值，掌握平方差公式、零指数幂、二次根式的除法法则、分式的混合运算法则是解题的关键．
8．(2023•黄石）先化简，再求值：（1+2a+1）÷a2+6a+9a+1，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．
思路引领：根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
解：原式=a+3a+1÷(a+3)2a+1
=a+3a+1•a+1(a+3)2
=1a+3，
由分式有意义的条件可知：a不能取﹣1，﹣3，
故a＝2，
原式=12+3
=15．
总结提升：本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
9．(2023•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
（xx2−4−1x+2）÷2x−2
＝（xx2−4−x−2x2−4）•x−22⋯第一步
=x−x−2x2−4⋅x−22⋯第二步
=−2(x+2)(x−2)⋅x−22⋯第三步
=−1x+2⋯第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第 一 步是通分，通分的依据是 分式的性质 ．
②第 二 步开始出现错误，错误的原因是 去括号没有变号 ．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
思路引领：任务一：①根据分式的基本性质分析即可；
②利用去括号法则得出答案；
任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．
解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．
故答案为：①一，分式的性质．
②二，去括号没有变号．
任务二：
（xx2−4−1x+2）÷2x−2
＝（xx2−4−x−2x2−4）•x−22
=x−x+2x2−4•x−22
=2(x+2)(x−2)•x−22
=1x+2．
总结提升：本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
10．(2023•襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a=3−2，b=3+2．
思路引领：直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2+2ab﹣2a2
＝6ab，
∵a=3−2，b=3+2，
∴原式＝6ab
＝6×（3−2）（3+2）
＝6．
总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
11．(2023•衢州）（1）因式分解：a2﹣1．
（2）化简：a−1a2−1+1a+1．
思路引领：（1）应用因式分解﹣运用公式法，平方差公式进行计算即可得出答案；
（2）运算异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进行计算即可得出答案．
解 （1）a2﹣1＝（a﹣1）（a+1）；
（2）a−1a2−1+1a+1=1a+1+1a+1=2a+1．
总结提升：本题主要考查了分式的加减法及因式分解﹣运用公式法，熟练掌握分式的加减法及因式分解﹣运用公式法的方法进行求解是解决本题的关键．
12．(2023•朝阳）先化简，再求值：x2−4x2−4x+4÷x+3x2−2x+xx+3，其中x＝（12）﹣2．
思路引领：把除化为乘，再算同分母的分式相加，化简后求出x的值，代入即可．
解：原式=(x+2)(x−2)(x−2)2•x(x−2)x+3+xx+3
=x2+2xx+3+xx+3
=x2+3xx+3
=x(x+3)x+3
＝x，
∵x＝（12）﹣2＝4，
∴原式＝4．
总结提升：本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
13．(2023•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1−3|−12．
（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x=12．
思路引领：（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1−3|−12
＝1+1+2×32+3−1﹣23
＝2+3+3−1﹣23
＝1；
（2）（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1）
＝x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x
＝4x，
当x=12时，原式＝4×12=2．
总结提升：本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．(2023•六盘水）计算：
（1）32+（13）0+（13）﹣1；
（2）若（a+1）2+|b﹣2|+c+3=0，求a（b+c）的值．
思路引领：（1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
（2）利用非负数的性质求出a，b，c的值，代入原式计算即可求出值．
解：（1）原式＝9+1+3
＝13；
（2）∵（a+1）2+|b﹣2|+c+3=0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，c+3＝0，
解得：a＝﹣1，b＝2，c＝﹣3，
则原式＝﹣1×（2﹣3）＝1．
总结提升：此题考查了实数的运算，非负数的性质，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．(2023•南通）（1）计算：2aa2−4⋅a−2a+aa+2；
（2）解不等式组：2x−1＞x+14x−1≥x+8．
思路引领：（1）利用分式的混合运算法则运算即可；
（2）分别求得不等式组中两个不等式的解集，取它们的公共部分即可得出结论．
解：（1）原式=2a(a+2)(a−2)⋅a−2a+aa+2
=2a+2+aa+2
=a+2a+2
＝1；
（2）不等式2x﹣1＞x+1的解集为：x＞2，
不等式4x﹣1≥x+8的解集为：x≥3，
它们的解集在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为：x≥3．
总结提升：本题主要考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
16．(2023•锦州）先化简，再求值：(2x+1+1x−2)÷x−1x−2，其中x=3−1．
思路引领：先对分式进行化简，然后再代入求解即可．
解：原式=[2x−4(x+1)(x−2)+x+1(x+1)(x−2)]÷x−1x−2
=3x−3(x+1)(x−2)÷x−1x−2
=3(x−1)(x+1)(x−2)×x−2x−1
=3x+1，
当x=3−1时，
原式=33−1+1=3．
总结提升：本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是解题的关键．
17．(2023•枣庄）先化简，再求值：（xx−2−1）÷x2−4x2−4x+4，其中x＝﹣4．
思路引领：根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
解：原式=x−(x−2)x−2•(x−2)2(x+2)(x−2)
=2x−2•x−2x+2
=2x+2，
当x＝﹣4时，
原式=2−4+2
＝﹣1．
总结提升：本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
18．(2023•鄂尔多斯）（1）解不等式组x−3(x−2)＞4①2x−13≥3x+26−1②，并写出该不等式组的最小整数解．
（2）先化简，再求值：（a2−9a2−6a+9+1）÷a22a−6，其中a＝4sin30°﹣（π﹣3）0．
思路引领：（1）根据不等式组的解法求出x的范围，然后根据x的范围即可求出该不等式组的最小整数解．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
解：（1）由①得：x＜1，
由②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
∴该不等式组的最小整数解为x＝﹣2．
（2）原式＝[(a−3)(a+3)(a−3)2+1]•2(a−3)a2
＝（a+3a−3+a−3a−3）•2(a−3)a2
=2aa−3•2(a−3)a2
=4a，
当a＝4sin30°﹣（π﹣3）0＝4×12−1＝2﹣1＝1时，
原式＝4．
总结提升：本题考查不等式组的解法、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
19．(2023•日照）（1）先化简再求值：（m+2−5m−2）×m2−3m+2m+3，其中m＝4．
（2）解不等式组x+1＜2x−12x−53≤1．并将解集表示在所给的数轴上．
思路引领：（1）直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案；
（2）直接解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．
解：（1）原式=(m+2)(m−2)−5m−2×(m−1)(m−2)m+3
=(m−3)(m+3)m−2×(m−1)(m−2)m+3
＝（m﹣3）（m﹣1）
＝m2﹣4m+3，
当m＝4时，
原式＝42﹣4×4+3
＝3；
（2）x+1＜2x−1①2x−53≤1②，
解①得：x＞2，
解②得：x≤4，
故不等式组的解集是：2＜x≤4，
解集在数轴上表示：
．
总结提升：此题主要考查了分式的化简求值以及解一元一次不等式组，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．(2023•荆门）已知x+1x=3，求下列各式的值：
（1）（x−1x）2；
（2）x4+1x4．
思路引领：（1）利用完全平方公式的特征得到：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，用上述关系式解答即可；
（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．
解：（1）∵(x+1x)2=x2+2⋅x⋅1x+1x2，
∴(x−1x)2=x2−2⋅x⋅1x+1x2
=x2+2x⋅1x+1x2−4x⋅1x
=(x+1x)2−4x•1x
＝32﹣4
＝5；
（2）∵(x−1x)2=x2−2+1x2，
∴x2+1x2
=(x−1x)2+2
＝5+2
＝7，
∵(x2+1x2)2=x4+2+1x4，
∴x4+1x4
=(x2+1x2)2−2
＝49﹣2
＝47．
总结提升：本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式的特征将所求的式子进行适当变形是解题的关键．
类型二 解方程（组）或不等式（组）
21．(2023•无锡）（1）解方程：x2+6x﹣1＝0；
（2）解不等式组：6x−5≤72x+1＞3x−12．
思路引领：（1）用配方法解方程即可；
（2）求出每个不等式的解集，再找公共解集即可．
解：（1）∵x2+6x﹣1＝0，
∴（x+3）2＝10，
∴x+3=10或x+3=−10，
∴x1=10−3，x2=−10−3；
（2）解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
总结提升：本题考查解一元二次方程和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握配方法和求公共解集的方法．
22．(2023•陕西）求不等式x2−1＜x+14的正整数解．
思路引领：解不等式求出x的范围，再取符合条件的正整数即可．
解：两边同时乘以4得：2x﹣4＜x+1，
移项得：2x﹣x＜1+4，
合并同类项得：x＜5，
∴不等式的正整数解有：4，3，2，1．
总结提升：本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．
23．(2023•淮安）解不等式组：2(x−1)≥−43x−62＜x−1并写出它的正整数解．
思路引领：解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
解：解不等式2（x﹣1）≥﹣4得x≥﹣1．
解不等式3x−62＜x﹣1得x＜4，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜4．
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
总结提升：本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．
24．(2023•淄博）解方程组：x−2y=312x+34y=134．
思路引领：利用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组即可．
解：整理方程组得x−2y=3①2x+3y=13②，
①×2﹣②得﹣7y＝﹣7，
y＝1，
把y＝1代入①得x﹣2＝3，
解得x＝5，
∴方程组的解为x=5y=1．
总结提升：本题考查了解二元一次方程组，做题关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．
25．(2023•徐州）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
（2）解不等式组：2x−1≥11+x3＜x−1．
思路引领：（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
解：（1）方程移项得：x2﹣2x＝1，
配方得：x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝±2，
解得：x1＝1+2，x2＝1−2；
（2）2x−1≥1①1+x3＜x−1②，
由①得：x≥1，
由②得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞2．
总结提升：此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握不等式组的解法及方程的解法是解本题的关键．
26．(2023•镇江）（1）解方程：2x−2=1+xx−2+1；
（2）解不等式组：x−1＜2x2(x−3)≤3−x．
思路引领：（1）方程两边同时乘以（x﹣2），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解；
（2）根据解不等式组的一般步骤，进行解答，即可得出答案．
解：（1）去分母得：2＝1+x+x﹣2，
解得：x=32，
检验：当x=32时，x﹣2≠0，
∴原分式方程的解为x=32；
（2）x−1＜2x①2(x−3)≤3−x②，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤3，
∴原不等式组的解集是﹣1＜x≤3．
总结提升：本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，掌握解分式方程及一元一次不等式组的一般步骤是解决问题的关键．
27．(2023•黄石）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 x1=2，x2=−2，x3=3，x4=−3 ；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：1m4+1m2=7，n2﹣n＝7且n＞0，求1m4+n2的值．
思路引领：（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令1m2=a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣0，再模仿例题解决问题．
解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，
∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，
∴y1＝2，y2＝3，
∴x2＝2或3，
∴x1=2，x2=−2，x3=3，x4=−3；
故答案为：x1=2，x2=−2，x3=3，x4=−3；
（2）∵a≠b，
∴a2≠b2或a2＝b2，
①当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n．
∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，
∴m+n=72mn=12，
此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn=454．
②当a2＝b2（a＝﹣b）时，a2＝b2=7±414，此时a4+b4＝2a4＝2（a2）2=45±7414，
综上所述，a4+b4=454或45±7414．
（3）令1m2=a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，
∵n＞0，
∴1m2≠−n，即a≠b，
∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b=−1ab=−7，
故1m4+n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．
总结提升：本题考查根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
28．(2023•宁夏）解不等式组：4(x−2)≤x−53x+12＞x．
思路引领：分别解出每个不等式，再求公共解集即可．
解：4(x−2)≤x−5①3x+12＞x②，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤1．
总结提升：本题考查解不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法．
29．(2023•菏泽）解不等式组3(x−1)≤2x−2①x+33+1＞x+22②，并将其解集在数轴上表示出来．
思路引领：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
解：由①得：x≤1，
由②得：x＜6，
∴不等式组的解集为x≤1，
解集表示在数轴上，如图所示：
．
总结提升：此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
30．(2023•枣庄）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③43x+3≥1−23x．
思路引领：选出两个不等式，组成不等式组，并解不等式组即可．
解：2x−1＜7①5x−2＞3(x+1)②，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x＞52，
∴不等式组的解集52＜x＜4，
把解集表示在数轴上如下：
总结提升：本题考查一元一次不等式组的解法，能熟练地解不等式组是解题关键．
31．(2023•荆门）已知关于x的不等式组x+1+2a＞0x−3−2a＜0（a＞﹣1）．
（1）当a=12时，解此不等式组；
（2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．
思路引领：（1）把a的值代入再求解；
（2）先解不等式组，再根据题意列不等式求解．
解：（1）当a=12时，不等式组化为：x+2＞0x−4＜0，
解得：﹣2＜x＜4；
（2）解不等式组得：﹣2a﹣1＜x＜2a+3，
解法一：令y1＝﹣2a﹣1，y2＝2a+3，（a＞﹣1）
如图所示：
当a＝0时．x只有一个奇数解1，不合题意；
当a＝1，x有奇数解1，﹣1，3，符合题意；
∵不等式组的解集中恰含三个奇数，
∴0＜a≤1．
解法二：∵−2a−1+3a+32=1，且不等式组的解集中恰含三个奇数，
∴不等式组的解集的三个奇数必为：﹣1，1，3，
∴﹣3≤﹣2a﹣1＜﹣1，且3＜2a+3≤5，
解得：0＜a≤1．
总结提升：本题考查了不等式的解法，正确运算是解题的关键．
32．(2023•湘西州）解不等式组：3x≤6+x①x−1≤3(x+1)②．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤3 ．
（Ⅱ）解不等式②，得 x≥﹣2 ．
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）所以原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤3 ．
思路引领：按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
解：3x≤6+x①x−1≤3(x+1)②．
（Ⅰ）解不等式①，得x≤3，
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2，
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）所以原不等式组的解集为﹣2≤x≤3，
故答案为：（Ⅰ）x≤3；
（Ⅱ）x≥﹣2；
（Ⅲ）数轴表示见解答；
（Ⅳ）﹣2≤x≤3．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
33．(2023•通辽）先化简，再求值：（a−4a）÷a−2a2，请从不等式组a+1＞04a−53≤1的整数解中选择一个合适的数求值．
思路引领：先算括号里的异分母分式的减法，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
解：（a−4a）÷a−2a2
=a2−4a•a2a−2
=(a+2)(a−2)a•a2a−2
＝a（a+2）
＝a2+2a，
a+1＞04a−53≤1，
解得：﹣1＜a≤2，
∴该不等式组的整数解为：0，1，2，
∵a≠0，a﹣2≠0，
∴a≠0且a≠2，
∴a＝1，
∴当a＝1时，原式＝12+2×1
＝1+2
＝3．
总结提升：本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
模块二 2023中考押题预测
34．（2023•永定区一模）先化简，再求值：x−3x2−1÷x−3x2+2x+1−(1x−1+1)，其中x从﹣1，0，1，2，3中选取一个合适的数．
思路引领：根据分式的混合运算进行计算，然后根据分式有意义的条件，取x＝0代入化简结果进行计算即可求解．
解：原式=x−3(x+1)(x−1)÷x−3(x+1)2−1+x−1x−1
=x−3(x+1)(x−1)×(x+1)2x−3−xx−1
=x+1x−1−xx−1
=1x−1．
∵x取﹣1，1，3时，原分式没有意义，
∴当x＝0时，原式=10−1=−1．
总结提升：本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
35．（2023•松江区二模）计算：π0−1812+（2−3）﹣1+|32−1|．
思路引领：根据实数的运算法则，先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根，再计算加减．
解：π0−1812+（2−3）﹣1+|32−1|
＝1−18+12−3+32−1
＝1−32+2+3+32−1
＝2+3．
总结提升：本题主要考查实数的运算、绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根，熟练掌握实数的运算法则、绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根的定义是解决本题的关键．
36．（2023•息县模拟）（1）计算：（625）0﹣2﹣2+364；
（2）化简：5x2−x÷(x+11−x2−1)．
思路引领：（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
解：（1）（625）0﹣2﹣2+364
＝1−14+4
＝434；
（2）5x2−x÷(x+11−x2−1)
=5x(x−1)÷x+1−1+x21−x2
=5x(x−1)÷x+x21−x2
=5x(x−1)•(1+x)(1−x)x(1+x)
=−5x2．
总结提升：本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
37．（2023•西城区一模）已知a是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，求代数式（a+1）2+a（a+2）的值．
思路引领：根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．
解：（a+1）2+a（a+2）
＝a2+2a+1+a2+2a
＝2a2+4a+1，
∵a是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，
∴a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
则原式＝2（a2+2a）+1＝2×1+1＝3．
总结提升：本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
38．（2023•呼和浩特一模）计算求解：
（1）计算：6×22−6tan30°+(−12)−2−|1−3|；
（2）先化简，再求值：x−3x−2÷(x+2−5x−2)，其中x=2−3．
思路引领：（1）根据负整数指数幂、锐角三角函数、零指数幂和绝对值可以解答本题；
（2）先化简式子，再将x的值代入即可解答本题．
解：（1）6×22−6tan30°+(−12)−2−|1−3|
=122−6×33+4−(3−1)
=3−23+4−3+1
=5−23；
（2）x−3x−2÷(x+2−5x−2)
=x−3x−2÷x2−9x−2
=x−3x−2×x−2(x+3)(x−3)
=1x+3，
当x=2−3时，
原式=12−3+3=22．
总结提升：本题考查了含有特殊角的三角函数的混合运算以及分式的化简求值，掌握分式化简求值的方法以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
39．（2023•天门校级模拟）（1）计算：8sin260°+tan45°﹣4cs30°；
（2）先化简：(x−1x−2−x+2x)÷4−xx2−4x+4，然后选择一个合适的x值代入求值．
思路引领：（1）把特殊角的三角函数值代入计算即可；
（2）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算，得到答案．
解：（1）原式＝8×（32）2+1﹣4×32
＝8×34+1﹣23
＝6+1﹣23
＝7﹣23；
（2）原式＝[x2−xx(x−2)−x2−4x(x−2)]•(x−2)24−x
=4−xx(x−2)•(x−2)24−x
=x−2x，
要使原式有意义，则x≠0、2、4，
当x＝1时，原式=1−21=−1．
总结提升：本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件、特殊角的三角函数值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
40．（2023•铜山区一模）（1）先化简，再求值：(1a−1+1)÷aa2−1，其中a＝﹣2；
（2）解不等式组：x−x−12≤15x≥3(x−1)．
思路引领：（1）先计算括号内的，再计算除法，然后把a＝﹣2代入化简后的结果，即可求解；
（2）分别求出两个不等式的解集，即可求解．
解：（1）(1a−1+1)÷aa2−1
=1+a−1a−1×(a+1)(a−1)a
＝a+1，
当a＝﹣2时，原式＝﹣2+1＝﹣1；
（2）x−x−12≤1①5x≥3(x−1)②，
解不等式得：x≤1，
解不等式得：x≥−32，
∴原不等式组的解集为−32≤x≤1．
总结提升：本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
41．（2023•罗湖区模拟）计算：12+2sin60°−|1−3|−(2023−π)0．
思路引领：先化简二次根式、计算特殊角的正弦值、化简绝对值、计算零指数幂，再计算实数的混合运算即可．
解：12+2sin60°−|1−3|−(2023−π)0
=23+2×32−(3−1)−1
=23+3−3+1−1
=23．
总结提升：本题考查了实数的混合运算，涉及化简二次根式、特殊角的正弦值、化简绝对值和零指数幂．掌握实数的混合运算法则是解题关键．
42．（2023•浚县三模）（1）计算：(12)−2+(2023−121)0−|−5|−2cs45°．
（2）化简：a2−4a÷(a−4a−4a)−2a−2．
思路引领：（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
解：（1）(12)−2+(2023−121)0−|−5|−2cs45°
＝4+1﹣5﹣2×22
＝4+1﹣5−2
=−2；
（2）a2−4a÷(a−4a−4a)−2a−2
=(a+2)(a−2)a÷a2−4a+4a−2a−2
=(a+2)(a−2)a•a(a−2)2−2a−2
=a+2a−2−2a−2
=a+2−2a−2
=aa−2．
总结提升：本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
43．（2023•海淀区一模）已知2x2+x﹣1＝0，求代数式（2x+1）2﹣2（x﹣3）的值．
思路引领：先根据完全平方公式和单项式乘多项式，化简（2x+1）2﹣2（x﹣3）＝4x2+2x+7，再根据2x2+x﹣1＝0，可得2x2+x＝1，整体代入求值即可．
解：（2x+1）2﹣2（x﹣3）
＝4x2+4x+1﹣2x+6
＝4x2+2x+7，
∵2x2+x﹣1＝0，
∴2x2+x＝1，
∴4x2+2x＝2（2x2+x）＝2，
∴原式＝2+7＝9．
总结提升：本题考查了完全平方公式，代数式求值，涉及单项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握整体代入法是解题的关键．
44．（2023•徐州模拟）计算：
（1）20130+8−(12)−1+|2−2|；
（2）(1+2x+1)÷x2−9x2+2x+1．
思路引领：（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
解：（1）20130+8−(12)−1+|2−2|
＝1+22−2+2−2
＝1+2；
（2）(1+2x+1)÷x2−9x2+2x+1
=x+1+2x+1•(x+1)2(x+3)(x−3)
=x+3x+1•(x+1)2(x+3)(x−3)
=x+1x−3．
总结提升：本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
45．（2023•海安市一模）（1）解方程组3x−2y=5x+4y=4；
（2）计算：xx−3−x+3x−3⋅x2+3xx2+6x+9．
思路引领：（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）把能分解的因式进行分解，再约分，最后进行分式的减法运算即可．
解：（1）3x−2y=5①x+4y=4②，
①×2得：6x﹣4y＝10③，
②+③得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得：2+4y＝4，
解得：y=12，
故原方程组的解是：x=2y=12；
（2）xx−3−x+3x−3⋅x2+3xx2+6x+9
=xx−3−x+3x−3⋅x(x+3)(x+3)2
=xx−3−xx−3
＝0．
总结提升：本题主要考查分式的混合运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
46．（2023•张家口二模）已知实数x，y满足y2＝20﹣x．
（1）当y＞1时，求x的取值范围；
（2）①当x＝16时，求y的值；
②若x的取值范围如图所示，求非正数y的取值范围．
思路引领：根据不等式的基本性质和等式的基本性质可得相关答案．
解：（1）∵当y＞1，
∴y2＞1，
∵y2＝20﹣x，
∴20﹣x＞1，
∴x＜19．
（2）①把x＝16代入y2＝20﹣x，
∴y2＝20﹣16＝4，
y＝±2．
②由图得，16≤x≤20，
∴﹣20≤﹣x≤﹣16，
0≤20﹣x≤4，即0≤y2≤4，
∴﹣2≤y≤2．
∵y为非正数，
∴﹣2≤y≤0．
总结提升：本题考查了不等式的性质和等式的性质，关键是不等式两边同时乘除负数时改变符号的问题．
47．（2023•永定区一模）计算：−12022+|3−2|+tan60°+(π−3.14)0+(12)−2．
思路引领：根据有理数的乘方，化简绝对值，特殊的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可求解．
解：原式=−1+2−3+3+1+4
=−1+2−3+3+1+4
＝6．
总结提升：本题考查了实数的混合运算，熟练掌握有理数的乘方，化简绝对值，特殊的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂是解题的关键．
48．（2023•徐州模拟）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；
（2）解不等式组：3x−1≥51+2x3＞x−1．
思路引领：（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1；
（2）由3x﹣1≥5得：x≥2，
由1+2x3＞x﹣1得：x＜4，
则不等式组的解集为2≤x＜4．
总结提升：本题考查的是解二元一次方程和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
49．（2023•庐阳区校级模拟）解不等式组：5x+6≤2(x−3)x3−1＜x−44．
思路引领：分别解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定答案即可．
解：5x+6≤2(x−3)①x3−1＜x−44②，
解不等式①，得 x≤﹣4，
解不等式②，得，x＜0，
∴原不等式组的解集为x≤﹣4．
总结提升：本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键．
50．（2023•南明区校级模拟）（1）如图，有理数a、b、c在数轴上的位置大致如图，比较大小：b ＞ c，a+c ＜ 0；
（2）请在下列不等式中任意选择两个组成不等式组，解不等式组并将解集表示在数轴上．
①4（x+3）＜x﹣6；
②3x﹣2＞1；
③x+1＜3．
思路引领：（1）由数轴可得b＞c，由a＜0，c＜0可得a+c＜0；
（2）任选两个不等式联立成不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）由数轴知b＞c，
∵a＜0，c＜0，
∴a+c＜0，
故答案为：＞，＜；
（2）3x−2＞1①x+1＜3②，
由①得x＞1，
由②得x＜2，
则不等式组的解集为1＜x＜2，
将解集表示在数轴上如下：
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
51．（2023•临安区一模）解分式方程：xx−2+42−x=3
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括号，得：x+4＝3x﹣6．
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣10．
两边同时除以﹣2，得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
思路引领：根据解分式方程的步骤计算即可．
解：有错误．
去分母，得：x﹣4＝3（x﹣2），
去括号，得：x﹣4＝3x﹣6，
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣2，
两边同时除以﹣2，得：x＝1．
经检验，x＝1是原方程的解．
总结提升：本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．
52．（2023•武汉模拟）解不等式组2x≤3−xx−4≥4x+2，请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 x≤1 ；
（2）解不等式②，得 x≤﹣2 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 x≤﹣2 ．
思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可．
解：（1）解不等式①，得x≤1；
（2）解不等式②，得x≤﹣2；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是x≤﹣2．
故答案为：x≤1，x≤﹣2，x≤﹣2．
总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
53．（2023•达州一模）（1）计算：（1−3）0+|−2|﹣2cs45°+（14）﹣1．
（2）已知方程m2x2+（2m+1）x+1＝0有实数根，求m的取值范围．
思路引领：（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义和特殊角的三角函数值计算，然后合并即可；
（2）方程有实数根，可以分为一元一次方程和一元二次方程．一元一次方程始终是有实数根，一元二次方程可以用Δ≥0判断．
解：（1）（1−3）0+|−2|﹣2cs45°+（14）﹣1
＝1+2−2×22+4
＝1+2−2+4
＝5；
（2）当m2＝0，即m＝0时，方程变为x+1＝0，有实数根；
当m2≠0，即m≠0时，原方程要有实数根，则Δ≥0，即Δ＝（2m+1）2﹣4m2＝4m+1≥0，解得m≥−14，
则m的范围是m≥−14且m≠0．
综上所述，m的取值范围为m≥−14．
总结提升：本题考查了实数的运算，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂和根的判别式是解决问题的关键．
54．（2023•章丘区一模）解不等式组：4(x−1)＞2x+32x−23≤4，并写出它的所有整数解．
思路引领：首先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求出所有整数解即可．
解：4(x−1)＞2x+3①2x−23≤4②
由①得：4x﹣4＞2x+3，
解得：x＞72
由②得：2x﹣2≤12，
解得：x≤7，
所以，不等式组的解集为：72＜x≤7，
所以，它的所有整数解为4，5，6，7．
总结提升：本题考查了求不等式组的整数解，准确求得不等式组的解集是解决本题的关键．
55．（2023•南湖区校级一模）（1）解方程：xx−1+21−x=3；
（2）解不等式组：x−1＜4x+25−2x＜15−4x．
思路引领：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
解：（1）去分母得：x+（﹣2）＝3（x﹣1），
解：x=12，
经检验x=12是原方程的解；
（2）x−1＜4x+2①5−2x＜15−4x②，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x＜5，
∴不等式组的解集是﹣1＜x＜5．
总结提升：此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
56．（2023•邗江区一模）解不等式组：4x≤2(x+1)2+x＞x2，并求出不等式组所有非正整数解的和．
思路引领：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出非正整数解的和即可．
解：4x≤2(x+1)①2+x＞x2②，
解不等式①得x≤1，
解不等式②得x＞﹣2，
∴不等式组的解集是：﹣2＜x≤1．
∴不等式组的非正整数解为0，﹣1，
∴不等式组所有非正整数解的和为﹣1+0＝﹣1．
总结提升：此题考查了一元一次方程组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
57．（2023•韩城市一模）求不等式3x−13−x+12≤1的正整数解．
思路引领：根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去考号、移项、合并同类项、化系数为1，依次计算求出x的解集，在解集中找出符合要求的正整数解即可．
解：3x−13−x+12≤1，
去分母得：2（3x﹣1）﹣3（x+1）≤6，
去括号得：6x﹣2﹣3x﹣3≤6，
移项得：6x﹣3x≤6+2+3，
合并同类项得：3x≤11，
化系数为1得：x≤113，
∴原不等式的正整数解为1，2，3．
总结提升：本题主要考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．
58．（2023•京口区模拟）（1）解不等式组：x+2≥03x−12＜2x+1；
（2）解方程：2x−5x−2+3=3x−3x−2．
思路引领：（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）x+2≥0①3x−12＜2x+1②，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为x≥﹣2；
（2）去分母得：2x﹣5+3x﹣6＝3x﹣3，
解得：x＝4，
检验：把x＝4代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝4．
总结提升：此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
59．（2023•茅箭区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22−x1x2=19，求m的值．
思路引领：（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出m的值．
（1）证明：x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
∵Δ＝（m﹣3）2﹣4×（﹣m）
＝m2﹣6m+9+4m
＝m2﹣2m+1+8
＝（m﹣1）2+8≥8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系可得：x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m，
∵x12+x22−x1x2=19，
∴(x1+x2)2−3x1x2=19，即（m﹣3）2+3m＝19，
整理得：m2﹣3m﹣10＝0，即（m﹣5）（m+2）＝0，
所以m﹣5＝0或m+2＝0，
解得：m＝5或m＝﹣2．
故m的值是5或﹣2．
总结提升：此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键
60．（2023•青海一模）提出问题：
为解方程（x2﹣2）2﹣11（x2﹣2）+18＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后可设x2﹣2＝y，则（x2﹣2）2＝y2，于是原方程可转化为y2﹣11y+18＝0，解此方程，得y1＝2，y2＝9．
当y1＝2时，x2﹣2＝2，x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝9时，x2﹣2＝9，x2＝11，∴x=±11．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，x3=−11，x4=11．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
（1）运用上述换元法解方程x4﹣3x2﹣4＝0．
延伸拓展：
（2）已知实数m，n满足（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，求4m+12n﹣3的值．
思路引领：（1）设x2＝y，则原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解该方程得到y的值，然后解关于x的一元二次方程即可；
（2）设m+3n＝t，（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4可变形为t（t﹣2）＝2t﹣4，解此方程t＝2，则m+3n＝2，再将其整体代入即可求解．
解：（1）设x2＝y，
则原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，
解得：y1＝4，y2＝﹣1，
当y1＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝﹣1，x2＝﹣1，此方程无解．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2；
（2）∵（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，
∴（m+3n）（m+3n﹣2）＝2（m+3n）﹣4，
设m+3n＝t，
则t（t﹣2）＝2t﹣4，
整理得：t2﹣4t+4＝（t﹣2）2＝0，
解得：t＝2，
∴m+3n＝2，
∴4m+12n﹣3＝4（m+3n）﹣3＝4×2﹣3＝5．
总结提升：本题主要考查换元法解一元二次方程、代数式求值．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
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