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中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题48解答题最常考题型一次函数的实际应用(原卷版+解析)
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这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题48解答题最常考题型一次函数的实际应用(原卷版+解析)，共64页。试卷主要包含了2022中考真题集训，费用最少问题，行程问题等内容，欢迎下载使用。
类型一 利润最大问题
1．(2023•南通）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．
（1）写出图中点B表示的实际意义；
（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．
2．(2023•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
3．(2023•苏州）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
4．(2023•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhnRhn）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
5．(2023•东营）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
6．(2023•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
类型二 费用最少问题
7．(2023•钢城区）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍．则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
8．(2023•黔西南州）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．
（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？
（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．
9．(2023•济宁）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
10．(2023•深圳）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
11．(2023•十堰）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y=2x，0＜x≤30−6x+240，30＜x≤40，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 件；
（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
12．(2023•通辽）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）两图象交于点A，求点A坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
13．(2023•广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．
（1）求A、B两厂各运送多少吨水泥；
（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
14．(2023•遵义）遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．
（1）求A，B型设备单价分别是多少元；
（2）该校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的13．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
15．(2023•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y=12x，0≤x≤10−20x+320，10＜x≤16，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；
（2）求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
类型三 行程问题
16．(2023•盐城）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小丽步行的速度为 m/min；
（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．
17．(2023•长春）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
18．(2023•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
19．(2023•黑龙江）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 km/h，乙车出发时速度是 km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
20．(2023•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
（1）加热前水温是 ℃．
（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．
（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 ℃．
21．(2023•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分；
（2）图中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）求线段MN的函数解析式；
（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）
22．(2023•湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
23．(2023•成都）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示．
（1）直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？
模块二 2023中考押题预测
24．（2023•范县一模）商家发现最近很多社区开展“全民健身全家健康”的活动，为了适应市场需求，服务场周围群众，商场需要从厂家购进两种不同型号和价格的“羽毛球拍”，已知用6000元购进“A型拍”与用4000元购进“B型球拍”的数量相同，且每副“B型球拍”比每副“A型球拍”的价格便宜40元．
（1）求这两种“羽毛球拍”每副的价格．
（2）该商场计划购进“A型球拍”的数量比“B型球拍”数量的2倍还多10副，且两种“羽毛球拍”的数量不超过160副，售价见店内海报（如图所示），该商场应如何安排进货才能使完全售出后利润最大？最大利润是多少？
25．（2023•南山区二模）应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
26．（2023•大庆一模）大庆市为了筹建第五届旅发大会，建设滨水绿道，围绕“以河连湖，以绿串蓝”的理念，秉承“惠及民生、全民共享”的初心，串起一河五湖，沿黎明河主轴线纵伸延展，采用上跨立交和下穿通行的方式，建成一个全长35公里的滨水生态慢行系统．小东与父亲每天在某区段匀速慢跑，以600m距离为一个训练段．已知父子俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人．已知小东先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）小东的速度为 m/s、父亲的速度为 m/s；
（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；
（3）直接写出整个过程中，哪个时间段内，父子两人之间距离超过了100m．
27．（2023•齐齐哈尔一模）某实验室对甲、乙两机器人进行装卸货物测试，在实验场地的一条直线上依次设置货物装卸点A，B，C三地，甲、乙两机器人同时从A地匀速出发，甲机器人到达C地后装货1分钟，再以原速原路返回A地，乙机器人到达B地后装货1分钟，再以原速前往C地，结果甲、乙两机器人同时到达各自目的地，在两机器人行驶的过程中，甲、乙两机器人距A地的距离y（单位：米）与甲机器人所用时间x（单位：分）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离为 米，甲机器人的速度为 米/分；
（2）求乙机器人从B地到C地行驶过程中y与x的函数关系式（不用写出x的取值范围）；
（3）两机器人经过多长时间相距120米？请直接写出答案．
28．（2023•浦东新区二模）某市全面实施居民“阶梯水价”，当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见表：
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
（1）如果果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？
（2）居民缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关如图所示，求第二阶梯（线段AB）的表达式；
（3）如果小明家全年数纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
29．（2023•文山市一模）国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示．
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1600元购进乙种水果的重量相同．
（1）求x的值；
（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
30．（2023•雁塔区校级模拟）西安是一个历史悠久风景美丽的城市．已经结束的2022年西安国际马拉松比赛，从赛道两旁的美景到热情的古城人民都给大家留下了美好的回乙．为了积极准备2023年西安国际马拉松比赛，小明和小亮相约周末去曲江池锻炼．他们计划沿着曲江池跑两圈，已知曲江池一圈路程为4.2km，他们从同一地点出发，小亮先跑，他们的锻炼过程如图所示，横轴表示跑步时间，纵轴表示路程，请根据图中信息回答下列问题．
（1）小亮的速度为 米/分钟，小明跑第一圈的速度为 米/分钟．
（2）小明出发几分钟时第一次追上小亮？
（3）在跑第二圈时小明将速度调整为180米/分，请通过计算判断小明和小亮谁先跑完两圈到达终点？
31．（2023•前郭县一模）在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖道铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是所铺设彩色砖道的长度y（m）关于施工时间x（h）的部分函数图象．请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式；
（2）如果甲队施工速度不变，乙队在6h后，施工速度增加到12m/h，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色砖道的长度为多少米．
32．（2023•碑林区校级模拟）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表：
设运往甲地的货物为x吨，全部运出的总费用为y元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若该公司运出货物的总费用不超过4800元，求该公司运往甲地至少多少吨货物？
33．（2023•许昌一模）据悉，河南省中招体育考试成绩将于2024年起，由现在的满分70分提高到100 分计入总分．某中学为了满足体育课的需要，计划购买A，B两个品牌的篮球若干个，市场调研得知，购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元．
（1）求A，B两种品牌篮球的单价；
（2）学校在选定的超市实际购买时，发现有两种购买方案：
方案一：购买A品牌篮球的数量如果不超过10个，按原价销售；如果超过10个，超过部分按八折优惠；B品牌篮球一律按原价销售．
方案二：购买A品牌和B品牌篮球都按八五折优惠．
该中学计划购买A品牌篮球x个，B品牌篮球10个．
①请分别写出这两种方案所需的费用y（单位：元）与x的函数关系式；
②已知x＞10，则该校选择哪种方案购买更合算？请说明理由．
34．（2023•河北区一模）快递站、药店和客户家依次在同一直线上，快递站距药店、客户家的距离分别为600m和1800m，快递员小李从快递站出发去往客户家送快递，他先匀速骑行了10min后，接到该客户电话，又用相同的速度骑行了6min返回刚才路过的药店帮该客户买药，小李在药店停留了4min后，继续去往客户家，为了赶时间他加快速度，匀速骑行了6min到达客户家准时投递，下面的图象反映了这个过程中小李离快递站的距离y（m）与离开快递站的时间x（min）之间的对应关系．
请解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①药店到客户家的距离是 m；
②小李从快递站出发时的速度为 m/min；
③小李从药店取完药到客户家的骑行速度为 m/min；
④小李离快递站的距离为1200m时，他离开快递站的时间为 min；
（Ⅲ）当10≤x≤26时，请直接写出y关于x的函数解析式．
35．（2023•绿园区一模）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）甲队在开挖后6小时内，每小时挖 m．
（2）当2≤x≤6时，求y乙与x的之间的函数关系式．
（3）直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m．
36．（2023•红桥区一模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行0.5h到达体育馆；在体育馆停留一段时间后，匀速步行0.4h到达图书馆；在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中，给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离ykm与离开家的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①体育馆与图书馆之间的距离为 km；
②小明从体育馆到图书馆的步行速度为 km/h；
③当小明离开家的距离为4km时，他离开家的时间为 h．
（Ⅲ）当2≤x≤4时，请直接写出y关于x的函数解析式．
37．（2023•衡水模拟）202年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元．
（1）求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少；
（3）在（2）的条件下，该商店对A品牌足球以每个优惠a（15＜a＜25）元的价格进行“双十二”促销活动，B品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为4240元，请直接写出a的值．
38．（2023•杏花岭区校级模拟）在2022年卡塔尔世界杯期间，某商店分两次购入某款纪念册和某款吉祥物两种商品进行销售，若两次进价相同，第一次购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250元，第二次购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元．
（1）分别求每件纪念册和每件吉祥物的进价．
（2）为满足市场需求，商店准备第三次购入纪念册和吉祥物共500件，且购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍．若进价不变，每件纪念册与每件吉祥物的售价分别为65元、220元，求购入纪念册和吉祥物分别多少件时，商店获得利润最高．
39．（2023•虎林市校级一模）我市组织20辆汽车装运A，B，C三种水果共有100吨到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能整吨装运同一种水果，且必须装满．
根据表格中提供的信息，解答以下问题：
（1）设有x辆车装运A种水果，有y辆车装运B种水果，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种水果的车都不少于4辆，那么可以安排哪几种运输方案？
（3）在（2）的条件下，若要此次销售获利最大，应安排哪种方案？求出最大利润．
进货批次
甲种水果质量
（单位：千克）
乙种水果质量
（单位：千克）
总费用
（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
合
户年用水量（立方米）
自来水单价（元/立方米）
污水处理单价（元/立方米）
第一阶梯
0﹣220（含220）
2.25
1.8
第三阶梯
220﹣300（含300）
4
第三阶梯
300以上
6.99
注：应缴纳水费＝户年用水量×（自来水单价+污水处理单价）
水果
价钱
甲
乙
进价（元/千克）
x
x+4
售价（元/千克）
20
25
目的地
甲地
乙地
每吨费用（元）
120
200
小李离开快递站的时间/min
2
8
16
18
26
小李离快递站的距离/m
300
600
小明离开家的时间/h
0.1
0.3
1.5
2.2
3.3
小明离开家的距离/km1.2
1.2
6
水果品种
A
B
C
每辆汽车运载量/吨
6
5
4
每吨水果获利/百元
12
16
10
专题48 解答题最常考题型一次函数的实际应用（解析版）
模块一 2022中考真题集训
类型一 利润最大问题
1．(2023•南通）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．
（1）写出图中点B表示的实际意义；
（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．
思路引领：（1）根据图形即可得出结论；
（2）用待定那个系数法分别求出甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式即可；
（3）分0≤a≤30和30＜a≤120两种情况列方程求解即可．
解：（1）图中点B表示的实际意义为当销量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元；
（2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝kx（k≠0），
把（60，1200）代入解析式得：1200＝60k，
解得k＝20，
∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝20x（0≤x≤120）；
当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝k′x（k′≠0），
把（30，750）代入解析式得：750＝30k′，
解得：k′＝25，
∴y乙＝25x；
当30≤x≤120时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝mx+n（m≠0），
则30m+n=75060m+n=1200，
解得：m=15n=300，
∴y乙＝15x+300，
综上，乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙=25x(0≤x≤30)15x+300(30＜x≤120)；
（3）①当0≤a≤30时，
根据题意得：（20﹣8）a+（25﹣12）a＝1500，
解得：a＝60＞30，不合题意；
②当30＜a≤120时，
根据题意得：（20﹣8）a+（15﹣12）a+300＝1500，
解得：a＝80，
综上，a的值为80．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
2．(2023•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
思路引领：（1）设某商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，根据条件建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设某商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，根据条件的数量关系建立不等式组求出其解即可；
（3）设总利润为W元，根据总利润＝两种商品的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求值即可．
解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，
由题意，得10a+5b=10005a+3b=550，
解得a=50b=100，
∴该商店购进A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，
根据题意，得50x+100y＝10000，
由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，
把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，
∵y≥20，
∴20≤y≤25且为正整数，
∴y可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，
与y相对应的x可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，
∴共有6种进货方案；
（3）设总利润为W元，
则W＝20x+30y＝﹣10y+4000，
∵﹣10＜0，
∴W随y的增大而减小，
∴当y＝20时，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
总结提升：本题考查了一次函数、一元一次不等式解实际问题的运用，解答时求出A，B两种纪念品的单价是关键．
3．(2023•苏州）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
思路引领：（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．构建方程组求解；
（2）设第三次购进x千克甲种水果，则购进（200﹣x）千克乙种水果．由题意，得12x+20（200﹣x）≤3360，解得x≥80．设获得的利润为w元，由题意，得w＝（17﹣12）×（x﹣m）+（30﹣20）×（200﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，利用一次函数的性质求解．
解：（1）设甲两种水果的进价为每千克a元，乙两种水果的进价为每千克b元．
由题意，得60a+40b=152030a+50b=1360，
解得a=12b=20，
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
（2）设第三次购进x千克甲种水果，则购进（200﹣x）千克乙种水果．
由题意，得12x+20（200﹣x）≤3360，
解得x≥80．
设获得的利润为w元，
由题意，得w＝（17﹣12）×（x﹣m）+（30﹣20）×（200﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，
∵﹣5＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝80时，w的值最大，最大值为﹣35m+1600，
由题意，得﹣35m+1600≥800，
解得m≤1607，
∴m的最大整数值为22．
总结提升：本题考查一次函数的应用，二元一次方程组不等式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．
4．(2023•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhnRhn）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
思路引领：（1）根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．
解：（1）设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进价为y元/个，
由题意可得：15x+5y=1400x+y=136，
解得x=72y=64，
答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进价为64元/个；
（2）设冰墩墩购进a个，则雪容融购进（40﹣a）个，利润为w元，
由题意可得：w＝28a+20（40﹣a）＝8a+800，
∴w随a的增大而增大，
∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，
∴a≤1.5（40﹣a），
解得a≤24，
∴当a＝24时，w取得最大值，此时w＝992，40﹣a＝16，
答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．
总结提升：本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
5．(2023•东营）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
思路引领：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，由题意：用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，由题意得w＝﹣m+450，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2 （150﹣m），然后由一次函数的性质即可得出结论．
解：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，
由题意得：1000(1−20%)x=1200x+10，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意，
则5×（1﹣20%）＝4，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，
由题意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 （150﹣m），
解得：m≥100，
∵﹣1＜0，则w随m的增大而减小，
∴当m＝100时，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，
则150﹣m＝50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．
总结提升：本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
6．(2023•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
思路引领：（1）分当0≤x≤2000时，当x＞2000时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当1600≤x≤2000时，当2000＜x≤4000时，分别列出w与x的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意可知，降价后，w与x的关系式，并根据利润不低于15000，可得出a的取值范围．
解：（1）当0≤x≤2000时，设y＝k′x，根据题意可得，2000k′＝30000，
解得k′＝15，
∴y＝15x；
当x＞2000时，设y＝kx+b，
根据题意可得，2000k+b=300004000k+b=56000，
解得k=13b=4000，
∴y＝13x+4000．
∴y=15x(0≤x≤2000)13x+4000(x＞2000)．
（2）根据题意可知，购进甲种产品（6000﹣x）千克，
∵1600≤x≤4000，
当1600≤x≤2000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）•x＝﹣x+24000，
∵﹣1＜0，
∴当x＝1600时，w的最大值为﹣1×1600+24000＝22400（元）；
当2000＜x≤4000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，
∵1＞0，
∴当x＝4000时，w的最大值为4000+20000＝24000（元），
综上，w=−x+24000(1600≤x≤2000)x+20000(2000＜x≤4000)；
当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
（3）根据题意可知，降价后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x﹣（13x+4000）＝（1﹣a）x+20000﹣6000a，
当x＝4000时，w取得最大值，
∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．
∴a的最大值为0.9．
总结提升：本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
类型二 费用最少问题
7．(2023•钢城区）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍．则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
思路引领：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，可得：20x+16y=1280x−y=10，即可解得甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，根据购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，得m≥25，而w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，由一次函数性质可得购买甲种树苗25棵，则购买乙种树苗75棵，花费最少．
解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，
根据题意得：20x+16y=1280x−y=10，
解得x=40y=30，
答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少，理由如下：
设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（100﹣m）棵，
∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，
∴100﹣m≤3m，
解得m≥25，
根据题意：w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝25时，w取最小值，最小值为10×25+3000＝3250（元），
此时100﹣m＝75，
答：购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少．
总结提升：本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
8．(2023•黔西南州）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．
（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？
（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．
思路引领：（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，求解即可；
（2）设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为（400﹣m）盆，种植两种花卉的总费用为w元，由题意：这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，列出一元一次不等式，解得m≤200，再由题意得w＝﹣30m+24000，然后由一次函数的性质即可得出结论．
解：（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意，
得：3x+4y=3304x+3y=300，
解得：x=30y=60，
答：每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元；
（2）设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为（400﹣m）盆，种植两种花卉的总费用为w元，
根据题意，得：（1﹣70%）m+（1﹣90%）（400﹣m）≤80，
解得：m≤200，
w＝30m+60（400﹣m）＝﹣30m+24000，
∵﹣30＜0，
∴w随m的增大而减小，
当m＝200时，w的最小值＝﹣30×200+24000＝18000，
答：种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元．
总结提升：本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
9．(2023•济宁）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
思路引领：（1）设甲种货车用了x辆，可得：16x+12（24﹣x）＝328，即可解得甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；
（2）①根据题意得：w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500
②根据前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，可得4≤t≤10，由一次函数性质可得当t为4时，w最小，最小值是22700元．
解：（1）设甲种货车用了x辆，则乙种货车用了（24﹣x）辆，
根据题意得：16x+12（24﹣x）＝328，
解得x＝10，
∴24﹣x＝24﹣10＝14，
答：甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；
（2）①根据题意得：
w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500
∴w与t之间的函数解析式是w＝50t+22500；
②∵t≥012−t≥010−t≥014−(12−t)≥0，
∴0≤t≤10，
∵前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，
∴16t+12（12﹣t）≥160，
解得t≥4，
∴4≤t≤10，
在w＝50t+22500中，
∵50＞0，
∴w随t的增大而增大，
∴t＝4时，w取最小值，最小值是50×4+22500＝22700（元），
答：当t为4时，w最小，最小值是22700元．
总结提升：本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
10．(2023•深圳）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
思路引领：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，根据用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样列方程，从而可解决问题；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，列出w关于a的函数解析式，由一次函数的性质可得答案．
解：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，
由题意得，110x=120x+1，
解得x＝11，
经检验x＝11是原方程的解，且符合题意，
∴乙类型的笔记本单价为x+1＝11+1＝12（元），
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，
∵购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴100﹣a≤3a，且100﹣a≥0，
解得25≤a≤100，
根据题意得w＝11a+12（100﹣a）＝11a+1200﹣12a＝﹣a+1200，
∵﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴a＝100时，w最小值为﹣100+1200＝1100（元），
答：最低费用为1100元．
总结提升：本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．
11．(2023•十堰）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y=2x，0＜x≤30−6x+240，30＜x≤40，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 30 件；
（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
思路引领：（1）利用日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式，将x＝15代入对应的函数关系式中即可；
（2）利用分类讨论的方法，分①当0＜x≤20时，②当20＜x≤30时两种情形解答：利用日销售额＝日销售量×销售单价计算出日销售额，再利用一次函数和二次函数的性质解答即可；
（3）利用分类讨论的方法，分①当0＜x≤20时，②当20＜x≤30时两种情形解答：利用已知条件列出不等式，求出满足条件的x的范围，再取整数解即可．
解：（1）∵日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y=2x，0＜x≤30−6x+240，30＜x≤40，
∴第15天的销售量为2×15＝30件，
故答案为：30；
（2）由销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数图象得：
p=40(0＜x≤20)50−12x(20＜x≤40)，
①当0＜x≤20时，
日销售额＝40×2x＝80x，
∵80＞0，
∴日销售额随x的增大而增大，
∴当x＝20时，日销售额最大，最大值为80×20＝1600（元）；
②当20＜x≤30时，
日销售额＝（50−12x）×2x＝﹣x2+100x＝﹣（x﹣50）2+2500，
∵﹣1＜0，
∴当x＜50时，日销售额随x的增大而增大，
∴当x＝30时，日销售额最大，最大值为2100（元），
综上，当0＜x≤30时，日销售额的最大值为2100元；
（3）由题意得：
当0＜x≤30时，2x≥48，
解得：24≤x≤30，
当30＜x≤40时，﹣6x+240≥48，
解得：30＜x≤32，
∴当24≤x≤32时，日销售量不低于48件，
∵x为整数，
∴x的整数值有9个，
∴“火热销售期”共有9天．
总结提升：本题主要考查了一次函数的应用，一次函数的性质，二次函数的性质，配方法求函数的极值，正确利用自变量的取值范围确定函数的关系式是解题的关键．
12．(2023•通辽）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）两图象交于点A，求点A坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
思路引领：（1）根据题意和题目中的数据，可以分别写出y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）根据（1）中的结果和题意，令0.85x＝0.7x+90，求出x的值，再求出相应的y的值，即可得到点A的坐标．
（3）根据函数图象和（2）中点A的坐标，可以写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
解：（1）由题意可得，
y甲＝0.85x，
当0≤x≤300时，y乙＝x，
当x＞300时，y乙＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90，
则y乙=x(0≤x≤300)0.7x+90(x＞300)；
（2）令0.85x＝0.7x+90，
解得x＝600，
将x＝600代入0.85x得，0.85×600＝510，
即点A的坐标为（600，510）；
（3）由图象可得，
当x＜600时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当x＝600时，两家体育专卖店购买体育用品一样合算；当x＞600时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．(2023•广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．
（1）求A、B两厂各运送多少吨水泥；
（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
思路引领：（1）设A厂运送水泥x吨，则B厂运送水泥（x+20）吨，根据A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨列出方程，解方程即可；
（2）设从A厂运往甲地水泥a吨，则A厂运往乙地水泥（250﹣a） 吨，B厂运往甲地水泥（240﹣a）吨，B厂运往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）吨，然后根据题意列出总费用w关于a的函数解析式，并根据函数的性质求最值，以及此时a的值．
解：（1）设A厂运送水泥x吨，则B厂运送水泥（x+20）吨，
根据题意得：x+x+20＝520，
解得：x＝250，
此时x+20＝270，
答：A厂运送水泥250吨，B厂运送水泥270吨；
（2）设从A厂运往甲地水泥a吨，则A厂运往乙地水泥（250﹣a） 吨，B厂运往甲地水泥（240﹣a）吨，B厂运往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）吨，
由题意得：w＝40a+35（250﹣a）+28（240﹣a）+25（a+30）＝40a+8750﹣35a+6720﹣28a+25a+750＝2a+16220，
∵B厂运往甲地的水泥最多150吨，
∴240﹣a≤150，
解得：a≥90，
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝90时，总运费最低，
最低运费为：2×90+16220＝16400（元），
∴最低运送方案为A厂运往甲地水泥90吨，运往乙地水泥160吨：B厂运往甲地水泥150吨，B厂运往乙地水泥120吨，最低运费为16400元．
总结提升：此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．
14．(2023•遵义）遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．
（1）求A，B型设备单价分别是多少元；
（2）该校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的13．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
思路引领：（1）设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元，根据“用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台”建立方程，解方程即可．
（2）根据总费用＝购买A型设备的费用+购买B型设备的费用，可得出w与a的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出a的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论．
解：（1）设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元，
根据题意得，300001.2x=15000x+4，
解得：x＝2500．
经检验，x＝2500是原方程的解．
∴1.2x＝3000，
∴每台B型设备的价格为2500元，则每台A型号设备的价格为3000元．
（2）设购买a台A型设备，则购买（50﹣a）台B型设备，
∴w＝3000a+2500（50﹣a）＝500a+125000，
由实际意义可知，a≥050−a≥0a≥13(50−a)，
∴12.5≤a≤50且a为整数，
∵500＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝13时，w的最小值为500×13+125000＝131500（元）．
∴w＝500a+125000，且最少购买费用为131500元．
总结提升：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
15．(2023•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y=12x，0≤x≤10−20x+320，10＜x≤16，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；
（2）求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
思路引领：（1）当10≤x≤16时，y＝﹣20x+320，把x＝14代入，求出其解即可；
（2）利用待定系数法即可求得草莓价格m与x之间的函数关系式；
（3）利用销售金额＝销售量×草莓价格，比较第8天与第10天的销售金额，即可得答案．
解：（1）∵当10≤x≤16时，y＝﹣20x+320，
∴当x＝14时，y＝﹣20×14+320＝40（千克），
∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．
（2）当4≤x≤12时，设草莓价格m与x之间的函数关系式为m＝kx+b，
∵点（4，24），（12，16）在m＝kx+b的图象上，
∴4k+b=2412k+b=16，
解得：k=−1b=28，
∴函数解析式为m＝﹣x+28．
（3）当0≤x≤10时，y＝12x，
∴当x＝8时，y＝12×8＝96，
当x＝10时，y＝12×10＝120；
当4≤x≤12时，m＝﹣x+28，
∴当x＝8时，m＝﹣8+28＝20，
当x＝10时，m＝﹣10+28＝18
∴第8天的销售金额为：96×20＝1920（元），
第10天的销售金额为：120×18＝2160（元），
∵2160＞1920，
∴第10天的销售金额多．
总结提升：此题考查了一次函数的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．
类型三 行程问题
16．(2023•盐城）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小丽步行的速度为 80 m/min；
（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．
思路引领：（1）用路程除以速度即可得小丽步行的速度；
（2）求出小华的速度，即可求出两人相遇所需的时间，进而可得小丽所走路程，即是他们到甲地的距离．
解：（1）由图象可知，小丽步行的速度为240030=80（m/min），
故答案为：80；
（2）由图象可得，小华骑自行车的速度是240020=120（m/min），
∴出发后需要2400120+80=12（min）两人相遇，
∴相遇时小丽所走的路程为12×80＝960（m），
即当两人相遇时，他们到甲地的距离是960m．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息．
17．(2023•长春）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）m＝ 2 ，n＝ 6 ；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
思路引领：（1）由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出m＝2，根据以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地知n＝6；
（2）用待定系数法可得y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）求出乙的速度，即可得乙到A地所用时间，即可求得甲车距A地的路程为300千米．
解：（1）由题意知：m＝200÷100＝2，
n＝m+4＝2+4＝6，
故答案为：2，6；
（2）设y＝kx+b，将（2，200），（6，440）代入得：
2k+b=2006k+b=440，
解得k=60b=80，
∴y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）乙车的速度为（440﹣200）÷2＝120（千米/小时），
∴乙车到达A地所需时间为440÷120=113（小时），
当x=113时，y＝60×113+80＝300，
∴甲车距A地的路程为300千米．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
18．(2023•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 300 米/分钟，乙的速度为 800 米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
思路引领：（1）利用速度＝路程÷时间，找准甲乙的路程和时间即可得出结论；
（2）根据（1）中的计算可得出点G的坐标，设直线FG的解析式为：y＝kx+b，将F，G的坐标代入，求解方程组即可；
（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），
∴乙的速度为：800÷1＝800（米/分钟），
∴乙从B地到C地用时：2400÷800＝3（分钟），
∴G（6，2400）．
∴H（8，2400）．
∴甲的速度为2400÷8＝300（米/分钟），
故答案为：300；800；
（2）设直线FG的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且由图象可知F（3，0），
由（1）知G（6，2400）．
∴3k+b=06k+b=2400，
解得，k=800b=−2400．
∴直线FG的解析式为：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．
（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米．
∵O（0，0），H（8，2400），
∴直线OH的解析式为：y＝300x，
∵D（1，800），
∴直线OD的解析式为：y＝800x，
当0≤x≤1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向走，
∴令800x+300x＝600，解得x=611．
∵当2≤x≤3时，甲从B继续往C地走，乙从A地往B地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600解得x=185（不合题意，舍去）
∵当x＞3时，甲从B继续往C地走，乙从B地往C地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，
解得x=185或x＝6．
综上，出发611分钟或185分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
总结提升：本题考查一次函数的应用、路程＝速度×时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，将图象中的信息转化为实际行程问题，属于中考常考题型．
19．(2023•黑龙江）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 100 km/h，乙车出发时速度是 60 km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
思路引领：（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲车速度和乙车出发时速度；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式；
（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
解：（1）由图象可得，
甲车的速度为：500÷5＝100（km/h），
乙车出发时速度是：300÷5＝60（km/h），
故答案为：100，60；
（2）乙车返回过程中，设乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式是y＝kx+b，
∵点（9，300），（12，0）在该函数图象上，
∴9k+b=30012k+b=0，
解得k=−100b=1200，
即乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式是y＝﹣100x+1200；
（3）设乙车出发m小时，两车之间的距离是120km，
当0＜m＜5时，
100m﹣60m＝120，
解得m＝3；
当5.5＜m＜8时，
100（m﹣5.5）+120+300＝500，
解得m＝6.3；
当9＜m＜12时，
乙车返回的速度为：300÷（12﹣9）＝100（km/h），
100（m﹣8）+100（m﹣9）＝120，
解得m＝9.1；
答：乙车出发3小时或6.3小时或9.1小时，两车之间的距离是120km．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
20．(2023•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
（1）加热前水温是 20 ℃．
（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．
（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 65 ℃．
思路引领：（1）由图象x＝0时y＝20求解．
（2）通过待定系数法求解．
（3）由图象可求出甲壶的加热速度，求出甲壶中水温达到80℃时的x，将其代入（2）中解析式求解．
解：（1）由图象得x＝0时y＝20，
∴加热前水温是20℃，
故答案为：20．
（2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y＝kx+b，
将（0，20），（160，80）代入y＝kx+b得20=b80=160k+b，
解得k=38b=20，
∴y=38x+20．
（3）甲水壶的加热速度为（60﹣20）÷80=12℃/s，
∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为（80﹣20）÷12=120s，
将x＝120代入y=38x+20得y＝65，
故答案为：65．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握一次函数与方程的关系．
21．(2023•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A、B两地之间的距离是 1200 米，乙的步行速度是 60 米/分；
（2）图中a＝ 900 ，b＝ 800 ，c＝ 15 ；
（3）求线段MN的函数解析式；
（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）
思路引领：（1）利用函数图象中的信息直接得到A、B两地之间的距离，再利用函数图象中的信息即可求得乙的步行速度；
（2）利用（1）的结论通过计算即可得出结论；
（3）利用待定系数法解答即可；
（4）利用分类讨论的方法，分别求得相遇前和相遇后两人相距80米时的时间即可求得结论．
解：（1）由图象知：当x＝0时，y＝1200，
∴A、B两地之间的距离是1200米；
由图象知：乙经过20分钟到达A，
∴乙的速度为120020=60（米/分）．
故答案为：1200；60；
（2）由图象知：当x=607时，y＝0，
∴甲乙二人的速度和为：1200÷607=140（米/分），
设甲的速度为x米/分，则乙的速度为（140﹣x）米/分，
∴140﹣x＝＝60，
∴x＝80．
∴甲的速度为80（米/分），
∵点M的实际意义是经过c分钟甲到达B地，
∴c＝1200÷80＝15（分钟），
∴a＝60×15＝900（米）．
∵点N的实际意义是经过20分钟乙到达A地，
∴b＝900﹣（80﹣60）×5＝800（米）；
故答案为：900；800；15；
（3）由题意得：M（15，900），N（20，800），
设线段MN的解析式为y＝kx+n，
∴15k+n=90020k+n=800，
解得：k=−20n=1200，
∴线段MN的解析式为y＝﹣20x+1200（15≤x≤20）；
（4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第647分钟两人相距80米．理由：
①相遇前两人相距80米时，二人的所走路程和为1200﹣80＝1120（米），
∴1120÷140＝8（分钟）；
②相遇后两人相距80米时，二人的所走路程和为1200+80＝1280（米），
∴1280÷140=647（分钟）．
综上，在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第647分钟两人相距80米．
总结提升：本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，明确函数图象上点的坐标的实际意义是解题的关键．
22．(2023•湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
思路引领：（1）设轿车出发后x小时追上大巴，根据题意列出方程即可求解；
（2）由图象及（1）的结果可得A（1，0），B（3，120），利用待定系数法即可求解；
（3）根据题意列出方程即可求出a的值．
解：（1）设轿车出发后x小时追上大巴，
依题意得：40（x+1）＝60x，
解得x＝2．
∴轿车出发后2小时追上大巴，
此时，两车与学校相距60×2＝120（千米），
答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米；
（2）∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米，
∴大巴行驶了3小时，
∴B（3，120），
由图象得A（1，0），
设AB所在直线的解析式为s＝kt+b，
∴k+b=03k+b=120，
解得k=60b=−60，
∴AB所在直线的解析式为s＝60t﹣60；
（3）依题意得：40（a+1.5）＝60×1.5，
解得a=34．
∴a的值为34．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解决本题的关键根据函数图象解决问题，充分利用数形结合思想．
23．(2023•成都）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示．
（1）直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？
思路引领：（1）根据图象分段设出函数解析式，在用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据乙的路程大于甲的路程即可求解．
解：（1）当0≤t≤0.2时，设s＝at，
把（0.2，3）代入解析式得，0.2a＝3，
解得：a＝15，
∴s＝15t；
当t＞0.2时，设s＝kt+b，
把（0.2，3）和（0.5，9）代入解析式，
得0.5k+b=90.2k+b=3，
解得k=20b=−1，
∴s＝20t﹣1，
∴s与t之间的函数表达式为s=15t(0≤t≤0.2)20t−1(t＞0.2)；
（2）由（1）可知0≤t≤0.2时，乙骑行的速度为15km/h，而甲的速度为18km/h，则甲在乙前面；
当t＞0.2时，乙骑行的速度为20km/h，甲的速度为18km/h，
设t小时后，乙骑行在甲的前面，
则18t＜20t﹣1，
解得：t＞0.5，
答：0.5小时后乙骑行在甲的前面
总结提升：本题考查一次函数的应用，关键是根据图象用待定系数法分段求函数解析式．
模块二 2023中考押题预测
24．（2023•范县一模）商家发现最近很多社区开展“全民健身全家健康”的活动，为了适应市场需求，服务场周围群众，商场需要从厂家购进两种不同型号和价格的“羽毛球拍”，已知用6000元购进“A型拍”与用4000元购进“B型球拍”的数量相同，且每副“B型球拍”比每副“A型球拍”的价格便宜40元．
（1）求这两种“羽毛球拍”每副的价格．
（2）该商场计划购进“A型球拍”的数量比“B型球拍”数量的2倍还多10副，且两种“羽毛球拍”的数量不超过160副，售价见店内海报（如图所示），该商场应如何安排进货才能使完全售出后利润最大？最大利润是多少？
思路引领：（1）设每副“A型球拍”的价格为x元，则每副“B型球拍”的价格为（x﹣40）元，根据“用6000元购进“A型拍”与用4000元购进“B型球拍”的数量相同”列出方程，解方程即可；
（2）设商场购进“B型球拍”m副，则购进“A型球拍”（2m+10）副，完全售出后所得利润为w元，根据总利润＝两种球拍的利润之和列出函数解析式，然后根据函数的性质和m的取值范围求出函数解析式．
解：（1）设每副“A型球拍”的价格为x元，则每副“B型球拍”的价格为（x﹣40）元，
根据题意得：6000x=4000x−40，
解得x＝120，
经检验x＝120是原方程的解，
此时x﹣40＝80，
答：每副“A型球拍”的价格为120元，每副“B型球拍”的价格为80元；
（2）设商场购进“B型球拍”m副，则购进“A型球拍”（2m+10）副，完全售出后所得利润为w元，
根据题意得：w＝（150﹣120）（2m+10）+（100﹣80）m＝80m+300，
∵两种“羽毛球拍”的数量不超过160副，
∴2m+10+m≤160，
解得m≤50，
∵80＞0，
∴当m＝50时，w最大，最大值为4300，
此时2m+10＝110，
答：商场购进“A型球拍”110副，“B型球拍”50副利润最大，最大利润为4300元．
总结提升：本题主要考查一次函数和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
25．（2023•南山区二模）应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
思路引领：（1）设每个乙种书柜的进价为x元，每个甲种书柜的进价为1.1x元，根据用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台，列方程求解；
（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60﹣m）个，根据乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍，列不等式组求解．
解：（1）设每个乙种书柜的进价为x元，则每个甲种书柜的进价为1.1x元，
根据题意得，33001.1x+5=4500x，
解得x＝300，
经检验，x＝300是原方程的根，
300×1.1＝330（元）．
故每个甲种书柜的进价为330元，每个乙种书柜的进价为300元；
（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60﹣m）个，购进两种书柜的总成本为y元，根据题意得，
y=330m+300(60−m)60−m≤2m，
解得y＝30m+18000（m≥20），
∵k＝30＞0，
∴y随x的增大而增大，
当m＝20时，y＝18600（元）．
故购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．
总结提升：本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．
26．（2023•大庆一模）大庆市为了筹建第五届旅发大会，建设滨水绿道，围绕“以河连湖，以绿串蓝”的理念，秉承“惠及民生、全民共享”的初心，串起一河五湖，沿黎明河主轴线纵伸延展，采用上跨立交和下穿通行的方式，建成一个全长35公里的滨水生态慢行系统．小东与父亲每天在某区段匀速慢跑，以600m距离为一个训练段．已知父子俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人．已知小东先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）小东的速度为 2 m/s、父亲的速度为 30 m/s；
（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；
（3）直接写出整个过程中，哪个时间段内，父子两人之间距离超过了100m．
思路引领：（1）由路程除以时间可得小捷的速度为40÷20＝2（m/s），父亲的速度为600÷200＝3（m/s）；
（2）父亲追上小捷所需时间为403−2=40（s），即得A的坐标为（40，0），求出B坐标是（200，160），C的坐标为（280，0），用待定系数法可得BC所在直线的解析式为y＝﹣2x+560；
（3）求出直线AB解析式为y＝x﹣40，解x﹣40＞100得x＞140，解﹣2x+560＞100得x＜230，即可得140＜x＜230时，父女两人之间距离超过了100m．
解：（1）由函数图象可得：
小捷的速度为40÷20＝2（m/s），父亲的速度为600÷200＝3（m/s），
故答案为：2，3；
（2）父亲追上小捷所需时间为403−2=40（s），
∴A的坐标为（40，0），
当父亲出发的时间x＝200s时，两人之间的距离y＝200×3﹣（200+20）×2＝160（m），
∴B坐标是（200，160），
小捷到达终点所需时间为6002=300（s），300﹣20＝280，
∴C的坐标为（280，0），
设BC所在直线的解析式为y＝kx+b，把B（200，160），C（280，0）代入得：
200k+b=160280k+b=0，
解得k=−2b=560，
∴BC所在直线的解析式为y＝﹣2x+560；
（3）由A（40，0），B（200，160）可得直线AB解析式为y＝x﹣40，
当x﹣40＞100得x＞140，
当﹣2x+560＞100得x＜230，
∴当140＜x＜230时，父女两人之间距离超过了100m．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
27．（2023•齐齐哈尔一模）某实验室对甲、乙两机器人进行装卸货物测试，在实验场地的一条直线上依次设置货物装卸点A，B，C三地，甲、乙两机器人同时从A地匀速出发，甲机器人到达C地后装货1分钟，再以原速原路返回A地，乙机器人到达B地后装货1分钟，再以原速前往C地，结果甲、乙两机器人同时到达各自目的地，在两机器人行驶的过程中，甲、乙两机器人距A地的距离y（单位：米）与甲机器人所用时间x（单位：分）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离为 240 米，甲机器人的速度为 120 米/分；
（2）求乙机器人从B地到C地行驶过程中y与x的函数关系式（不用写出x的取值范围）；
（3）两机器人经过多长时间相距120米？请直接写出答案．
思路引领：（1）根据图象可得AB两地之间的距离，再根据路程、时间、速度的关系可求得甲的速度；
（2）先根据题意确定点E、F的坐标，然后再运用待定系数法求解即可；
（3）根据A，C，B三地在同一直线上，先分别求得直线OG、OD、HI的解析式，然后再分两种情况解答即可．
解：（1）由函数图象可得：AB两地之间的距离为240米，甲到达C点用时（11﹣1）÷2＝5，AC两地之间的距离为600米，则甲机器人的速度为600÷5＝120（米/分）．
故答案为：240，120．
（2）由函数图象可得乙机器人从B地到C地行驶过程对应函数图象为EF，点E（5，240），F（11，600），
设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
则240=5k+b600=11k+b，
解得：k=60b=−60，
∴y与x的函数关系式为y＝60x﹣60．
（3）①当甲机器人到达C地前时，由函数图象可得G（5，600），D（4，240），
由待定系数法可得：OG的解析式为：y＝120x；
OD的解析式为：y＝60x，
由两机器人相距120米，则：120x﹣60x＝120，
解得x＝2，
②当甲机器人到达C地返回，乙机器人从B到C过程中相距120米，
由函数图象可得：H（6，600），I（11，0），
由待定系数法可得：y＝﹣120x+1320，
由（2）可得直线EF的解析式为：y＝60x﹣60，
∴|﹣120x+1320﹣（60x﹣60）|＝120，
解得：x＝7或253，
综上，两机器人经过2分或7分或253分相距120米．
总结提升：本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
28．（2023•浦东新区二模）某市全面实施居民“阶梯水价”，当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见表：
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
（1）如果果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？
（2）居民缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关如图所示，求第二阶梯（线段AB）的表达式；
（3）如果小明家全年数纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
思路引领：（1）根据第一阶段缴费标准，用应缴纳水费＝户年用水量×（自来水单价+污水处理单价），即可得出结论；
（2）根据图象数据和（1）的结论，用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）先判断全年数纳的水费共计1181元时，得出用水量在第二阶段，然后代入解析式求出x的值即可．
解：（1）根据题意知，全年应缴纳水费为220×（2.25+1.8）＝891（元），
答：她家全年应缴纳水费891元；
（2）设第二阶梯（线段AB）的表达式为y＝kx+b，
将点（220，891）和点（300，1355）代入y＝kx+b得：
220k+b=891300k+b=1355，
解得k=5.8b=−385，
∴第二阶梯（线段AB）的表达式为y＝5.8x﹣385；
（3）由（1）知，全年用水量220立方米时，需缴纳水费891元，
由（2）知，全年用水量300立方米时，需缴纳水费1355元，
∵891＜1181＜1355，
∴小明家全年用水在第二阶段，
∵第二阶梯（线段AB）的表达式为y＝5.8x﹣385，
∴当y＝1181时，5.8﹣385＝1181，
解得x＝270，
答：他家全年用水量是270立方米．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
29．（2023•文山市一模）国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示．
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1600元购进乙种水果的重量相同．
（1）求x的值；
（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
思路引领：（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1600元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（100﹣m）千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
解：（1）由题意可知：
1200x=1600x+4，
x＝12；
检验；x＝12时，x（x+4）≠0，
∴x＝12是原分式方程的解，且符合实际意义；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（100﹣m）千克，利润为y元，
由题意可知：
y＝（20﹣12）m+（25﹣12﹣4）（100﹣m）＝﹣m+900，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，
∴m≥3（100﹣m），
解得：m≥75，
∴75≤m＜100，
在y＝﹣m+900中，
∵k＝﹣1＜0，
∴y随m的增大而减小，
∴当m＝75时，y最大＝﹣75+900＝825（元），
答：购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润825元．
总结提升：本题考查了分式方程，不等式，一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
30．（2023•雁塔区校级模拟）西安是一个历史悠久风景美丽的城市．已经结束的2022年西安国际马拉松比赛，从赛道两旁的美景到热情的古城人民都给大家留下了美好的回乙．为了积极准备2023年西安国际马拉松比赛，小明和小亮相约周末去曲江池锻炼．他们计划沿着曲江池跑两圈，已知曲江池一圈路程为4.2km，他们从同一地点出发，小亮先跑，他们的锻炼过程如图所示，横轴表示跑步时间，纵轴表示路程，请根据图中信息回答下列问题．
（1）小亮的速度为 160 米/分钟，小明跑第一圈的速度为 200 米/分钟．
（2）小明出发几分钟时第一次追上小亮？
（3）在跑第二圈时小明将速度调整为180米/分，请通过计算判断小明和小亮谁先跑完两圈到达终点？
思路引领：（1）根据图形用路程÷时间＝速度，求出小明和小亮的速度即可；
（2）根据路程相等列出方程，解方程即可；
（3）求出小明和小亮跑完第二圈所用时间，在求出跑完全程所用时间，进行比较即可．
解：（1）小亮的速度为（4200﹣600）÷22.5＝160（m/min），
小明跑第一圈的速度为4200÷21＝200（m/min），
故答案为：160，200；
（2）设经过t分钟小明第一次追上小亮，
根据题意得：200t＝600+160t，
解得t＝15，
答：小明出发15分钟时第一次追上小亮；
（3）小亮第二圈用时4200÷160=1054（min），
小明第二圈用时4200÷180=703（min），
∴小亮跑完全程用时22.5+1054=1954（min），
小明跑完全程用时26+703=1483（min），
∵1954＞1483，
∴小明先跑完两圈到达终点．
总结提升：本题考查一次函数的应用，关键是从图形中读取信息，正确求出小明、小亮的速度．
31．（2023•前郭县一模）在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖道铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是所铺设彩色砖道的长度y（m）关于施工时间x（h）的部分函数图象．请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式；
（2）如果甲队施工速度不变，乙队在6h后，施工速度增加到12m/h，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色砖道的长度为多少米．
思路引领：（1）根据函数图象中的数据，可以计算出乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式；
（2）根据图象中的数据，可以计算出甲的速度，再根据题意，可以列出相应的方程，然后求解即可．
解：（1）设乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式为y＝kx+b．
由图可知，函数图象过点（2，30），（6，50），
∴2k+b=306k+b=50，
解得k=5b=20，
即乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式为y＝5x+20；
（2）由图可知，
甲队速度是60÷6＝10（m/h）．
设甲队从开始施工到完工所铺设彩色砖道的长度为zm，
由题意可得：z−6010=z−5012，
解得z＝110．
答：甲队从开始施工到完工所铺设彩色砖道的长度为110m．
总结提升：本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，列出相应的方程．
32．（2023•碑林区校级模拟）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表：
设运往甲地的货物为x吨，全部运出的总费用为y元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若该公司运出货物的总费用不超过4800元，求该公司运往甲地至少多少吨货物？
思路引领：（1）根据总费用＝运往甲地和乙地的费用之和列出函数解析式；
（2）令y≤4800，解不等式即可．
解：（1）设运往甲地为x吨，则运往乙地（30﹣x）吨，
根据题意得：y＝120x+200（30﹣x）＝﹣80x+6000，
∴y与x间的函数表达式为y＝﹣80x+6000；
（2）∵该公司运出货物的总费用不超过4800元，
∴﹣80x+6000≤4800，
解得x≥15，
答：该公司运往甲地至少15吨货物．
总结提升：本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
33．（2023•许昌一模）据悉，河南省中招体育考试成绩将于2024年起，由现在的满分70分提高到100 分计入总分．某中学为了满足体育课的需要，计划购买A，B两个品牌的篮球若干个，市场调研得知，购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元．
（1）求A，B两种品牌篮球的单价；
（2）学校在选定的超市实际购买时，发现有两种购买方案：
方案一：购买A品牌篮球的数量如果不超过10个，按原价销售；如果超过10个，超过部分按八折优惠；B品牌篮球一律按原价销售．
方案二：购买A品牌和B品牌篮球都按八五折优惠．
该中学计划购买A品牌篮球x个，B品牌篮球10个．
①请分别写出这两种方案所需的费用y（单位：元）与x的函数关系式；
②已知x＞10，则该校选择哪种方案购买更合算？请说明理由．
思路引领：（1）设A品牌篮球的单价为m元，B品牌篮球的单价为n元，根据购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元，列二元一次方程组，求解即可；
（2）①根据给定的购买方案分别列出函数关系式即可；
②当80x+1000＞85x+680时，当80x+1000＝85x+680时，当80x+1000＜85x+680时，分别求解即可确定哪种合算．
解：（1）设A品牌篮球的单价为m元，B品牌篮球的单价为n元，
根据题意，得5m+10n=130010m+5n=1400，
解得m=100n=80，
答：A品牌篮球的单价为100元，B品牌篮球的单价为80元；
（2）①方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+10×80＝100x+800，
当x＞10时，y＝100×10+100×0.8（x﹣10）+80×10＝80x+1000，
方案二：y＝100×0.85x+80×0.85×10＝85x+680，
∴方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+800；当x＞10时，y＝80x+1000；
方案二：y＝85x+680；
②当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算，理由如下：
∵x＞10，
当80x+1000＞85x+680时，x＜64，此时方案二合算；
当80x+1000＝85x+680时，x＝64，此时两种方案费用相同；
当80x+1000＜85x+680时，x＞64，此时方案一合算，
∴当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算．
总结提升：本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立函数关系式是解题的关键．
34．（2023•河北区一模）快递站、药店和客户家依次在同一直线上，快递站距药店、客户家的距离分别为600m和1800m，快递员小李从快递站出发去往客户家送快递，他先匀速骑行了10min后，接到该客户电话，又用相同的速度骑行了6min返回刚才路过的药店帮该客户买药，小李在药店停留了4min后，继续去往客户家，为了赶时间他加快速度，匀速骑行了6min到达客户家准时投递，下面的图象反映了这个过程中小李离快递站的距离y（m）与离开快递站的时间x（min）之间的对应关系．
请解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①药店到客户家的距离是 1200 m；
②小李从快递站出发时的速度为 150 m/min；
③小李从药店取完药到客户家的骑行速度为 200 m/min；
④小李离快递站的距离为1200m时，他离开快递站的时间为 8或12或23 min；
（Ⅲ）当10≤x≤26时，请直接写出y关于x的函数解析式．
思路引领：（Ⅰ）由图象可求出小李在16分钟之前的速度，从而可以求出x＝8时小李离快递站的距离，然后从图象中直接得出x＝18，26时y的值；
（Ⅱ）①根据速度＝路程÷时间即可得出结论；
②由（Ⅰ）可得结论；
③根据速度＝路程÷时间即可得出结论；
④根据图象分别求出小李离快递站的距离为1200m时的时间；
（Ⅲ）分段由待定系数法求函数解析式．
解：（Ⅰ）由图象知，当小李离开快递站匀速骑行了10min，骑行了1500m，
速度为：150010=150（m/min），
∴当x＝8时，小李离快递站的距离为150×8＝1200（m）；
当x＝18时，小李在药店买药，
∴小李离快递站的距离为600m；
当x＝26时，小李到达客户家，
∴小李离快递站的距离为1800m；
故答案为：1200；600；1800；
（Ⅱ）①由图象知，药店到客户家的距离是1800﹣600＝1200（m）；
②由（Ⅰ）知，小李从快递站出发时的速度为150m/min；
③小李从药店取完药到客户家的骑行速度为1800−60026−20=200（m/min）；
④小李第一次离快递站1200m时，所需时间为1200150=8（min）；
小李第二次离快递站1200m时，所需时间为8+2（10﹣8）＝12（min）；
小李第二次离快递站1200m时，所需时间20+1200−600200=20+3＝23（min），
故答案为：①1200；②150；③200；④8或12或23；
（Ⅲ）当10≤x≤16时，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
则10k+b=150016k+b=600，
解得k=−150b=3000，
∴y＝﹣150x+3000；
当16＜x≤20时，y＝600；
当20＜20≤26时，设y关于x的函数解析式为y＝mx+n，
则20m+n=60026m+n=1800，
解得m=200n=−3400，
∴y＝200x﹣3400；
综上所述，y关于x的函数解析式为y=−150x+3000(10≤x≤16)600(16＜x≤20)200x−3400(20＜x≤26)．
总结提升：本题考查一次函数的应用，关键是读取图形中的信息，逐一讨论．
35．（2023•绿园区一模）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）甲队在开挖后6小时内，每小时挖 10 m．
（2）当2≤x≤6时，求y乙与x的之间的函数关系式．
（3）直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m．
思路引领：（1）结合图象，用甲6小时挖的长度÷时间，即可得出结论；
（2）根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式；
（3）先用待定系数法求出y甲与x的之间的函数关系式以及当0≤x≤2时y乙与x的函数解析式，然后根据他们所挖河渠长度差为5米，列出方程，解方程即可．
解：（1）根据图象可知，甲队在开挖后6小时内，每小时挖606=10（米），
故答案为：10；
（2）设乙队在2≤x≤6的时段内y乙与x之间的函数关系式为y乙＝kx+b（k≠0），
由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），
∴2k+b=306k+b=50，
解得k=5b=20，
∴当2≤x≤6时，y乙与x的之间的函数关系式为y乙＝5x+20；
（3）当0≤x≤2时，设y乙与x的函数解析式为y乙＝mx，
可得2m＝30，
解得m＝15，
即y乙＝15x；
设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y甲＝k1x，
由图可知，函数图象过点（6，60），
∴6k1＝60，
解得k1＝10，
∴y甲＝10x；
当0≤x≤2时，15x﹣10x＝5，
解得x＝1；
当2＜x≤6时，|5x+20﹣10x|＝5，
解得x＝3或x＝5．
答：当两队所挖的河渠长度之差为5m时，x的值为1h或3h或5h．
总结提升：此题主要考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键．
36．（2023•红桥区一模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行0.5h到达体育馆；在体育馆停留一段时间后，匀速步行0.4h到达图书馆；在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中，给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离ykm与离开家的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①体育馆与图书馆之间的距离为 2 km；
②小明从体育馆到图书馆的步行速度为 5 km/h；
③当小明离开家的距离为4km时，他离开家的时间为 13或3.75 h．
（Ⅲ）当2≤x≤4时，请直接写出y关于x的函数解析式．
思路引领：（Ⅰ）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
（Ⅱ）①根据函数图象中的数据，可以得到体育馆与图书馆之间的距离；
②根据速度＝路程÷时间计算即可；
③根据图象可知，分两种情况，然后计算即可；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当2≤x≤4时，y关于x的函数解析式．
解：（Ⅰ）由图象可得，
在前0.5h的速度为6÷0.5＝12（km/h），
故当x＝0.3时，小明离开家的距离为0.3×12＝3.6（km），
当2＜x≤2.4时，速度为8−62.4−2=5（km/h），
∴当x＝2.2时，y＝6+5×0.2＝7，
在2.4＜x≤3.5时，距离不变，都是8km，故当x＝2.2时，小明离开家的距离为8km，
故答案为：3.6，7，8；
（Ⅱ）由图象可得，
①体育馆与图书馆之间的距离为2km，
故答案为：2；
②小明从体育馆到图书馆的步行速度为：（8﹣6）÷（2.4﹣2）＝5（km/h），
故答案为：5；
③当0≤x≤0.5时，
小明离家的距离为4km时，小明离开家的时间为4÷12=13（h），
当3.5≤x≤4时，
小明离家的距离为4km时，小明离开家的时间为3.5+4÷[8÷（4﹣3.5）]＝3.75（h），
故答案为：13或3.75；
（Ⅲ）由图象可得，
①当2≤x≤2.4时，设y＝kx+b，
2k+b=62.4k+b=8，
解得k=5b=−4，
∴y＝5x﹣4；
②当2.4＜x≤3.5时，y＝8，
③当3.5＜x≤4时，设y＝mx+n，
则3.5m+n=84m+n=0，
解得m=−16n=64，
∴y＝﹣16x+64；
由上可得，当2≤x≤4时，y关于x的函数解析式是y=5x−4(2≤x≤2.4)8(2.4＜x≤3.5)−16x+64(3.5＜x≤4)．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
37．（2023•衡水模拟）202年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元．
（1）求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少；
（3）在（2）的条件下，该商店对A品牌足球以每个优惠a（15＜a＜25）元的价格进行“双十二”促销活动，B品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为4240元，请直接写出a的值．
思路引领：（1）设每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别为m元、n元，根据题“销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元”得方程组，解方程组即得；
（2）①由题意、根据“总利润等于销售A品牌和B品牌所得利润之和”可得函数关系式；
②由已知条件可得关于x的不等式组，从而得出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最大利润；
（3）在（2）的条件下，由题意列出关于a的方程，解出a即可．
（1）设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元；
根据题意，得5m+10n=70010m+5n=800，
解得m=60n=40，
答：每个A品牌足球的销售利润分别为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①由题意知，y＝60x+40（100﹣x）＝20x+4000，
∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+4000；
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，
则x≥60x≤4(100−x)，
解得：60≤x≤80，
在y＝20x+4000中，
∵20＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝80时，y取得最大值，最大值为20×80+4000＝5600，
即最大利润为5600元；
（3）在（2）的条件下60≤x≤80，总利润y＝（20﹣a）x+4000，
当20﹣a＞0时，y随x的增大而增大，
∴x＝80，y最大为4240，
解得a＝17；
当20﹣a＜0时，y随x的增大而减小，
∴x＝60，y最大为4240，
解得a＝24；
综上，a的值为17或24．
总结提升：本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程组．
38．（2023•杏花岭区校级模拟）在2022年卡塔尔世界杯期间，某商店分两次购入某款纪念册和某款吉祥物两种商品进行销售，若两次进价相同，第一次购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250元，第二次购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元．
（1）分别求每件纪念册和每件吉祥物的进价．
（2）为满足市场需求，商店准备第三次购入纪念册和吉祥物共500件，且购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍．若进价不变，每件纪念册与每件吉祥物的售价分别为65元、220元，求购入纪念册和吉祥物分别多少件时，商店获得利润最高．
思路引领：（1）设每件纪念册的进价为x元，每件吉祥物的进价为y元，根据“购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250元，购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元”列出方程组，解方程组即可；
（2）设商店购入纪念册m件，则购进吉祥物（500﹣m）件，利润为w元，根据总利润＝两种利润之和列出函数解析式，由函数的性质求出函数的最值，并求出此时m得值．
解：（1）设每件纪念册的进价为x元，每件吉祥物的进价为y元，
根据题意得25x+20y=525020x+25y=6000，
解得x=50y=200，
答：每件纪念册的进价为50元，每件吉祥物的进价为200元；
（2）设商店购入纪念册m件，则购进吉祥物（500﹣m）件，利润为w元，
根据题意得：w＝（65﹣50）m+（220﹣200）（500﹣m）＝15m+20（500﹣m）＝﹣5m+10000，
∵购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍，
∴500﹣m≤2m，
解得m≥5003，
∵m为正整数，
∴m的最小值为167，
∵﹣5＜0，
∴当m＝167时，w有最大值，
此时，500﹣m＝500﹣167＝333，
购入纪念册167件，吉祥物333件时，商店获得利润最高．
总结提升：本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
39．（2023•虎林市校级一模）我市组织20辆汽车装运A，B，C三种水果共有100吨到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能整吨装运同一种水果，且必须装满．
根据表格中提供的信息，解答以下问题：
（1）设有x辆车装运A种水果，有y辆车装运B种水果，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种水果的车都不少于4辆，那么可以安排哪几种运输方案？
（3）在（2）的条件下，若要此次销售获利最大，应安排哪种方案？求出最大利润．
思路引领：（1）等量关系为：车辆数之和＝20，由此可得出x与y的关系式；
（2）利用装运每种水果的车辆数都不少于4辆可列三个不等式，然后解不等式组，再写出整数x的值即可得到方案；
（3）根据总利润为：装运A种水果的车辆数×6×12+装运B种水果的车辆数×5×16+装运C种水果的车辆数×4×10得W＝﹣4800x+160000，由k＝﹣4800＜0，可知W随x的增大而减小，进而可知当x＝4时，W最大，即可得到答案．
解：（1）根据题意，得6x+5y+4（20﹣x﹣y）＝100．
∴y＝﹣2x+20．
（2）由题意可得：x≥4−2x+20≥420−x−(−2x+20)≥4．
解得4≤x≤8．
∵x为整数，
∴x可取整数为4，5，6，7，8．
共有五种方案如下：
方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果；
方案二：5辆车装运A种水果，10辆车装运B种水果，5辆车装运C种水果；
方案三：6辆车装运A种水果，8辆车装运B种水果，6辆车装运C种水果；
方案四：7辆车装运A种水果，6辆车装运B种水果，7辆车装运C种水果；
方案五：8辆车装运A种水果，4辆车装运B种水果，8辆车装运C种水果．
（3）设获利为W元．
20﹣x﹣y＝x，
W＝6x×1200×5（﹣2x+20）×1600+4x×1000＝﹣4800x+160000．
∵k＝﹣4800＜0，
∴W随x的增大而减小．
∴x＝4时，W最大．
W最大＝﹣4800×4+160000＝140800．
∴选择（2）中的方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果，获利最多为140800元．
总结提升：本题考查了一次函数的应用及不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的范围，得到装运的几种方案是解决本题的关键进货批次
甲种水果质量
（单位：千克）
乙种水果质量
（单位：千克）
总费用
（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
合
户年用水量（立方米）
自来水单价（元/立方米）
污水处理单价（元/立方米）
第一阶梯
0﹣220（含220）
2.25
1.8
第三阶梯
220﹣300（含300）
4
第三阶梯
300以上
6.99
注：应缴纳水费＝户年用水量×（自来水单价+污水处理单价）
水果
价钱
甲
乙
进价（元/千克）
x
x+4
售价（元/千克）
20
25
目的地
甲地
乙地
每吨费用（元）
120
200
小李离开快递站的时间/min
2
8
16
18
26
小李离快递站的距离/m
300
600
小明离开家的时间/h
0.1
0.3
1.5
2.2
3.3
小明离开家的距离/km1.2
1.2
3.6
6
7
8
水果品种
A
B
C
每辆汽车运载量/吨
6
5
4
每吨水果获利/百元
12
16
10
类型一 利润最大问题
1．(2023•南通）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．
（1）写出图中点B表示的实际意义；
（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．
2．(2023•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
3．(2023•苏州）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
4．(2023•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhnRhn）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
5．(2023•东营）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
6．(2023•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
类型二 费用最少问题
7．(2023•钢城区）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍．则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
8．(2023•黔西南州）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．
（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？
（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．
9．(2023•济宁）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
10．(2023•深圳）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
11．(2023•十堰）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y=2x，0＜x≤30−6x+240，30＜x≤40，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 件；
（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
12．(2023•通辽）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）两图象交于点A，求点A坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
13．(2023•广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．
（1）求A、B两厂各运送多少吨水泥；
（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
14．(2023•遵义）遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．
（1）求A，B型设备单价分别是多少元；
（2）该校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的13．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
15．(2023•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y=12x，0≤x≤10−20x+320，10＜x≤16，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；
（2）求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
类型三 行程问题
16．(2023•盐城）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小丽步行的速度为 m/min；
（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．
17．(2023•长春）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
18．(2023•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
19．(2023•黑龙江）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 km/h，乙车出发时速度是 km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
20．(2023•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
（1）加热前水温是 ℃．
（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．
（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 ℃．
21．(2023•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分；
（2）图中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）求线段MN的函数解析式；
（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）
22．(2023•湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
23．(2023•成都）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示．
（1）直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？
模块二 2023中考押题预测
24．（2023•范县一模）商家发现最近很多社区开展“全民健身全家健康”的活动，为了适应市场需求，服务场周围群众，商场需要从厂家购进两种不同型号和价格的“羽毛球拍”，已知用6000元购进“A型拍”与用4000元购进“B型球拍”的数量相同，且每副“B型球拍”比每副“A型球拍”的价格便宜40元．
（1）求这两种“羽毛球拍”每副的价格．
（2）该商场计划购进“A型球拍”的数量比“B型球拍”数量的2倍还多10副，且两种“羽毛球拍”的数量不超过160副，售价见店内海报（如图所示），该商场应如何安排进货才能使完全售出后利润最大？最大利润是多少？
25．（2023•南山区二模）应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
26．（2023•大庆一模）大庆市为了筹建第五届旅发大会，建设滨水绿道，围绕“以河连湖，以绿串蓝”的理念，秉承“惠及民生、全民共享”的初心，串起一河五湖，沿黎明河主轴线纵伸延展，采用上跨立交和下穿通行的方式，建成一个全长35公里的滨水生态慢行系统．小东与父亲每天在某区段匀速慢跑，以600m距离为一个训练段．已知父子俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人．已知小东先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）小东的速度为 m/s、父亲的速度为 m/s；
（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；
（3）直接写出整个过程中，哪个时间段内，父子两人之间距离超过了100m．
27．（2023•齐齐哈尔一模）某实验室对甲、乙两机器人进行装卸货物测试，在实验场地的一条直线上依次设置货物装卸点A，B，C三地，甲、乙两机器人同时从A地匀速出发，甲机器人到达C地后装货1分钟，再以原速原路返回A地，乙机器人到达B地后装货1分钟，再以原速前往C地，结果甲、乙两机器人同时到达各自目的地，在两机器人行驶的过程中，甲、乙两机器人距A地的距离y（单位：米）与甲机器人所用时间x（单位：分）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离为 米，甲机器人的速度为 米/分；
（2）求乙机器人从B地到C地行驶过程中y与x的函数关系式（不用写出x的取值范围）；
（3）两机器人经过多长时间相距120米？请直接写出答案．
28．（2023•浦东新区二模）某市全面实施居民“阶梯水价”，当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见表：
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
（1）如果果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？
（2）居民缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关如图所示，求第二阶梯（线段AB）的表达式；
（3）如果小明家全年数纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
29．（2023•文山市一模）国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示．
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1600元购进乙种水果的重量相同．
（1）求x的值；
（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
30．（2023•雁塔区校级模拟）西安是一个历史悠久风景美丽的城市．已经结束的2022年西安国际马拉松比赛，从赛道两旁的美景到热情的古城人民都给大家留下了美好的回乙．为了积极准备2023年西安国际马拉松比赛，小明和小亮相约周末去曲江池锻炼．他们计划沿着曲江池跑两圈，已知曲江池一圈路程为4.2km，他们从同一地点出发，小亮先跑，他们的锻炼过程如图所示，横轴表示跑步时间，纵轴表示路程，请根据图中信息回答下列问题．
（1）小亮的速度为 米/分钟，小明跑第一圈的速度为 米/分钟．
（2）小明出发几分钟时第一次追上小亮？
（3）在跑第二圈时小明将速度调整为180米/分，请通过计算判断小明和小亮谁先跑完两圈到达终点？
31．（2023•前郭县一模）在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖道铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是所铺设彩色砖道的长度y（m）关于施工时间x（h）的部分函数图象．请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式；
（2）如果甲队施工速度不变，乙队在6h后，施工速度增加到12m/h，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色砖道的长度为多少米．
32．（2023•碑林区校级模拟）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表：
设运往甲地的货物为x吨，全部运出的总费用为y元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若该公司运出货物的总费用不超过4800元，求该公司运往甲地至少多少吨货物？
33．（2023•许昌一模）据悉，河南省中招体育考试成绩将于2024年起，由现在的满分70分提高到100 分计入总分．某中学为了满足体育课的需要，计划购买A，B两个品牌的篮球若干个，市场调研得知，购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元．
（1）求A，B两种品牌篮球的单价；
（2）学校在选定的超市实际购买时，发现有两种购买方案：
方案一：购买A品牌篮球的数量如果不超过10个，按原价销售；如果超过10个，超过部分按八折优惠；B品牌篮球一律按原价销售．
方案二：购买A品牌和B品牌篮球都按八五折优惠．
该中学计划购买A品牌篮球x个，B品牌篮球10个．
①请分别写出这两种方案所需的费用y（单位：元）与x的函数关系式；
②已知x＞10，则该校选择哪种方案购买更合算？请说明理由．
34．（2023•河北区一模）快递站、药店和客户家依次在同一直线上，快递站距药店、客户家的距离分别为600m和1800m，快递员小李从快递站出发去往客户家送快递，他先匀速骑行了10min后，接到该客户电话，又用相同的速度骑行了6min返回刚才路过的药店帮该客户买药，小李在药店停留了4min后，继续去往客户家，为了赶时间他加快速度，匀速骑行了6min到达客户家准时投递，下面的图象反映了这个过程中小李离快递站的距离y（m）与离开快递站的时间x（min）之间的对应关系．
请解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①药店到客户家的距离是 m；
②小李从快递站出发时的速度为 m/min；
③小李从药店取完药到客户家的骑行速度为 m/min；
④小李离快递站的距离为1200m时，他离开快递站的时间为 min；
（Ⅲ）当10≤x≤26时，请直接写出y关于x的函数解析式．
35．（2023•绿园区一模）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）甲队在开挖后6小时内，每小时挖 m．
（2）当2≤x≤6时，求y乙与x的之间的函数关系式．
（3）直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m．
36．（2023•红桥区一模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行0.5h到达体育馆；在体育馆停留一段时间后，匀速步行0.4h到达图书馆；在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中，给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离ykm与离开家的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①体育馆与图书馆之间的距离为 km；
②小明从体育馆到图书馆的步行速度为 km/h；
③当小明离开家的距离为4km时，他离开家的时间为 h．
（Ⅲ）当2≤x≤4时，请直接写出y关于x的函数解析式．
37．（2023•衡水模拟）202年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元．
（1）求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少；
（3）在（2）的条件下，该商店对A品牌足球以每个优惠a（15＜a＜25）元的价格进行“双十二”促销活动，B品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为4240元，请直接写出a的值．
38．（2023•杏花岭区校级模拟）在2022年卡塔尔世界杯期间，某商店分两次购入某款纪念册和某款吉祥物两种商品进行销售，若两次进价相同，第一次购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250元，第二次购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元．
（1）分别求每件纪念册和每件吉祥物的进价．
（2）为满足市场需求，商店准备第三次购入纪念册和吉祥物共500件，且购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍．若进价不变，每件纪念册与每件吉祥物的售价分别为65元、220元，求购入纪念册和吉祥物分别多少件时，商店获得利润最高．
39．（2023•虎林市校级一模）我市组织20辆汽车装运A，B，C三种水果共有100吨到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能整吨装运同一种水果，且必须装满．
根据表格中提供的信息，解答以下问题：
（1）设有x辆车装运A种水果，有y辆车装运B种水果，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种水果的车都不少于4辆，那么可以安排哪几种运输方案？
（3）在（2）的条件下，若要此次销售获利最大，应安排哪种方案？求出最大利润．
进货批次
甲种水果质量
（单位：千克）
乙种水果质量
（单位：千克）
总费用
（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
合
户年用水量（立方米）
自来水单价（元/立方米）
污水处理单价（元/立方米）
第一阶梯
0﹣220（含220）
2.25
1.8
第三阶梯
220﹣300（含300）
4
第三阶梯
300以上
6.99
注：应缴纳水费＝户年用水量×（自来水单价+污水处理单价）
水果
价钱
甲
乙
进价（元/千克）
x
x+4
售价（元/千克）
20
25
目的地
甲地
乙地
每吨费用（元）
120
200
小李离开快递站的时间/min
2
8
16
18
26
小李离快递站的距离/m
300
600
小明离开家的时间/h
0.1
0.3
1.5
2.2
3.3
小明离开家的距离/km1.2
1.2
6
水果品种
A
B
C
每辆汽车运载量/吨
6
5
4
每吨水果获利/百元
12
16
10
专题48 解答题最常考题型一次函数的实际应用（解析版）
模块一 2022中考真题集训
类型一 利润最大问题
1．(2023•南通）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．
（1）写出图中点B表示的实际意义；
（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．
思路引领：（1）根据图形即可得出结论；
（2）用待定那个系数法分别求出甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式即可；
（3）分0≤a≤30和30＜a≤120两种情况列方程求解即可．
解：（1）图中点B表示的实际意义为当销量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元；
（2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝kx（k≠0），
把（60，1200）代入解析式得：1200＝60k，
解得k＝20，
∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝20x（0≤x≤120）；
当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝k′x（k′≠0），
把（30，750）代入解析式得：750＝30k′，
解得：k′＝25，
∴y乙＝25x；
当30≤x≤120时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝mx+n（m≠0），
则30m+n=75060m+n=1200，
解得：m=15n=300，
∴y乙＝15x+300，
综上，乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙=25x(0≤x≤30)15x+300(30＜x≤120)；
（3）①当0≤a≤30时，
根据题意得：（20﹣8）a+（25﹣12）a＝1500，
解得：a＝60＞30，不合题意；
②当30＜a≤120时，
根据题意得：（20﹣8）a+（15﹣12）a+300＝1500，
解得：a＝80，
综上，a的值为80．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
2．(2023•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
思路引领：（1）设某商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，根据条件建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设某商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，根据条件的数量关系建立不等式组求出其解即可；
（3）设总利润为W元，根据总利润＝两种商品的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求值即可．
解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，
由题意，得10a+5b=10005a+3b=550，
解得a=50b=100，
∴该商店购进A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，
根据题意，得50x+100y＝10000，
由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，
把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，
∵y≥20，
∴20≤y≤25且为正整数，
∴y可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，
与y相对应的x可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，
∴共有6种进货方案；
（3）设总利润为W元，
则W＝20x+30y＝﹣10y+4000，
∵﹣10＜0，
∴W随y的增大而减小，
∴当y＝20时，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
总结提升：本题考查了一次函数、一元一次不等式解实际问题的运用，解答时求出A，B两种纪念品的单价是关键．
3．(2023•苏州）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
思路引领：（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．构建方程组求解；
（2）设第三次购进x千克甲种水果，则购进（200﹣x）千克乙种水果．由题意，得12x+20（200﹣x）≤3360，解得x≥80．设获得的利润为w元，由题意，得w＝（17﹣12）×（x﹣m）+（30﹣20）×（200﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，利用一次函数的性质求解．
解：（1）设甲两种水果的进价为每千克a元，乙两种水果的进价为每千克b元．
由题意，得60a+40b=152030a+50b=1360，
解得a=12b=20，
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
（2）设第三次购进x千克甲种水果，则购进（200﹣x）千克乙种水果．
由题意，得12x+20（200﹣x）≤3360，
解得x≥80．
设获得的利润为w元，
由题意，得w＝（17﹣12）×（x﹣m）+（30﹣20）×（200﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，
∵﹣5＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝80时，w的值最大，最大值为﹣35m+1600，
由题意，得﹣35m+1600≥800，
解得m≤1607，
∴m的最大整数值为22．
总结提升：本题考查一次函数的应用，二元一次方程组不等式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．
4．(2023•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhnRhn）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
思路引领：（1）根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．
解：（1）设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进价为y元/个，
由题意可得：15x+5y=1400x+y=136，
解得x=72y=64，
答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进价为64元/个；
（2）设冰墩墩购进a个，则雪容融购进（40﹣a）个，利润为w元，
由题意可得：w＝28a+20（40﹣a）＝8a+800，
∴w随a的增大而增大，
∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，
∴a≤1.5（40﹣a），
解得a≤24，
∴当a＝24时，w取得最大值，此时w＝992，40﹣a＝16，
答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．
总结提升：本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
5．(2023•东营）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
思路引领：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，由题意：用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，由题意得w＝﹣m+450，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2 （150﹣m），然后由一次函数的性质即可得出结论．
解：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，
由题意得：1000(1−20%)x=1200x+10，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意，
则5×（1﹣20%）＝4，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，
由题意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 （150﹣m），
解得：m≥100，
∵﹣1＜0，则w随m的增大而减小，
∴当m＝100时，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，
则150﹣m＝50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．
总结提升：本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
6．(2023•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
思路引领：（1）分当0≤x≤2000时，当x＞2000时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当1600≤x≤2000时，当2000＜x≤4000时，分别列出w与x的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意可知，降价后，w与x的关系式，并根据利润不低于15000，可得出a的取值范围．
解：（1）当0≤x≤2000时，设y＝k′x，根据题意可得，2000k′＝30000，
解得k′＝15，
∴y＝15x；
当x＞2000时，设y＝kx+b，
根据题意可得，2000k+b=300004000k+b=56000，
解得k=13b=4000，
∴y＝13x+4000．
∴y=15x(0≤x≤2000)13x+4000(x＞2000)．
（2）根据题意可知，购进甲种产品（6000﹣x）千克，
∵1600≤x≤4000，
当1600≤x≤2000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）•x＝﹣x+24000，
∵﹣1＜0，
∴当x＝1600时，w的最大值为﹣1×1600+24000＝22400（元）；
当2000＜x≤4000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，
∵1＞0，
∴当x＝4000时，w的最大值为4000+20000＝24000（元），
综上，w=−x+24000(1600≤x≤2000)x+20000(2000＜x≤4000)；
当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
（3）根据题意可知，降价后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x﹣（13x+4000）＝（1﹣a）x+20000﹣6000a，
当x＝4000时，w取得最大值，
∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．
∴a的最大值为0.9．
总结提升：本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
类型二 费用最少问题
7．(2023•钢城区）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍．则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
思路引领：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，可得：20x+16y=1280x−y=10，即可解得甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，根据购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，得m≥25，而w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，由一次函数性质可得购买甲种树苗25棵，则购买乙种树苗75棵，花费最少．
解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，
根据题意得：20x+16y=1280x−y=10，
解得x=40y=30，
答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少，理由如下：
设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（100﹣m）棵，
∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，
∴100﹣m≤3m，
解得m≥25，
根据题意：w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝25时，w取最小值，最小值为10×25+3000＝3250（元），
此时100﹣m＝75，
答：购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少．
总结提升：本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
8．(2023•黔西南州）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．
（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？
（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．
思路引领：（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，求解即可；
（2）设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为（400﹣m）盆，种植两种花卉的总费用为w元，由题意：这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，列出一元一次不等式，解得m≤200，再由题意得w＝﹣30m+24000，然后由一次函数的性质即可得出结论．
解：（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意，
得：3x+4y=3304x+3y=300，
解得：x=30y=60，
答：每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元；
（2）设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为（400﹣m）盆，种植两种花卉的总费用为w元，
根据题意，得：（1﹣70%）m+（1﹣90%）（400﹣m）≤80，
解得：m≤200，
w＝30m+60（400﹣m）＝﹣30m+24000，
∵﹣30＜0，
∴w随m的增大而减小，
当m＝200时，w的最小值＝﹣30×200+24000＝18000，
答：种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元．
总结提升：本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
9．(2023•济宁）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
思路引领：（1）设甲种货车用了x辆，可得：16x+12（24﹣x）＝328，即可解得甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；
（2）①根据题意得：w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500
②根据前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，可得4≤t≤10，由一次函数性质可得当t为4时，w最小，最小值是22700元．
解：（1）设甲种货车用了x辆，则乙种货车用了（24﹣x）辆，
根据题意得：16x+12（24﹣x）＝328，
解得x＝10，
∴24﹣x＝24﹣10＝14，
答：甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；
（2）①根据题意得：
w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500
∴w与t之间的函数解析式是w＝50t+22500；
②∵t≥012−t≥010−t≥014−(12−t)≥0，
∴0≤t≤10，
∵前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，
∴16t+12（12﹣t）≥160，
解得t≥4，
∴4≤t≤10，
在w＝50t+22500中，
∵50＞0，
∴w随t的增大而增大，
∴t＝4时，w取最小值，最小值是50×4+22500＝22700（元），
答：当t为4时，w最小，最小值是22700元．
总结提升：本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
10．(2023•深圳）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
思路引领：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，根据用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样列方程，从而可解决问题；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，列出w关于a的函数解析式，由一次函数的性质可得答案．
解：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，
由题意得，110x=120x+1，
解得x＝11，
经检验x＝11是原方程的解，且符合题意，
∴乙类型的笔记本单价为x+1＝11+1＝12（元），
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，
∵购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴100﹣a≤3a，且100﹣a≥0，
解得25≤a≤100，
根据题意得w＝11a+12（100﹣a）＝11a+1200﹣12a＝﹣a+1200，
∵﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴a＝100时，w最小值为﹣100+1200＝1100（元），
答：最低费用为1100元．
总结提升：本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．
11．(2023•十堰）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y=2x，0＜x≤30−6x+240，30＜x≤40，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 30 件；
（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
思路引领：（1）利用日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式，将x＝15代入对应的函数关系式中即可；
（2）利用分类讨论的方法，分①当0＜x≤20时，②当20＜x≤30时两种情形解答：利用日销售额＝日销售量×销售单价计算出日销售额，再利用一次函数和二次函数的性质解答即可；
（3）利用分类讨论的方法，分①当0＜x≤20时，②当20＜x≤30时两种情形解答：利用已知条件列出不等式，求出满足条件的x的范围，再取整数解即可．
解：（1）∵日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y=2x，0＜x≤30−6x+240，30＜x≤40，
∴第15天的销售量为2×15＝30件，
故答案为：30；
（2）由销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数图象得：
p=40(0＜x≤20)50−12x(20＜x≤40)，
①当0＜x≤20时，
日销售额＝40×2x＝80x，
∵80＞0，
∴日销售额随x的增大而增大，
∴当x＝20时，日销售额最大，最大值为80×20＝1600（元）；
②当20＜x≤30时，
日销售额＝（50−12x）×2x＝﹣x2+100x＝﹣（x﹣50）2+2500，
∵﹣1＜0，
∴当x＜50时，日销售额随x的增大而增大，
∴当x＝30时，日销售额最大，最大值为2100（元），
综上，当0＜x≤30时，日销售额的最大值为2100元；
（3）由题意得：
当0＜x≤30时，2x≥48，
解得：24≤x≤30，
当30＜x≤40时，﹣6x+240≥48，
解得：30＜x≤32，
∴当24≤x≤32时，日销售量不低于48件，
∵x为整数，
∴x的整数值有9个，
∴“火热销售期”共有9天．
总结提升：本题主要考查了一次函数的应用，一次函数的性质，二次函数的性质，配方法求函数的极值，正确利用自变量的取值范围确定函数的关系式是解题的关键．
12．(2023•通辽）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）两图象交于点A，求点A坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
思路引领：（1）根据题意和题目中的数据，可以分别写出y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）根据（1）中的结果和题意，令0.85x＝0.7x+90，求出x的值，再求出相应的y的值，即可得到点A的坐标．
（3）根据函数图象和（2）中点A的坐标，可以写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
解：（1）由题意可得，
y甲＝0.85x，
当0≤x≤300时，y乙＝x，
当x＞300时，y乙＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90，
则y乙=x(0≤x≤300)0.7x+90(x＞300)；
（2）令0.85x＝0.7x+90，
解得x＝600，
将x＝600代入0.85x得，0.85×600＝510，
即点A的坐标为（600，510）；
（3）由图象可得，
当x＜600时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当x＝600时，两家体育专卖店购买体育用品一样合算；当x＞600时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．(2023•广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．
（1）求A、B两厂各运送多少吨水泥；
（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
思路引领：（1）设A厂运送水泥x吨，则B厂运送水泥（x+20）吨，根据A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨列出方程，解方程即可；
（2）设从A厂运往甲地水泥a吨，则A厂运往乙地水泥（250﹣a） 吨，B厂运往甲地水泥（240﹣a）吨，B厂运往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）吨，然后根据题意列出总费用w关于a的函数解析式，并根据函数的性质求最值，以及此时a的值．
解：（1）设A厂运送水泥x吨，则B厂运送水泥（x+20）吨，
根据题意得：x+x+20＝520，
解得：x＝250，
此时x+20＝270，
答：A厂运送水泥250吨，B厂运送水泥270吨；
（2）设从A厂运往甲地水泥a吨，则A厂运往乙地水泥（250﹣a） 吨，B厂运往甲地水泥（240﹣a）吨，B厂运往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）吨，
由题意得：w＝40a+35（250﹣a）+28（240﹣a）+25（a+30）＝40a+8750﹣35a+6720﹣28a+25a+750＝2a+16220，
∵B厂运往甲地的水泥最多150吨，
∴240﹣a≤150，
解得：a≥90，
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝90时，总运费最低，
最低运费为：2×90+16220＝16400（元），
∴最低运送方案为A厂运往甲地水泥90吨，运往乙地水泥160吨：B厂运往甲地水泥150吨，B厂运往乙地水泥120吨，最低运费为16400元．
总结提升：此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．
14．(2023•遵义）遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．
（1）求A，B型设备单价分别是多少元；
（2）该校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的13．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
思路引领：（1）设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元，根据“用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台”建立方程，解方程即可．
（2）根据总费用＝购买A型设备的费用+购买B型设备的费用，可得出w与a的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出a的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论．
解：（1）设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元，
根据题意得，300001.2x=15000x+4，
解得：x＝2500．
经检验，x＝2500是原方程的解．
∴1.2x＝3000，
∴每台B型设备的价格为2500元，则每台A型号设备的价格为3000元．
（2）设购买a台A型设备，则购买（50﹣a）台B型设备，
∴w＝3000a+2500（50﹣a）＝500a+125000，
由实际意义可知，a≥050−a≥0a≥13(50−a)，
∴12.5≤a≤50且a为整数，
∵500＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝13时，w的最小值为500×13+125000＝131500（元）．
∴w＝500a+125000，且最少购买费用为131500元．
总结提升：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
15．(2023•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y=12x，0≤x≤10−20x+320，10＜x≤16，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；
（2）求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
思路引领：（1）当10≤x≤16时，y＝﹣20x+320，把x＝14代入，求出其解即可；
（2）利用待定系数法即可求得草莓价格m与x之间的函数关系式；
（3）利用销售金额＝销售量×草莓价格，比较第8天与第10天的销售金额，即可得答案．
解：（1）∵当10≤x≤16时，y＝﹣20x+320，
∴当x＝14时，y＝﹣20×14+320＝40（千克），
∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．
（2）当4≤x≤12时，设草莓价格m与x之间的函数关系式为m＝kx+b，
∵点（4，24），（12，16）在m＝kx+b的图象上，
∴4k+b=2412k+b=16，
解得：k=−1b=28，
∴函数解析式为m＝﹣x+28．
（3）当0≤x≤10时，y＝12x，
∴当x＝8时，y＝12×8＝96，
当x＝10时，y＝12×10＝120；
当4≤x≤12时，m＝﹣x+28，
∴当x＝8时，m＝﹣8+28＝20，
当x＝10时，m＝﹣10+28＝18
∴第8天的销售金额为：96×20＝1920（元），
第10天的销售金额为：120×18＝2160（元），
∵2160＞1920，
∴第10天的销售金额多．
总结提升：此题考查了一次函数的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．
类型三 行程问题
16．(2023•盐城）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小丽步行的速度为 80 m/min；
（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．
思路引领：（1）用路程除以速度即可得小丽步行的速度；
（2）求出小华的速度，即可求出两人相遇所需的时间，进而可得小丽所走路程，即是他们到甲地的距离．
解：（1）由图象可知，小丽步行的速度为240030=80（m/min），
故答案为：80；
（2）由图象可得，小华骑自行车的速度是240020=120（m/min），
∴出发后需要2400120+80=12（min）两人相遇，
∴相遇时小丽所走的路程为12×80＝960（m），
即当两人相遇时，他们到甲地的距离是960m．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息．
17．(2023•长春）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）m＝ 2 ，n＝ 6 ；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
思路引领：（1）由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出m＝2，根据以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地知n＝6；
（2）用待定系数法可得y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）求出乙的速度，即可得乙到A地所用时间，即可求得甲车距A地的路程为300千米．
解：（1）由题意知：m＝200÷100＝2，
n＝m+4＝2+4＝6，
故答案为：2，6；
（2）设y＝kx+b，将（2，200），（6，440）代入得：
2k+b=2006k+b=440，
解得k=60b=80，
∴y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）乙车的速度为（440﹣200）÷2＝120（千米/小时），
∴乙车到达A地所需时间为440÷120=113（小时），
当x=113时，y＝60×113+80＝300，
∴甲车距A地的路程为300千米．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
18．(2023•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 300 米/分钟，乙的速度为 800 米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
思路引领：（1）利用速度＝路程÷时间，找准甲乙的路程和时间即可得出结论；
（2）根据（1）中的计算可得出点G的坐标，设直线FG的解析式为：y＝kx+b，将F，G的坐标代入，求解方程组即可；
（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），
∴乙的速度为：800÷1＝800（米/分钟），
∴乙从B地到C地用时：2400÷800＝3（分钟），
∴G（6，2400）．
∴H（8，2400）．
∴甲的速度为2400÷8＝300（米/分钟），
故答案为：300；800；
（2）设直线FG的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且由图象可知F（3，0），
由（1）知G（6，2400）．
∴3k+b=06k+b=2400，
解得，k=800b=−2400．
∴直线FG的解析式为：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．
（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米．
∵O（0，0），H（8，2400），
∴直线OH的解析式为：y＝300x，
∵D（1，800），
∴直线OD的解析式为：y＝800x，
当0≤x≤1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向走，
∴令800x+300x＝600，解得x=611．
∵当2≤x≤3时，甲从B继续往C地走，乙从A地往B地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600解得x=185（不合题意，舍去）
∵当x＞3时，甲从B继续往C地走，乙从B地往C地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，
解得x=185或x＝6．
综上，出发611分钟或185分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
总结提升：本题考查一次函数的应用、路程＝速度×时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，将图象中的信息转化为实际行程问题，属于中考常考题型．
19．(2023•黑龙江）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 100 km/h，乙车出发时速度是 60 km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
思路引领：（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲车速度和乙车出发时速度；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式；
（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
解：（1）由图象可得，
甲车的速度为：500÷5＝100（km/h），
乙车出发时速度是：300÷5＝60（km/h），
故答案为：100，60；
（2）乙车返回过程中，设乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式是y＝kx+b，
∵点（9，300），（12，0）在该函数图象上，
∴9k+b=30012k+b=0，
解得k=−100b=1200，
即乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式是y＝﹣100x+1200；
（3）设乙车出发m小时，两车之间的距离是120km，
当0＜m＜5时，
100m﹣60m＝120，
解得m＝3；
当5.5＜m＜8时，
100（m﹣5.5）+120+300＝500，
解得m＝6.3；
当9＜m＜12时，
乙车返回的速度为：300÷（12﹣9）＝100（km/h），
100（m﹣8）+100（m﹣9）＝120，
解得m＝9.1；
答：乙车出发3小时或6.3小时或9.1小时，两车之间的距离是120km．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
20．(2023•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
（1）加热前水温是 20 ℃．
（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．
（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 65 ℃．
思路引领：（1）由图象x＝0时y＝20求解．
（2）通过待定系数法求解．
（3）由图象可求出甲壶的加热速度，求出甲壶中水温达到80℃时的x，将其代入（2）中解析式求解．
解：（1）由图象得x＝0时y＝20，
∴加热前水温是20℃，
故答案为：20．
（2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y＝kx+b，
将（0，20），（160，80）代入y＝kx+b得20=b80=160k+b，
解得k=38b=20，
∴y=38x+20．
（3）甲水壶的加热速度为（60﹣20）÷80=12℃/s，
∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为（80﹣20）÷12=120s，
将x＝120代入y=38x+20得y＝65，
故答案为：65．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握一次函数与方程的关系．
21．(2023•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A、B两地之间的距离是 1200 米，乙的步行速度是 60 米/分；
（2）图中a＝ 900 ，b＝ 800 ，c＝ 15 ；
（3）求线段MN的函数解析式；
（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）
思路引领：（1）利用函数图象中的信息直接得到A、B两地之间的距离，再利用函数图象中的信息即可求得乙的步行速度；
（2）利用（1）的结论通过计算即可得出结论；
（3）利用待定系数法解答即可；
（4）利用分类讨论的方法，分别求得相遇前和相遇后两人相距80米时的时间即可求得结论．
解：（1）由图象知：当x＝0时，y＝1200，
∴A、B两地之间的距离是1200米；
由图象知：乙经过20分钟到达A，
∴乙的速度为120020=60（米/分）．
故答案为：1200；60；
（2）由图象知：当x=607时，y＝0，
∴甲乙二人的速度和为：1200÷607=140（米/分），
设甲的速度为x米/分，则乙的速度为（140﹣x）米/分，
∴140﹣x＝＝60，
∴x＝80．
∴甲的速度为80（米/分），
∵点M的实际意义是经过c分钟甲到达B地，
∴c＝1200÷80＝15（分钟），
∴a＝60×15＝900（米）．
∵点N的实际意义是经过20分钟乙到达A地，
∴b＝900﹣（80﹣60）×5＝800（米）；
故答案为：900；800；15；
（3）由题意得：M（15，900），N（20，800），
设线段MN的解析式为y＝kx+n，
∴15k+n=90020k+n=800，
解得：k=−20n=1200，
∴线段MN的解析式为y＝﹣20x+1200（15≤x≤20）；
（4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第647分钟两人相距80米．理由：
①相遇前两人相距80米时，二人的所走路程和为1200﹣80＝1120（米），
∴1120÷140＝8（分钟）；
②相遇后两人相距80米时，二人的所走路程和为1200+80＝1280（米），
∴1280÷140=647（分钟）．
综上，在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第647分钟两人相距80米．
总结提升：本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，明确函数图象上点的坐标的实际意义是解题的关键．
22．(2023•湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
思路引领：（1）设轿车出发后x小时追上大巴，根据题意列出方程即可求解；
（2）由图象及（1）的结果可得A（1，0），B（3，120），利用待定系数法即可求解；
（3）根据题意列出方程即可求出a的值．
解：（1）设轿车出发后x小时追上大巴，
依题意得：40（x+1）＝60x，
解得x＝2．
∴轿车出发后2小时追上大巴，
此时，两车与学校相距60×2＝120（千米），
答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米；
（2）∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米，
∴大巴行驶了3小时，
∴B（3，120），
由图象得A（1，0），
设AB所在直线的解析式为s＝kt+b，
∴k+b=03k+b=120，
解得k=60b=−60，
∴AB所在直线的解析式为s＝60t﹣60；
（3）依题意得：40（a+1.5）＝60×1.5，
解得a=34．
∴a的值为34．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解决本题的关键根据函数图象解决问题，充分利用数形结合思想．
23．(2023•成都）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示．
（1）直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？
思路引领：（1）根据图象分段设出函数解析式，在用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据乙的路程大于甲的路程即可求解．
解：（1）当0≤t≤0.2时，设s＝at，
把（0.2，3）代入解析式得，0.2a＝3，
解得：a＝15，
∴s＝15t；
当t＞0.2时，设s＝kt+b，
把（0.2，3）和（0.5，9）代入解析式，
得0.5k+b=90.2k+b=3，
解得k=20b=−1，
∴s＝20t﹣1，
∴s与t之间的函数表达式为s=15t(0≤t≤0.2)20t−1(t＞0.2)；
（2）由（1）可知0≤t≤0.2时，乙骑行的速度为15km/h，而甲的速度为18km/h，则甲在乙前面；
当t＞0.2时，乙骑行的速度为20km/h，甲的速度为18km/h，
设t小时后，乙骑行在甲的前面，
则18t＜20t﹣1，
解得：t＞0.5，
答：0.5小时后乙骑行在甲的前面
总结提升：本题考查一次函数的应用，关键是根据图象用待定系数法分段求函数解析式．
模块二 2023中考押题预测
24．（2023•范县一模）商家发现最近很多社区开展“全民健身全家健康”的活动，为了适应市场需求，服务场周围群众，商场需要从厂家购进两种不同型号和价格的“羽毛球拍”，已知用6000元购进“A型拍”与用4000元购进“B型球拍”的数量相同，且每副“B型球拍”比每副“A型球拍”的价格便宜40元．
（1）求这两种“羽毛球拍”每副的价格．
（2）该商场计划购进“A型球拍”的数量比“B型球拍”数量的2倍还多10副，且两种“羽毛球拍”的数量不超过160副，售价见店内海报（如图所示），该商场应如何安排进货才能使完全售出后利润最大？最大利润是多少？
思路引领：（1）设每副“A型球拍”的价格为x元，则每副“B型球拍”的价格为（x﹣40）元，根据“用6000元购进“A型拍”与用4000元购进“B型球拍”的数量相同”列出方程，解方程即可；
（2）设商场购进“B型球拍”m副，则购进“A型球拍”（2m+10）副，完全售出后所得利润为w元，根据总利润＝两种球拍的利润之和列出函数解析式，然后根据函数的性质和m的取值范围求出函数解析式．
解：（1）设每副“A型球拍”的价格为x元，则每副“B型球拍”的价格为（x﹣40）元，
根据题意得：6000x=4000x−40，
解得x＝120，
经检验x＝120是原方程的解，
此时x﹣40＝80，
答：每副“A型球拍”的价格为120元，每副“B型球拍”的价格为80元；
（2）设商场购进“B型球拍”m副，则购进“A型球拍”（2m+10）副，完全售出后所得利润为w元，
根据题意得：w＝（150﹣120）（2m+10）+（100﹣80）m＝80m+300，
∵两种“羽毛球拍”的数量不超过160副，
∴2m+10+m≤160，
解得m≤50，
∵80＞0，
∴当m＝50时，w最大，最大值为4300，
此时2m+10＝110，
答：商场购进“A型球拍”110副，“B型球拍”50副利润最大，最大利润为4300元．
总结提升：本题主要考查一次函数和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
25．（2023•南山区二模）应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
思路引领：（1）设每个乙种书柜的进价为x元，每个甲种书柜的进价为1.1x元，根据用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台，列方程求解；
（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60﹣m）个，根据乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍，列不等式组求解．
解：（1）设每个乙种书柜的进价为x元，则每个甲种书柜的进价为1.1x元，
根据题意得，33001.1x+5=4500x，
解得x＝300，
经检验，x＝300是原方程的根，
300×1.1＝330（元）．
故每个甲种书柜的进价为330元，每个乙种书柜的进价为300元；
（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60﹣m）个，购进两种书柜的总成本为y元，根据题意得，
y=330m+300(60−m)60−m≤2m，
解得y＝30m+18000（m≥20），
∵k＝30＞0，
∴y随x的增大而增大，
当m＝20时，y＝18600（元）．
故购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．
总结提升：本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．
26．（2023•大庆一模）大庆市为了筹建第五届旅发大会，建设滨水绿道，围绕“以河连湖，以绿串蓝”的理念，秉承“惠及民生、全民共享”的初心，串起一河五湖，沿黎明河主轴线纵伸延展，采用上跨立交和下穿通行的方式，建成一个全长35公里的滨水生态慢行系统．小东与父亲每天在某区段匀速慢跑，以600m距离为一个训练段．已知父子俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人．已知小东先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）小东的速度为 2 m/s、父亲的速度为 30 m/s；
（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；
（3）直接写出整个过程中，哪个时间段内，父子两人之间距离超过了100m．
思路引领：（1）由路程除以时间可得小捷的速度为40÷20＝2（m/s），父亲的速度为600÷200＝3（m/s）；
（2）父亲追上小捷所需时间为403−2=40（s），即得A的坐标为（40，0），求出B坐标是（200，160），C的坐标为（280，0），用待定系数法可得BC所在直线的解析式为y＝﹣2x+560；
（3）求出直线AB解析式为y＝x﹣40，解x﹣40＞100得x＞140，解﹣2x+560＞100得x＜230，即可得140＜x＜230时，父女两人之间距离超过了100m．
解：（1）由函数图象可得：
小捷的速度为40÷20＝2（m/s），父亲的速度为600÷200＝3（m/s），
故答案为：2，3；
（2）父亲追上小捷所需时间为403−2=40（s），
∴A的坐标为（40，0），
当父亲出发的时间x＝200s时，两人之间的距离y＝200×3﹣（200+20）×2＝160（m），
∴B坐标是（200，160），
小捷到达终点所需时间为6002=300（s），300﹣20＝280，
∴C的坐标为（280，0），
设BC所在直线的解析式为y＝kx+b，把B（200，160），C（280，0）代入得：
200k+b=160280k+b=0，
解得k=−2b=560，
∴BC所在直线的解析式为y＝﹣2x+560；
（3）由A（40，0），B（200，160）可得直线AB解析式为y＝x﹣40，
当x﹣40＞100得x＞140，
当﹣2x+560＞100得x＜230，
∴当140＜x＜230时，父女两人之间距离超过了100m．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
27．（2023•齐齐哈尔一模）某实验室对甲、乙两机器人进行装卸货物测试，在实验场地的一条直线上依次设置货物装卸点A，B，C三地，甲、乙两机器人同时从A地匀速出发，甲机器人到达C地后装货1分钟，再以原速原路返回A地，乙机器人到达B地后装货1分钟，再以原速前往C地，结果甲、乙两机器人同时到达各自目的地，在两机器人行驶的过程中，甲、乙两机器人距A地的距离y（单位：米）与甲机器人所用时间x（单位：分）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离为 240 米，甲机器人的速度为 120 米/分；
（2）求乙机器人从B地到C地行驶过程中y与x的函数关系式（不用写出x的取值范围）；
（3）两机器人经过多长时间相距120米？请直接写出答案．
思路引领：（1）根据图象可得AB两地之间的距离，再根据路程、时间、速度的关系可求得甲的速度；
（2）先根据题意确定点E、F的坐标，然后再运用待定系数法求解即可；
（3）根据A，C，B三地在同一直线上，先分别求得直线OG、OD、HI的解析式，然后再分两种情况解答即可．
解：（1）由函数图象可得：AB两地之间的距离为240米，甲到达C点用时（11﹣1）÷2＝5，AC两地之间的距离为600米，则甲机器人的速度为600÷5＝120（米/分）．
故答案为：240，120．
（2）由函数图象可得乙机器人从B地到C地行驶过程对应函数图象为EF，点E（5，240），F（11，600），
设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
则240=5k+b600=11k+b，
解得：k=60b=−60，
∴y与x的函数关系式为y＝60x﹣60．
（3）①当甲机器人到达C地前时，由函数图象可得G（5，600），D（4，240），
由待定系数法可得：OG的解析式为：y＝120x；
OD的解析式为：y＝60x，
由两机器人相距120米，则：120x﹣60x＝120，
解得x＝2，
②当甲机器人到达C地返回，乙机器人从B到C过程中相距120米，
由函数图象可得：H（6，600），I（11，0），
由待定系数法可得：y＝﹣120x+1320，
由（2）可得直线EF的解析式为：y＝60x﹣60，
∴|﹣120x+1320﹣（60x﹣60）|＝120，
解得：x＝7或253，
综上，两机器人经过2分或7分或253分相距120米．
总结提升：本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
28．（2023•浦东新区二模）某市全面实施居民“阶梯水价”，当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见表：
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
（1）如果果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？
（2）居民缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关如图所示，求第二阶梯（线段AB）的表达式；
（3）如果小明家全年数纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
思路引领：（1）根据第一阶段缴费标准，用应缴纳水费＝户年用水量×（自来水单价+污水处理单价），即可得出结论；
（2）根据图象数据和（1）的结论，用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）先判断全年数纳的水费共计1181元时，得出用水量在第二阶段，然后代入解析式求出x的值即可．
解：（1）根据题意知，全年应缴纳水费为220×（2.25+1.8）＝891（元），
答：她家全年应缴纳水费891元；
（2）设第二阶梯（线段AB）的表达式为y＝kx+b，
将点（220，891）和点（300，1355）代入y＝kx+b得：
220k+b=891300k+b=1355，
解得k=5.8b=−385，
∴第二阶梯（线段AB）的表达式为y＝5.8x﹣385；
（3）由（1）知，全年用水量220立方米时，需缴纳水费891元，
由（2）知，全年用水量300立方米时，需缴纳水费1355元，
∵891＜1181＜1355，
∴小明家全年用水在第二阶段，
∵第二阶梯（线段AB）的表达式为y＝5.8x﹣385，
∴当y＝1181时，5.8﹣385＝1181，
解得x＝270，
答：他家全年用水量是270立方米．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
29．（2023•文山市一模）国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示．
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1600元购进乙种水果的重量相同．
（1）求x的值；
（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
思路引领：（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1600元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（100﹣m）千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
解：（1）由题意可知：
1200x=1600x+4，
x＝12；
检验；x＝12时，x（x+4）≠0，
∴x＝12是原分式方程的解，且符合实际意义；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（100﹣m）千克，利润为y元，
由题意可知：
y＝（20﹣12）m+（25﹣12﹣4）（100﹣m）＝﹣m+900，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，
∴m≥3（100﹣m），
解得：m≥75，
∴75≤m＜100，
在y＝﹣m+900中，
∵k＝﹣1＜0，
∴y随m的增大而减小，
∴当m＝75时，y最大＝﹣75+900＝825（元），
答：购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润825元．
总结提升：本题考查了分式方程，不等式，一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
30．（2023•雁塔区校级模拟）西安是一个历史悠久风景美丽的城市．已经结束的2022年西安国际马拉松比赛，从赛道两旁的美景到热情的古城人民都给大家留下了美好的回乙．为了积极准备2023年西安国际马拉松比赛，小明和小亮相约周末去曲江池锻炼．他们计划沿着曲江池跑两圈，已知曲江池一圈路程为4.2km，他们从同一地点出发，小亮先跑，他们的锻炼过程如图所示，横轴表示跑步时间，纵轴表示路程，请根据图中信息回答下列问题．
（1）小亮的速度为 160 米/分钟，小明跑第一圈的速度为 200 米/分钟．
（2）小明出发几分钟时第一次追上小亮？
（3）在跑第二圈时小明将速度调整为180米/分，请通过计算判断小明和小亮谁先跑完两圈到达终点？
思路引领：（1）根据图形用路程÷时间＝速度，求出小明和小亮的速度即可；
（2）根据路程相等列出方程，解方程即可；
（3）求出小明和小亮跑完第二圈所用时间，在求出跑完全程所用时间，进行比较即可．
解：（1）小亮的速度为（4200﹣600）÷22.5＝160（m/min），
小明跑第一圈的速度为4200÷21＝200（m/min），
故答案为：160，200；
（2）设经过t分钟小明第一次追上小亮，
根据题意得：200t＝600+160t，
解得t＝15，
答：小明出发15分钟时第一次追上小亮；
（3）小亮第二圈用时4200÷160=1054（min），
小明第二圈用时4200÷180=703（min），
∴小亮跑完全程用时22.5+1054=1954（min），
小明跑完全程用时26+703=1483（min），
∵1954＞1483，
∴小明先跑完两圈到达终点．
总结提升：本题考查一次函数的应用，关键是从图形中读取信息，正确求出小明、小亮的速度．
31．（2023•前郭县一模）在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖道铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是所铺设彩色砖道的长度y（m）关于施工时间x（h）的部分函数图象．请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式；
（2）如果甲队施工速度不变，乙队在6h后，施工速度增加到12m/h，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色砖道的长度为多少米．
思路引领：（1）根据函数图象中的数据，可以计算出乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式；
（2）根据图象中的数据，可以计算出甲的速度，再根据题意，可以列出相应的方程，然后求解即可．
解：（1）设乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式为y＝kx+b．
由图可知，函数图象过点（2，30），（6，50），
∴2k+b=306k+b=50，
解得k=5b=20，
即乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式为y＝5x+20；
（2）由图可知，
甲队速度是60÷6＝10（m/h）．
设甲队从开始施工到完工所铺设彩色砖道的长度为zm，
由题意可得：z−6010=z−5012，
解得z＝110．
答：甲队从开始施工到完工所铺设彩色砖道的长度为110m．
总结提升：本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，列出相应的方程．
32．（2023•碑林区校级模拟）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表：
设运往甲地的货物为x吨，全部运出的总费用为y元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若该公司运出货物的总费用不超过4800元，求该公司运往甲地至少多少吨货物？
思路引领：（1）根据总费用＝运往甲地和乙地的费用之和列出函数解析式；
（2）令y≤4800，解不等式即可．
解：（1）设运往甲地为x吨，则运往乙地（30﹣x）吨，
根据题意得：y＝120x+200（30﹣x）＝﹣80x+6000，
∴y与x间的函数表达式为y＝﹣80x+6000；
（2）∵该公司运出货物的总费用不超过4800元，
∴﹣80x+6000≤4800，
解得x≥15，
答：该公司运往甲地至少15吨货物．
总结提升：本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
33．（2023•许昌一模）据悉，河南省中招体育考试成绩将于2024年起，由现在的满分70分提高到100 分计入总分．某中学为了满足体育课的需要，计划购买A，B两个品牌的篮球若干个，市场调研得知，购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元．
（1）求A，B两种品牌篮球的单价；
（2）学校在选定的超市实际购买时，发现有两种购买方案：
方案一：购买A品牌篮球的数量如果不超过10个，按原价销售；如果超过10个，超过部分按八折优惠；B品牌篮球一律按原价销售．
方案二：购买A品牌和B品牌篮球都按八五折优惠．
该中学计划购买A品牌篮球x个，B品牌篮球10个．
①请分别写出这两种方案所需的费用y（单位：元）与x的函数关系式；
②已知x＞10，则该校选择哪种方案购买更合算？请说明理由．
思路引领：（1）设A品牌篮球的单价为m元，B品牌篮球的单价为n元，根据购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元，列二元一次方程组，求解即可；
（2）①根据给定的购买方案分别列出函数关系式即可；
②当80x+1000＞85x+680时，当80x+1000＝85x+680时，当80x+1000＜85x+680时，分别求解即可确定哪种合算．
解：（1）设A品牌篮球的单价为m元，B品牌篮球的单价为n元，
根据题意，得5m+10n=130010m+5n=1400，
解得m=100n=80，
答：A品牌篮球的单价为100元，B品牌篮球的单价为80元；
（2）①方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+10×80＝100x+800，
当x＞10时，y＝100×10+100×0.8（x﹣10）+80×10＝80x+1000，
方案二：y＝100×0.85x+80×0.85×10＝85x+680，
∴方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+800；当x＞10时，y＝80x+1000；
方案二：y＝85x+680；
②当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算，理由如下：
∵x＞10，
当80x+1000＞85x+680时，x＜64，此时方案二合算；
当80x+1000＝85x+680时，x＝64，此时两种方案费用相同；
当80x+1000＜85x+680时，x＞64，此时方案一合算，
∴当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算．
总结提升：本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立函数关系式是解题的关键．
34．（2023•河北区一模）快递站、药店和客户家依次在同一直线上，快递站距药店、客户家的距离分别为600m和1800m，快递员小李从快递站出发去往客户家送快递，他先匀速骑行了10min后，接到该客户电话，又用相同的速度骑行了6min返回刚才路过的药店帮该客户买药，小李在药店停留了4min后，继续去往客户家，为了赶时间他加快速度，匀速骑行了6min到达客户家准时投递，下面的图象反映了这个过程中小李离快递站的距离y（m）与离开快递站的时间x（min）之间的对应关系．
请解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①药店到客户家的距离是 1200 m；
②小李从快递站出发时的速度为 150 m/min；
③小李从药店取完药到客户家的骑行速度为 200 m/min；
④小李离快递站的距离为1200m时，他离开快递站的时间为 8或12或23 min；
（Ⅲ）当10≤x≤26时，请直接写出y关于x的函数解析式．
思路引领：（Ⅰ）由图象可求出小李在16分钟之前的速度，从而可以求出x＝8时小李离快递站的距离，然后从图象中直接得出x＝18，26时y的值；
（Ⅱ）①根据速度＝路程÷时间即可得出结论；
②由（Ⅰ）可得结论；
③根据速度＝路程÷时间即可得出结论；
④根据图象分别求出小李离快递站的距离为1200m时的时间；
（Ⅲ）分段由待定系数法求函数解析式．
解：（Ⅰ）由图象知，当小李离开快递站匀速骑行了10min，骑行了1500m，
速度为：150010=150（m/min），
∴当x＝8时，小李离快递站的距离为150×8＝1200（m）；
当x＝18时，小李在药店买药，
∴小李离快递站的距离为600m；
当x＝26时，小李到达客户家，
∴小李离快递站的距离为1800m；
故答案为：1200；600；1800；
（Ⅱ）①由图象知，药店到客户家的距离是1800﹣600＝1200（m）；
②由（Ⅰ）知，小李从快递站出发时的速度为150m/min；
③小李从药店取完药到客户家的骑行速度为1800−60026−20=200（m/min）；
④小李第一次离快递站1200m时，所需时间为1200150=8（min）；
小李第二次离快递站1200m时，所需时间为8+2（10﹣8）＝12（min）；
小李第二次离快递站1200m时，所需时间20+1200−600200=20+3＝23（min），
故答案为：①1200；②150；③200；④8或12或23；
（Ⅲ）当10≤x≤16时，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
则10k+b=150016k+b=600，
解得k=−150b=3000，
∴y＝﹣150x+3000；
当16＜x≤20时，y＝600；
当20＜20≤26时，设y关于x的函数解析式为y＝mx+n，
则20m+n=60026m+n=1800，
解得m=200n=−3400，
∴y＝200x﹣3400；
综上所述，y关于x的函数解析式为y=−150x+3000(10≤x≤16)600(16＜x≤20)200x−3400(20＜x≤26)．
总结提升：本题考查一次函数的应用，关键是读取图形中的信息，逐一讨论．
35．（2023•绿园区一模）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）甲队在开挖后6小时内，每小时挖 10 m．
（2）当2≤x≤6时，求y乙与x的之间的函数关系式．
（3）直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m．
思路引领：（1）结合图象，用甲6小时挖的长度÷时间，即可得出结论；
（2）根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式；
（3）先用待定系数法求出y甲与x的之间的函数关系式以及当0≤x≤2时y乙与x的函数解析式，然后根据他们所挖河渠长度差为5米，列出方程，解方程即可．
解：（1）根据图象可知，甲队在开挖后6小时内，每小时挖606=10（米），
故答案为：10；
（2）设乙队在2≤x≤6的时段内y乙与x之间的函数关系式为y乙＝kx+b（k≠0），
由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），
∴2k+b=306k+b=50，
解得k=5b=20，
∴当2≤x≤6时，y乙与x的之间的函数关系式为y乙＝5x+20；
（3）当0≤x≤2时，设y乙与x的函数解析式为y乙＝mx，
可得2m＝30，
解得m＝15，
即y乙＝15x；
设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y甲＝k1x，
由图可知，函数图象过点（6，60），
∴6k1＝60，
解得k1＝10，
∴y甲＝10x；
当0≤x≤2时，15x﹣10x＝5，
解得x＝1；
当2＜x≤6时，|5x+20﹣10x|＝5，
解得x＝3或x＝5．
答：当两队所挖的河渠长度之差为5m时，x的值为1h或3h或5h．
总结提升：此题主要考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键．
36．（2023•红桥区一模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行0.5h到达体育馆；在体育馆停留一段时间后，匀速步行0.4h到达图书馆；在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中，给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离ykm与离开家的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①体育馆与图书馆之间的距离为 2 km；
②小明从体育馆到图书馆的步行速度为 5 km/h；
③当小明离开家的距离为4km时，他离开家的时间为 13或3.75 h．
（Ⅲ）当2≤x≤4时，请直接写出y关于x的函数解析式．
思路引领：（Ⅰ）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
（Ⅱ）①根据函数图象中的数据，可以得到体育馆与图书馆之间的距离；
②根据速度＝路程÷时间计算即可；
③根据图象可知，分两种情况，然后计算即可；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当2≤x≤4时，y关于x的函数解析式．
解：（Ⅰ）由图象可得，
在前0.5h的速度为6÷0.5＝12（km/h），
故当x＝0.3时，小明离开家的距离为0.3×12＝3.6（km），
当2＜x≤2.4时，速度为8−62.4−2=5（km/h），
∴当x＝2.2时，y＝6+5×0.2＝7，
在2.4＜x≤3.5时，距离不变，都是8km，故当x＝2.2时，小明离开家的距离为8km，
故答案为：3.6，7，8；
（Ⅱ）由图象可得，
①体育馆与图书馆之间的距离为2km，
故答案为：2；
②小明从体育馆到图书馆的步行速度为：（8﹣6）÷（2.4﹣2）＝5（km/h），
故答案为：5；
③当0≤x≤0.5时，
小明离家的距离为4km时，小明离开家的时间为4÷12=13（h），
当3.5≤x≤4时，
小明离家的距离为4km时，小明离开家的时间为3.5+4÷[8÷（4﹣3.5）]＝3.75（h），
故答案为：13或3.75；
（Ⅲ）由图象可得，
①当2≤x≤2.4时，设y＝kx+b，
2k+b=62.4k+b=8，
解得k=5b=−4，
∴y＝5x﹣4；
②当2.4＜x≤3.5时，y＝8，
③当3.5＜x≤4时，设y＝mx+n，
则3.5m+n=84m+n=0，
解得m=−16n=64，
∴y＝﹣16x+64；
由上可得，当2≤x≤4时，y关于x的函数解析式是y=5x−4(2≤x≤2.4)8(2.4＜x≤3.5)−16x+64(3.5＜x≤4)．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
37．（2023•衡水模拟）202年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元．
（1）求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少；
（3）在（2）的条件下，该商店对A品牌足球以每个优惠a（15＜a＜25）元的价格进行“双十二”促销活动，B品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为4240元，请直接写出a的值．
思路引领：（1）设每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别为m元、n元，根据题“销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元”得方程组，解方程组即得；
（2）①由题意、根据“总利润等于销售A品牌和B品牌所得利润之和”可得函数关系式；
②由已知条件可得关于x的不等式组，从而得出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最大利润；
（3）在（2）的条件下，由题意列出关于a的方程，解出a即可．
（1）设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元；
根据题意，得5m+10n=70010m+5n=800，
解得m=60n=40，
答：每个A品牌足球的销售利润分别为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①由题意知，y＝60x+40（100﹣x）＝20x+4000，
∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+4000；
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，
则x≥60x≤4(100−x)，
解得：60≤x≤80，
在y＝20x+4000中，
∵20＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝80时，y取得最大值，最大值为20×80+4000＝5600，
即最大利润为5600元；
（3）在（2）的条件下60≤x≤80，总利润y＝（20﹣a）x+4000，
当20﹣a＞0时，y随x的增大而增大，
∴x＝80，y最大为4240，
解得a＝17；
当20﹣a＜0时，y随x的增大而减小，
∴x＝60，y最大为4240，
解得a＝24；
综上，a的值为17或24．
总结提升：本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程组．
38．（2023•杏花岭区校级模拟）在2022年卡塔尔世界杯期间，某商店分两次购入某款纪念册和某款吉祥物两种商品进行销售，若两次进价相同，第一次购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250元，第二次购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元．
（1）分别求每件纪念册和每件吉祥物的进价．
（2）为满足市场需求，商店准备第三次购入纪念册和吉祥物共500件，且购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍．若进价不变，每件纪念册与每件吉祥物的售价分别为65元、220元，求购入纪念册和吉祥物分别多少件时，商店获得利润最高．
思路引领：（1）设每件纪念册的进价为x元，每件吉祥物的进价为y元，根据“购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250元，购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元”列出方程组，解方程组即可；
（2）设商店购入纪念册m件，则购进吉祥物（500﹣m）件，利润为w元，根据总利润＝两种利润之和列出函数解析式，由函数的性质求出函数的最值，并求出此时m得值．
解：（1）设每件纪念册的进价为x元，每件吉祥物的进价为y元，
根据题意得25x+20y=525020x+25y=6000，
解得x=50y=200，
答：每件纪念册的进价为50元，每件吉祥物的进价为200元；
（2）设商店购入纪念册m件，则购进吉祥物（500﹣m）件，利润为w元，
根据题意得：w＝（65﹣50）m+（220﹣200）（500﹣m）＝15m+20（500﹣m）＝﹣5m+10000，
∵购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍，
∴500﹣m≤2m，
解得m≥5003，
∵m为正整数，
∴m的最小值为167，
∵﹣5＜0，
∴当m＝167时，w有最大值，
此时，500﹣m＝500﹣167＝333，
购入纪念册167件，吉祥物333件时，商店获得利润最高．
总结提升：本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
39．（2023•虎林市校级一模）我市组织20辆汽车装运A，B，C三种水果共有100吨到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能整吨装运同一种水果，且必须装满．
根据表格中提供的信息，解答以下问题：
（1）设有x辆车装运A种水果，有y辆车装运B种水果，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种水果的车都不少于4辆，那么可以安排哪几种运输方案？
（3）在（2）的条件下，若要此次销售获利最大，应安排哪种方案？求出最大利润．
思路引领：（1）等量关系为：车辆数之和＝20，由此可得出x与y的关系式；
（2）利用装运每种水果的车辆数都不少于4辆可列三个不等式，然后解不等式组，再写出整数x的值即可得到方案；
（3）根据总利润为：装运A种水果的车辆数×6×12+装运B种水果的车辆数×5×16+装运C种水果的车辆数×4×10得W＝﹣4800x+160000，由k＝﹣4800＜0，可知W随x的增大而减小，进而可知当x＝4时，W最大，即可得到答案．
解：（1）根据题意，得6x+5y+4（20﹣x﹣y）＝100．
∴y＝﹣2x+20．
（2）由题意可得：x≥4−2x+20≥420−x−(−2x+20)≥4．
解得4≤x≤8．
∵x为整数，
∴x可取整数为4，5，6，7，8．
共有五种方案如下：
方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果；
方案二：5辆车装运A种水果，10辆车装运B种水果，5辆车装运C种水果；
方案三：6辆车装运A种水果，8辆车装运B种水果，6辆车装运C种水果；
方案四：7辆车装运A种水果，6辆车装运B种水果，7辆车装运C种水果；
方案五：8辆车装运A种水果，4辆车装运B种水果，8辆车装运C种水果．
（3）设获利为W元．
20﹣x﹣y＝x，
W＝6x×1200×5（﹣2x+20）×1600+4x×1000＝﹣4800x+160000．
∵k＝﹣4800＜0，
∴W随x的增大而减小．
∴x＝4时，W最大．
W最大＝﹣4800×4+160000＝140800．
∴选择（2）中的方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果，获利最多为140800元．
总结提升：本题考查了一次函数的应用及不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的范围，得到装运的几种方案是解决本题的关键进货批次
甲种水果质量
（单位：千克）
乙种水果质量
（单位：千克）
总费用
（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
合
户年用水量（立方米）
自来水单价（元/立方米）
污水处理单价（元/立方米）
第一阶梯
0﹣220（含220）
2.25
1.8
第三阶梯
220﹣300（含300）
4
第三阶梯
300以上
6.99
注：应缴纳水费＝户年用水量×（自来水单价+污水处理单价）
水果
价钱
甲
乙
进价（元/千克）
x
x+4
售价（元/千克）
20
25
目的地
甲地
乙地
每吨费用（元）
120
200
小李离开快递站的时间/min
2
8
16
18
26
小李离快递站的距离/m
300
600
小明离开家的时间/h
0.1
0.3
1.5
2.2
3.3
小明离开家的距离/km1.2
1.2
3.6
6
7
8
水果品种
A
B
C
每辆汽车运载量/吨
6
5
4
每吨水果获利/百元
12
16
10
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