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中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题42中考命题核心元素反比例函数中k的几何意义(原卷版+解析)
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这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题42中考命题核心元素反比例函数中k的几何意义(原卷版+解析)，共53页。试卷主要包含了分类精炼，反比例函数与正比例函数综合，反比例与一次函数综合，两个反比例函数综合等内容，欢迎下载使用。
类型一 单独一个反比例函数
一点一垂线
1．（2023•东莞市校级模拟）如图，等边△OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB=23，若反比例函数y=kx(k≠0)图象的一支经过点A，则k的值是 ．
2．（2023春•海门市期中）如图，已知直线y＝kx+b与函数y=mx（x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，点D为AB中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积为272，则m的值为 ．
3．(2023•黄石模拟）如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，点B在y轴上，点C，点D在x轴上，AD与y轴交于点E．若S△BCE＝3，则k的值为（ ）
A．32B．3C．6D．12
4．（2023•黑龙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：AD＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴、y轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，则k＝ ．
一点两垂线
5．(2023•绍兴中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y=kx（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 ．
类型二 反比例函数与正比例函数综合
两交点一垂线
6．（2023秋•王益区期末）如图，直线y＝mx与双曲线y=kx交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM＝4，则k的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣8D．8
7．如图，正比例函数y＝kx与函数y=4x的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝ ．
8．(2023•祁东县一模）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y=−4x的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为 ．
类型三 反比例与一次函数综合
两交点在不同象限
9．(2023春•辉县市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A，B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣2，n），点A的坐标为（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
两交点在同一象限
10．(2023•双台子区校级开学）如图，矩形OABC中，A（1，0），C（0，2），双曲线y=kx（0＜k＜2）的图象分别交AB，CB于点E，F，连接OE，OF，EF，S△OEF﹣＝2S△BEF，则k值为（ ）
A．23B．1C．43D．2
11．(2023春•朝阳区校级期中）如图，点A、B在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是16，且点B是AC的中点，则k＝（ ）
A．4B．8C．323D．643
12．（2023秋•高阳县期末）如图，在反比例函数y=10x（x＞0）的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为2，4，6，8…．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3…，则点P1的坐标为 ，阴影部分的面积和S1+S2+S3为 ．
13．(2023春•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO＝AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE＝4CE．反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．
（1）求AFEC的值；（2）若S△EOF=227，求反比例函数关系式．
类型四 两个反比例函数综合
两反比例函数k值符号相同
14．(2023秋•滕州市校级期末）如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则2k2﹣2k1＝ ．
15．(2023秋•荆门期末）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x（k1＞0）和y=k2x（k2＞0）的图象上，若BD∥y轴，点D的横坐标为4，则k1+k2＝ ．
16．（2023秋•玉屏县期中）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y=4x（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y=1x（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（ ）
A．4B．94C．92D．112
两反比例函数k值符号不同
17．(2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x和y=kx的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38B．22C．﹣7D．﹣22
18．（2023•蒙阴县一模）如图，点A是反比例函数y=3x（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=−2x的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S平行四边形ABCD为（ ）
A．2B．3C．4D．5
19．（2023•泗洪县二模）如图，曲线C2是双曲线C1：y=6x（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积为 ．
模块二 2023中考押题预测
一．选择题（共6小题）
1．（2023春•鄞州区期末）如图，平行四边形ABCD的一边AB∥y轴，顶点B在x轴上，顶点A，C在双曲线y1=k1x（k1＞0，x＞0）上，顶点D在双曲线y2=k2x（k2＞0，x＞0）上，其中点C的坐标为（3，1），当四边形ABCD的面积为92时，k2的值是（ ）
A．7.5B．9C．10.5D．21
2．（2023•周村区二模）如图，直线y=−14x与双曲线y=kx（k＜0，x＜0）交于点A，将直线y=−14x向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA＝2BC，则k的值为（ ）
A．−649B．﹣7C．−658D．−223
3．（2023•犍为县二模）如图，A、B是反比例函数y=kx图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D，若D为OB的中点，△AOD的面积为12，则k的值为（ ）
A．36B．32C．28D．14
4．（2023秋•涪城区期末）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y=1x的图象交于点A和点B，则不等式x＞1x的解集为（ ）
A．﹣1＜x＜0 或0＜x＜1B．﹣1＜x＜0或x＞1
C．x＜﹣1或0＜x＜1D．x＜﹣1或x＞1
5．（2023•涧西区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y=2x（x＞0）的图象交于点A．将直线y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则m的值为（ ）
A．2B．32C．3D．83
6．(2023•天津模拟）若图中反比例函数的表达式均为y=3x，则阴影面积为1.5的是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共10小题）
7．（2023•鹿城区月考）如图，△ABC是等边三角形，点A在x轴的正半轴上，BC在第一象限，BC∥x轴，点D为AB的中点，反比例函数y=k1x的图象经过点C和点D，BC的延长线与反比例函数y=k2x的图象相交于点E，连结AE，CD．已知k1﹣k2=1633，S△EAC：S△BCD＝4：3，则BC＝ ，k1+k2的值是 ．
8．（2023春•西湖区期末）在直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）与反比例函数y=tx（t＞0）的图象交点A（2，p），B（q，﹣3），则k＝ ．
9．（2023•福田区校级模拟）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在边OC上，且BD＝OC，以BD为边向下作矩形BDEF，使得点E在边OA上，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过边EF与AB的交点G．若AG=23，DE＝2，则k的值为 ．
10．(2023•深圳三模）已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数y=8x的图象经过点C，且与AB交于点E，若OD＝2，则△OCE的面积为 ．
11．（2023秋•岳阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y=kx(x＞0)的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），若△OAB的面积为4．则下列结论：①n＝2；②k＝4；③不等式x＜kx的解集是x＞2；④tan∠ABO＝2，其中正确结论的序号是 ．
12．(2023•椒江区校级模拟）如图，反比例函数y1=3x的图象与一次函数y2＝x+2的图象交于A、B两点．当x满足 时，y1＜y2．
13．(2023秋•达川区期末）如图，在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，…，P2023，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2023．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2022，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ．
14．（2023•清江浦区二模）如图，P是反比例函数y=kx的图象第二象限上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，若矩形PEOF的面积为6，则k＝ ．
(2023•崂山区一模）如图所示，反比例函数y=1x的图象过正方形OABC对角线OB中点F，则B点坐标为 ．
16．（2023•深圳模拟）如图，直线y＝﹣2x+4与y轴，x轴分别相交于A，B两点，将射线AB绕B点顺时针旋转到BC，使得∠ABC＝∠ABO，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过C点，CD⊥OB于D点，且S△BCD=32，则k值＝ ．
三．解答题（共2小题）
17．（2023•三水区校级二模）如图，反比例函数y=4x（x＞0）的图象与矩形OABC的边BC、AB分别交于E、D两点，直线DE与x轴、y轴分别交于点F、G，且OA：OC＝4：3．
（1）当点B的坐标为（4，3）时，DE＝ ；
（2）求证：四边形AFEC是平行四边形；
（3）试说明GE与DF的数量关系并说明理由．
18．(2023春•北仑区期末）如图1，已知双曲线y=kx(k＞0)与直线y＝k′x交于A、B两点，点A在第一象限，试回答下列问题：
（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为 ；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=kx(k＞0)于P，Q两点，点P在第一象限．
①四边形APBQ一定是 ；
②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．
（3）设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．
专题42 中考命题核心元素反比例函数中k的几何意义（解析版）
模块一 分类精炼
类型一 单独一个反比例函数
一点一垂线
1．（2023•东莞市校级模拟）如图，等边△OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB=23，若反比例函数y=kx(k≠0)图象的一支经过点A，则k的值是 23 ．
思路引领：根据正三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，得出S△AOC=12S△AOB=3=12|k|，即可求出k的值．
解：如图，过点A作AC⊥OB于点C，
∵△OAB是正三角形，
∴OC＝BC，
∴S△AOC=12S△AOB=3=12|k|，
又∵k＞0，
∴k＝23，
故答案为：23．
总结提升：本题考查等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，掌握等边三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．
2．（2023春•海门市期中）如图，已知直线y＝kx+b与函数y=mx（x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，点D为AB中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积为272，则m的值为 27 ．
思路引领：连接AE，由点D为AB中点，可得到S△BCE＝S△ACE=272，再由反比例函数m的几何意义，即可求m的值．
解：连接AE，
∵点D为AB中点，
∴S△ACD＝S△BCD，S△BDE＝S△ADE，
∴S△BCE＝S△ACE，
∵△BEC的面积为272，
∴S△ACE=272，
∵A点在反比例函数y=mx上，
∴m＝27，
故答案为：27．
总结提升：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握三角形的面积求法，灵活应用反比例函数k的几何意义是解题的关键．
3．(2023•黄石模拟）如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，点B在y轴上，点C，点D在x轴上，AD与y轴交于点E．若S△BCE＝3，则k的值为（ ）
A．32B．3C．6D．12
思路引领：作AF⊥x轴于F，易得矩形ABOF的面积等于平行四边形ABCD的面积等于三角形BCE面积的2倍等于6，再利用|k|等于矩形ABOF的面积即可．
解：作AF⊥x轴于F，
∵S△BCE＝3，
∴S平行四边形ABCD＝2S△BCE＝6，
∵S矩形ABOF＝S平行四边形ABCD，
∴S矩形ABOF＝6，
∴|k|＝6，
∵在第一象限，
∴k＝6，
故选：C．
总结提升：本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，应用S矩形ABOF＝S平行四边形ABCD是解题的关键．
4．（2023•黑龙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：AD＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴、y轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，则k＝ 14 ．
思路引领：首先过点D作DF⊥x轴于点F，易证得△AOB∽△DFA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得点D的坐标，即可求得k的值．
解：过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AOB＝∠DFA＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC，
∴∠OAB+∠DAF＝90°，
∴∠ABO＝∠DAF，
∴△AOB∽△DFA，
∴OA：DF＝OB：AF＝AB：AD，
∵AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6），
∴AB：AD＝3：2，OA＝3，OB＝6，
∴DF＝2，AF＝4，
∴OF＝OA+AF＝7，
∴点D的坐标为：（7，2），
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝7×2＝14，
故答案为：14．
总结提升：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
一点两垂线
5．(2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y=kx（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 6 ．
思路引领：根据反比例函数k的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．
解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，
根据题意可知，AC＝OE＝BD，
设AC＝OE＝BD＝a，
∴四边形ACEO的面积为4a，
∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG为△EDQ的中位线，
∴FG=12DQ＝2，EG=12EQ=32，
∴四边形HFGO的面积为2（a+32），
∴k＝4a＝2（a+32），
解得：a=32，
∴k＝6．
故答案为：6．
总结提升：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．
类型二 反比例函数与正比例函数综合
两交点一垂线
6．（2023秋•王益区期末）如图，直线y＝mx与双曲线y=kx交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM＝4，则k的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣8D．8
思路引领：根据反比例的图象关于原点中心对称得到点A与点B关于原点中心对称，则S△OAM＝S△OBM，而S△ABM＝4，S△OAM＝2，然后根据反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义即可得到k＝﹣4．
解：∵直线y＝mx与双曲线y=kx交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴S△OAM＝S△OBM，
而S△ABM＝4，
∴S△OAM＝2，
∴12|k|＝2，
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：A．
总结提升：本题考查了反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
7．(2023春•雨花区校级月考）如图，正比例函数y＝kx与函数y=4x的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝ 8 ．
思路引领：先设A点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定B点坐标，于是可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式进行计算．
解：设A点坐标为（m，4m），则B点坐标为（﹣m，−4m），
∴C点坐标为（m，−4m），
∴AC=8m，BC＝2m，
∴△ABC的面积=12AC•BC=12•2m•8m=8．
故答案为：8．
总结提升：本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数的性质得出A、B、C的坐标是解题的关键．
8．(2023•祁东县校级一模）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y=−4x的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为 4 ．
思路引领：根据反比例函数的k的几何意义，可得S△ABO，根据反比例函数与正比例函数的中心对称性，可知O是BD的中点，即可求出△ABD的面积．
解：∵点A在反比例函数y=−4x上，且AB⊥x轴，
∴S△ABO=|−4|2=2，
∵A，C是反比例函数与正比例函数的交点，且CD⊥x轴，
∴O是BD的中点，
∴S△ABD＝2S△ABO＝4．
故答案为：4．
总结提升：本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义和中心对称性是解题的关键．
类型三 反比例与一次函数综合
两交点在不同象限
9．(2023春•辉县市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A，B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣2，n），点A的坐标为（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）将点B坐标代入直线y＝x+1中，求出点B的坐标，再将点B的坐标代入反比例函数解析式中，求解即可求出答案；
（2）先求出点C的坐标，再求出点A的坐标，即可求出答案；
（3）设点P的坐标，再用等腰三角形的两腰相等，分三种情况，建立方程求解，即可求出答案．
解：（1）∵点B（﹣2，n）在直线y＝x+1上，
∴y＝﹣1，
∴B（﹣2，﹣1），
∵点B（﹣2，﹣1）在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝﹣2×（﹣1）＝2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
（2）∵直线AB：y＝x+1①与x轴交于点C，
∴C（﹣1，0），
∴OC＝1，
由反比例函数的解析式为y=2x②，
联立①②解得，x=1y=2或x=−2y=−1，
∴A（1，2），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=12OC（yA﹣yB）=12×1×（2+1）=32；
（3）设P（m，0），
∵A（1，2），
∴OP＝|m|，AP=(m−1)2+4，OA=5，
∵△AOP是等腰三角形，
∴①当OP＝AP时，|m|=(m−1)2+4，
∴m=52，
∴P（52，0）；
②当OP＝OA时，|m|=5，
∴m＝±5，
∴P（5，0）或（−5，0）；
③当OA＝AP时，5=(m−1)2+4，
∴m＝0或m＝2，
∴P（2，0）；
即点P的坐标为P（52，0）或（2，0）或（5，0）或（−5，0）．
总结提升：此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．
两交点在同一象限
10．(2023•双台子区校级开学）如图，矩形OABC中，A（1，0），C（0，2），双曲线y=kx（0＜k＜2）的图象分别交AB，CB于点E，F，连接OE，OF，EF，S△OEF﹣＝2S△BEF，则k值为（ ）
A．23B．1C．43D．2
思路引领：设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（m2，2），根据三角形面积公式得到S△BEF=12（1−m2）（2﹣m），根据反比例函数k的几何意义得到S△OFC＝S△OAE=12m，由于S△OEF＝S矩形ABCO﹣S△OCF﹣S△OEA﹣S△BEF，列方程即可得到结论．
解：∵四边形OABC是矩形，BA⊥OA，A（1，0），
∴设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（m2，2），
则S△BEF=12（1−m2）（2﹣m），S△OFC＝S△OAE=12m，
∴S△OEF＝S矩形ABCO﹣S△OCF﹣S△OEA﹣S△BEF＝2−12m−12m−12（1−m2）（2﹣m），
∵S△OEF＝2S△BEF，
∴2−12m−12m−12（1−m2）（2﹣m）＝2•12（1−m2）（2﹣m），
整理得34（m﹣2）2+m﹣2＝0，解得m1＝2（舍去），m2=23，
∴E点坐标为（1，23）；
∴k=23，
故选：A．
总结提升：本题考查了反比例函数k的几何意义和矩形的性质，正确利用面积的和差计算不规则图形的面积是解题关键．
11．(2023春•朝阳区校级期中）如图，点A、B在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是16，且点B是AC的中点，则k＝（ ）
A．4B．8C．323D．643
思路引领：先根据B是AC的中点，表示出△BOC的面积，再利用k的几何意义表示出△AOH和△BOG的面积，即可得出△AHC和△BGC的面积，易证△AHC∽△BGC，根据面积的比等于相似比的平方，列方程即可求出k的值．
解：连接OB，过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作GB⊥x轴于点G，如图所示：
∵B是AC的中点，
∴S△BOC=12S△AOC=12×16＝8，
根据k的几何意义，
S△AOH＝S△BOG=12k，
∴S△AHC＝S△AOC﹣S△AOH＝16−12k，
S△BGC＝S△BOC﹣S△BOG＝8−12k，
∵∠AHC＝∠BGC＝90°，
∠ACH＝∠BCG，
∴△AHC∽△BGC，
∵B是AC的中点，
∴相似比为1：2，
∴面积的比为1：4，
即S△BGC：S△AHC＝1：4，
∴（8−12k）：（16−12k）＝1：4，
解得k=323．
故选：C．
总结提升：本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形的性质是解决本题的关键．
12．（2023秋•高阳县期末）如图，在反比例函数y=10x（x＞0）的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为2，4，6，8…．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3…，则点P1的坐标为 （2，5） ，阴影部分的面积和S1+S2+S3为 7.5 ．
思路引领：将x＝2代入反比例函数y=10x，求出y，得到点P1的坐标；根据反比例函数的几何意义，可知图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，据此可得S1+S2+S3的值．
解：∵在反比例函数y=10x（x＞0）的图象上，有点P1，它的横坐标为2，
∴当x＝2时，y＝5，
∴点P1的坐标为（2，5）．
由题意，可知点P2、P3、P4坐标分别为：（4，52），（6，53），（8，54），
∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，
∴阴影部分的面积和S1+S2+S3＝2×5﹣2×54=7.5．
故答案为：（2，5），7.5．
总结提升：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
13．(2023春•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO＝AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE＝4CE．反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．
（1）求AFEC的值；
（2）若S△EOF=227，求反比例函数关系式．
思路引领：（1）由“AAS”可证△DEA≌△AGO，可得DE＝AG，AE＝OG，求出点E坐标，可求反比例函数解析式，即可求解；
（2）由面积关系可求a2的值，即可求解．
解：（1）如图，过点F作FH⊥x轴于点H，延长EA交x轴于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，AB＝CD＝BC＝AD，
∵AE⊥CD，AB∥x轴，
∴∠D+∠DAE＝90°，EG⊥x轴，
∵OA⊥AD，
∴∠DAE+∠GAO＝90°，
∴∠GAO＝∠D，
又∵OA＝OD，
∴△DEA≌△AGO（AAS），
∴DE＝AG，AE＝OG，
设CE＝a，则DE＝AG＝4CE＝4a，AD＝AB＝DC＝DE+CE＝5a，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE＝3a，
∴OG＝AE＝3a，GE＝AG+AE＝7a，
∴A（3a，4a），E（3a，7a），
∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴，
∴四边形AGHF是矩形，
∴FH＝AG＝3a，AF＝GH，
∵E点在双曲线y=kx(x＞0)的图象上，
∴k＝21a2，
∴y=21a2x，
∵F点在双曲线y=21a2x的图象上，且F点的纵坐标为4a，
∴x=21a4，即OH=21a4，
∴AF＝GH=94a，
∴AFEC=94；
（2）∵S△EOF＝S△EOG+S梯形EGHF﹣S△FOH，
∴12×3a×7a+12(7a+4a)×9a4−12×21a4×4a=227，
解得：a2=1663，
∴k=21a2=21×1663=163，
∴y=163x．
总结提升：本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
类型四 两个反比例函数综合
两反比例函数k值符号相同
14．(2023秋•滕州市校级期末）如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则2k2﹣2k1＝ 6 ．
思路引领：根据反比例函数中k的几何意义：反比例函数图像上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于|k|2，数形结合可以得到S△AOM=|k1|2，S△CON=|k1|2，S矩形OABC=|k2|，根据图像均在第一象限可知k1＞0，k2＞0，再由四边形OMBN的面积为3，得到k2=k12+k12+3，即可得到答案．
解：∵矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，
∴由反比例函数中k的几何意义知，S△AOM=|k1|2，S△CON=|k1|2，
∵矩形OABC与反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，
∴由反比例函数中k的几何意义知，S矩形OABC＝|k2|，
∵四边形OMBN的面积为3，
∴由图可知，S矩形OABC＝S△AOM+S△CON+S四边形OMBN，
即k2=k12+k12+3，解得k2﹣k1＝3，
∴2k2﹣2k1＝6，
故答案为：6．
总结提升：本题考查反比例函数中k的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用k的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键．
15．(2023秋•荆门期末）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x（k1＞0）和y=k2x（k2＞0）的图象上，若BD∥y轴，点D的横坐标为4，则k1+k2＝ 32 ．
思路引领：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，由四边形ABCD是正方形，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（4，a），由BD∥y轴，可以表示点A，B的坐标，可求得m，a的关系，再由B（4，8﹣a）在反比例函数y=k1x（k1＞0）的图象上，D（4，a）在y=k2x（k2＞0）的图象上，即可解答本题．
解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝BE＝CE＝DE．
设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（4，a），
∵BD∥y轴，
∴B（4，a+2m），A（4+m，a+m）．
∵A，B都在反比例函数y=k1x（k1＞0）的图象上，
∴k1＝4（a+2m）＝（4+m）（a+m）．
∵m≠0，
∴m＝4﹣a，
∴B（4，8﹣a）．
∵B（4，8﹣a）在反比例函数y=k1x（k1＞0）的图象上，D（4，a）在y=k2x（k2＞0）的图象上，
∴k1＝4（8﹣a）＝32﹣4a，k2＝4a，
∴k1+k2＝32﹣4a+4a＝32，
故答案为：32．
另解：∵D横坐标为4，
∴D（4，k24），
又∵BD∥y轴，
∴B（4，k14），
∴BD=k1−k24，
连接AC交BD于E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AE=12（k1−k24）=k1−k28，
∴A（4+k1−k28，k14−k1−k28），
∴A（4+k1−k28，k1+k28），
把A代入y=k1x，得k1+k28×（4+k1−k28）＝k1，
整理，得12（k1+k2）+164（k1﹣k2）（k1+k2）＝k1，
（k2﹣k1）[32﹣（k1+k2）]＝0，
∵k2≠k1，
∴k1+k2＝32．
故答案为：32．
总结提升：本题考查反比例函数的图象及应用，涉及正方形的性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标．
16．（2023秋•玉屏县期中）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y=4x（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y=1x（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（ ）
A．4B．94C．92D．112
思路引领：根据点A、B在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，可设点B的坐标为（4m，m），再根据B为线段AC的中点可用m表示出来A点的坐标，由AD∥x轴、BE∥x轴，即可用m表示出来点D、E的坐标，结合梯形的面积公式即可得出结论．
解：∵点A、B在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，
设点B的坐标为（4m，m），
∵点B为线段AC的中点，且点C在x轴上，
∴点A的坐标为（2m，2m）．
∵AD∥x轴、BE∥x轴，且点D、E在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，
∴点D的坐标为（12m，2m），点E的坐标为（1m，m）．
∴S梯形ABED=12（2m−12m+4m−1m）×（2m﹣m）=94．
故选：B．
总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及梯形的面积，解题的关键是用m表示出来A、B、E、D四点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，只要设出一个点的坐标，再由该点坐标所含的字母表示出其他点的坐标即可．
两反比例函数k值符号不同
17．(2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x和y=kx的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38B．22C．﹣7D．﹣22
思路引领：利用k的几何意义解题即可．
解：∵直线l∥y轴，
∴∠OMP＝∠OMQ＝90°，
∴S△OMP=12×8＝4，S△OMQ=−12k．
又S△POQ＝15，
∴4−12k＝15，
即−12k＝11，
∴k＝﹣22．
故选：D．
总结提升：本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
18．（2023•蒙阴县一模）如图，点A是反比例函数y=3x（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=−2x的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S平行四边形ABCD为（ ）
A．2B．3C．4D．5
思路引领：连接OA、OB，AB交y轴于E，由于AB⊥y轴，根据反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义得到S△OEA与S△OBE，则四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到S平行四边形ABCD＝2S△OAB＝5．
解：连接OA、OB，AB交y轴于E，如图，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∴S△OEA=12×3=32，S△OBE=12×2＝1，
∴S△OAB＝1+32=52，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝2S△OAB＝5．
故选：D．
总结提升：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
19．（2023•泗洪县二模）如图，曲线C2是双曲线C1：y=6x（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积为 6 ．
思路引领：将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题．
解：如图，将C2及直线y＝x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．
双曲线C3的解析式为y=−6x，
过点P作PB⊥y轴于点B，
∵PA＝PO，
∴B为OA中点．
∴S△PAB＝S△POB，
由反比例函数比例系数k的性质，S△POB＝3，
∴△POA的面积是6，
故答案为6．
总结提升：本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数k的几何意义．
模块二 2023中考押题预测
一．选择题（共6小题）
1．（2023春•鄞州区期末）如图，平行四边形ABCD的一边AB∥y轴，顶点B在x轴上，顶点A，C在双曲线y1=k1x（k1＞0，x＞0）上，顶点D在双曲线y2=k2x（k2＞0，x＞0）上，其中点C的坐标为（3，1），当四边形ABCD的面积为92时，k2的值是（ ）
A．7.5B．9C．10.5D．21
思路引领：根据待定系数法求得y1=3x，设A（m，3m），根据题意得（3﹣m）•3m=92，解得A的坐标，根据平行四边形的性质得出D的坐标，代入y2=k2x（k2＞0，x＞0）即可求得k2的值．
解：∵C（3，1）在双曲线y1=k1x（k1＞0，x＞0）上，
∴k1＝3×1＝3，
∴y1=3x，
设A（m，3m），
∵平行四边形ABCD的面积为92，
∴（3﹣m）•3m=92，
解得m=65，
∴A（65，52），
∵平行四边形ABCD的一边AB∥y轴，顶点B在x轴上，
∴D（3，72），
∵点D在双曲线y2=k2x（k2＞0，x＞0）上，
∴k2＝3×72=10.5，
故选：C．
总结提升：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，求得A点的坐标，进而得到D的坐标是解题的关键．
2．（2023•周村区二模）如图，直线y=−14x与双曲线y=kx（k＜0，x＜0）交于点A，将直线y=−14x向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA＝2BC，则k的值为（ ）
A．−649B．﹣7C．−658D．−223
思路引领：分别过点A、B作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥BE于F，再设A（﹣4a，a）（a＞0），由于OA＝2BC，得出B（﹣2a，12a+2），再根据反比例函数中k＝xy为定值列出关于a的方程，解方程求出a的值，进而得到A点的坐标，即可求得k的值．
解：分别过点A、B作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥BE于F，设A（﹣4a，a）（a＞0），
∵OA＝2BC，BC∥OA，CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF=12OD＝2a，
∵点B在直线y=−14x+2上，
∴B（﹣2a，12a+2），
∵点A、B在双曲线y=kx上，
∴﹣4a•a＝﹣2a•（12a+2），解得a=43，
∴A点的坐标为（−163，43），
∴k=−163×43=−649．
故选：A．
总结提升：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象与几何变换，根据题意作出辅助线，设出A、B两点的坐标，再根据k＝xy为定值列出方程是解题的关键．
3．（2023•犍为县二模）如图，A、B是反比例函数y=kx图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D，若D为OB的中点，△AOD的面积为12，则k的值为（ ）
A．36B．32C．28D．14
思路引领：先设点D坐标为（a，b），得出点B的坐标为（2a，2b），A的坐标为（4a，b），再根据△AOD的面积为6，列出关系式求得k的值．
解：设点D坐标为（a，b），
∵点D为OB的中点，
∴点B的坐标为（2a，2b），
∴k＝4ab，
又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上，
∴A的坐标为（4a，b），
∴AD＝4a﹣a＝3a，
∵△AOD的面积为12，
∴12×3a×b＝12，
∴ab＝8，
∴k＝4ab＝4×8＝32．
故选：B．
总结提升：本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD的面积为6列出关系式是解题的关键．
4．（2023秋•涪城区期末）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y=1x的图象交于点A和点B，则不等式x＞1x的解集为（ ）
A．﹣1＜x＜0 或0＜x＜1B．﹣1＜x＜0或x＞1
C．x＜﹣1或0＜x＜1D．x＜﹣1或x＞1
思路引领：先求得交点坐标，然后根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
解：由y=xy=1x得x=1y=1或x=−1y=−1，
∵正比例函数y＝x与反比例函数y=1x的图象的交点为A（1，1），B（﹣1，﹣1），
观察函数图象，发现：当﹣1＜x＜0或x＞1时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式x＞1x的解集为是﹣1＜x＜0或x＞1，
故选：B．
总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
5．（2023•涧西区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y=2x（x＞0）的图象交于点A．将直线y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则m的值为（ ）
A．2B．32C．3D．83
思路引领：解析式联立，解方程求得A的横坐标，根据定义求得C的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得C的坐标，代入y＝2x+m即可求得m的值．
解：∵直线y＝2x与反比例函数y=2x（x＞0）的图象交于点A．
∴解2x=2x求得x＝±1，
∴A的横坐标为1，
∵OA＝2BC，
∴C的横坐标为12，
把x=12代入y=2x得，y＝4，
∴C（12，4），
∵将直线y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度，得到直线y＝2x+m，
∴把C的坐标代入得4＝1+m，求得m＝3，
故选：C．
总结提升：本题是反比例函数与一次函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键．
6．(2023•天津模拟）若图中反比例函数的表达式均为y=3x，则阴影面积为1.5的是（ ）
A．
B．
C．
D．
思路引领：根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
解：A选项中，阴影面积为3，故A不符合题意；
B选项中，阴影面积为12×3＝1.5，故B符合题意；
C选项中，阴影面积为2×12×3＝3，故C不符合题意；
D选项中，阴影面积为4×12×3＝6，故D不符合题意；
故选：B．
总结提升：本题考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，解此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
二．填空题（共10小题）
7．（2023秋•鹿城区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，点A在x轴的正半轴上，BC在第一象限，BC∥x轴，点D为AB的中点，反比例函数y=k1x的图象经过点C和点D，BC的延长线与反比例函数y=k2x的图象相交于点E，连结AE，CD．已知k1﹣k2=1633，S△EAC：S△BCD＝4：3，则BC＝ 4 ，k1+k2的值是 2033 ．
思路引领：连接OC、OE，作AM⊥BC于M，设BC交y轴于点F，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△COF=12k1，S△EOF=12k2，由k1﹣k2=1633得出S△COE=833，由S△EAC：S△BCD＝4：3，得出S△BCD＝23，进一步求得BC＝4，由等边三角形的性质得出AM＝CD＝23，设C（m，23），则D（m+3，3），代入y=k1x，即可求得m的值，进而求得k1，由S△EAC：S△BCD＝4：3得出S△EAC：S△ABC＝4：6，从而得出EC=83，求得EF=13，得出E（13，23），代入y=k2x，即可求得k2．
解：连接OC、OE，作AM⊥BC于M，设BC交y轴于点F，
由题意可知S△COF=12k1，S△EOF=12k2，
∴S△COE＝S△COF﹣S△EOF=12k2−12k2=12（k1﹣k2），
∵k1﹣k2=1633，
∴S△COE=12×1633=833，
∵S△EAC：S△BCD＝4：3，
∴S△BCD＝23，
∵点D为AB的中点，△ABC是的等边三角形，
∴CD⊥BD，
∴BD=12BC，CD=32BC，
∴12•12BC•32BC＝23，
∴BC＝4，
∴等边三角形的边长为4，
∴AM＝CD＝23，
设C（m，23），则D（m+3，3），
∵反比例函数y=k1x的图象经过点C和点D，
∴k1＝23m=3（m+3），
解得m＝3，
∴k1＝63，CF＝3，
∵点D为AB的中点，
∴S△ABC＝2SBCD，
∵S△EAC：S△BCD＝4：3，
∴S△EAC：S△ABC＝4：6，
∵BC＝4，
∴CE=83，
∴EF＝CF﹣CE＝3−83=13，
∴E（13，23），
∵反比例函数y=k2x的图象过点E，
∴k2=13×23=233，
∴k1+k2＝63+233=2033，
故答案为：4，2033．
总结提升：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，求得C、E的坐标是解题的关键．
8．（2023春•西湖区期末）在直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）与反比例函数y=tx（t＞0）的图象交点A（2，p），B（q，﹣3），则k＝ 32 ．
思路引领：利用反比例函数和正比例函数的性质判断点A和点B关于原点对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出A点坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值．
解：由于直线y＝kx（k＞0）与反比例函数y=tx（t＞0）的图象均关于原点对称，
∴两交点A、B关于原点对称，
∵A（2，p），B（q，﹣3），
∴q＝﹣2，p＝3，
∴A（2，3），
∵直线y＝kx经过点A，
∴3＝2k，
∴k=32，
故答案为：32．
总结提升：本题主要考查了比例函数与一次函数的交点问题，注意反比例函数图象具有中心对称性，即关于原点对称．
9．（2023•福田区校级模拟）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在边OC上，且BD＝OC，以BD为边向下作矩形BDEF，使得点E在边OA上，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过边EF与AB的交点G．若AG=23，DE＝2，则k的值为 210+2015 ．
思路引领：如图，连接BE，由“HL”可证Rt△BDE≌Rt△BAE，可得AE＝DE＝2，由勾股定理可求EG，通过证明△DEO∽△EGA，可得AGOE=EGDE，可求OE的长，即可求点G坐标，代入解析式可求k的值．
解：如图，连接BE，
∵四边形OABC是矩形，四边形BDEF是矩形，
∴OC＝AB，∠BAO＝∠BDE＝∠DEF＝90°，
∵BD＝OC，
∴BD＝AB，
又∵BE＝BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BAE（HL），
∴AE＝DE＝2，
∴EG=AE2+AG2=4+49=2103，
∵∠DEO+∠AEG＝90°，∠EDO+∠DEO＝90°，
∴∠AEG＝∠EDO，
又∵∠EOD＝∠EAG＝90°，
∴△DEO∽△EGA，
∴AGOE=EGDE，
∴23OE=21032，
∴OE=105，
∴OA=105+2，
∴点G（105+2，23），
∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点G，
∴k＝（105+2）×23=210+2015，
故答案为：210+2015．
总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，求出点G的坐标是本题的关键．
10．(2023•深圳三模）已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数y=8x的图象经过点C，且与AB交于点E，若OD＝2，则△OCE的面积为 45 ．
思路引领：连接AC，则S△OCE＝S△OCA，由点C在反比例函数图象上结合OD的长度可求出CD的长度，利用勾股定理可得出OC的长度，再利用S△OCA=12S菱形OABC即可求出△OCE的面积．
解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC为菱形，
∴OC∥AB，
∴S△OCE＝S△OCA．
∵函数y=8x的图象经过点C，OC＝2，
∴CD＝4，OA＝OC=OC2+CD2=25，
∴S△OCA=12S菱形OABC=12OA•CD=12×25×4＝45．
故答案为：45．
总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、菱形的性质、勾股定理以及菱形的面积，利用平行线及菱形的性质找出S△OCE＝S△OCA=12S菱形OABC是解题的关键．
11．（2023秋•岳阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y=kx(x＞0)的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），若△OAB的面积为4．则下列结论：①n＝2；②k＝4；③不等式x＜kx的解集是x＞2；④tan∠ABO＝2，其中正确结论的序号是 ②④ ．
思路引领：根据对称性求出C点坐标，进而得OA与AB的长度，再根据已知三角形的面积列出n的方程求得n，进而用待定系数法求得k，解直角三角形求得tan∠ABO的值，根据图象即可求得不等式x＜kx的解集．
解：∵点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），
∴C（n，1），
∴OA＝n，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∵△OAB的面积为4，
∴12n×2=4，
解得，n＝4，故①错误；
∵n＝4，
∴C（4，1），
∴k＝4×1＝4，故②正确；
解y=xy=4x解得x=2y=2或x=−2y=−2，
∴反比例函数y=kx(x＞0)的图象与直线y＝x的交点为（2，2），
由图象可知，不等式x＜kx的解集是0＜x＜2，故③错误；
∵点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，OA＝4，AB＝2，
∴tan∠ABO=OAAB=42=2，故④正确；
故答案为②④．
总结提升：本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，关键是根据对称求得C点坐标及由三角形的面积列出方程．
12．(2023•椒江区校级模拟）如图，反比例函数y1=3x的图象与一次函数y2＝x+2的图象交于A、B两点．当x满足 ﹣3＜x＜0或x＞1 时，y1＜y2．
思路引领：解两函数组成的方程组，求出A、B的坐标，根据图象和A、B的坐标即可得出答案．
解：解方程组y=3xy=x+2得：x=−3y=−1或x=1y=3，
即A的坐标为（1，3），B的坐标为（﹣3，﹣1），
所以当﹣3＜x＜0或x＞1，y1＜y2．
故答案为：﹣3＜x＜0或x＞1．
总结提升：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能正确识图是解此题的关键，数形结合思想的运用．
13．(2023秋•达川区期末）如图，在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，…，P2023，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2023．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2022，则S1+S2+S3+…+S2022＝ 40442023 ．
思路引领：求出P1、P2、P3、P4…的纵坐标，从而可计算出S1、S2、S3、S4…的高，进而求出S1、S2、S3、S4…，从而得出S1+S2+S3+…+Sn的值．
解：当x＝1时，P1的纵坐标为2，
当x＝2时，P2的纵坐标1，
当x＝3时，P3的纵坐标23，
当x＝4时，P4的纵坐标12，
当x＝5时，P5的纵坐标25，
…
则S1＝1×（2﹣1）＝2﹣1；
S2＝1×（1−23）＝1−23；
S3＝1×（23−12）=23−24；
S4＝1×（12−25）=24−25；
…
Sn=2n−2n+1；
S1+S2+S3+…+Sn＝2﹣1+1−23+23−24+24−25+⋯+2n−2n+1=2−2n+1=2nn+1，
∴S1+S2+S3+…+S2022=2×20222023=40442023．
故答案为：40442023．
总结提升：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出个阴影的面积表达式是解题的关键．
14．（2023•清江浦区二模）如图，P是反比例函数y=kx的图象第二象限上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，若矩形PEOF的面积为6，则k＝ ﹣6 ．
思路引领：因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．
解：∵P是反比例函数y=kx的图象第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为6，
∴S＝|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
总结提升：主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
15．(2023•崂山区一模）如图所示，反比例函数y=1x的图象过正方形OABC对角线OB中点F，则B点坐标为 （2，2） ．
思路引领：根据正方形的性质设B（m，m），即可得出F（12m，12m），代入y=1x求得m的值，从而求得B的坐标．
解：设B（m，m），
∵点F是OB中点，
∴F（12m，12m），
∵反比例函数y=1x的图象过点F，
∴12m•12m＝1，
∴m1＝2，m2＝﹣2（负数舍去），
∴B（2，2），
故答案为：（2，2）．
总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出B的坐标是解题的关键．
16．（2023•深圳模拟）如图，直线y＝﹣2x+4与y轴，x轴分别相交于A，B两点，将射线AB绕B点顺时针旋转到BC，使得∠ABC＝∠ABO，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过C点，CD⊥OB于D点，且S△BCD=32，则k值＝ 7 ．
思路引领：通过直线的解析式求得OA＝4，OB＝2，在BC是截取BP＝OB，连接OP交AB于Q，根据等腰三角形三线合一的性质得出OP⊥AB，OQ＝QP，易得出直线OP为y=12x，解析式联立求得Q的坐标，进而得到P的坐标，根据待定系数法求得直线BC的解析式，设CD＝h，利用三角形BCD的面积表示出C的坐标，代入直线BC的解析式即可得到C的坐标，代入反比例函数y=kx即可求得k的值．
解：∵直线y＝﹣2x+4与y轴，x轴分别相交于A，B两点，
∴A（0，4），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
在BC是截取BP＝OB，连接OP交AB于Q，
∵∠ABC＝∠ABO，
∴OP⊥AB，OQ＝QP，
∴在直线OP的解析式为y=12x，
解y=12xy=−2x+4得x=85y=45，
∴Q（85，45），
∴p（165，85），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（2，0），P（165，85）代入得2k+b=0165k+b=85，
解得k=43b=−83，
∴直线BC的解析式为y=43x−83，
设CD＝h，
∵S△BCD=32，
∴12BD•CD=32，
∴BD=3ℎ，
∴OD＝2+3ℎ，
∴C（2+3ℎ，h），
代入y=43x−83得，h=43（2+3ℎ）−83，
解得h＝2或h＝﹣2（舍去），
∴C（72，2），
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过C点，
∴k=72×2＝7，
故答案为7．
总结提升：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，求得C点的坐标是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
17．(2023春•北仑区期末）如图1，已知双曲线y=kx(k＞0)与直线y＝k′x交于A、B两点，点A在第一象限，试回答下列问题：
（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为 （﹣3，﹣1） ；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=kx(k＞0)于P，Q两点，点P在第一象限．
①四边形APBQ一定是 平行四边形 ；
②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．
（3）设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．
思路引领：（1）根据正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称，即可解决问题．
（2）①利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．
②利用分割法求面积即可．
（3）根据矩形的性质、正方形的性质即可判定．
解：（1）∵A、B关于原点对称，A（3，1），∴点B的坐标为（﹣3，﹣1）．
故答案为：（﹣3，﹣1）；
（2）①∵A、B关于原点对称，P、Q关于原点对称，
∴OA＝OB，OP＝OQ，
∴四边形APBQ是平行四边形．
故答案为：平行四边形；
②∵点A的坐标为（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y=3x，
∵点P的横坐标为1，
∴点P的纵坐标为3，
∴点P的坐标为（1，3），
由双曲线关于原点对称可知，点Q的坐标为（﹣1，﹣3），点B的坐标为（﹣3，﹣1），
如图2，过点A、B分别作y轴的平行线，过点P、Q分别作x轴的平行线，分别交于C、D、E、F，
则四边形CDEF是矩形，
CD＝6，DE＝6，DB＝DP＝4，CP＝CA＝2，
则四边形APBQ的面积＝矩形CDEF的面积﹣△ACP的面积﹣△PDB的面积﹣△BEQ的面积﹣△AFQ的面积＝36﹣2﹣8﹣2﹣8＝16．
（3）mn＝k时，四边形APBQ是矩形，不可能是正方形．
理由：当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形，此时点A、P在坐标轴上，由于点A，P不可能达到坐标轴故不可能是正方形，即∠POA≠90°．
因为mn＝k，P、A关于直线y＝x对称，
所以PO＝OA＝OB＝OQ，
所以四边形APBQ是矩形．
总结提升：本题考查反比例函数综合题、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会利用对称的性质解决问题，学会用分割法求面积，学会利用图象确定自变量的取值范围．
18．（2023•三水区校级二模）如图，反比例函数y=4x（x＞0）的图象与矩形OABC的边BC、AB分别交于E、D两点，直线DE与x轴、y轴分别交于点F、G，且OA：OC＝4：3．
（1）当点B的坐标为（4，3）时，DE＝ 103 ；
（2）求证：四边形AFEC是平行四边形；
（3）试说明GE与DF的数量关系并说明理由．
思路引领：（1）先求出点E，点D坐标，可得BE=83，BD＝2，利用勾股定理可求解；
（2）设OA＝4m，OC＝3m，可得点A，点B，点C，点D，点E坐标，通过证明△BDE∽△BAC，可得∠BED＝∠BCA，可证EF∥CA，即可得结论；
（3）由“ASA”可证△GCE≌△DAF，可得GE＝DF．
解：（1）∵矩形OABC中，点B的坐标为（4，3），
∴BC＝4，AB＝3，BC∥OA，AB∥OC，
∴点E的纵坐标为3，点D的横坐标为4，
∵反比例函数y=4x（x＞0）的图象与矩形OABC的边BC、AB分别交于E、D两点，
∴点E（43，3），点D（4，1），
∴BE=83，BD＝2，
∴DE=BE2+BD2=649+4=103，
故答案为：103；
（2）∵OA：OC＝4：3，
∴设OA＝4m，OC＝3m，
则点A（4m，0），点C（0，3m），点B（4m，3m），
∵点E，点D都在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，
∴点D（4m，1m），点E（43m，3m），
∴BC＝4m，BE＝4m−43m，AB＝3m，BD＝3m−1m，
∴BEBC=4m−43m4m=3m2−13m2，BDBA=3m−1m3m=3m2−13m2，
∴BEBC=BDBA，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴∠BED＝∠BCA，
∴EF∥CA，
又∵BC∥OA，
∴四边形AFEC是平行四边形；
（3）GE＝DF，
理由如下：由（2）可得：四边形AFEC是平行四边形，
∴CE＝AF，CE∥AF，
∴∠GEC＝∠DFA，
又∵∠GCE＝∠DAF＝90°，
∴△GCE≌△DAF（ASA），
∴GE＝DF．
总结提升：本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明△BDE∽△BAC是解题的关键
类型一 单独一个反比例函数
一点一垂线
1．（2023•东莞市校级模拟）如图，等边△OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB=23，若反比例函数y=kx(k≠0)图象的一支经过点A，则k的值是 ．
2．（2023春•海门市期中）如图，已知直线y＝kx+b与函数y=mx（x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，点D为AB中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积为272，则m的值为 ．
3．(2023•黄石模拟）如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，点B在y轴上，点C，点D在x轴上，AD与y轴交于点E．若S△BCE＝3，则k的值为（ ）
A．32B．3C．6D．12
4．（2023•黑龙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：AD＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴、y轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，则k＝ ．
一点两垂线
5．(2023•绍兴中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y=kx（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 ．
类型二 反比例函数与正比例函数综合
两交点一垂线
6．（2023秋•王益区期末）如图，直线y＝mx与双曲线y=kx交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM＝4，则k的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣8D．8
7．如图，正比例函数y＝kx与函数y=4x的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝ ．
8．(2023•祁东县一模）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y=−4x的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为 ．
类型三 反比例与一次函数综合
两交点在不同象限
9．(2023春•辉县市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A，B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣2，n），点A的坐标为（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
两交点在同一象限
10．(2023•双台子区校级开学）如图，矩形OABC中，A（1，0），C（0，2），双曲线y=kx（0＜k＜2）的图象分别交AB，CB于点E，F，连接OE，OF，EF，S△OEF﹣＝2S△BEF，则k值为（ ）
A．23B．1C．43D．2
11．(2023春•朝阳区校级期中）如图，点A、B在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是16，且点B是AC的中点，则k＝（ ）
A．4B．8C．323D．643
12．（2023秋•高阳县期末）如图，在反比例函数y=10x（x＞0）的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为2，4，6，8…．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3…，则点P1的坐标为 ，阴影部分的面积和S1+S2+S3为 ．
13．(2023春•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO＝AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE＝4CE．反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．
（1）求AFEC的值；（2）若S△EOF=227，求反比例函数关系式．
类型四 两个反比例函数综合
两反比例函数k值符号相同
14．(2023秋•滕州市校级期末）如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则2k2﹣2k1＝ ．
15．(2023秋•荆门期末）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x（k1＞0）和y=k2x（k2＞0）的图象上，若BD∥y轴，点D的横坐标为4，则k1+k2＝ ．
16．（2023秋•玉屏县期中）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y=4x（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y=1x（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（ ）
A．4B．94C．92D．112
两反比例函数k值符号不同
17．(2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x和y=kx的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38B．22C．﹣7D．﹣22
18．（2023•蒙阴县一模）如图，点A是反比例函数y=3x（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=−2x的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S平行四边形ABCD为（ ）
A．2B．3C．4D．5
19．（2023•泗洪县二模）如图，曲线C2是双曲线C1：y=6x（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积为 ．
模块二 2023中考押题预测
一．选择题（共6小题）
1．（2023春•鄞州区期末）如图，平行四边形ABCD的一边AB∥y轴，顶点B在x轴上，顶点A，C在双曲线y1=k1x（k1＞0，x＞0）上，顶点D在双曲线y2=k2x（k2＞0，x＞0）上，其中点C的坐标为（3，1），当四边形ABCD的面积为92时，k2的值是（ ）
A．7.5B．9C．10.5D．21
2．（2023•周村区二模）如图，直线y=−14x与双曲线y=kx（k＜0，x＜0）交于点A，将直线y=−14x向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA＝2BC，则k的值为（ ）
A．−649B．﹣7C．−658D．−223
3．（2023•犍为县二模）如图，A、B是反比例函数y=kx图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D，若D为OB的中点，△AOD的面积为12，则k的值为（ ）
A．36B．32C．28D．14
4．（2023秋•涪城区期末）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y=1x的图象交于点A和点B，则不等式x＞1x的解集为（ ）
A．﹣1＜x＜0 或0＜x＜1B．﹣1＜x＜0或x＞1
C．x＜﹣1或0＜x＜1D．x＜﹣1或x＞1
5．（2023•涧西区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y=2x（x＞0）的图象交于点A．将直线y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则m的值为（ ）
A．2B．32C．3D．83
6．(2023•天津模拟）若图中反比例函数的表达式均为y=3x，则阴影面积为1.5的是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共10小题）
7．（2023•鹿城区月考）如图，△ABC是等边三角形，点A在x轴的正半轴上，BC在第一象限，BC∥x轴，点D为AB的中点，反比例函数y=k1x的图象经过点C和点D，BC的延长线与反比例函数y=k2x的图象相交于点E，连结AE，CD．已知k1﹣k2=1633，S△EAC：S△BCD＝4：3，则BC＝ ，k1+k2的值是 ．
8．（2023春•西湖区期末）在直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）与反比例函数y=tx（t＞0）的图象交点A（2，p），B（q，﹣3），则k＝ ．
9．（2023•福田区校级模拟）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在边OC上，且BD＝OC，以BD为边向下作矩形BDEF，使得点E在边OA上，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过边EF与AB的交点G．若AG=23，DE＝2，则k的值为 ．
10．(2023•深圳三模）已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数y=8x的图象经过点C，且与AB交于点E，若OD＝2，则△OCE的面积为 ．
11．（2023秋•岳阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y=kx(x＞0)的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），若△OAB的面积为4．则下列结论：①n＝2；②k＝4；③不等式x＜kx的解集是x＞2；④tan∠ABO＝2，其中正确结论的序号是 ．
12．(2023•椒江区校级模拟）如图，反比例函数y1=3x的图象与一次函数y2＝x+2的图象交于A、B两点．当x满足 时，y1＜y2．
13．(2023秋•达川区期末）如图，在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，…，P2023，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2023．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2022，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ．
14．（2023•清江浦区二模）如图，P是反比例函数y=kx的图象第二象限上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，若矩形PEOF的面积为6，则k＝ ．
(2023•崂山区一模）如图所示，反比例函数y=1x的图象过正方形OABC对角线OB中点F，则B点坐标为 ．
16．（2023•深圳模拟）如图，直线y＝﹣2x+4与y轴，x轴分别相交于A，B两点，将射线AB绕B点顺时针旋转到BC，使得∠ABC＝∠ABO，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过C点，CD⊥OB于D点，且S△BCD=32，则k值＝ ．
三．解答题（共2小题）
17．（2023•三水区校级二模）如图，反比例函数y=4x（x＞0）的图象与矩形OABC的边BC、AB分别交于E、D两点，直线DE与x轴、y轴分别交于点F、G，且OA：OC＝4：3．
（1）当点B的坐标为（4，3）时，DE＝ ；
（2）求证：四边形AFEC是平行四边形；
（3）试说明GE与DF的数量关系并说明理由．
18．(2023春•北仑区期末）如图1，已知双曲线y=kx(k＞0)与直线y＝k′x交于A、B两点，点A在第一象限，试回答下列问题：
（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为 ；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=kx(k＞0)于P，Q两点，点P在第一象限．
①四边形APBQ一定是 ；
②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．
（3）设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．
专题42 中考命题核心元素反比例函数中k的几何意义（解析版）
模块一 分类精炼
类型一 单独一个反比例函数
一点一垂线
1．（2023•东莞市校级模拟）如图，等边△OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB=23，若反比例函数y=kx(k≠0)图象的一支经过点A，则k的值是 23 ．
思路引领：根据正三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，得出S△AOC=12S△AOB=3=12|k|，即可求出k的值．
解：如图，过点A作AC⊥OB于点C，
∵△OAB是正三角形，
∴OC＝BC，
∴S△AOC=12S△AOB=3=12|k|，
又∵k＞0，
∴k＝23，
故答案为：23．
总结提升：本题考查等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，掌握等边三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．
2．（2023春•海门市期中）如图，已知直线y＝kx+b与函数y=mx（x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，点D为AB中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积为272，则m的值为 27 ．
思路引领：连接AE，由点D为AB中点，可得到S△BCE＝S△ACE=272，再由反比例函数m的几何意义，即可求m的值．
解：连接AE，
∵点D为AB中点，
∴S△ACD＝S△BCD，S△BDE＝S△ADE，
∴S△BCE＝S△ACE，
∵△BEC的面积为272，
∴S△ACE=272，
∵A点在反比例函数y=mx上，
∴m＝27，
故答案为：27．
总结提升：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握三角形的面积求法，灵活应用反比例函数k的几何意义是解题的关键．
3．(2023•黄石模拟）如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，点B在y轴上，点C，点D在x轴上，AD与y轴交于点E．若S△BCE＝3，则k的值为（ ）
A．32B．3C．6D．12
思路引领：作AF⊥x轴于F，易得矩形ABOF的面积等于平行四边形ABCD的面积等于三角形BCE面积的2倍等于6，再利用|k|等于矩形ABOF的面积即可．
解：作AF⊥x轴于F，
∵S△BCE＝3，
∴S平行四边形ABCD＝2S△BCE＝6，
∵S矩形ABOF＝S平行四边形ABCD，
∴S矩形ABOF＝6，
∴|k|＝6，
∵在第一象限，
∴k＝6，
故选：C．
总结提升：本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，应用S矩形ABOF＝S平行四边形ABCD是解题的关键．
4．（2023•黑龙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：AD＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴、y轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，则k＝ 14 ．
思路引领：首先过点D作DF⊥x轴于点F，易证得△AOB∽△DFA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得点D的坐标，即可求得k的值．
解：过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AOB＝∠DFA＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC，
∴∠OAB+∠DAF＝90°，
∴∠ABO＝∠DAF，
∴△AOB∽△DFA，
∴OA：DF＝OB：AF＝AB：AD，
∵AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6），
∴AB：AD＝3：2，OA＝3，OB＝6，
∴DF＝2，AF＝4，
∴OF＝OA+AF＝7，
∴点D的坐标为：（7，2），
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝7×2＝14，
故答案为：14．
总结提升：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
一点两垂线
5．(2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y=kx（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 6 ．
思路引领：根据反比例函数k的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．
解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，
根据题意可知，AC＝OE＝BD，
设AC＝OE＝BD＝a，
∴四边形ACEO的面积为4a，
∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG为△EDQ的中位线，
∴FG=12DQ＝2，EG=12EQ=32，
∴四边形HFGO的面积为2（a+32），
∴k＝4a＝2（a+32），
解得：a=32，
∴k＝6．
故答案为：6．
总结提升：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．
类型二 反比例函数与正比例函数综合
两交点一垂线
6．（2023秋•王益区期末）如图，直线y＝mx与双曲线y=kx交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM＝4，则k的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣8D．8
思路引领：根据反比例的图象关于原点中心对称得到点A与点B关于原点中心对称，则S△OAM＝S△OBM，而S△ABM＝4，S△OAM＝2，然后根据反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义即可得到k＝﹣4．
解：∵直线y＝mx与双曲线y=kx交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴S△OAM＝S△OBM，
而S△ABM＝4，
∴S△OAM＝2，
∴12|k|＝2，
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：A．
总结提升：本题考查了反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
7．(2023春•雨花区校级月考）如图，正比例函数y＝kx与函数y=4x的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝ 8 ．
思路引领：先设A点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定B点坐标，于是可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式进行计算．
解：设A点坐标为（m，4m），则B点坐标为（﹣m，−4m），
∴C点坐标为（m，−4m），
∴AC=8m，BC＝2m，
∴△ABC的面积=12AC•BC=12•2m•8m=8．
故答案为：8．
总结提升：本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数的性质得出A、B、C的坐标是解题的关键．
8．(2023•祁东县校级一模）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y=−4x的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为 4 ．
思路引领：根据反比例函数的k的几何意义，可得S△ABO，根据反比例函数与正比例函数的中心对称性，可知O是BD的中点，即可求出△ABD的面积．
解：∵点A在反比例函数y=−4x上，且AB⊥x轴，
∴S△ABO=|−4|2=2，
∵A，C是反比例函数与正比例函数的交点，且CD⊥x轴，
∴O是BD的中点，
∴S△ABD＝2S△ABO＝4．
故答案为：4．
总结提升：本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义和中心对称性是解题的关键．
类型三 反比例与一次函数综合
两交点在不同象限
9．(2023春•辉县市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A，B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣2，n），点A的坐标为（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）将点B坐标代入直线y＝x+1中，求出点B的坐标，再将点B的坐标代入反比例函数解析式中，求解即可求出答案；
（2）先求出点C的坐标，再求出点A的坐标，即可求出答案；
（3）设点P的坐标，再用等腰三角形的两腰相等，分三种情况，建立方程求解，即可求出答案．
解：（1）∵点B（﹣2，n）在直线y＝x+1上，
∴y＝﹣1，
∴B（﹣2，﹣1），
∵点B（﹣2，﹣1）在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝﹣2×（﹣1）＝2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
（2）∵直线AB：y＝x+1①与x轴交于点C，
∴C（﹣1，0），
∴OC＝1，
由反比例函数的解析式为y=2x②，
联立①②解得，x=1y=2或x=−2y=−1，
∴A（1，2），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=12OC（yA﹣yB）=12×1×（2+1）=32；
（3）设P（m，0），
∵A（1，2），
∴OP＝|m|，AP=(m−1)2+4，OA=5，
∵△AOP是等腰三角形，
∴①当OP＝AP时，|m|=(m−1)2+4，
∴m=52，
∴P（52，0）；
②当OP＝OA时，|m|=5，
∴m＝±5，
∴P（5，0）或（−5，0）；
③当OA＝AP时，5=(m−1)2+4，
∴m＝0或m＝2，
∴P（2，0）；
即点P的坐标为P（52，0）或（2，0）或（5，0）或（−5，0）．
总结提升：此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．
两交点在同一象限
10．(2023•双台子区校级开学）如图，矩形OABC中，A（1，0），C（0，2），双曲线y=kx（0＜k＜2）的图象分别交AB，CB于点E，F，连接OE，OF，EF，S△OEF﹣＝2S△BEF，则k值为（ ）
A．23B．1C．43D．2
思路引领：设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（m2，2），根据三角形面积公式得到S△BEF=12（1−m2）（2﹣m），根据反比例函数k的几何意义得到S△OFC＝S△OAE=12m，由于S△OEF＝S矩形ABCO﹣S△OCF﹣S△OEA﹣S△BEF，列方程即可得到结论．
解：∵四边形OABC是矩形，BA⊥OA，A（1，0），
∴设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（m2，2），
则S△BEF=12（1−m2）（2﹣m），S△OFC＝S△OAE=12m，
∴S△OEF＝S矩形ABCO﹣S△OCF﹣S△OEA﹣S△BEF＝2−12m−12m−12（1−m2）（2﹣m），
∵S△OEF＝2S△BEF，
∴2−12m−12m−12（1−m2）（2﹣m）＝2•12（1−m2）（2﹣m），
整理得34（m﹣2）2+m﹣2＝0，解得m1＝2（舍去），m2=23，
∴E点坐标为（1，23）；
∴k=23，
故选：A．
总结提升：本题考查了反比例函数k的几何意义和矩形的性质，正确利用面积的和差计算不规则图形的面积是解题关键．
11．(2023春•朝阳区校级期中）如图，点A、B在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是16，且点B是AC的中点，则k＝（ ）
A．4B．8C．323D．643
思路引领：先根据B是AC的中点，表示出△BOC的面积，再利用k的几何意义表示出△AOH和△BOG的面积，即可得出△AHC和△BGC的面积，易证△AHC∽△BGC，根据面积的比等于相似比的平方，列方程即可求出k的值．
解：连接OB，过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作GB⊥x轴于点G，如图所示：
∵B是AC的中点，
∴S△BOC=12S△AOC=12×16＝8，
根据k的几何意义，
S△AOH＝S△BOG=12k，
∴S△AHC＝S△AOC﹣S△AOH＝16−12k，
S△BGC＝S△BOC﹣S△BOG＝8−12k，
∵∠AHC＝∠BGC＝90°，
∠ACH＝∠BCG，
∴△AHC∽△BGC，
∵B是AC的中点，
∴相似比为1：2，
∴面积的比为1：4，
即S△BGC：S△AHC＝1：4，
∴（8−12k）：（16−12k）＝1：4，
解得k=323．
故选：C．
总结提升：本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形的性质是解决本题的关键．
12．（2023秋•高阳县期末）如图，在反比例函数y=10x（x＞0）的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为2，4，6，8…．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3…，则点P1的坐标为 （2，5） ，阴影部分的面积和S1+S2+S3为 7.5 ．
思路引领：将x＝2代入反比例函数y=10x，求出y，得到点P1的坐标；根据反比例函数的几何意义，可知图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，据此可得S1+S2+S3的值．
解：∵在反比例函数y=10x（x＞0）的图象上，有点P1，它的横坐标为2，
∴当x＝2时，y＝5，
∴点P1的坐标为（2，5）．
由题意，可知点P2、P3、P4坐标分别为：（4，52），（6，53），（8，54），
∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，
∴阴影部分的面积和S1+S2+S3＝2×5﹣2×54=7.5．
故答案为：（2，5），7.5．
总结提升：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
13．(2023春•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO＝AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE＝4CE．反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．
（1）求AFEC的值；
（2）若S△EOF=227，求反比例函数关系式．
思路引领：（1）由“AAS”可证△DEA≌△AGO，可得DE＝AG，AE＝OG，求出点E坐标，可求反比例函数解析式，即可求解；
（2）由面积关系可求a2的值，即可求解．
解：（1）如图，过点F作FH⊥x轴于点H，延长EA交x轴于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，AB＝CD＝BC＝AD，
∵AE⊥CD，AB∥x轴，
∴∠D+∠DAE＝90°，EG⊥x轴，
∵OA⊥AD，
∴∠DAE+∠GAO＝90°，
∴∠GAO＝∠D，
又∵OA＝OD，
∴△DEA≌△AGO（AAS），
∴DE＝AG，AE＝OG，
设CE＝a，则DE＝AG＝4CE＝4a，AD＝AB＝DC＝DE+CE＝5a，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE＝3a，
∴OG＝AE＝3a，GE＝AG+AE＝7a，
∴A（3a，4a），E（3a，7a），
∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴，
∴四边形AGHF是矩形，
∴FH＝AG＝3a，AF＝GH，
∵E点在双曲线y=kx(x＞0)的图象上，
∴k＝21a2，
∴y=21a2x，
∵F点在双曲线y=21a2x的图象上，且F点的纵坐标为4a，
∴x=21a4，即OH=21a4，
∴AF＝GH=94a，
∴AFEC=94；
（2）∵S△EOF＝S△EOG+S梯形EGHF﹣S△FOH，
∴12×3a×7a+12(7a+4a)×9a4−12×21a4×4a=227，
解得：a2=1663，
∴k=21a2=21×1663=163，
∴y=163x．
总结提升：本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
类型四 两个反比例函数综合
两反比例函数k值符号相同
14．(2023秋•滕州市校级期末）如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则2k2﹣2k1＝ 6 ．
思路引领：根据反比例函数中k的几何意义：反比例函数图像上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于|k|2，数形结合可以得到S△AOM=|k1|2，S△CON=|k1|2，S矩形OABC=|k2|，根据图像均在第一象限可知k1＞0，k2＞0，再由四边形OMBN的面积为3，得到k2=k12+k12+3，即可得到答案．
解：∵矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，
∴由反比例函数中k的几何意义知，S△AOM=|k1|2，S△CON=|k1|2，
∵矩形OABC与反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，
∴由反比例函数中k的几何意义知，S矩形OABC＝|k2|，
∵四边形OMBN的面积为3，
∴由图可知，S矩形OABC＝S△AOM+S△CON+S四边形OMBN，
即k2=k12+k12+3，解得k2﹣k1＝3，
∴2k2﹣2k1＝6，
故答案为：6．
总结提升：本题考查反比例函数中k的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用k的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键．
15．(2023秋•荆门期末）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x（k1＞0）和y=k2x（k2＞0）的图象上，若BD∥y轴，点D的横坐标为4，则k1+k2＝ 32 ．
思路引领：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，由四边形ABCD是正方形，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（4，a），由BD∥y轴，可以表示点A，B的坐标，可求得m，a的关系，再由B（4，8﹣a）在反比例函数y=k1x（k1＞0）的图象上，D（4，a）在y=k2x（k2＞0）的图象上，即可解答本题．
解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝BE＝CE＝DE．
设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（4，a），
∵BD∥y轴，
∴B（4，a+2m），A（4+m，a+m）．
∵A，B都在反比例函数y=k1x（k1＞0）的图象上，
∴k1＝4（a+2m）＝（4+m）（a+m）．
∵m≠0，
∴m＝4﹣a，
∴B（4，8﹣a）．
∵B（4，8﹣a）在反比例函数y=k1x（k1＞0）的图象上，D（4，a）在y=k2x（k2＞0）的图象上，
∴k1＝4（8﹣a）＝32﹣4a，k2＝4a，
∴k1+k2＝32﹣4a+4a＝32，
故答案为：32．
另解：∵D横坐标为4，
∴D（4，k24），
又∵BD∥y轴，
∴B（4，k14），
∴BD=k1−k24，
连接AC交BD于E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AE=12（k1−k24）=k1−k28，
∴A（4+k1−k28，k14−k1−k28），
∴A（4+k1−k28，k1+k28），
把A代入y=k1x，得k1+k28×（4+k1−k28）＝k1，
整理，得12（k1+k2）+164（k1﹣k2）（k1+k2）＝k1，
（k2﹣k1）[32﹣（k1+k2）]＝0，
∵k2≠k1，
∴k1+k2＝32．
故答案为：32．
总结提升：本题考查反比例函数的图象及应用，涉及正方形的性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标．
16．（2023秋•玉屏县期中）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y=4x（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y=1x（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（ ）
A．4B．94C．92D．112
思路引领：根据点A、B在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，可设点B的坐标为（4m，m），再根据B为线段AC的中点可用m表示出来A点的坐标，由AD∥x轴、BE∥x轴，即可用m表示出来点D、E的坐标，结合梯形的面积公式即可得出结论．
解：∵点A、B在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，
设点B的坐标为（4m，m），
∵点B为线段AC的中点，且点C在x轴上，
∴点A的坐标为（2m，2m）．
∵AD∥x轴、BE∥x轴，且点D、E在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，
∴点D的坐标为（12m，2m），点E的坐标为（1m，m）．
∴S梯形ABED=12（2m−12m+4m−1m）×（2m﹣m）=94．
故选：B．
总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及梯形的面积，解题的关键是用m表示出来A、B、E、D四点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，只要设出一个点的坐标，再由该点坐标所含的字母表示出其他点的坐标即可．
两反比例函数k值符号不同
17．(2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x和y=kx的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38B．22C．﹣7D．﹣22
思路引领：利用k的几何意义解题即可．
解：∵直线l∥y轴，
∴∠OMP＝∠OMQ＝90°，
∴S△OMP=12×8＝4，S△OMQ=−12k．
又S△POQ＝15，
∴4−12k＝15，
即−12k＝11，
∴k＝﹣22．
故选：D．
总结提升：本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
18．（2023•蒙阴县一模）如图，点A是反比例函数y=3x（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=−2x的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S平行四边形ABCD为（ ）
A．2B．3C．4D．5
思路引领：连接OA、OB，AB交y轴于E，由于AB⊥y轴，根据反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义得到S△OEA与S△OBE，则四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到S平行四边形ABCD＝2S△OAB＝5．
解：连接OA、OB，AB交y轴于E，如图，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∴S△OEA=12×3=32，S△OBE=12×2＝1，
∴S△OAB＝1+32=52，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝2S△OAB＝5．
故选：D．
总结提升：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
19．（2023•泗洪县二模）如图，曲线C2是双曲线C1：y=6x（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积为 6 ．
思路引领：将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题．
解：如图，将C2及直线y＝x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．
双曲线C3的解析式为y=−6x，
过点P作PB⊥y轴于点B，
∵PA＝PO，
∴B为OA中点．
∴S△PAB＝S△POB，
由反比例函数比例系数k的性质，S△POB＝3，
∴△POA的面积是6，
故答案为6．
总结提升：本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数k的几何意义．
模块二 2023中考押题预测
一．选择题（共6小题）
1．（2023春•鄞州区期末）如图，平行四边形ABCD的一边AB∥y轴，顶点B在x轴上，顶点A，C在双曲线y1=k1x（k1＞0，x＞0）上，顶点D在双曲线y2=k2x（k2＞0，x＞0）上，其中点C的坐标为（3，1），当四边形ABCD的面积为92时，k2的值是（ ）
A．7.5B．9C．10.5D．21
思路引领：根据待定系数法求得y1=3x，设A（m，3m），根据题意得（3﹣m）•3m=92，解得A的坐标，根据平行四边形的性质得出D的坐标，代入y2=k2x（k2＞0，x＞0）即可求得k2的值．
解：∵C（3，1）在双曲线y1=k1x（k1＞0，x＞0）上，
∴k1＝3×1＝3，
∴y1=3x，
设A（m，3m），
∵平行四边形ABCD的面积为92，
∴（3﹣m）•3m=92，
解得m=65，
∴A（65，52），
∵平行四边形ABCD的一边AB∥y轴，顶点B在x轴上，
∴D（3，72），
∵点D在双曲线y2=k2x（k2＞0，x＞0）上，
∴k2＝3×72=10.5，
故选：C．
总结提升：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，求得A点的坐标，进而得到D的坐标是解题的关键．
2．（2023•周村区二模）如图，直线y=−14x与双曲线y=kx（k＜0，x＜0）交于点A，将直线y=−14x向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA＝2BC，则k的值为（ ）
A．−649B．﹣7C．−658D．−223
思路引领：分别过点A、B作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥BE于F，再设A（﹣4a，a）（a＞0），由于OA＝2BC，得出B（﹣2a，12a+2），再根据反比例函数中k＝xy为定值列出关于a的方程，解方程求出a的值，进而得到A点的坐标，即可求得k的值．
解：分别过点A、B作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥BE于F，设A（﹣4a，a）（a＞0），
∵OA＝2BC，BC∥OA，CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF=12OD＝2a，
∵点B在直线y=−14x+2上，
∴B（﹣2a，12a+2），
∵点A、B在双曲线y=kx上，
∴﹣4a•a＝﹣2a•（12a+2），解得a=43，
∴A点的坐标为（−163，43），
∴k=−163×43=−649．
故选：A．
总结提升：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象与几何变换，根据题意作出辅助线，设出A、B两点的坐标，再根据k＝xy为定值列出方程是解题的关键．
3．（2023•犍为县二模）如图，A、B是反比例函数y=kx图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D，若D为OB的中点，△AOD的面积为12，则k的值为（ ）
A．36B．32C．28D．14
思路引领：先设点D坐标为（a，b），得出点B的坐标为（2a，2b），A的坐标为（4a，b），再根据△AOD的面积为6，列出关系式求得k的值．
解：设点D坐标为（a，b），
∵点D为OB的中点，
∴点B的坐标为（2a，2b），
∴k＝4ab，
又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上，
∴A的坐标为（4a，b），
∴AD＝4a﹣a＝3a，
∵△AOD的面积为12，
∴12×3a×b＝12，
∴ab＝8，
∴k＝4ab＝4×8＝32．
故选：B．
总结提升：本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD的面积为6列出关系式是解题的关键．
4．（2023秋•涪城区期末）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y=1x的图象交于点A和点B，则不等式x＞1x的解集为（ ）
A．﹣1＜x＜0 或0＜x＜1B．﹣1＜x＜0或x＞1
C．x＜﹣1或0＜x＜1D．x＜﹣1或x＞1
思路引领：先求得交点坐标，然后根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
解：由y=xy=1x得x=1y=1或x=−1y=−1，
∵正比例函数y＝x与反比例函数y=1x的图象的交点为A（1，1），B（﹣1，﹣1），
观察函数图象，发现：当﹣1＜x＜0或x＞1时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式x＞1x的解集为是﹣1＜x＜0或x＞1，
故选：B．
总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
5．（2023•涧西区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y=2x（x＞0）的图象交于点A．将直线y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则m的值为（ ）
A．2B．32C．3D．83
思路引领：解析式联立，解方程求得A的横坐标，根据定义求得C的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得C的坐标，代入y＝2x+m即可求得m的值．
解：∵直线y＝2x与反比例函数y=2x（x＞0）的图象交于点A．
∴解2x=2x求得x＝±1，
∴A的横坐标为1，
∵OA＝2BC，
∴C的横坐标为12，
把x=12代入y=2x得，y＝4，
∴C（12，4），
∵将直线y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度，得到直线y＝2x+m，
∴把C的坐标代入得4＝1+m，求得m＝3，
故选：C．
总结提升：本题是反比例函数与一次函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键．
6．(2023•天津模拟）若图中反比例函数的表达式均为y=3x，则阴影面积为1.5的是（ ）
A．
B．
C．
D．
思路引领：根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
解：A选项中，阴影面积为3，故A不符合题意；
B选项中，阴影面积为12×3＝1.5，故B符合题意；
C选项中，阴影面积为2×12×3＝3，故C不符合题意；
D选项中，阴影面积为4×12×3＝6，故D不符合题意；
故选：B．
总结提升：本题考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，解此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
二．填空题（共10小题）
7．（2023秋•鹿城区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，点A在x轴的正半轴上，BC在第一象限，BC∥x轴，点D为AB的中点，反比例函数y=k1x的图象经过点C和点D，BC的延长线与反比例函数y=k2x的图象相交于点E，连结AE，CD．已知k1﹣k2=1633，S△EAC：S△BCD＝4：3，则BC＝ 4 ，k1+k2的值是 2033 ．
思路引领：连接OC、OE，作AM⊥BC于M，设BC交y轴于点F，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△COF=12k1，S△EOF=12k2，由k1﹣k2=1633得出S△COE=833，由S△EAC：S△BCD＝4：3，得出S△BCD＝23，进一步求得BC＝4，由等边三角形的性质得出AM＝CD＝23，设C（m，23），则D（m+3，3），代入y=k1x，即可求得m的值，进而求得k1，由S△EAC：S△BCD＝4：3得出S△EAC：S△ABC＝4：6，从而得出EC=83，求得EF=13，得出E（13，23），代入y=k2x，即可求得k2．
解：连接OC、OE，作AM⊥BC于M，设BC交y轴于点F，
由题意可知S△COF=12k1，S△EOF=12k2，
∴S△COE＝S△COF﹣S△EOF=12k2−12k2=12（k1﹣k2），
∵k1﹣k2=1633，
∴S△COE=12×1633=833，
∵S△EAC：S△BCD＝4：3，
∴S△BCD＝23，
∵点D为AB的中点，△ABC是的等边三角形，
∴CD⊥BD，
∴BD=12BC，CD=32BC，
∴12•12BC•32BC＝23，
∴BC＝4，
∴等边三角形的边长为4，
∴AM＝CD＝23，
设C（m，23），则D（m+3，3），
∵反比例函数y=k1x的图象经过点C和点D，
∴k1＝23m=3（m+3），
解得m＝3，
∴k1＝63，CF＝3，
∵点D为AB的中点，
∴S△ABC＝2SBCD，
∵S△EAC：S△BCD＝4：3，
∴S△EAC：S△ABC＝4：6，
∵BC＝4，
∴CE=83，
∴EF＝CF﹣CE＝3−83=13，
∴E（13，23），
∵反比例函数y=k2x的图象过点E，
∴k2=13×23=233，
∴k1+k2＝63+233=2033，
故答案为：4，2033．
总结提升：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，求得C、E的坐标是解题的关键．
8．（2023春•西湖区期末）在直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）与反比例函数y=tx（t＞0）的图象交点A（2，p），B（q，﹣3），则k＝ 32 ．
思路引领：利用反比例函数和正比例函数的性质判断点A和点B关于原点对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出A点坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值．
解：由于直线y＝kx（k＞0）与反比例函数y=tx（t＞0）的图象均关于原点对称，
∴两交点A、B关于原点对称，
∵A（2，p），B（q，﹣3），
∴q＝﹣2，p＝3，
∴A（2，3），
∵直线y＝kx经过点A，
∴3＝2k，
∴k=32，
故答案为：32．
总结提升：本题主要考查了比例函数与一次函数的交点问题，注意反比例函数图象具有中心对称性，即关于原点对称．
9．（2023•福田区校级模拟）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在边OC上，且BD＝OC，以BD为边向下作矩形BDEF，使得点E在边OA上，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过边EF与AB的交点G．若AG=23，DE＝2，则k的值为 210+2015 ．
思路引领：如图，连接BE，由“HL”可证Rt△BDE≌Rt△BAE，可得AE＝DE＝2，由勾股定理可求EG，通过证明△DEO∽△EGA，可得AGOE=EGDE，可求OE的长，即可求点G坐标，代入解析式可求k的值．
解：如图，连接BE，
∵四边形OABC是矩形，四边形BDEF是矩形，
∴OC＝AB，∠BAO＝∠BDE＝∠DEF＝90°，
∵BD＝OC，
∴BD＝AB，
又∵BE＝BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BAE（HL），
∴AE＝DE＝2，
∴EG=AE2+AG2=4+49=2103，
∵∠DEO+∠AEG＝90°，∠EDO+∠DEO＝90°，
∴∠AEG＝∠EDO，
又∵∠EOD＝∠EAG＝90°，
∴△DEO∽△EGA，
∴AGOE=EGDE，
∴23OE=21032，
∴OE=105，
∴OA=105+2，
∴点G（105+2，23），
∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点G，
∴k＝（105+2）×23=210+2015，
故答案为：210+2015．
总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，求出点G的坐标是本题的关键．
10．(2023•深圳三模）已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数y=8x的图象经过点C，且与AB交于点E，若OD＝2，则△OCE的面积为 45 ．
思路引领：连接AC，则S△OCE＝S△OCA，由点C在反比例函数图象上结合OD的长度可求出CD的长度，利用勾股定理可得出OC的长度，再利用S△OCA=12S菱形OABC即可求出△OCE的面积．
解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC为菱形，
∴OC∥AB，
∴S△OCE＝S△OCA．
∵函数y=8x的图象经过点C，OC＝2，
∴CD＝4，OA＝OC=OC2+CD2=25，
∴S△OCA=12S菱形OABC=12OA•CD=12×25×4＝45．
故答案为：45．
总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、菱形的性质、勾股定理以及菱形的面积，利用平行线及菱形的性质找出S△OCE＝S△OCA=12S菱形OABC是解题的关键．
11．（2023秋•岳阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y=kx(x＞0)的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），若△OAB的面积为4．则下列结论：①n＝2；②k＝4；③不等式x＜kx的解集是x＞2；④tan∠ABO＝2，其中正确结论的序号是 ②④ ．
思路引领：根据对称性求出C点坐标，进而得OA与AB的长度，再根据已知三角形的面积列出n的方程求得n，进而用待定系数法求得k，解直角三角形求得tan∠ABO的值，根据图象即可求得不等式x＜kx的解集．
解：∵点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），
∴C（n，1），
∴OA＝n，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∵△OAB的面积为4，
∴12n×2=4，
解得，n＝4，故①错误；
∵n＝4，
∴C（4，1），
∴k＝4×1＝4，故②正确；
解y=xy=4x解得x=2y=2或x=−2y=−2，
∴反比例函数y=kx(x＞0)的图象与直线y＝x的交点为（2，2），
由图象可知，不等式x＜kx的解集是0＜x＜2，故③错误；
∵点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，OA＝4，AB＝2，
∴tan∠ABO=OAAB=42=2，故④正确；
故答案为②④．
总结提升：本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，关键是根据对称求得C点坐标及由三角形的面积列出方程．
12．(2023•椒江区校级模拟）如图，反比例函数y1=3x的图象与一次函数y2＝x+2的图象交于A、B两点．当x满足 ﹣3＜x＜0或x＞1 时，y1＜y2．
思路引领：解两函数组成的方程组，求出A、B的坐标，根据图象和A、B的坐标即可得出答案．
解：解方程组y=3xy=x+2得：x=−3y=−1或x=1y=3，
即A的坐标为（1，3），B的坐标为（﹣3，﹣1），
所以当﹣3＜x＜0或x＞1，y1＜y2．
故答案为：﹣3＜x＜0或x＞1．
总结提升：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能正确识图是解此题的关键，数形结合思想的运用．
13．(2023秋•达川区期末）如图，在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，…，P2023，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2023．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2022，则S1+S2+S3+…+S2022＝ 40442023 ．
思路引领：求出P1、P2、P3、P4…的纵坐标，从而可计算出S1、S2、S3、S4…的高，进而求出S1、S2、S3、S4…，从而得出S1+S2+S3+…+Sn的值．
解：当x＝1时，P1的纵坐标为2，
当x＝2时，P2的纵坐标1，
当x＝3时，P3的纵坐标23，
当x＝4时，P4的纵坐标12，
当x＝5时，P5的纵坐标25，
…
则S1＝1×（2﹣1）＝2﹣1；
S2＝1×（1−23）＝1−23；
S3＝1×（23−12）=23−24；
S4＝1×（12−25）=24−25；
…
Sn=2n−2n+1；
S1+S2+S3+…+Sn＝2﹣1+1−23+23−24+24−25+⋯+2n−2n+1=2−2n+1=2nn+1，
∴S1+S2+S3+…+S2022=2×20222023=40442023．
故答案为：40442023．
总结提升：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出个阴影的面积表达式是解题的关键．
14．（2023•清江浦区二模）如图，P是反比例函数y=kx的图象第二象限上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，若矩形PEOF的面积为6，则k＝ ﹣6 ．
思路引领：因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．
解：∵P是反比例函数y=kx的图象第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为6，
∴S＝|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
总结提升：主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
15．(2023•崂山区一模）如图所示，反比例函数y=1x的图象过正方形OABC对角线OB中点F，则B点坐标为 （2，2） ．
思路引领：根据正方形的性质设B（m，m），即可得出F（12m，12m），代入y=1x求得m的值，从而求得B的坐标．
解：设B（m，m），
∵点F是OB中点，
∴F（12m，12m），
∵反比例函数y=1x的图象过点F，
∴12m•12m＝1，
∴m1＝2，m2＝﹣2（负数舍去），
∴B（2，2），
故答案为：（2，2）．
总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出B的坐标是解题的关键．
16．（2023•深圳模拟）如图，直线y＝﹣2x+4与y轴，x轴分别相交于A，B两点，将射线AB绕B点顺时针旋转到BC，使得∠ABC＝∠ABO，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过C点，CD⊥OB于D点，且S△BCD=32，则k值＝ 7 ．
思路引领：通过直线的解析式求得OA＝4，OB＝2，在BC是截取BP＝OB，连接OP交AB于Q，根据等腰三角形三线合一的性质得出OP⊥AB，OQ＝QP，易得出直线OP为y=12x，解析式联立求得Q的坐标，进而得到P的坐标，根据待定系数法求得直线BC的解析式，设CD＝h，利用三角形BCD的面积表示出C的坐标，代入直线BC的解析式即可得到C的坐标，代入反比例函数y=kx即可求得k的值．
解：∵直线y＝﹣2x+4与y轴，x轴分别相交于A，B两点，
∴A（0，4），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
在BC是截取BP＝OB，连接OP交AB于Q，
∵∠ABC＝∠ABO，
∴OP⊥AB，OQ＝QP，
∴在直线OP的解析式为y=12x，
解y=12xy=−2x+4得x=85y=45，
∴Q（85，45），
∴p（165，85），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（2，0），P（165，85）代入得2k+b=0165k+b=85，
解得k=43b=−83，
∴直线BC的解析式为y=43x−83，
设CD＝h，
∵S△BCD=32，
∴12BD•CD=32，
∴BD=3ℎ，
∴OD＝2+3ℎ，
∴C（2+3ℎ，h），
代入y=43x−83得，h=43（2+3ℎ）−83，
解得h＝2或h＝﹣2（舍去），
∴C（72，2），
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过C点，
∴k=72×2＝7，
故答案为7．
总结提升：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，求得C点的坐标是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
17．(2023春•北仑区期末）如图1，已知双曲线y=kx(k＞0)与直线y＝k′x交于A、B两点，点A在第一象限，试回答下列问题：
（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为 （﹣3，﹣1） ；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=kx(k＞0)于P，Q两点，点P在第一象限．
①四边形APBQ一定是 平行四边形 ；
②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．
（3）设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．
思路引领：（1）根据正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称，即可解决问题．
（2）①利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．
②利用分割法求面积即可．
（3）根据矩形的性质、正方形的性质即可判定．
解：（1）∵A、B关于原点对称，A（3，1），∴点B的坐标为（﹣3，﹣1）．
故答案为：（﹣3，﹣1）；
（2）①∵A、B关于原点对称，P、Q关于原点对称，
∴OA＝OB，OP＝OQ，
∴四边形APBQ是平行四边形．
故答案为：平行四边形；
②∵点A的坐标为（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y=3x，
∵点P的横坐标为1，
∴点P的纵坐标为3，
∴点P的坐标为（1，3），
由双曲线关于原点对称可知，点Q的坐标为（﹣1，﹣3），点B的坐标为（﹣3，﹣1），
如图2，过点A、B分别作y轴的平行线，过点P、Q分别作x轴的平行线，分别交于C、D、E、F，
则四边形CDEF是矩形，
CD＝6，DE＝6，DB＝DP＝4，CP＝CA＝2，
则四边形APBQ的面积＝矩形CDEF的面积﹣△ACP的面积﹣△PDB的面积﹣△BEQ的面积﹣△AFQ的面积＝36﹣2﹣8﹣2﹣8＝16．
（3）mn＝k时，四边形APBQ是矩形，不可能是正方形．
理由：当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形，此时点A、P在坐标轴上，由于点A，P不可能达到坐标轴故不可能是正方形，即∠POA≠90°．
因为mn＝k，P、A关于直线y＝x对称，
所以PO＝OA＝OB＝OQ，
所以四边形APBQ是矩形．
总结提升：本题考查反比例函数综合题、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会利用对称的性质解决问题，学会用分割法求面积，学会利用图象确定自变量的取值范围．
18．（2023•三水区校级二模）如图，反比例函数y=4x（x＞0）的图象与矩形OABC的边BC、AB分别交于E、D两点，直线DE与x轴、y轴分别交于点F、G，且OA：OC＝4：3．
（1）当点B的坐标为（4，3）时，DE＝ 103 ；
（2）求证：四边形AFEC是平行四边形；
（3）试说明GE与DF的数量关系并说明理由．
思路引领：（1）先求出点E，点D坐标，可得BE=83，BD＝2，利用勾股定理可求解；
（2）设OA＝4m，OC＝3m，可得点A，点B，点C，点D，点E坐标，通过证明△BDE∽△BAC，可得∠BED＝∠BCA，可证EF∥CA，即可得结论；
（3）由“ASA”可证△GCE≌△DAF，可得GE＝DF．
解：（1）∵矩形OABC中，点B的坐标为（4，3），
∴BC＝4，AB＝3，BC∥OA，AB∥OC，
∴点E的纵坐标为3，点D的横坐标为4，
∵反比例函数y=4x（x＞0）的图象与矩形OABC的边BC、AB分别交于E、D两点，
∴点E（43，3），点D（4，1），
∴BE=83，BD＝2，
∴DE=BE2+BD2=649+4=103，
故答案为：103；
（2）∵OA：OC＝4：3，
∴设OA＝4m，OC＝3m，
则点A（4m，0），点C（0，3m），点B（4m，3m），
∵点E，点D都在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，
∴点D（4m，1m），点E（43m，3m），
∴BC＝4m，BE＝4m−43m，AB＝3m，BD＝3m−1m，
∴BEBC=4m−43m4m=3m2−13m2，BDBA=3m−1m3m=3m2−13m2，
∴BEBC=BDBA，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴∠BED＝∠BCA，
∴EF∥CA，
又∵BC∥OA，
∴四边形AFEC是平行四边形；
（3）GE＝DF，
理由如下：由（2）可得：四边形AFEC是平行四边形，
∴CE＝AF，CE∥AF，
∴∠GEC＝∠DFA，
又∵∠GCE＝∠DAF＝90°，
∴△GCE≌△DAF（ASA），
∴GE＝DF．
总结提升：本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明△BDE∽△BAC是解题的关键
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