中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题46中考解答题最常考题型方程(原卷版+解析)
展开1.(2023•阜新)某公司引入一条新生产线生产A,B两种产品,其中A产品每件成本为100元,销售价格为120元,B产品每件成本为75元,销售价格为100元,A,B两种产品均能在生产当月全部售出.
(1)第一个月该公司生产的A,B两种产品的总成本为8250元,销售总利润为2350元,求这个月生产A,B两种产品各多少件?
(2)下个月该公司计划生产A,B两种产品共180件,且使总利润不低于4300元,则B产品至少要生产多少件?
2.(2023•资阳)北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱,人们争相购买.现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”,已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元,购买甲、乙两种型号各10个共需1760元.
(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元?
(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个,求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”?
3.(2023•朝阳)某中学要为体育社团购买一些篮球和排球,若购买3个篮球和2个排球,共需560元;若购买2个篮球和4个排球,共需640元.
(1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元;
(2)该中学决定购买篮球和排球共10个,总费用不超过1100元,那么最多可以购买多少个篮球?
4.(2023•六盘水)钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人,现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售,以下是购买者的出价:
(1)根据对话内容,求钢钢出售的竹篮和陶罐数量;
(2)钢钢接受了钟钟的报价,交易后到花店购买单价为5元/束的鲜花,剩余的钱不超过20元,求有哪几种购买方案.
5.(2023•安顺)阅读材料:被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平,成功研发出杂交水稻,杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍.现有两块试验田,A块种植杂交水稻,B块种植普通水稻,A块试验田比B块试验田少4亩.
(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克,求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克?
(2)为了增加产量,明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻,使总产量不低于17700千克,那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻?
6.(2023•湘西州)为了传承雷锋精神,某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动,准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品.已知篮球的单价为每个100元,足球的单价为每个80元.
(1)原计划募捐5600元,全部用于购买篮球和足球,如果恰好能够购买篮球和足球共60个,那么篮球和足球各买多少个?
(2)在捐款活动中,由于师生的捐款积极性高涨,实际收到捐款共6890元,若购买篮球和足球共80个,且支出不超过6890元,那么篮球最多能买多少个?
7.(2023•西藏)某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中,给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品.已知每本笔记本比每支钢笔多2元,用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同.
(1)笔记本和钢笔的单价各多少元?
(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品,要使购买纪念品的总费用不超过540元,最多可以购买多少本笔记本?
8.(2023•牡丹江)某工厂准备生产A和B两种防疫用品,已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元.经计算,用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等,请解答下列问题:
(1)求A,B两种防疫用品每箱的成本;
(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱,且B种防疫用品不超过25箱,该工厂有几种生产方案?
(3)为扩大生产,厂家欲拿出与(2)中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备(两种都买).若甲种设备每台2500元,乙种设备每台3500元,则有几种购买方案?最多可购买甲,乙两种设备共多少台?(请直接写出答案即可)
9.(2023•郴州)为响应乡村振兴号召,在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人,创办了果蔬生态种植基地.最近,为给基地蔬菜施肥,她准备购买甲、乙两种有机肥.已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元,购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元.
(1)甲、乙两种有机肥每吨各多少元?
(2)若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨,且总费用不能超过5600元,则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨?
10.(2023•辽宁)多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食,深受消费者的喜爱,在新品上市促销活动中,已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元,6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元.
(1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元?
(2)某商家欲购进A,B两种型号早餐机共20台,但总费用不超过2200元,那么至少要购进A型早餐机多少台?
11.(2023•哈尔滨)绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料,若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元;若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元.
(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元;
(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒,总费用不超过3920元,那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料?
12.(2023•玉林)我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨,第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨;因龙眼大量上市,价格下跌,第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨,两次购买龙眼共用了7万元.
(1)求两次购买龙眼各是多少吨?
(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干,1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨,桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨,若全部的销售额不少于39万元,则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉?
13.(2023•湖北)某班去革命老区研学旅行,研学基地有甲乙两种快餐可供选择,买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元,买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元.
(1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元?
(2)已知该班共买55份甲乙两种快餐,所花快餐费不超过1280元,问至少买乙种快餐多少份?
14.(2023•宿迁)某单位准备购买文化用品,现有甲、乙两家超市进行促销活动,该文化用品两家超市的标价均为10元/件,甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠,超过400元的部分按标价的6折售卖;乙超市全部按标价的8折售卖.
(1)若该单位需要购买30件这种文化用品,则在甲超市的购物金额为 元;乙超市的购物金额为 元;
(2)假如你是该单位的采购员,你认为选择哪家超市支付的费用较少?
15.(2023•邵阳)2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行.某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售.已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个,“冰墩墩”挂件的进价为50元/个.
(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元,请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量.
(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个,“冰墩墩”挂件售价定为60元/个,若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完,且至少盈利2900元,求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个?
16.(2023•绵阳)某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售,部分水果批发价格与零售价格如下表:
请解答下列问题:
(1)第一天,该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg,当日全部售出,求这两种水果获得的总利润?
(2)第二天,该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果,当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失,只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg,这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润,请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些?
17.(2023•内江)为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针,内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动.在此次活动中,若每位老师带队30名学生,则还剩7名学生没老师带;若每位老师带队31名学生,就有一位老师少带1名学生.现有甲、乙两型客车,它们的载客量和租金如表所示:
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元.
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人?
(2)每位老师负责一辆车的组织工作,请问有哪几种租车方案?
(3)学校租车总费用最少是多少元?
18.(2023•泸州)某经销商计划购进A,B两种农产品.已知购进A种农产品2件,B种农产品3件,共需690元;购进A种农产品1件,B种农产品4件,共需720元.
(1)A,B两种农产品每件的价格分别是多少元?
(2)该经销商计划用不超过5400元购进A,B两种农产品共40件,且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍.如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元,B种每件200元的价格全部售出,那么购进A,B两种农产品各多少件时获利最多?
19.(2023•遂宁)某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求,决定增设篮球、足球两门选修课程,需要购进一批篮球和足球.已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元;购买3个篮球和5个足球共需费用810元.
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元;
(2)学校计划采购篮球、足球共50个,并要求篮球不少于30个,且总费用不超过5500元.那么有哪几种购买方案?
20.(2023•花都区一模)“桃之夭夭,灼灼其华”,每年2﹣3月份,我区某湿地公园内的桃花陆续绽放,引来众多市民前往踏青观赏,纷纷拍照留念,记录生活美好时光.小王抓住这一商机,计划从市场购进A、B两种型号的手机自拍杆进行销售.据调查,购进1件A型号和1件B型号自拍杆共需45元,其中1件B型号自拍杆价格是1件A型号自拍杆价格的2倍.
(1)求1件A型号和1件B型号自拍杆的进价各是多少元?
(2)若小王计划购进A、B两种型号自拍杆共100件,并将这两款手机自拍杆分别以20元50元的价钱进行售卖.为了保证全部售卖完后的总利润不低于1100元,求最多购进A型号自拍杆多少件?
21.(2023•中原区校级一模)瓦岗红薯是河南省驻马店市确山县瓦岗镇的特产.瓦岗红薯因个头大、外型好、营养丰富、皮薄心红、肉丝细腻、味道香甜、易存放等特点备受人们的青昧.郑州市某超市打算试销A、B两个品种的瓦岗红薯,拟定A品种每箱售价比B品种每箱售价贵25元,且已知销售3箱B品种和2箱A品种的总价为550元.
(1)问A品种与B品种每箱的售价各是多少元?
(2)若B品种每箱的进价为80元,A品种每箱的进价为100元现水果店打算购进B品种与A品种共21箱,要求所花资金不高于1960元,则该超市应如何设计购进方案才能获得最大利润,最大利润是多少?
22.(2023•南岗区一模)为推进“书香社区”建设,某社区计划购进一批图书.已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需156元,购买4本科技类图书和5本文学类图书需284元.
(1)每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为多少元?
(2)社区计划购进科技类图书和文学类图书共60本,且总费用不超过2000元,那么最多购进科技类图书多少本?
23.(2023•香坊区一模)文教店用1200元购进了甲、乙两种纪念册,已知甲种纪念册进价为每本12元,乙种纪念册进价为每本10元,文教店在销售时甲种纪念册售价为每本15元,乙种纪念册售价为每本12元,全部售完后共获利270元.
(1)求文教店购进甲、乙两种纪念册各多少本?
(2)若文教店以原进价再次购进甲、乙两种纪念册,且购进甲种纪念册的数量不变,而购进乙种纪念册的数量是第一次的2倍,乙种纪念册按原售价销售,而甲种纪念册降价销售,当两种纪念册销售完毕时,要使再次购进的纪念册获利不少于340元,求甲种纪念册每本最低售价应为多少元?
24.(2023•莱芜区一模)“五一”劳动节马上来了,为了抓住“五一”小长假旅游商机,某旅游景点决定购进A,B两种纪念品,购进A种纪念品10件,B种纪念品4件,共需1200元;购进A种纪念品5件,B种纪念品8件,共需900元.
(1)求购进A,B两种纪念品每件各需多少元?
(2)若购买两种纪念品共200件,并且购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍.A种纪念品每件获利30元,B种纪念品每件获利是进价的八折,请设计一个方案:怎样购进A,B两种纪念品获利润最大?最大利润是多少?
25.(2023•城阳区一模)某商店购进甲、乙两种手写笔进行销售,若售出2支甲种手写笔和1支乙种手写笔共收入354元,若售出3支甲种手写笔和2支乙种手写笔共收入600元.
(1)求甲、乙两种手写笔每支的售价是多少元?
(2)每支甲种手写笔的成本83元,每支乙种手写笔的成本103元.商店购进甲、乙两种手写笔共20支,其中乙种手写笔的数量不超过甲种手写笔数量的3倍,那么当购进甲、乙两种手写笔分别是多少支时,该商店销售完后获得利润最大?最大获利多少元?
26.(2023•长沙模拟)某超市用1500元购进了甲、乙两种文具,已知甲种文具进价为每个15元,乙种文具进价为每个18元,超市在销售时甲种文具售价为每个20元,乙种文具售价为每个26元,全部售完后共获利600元.
(1)求这个超市购进甲、乙两种文具各多少个;
(2)若该超市以原价再次购进甲、乙两种文具,且购进甲种文具的数量不变,而购进乙种文具的数量是第一次的2倍,乙种文具按原售价销售,而甲种文具降价销售,当两种文具销售完毕时,要使再次购进的文具获利不少于920元,则甲种文具的最低售价每个应为多少元?
27.(2023•新抚区三模)晨光文具店用进货款2000元购进A品牌的文具盒40个,B品牌的文具盒60个,其中A品牌文具盒的进货单价比B品牌文具盒的进货单价多5元.
(1)求A,B两种文具盒的进货单价;
(2)已知A品牌文具盒的售价为28元/个,若使这批文具盒全部售完后利润不低于500元,B品牌文具盒的销售单价最少是多少?
28.(2023•黄浦区二模)小丽与妈妈去商场购物,商场正在进行打折促销,规则如下:
优惠活动一:任选两件商品,第二件半价(两件商品价格不同时,低价商品享受折扣);
优惠活动二:所有商品打八折.
(两种优惠活动不能同享)
(1)如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子,那么她选择哪个优惠活动会更划算?请通过计算说明;
(2)如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子,当裤子价格(裤子价格低于衣服价格)低于多少元时,小丽会推荐妈妈选择优惠活动二?为什么?
29.(2023•驿城区校级二模)某超市计划经销A,B两种新型品牌的农产品共100箱,这两种农产品的进价,售价如下表所示.
(1)若该超市购进这两种新型品牌的农产品共用去10000元,问这两种新型品牌农产品各购进多少箱?
(2)在每个品牌农产品销售利润不变的情况下,若该超市销售这批农产品的总利润不少于5600元,则至少需购进B品牌农产品多少箱?
30.(2023•连云港一模)某餐饮公司推出甲、乙两种外卖菜品,已知售出2份甲菜品和1份乙菜品可获利40元,售出3份甲菜品和2份乙菜品可获利65元.
(1)求每份甲、乙菜品的利润各是多少元?
(2)根据营销情况,该餐饮公司每日都可以销售完甲、乙两种外卖菜品600份,且甲菜品的数量不多于乙菜品的一半,应该如何设计两种菜品的数量才能使获得的利润最高?最高利润是多少?
31.(2023•浠水县一模)某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品,若购进甲商品10件和乙商品8件,共需要资金880元;若购进甲商品2件和乙商品5件,共需要资金380元.
(1)求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元?
(2)该超市计划购进这两种商品共50件,而可用于购买这两种商品的资金不超过2520元.根据市场行情,销售一件甲商品可获利10元,销售一件乙商品可获利15元.该超市希望销售完这两种商品所获利润不少于620元.则该超市有哪几种进货方案?
32.(2023•苏州一模)某文具店计划购进A、B两种笔记本,已知A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元现分别购进A种笔记本150本,B种笔记本300本,共计6300元.
(1)求A、B两种笔记本的进价;
(2)文具店第二次又购进A、B两种笔记本共100本,且投入的资金不超过1380元.在销售过程中,A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本.两种笔记本按标价各卖出m本以后,该店进行促销活动,剩余的A种笔记本按标价的七折销售,剩余的B种笔记本按标价的八折销售.若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元,请求出m的最小值.
33.(2023•福田区模拟)某企业计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物,已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨,且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同.
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨?
(2)每台A型机器人售价1.2万元,每台B型机器人售价2万元,该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台,必须满足每天搬运的货物不低于2830吨,购买金额不超过48万元.请你求出最节省的采购方案,购买总金额最低是多少万元?
34.(2023•覃塘区一模)某高科技公司根据市场需求,计划生产A、B两种型号的医疗器械,其部分信息如下:
信息一:A、B两种型号的医疗器械共生产80台;
信息二:生产这两种医疗器械的资金超过1800万元,但不足1810万元;
信息三:A、B两种医疗器械的生产成本和售价如下表:
根据上述信息,解答下列问题:
(1)这两种型号的医疗器械各生产多少台?
(2)在实际销售时,每台A型医疗器械的售价提高了m%,每台B型医疗器械的售价不变,全部销售这两种医疗器械共获得利润595万元,求m的值.(利润=售价﹣成本)
35.(2023•游仙区模拟)2022年3月1日,新冠疫情卷土重来,疫情发生后,市政府高度重视,并第一时间启动应急预案,迅速做好疫情防控工作,由于疫情原因,市急需大量物资.某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨,甲物资单价为3万元/吨,乙物资单价为2万元/吨,采购两种物资共花费1380万元.
(1)甲、乙两种物资各采购了多少吨?
(2)现在计划安排A,B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资,A种卡车每辆需付运输费1500元,B种卡车每辆需付运输费1300元.甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车;甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车.按此要求安排A,B两型卡车的数量,请问有几种运输方案?哪种运输方案的运输费最少,并求此时的运输费.
36.(2023•郸城县一模)党的二十大报告,深刻阐述了推动绿色发展,促进人与自然和谐共生的理念,尊重自然、顺应自然、保护自然,是全面建设社会主义现代化国家的内在要求.为响应党的号召,某市政府欲购进一批风景树绿化荒山,已知购进A种风景树4万棵,B种风景树3万棵,共需要380万元;购进A种风景树8万棵,B种风景树5万棵,共需要700万元.
(1)问A,B两种风景树每棵的进价分别是多少元?
(2)该市政府计划用不超过5460万元购进A,B两种风景树共100万棵,其中要求A风景树的数量不多于58万棵,则共有几种购买方案?
37.(2023•高青县一模)五星电器店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售,其进价与售价如表:
(1)一季度,五星店购进这两种电器共40台,用去了9000元,并且全部售完,问五星店在该买卖中购进电饭煲和电压锅各多少台?
(2)为了满足市场需求,二季度五星店决定用不超过11000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台,且电饭煲的数量不少于电压锅的56,问五星店有哪几种进货方案?并说明理由;
(3)在(2)的条件下,请你通过计算判断,哪种进货方案五星店赚钱最多?
38.(2023•曲靖一模)2022年1月7日,《云南省全民健身实施计划(2023﹣2025年)》新闻发布会顺利举行.会议上就“十四五”时期深化体育改革,推进新时代全民健身高质量发展作了全面部署和安排.其中,“强化供给,补齐全民健身设施建设短板”是《云南省全民健身实施计划(2023﹣2025年)》的主要任务之一.春城小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用,了解到购买1台B型健身器材比1台A型健身器材贵200元,购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元.
(1)A型健身器材和B型健身器材的单价是多少钱?
(2)春城小区计划购买B型健身器材的数量不超过A型健身器材的数量的2倍,购买资金不低于10800元,请问共有哪几种购买方案,哪一种方案最省钱.
39.(2023•平罗县校级模拟)一中双语举行书画大赛,准备购买甲、乙两种文具,奖励在活动中表现优秀的师生,已知购买2个甲种文具,1个乙种文具共需要花费35元,购买1个甲种文具,3个乙种文具共需要花费30元.
(1)求购买一个甲种文具,一个乙种文具各需多少钱?
(2)若学校计划购买这两种文具共120个,投入资金不少于955元,又不多于1000元,问有多少种购买方案?
(2023•咸阳一模)如图按下列程序进行计算.规定:程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算,结果大于244,则输出此结果;若结果不大于244,则将此结果的值赋给m,再进行第二次计算.
(1)当m=100时,求输出的结果是多少?
(2)若m=5,求运算进行多少次才会停止?
(3)若运算进行了5次才停止.求m的取值范围.
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格(元/kg)
4
5
6
40
零售价格(元/kg)
5
6
8
50
甲型客车
乙型客车
载客量(人/辆)
35
30
租金(元/辆)
400
320
A品牌
B品牌
进价(元/箱)
80
130
售价(元/箱)
120
200
型号
A
B
成本(万元/台)
20
25
售价(万元/台)
24
30
进价(元/台)
售价(元/台)
电饭煲
240
290
电压锅
200
260
专题46 方程(组)与一元一次不等式(组)的实际应用(解析版)
模块一 2022中考真题集训
1.(2023•阜新)某公司引入一条新生产线生产A,B两种产品,其中A产品每件成本为100元,销售价格为120元,B产品每件成本为75元,销售价格为100元,A,B两种产品均能在生产当月全部售出.
(1)第一个月该公司生产的A,B两种产品的总成本为8250元,销售总利润为2350元,求这个月生产A,B两种产品各多少件?
(2)下个月该公司计划生产A,B两种产品共180件,且使总利润不低于4300元,则B产品至少要生产多少件?
思路引领:(1)设生产A产品x件,B产品y件,根据题意列出方程组,求出即可;
(2)设B产品生产m件,则A产品生产(180﹣m)件,根据题意列出不等式组,求出即可.
解:(1)设生产A产品x件,B产品y件,
根据题意,得100x+75y=8250,(120−100)x+(100−75)y=2350.
解这个方程组,得x=30,y=70.,
所以,生产A产品30件,B产品70件.
(2)设B产品生产m件,则A产品生产(180﹣m)件,
根据题意,得(100﹣75)m+(120﹣100)(180﹣m)≥4300,
解这个不等式,得m≥140.
所以,B产品至少生产140件.
总结提升:本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用,能根据题意列出方程组和不等式组是解此题的关键.
2.(2023•资阳)北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱,人们争相购买.现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”,已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元,购买甲、乙两种型号各10个共需1760元.
(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元?
(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个,求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”?
思路引领:(1)根据题意,设乙种型号的单价是x元,则甲种型号的单价是(x+20)元,根据“购买甲、乙两种型号各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程,解出方程即可得出答案;
(2)根据题意,设购买甲种型号的“冰墩墩”a个,则购买乙种型号的“冰墩墩”(50﹣a)个,根据“计划用不超过4500元”列出不等式,即可得出答案.
解:(1)设乙种型号的单价是x元,则甲种型号的单价是(x+20)元,
根据题意得:10(x+20)+10x=1760,
解得:x=78,
∴x+20=78+20=98,
答:甲种型号的单价是98元,乙种型号的单价是78元;
(2)设购买甲种型号的“冰墩墩”a个,则购买乙种型号的“冰墩墩”(50﹣a)个,
根据题意得:98a+78(50﹣a)≤4500,
解得:a≤30,
∴a最大值是30,
答:最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个.
总结提升:本题考查了一元一次方程的应用,一元一次不等式的应用,根据题意找出等量关系和数量关系是本题的关键.
3.(2023•朝阳)某中学要为体育社团购买一些篮球和排球,若购买3个篮球和2个排球,共需560元;若购买2个篮球和4个排球,共需640元.
(1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元;
(2)该中学决定购买篮球和排球共10个,总费用不超过1100元,那么最多可以购买多少个篮球?
思路引领:(1)设每个篮球的价格是x元,每个排球的价格是y元,可得:3x+2y=5602x+4y=640,即可解得每个篮球的价格是120元,每个排球的价格是100元;
(2)设购买m个篮球,可得:120m+100(10﹣m)≤1100,即可解得最多可以购买5个篮球.
解:(1)设每个篮球的价格是x元,每个排球的价格是y元,
根据题意得:3x+2y=5602x+4y=640,
解得x=120y=100,
∴每个篮球的价格是120元,每个排球的价格是100元;
(2)设购买m个篮球,
根据题意得:120m+100(10﹣m)≤1100,
解得m≤5,
答:最多可以购买5个篮球.
总结提升:本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用,解题的关键是读懂题意,列出方程组和不等式.
4.(2023•六盘水)钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人,现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售,以下是购买者的出价:
(1)根据对话内容,求钢钢出售的竹篮和陶罐数量;
(2)钢钢接受了钟钟的报价,交易后到花店购买单价为5元/束的鲜花,剩余的钱不超过20元,求有哪几种购买方案.
思路引领:(1)设出售的竹篮x个,陶罐y个,根据“每个竹篮5元,每个陶罐12元共需61元;每个竹篮6元,每个陶罐10元共需60元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购买鲜花a束,根据总价=单价×数量结合剩余的钱不超过20元,即可得出关于a的一元一次不等式组,解之取其中的整数值,即可得出各购买方案.
解:(1)设出售的竹篮x个,陶罐y个,依题意有:
5x+12y=616x+10y=60,
解得:x=5y=3.
故出售的竹篮5个,陶罐3个;
(2)设购买鲜花a束,依题意有:
0<61﹣5a≤20,
解得8.2≤a<12.2,
∵a为整数,
∴共有4种购买方案,方案一:购买鲜花9束;方案二:购买鲜花10束;方案三:购买鲜花11束;方案四:购买鲜花12束.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组.
5.(2023•安顺)阅读材料:被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平,成功研发出杂交水稻,杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍.现有两块试验田,A块种植杂交水稻,B块种植普通水稻,A块试验田比B块试验田少4亩.
(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克,求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克?
(2)为了增加产量,明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻,使总产量不低于17700千克,那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻?
思路引领:(1)设普通水稻的亩产量是x千克,则杂交水稻的亩产量是2x千克,利用种植亩数=总产量÷亩产量,结合A块试验田比B块试验田少4亩,即可得出关于x的分式方程,解之即可得出普通水稻的亩产量,再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量;
(2)设把y亩B块试验田改种杂交水稻,利用总产量=亩产量×种植亩数,结合总产量不低于17700千克,即可得出关于y的一元一次不等式,解之取其中的最小值即可得出结论.
解:(1)设普通水稻的亩产量是x千克,则杂交水稻的亩产量是2x千克,
依题意得:7200x−96002x=4,
解得:x=600,
经检验,x=600是原方程的解,且符合题意,
则2x=2×600=1200.
答:普通水稻的亩产量是600千克,杂交水稻的亩产量是1200千克;
(2)设把y亩B块试验田改种杂交水稻,
依题意得:9600+600(7200600−y)+1200y≥17700,
解得:y≥1.5.
答:至少把1.5亩B块试验田改种杂交水稻.
总结提升:本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
6.(2023•湘西州)为了传承雷锋精神,某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动,准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品.已知篮球的单价为每个100元,足球的单价为每个80元.
(1)原计划募捐5600元,全部用于购买篮球和足球,如果恰好能够购买篮球和足球共60个,那么篮球和足球各买多少个?
(2)在捐款活动中,由于师生的捐款积极性高涨,实际收到捐款共6890元,若购买篮球和足球共80个,且支出不超过6890元,那么篮球最多能买多少个?
思路引领:(1)设原计划篮球买x个,足球买y个,根据:“恰好能够购买篮球和足球共60个、原计划募捐5600元”列方程组即可解答;
(2)设篮球能买a个,则足球(80﹣a)个,根据“实际收到捐款共6890元”列不等式求解即可解答.
解:(1)设原计划篮球买x个,足球买y个,
根据题意得:x+y=60100x+80y=5600,
解得:x=40y=20.
答:原计划篮球买40个,足球买20个.
(2)设篮球能买a个,则足球(80﹣a)个,
根据题意得:100a+80(80﹣a)≤6890,
解得:a≤24.5,
答:篮球最多能买24个.
总结提升:本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用,解决本题的关键是根据题意列出方程组和不等式.
7.(2023•西藏)某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中,给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品.已知每本笔记本比每支钢笔多2元,用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同.
(1)笔记本和钢笔的单价各多少元?
(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品,要使购买纪念品的总费用不超过540元,最多可以购买多少本笔记本?
思路引领:(1)可设每支钢笔x元,则每本笔记本(x+2)元,根据其数量相同,可列得方程,解方程即可;
(2)可设购买y本笔记本,则购买钢笔(50﹣y)支,根据总费用不超过540元,可列一元一次不等式,解不等式即可.
解:(1)设每支钢笔x元,依题意得:
240x+2=200x,
解得:x=10,
经检验:x=10是原方程的解,
故笔记本的单价为:10+2=12(元),
答:笔记本每本12元,钢笔每支10元;
(2)设购买y本笔记本,则购买钢笔(50﹣y)支,依题意得:
12y+10(50﹣y)≤540,
解得:y≤20,
故最多购买笔记本20本.
总结提升:本题主要考查一元一次不等式的应用,分式方程的应用,解答的关键是理解清楚题意,找到等量关系.
8.(2023•牡丹江)某工厂准备生产A和B两种防疫用品,已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元.经计算,用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等,请解答下列问题:
(1)求A,B两种防疫用品每箱的成本;
(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱,且B种防疫用品不超过25箱,该工厂有几种生产方案?
(3)为扩大生产,厂家欲拿出与(2)中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备(两种都买).若甲种设备每台2500元,乙种设备每台3500元,则有几种购买方案?最多可购买甲,乙两种设备共多少台?(请直接写出答案即可)
思路引领:(1)设B种防疫用品的成本为x元/箱,则A种防疫用品的成本为(x+500)元/箱,利用数量=总价÷单价,结合用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出B种防疫用品的成本,再将其代入(x+500)中即可求出A种防疫用品的成本;
(2)设生产m箱B种防疫用品,则生产(50﹣m)箱A种防疫用品,根据“该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱,且B种防疫用品不超过25箱”,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,再结合m为整数,即可得出该工厂共有6种生产方案;
(3)设(2)中的生产成本为w元,利用生产成本=A种防疫用品的成本×生产数量+B种防疫用品的成本×生产数量,即可得出关于w关于m的函数关系式,利用一次函数的性质即可求出(2)中最低成本,设购买a台甲种设备,b台乙种设备,利用总价=单价×数量,即可得出关于a,b的二元一次方程,结合a,b均为正整数,即可得出各购买方案,再将其代入a+b中即可得出结论.
解:(1)设B种防疫用品的成本为x元/箱,则A种防疫用品的成本为(x+500)元/箱,
依题意得:6000x+500=4500x,
解得:x=1500,
经检验,x=1500是原方程的解,且符合题意,
∴x+500=1500+500=2000.
答:A种防疫用品的成本为2000元/箱,B种防疫用品的成本为1500元/箱.
(2)设生产m箱B种防疫用品,则生产(50﹣m)箱A种防疫用品,
依题意得:2000(50−m)+1500m≤90000m≤25,
解得:20≤m≤25.
又∵m为整数,
∴m可以为20,21,22,23,24,25,
∴该工厂共有6种生产方案.
(3)设(2)中的生产成本为w元,则w=2000(50﹣m)+1500m=﹣500m+100000,
∵﹣500<0,
∴w随m的增大而减小,
∴当m=25时,w取得最小值,最小值=﹣500×25+100000=87500.
设购买a台甲种设备,b台乙种设备,
依题意得:2500a+3500b=87500,
∴a=35−75b.
又∵a,b均为正整数,
∴a=28b=5或a=21b=10或a=14b=15或a=7b=20,
∴a+b=33或31或29或27.
∵33>31>29>27,
∴共有4种购买方案,最多可购买甲,乙两种设备共33台.
总结提升:本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及二元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组;(3)找准等量关系,正确列出二元一次方程.
9.(2023•郴州)为响应乡村振兴号召,在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人,创办了果蔬生态种植基地.最近,为给基地蔬菜施肥,她准备购买甲、乙两种有机肥.已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元,购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元.
(1)甲、乙两种有机肥每吨各多少元?
(2)若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨,且总费用不能超过5600元,则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨?
思路引领:(1)设甲种有机肥每吨x元,乙种有机肥每吨y元,根据“甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元,购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购买甲种有机肥m吨,则购买乙种有机肥(10﹣m)吨,利用总价=单价×数量,结合总价不超过5600元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论.
解:(1)设甲种有机肥每吨x元,乙种有机肥每吨y元,
依题意得:x−y=1002x+y=1700,
解得:x=600y=500.
答:甲种有机肥每吨600元,乙种有机肥每吨500元.
(2)设购买甲种有机肥m吨,则购买乙种有机肥(10﹣m)吨,
依题意得:600m+500(10﹣m)≤5600,
解得:m≤6.
答:小姣最多能购买甲种有机肥6吨.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
10.(2023•辽宁)多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食,深受消费者的喜爱,在新品上市促销活动中,已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元,6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元.
(1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元?
(2)某商家欲购进A,B两种型号早餐机共20台,但总费用不超过2200元,那么至少要购进A型早餐机多少台?
思路引领:(1)可设A型早餐机每台x元,B型早餐机每台y元,结合所给的条件可列出二元一次方程组,解方程组即可;
(2)可设购进A型早餐机n台,结合(1),根据总费用不超过2200元,可列出不等式,从而可求解.
解:(1)设A型早餐机每台x元,B型早餐机每台y元,依题意得:
8x+3y=10006x+y=600,
解得:x=80y=120,
答:每台A型早餐机80元,每台B型早餐机120元;
(2)设购进A型早餐机n台,依题意得:
80n+120(20﹣n)≤2200,
解得:n≥5,
答:至少要购进A型早餐机5台.
总结提升:本题主要考查一元一次不等式的应用,二元一次方程组的应用,解答的关键是理解清楚题意找到相应的等量关系.
11.(2023•哈尔滨)绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料,若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元;若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元.
(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元;
(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒,总费用不超过3920元,那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料?
思路引领:(1)设每盒A种型号的颜料x元,每盒B种型号的颜料y元,根据“购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元;购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设该中学可以购买m盒A种型号的颜料,则可以购买(200﹣m)盒B种型号的颜料,利用总价=单价×数量,结合总价不超过3920元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论.
解:(1)设每盒A种型号的颜料x元,每盒B种型号的颜料y元,
依题意得:x+2y=562x+y=64,
解得:x=24y=16.
答:每盒A种型号的颜料24元,每盒B种型号的颜料16元.
(2)设该中学可以购买m盒A种型号的颜料,则可以购买(200﹣m)盒B种型号的颜料,
依题意得:24m+16(200﹣m)≤3920,
解得:m≤90.
答:该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
12.(2023•玉林)我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨,第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨;因龙眼大量上市,价格下跌,第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨,两次购买龙眼共用了7万元.
(1)求两次购买龙眼各是多少吨?
(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干,1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨,桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨,若全部的销售额不少于39万元,则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉?
思路引领:(1)设第一次购买龙眼x吨,则第二次购买龙眼(21﹣x)吨,根据题意列出一元一次方程,解方程即可得出答案;
(2)设把y吨龙眼加工成桂圆肉,则把(21﹣y)吨龙眼加工成龙眼干,根据题意列出一元一次不等式,解一元一次不等式即可得出答案.
解:(1)设第一次购买龙眼x吨,则第二次购买龙眼(21﹣x)吨,
由题意得:0.4x+0.3(21﹣x)=7,
解得:x=7,
∴21﹣x=21﹣7=14(吨),
答:第一次购买龙眼7吨,则第二次购买龙眼14吨;
(2)设把y吨龙眼加工成桂圆肉,则把(21﹣y)吨龙眼加工成龙眼干,
由题意得:10×0.2y+3×0.5(21﹣y)≥39,
解得:y≥15,
∴至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉,
答:至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉.
总结提升:本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用,根据题意找出题目中的相等关系和不等关系是解决问题的关键.
13.(2023•湖北)某班去革命老区研学旅行,研学基地有甲乙两种快餐可供选择,买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元,买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元.
(1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元?
(2)已知该班共买55份甲乙两种快餐,所花快餐费不超过1280元,问至少买乙种快餐多少份?
思路引领:(1)设购买一份甲种快餐需要x元,购买一份乙种快餐需要y元,根据“买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元,买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元”,即可列出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购买乙种快餐m份,则购买甲种快餐(55﹣m)份,利用总价=单价×数量,结合总价不超过1280元,即可列出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最小值即可得出结论.
解:(1)设购买一份甲种快餐需要x元,购买一份乙种快餐需要y元,
依题意得:x+2y=702x+3y=120,
解得:x=30y=20.
答:购买一份甲种快餐需要30元,购买一份乙种快餐需要20元.
(2)设购买乙种快餐m份,则购买甲种快餐(55﹣m)份,
依题意得:30(55﹣m)+20m≤1280,
解得:m≥37.
答:至少买乙种快餐37份.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
14.(2023•宿迁)某单位准备购买文化用品,现有甲、乙两家超市进行促销活动,该文化用品两家超市的标价均为10元/件,甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠,超过400元的部分按标价的6折售卖;乙超市全部按标价的8折售卖.
(1)若该单位需要购买30件这种文化用品,则在甲超市的购物金额为 300 元;乙超市的购物金额为 240 元;
(2)假如你是该单位的采购员,你认为选择哪家超市支付的费用较少?
思路引领:(1)利用总价=单价×数量,可求出购买30件这种文化用品所需原价,再结合两超市给出的优惠方案,即可求出在两家超市的购物金额;
(2)设购买x件这种文化用品,当0<x≤40时,在甲超市的购物金额为10x元,在乙超市的购物金额为8x元,显然在乙超市支付的费用较少;当x>40时,在甲超市的购物金额为(6x+160)元,在乙超市的购物金额为8x元,分6x+160>8x,6x+160=8x及6x+160<8x三种情况,可求出x的取值范围或x的值,综上,即可得出结论.
解:(1)∵10×30=300(元),300<400,
∴在甲超市的购物金额为300元,在乙超市的购物金额为300×0.8=240(元).
故答案为:300;240.
(2)设购买x件这种文化用品.
当0<x≤40时,在甲超市的购物金额为10x元,在乙超市的购物金额为0.8×10x=8x(元),
∵10x>8x,
∴选择乙超市支付的费用较少;
当x>40时,在甲超市的购物金额为400+0.6(10x﹣400)=(6x+160)(元),在乙超市的购物金额为0.8×10x=8x(元),
若6x+160>8x,则x<80;
若6x+160=8x,则x=80;
若6x+160<8x,则x>80.
综上,当购买数量不足80件时,选择乙超市支付的费用较少;当购买数量为80件时,选择两超市支付的费用相同;当购买数量超过80件时,选择甲超市支付的费用较少.
总结提升:本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用,根据两超市给出的优惠方案,用含x的代数式表示出在两家超市的购物金额是解题的关键.
15.(2023•邵阳)2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行.某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售.已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个,“冰墩墩”挂件的进价为50元/个.
(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元,请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量.
(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个,“冰墩墩”挂件售价定为60元/个,若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完,且至少盈利2900元,求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个?
思路引领:(1)设购进“冰墩墩”摆件x个,“冰墩墩”挂件y个,利用进货总价=进货单价×进货数量,结合购进“冰墩墩”摆件和挂件共100个且共花费了11400元,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购进“冰墩墩”挂件m个,则购进“冰墩墩”摆件(180﹣m)个,利用总利润=每个的销售利润×销售数量(购进数量),即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论.
解:(1)设购进“冰墩墩”摆件x个,“冰墩墩”挂件y个,
依题意得:x+y=18080x+50y=11400,
解得:x=80y=100.
答:购进“冰墩墩”摆件80个,“冰墩墩”挂件100个.
(2)设购进“冰墩墩”挂件m个,则购进“冰墩墩”摆件(180﹣m)个,
依题意得:(60﹣50)m+(100﹣80)(180﹣m)≥2900,
解得:m≤70.
答:购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
16.(2023•绵阳)某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售,部分水果批发价格与零售价格如下表:
请解答下列问题:
(1)第一天,该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg,当日全部售出,求这两种水果获得的总利润?
(2)第二天,该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果,当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失,只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg,这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润,请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些?
思路引领:(1)设第一天,该经营户批发了菠萝xkg,苹果ykg,根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出x,y的值,再利用总利润=每千克的销售利润×销售数量(购进数量),即可求出结论;
(2)设购进mkg菠萝,则购进1700−5m6kg苹果,根据“菠萝的进货量不低于88kg,且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,再结合m,1700−5m6均为正整数,即可得出各进货方案.
解:(1)设第一天,该经营户批发了菠萝xkg,苹果ykg,
依题意得:x+y=3005x+6y=1700,
解得:x=100y=200,
∴(6﹣5)x+(8﹣6)y=(6﹣5)×100+(8﹣6)×200=500(元).
答:这两种水果获得的总利润为500元.
(2)设购进mkg菠萝,则购进1700−5m6kg苹果,
依题意得:m≥88(6−5)m+(8−6)×1700−5m6>500,
解得:88≤m<100.
又∵m,1700−5m6均为正整数,
∴m可以为88,94,
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案,
方案1:购进88kg菠萝,210kg苹果;
方案2:购进94kg菠萝,205kg苹果.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组.
17.(2023•内江)为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针,内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动.在此次活动中,若每位老师带队30名学生,则还剩7名学生没老师带;若每位老师带队31名学生,就有一位老师少带1名学生.现有甲、乙两型客车,它们的载客量和租金如表所示:
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元.
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人?
(2)每位老师负责一辆车的组织工作,请问有哪几种租车方案?
(3)学校租车总费用最少是多少元?
思路引领:(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人,可得:30x+7=31x﹣1,即可解得参加此次劳动实践活动的老师有8人,参加此次劳动实践活动的学生有247人;
(2)根据每位老师负责一辆车的组织工作,知一共租8辆车,设租甲型客车m辆,可得:35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000,解得m的范围,解得一共有3种租车方案:租甲型客车3辆,租乙型客车5辆或租甲型客车4辆,租乙型客车4辆或租甲型客车5辆,租乙型客车3辆;
(3)设学校租车总费用是w元,w=400m+320(8﹣m)=80m+2560,由一次函数性质得学校租车总费用最少是2800元.
解:(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人,参加此次劳动实践活动的学生有(30x+7)人,
根据题意得:30x+7=31x﹣1,
解得x=8,
∴30x+7=30×8+7=247,
答:参加此次劳动实践活动的老师有8人,参加此次劳动实践活动的学生有247人;
(2)师生总数为247+8=255(人),
∵每位老师负责一辆车的组织工作,
∴一共租8辆车,
设租甲型客车m辆,则租乙型客车(8﹣m)辆,
根据题意得:35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000,
解得3≤m≤5.5,
∵m为整数,
∴m可取3、4、5,
∴一共有3种租车方案:租甲型客车3辆,租乙型客车5辆或租甲型客车4辆,租乙型客车4辆或租甲型客车5辆,租乙型客车3辆;
(3)∵7×35=245<255,8×35=280>255,
∴租车总费用最少时,至少租8辆车,
设租甲型客车m辆,则租乙型客车(8﹣m)辆,
由(2)知:3≤m≤5.5,
设学校租车总费用是w元,
w=400m+320(8﹣m)=80m+2560,
∵80>0,
∴w随m的增大而增大,
∴m=3时,w取最小值,最小值为80×3+2560=2800(元),
答:学校租车总费用最少是2800元.
总结提升:本题考查一元一次方程,一元一次不等式组及一次函数的应用,解题的关键是读懂题意,列出方程,不等式和函数关系式.
18.(2023•泸州)某经销商计划购进A,B两种农产品.已知购进A种农产品2件,B种农产品3件,共需690元;购进A种农产品1件,B种农产品4件,共需720元.
(1)A,B两种农产品每件的价格分别是多少元?
(2)该经销商计划用不超过5400元购进A,B两种农产品共40件,且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍.如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元,B种每件200元的价格全部售出,那么购进A,B两种农产品各多少件时获利最多?
思路引领:(1)设每件A种农产品的价格是x元,每件B种农产品的价格是y元,根据“购进A种农产品2件,B种农产品3件,共需690元;购进A种农产品1件,B种农产品4件,共需720元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设该经销商购进m件A种农产品,则购进(40﹣m)件B种农产品,利用总价=单价×数量,结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5400元,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元,利用总利润=每件的销售利润×销售数量,即可得出w关于m的函数关系式,再利用一次函数的性质,即可解决最值问题.
解:(1)设每件A种农产品的价格是x元,每件B种农产品的价格是y元,
依题意得:2x+3y=690x+4y=720,
解得:x=120y=150.
答:每件A种农产品的价格是120元,每件B种农产品的价格是150元.
(2)设该经销商购进m件A种农产品,则购进(40﹣m)件B种农产品,
依题意得:m≤3(40−m)120m+150(40−m)≤5400,
解得:20≤m≤30.
设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元,则w=(160﹣120)m+(200﹣150)(40﹣m)=﹣10m+2000.
∵﹣10<0,
∴w随m的增大而减小,
∴当m=20时,w取得最大值,此时40﹣m=40﹣20=20.
答:当购进20件A种农产品,20件B种农产品时获利最多.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,找出w关于m的函数关系式.
19.(2023•遂宁)某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求,决定增设篮球、足球两门选修课程,需要购进一批篮球和足球.已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元;购买3个篮球和5个足球共需费用810元.
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元;
(2)学校计划采购篮球、足球共50个,并要求篮球不少于30个,且总费用不超过5500元.那么有哪几种购买方案?
思路引领:(1)根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元;购买3个篮球和5个足球共需费用810元,可以列出相应的二元一次方程组,然后求解即可;
(2)根据要求篮球不少于30个,且总费用不超过5500元,可以列出相应的不等式组,从而可以求得篮球数量的取值范围,然后即可写出相应的购买方案.
解:(1)设篮球的单价为a元,足球的单价为b元,
由题意可得:2a+3b=5103a+5b=810,
解得a=120b=90,
答:篮球的单价为120元,足球的单价为90元;
(2)设采购篮球x个,则采购足球为(50﹣x)个,
∵要求篮球不少于30个,且总费用不超过5500元,
∴x≥30120x+90(50−x)≤5500,
解得30≤x≤3313,
∵x为整数,
∴x的值可为30,31,32,33,
∴共有四种购买方案,
方案一:采购篮球30个,采购足球20个;
方案二:采购篮球31个,采购足球19个;
方案三:采购篮球32个,采购足球18个;
方案四:采购篮球33个,采购足球17个.
总结提升:本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程组和不等式组.
模块二 2023中考押题预测
20.(2023•花都区一模)“桃之夭夭,灼灼其华”,每年2﹣3月份,我区某湿地公园内的桃花陆续绽放,引来众多市民前往踏青观赏,纷纷拍照留念,记录生活美好时光.小王抓住这一商机,计划从市场购进A、B两种型号的手机自拍杆进行销售.据调查,购进1件A型号和1件B型号自拍杆共需45元,其中1件B型号自拍杆价格是1件A型号自拍杆价格的2倍.
(1)求1件A型号和1件B型号自拍杆的进价各是多少元?
(2)若小王计划购进A、B两种型号自拍杆共100件,并将这两款手机自拍杆分别以20元50元的价钱进行售卖.为了保证全部售卖完后的总利润不低于1100元,求最多购进A型号自拍杆多少件?
思路引领:(1)设A型号自拍杆的进价是x元,B型号自拍杆的进价是2x元,根据购进1件A型号和1件B型号自拍杆共需45元,其中1件B型号自拍杆价格是1件A型号自拍杆价格的2倍列方程即可得到结论;(2)设购进A型号自拍杆m件,则购进B型号自拍杆(100﹣m)件,根据全部售卖完后的总利润不低于1100元列方程,即可得到结论.
解:(1)设A型号自拍杆的进价是x元,B型号自拍杆的进价是2x元,
根据题意得,x+2x=45,
解得x=15,
答:A型号自拍杆的进价是15元,B型号自拍杆的进价是30元;
(2)设购进A型号自拍杆m件,则购进B型号自拍杆(100﹣m)件,
根据题意得,(20﹣15)m+(50﹣30)(100﹣m)≥1100,
解得m≤60,
答:最多购进A型号自拍杆60件.
总结提升:本题考查了一元一次不等式的应用,一元一次方程的应用,正确地理解题意列出方程和不等式是解题的关键.
21.(2023•中原区校级一模)瓦岗红薯是河南省驻马店市确山县瓦岗镇的特产.瓦岗红薯因个头大、外型好、营养丰富、皮薄心红、肉丝细腻、味道香甜、易存放等特点备受人们的青昧.郑州市某超市打算试销A、B两个品种的瓦岗红薯,拟定A品种每箱售价比B品种每箱售价贵25元,且已知销售3箱B品种和2箱A品种的总价为550元.
(1)问A品种与B品种每箱的售价各是多少元?
(2)若B品种每箱的进价为80元,A品种每箱的进价为100元现水果店打算购进B品种与A品种共21箱,要求所花资金不高于1960元,则该超市应如何设计购进方案才能获得最大利润,最大利润是多少?
思路引领:(1)设B品种与A品种每箱的售价分别是x元、y元,根据题意列出方程组即可解决问题.
(2)设B品种购进a箱,则A品种购进(21﹣a)箱,利润为w元,根据题意列不等式组即可得到结论.
解:(1)设B品种与A品种每箱的售价分别是x元、y元.
根据题意,得y=x+25,3x+2y=550,
解得x=100,y=125,
答:B品种与A品种每箱的售价分别是100元,125元.
(2)设B品种购进a箱,则A品种购进(21﹣a)箱.
∵要求所花资金不高于1960元,
∴80a+100(21﹣a)≤1960,
解得a≥7.
设利润为w元.
根据题意,得w=(100﹣80)a+(125﹣100)(21﹣a)=﹣5a+525,
∴w随a的增大而减小,
∴当a=7时,w取得最大值,此时w=﹣5×7+525=490,此时21﹣a=14.
答:购进B品种7箱,A品种14箱时,利润最大,最大利润是490元.
总结提升:本题考查一次函数的应用、二元一次方程组等知识,解题的关键是学会设未知数,列出解方程组解决问题,学会构建一次函数,利用一次函数的性质解决最值问题,属于中考常考题型.
22.(2023•南岗区一模)为推进“书香社区”建设,某社区计划购进一批图书.已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需156元,购买4本科技类图书和5本文学类图书需284元.
(1)每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为多少元?
(2)社区计划购进科技类图书和文学类图书共60本,且总费用不超过2000元,那么最多购进科技类图书多少本?
思路引领:(1)设每本科技类图书的价格为x元,每本文学类图书的价格为y元,根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书需156元,购买4本科技类图书和5本文学类图书需284元”,可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购进科技类图书m本,则购进文学类图书(60﹣m)本,利用总价=单价×数量,结合总价不超过2000元,可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值,即可得出结论.
解:(1)设每本科技类图书的价格为x元,每本文学类图书的价格为y元,
根据题意得:2x+3y=1564x+5y=284,
解得:x=36y=28.
答:每本科技类图书的价格为36元,每本文学类图书的价格为28元;
(2)设购进科技类图书m本,则购进文学类图书(60﹣m)本,
根据题意得:36m+28(60﹣m)≤2000,
解得:m≤40,
∴m的最大值为40.
答:最多购进科技类图书40本.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
23.(2023•香坊区一模)文教店用1200元购进了甲、乙两种纪念册,已知甲种纪念册进价为每本12元,乙种纪念册进价为每本10元,文教店在销售时甲种纪念册售价为每本15元,乙种纪念册售价为每本12元,全部售完后共获利270元.
(1)求文教店购进甲、乙两种纪念册各多少本?
(2)若文教店以原进价再次购进甲、乙两种纪念册,且购进甲种纪念册的数量不变,而购进乙种纪念册的数量是第一次的2倍,乙种纪念册按原售价销售,而甲种纪念册降价销售,当两种纪念册销售完毕时,要使再次购进的纪念册获利不少于340元,求甲种纪念册每本最低售价应为多少元?
思路引领:(1)设文教店购进x本甲种纪念册,y本乙种纪念册,利用进货总价=进货单价×进货数量及总利润=每本的销售利润×销售数量(进货数量),可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设甲种纪念册每本售价为m元,利用总利润=每本的销售利润×销售数量(进货数量),可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最小值,即可得出结论.
解:(1)设文教店购进x本甲种纪念册,y本乙种纪念册,
根据题意得:12x+10y=1200(15−12)x+(12−10)y=270,
解得:x=50y=60.
答:文教店购进50本甲种纪念册,60本乙种纪念册;
(2)设甲种纪念册每本售价为m元,
根据题意得:50(m﹣12)+(12﹣10)×60×2≥340,
解得:m≥14,
∴m的最小值为14.
答:甲种纪念册每本最低售价应为14元.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
24.(2023•莱芜区一模)“五一”劳动节马上来了,为了抓住“五一”小长假旅游商机,某旅游景点决定购进A,B两种纪念品,购进A种纪念品10件,B种纪念品4件,共需1200元;购进A种纪念品5件,B种纪念品8件,共需900元.
(1)求购进A,B两种纪念品每件各需多少元?
(2)若购买两种纪念品共200件,并且购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍.A种纪念品每件获利30元,B种纪念品每件获利是进价的八折,请设计一个方案:怎样购进A,B两种纪念品获利润最大?最大利润是多少?
思路引领:(1)设购进A种纪念品每件需x元,B种纪念品每件需y元,根据“购进A种纪念品10件,B种纪念品4件,共需1200元;购进A种纪念品5件,B种纪念品8件,共需900元”,可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购进A种纪念品m件,则购进B种纪念品(200﹣m)件,根据购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍,可得出关于m的一元一次不等式,解之可得出m的取值范围,设购进的200件纪念品全部售出后获得的总利润为w元,利用总利润=每件的销售利润×销售数量(购进数量),可得出w关于m的函数关系式,再利用一次函数的性质,即可解决最值问题.
解:(1)设购进A种纪念品每件需x元,B种纪念品每件需y元,
根据题意得:10x+4y=12005x+8y=900,
解得:x=100y=50.
答:购进A种纪念品每件需100元,B种纪念品每件需50元;
(2)设购进A种纪念品m件,则购进B种纪念品(200﹣m)件,
根据题意得:200﹣m≤3m,
解得:m≥50.
设购进的200件纪念品全部售出后获得的总利润为w元,则w=30m+50×0.8(200﹣m),
即w=﹣10m+8000,
∵﹣10<0,
∴w随m的增大而减小,
又∵m≥50,且m为正整数,
∴当m=50时,w取得最大值,最大值=﹣10×50+8000=7500,此时200﹣m=200﹣50=150.
∴当购进A种纪念品50件,B种纪念品150件时,获得的总利润最大,最大总利润为7500元.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,找出w关于m的函数关系式.
25.(2023•城阳区一模)某商店购进甲、乙两种手写笔进行销售,若售出2支甲种手写笔和1支乙种手写笔共收入354元,若售出3支甲种手写笔和2支乙种手写笔共收入600元.
(1)求甲、乙两种手写笔每支的售价是多少元?
(2)每支甲种手写笔的成本83元,每支乙种手写笔的成本103元.商店购进甲、乙两种手写笔共20支,其中乙种手写笔的数量不超过甲种手写笔数量的3倍,那么当购进甲、乙两种手写笔分别是多少支时,该商店销售完后获得利润最大?最大获利多少元?
思路引领:(1)根据售出2支甲种手写笔和1支乙种手写笔共收入354元,售出3支甲种手写笔和2支乙种手写笔共收入600元,可以列出相应的二元一次方程组,然后求解即可;
(2)根据题意和(1)中的结果,可以写出利润与购买甲种笔记本数量的函数关系式,再根据乙种手写笔的数量不超过甲种手写笔数量的3倍,可以求得甲种笔记本数量的取值范围,最后根据一次函数的性质,可以求得最大值.
解:(1)设甲种手写笔每支的售价为a元,乙种手写笔每支的售价为b元,
由题意可得:2a+b=3543a+2b=600,
解得a=108b=138,
答:甲种手写笔每支的售价为108元,乙种手写笔每支的售价为138元;
(2)设购进甲种手写笔x支,则购进乙种手写笔(20﹣x)支,利润为w元,
由题意可得:w=(108﹣83)x+(138﹣103)(20﹣x)=﹣10x+700,
∴w随x的增大而减小,
∵乙种手写笔的数量不超过甲种手写笔数量的3倍,
∴20﹣x≤3x,
解得x≥5,
∴当x=5时,w取得最大值,此时w=650,20﹣x=15,
答:购进甲种手写笔5支,则购进乙种手写笔15支时,该商店销售完后获得利润最大,最大获利是650元.
总结提升:本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质求最值.
26.(2023•长沙模拟)某超市用1500元购进了甲、乙两种文具,已知甲种文具进价为每个15元,乙种文具进价为每个18元,超市在销售时甲种文具售价为每个20元,乙种文具售价为每个26元,全部售完后共获利600元.
(1)求这个超市购进甲、乙两种文具各多少个;
(2)若该超市以原价再次购进甲、乙两种文具,且购进甲种文具的数量不变,而购进乙种文具的数量是第一次的2倍,乙种文具按原售价销售,而甲种文具降价销售,当两种文具销售完毕时,要使再次购进的文具获利不少于920元,则甲种文具的最低售价每个应为多少元?
思路引领:(1)设这个超市购进甲种文具x个,乙种文具y个,利用进货总价=进货单价×进货数量及总利润=每个的销售利润×销售数量(进货数量),可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出这个超市购进甲、乙两种文具的数量;
(2)设甲种文具的售价为每个m元,利用总利润=每个的销售利润×销售数量(进货数量),结合总利润不少于920元,可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最小值,即可得出结论.
解:(1)设这个超市购进甲种文具x个,乙种文具y个,
根据题意得:15x+18y=1500(20−15)x+(26−18)y=600,
解得:x=40y=50.
答:这个超市购进甲种文具40个,乙种文具50个;
(2)设甲种文具的售价为每个m元,
根据题意得:40(m﹣15)+(26﹣18)×50×2≥920,
解得:m≥18,
∴m的最小值为18.
答:甲种文具的最低售价每个应为18元.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
27.(2023•新抚区三模)晨光文具店用进货款2000元购进A品牌的文具盒40个,B品牌的文具盒60个,其中A品牌文具盒的进货单价比B品牌文具盒的进货单价多5元.
(1)求A,B两种文具盒的进货单价;
(2)已知A品牌文具盒的售价为28元/个,若使这批文具盒全部售完后利润不低于500元,B品牌文具盒的销售单价最少是多少?
思路引领:(1)设A品牌文具盒的进货单价是x元,B品牌文具盒的进货单价是y元,根据“晨光文具店用进货款2000元购进A品牌的文具盒40个,B品牌的文具盒60个,其中A品牌文具盒的进货单价比B品牌文具盒的进货单价多5元”,可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出A,B两种文具盒的进货单价;
(2)设B品牌文具盒的销售单价是m元,利用总利润=每个的销售利润×销售数量(进货数量),结合这批文具盒全部售完后总利润不低于500元,可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最小值,即可得出结论.
解:(1)设A品牌文具盒的进货单价是x元,B品牌文具盒的进货单价是y元,
根据题意得:40x+60y=2000x−y=5,
解得:x=23y=18.
答:A品牌文具盒的进货单价是23元,B品牌文具盒的进货单价是18元;
(2)设B品牌文具盒的销售单价是m元,
根据题意得:(28﹣23)×40+60(m﹣18)≥500,
解得:m≥23,
∴m的最小值为23.
答:B品牌文具盒的销售单价最少是23元.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
28.(2023•黄浦区二模)小丽与妈妈去商场购物,商场正在进行打折促销,规则如下:
优惠活动一:任选两件商品,第二件半价(两件商品价格不同时,低价商品享受折扣);
优惠活动二:所有商品打八折.
(两种优惠活动不能同享)
(1)如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子,那么她选择哪个优惠活动会更划算?请通过计算说明;
(2)如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子,当裤子价格(裤子价格低于衣服价格)低于多少元时,小丽会推荐妈妈选择优惠活动二?为什么?
思路引领:(1)根据购买衣服及鞋子的原价,结合商场给出的两种促销活动,可分别求出选择两种促销活动需支付的费用,比较后可得出结论;
(2)当裤子价格(裤子价格低于衣服价格)低于400元时,小丽会推荐妈妈选择优惠活动二,设裤子的价格为x元,则选择优惠活动一需支付(600+0.5x)元,选择优惠活动二需支付0.8(600+x)元,根据选择优惠活动二更省钱,可得出关于x的一元一次不等式,解之即可得出结论.
解:(1)选择优惠活动一需支付费用为600+500×0.5=850(元);
选择优惠活动二需支付费用为(600+500)×0.8=880(元).
∵850<880,
∴她选择优惠活动一会更划算;
(2)当裤子价格(裤子价格低于衣服价格)低于400元时,小丽会推荐妈妈选择优惠活动二,理由如下:
设裤子的价格为x元,则选择优惠活动一需支付(600+0.5x)元,选择优惠活动二需支付0.8(600+x)元,
根据题意得:600+0.5x>0.8(600+x),
解得:x<400,
∴当裤子价格(裤子价格低于衣服价格)低于400元时,小丽会推荐妈妈选择优惠活动二.
总结提升:本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算,根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式是解题的关键.
29.(2023•驿城区校级二模)某超市计划经销A,B两种新型品牌的农产品共100箱,这两种农产品的进价,售价如下表所示.
(1)若该超市购进这两种新型品牌的农产品共用去10000元,问这两种新型品牌农产品各购进多少箱?
(2)在每个品牌农产品销售利润不变的情况下,若该超市销售这批农产品的总利润不少于5600元,则至少需购进B品牌农产品多少箱?
思路引领:(1)首先设该商场购进A种新型品牌的农产品x箱,购进B种新型品牌的农产品(100﹣x)箱,然后根据题意,即可得方程,解方程即可求得答案;
(2)设至少需购进B种新型品牌的农产品y箱,然后由该商场销售这批新型品牌的农产品的总利润不少于5600元,即可得一元一次不等式(120﹣80)(100﹣y)+(200﹣130)y≥5600,解此不等式即可求得答案;
解:(1)设该商场购进A种新型品牌的农产品x箱,购进B种新型品牌的农产品(100﹣x)箱,
由题意得:80x+130(100﹣x)=10000,
解得:x=60,
∴该商场购进A种新型品牌的农产品60箱,购进B种新型品牌的农产品40箱;
(2)设购进B种新型品牌的农产品y箱,
由题意得:(120﹣80)(100﹣y)+(200﹣130)y≥5600,
解得:y≥5313,
∴至少需购进B种新型品牌的农产品53箱.
总结提升:此题考查了一元一次不等式(组),一元一次方程的实际应用问题.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是理解题意列方程,不等式.
30.(2023•连云港一模)某餐饮公司推出甲、乙两种外卖菜品,已知售出2份甲菜品和1份乙菜品可获利40元,售出3份甲菜品和2份乙菜品可获利65元.
(1)求每份甲、乙菜品的利润各是多少元?
(2)根据营销情况,该餐饮公司每日都可以销售完甲、乙两种外卖菜品600份,且甲菜品的数量不多于乙菜品的一半,应该如何设计两种菜品的数量才能使获得的利润最高?最高利润是多少?
思路引领:(1)设每份菜品甲的利润为x元,每份菜品乙的利润为y元,根据售出2份甲菜品和1份乙菜品可获利40元,售出3份甲菜品和2份乙菜品可获利65元,列二元一次方程组,求解即可;
(2)设购进甲菜品m份,总利润为w元,根据甲菜品的数量不多于乙菜品的一半,求出m的取值范围,再表示出w与m的函数关系式,根据一次函数的增减性即可确定最大利润时进货方案,进一步求出最大利润即可.
解:(1)设每份菜品A的利润为x元,每份菜品B的利润为y元,
根据题意得2x+y=403x+2y=65,
解得x=15y=10,
答:每份菜品甲的利润为15元,每份菜品乙的利润为10元;
(2)设购进甲菜品m份,总利润为w元,
根据题意得m≤12(600﹣m),
解得m≤200,
w=15m+10(600﹣m)=5m+6000,
∵5>0,
∴w随着m的增大而增大,
当m=200时,w取得最大值,最大值为7000元,
600﹣200=400(份),
答:购进甲菜品400份,乙菜品200份,所获利润最大,最大利润为1700元.
总结提升:本题考查了一次函数的应用,二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用,理解题意是解题的关键.
31.(2023•浠水县一模)某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品,若购进甲商品10件和乙商品8件,共需要资金880元;若购进甲商品2件和乙商品5件,共需要资金380元.
(1)求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元?
(2)该超市计划购进这两种商品共50件,而可用于购买这两种商品的资金不超过2520元.根据市场行情,销售一件甲商品可获利10元,销售一件乙商品可获利15元.该超市希望销售完这两种商品所获利润不少于620元.则该超市有哪几种进货方案?
思路引领:(1)设甲商品每件的进价是x元,乙商品每件的进价是y元,根据题意建立二元一次方程组,解方程组即可求解;
(2)设购进甲商品a件,则购进乙商品(50﹣a)件,根据题意,建立一元一次不等式组,解不等式组,求得整数解即可求解.
解:(1)设甲商品每件的进价是x元,乙商品每件的进价是y元,根据题意得,
10x+8y=8802x+5y=380,
解得:x=40y=60,
答:甲商品每件的进价是40元,乙商品每件的进价是60元;
(2)解:设购进甲商品a件,则购进乙商品(50﹣a)件,根据题意得,
40a+60(50−a)≤252010a+15(50−a)≥620,
解得:24≤a≤26,
∵a为正整数,故a=24,25,26,
∴有三种进货方案,
方案一:购进甲商品24件,乙商品26件;
方案二:购进甲商品25件,乙商品25件;
方案三:购进甲商品26件,乙商品24件;
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用,一元一次不等式组的应用,根据题意列出方程组或不等式组是解题的关键.
32.(2023•苏州一模)某文具店计划购进A、B两种笔记本,已知A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元现分别购进A种笔记本150本,B种笔记本300本,共计6300元.
(1)求A、B两种笔记本的进价;
(2)文具店第二次又购进A、B两种笔记本共100本,且投入的资金不超过1380元.在销售过程中,A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本.两种笔记本按标价各卖出m本以后,该店进行促销活动,剩余的A种笔记本按标价的七折销售,剩余的B种笔记本按标价的八折销售.若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元,请求出m的最小值.
思路引领:(1)设A种笔记本的进价是x元,B种笔记本的进价是y元,由题意:A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元;现分别购进A种笔记本150本,B种笔记本300本,共计6300元.列出二元一次方程组,解方程组即可;
(2)设文具店第二次购进A种笔记本a本,则B种笔记本(100﹣a)本,根据投入的资金不超过1380元可求a的范围;再根据两种笔记本按标价各卖出m本以后,该店进行促销活动,剩余的A种笔记本按标价的七折销售,剩余的B种笔记本按标价的八折销售.若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元,列出不等式可求出m的最小值.
解:(1)设A种笔记本的进价是x元,B种笔记本的进价是y元,
由题意得:x+3=y150x+300y=6300,
解得:x=12y=15.
答:A种笔记本的进价是12元,B种笔记本的进价是15元;
(2)设文具店第二次购进A种笔记本a本,则B种笔记本(100﹣a)本,由题意得:
12a+15(100﹣a)≤1380,
解得a≥40,
依题意有:20m+25m+(a﹣m)×20×0.7+(100﹣a﹣m)×25×0.8﹣12a﹣15(100﹣a)≥600,
解得:m≥3a+10011,
∵m为整数,
∴m的最小值为20.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
33.(2023•福田区模拟)某企业计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物,已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨,且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同.
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨?
(2)每台A型机器人售价1.2万元,每台B型机器人售价2万元,该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台,必须满足每天搬运的货物不低于2830吨,购买金额不超过48万元.请你求出最节省的采购方案,购买总金额最低是多少万元?
思路引领:(1)设每台A型机器人每天搬运货物x吨,则每台B型机器人每天搬运货物(x+10)吨,根据“A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同”列方程即可得解;
(2)先根据题意列出一元一次不等式组,解不等式组求出m的取值范围,再根据题意列出一次函数解析式,利用次函数的性质,即可求出答案.
解:(1)设每台A型机器人每天搬运货物x吨,则每台B型机器人每天搬运货物(x+10)吨,
由题意得:540x=600x+10,
解得:x=90,
当x=90时,x(x+10)≠0,
∴x=90是分式方程的根,
∴x+10=90+10=100,
答:每台A型机器人每天搬运货物90吨,每台B型机器人每天搬运货物100吨;
(2)设购买A型机器人m台,购买总金额为w万元,
由题意得:90m+100(30−m)≥28301.2m+2(30−m)≤48,
解得:15≤m≤17,
w=1.2m+2(30﹣m)=﹣0.8m+60;
∵﹣0.8<0,
∴w随m的增大而减小,
∴当m=17时,w最小,此时w=﹣0.8×17+60=46.4,
∴购买A型机器人17台,B型机器人13台时,购买总金额最低是46.4万元.
总结提升:本题考查了分式方程的应用,一元一次不等式组的应用,根据题意找出题目中的相等关系,不等关系列出分式方程,一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键.
34.(2023•覃塘区一模)某高科技公司根据市场需求,计划生产A、B两种型号的医疗器械,其部分信息如下:
信息一:A、B两种型号的医疗器械共生产80台;
信息二:生产这两种医疗器械的资金超过1800万元,但不足1810万元;
信息三:A、B两种医疗器械的生产成本和售价如下表:
根据上述信息,解答下列问题:
(1)这两种型号的医疗器械各生产多少台?
(2)在实际销售时,每台A型医疗器械的售价提高了m%,每台B型医疗器械的售价不变,全部销售这两种医疗器械共获得利润595万元,求m的值.(利润=售价﹣成本)
思路引领:(1)设生产A种型号的医疗器械x台,则生产B种型号的医疗器械(80﹣x)台.构建不等式组解决问题即可;
(2)根据共获得利润595万元,构建方程求解.
解:设生产A种型号的医疗器械x台,则生产B种型号的医疗器械(80﹣x)台.
由题意得,20x+25(80−x)>180020x+25(80−x)<1810,
解得,38<x<40,
∵x为整数,
∴x=39,则80﹣39=41.
答:生产A种型号的医疗器械39台,则生产B种型号的医疗器械41台;
(2)由题意得,39[24(1+m%)﹣20]+41(30﹣25)=595,
解得m=25.
总结提升:本题考查一元一次不等式组的应用,一元一次方程的应用,解题的关键是理解题意,学会利用参数根据不等式组或方程解决问题.
35.(2023•游仙区模拟)2022年3月1日,新冠疫情卷土重来,疫情发生后,市政府高度重视,并第一时间启动应急预案,迅速做好疫情防控工作,由于疫情原因,市急需大量物资.某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨,甲物资单价为3万元/吨,乙物资单价为2万元/吨,采购两种物资共花费1380万元.
(1)甲、乙两种物资各采购了多少吨?
(2)现在计划安排A,B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资,A种卡车每辆需付运输费1500元,B种卡车每辆需付运输费1300元.甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车;甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车.按此要求安排A,B两型卡车的数量,请问有几种运输方案?哪种运输方案的运输费最少,并求此时的运输费.
思路引领:(1)设甲物资采购了x吨,乙物资采购了y吨,根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨,且采购两种物资共花费1380万元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设安排A型卡车m辆,则安排B型卡车(50﹣m)辆,根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物资及240吨乙物资,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,再结合m为正整数即可得出各运输方案;再求出三种方案的运费比较即可.
解:(1)设甲物资采购了x吨,乙物资采购了y吨,
依题意,得:x+y=5403x+2y=1380,
解得:x=300y=240,
答:甲物资采购了300吨,乙物资采购了240吨;
(2)设安排A型卡车m辆,则安排B型卡车(50﹣m)辆,
依题意,得:7m+5(50−m)≥3003m+7(50−m)≥240,
解得:25≤m≤2712,
∵m为正整数,
∴m可以为25,26,27,
∴共有3种运输方案,方案1:安排25辆A型卡车,25辆B型卡车;方案2:安排26辆A型卡车,24辆B型卡车;方案3:安排27辆A型卡车,23辆B型卡车;
方案1的运费:25×1500+25×1300=70000(元);
方案2的运费:26×1500+24×1300=70200(元);
方案3的运费:27×1500+23×1300=70400(元);
∴方案1运费的运费最少,此时运费为70000元.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组.
36.(2023•郸城县一模)党的二十大报告,深刻阐述了推动绿色发展,促进人与自然和谐共生的理念,尊重自然、顺应自然、保护自然,是全面建设社会主义现代化国家的内在要求.为响应党的号召,某市政府欲购进一批风景树绿化荒山,已知购进A种风景树4万棵,B种风景树3万棵,共需要380万元;购进A种风景树8万棵,B种风景树5万棵,共需要700万元.
(1)问A,B两种风景树每棵的进价分别是多少元?
(2)该市政府计划用不超过5460万元购进A,B两种风景树共100万棵,其中要求A风景树的数量不多于58万棵,则共有几种购买方案?
思路引领:(1)设A风景树每棵的进价为x元,B风景树每棵的进价为y元,根据购进A种风景树4万棵,B种风景树3万棵,共需要380万元;购进A种风景树8万棵,B种风景树5万棵,共需要700万元.列出方程组,解方程组即可;
(2)设购进A风景树m万棵,B风景树(100﹣m)万棵,根据A风景树的数量不多于58万棵和购买A,B风景树的总费用不超过5460万元列出不等式组,解不等式组求出m的取值范围即可.
解:(1)设A风景树每棵的进价为x元,B风景树每棵的进价为y元,
根据题意得:4x+3y=3808x+5y=700,
解得x=50y=60,
答:A风景树每棵的进价为50元,B风景树每棵的进价为60元;
(2)设购进A风景树m万棵,B风景树(100﹣m)万棵,
则50m+60(100−m)≤5460m≤58,
解得54≤m≤58,
∵m为整数,
∴m为54,55,56,57,58,
∴共有5种购买方案.
总结提升:本题考查的是一元一次不等式组和二元一次方程组的应用,解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系和不等关系.
37.(2023•高青县一模)五星电器店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售,其进价与售价如表:
(1)一季度,五星店购进这两种电器共40台,用去了9000元,并且全部售完,问五星店在该买卖中购进电饭煲和电压锅各多少台?
(2)为了满足市场需求,二季度五星店决定用不超过11000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台,且电饭煲的数量不少于电压锅的56,问五星店有哪几种进货方案?并说明理由;
(3)在(2)的条件下,请你通过计算判断,哪种进货方案五星店赚钱最多?
思路引领:(1)设购进电饭煲x台,电压锅y台,根据“五星店购进这两种电器共40台,用去了9000元,”列出方程组,即可求解;
(2)设购进电饭煲a台,则电压锅(50﹣a)台,根据“二季度五星店决定用不超过11000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台,且电饭煲的数量不少于电压锅的56,”列出不等式组,即可求解;
(3)根据总利润=单个利润×购进数量,分别求出各进货方案的利润,比较后即可得出结论.
解:(1)设购进电饭煲x台,电压锅y台,根据题意得:x+y=40240x+200y=9000,
解得:x=25y=15,
答:五星店在该买卖中购进电饭煲25台,电压锅15台;
(2)设购进电饭煲a台,则电压锅(50﹣a)台,
根据题意得:240a+200(50−a)≤11000a≥56(50−a),
解得:22811≤a≤25,
又a为正整数,
∴a可取23,24,25,
∴有三种方案:
①购买电饭煲23台,购买电压锅27台;
②购买电饭煲24台,购买电压锅26台;
③购买电饭煲25台,购买电压锅25台;
(3)设五星店赚钱数额为w元,
当a=23时,w=23×(290﹣240)+27×(260﹣200)=2770;
当a=24时,w=24×(290﹣240)+26×(260﹣200)=2760;
当a=25时,w=25×(290﹣240)+25×(260﹣200)=2750;
综上所述,当a=23时,w最大,
即购进电饭煲23台,电压锅各27台时,五星店赚钱最多.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,列出关于x、y的二元一次方程组;(2)根据数量关系,列出关于a的一元一次不等式组;(3)根据总利润=单个利润×购进数量,分别求出各进货方案的利润.
38.(2023•曲靖一模)2022年1月7日,《云南省全民健身实施计划(2023﹣2025年)》新闻发布会顺利举行.会议上就“十四五”时期深化体育改革,推进新时代全民健身高质量发展作了全面部署和安排.其中,“强化供给,补齐全民健身设施建设短板”是《云南省全民健身实施计划(2023﹣2025年)》的主要任务之一.春城小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用,了解到购买1台B型健身器材比1台A型健身器材贵200元,购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元.
(1)A型健身器材和B型健身器材的单价是多少钱?
(2)春城小区计划购买B型健身器材的数量不超过A型健身器材的数量的2倍,购买资金不低于10800元,请问共有哪几种购买方案,哪一种方案最省钱.
思路引领:(1)设A型健身器材的单价是x元,B型健身器材的单价是y元,根据“购买1台B型健身器材比1台A型健身器材贵200元,购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购买m台A型健身器材,则购买(10﹣m)台B型健身器材,根据“购买B型健身器材的数量不超过A型健身器材的数量的2倍,购买资金不低于10800元”,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,再结合m为整数,即可得出各购买方案,求出选择各方案所需购买资金,比较后即可得出结论.
解:(1)设A型健身器材的单价是x元,B型健身器材的单价是y元,
依题意得:y−x=2002x+5y=8000,
解得:x=1000y=1200.
答:A型健身器材的单价是1000元,B型健身器材的单价是1200元.
(2)设购买m台A型健身器材,则购买(10﹣m)台B型健身器材,
依题意得:10−m≤2m1000m+1200(10−m)≥10800,
解得:103≤m≤6.
又∵m为整数,
∴m可以为4,5,6,
∴共有3种购买方案,
方案1:购买4台A型健身器材,6台B型健身器材,所需购买资金为1000×4+1200×6=11200(元);
方案2:购买5台A型健身器材,5台B型健身器材,所需购买资金为1000×5+1200×5=11000(元);
方案3:购买6台A型健身器材,4台B型健身器材,所需购买资金为1000×6+1200×4=10800(元).
∵11200>11000>10800,
∴最省钱的购物方案为:购买6台A型健身器材,4台B型健身器材.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组.
39.(2023•平罗县校级模拟)一中双语举行书画大赛,准备购买甲、乙两种文具,奖励在活动中表现优秀的师生,已知购买2个甲种文具,1个乙种文具共需要花费35元,购买1个甲种文具,3个乙种文具共需要花费30元.
(1)求购买一个甲种文具,一个乙种文具各需多少钱?
(2)若学校计划购买这两种文具共120个,投入资金不少于955元,又不多于1000元,问有多少种购买方案?
思路引领:(1)设购买一个甲种文具a元,一个乙种文具b元,根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元;购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可;
(2)根据题意列不等式组解答即可.
解:(1)设购买一个甲种文具a元,一个乙种文具b元,
由题意得:2a+b=35a+3b=30,
解得a=15b=5,
答:购买一个甲种文具15元,一个乙种文具5元;
(2)根据题意得:
955≤15x+5(120﹣x)≤1000,
解得35.5≤x≤40,
∵x是整数,
∴x=36,37,38,39,40.
∴有5种购买方案.
总结提升:本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,列出不等式组
40.(2023•咸阳一模)如图按下列程序进行计算.规定:程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算,结果大于244,则输出此结果;若结果不大于244,则将此结果的值赋给m,再进行第二次计算.
(1)当m=100时,求输出的结果是多少?
(2)若m=5,求运算进行多少次才会停止?
(3)若运算进行了5次才停止.求m的取值范围.
思路引领:(1)把m=100代入代数式3m﹣2中计算结果即可;
(2)把m=5代入代数式3m﹣2计算,直到结果大于244为止,从而判断运算了多少次;
(3)输入的数乘3减2,由第五次的数大于244,第四次的数不大于244,列关于m的一元一次不等式组,解不等式组即可.
解:(1)当m=100时,3m﹣2=3×100﹣2=298>244,
∴输出结果为298;
(2)当m=5时,①3m﹣2=3×5﹣2=13,
当m=13时,②3m﹣2=3×13﹣2=37,
当m=37时,③3m﹣2=3×37﹣2=109,
当m=109时,④3m﹣2=3×109﹣2=325>244,
∴运算进行了4次才停止;
(3)由题意得:①3m﹣2,
②3(3m﹣2)﹣2=9m﹣8,
③3(9m﹣8)﹣2=27m﹣26,
④3(27m﹣26)﹣2=81m﹣80,
⑤3(81m﹣80)﹣2=243m﹣242,
∴243m−242>24481m−80≤244,
解得:2<m≤4,
答:m的取值范围是2<m≤4.
总结提升:本题考查一元一次不等式组的应用和整式的计算,关键是对输出的数据与244进行比较.
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格(元/kg)
4
5
6
40
零售价格(元/kg)
5
6
8
50
甲型客车
乙型客车
载客量(人/辆)
35
30
租金(元/辆)
400
320
A品牌
B品牌
进价(元/箱)
80
130
售价(元/箱)
120
200
型号
A
B
成本(万元/台)
20
25
售价(万元/台)
24
30
进价(元/台)
售价(元/台)
电饭煲
240
290
电压锅
200
260
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