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中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题43中考解答题最常考题型概率问题(原卷版+解析)
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这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题43中考解答题最常考题型概率问题(原卷版+解析)，共58页。试卷主要包含了2022中考真题，数据统计与概率综合等内容，欢迎下载使用。
类型一 概率问题
1．(2023•沈阳）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 ；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
2．(2023•无锡）A袋中有3白球1红球，B袋中有1白球1红球，某人第一次从A袋中任意摸出一个球，放入B袋中，再将B袋中的球摇匀后第二次从B袋中任意摸出一个球，放入A袋．
（1）第一次摸出的是白球的概率是 ；
（2）经过二次摸球后，A袋中有2白球2红球的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
3．(2023•陕西）有三枚普通硬币，其面值数字分别为1，5，5．现规定：掷一枚硬币，若该硬币正面朝上，则所得的数字为面值数字；若该硬币反面朝上，则所得的数字为0．
（1）若用其中一枚硬币，随机掷20次，其中正面朝上的次数为8次，则在这20次掷币中，该硬币正面朝上的频率为 ；
（2）若依次掷出这三枚硬币，用画树状图的方法，求掷出这三枚硬币所得数字之和是6的概率．
4．(2023•内蒙古）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的概率．
5．(2023•淮安）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
6．(2023•徐州）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
7．(2023•镇江）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于 ；
（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
8．(2023•南通）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．
9．(2023•朝阳）某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是 ．
（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
10．(2023•鞍山）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用A，B表示）和八年级的两名学生（用C，D表示）获得优秀奖．
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 ．
（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
类型二 数据统计与概率综合
11．(2023•河池）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，圆心角β＝ 度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
12．(2023•青海）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
13．(2023•荆门）为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：
数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示．
（1）试确定a的值及测评成绩的平均数x，并补全条形图；
（2）记测评成绩为x，学校规定：80≤x＜90时，成绩为合格；90≤x＜97时，成绩为良好；97≤x≤100时，成绩为优秀．求扇形统计图中m和n的值；
（3）从成绩为优秀的学生中随机抽取2人，求恰好1人得97分、1人得98分的概率．
14．(2023•巴中）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
15．(2023•日照）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）x＝ ，y＝ ，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是 ，众数是 ；
（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
16．(2023•资阳）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
17．(2023•菏泽）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 ；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
18．(2023•黔西南州）神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我的航天梦”科技活动周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制作；B：航天资料收集；C：航天知识竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生（每名学生必选一项且只能选择一项），并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
（3）在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？
19．(2023•淄博）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
20．(2023•黄石）某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：
请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生；表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数；
（3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率．
模块二 2023中考押题预测
21．（2023•雁塔区校级模拟）春节期间，小颖同学计划跟随父母来西安旅游，决定采用抽签的方式从“1﹣大唐不夜城现代唐人街”，“2﹣大唐芙蓉园”，“3﹣大明宫”，“4﹣西安明城墙景区”，“5﹣大唐西市”中选择两个地方去游览，抽签规则如下：把五个地点分别写在五张背面相同的卡片的正面，然后背面朝上放在水平桌面上搅匀后，随机抽取一张，不放回，再抽取一张．
（1）小颖随机抽取一张卡片，抽取到的地点是“大唐不夜城现代唐人街”的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的概率．
22．（2023•庐阳区校级模拟）学校即将开展红色经典诵读活动，李老师给学生推荐了3种不同的名著A，B，C．甲，乙两位同学分别从中任意选一种阅读，假设选任意一种都是等可能的．
（1）甲同学选中名著B的概率是 ．
（2）请你利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选中的名著不相同的概率．
23．（2023•泰山区一模）某校为了响应市政府号召，在“创文明城市”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图：条形统计图和扇形统计图．
（1）求本次调查的学生人数和m的值；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小明同学随机选择两天，那么其中有一天是星期五的概率是多少？
24．（2023•南明区校级模拟）某电子品牌商下设台式电脑部、平板电脑部、手机部等．2022年的前五个月该品牌全部商品销售额共计600万元．下表表示该品牌商2022年前五个月的月销售额（统计信息不全）：图1表示该品牌手机部各月销售额占该品牌所有商品当月销售额的百分比情况统计图；图2表示5月份手机部各机型销售数量占5月份手机部销售总量的百分比统计图．该品牌月销售额统计表（单位：万元）
（1）若要表示手机部A机型这5个月销售量的变化趋势，该采用 统计图；
（2）该品牌5月份的销售额是 万元，手机部5月份的销售额是 万元；
（3）小明和小红准备在A，B，E三款手机中选择一款手机购买，请问他们选择同一款手机的概率是多少？
25．（2023•徐州模拟）将A，B，C三个景点的名称写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率是 ；
（2）先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或画树状图法，求抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率．
26．（2023•莱西市一模）“用可以再生的血液，挽救无法重来的生命”．某单位开展“世界献血日”自愿义务献血活动，参与献血者的血型有“A、B、AB、O”四种类型．现有4个自愿献血者，2人为O型，1人为A型，1人为B型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为O型的概率．
27．（2023•前郭县一模）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加该活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现采取随机抽取的方式对这四名同学进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，求恰好抽到小艺同学的概率；
（2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表的方法求两名同学均来自八年级的概率．
28．（2023•宿迁模拟）在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外其它完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，则该卡片上写有数字1的概率是 ；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，请利用画树状图或列表法求这个两位数大于22的概率．
29．（2023•崂山区一模）共享概念已经进入人们的生活，某同学收集了自己感兴趣的4个共享领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A，B，C，D四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．
30．（2023•梁山县模拟）梁山县某学校在落实“双减”的背景下，决定在课后延时服务中组织学生开展社团活动，现准备开设手工、摄影、航模，编程四门校本课程，规定每名学生必须且只能选修一门校本课程，学校对七年级学生选修校本课程的情况进行了抽样调查，根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）补全条形统计图和扇形统计图；
（2）若本次调查中选择“航模”课程中的女生占20%，则在全校2800名学生中，请你估计约有多少名女生会选择“航模”课程；
（3）将2名选修“航模”的学生和2名选修“编程”的学生编为一组，再从中随机抽取2人，请用画树状图的方法求出2人都选修“航模”的概率．
31．（2023•茅箭区一模）2020年3月我国因“新冠病毒”的疫情，都不能如期开学，我市某校网上开设了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程，要求学生在家选择一项网上学习，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）若该校共有2000名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数．
（3）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，请用树状图或列表法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母A，B，C，D表示）
32．（2023•大丰区一模）2023年盐城市初中毕业升学体育考试有必考项目立定跳远和一项选考项目，男生选考项目为掷实心球或引体向上，女生选考项目为掷实心球或仰卧起坐．
（1）小明（男）从选考项目中任选一个，选中引体向上的概率为 ；
（2）小明（男）和小红（女）分别从选考项目中任选一个，求两人都选择掷实心球的概率．（用树状图或列表法写出分析过程）
33．（2023•市北区一模）小明和小亮用如图所示的，两个均匀、可以自由转动的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别任意转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，即可以配成紫色．此时小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表格的方法说明理由．
34．（2023•莱芜区一模）读书是文化建设的基础，为了充分发挥读书启智润心的正能量，十四届政协委员林丽颍建议设立了“国家读书日”，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了30户家庭进行问卷调查，将调查结果分为4个等级：A、B、C、D．整理如下：
下面是家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据：1，1.2，1.3，1.5，1.2，1，1.5，1.4，1.7，1.2，1.2，1，1.8，1.6，1.5．
家庭成年人阅读时间统计表：
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；
（2）B组数据的众数是 ，中位数是 ；
（3）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为 度，m＝ ；
（4）该社区宣传管理人员有1男2女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
35．（2023•越秀区一模）“校园音乐之声“结束后，王老师整理了所有参赛选手的比赛成绩（单位：分），绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图：
（1）求本次比赛参赛选手总人数，并补全频数分布直方图；
（2）成绩在E区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机选取两人，求恰好选中两名女生的概率．
36．（2023•梁溪区一模）如图，在一个3×3的棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内继续随机放入棋子（每一方格内最多放入一枚棋子），如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”．
（1）如果随机放入1枚棋子，出现“三连珠”的概率是 ．
（2）如果随机放入2枚棋子，求棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
37．（2023•工业园区一模）如图，某停车场剩下四个车位，小明观察小汽车的停车情况．
（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“003”号车位的概率是 ；
（2）若有两辆小汽车停车，求这两辆车停在不相邻车位的概率．
38．（2023•新抚区三模）某中学九年（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m＝ ，n＝ ，表示“足球”的扇形的圆心角是 度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
39．（2023•衡水模拟）对甲、乙两家公司员工月收入情况进行调查，并把调查结果分别绘制成统计表和不完整的条形统计图（月收入为9千元的数据不全）．
甲公司员工月收入统计表
（1）若在甲公司随机选择一名员工，则该员工月收入超过4千元的概率为 ；
（2）若甲、乙两家公司员工月收入的平均数相同，请通过计算补全条形统计图；
（3）若甲公司有一名员工辞职了，从本月停发该员工工资，其他员工工资不变，嘉淇通过计算发现，该公司剩下9名员工月收入的平均数比原10名员工月收入的平均数减小了，则该名辞职的员工可能 （填写员工序号）．
乙公司员工月收入统计图
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
成绩/分
88
89
90
91
95
96
97
98
99
学生人数
2
1
a
3
2
1
3
2
1
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
等级
一般
较好
良好
优秀
阅读量/本
3
4
5
6
频数
12
a
14
4
频率
0.24
0.40
b
c
月份
1月
2月
3月
4月
5月
该品牌月销售额
180
90
115
95
等级
阅读时间（小时）
频数
A
0≤x＜1
12
B
1≤x＜1.5
a
C
1.5≤x＜2
b
D
x≥2
3
合计
30
员工序号
经理
副经理
职员A
职员B
职员C
职员D
职员E
职员F
职员G
职员H
月收入
/千元
8.8
6.2
4.5
4.2
3.8
3.7
3.6
3.6
3.6
3
专题43 中考解答题最常考题型概率问题（解析版）
模块一 2022中考真题
类型一 概率问题
1．(2023•沈阳）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 14 ；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
思路引领：（1）根据概率公式求解即可．
（2）画树状图，表示出所有等可能的结果数，以及两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果数，再结合概率公式即可得出答案．
解：（1）由题意得，
随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是14．
故答案为：14．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果有2种，
∴小明随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率为212=16．
总结提升：本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
2．(2023•无锡）A袋中有3白球1红球，B袋中有1白球1红球，某人第一次从A袋中任意摸出一个球，放入B袋中，再将B袋中的球摇匀后第二次从B袋中任意摸出一个球，放入A袋．
（1）第一次摸出的是白球的概率是 34 ；
（2）经过二次摸球后，A袋中有2白球2红球的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
思路引领：（1）由概率公式直接可得答案；
（2）画树状图，列出所有可能，再用概率公式可得答案．
解：（1）∵A袋中有3白球1红球，
∴第一次从A袋中任意摸出一个球，摸出的是白球的概率是31+3=34；
故答案为：34；
（2）
由树状图可知，共有12种等可能结果，满足A袋中有2白球2红球（第一次摸到白球，第二次摸到红球）的结果有3种，
∴经过二次摸球后，A袋中有2白球，2红球的概率为14．
总结提升：本题考查列表（树状图）求概率，解题的关键是掌握画树状图，列出所有可能的情况．
3．(2023•陕西）有三枚普通硬币，其面值数字分别为1，5，5．现规定：掷一枚硬币，若该硬币正面朝上，则所得的数字为面值数字；若该硬币反面朝上，则所得的数字为0．
（1）若用其中一枚硬币，随机掷20次，其中正面朝上的次数为8次，则在这20次掷币中，该硬币正面朝上的频率为 0.4 ；
（2）若依次掷出这三枚硬币，用画树状图的方法，求掷出这三枚硬币所得数字之和是6的概率．
思路引领：（1）根据频率＝频数÷数据总数列式计算即可得解；
（2）列出树状图，求出所有等可能的情况总数和所得数字之和是6的情况个数，用概率公式计算即可得到答案．
解：（1）硬币正面朝上的频率为820=0.4，
故答案为：0.4；
（2）树状图如下：
一共有8种等可能的情况，其中所得数字之和是8的有2种，
∴所得数字之和是6的概率是28=14．
总结提升：本题考查列树状图求概率，涉及频数与频率，解题的关键是列出树状图．
4．(2023•内蒙古）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的概率．
思路引领：（1）直接利用概率公式可得结果．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）∵口袋中共有4个小球，且小球上数字是奇数的有2个，
∴摸出小球上的数字是奇数的概率为24=12．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中点在函数y＝﹣x+4的图象上的有（1，3），（3，1），共2种，
∴由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的概率为212=16．
总结提升：本题考查列表法与树状图法、一次函数图象上点的坐标特征、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数总情况数．
5．(2023•淮安）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 13 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
思路引领：（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数，
∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是13．
故答案为：13．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：（1，1），（1，3），（3，1），（3，3），共4种，
∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为49．
总结提升：本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
6．(2023•徐州）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 23 ；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
思路引领：（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽得2张扑克牌的数字不同的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为23，
故答案为：23；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽得2张扑克牌的数字不同的结果有4种，
∴抽得2张扑克牌的数字不同的概率为46=23．
总结提升：此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．(2023•镇江）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于 13 ；
（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
思路引领：（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，再由概率公式求解即可．
解：（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于12+1=13，
故答案为：13；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，
∴2次都摸到红球的概率为19．
总结提升：本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．(2023•南通）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 13 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．
思路引领：（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是13，
故答案为：13；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，
∴两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率为29．
总结提升：此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．(2023•朝阳）某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是 14 ．
（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
思路引领：（1）根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是14，
故答案为：14；
（2）列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有4种结果，
所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为416=14．
总结提升：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．(2023•鞍山）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用A，B表示）和八年级的两名学生（用C，D表示）获得优秀奖．
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 12 ．
（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
思路引领：（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是24=12，
故答案为：12；
（2）列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果，
所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为812=23．
总结提升：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
类型二 数据统计与概率综合
11．(2023•河池）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 50 ，圆心角β＝ 144 度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
思路引领：（1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
（2）求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
（3）由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：（1）本次调查的样本容量是：10÷20%＝50，
则圆心角β＝360°×2050=144°，
故答案为：50，144；
（2）成绩优秀的人数为：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），
补全条形统计图如下：
（3）1200×2050=480（人），
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，
∴恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为212=16．
总结提升：此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．(2023•青海）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 8 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
思路引领：（1）由众数和中位数的定义求解即可；
（2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解；
（3）由七、八年级的总人数分别乘以优秀率，再相加即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，再由概率公式求解即可．
解：（1）由众数的定义得：a＝8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为：8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）500×80%+500×60%＝700（人），
即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；
（4）把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为B，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为612=12．
总结提升：本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、统计表、中位数、众数等知识；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
13．(2023•荆门）为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：
数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示．
（1）试确定a的值及测评成绩的平均数x，并补全条形图；
（2）记测评成绩为x，学校规定：80≤x＜90时，成绩为合格；90≤x＜97时，成绩为良好；97≤x≤100时，成绩为优秀．求扇形统计图中m和n的值；
（3）从成绩为优秀的学生中随机抽取2人，求恰好1人得97分、1人得98分的概率．
思路引领：（1）根据统计表中给出的数据和平均数的定义，可得a的值以及平均数x的值并补全条形图；
（2）根据数据除以总数等于百分比求解；
（3）根据简单事件的概率公式求解．
解：（1）由题意可知，a＝20﹣（2+1+3+2+1+3+2+1）＝5，
∴a＝5，
x=120（88×2+89+90×5+91×3+95×2+96+97×3+98×2+99）＝93，
补全的条形统计图如图所示：
（2）
m=1+220×100＝15；
n=3+2+120×100＝30；
（3）列表格如下：
所有等可能的结果有30种，其中恰好1人得97分、1人得98分的有12种，
∴P（恰好1人得97分、1人得98分）=1230=25，
故概率为：1230=25．
总结提升：本题考查条形统计图，扇形统计图、平均数，概率，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．(2023•巴中）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 200 人，其中参加围棋社的有 40 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
思路引领：（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．
（3）用树状图表示3男2女共5名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可．
解：（1）抽取的学生共有：80÷40%＝200（人），
参加围棋社的有：200﹣50﹣30﹣80＝40（人）；
故答案为：200，40；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有：3200×30200=480（人）；
（3）画树状图如下：
∵所有等可能出现的结果总数为20个，其中抽到一男一女的情况数有12个，
∴恰好抽到一男一女概率为1220=35．
总结提升：本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率．
15．(2023•日照）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）x＝ 30% ，y＝ 16% ，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是 95 ，众数是 94 ；
（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
思路引领：（1）先求出被调查的总人数，继而可求得y、x的值；
（2）将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；
（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可；
（4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）被调查的总人数为4÷8%＝50（人），
∴优秀对应的百分比y=850×100%＝16%，
则一般对应的人数为50﹣（4+23+8）＝15（人），
∴其对应的百分比x=1550×100%＝30%，
补全图形如下：
故答案为：30%，16%．
（2）将这组数据重新排列为91，93，94，94，96，98，99，100，
所以其中位数为94+962=95，众数为94，
故答案为：95、94；
（3）估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为1200×16%＝192（人）；
（4）画树状图为：
共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，
所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为612=12．
总结提升：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．(2023•资阳）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
思路引领：（1）用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，即可解决问题；
（2）用全校共有学生人数乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的比例即可；
（3）画出树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种．再根据概率公式即可求解．
解：（1）本次调查的学生人数为：80÷40%＝200（人），
则科普类的学生人数为：200﹣40﹣50﹣80＝30（人），
补全条形统计图如下：
（2）愿意参加劳动社团的学生人数为：3600×50200=900（人）；
（3）把阅读、美术、劳动社团分别记为A、B、C，
画出树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种，
∴甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为39=13．
总结提升：此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．(2023•菏泽）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 40 名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 72 度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 560人 ；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
思路引领：（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（名），C组人数为40﹣（4+16+12）＝8（名），
补全图形如下：
故答案为：40；
（2）C组所对应的扇形圆心角为360°×840=72°，
故答案为：72；
（3）估计该校喜欢跳绳的学生人数约是1400×1640=560（人），
故答案为：560人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为612=12．
总结提升：此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
18．(2023•黔西南州）神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我的航天梦”科技活动周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制作；B：航天资料收集；C：航天知识竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生（每名学生必选一项且只能选择一项），并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝ 100 ，n＝ 35 ；并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
（3）在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？
思路引领：（1）用航模制作的人数和所占的百分比，求出m的值，再分别求出B、C的人数及B所占的百分比，然后补全统计图即可；
（2）用总人数乘以选择参观科学馆的人数所占的百分比即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙被分在同一组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：（1）m＝10÷10%＝100；
航天知识竞赛的人数有：100×15%＝15（人），
航天资料收集的人数有：100﹣10﹣40﹣15＝35（人），
n%=35100×100%＝35%，即n＝35，
补全统计图如下：
故答案为：100，35；
（2）根据题意得：
1800×40%＝720（人），
答：大约有720人选择参观科学馆；
（3）由题意列表得：
共有12种等可能的结果数，其中甲、乙被分在同一组的有4种，
则甲、乙被分在同一组的概率是412=13．
总结提升：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．(2023•淄博）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 120 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 99 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
思路引领：（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%＝120（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×33120=99°，
故答案为：120，99；
（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120×54°360°=18（名），
则选修“园艺”的学生人数为：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（名），
补全条形统计图如下：
（3）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为525=15．
总结提升：本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．(2023•黄石）某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：
请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 50 名学生；表中a＝ 20 ，b＝ 0.28 ，c＝ 0.08 ；
（2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数；
（3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率．
思路引领：（1）由一般的频数和频率，求本次调查的总人数，然后即可计算出a、b、c的值；
（2）由众数和平均数的定义即可得出答案；
（3）画树状图，共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，再由概率公式即可得出答案．
解：（1）本次抽取的学生共有：12÷0.24＝50（名），
∴a＝50×0.40＝20，b＝14÷50＝0.28，c＝4÷50＝0.08，
故答案为：50，20，0.28，0.08；
（2）∵所抽查学生阅读量为4本的学生最多，有20名，
∴所抽查学生阅读量的众数为4，
平均数为：150×（3×12+4×20+5×14+6×4）＝4.2；
（3）画树状图如下：
共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，
∴所选2名同学中有男生的概率为612=12．
总结提升：此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表、众数、平均数等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
模块二 2023中考押题预测
21．（2023•雁塔区校级模拟）春节期间，小颖同学计划跟随父母来西安旅游，决定采用抽签的方式从“1﹣大唐不夜城现代唐人街”，“2﹣大唐芙蓉园”，“3﹣大明宫”，“4﹣西安明城墙景区”，“5﹣大唐西市”中选择两个地方去游览，抽签规则如下：把五个地点分别写在五张背面相同的卡片的正面，然后背面朝上放在水平桌面上搅匀后，随机抽取一张，不放回，再抽取一张．
（1）小颖随机抽取一张卡片，抽取到的地点是“大唐不夜城现代唐人街”的概率为 15 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的概率．
思路引领：（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）由题意得，小颖随机抽取一张卡片，抽取到的地点是“大唐不夜城现代唐人街”的概率为15．
故答案为：15．
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中小颖选择去“1﹣大唐不夜城现代唐人街”和“2﹣大唐芙蓉园”这两个地方的结果有2种，
∴小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的概率为220=110．
总结提升：本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．（2023•庐阳区校级模拟）学校即将开展红色经典诵读活动，李老师给学生推荐了3种不同的名著A，B，C．甲，乙两位同学分别从中任意选一种阅读，假设选任意一种都是等可能的．
（1）甲同学选中名著B的概率是 13 ．
（2）请你利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选中的名著不相同的概率．
思路引领：（1）根据概率公式求解即可．
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，再由概率公式求解即可．
（1）∵共有3种不同的名著A，B，C，
∴其名著B的概率是：13；
（2）根据题意画图
共有9种等可能的情况数，其中甲、乙两位同学选中的名著不相同的有9种，
则甲、乙两位同学选中的名著不相同的概率为：69=23．
总结提升：本题考查了用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（2023•泰山区一模）某校为了响应市政府号召，在“创文明城市”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图：条形统计图和扇形统计图．
（1）求本次调查的学生人数和m的值；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小明同学随机选择两天，那么其中有一天是星期五的概率是多少？
思路引领：（1）用C主题的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数；求出A主题所占的百分比即可求得m的值．
（2）分别求出B主题和D主题的人数，补全条形统计图即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及其中有一天是星期五的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）本次调查的学生人数为25÷25%＝100（人）．
∵m%=35100×100%=35%，
∴m＝35．
（2）B主题的人数为100×35%＝35（人），
D主题的人数为100﹣35﹣35﹣25＝5（人）．
补全条形统计图如图．
（3）设星期一至星期五分别记为1，2，3，4，5，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中有一天是星期五的结果有：（1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共8种，
∴其中有一天是星期五的概率为820=25．
总结提升：本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
24．（2023•南明区校级模拟）某电子品牌商下设台式电脑部、平板电脑部、手机部等．2022年的前五个月该品牌全部商品销售额共计600万元．下表表示该品牌商2022年前五个月的月销售额（统计信息不全）：图1表示该品牌手机部各月销售额占该品牌所有商品当月销售额的百分比情况统计图；图2表示5月份手机部各机型销售数量占5月份手机部销售总量的百分比统计图．该品牌月销售额统计表（单位：万元）
（1）若要表示手机部A机型这5个月销售量的变化趋势，该采用 折线 统计图；
（2）该品牌5月份的销售额是 120 万元，手机部5月份的销售额是 36 万元；
（3）小明和小红准备在A，B，E三款手机中选择一款手机购买，请问他们选择同一款手机的概率是多少？
思路引领：（1）根据折线统计图的特点即可得出答案；
（2）用五个月的全部商品销售额减去前四个月的销售额即可得到5月份的销售额，根据图1，手机占5月销售额的30%即可得出答案．
解：（1）折线统计图可以显示销售量变化趋势，
故答案为：折线；
（2）600﹣180﹣90﹣115﹣95＝120（万元），
120×30%＝36（万元），
故答案为：120，36；
（3）画树状图如下：
∴一共有9种等可能的情况，们选择同一款手机的情况是3种，
∴他们选择同一款手机的概率是39=13．
总结提升：本题考查了统计图的选择，统计表，掌握折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况，②显示数据变化趋势是解题的关键．
25．（2023•徐州模拟）将A，B，C三个景点的名称写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率是 13 ；
（2）先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或画树状图法，求抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率．
思路引领：（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况，再找到抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的情况，最后利用概率公式计算即可．
解：（1）∵3张卡片中名称为A的只有1张，
∴随机抽取一张，抽到A卡片的概率是13，
故答案为：13；
（2）由题意可列表格如下：
由表格可知共有9种等可能的情况，其中抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的情况有5种，
∴抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率为59．
总结提升：本题考查简单的概率计算，列表或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况是解题关键．
26．（2023•莱西市一模）“用可以再生的血液，挽救无法重来的生命”．某单位开展“世界献血日”自愿义务献血活动，参与献血者的血型有“A、B、AB、O”四种类型．现有4个自愿献血者，2人为O型，1人为A型，1人为B型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为O型的概率．
思路引领：画出树状图，找到所有等可能情况，用两人血型均为O型的情况数除以总的情况数即可得到答案．
解：树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中两人血型均为O型的有2种，
故两人血型均为O型的概率为：212=16．
总结提升：此题考查了树状图或列表法，熟练准确画出树状图或列表是解题的关键．
27．（2023•前郭县一模）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加该活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现采取随机抽取的方式对这四名同学进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，求恰好抽到小艺同学的概率；
（2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表的方法求两名同学均来自八年级的概率．
思路引领：（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两名同学均来自八年级的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）随机抽取一名同学，共有4种等可能的结果，其中抽到小艺同学的只有1种，
∴恰好抽到小艺同学的概率为 14．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级，即小志和小晴的结果有2种，
∴两名同学均来自八年级的概率为212=16．
总结提升：本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
28．（2023•宿迁模拟）在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外其它完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，则该卡片上写有数字1的概率是 27 ；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，请利用画树状图或列表法求这个两位数大于22的概率．
思路引领：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率．
解：（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，
∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是27，
故答案为：27；
（2）组成的所有两位数列表为：
∴这个两位数大于22的概率为712．
总结提升：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
29．（2023•崂山区一模）共享概念已经进入人们的生活，某同学收集了自己感兴趣的4个共享领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A，B，C，D四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．
思路引领：画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”，即A和D的结果有2种，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率为212=16．
总结提升：本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
30．（2023•梁山县模拟）梁山县某学校在落实“双减”的背景下，决定在课后延时服务中组织学生开展社团活动，现准备开设手工、摄影、航模，编程四门校本课程，规定每名学生必须且只能选修一门校本课程，学校对七年级学生选修校本课程的情况进行了抽样调查，根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）补全条形统计图和扇形统计图；
（2）若本次调查中选择“航模”课程中的女生占20%，则在全校2800名学生中，请你估计约有多少名女生会选择“航模”课程；
（3）将2名选修“航模”的学生和2名选修“编程”的学生编为一组，再从中随机抽取2人，请用画树状图的方法求出2人都选修“航模”的概率．
思路引领：（1）根据选修“编程”的人数除以占比得出总人数，然后求得选修“手工”的人数以及选修“航模”的占比，补充统计图即可求解；
（2）根据样本估算总体，用2800×35%×20%即可求解．
（3）根据画梳树状图法求概率即可求解．
解：（1）总人数为72÷8%＝900（人），
∴选择“手工”的人数为900×25%＝225（人），
选修“航模”的占比为315900×100%=35%，
补全条形统计图和扇形统计图：
（2）2800×35%×20%＝196（人），
∴约有196名女生会选择“航模”课程．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中2人都选修“航模”的情况有2种，
∴2人都选修“航模”的概率P=212=16．
总结提升：本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
31．（2023•茅箭区一模）2020年3月我国因“新冠病毒”的疫情，都不能如期开学，我市某校网上开设了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程，要求学生在家选择一项网上学习，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）若该校共有2000名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数．
（3）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，请用树状图或列表法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母A，B，C，D表示）
思路引领：（1）用选择“棋类”的学生人数除以其所占的百分比可得本次随机调查的学生人数．
（2）先求出选择“书画”类的学生人数，进而可得选择“戏曲”类的学生人数，根据用样本估计总体，用2000乘以本次随机调查中选择“戏曲”类的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）本次随机调查的学生人数为30÷15%＝200（名）．
（2）由题意得，选择“书画”类的学生人数为200×25%＝50（人），
∴选择“戏曲”类的学生人数为200﹣50﹣80﹣30＝40（人），
∴估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为2000×40200=400（人）．
（3）列表如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类，即B和C的结果有2种，
∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为212=16．
总结提升：本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
32．（2023•大丰区一模）2023年盐城市初中毕业升学体育考试有必考项目立定跳远和一项选考项目，男生选考项目为掷实心球或引体向上，女生选考项目为掷实心球或仰卧起坐．
（1）小明（男）从选考项目中任选一个，选中引体向上的概率为 12 ；
（2）小明（男）和小红（女）分别从选考项目中任选一个，求两人都选择掷实心球的概率．（用树状图或列表法写出分析过程）
思路引领：（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两人都选择掷实心球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）∵男生选考项目为掷实心球或引体向上，
∴小明（男）从选考项目中任选一个，选中引体向上的概率为12．
故答案为：12．
（2）设掷实心球记为A，引体向上记为B，仰卧起坐记为C，
画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两人都选择A．掷实心球的结果有1种，
∴两人都选择掷实心球的概率为14．
总结提升：本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
33．（2023•市北区一模）小明和小亮用如图所示的，两个均匀、可以自由转动的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别任意转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，即可以配成紫色．此时小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表格的方法说明理由．
思路引领：根据题意列出图表得出所有等可能的结果数，再找出不能配成紫色的结果数，再根据概率公式计算出小明和小亮胜的概率，然后比较小亮胜的概率和小明胜的概率的大小，即可判断这个游戏是否公平．
解：根据题意列表如下：
共有6种等可能的结果数，其中能配成紫色的结果数为3，
所以小明胜的概率是36=12，小亮胜的概率是12，
∵12=12，
∴这个游戏公平．
总结提升：本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
34．（2023•莱芜区一模）读书是文化建设的基础，为了充分发挥读书启智润心的正能量，十四届政协委员林丽颍建议设立了“国家读书日”，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了30户家庭进行问卷调查，将调查结果分为4个等级：A、B、C、D．整理如下：
下面是家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据：1，1.2，1.3，1.5，1.2，1，1.5，1.4，1.7，1.2，1.2，1，1.8，1.6，1.5．
家庭成年人阅读时间统计表：
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ 9 ，b＝ 6 ；
（2）B组数据的众数是 1.2 ，中位数是 1.2 ；
（3）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为 72 度，m＝ 30 ；
（4）该社区宣传管理人员有1男2女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
思路引领：（1）由家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据可得答案．
（2）根据众数和中位数的定义可得答案．
（3）用360°乘以C等级的人数所占的百分比，即可求出C组对应扇形的圆心角的度数；求出B等级的人数所占的百分比即可得出答案．
（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中“1男1女”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）由家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据可知，a＝9，b＝6．
故答案为：9；6．
（2）∵1≤x＜1.5小时内的数据中，1.2出现的次数最多，
∴B组数据的众数是1.2．
将1≤x＜1.5小时内的数据按从小到大排列，排在第5个的是1.2，
∴B组数据的中位数是1.2．
故答案为：1.2；1.2．
（3）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为360°×630=72°．
m%=930×100%＝30%，
∴m＝30．
故答案为：72；30．
（4）设1名男生记为A，2名女生记为B，C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好选中“1男1女”的结果有：AB，AC，BA，CA，共4种，
∴恰好选中“1男1女”的概率为46=23．
总结提升：本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、众数、中位数，能够理解频数（率）分布表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及众数和中位数的定义是解答本题的关键．
35．（2023•越秀区一模）“校园音乐之声“结束后，王老师整理了所有参赛选手的比赛成绩（单位：分），绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图：
（1）求本次比赛参赛选手总人数，并补全频数分布直方图；
（2）成绩在E区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机选取两人，求恰好选中两名女生的概率．
思路引领：（1）用成绩在D区域的学生人数除以其所占的百分比可得本次比赛参赛选手总人数；用本次比赛参赛选手总人数分别减去成绩在A，B，C，D区域的学生人数，可求出成绩在E区域的人数，补全条形统计图即可．
（2）根据题意可知，女生为2人，男生为3人，画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中两名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）本次比赛参赛选手总人数为9÷25%＝36（人）．
成绩在95≤x＜100区域的人数为36﹣4﹣7﹣11﹣9＝5（人）．
补全频数分布直方图如图．
（2）设成绩在E区域的选手中，女生为a人，则男生为（a+1）人，
∴a+（a+1）＝5，
解得a＝2，
∴女生为2人，男生为3人．
记2名女生分别为A，B，3名男生分别为C，D，E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选中两名女生的结果有：AB，BA，共2种，
∴恰好选中两名女生的概率为220=110．
总结提升：本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布直方图、扇形统计图，能够理解频数（率）分布直方图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
36．（2023•梁溪区一模）如图，在一个3×3的棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内继续随机放入棋子（每一方格内最多放入一枚棋子），如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”．
（1）如果随机放入1枚棋子，出现“三连珠”的概率是 45 ．
（2）如果随机放入2枚棋子，求棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
思路引领：（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20个等可能的结果，棋盘内同时出现三个“三连珠”的结果有4个，再由概率公式求解即可．
解：（1）棋盘内已有四枚棋子，在剩余的5个方格内随机放入一枚棋子，能出现“三连珠”的位置是1、2、3、5四个位置，
∴出现“三连珠”的概率是45．
故答案为：45．
（2）画树状图如图：
共有20个等可能的结果，棋盘内同时出现三个“三连珠”的有（1，3）、（3，1）、（3，5）、（5，3），共4个结果，
∴棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率为420=15．
∴棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率为15．
总结提升：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
37．（2023•工业园区一模）如图，某停车场剩下四个车位，小明观察小汽车的停车情况．
（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“003”号车位的概率是 14 ；
（2）若有两辆小汽车停车，求这两辆车停在不相邻车位的概率．
思路引领：（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
解：（1）∵一共有四个车位，每个车位被选择的概率相同，
∴有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是14，
故答案为：14；
（2）设这四个车位分别用A、B、C、D表示，列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中两辆车停在不相邻车位的结果数有6种，
∴两辆车停在不相邻车位的概率为 612=12．
总结提升：本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
38．（2023•新抚区三模）某中学九年（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m＝ 10 ，n＝ 20 ，表示“足球”的扇形的圆心角是 72 度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
思路引领：（1）用选择篮球的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，再用本次调查的学生人数分别减去选择排球、篮球、乒乓球的学生人数，可求出选择足球的学生人数，补全条形统计图即可．
（2）用选择排球的学生人数除以调查总人数再乘以100%，可得m%，同理可得n%，用360°乘以n%，即可求出“足球”的扇形的圆心角度数．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及选出的2名学生恰好是1男1女的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）本次调查的学生人数为12÷30%＝40（人），
选择足球的学生人数为40﹣4﹣12﹣16＝8（人）．
补全条形统计图如图．
（2）m%=440×100%＝10%，
n%=840×100%＝20%，
m＝10，n＝20，
表示“足球”的扇形的圆心角是360°×20%＝72°．
故答案为：10；20；72．
（3）设4名学生中3名男生分别记为A，B，C，1名女生记为D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1男1女的结果有AD，BD，CD，DA，DB，DC，共6种，
∴选出的2名学生恰好是1男1女的概率为612=12．
总结提升：本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
39．（2023•衡水模拟）对甲、乙两家公司员工月收入情况进行调查，并把调查结果分别绘制成统计表和不完整的条形统计图（月收入为9千元的数据不全）．
甲公司员工月收入统计表
乙公司员工月收入统计图
（1）若在甲公司随机选择一名员工，则该员工月收入超过4千元的概率为 25 ；
（2）若甲、乙两家公司员工月收入的平均数相同，请通过计算补全条形统计图；
（3）若甲公司有一名员工辞职了，从本月停发该员工工资，其他员工工资不变，嘉淇通过计算发现，该公司剩下9名员工月收入的平均数比原10名员工月收入的平均数减小了，则该名辞职的员工可能 经理或副经理 （填写员工序号）．
思路引领：（1）利用概率公式计算即可；
（2）根据平均数相同，求出月收入为9千元的人数即可；
（3）根据剩下9名员工月收入的平均数比原10名员工月收入的平均数减小了，得出辞职的那名员工工资高于平均数，从而得出辞职的那名员工可能是经理或副经理．
解：（1）由统计表可得：甲公司共10人，其中月收入超过4千元的有4人，
∴在甲公司随机选择一名员工，则该员工月收入超过4千元的概率为：410=25；
故答案为：25；
（2）设乙公司月收入为9千元的有x人，
则2×1+3×5+5×2+9x1+5+2+x=（8.8+6.2+4.5+4.2+3.8+3.7+3.6+3.6+3.6+3）÷10，
解得x＝2，
补全条形统计图如下：
（3）甲公司的平均工资为8.8+6.2+4.5+4.2+3.8+3.7+3.6+3.6+3.6+3）÷10＝4.5（千元），
由题意可知，辞职的那名员工工资高于4.5千元，所以辞职的那名员工可能是经理或副经理．
故答案为：经理或副经理．
总结提升：本题考查了概率公式，加权平均数和条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
成绩/分
88
89
90
91
95
96
97
98
99
学生人数
2
1
a
3
2
1
3
2
1
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
甲
乙
丙
丁
甲
δ
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙
等级
一般
较好
良好
优秀
阅读量/本
3
4
5
6
频数
12
a
14
4
频率
0.24
0.40
b
c
月份
1月
2月
3月
4月
5月
该品牌月销售额
180
90
115
95
第一次第二次
A
B
C
A
A，A
A，B
A，C
B
B，A
B，B
B，C
C
C，A
C，B
C，C
小贤
小晴
小志
小艺
小贤
小晴、小贤
小志、小贤
小艺、小贤
小晴
小贤、小晴
小志、小晴
小艺、小晴
小志
小贤、小志
小晴、小志
小艺、小志
小艺
小贤、小艺
小晴、小艺
小志、小艺
十位数
个位数
1
2
3
4
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
红
蓝
蓝
红
（红，红）
（红，蓝）
（红，蓝）
蓝
（蓝，红）
（蓝，蓝）
（蓝，蓝）
等级
阅读时间（小时）
频数
A
0≤x＜1
12
B
1≤x＜1.5
a
C
1.5≤x＜2
b
D
x≥2
3
合计
30
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
员工序号
经理
副经理
职员A
职员B
职员C
职员D
职员E
职员F
职员G
职员H
月收入
/千元
8.8
6.2
4.5
4.2
3.8
3.7
3.6
3.6
3.6
3
类型一 概率问题
1．(2023•沈阳）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 ；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
2．(2023•无锡）A袋中有3白球1红球，B袋中有1白球1红球，某人第一次从A袋中任意摸出一个球，放入B袋中，再将B袋中的球摇匀后第二次从B袋中任意摸出一个球，放入A袋．
（1）第一次摸出的是白球的概率是 ；
（2）经过二次摸球后，A袋中有2白球2红球的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
3．(2023•陕西）有三枚普通硬币，其面值数字分别为1，5，5．现规定：掷一枚硬币，若该硬币正面朝上，则所得的数字为面值数字；若该硬币反面朝上，则所得的数字为0．
（1）若用其中一枚硬币，随机掷20次，其中正面朝上的次数为8次，则在这20次掷币中，该硬币正面朝上的频率为 ；
（2）若依次掷出这三枚硬币，用画树状图的方法，求掷出这三枚硬币所得数字之和是6的概率．
4．(2023•内蒙古）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的概率．
5．(2023•淮安）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
6．(2023•徐州）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
7．(2023•镇江）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于 ；
（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
8．(2023•南通）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．
9．(2023•朝阳）某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是 ．
（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
10．(2023•鞍山）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用A，B表示）和八年级的两名学生（用C，D表示）获得优秀奖．
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 ．
（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
类型二 数据统计与概率综合
11．(2023•河池）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，圆心角β＝ 度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
12．(2023•青海）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
13．(2023•荆门）为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：
数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示．
（1）试确定a的值及测评成绩的平均数x，并补全条形图；
（2）记测评成绩为x，学校规定：80≤x＜90时，成绩为合格；90≤x＜97时，成绩为良好；97≤x≤100时，成绩为优秀．求扇形统计图中m和n的值；
（3）从成绩为优秀的学生中随机抽取2人，求恰好1人得97分、1人得98分的概率．
14．(2023•巴中）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
15．(2023•日照）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）x＝ ，y＝ ，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是 ，众数是 ；
（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
16．(2023•资阳）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
17．(2023•菏泽）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 ；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
18．(2023•黔西南州）神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我的航天梦”科技活动周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制作；B：航天资料收集；C：航天知识竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生（每名学生必选一项且只能选择一项），并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
（3）在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？
19．(2023•淄博）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
20．(2023•黄石）某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：
请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生；表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数；
（3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率．
模块二 2023中考押题预测
21．（2023•雁塔区校级模拟）春节期间，小颖同学计划跟随父母来西安旅游，决定采用抽签的方式从“1﹣大唐不夜城现代唐人街”，“2﹣大唐芙蓉园”，“3﹣大明宫”，“4﹣西安明城墙景区”，“5﹣大唐西市”中选择两个地方去游览，抽签规则如下：把五个地点分别写在五张背面相同的卡片的正面，然后背面朝上放在水平桌面上搅匀后，随机抽取一张，不放回，再抽取一张．
（1）小颖随机抽取一张卡片，抽取到的地点是“大唐不夜城现代唐人街”的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的概率．
22．（2023•庐阳区校级模拟）学校即将开展红色经典诵读活动，李老师给学生推荐了3种不同的名著A，B，C．甲，乙两位同学分别从中任意选一种阅读，假设选任意一种都是等可能的．
（1）甲同学选中名著B的概率是 ．
（2）请你利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选中的名著不相同的概率．
23．（2023•泰山区一模）某校为了响应市政府号召，在“创文明城市”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图：条形统计图和扇形统计图．
（1）求本次调查的学生人数和m的值；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小明同学随机选择两天，那么其中有一天是星期五的概率是多少？
24．（2023•南明区校级模拟）某电子品牌商下设台式电脑部、平板电脑部、手机部等．2022年的前五个月该品牌全部商品销售额共计600万元．下表表示该品牌商2022年前五个月的月销售额（统计信息不全）：图1表示该品牌手机部各月销售额占该品牌所有商品当月销售额的百分比情况统计图；图2表示5月份手机部各机型销售数量占5月份手机部销售总量的百分比统计图．该品牌月销售额统计表（单位：万元）
（1）若要表示手机部A机型这5个月销售量的变化趋势，该采用 统计图；
（2）该品牌5月份的销售额是 万元，手机部5月份的销售额是 万元；
（3）小明和小红准备在A，B，E三款手机中选择一款手机购买，请问他们选择同一款手机的概率是多少？
25．（2023•徐州模拟）将A，B，C三个景点的名称写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率是 ；
（2）先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或画树状图法，求抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率．
26．（2023•莱西市一模）“用可以再生的血液，挽救无法重来的生命”．某单位开展“世界献血日”自愿义务献血活动，参与献血者的血型有“A、B、AB、O”四种类型．现有4个自愿献血者，2人为O型，1人为A型，1人为B型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为O型的概率．
27．（2023•前郭县一模）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加该活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现采取随机抽取的方式对这四名同学进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，求恰好抽到小艺同学的概率；
（2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表的方法求两名同学均来自八年级的概率．
28．（2023•宿迁模拟）在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外其它完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，则该卡片上写有数字1的概率是 ；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，请利用画树状图或列表法求这个两位数大于22的概率．
29．（2023•崂山区一模）共享概念已经进入人们的生活，某同学收集了自己感兴趣的4个共享领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A，B，C，D四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．
30．（2023•梁山县模拟）梁山县某学校在落实“双减”的背景下，决定在课后延时服务中组织学生开展社团活动，现准备开设手工、摄影、航模，编程四门校本课程，规定每名学生必须且只能选修一门校本课程，学校对七年级学生选修校本课程的情况进行了抽样调查，根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）补全条形统计图和扇形统计图；
（2）若本次调查中选择“航模”课程中的女生占20%，则在全校2800名学生中，请你估计约有多少名女生会选择“航模”课程；
（3）将2名选修“航模”的学生和2名选修“编程”的学生编为一组，再从中随机抽取2人，请用画树状图的方法求出2人都选修“航模”的概率．
31．（2023•茅箭区一模）2020年3月我国因“新冠病毒”的疫情，都不能如期开学，我市某校网上开设了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程，要求学生在家选择一项网上学习，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）若该校共有2000名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数．
（3）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，请用树状图或列表法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母A，B，C，D表示）
32．（2023•大丰区一模）2023年盐城市初中毕业升学体育考试有必考项目立定跳远和一项选考项目，男生选考项目为掷实心球或引体向上，女生选考项目为掷实心球或仰卧起坐．
（1）小明（男）从选考项目中任选一个，选中引体向上的概率为 ；
（2）小明（男）和小红（女）分别从选考项目中任选一个，求两人都选择掷实心球的概率．（用树状图或列表法写出分析过程）
33．（2023•市北区一模）小明和小亮用如图所示的，两个均匀、可以自由转动的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别任意转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，即可以配成紫色．此时小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表格的方法说明理由．
34．（2023•莱芜区一模）读书是文化建设的基础，为了充分发挥读书启智润心的正能量，十四届政协委员林丽颍建议设立了“国家读书日”，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了30户家庭进行问卷调查，将调查结果分为4个等级：A、B、C、D．整理如下：
下面是家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据：1，1.2，1.3，1.5，1.2，1，1.5，1.4，1.7，1.2，1.2，1，1.8，1.6，1.5．
家庭成年人阅读时间统计表：
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；
（2）B组数据的众数是 ，中位数是 ；
（3）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为 度，m＝ ；
（4）该社区宣传管理人员有1男2女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
35．（2023•越秀区一模）“校园音乐之声“结束后，王老师整理了所有参赛选手的比赛成绩（单位：分），绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图：
（1）求本次比赛参赛选手总人数，并补全频数分布直方图；
（2）成绩在E区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机选取两人，求恰好选中两名女生的概率．
36．（2023•梁溪区一模）如图，在一个3×3的棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内继续随机放入棋子（每一方格内最多放入一枚棋子），如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”．
（1）如果随机放入1枚棋子，出现“三连珠”的概率是 ．
（2）如果随机放入2枚棋子，求棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
37．（2023•工业园区一模）如图，某停车场剩下四个车位，小明观察小汽车的停车情况．
（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“003”号车位的概率是 ；
（2）若有两辆小汽车停车，求这两辆车停在不相邻车位的概率．
38．（2023•新抚区三模）某中学九年（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m＝ ，n＝ ，表示“足球”的扇形的圆心角是 度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
39．（2023•衡水模拟）对甲、乙两家公司员工月收入情况进行调查，并把调查结果分别绘制成统计表和不完整的条形统计图（月收入为9千元的数据不全）．
甲公司员工月收入统计表
（1）若在甲公司随机选择一名员工，则该员工月收入超过4千元的概率为 ；
（2）若甲、乙两家公司员工月收入的平均数相同，请通过计算补全条形统计图；
（3）若甲公司有一名员工辞职了，从本月停发该员工工资，其他员工工资不变，嘉淇通过计算发现，该公司剩下9名员工月收入的平均数比原10名员工月收入的平均数减小了，则该名辞职的员工可能 （填写员工序号）．
乙公司员工月收入统计图
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
成绩/分
88
89
90
91
95
96
97
98
99
学生人数
2
1
a
3
2
1
3
2
1
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
等级
一般
较好
良好
优秀
阅读量/本
3
4
5
6
频数
12
a
14
4
频率
0.24
0.40
b
c
月份
1月
2月
3月
4月
5月
该品牌月销售额
180
90
115
95
等级
阅读时间（小时）
频数
A
0≤x＜1
12
B
1≤x＜1.5
a
C
1.5≤x＜2
b
D
x≥2
3
合计
30
员工序号
经理
副经理
职员A
职员B
职员C
职员D
职员E
职员F
职员G
职员H
月收入
/千元
8.8
6.2
4.5
4.2
3.8
3.7
3.6
3.6
3.6
3
专题43 中考解答题最常考题型概率问题（解析版）
模块一 2022中考真题
类型一 概率问题
1．(2023•沈阳）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 14 ；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
思路引领：（1）根据概率公式求解即可．
（2）画树状图，表示出所有等可能的结果数，以及两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果数，再结合概率公式即可得出答案．
解：（1）由题意得，
随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是14．
故答案为：14．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果有2种，
∴小明随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率为212=16．
总结提升：本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
2．(2023•无锡）A袋中有3白球1红球，B袋中有1白球1红球，某人第一次从A袋中任意摸出一个球，放入B袋中，再将B袋中的球摇匀后第二次从B袋中任意摸出一个球，放入A袋．
（1）第一次摸出的是白球的概率是 34 ；
（2）经过二次摸球后，A袋中有2白球2红球的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
思路引领：（1）由概率公式直接可得答案；
（2）画树状图，列出所有可能，再用概率公式可得答案．
解：（1）∵A袋中有3白球1红球，
∴第一次从A袋中任意摸出一个球，摸出的是白球的概率是31+3=34；
故答案为：34；
（2）
由树状图可知，共有12种等可能结果，满足A袋中有2白球2红球（第一次摸到白球，第二次摸到红球）的结果有3种，
∴经过二次摸球后，A袋中有2白球，2红球的概率为14．
总结提升：本题考查列表（树状图）求概率，解题的关键是掌握画树状图，列出所有可能的情况．
3．(2023•陕西）有三枚普通硬币，其面值数字分别为1，5，5．现规定：掷一枚硬币，若该硬币正面朝上，则所得的数字为面值数字；若该硬币反面朝上，则所得的数字为0．
（1）若用其中一枚硬币，随机掷20次，其中正面朝上的次数为8次，则在这20次掷币中，该硬币正面朝上的频率为 0.4 ；
（2）若依次掷出这三枚硬币，用画树状图的方法，求掷出这三枚硬币所得数字之和是6的概率．
思路引领：（1）根据频率＝频数÷数据总数列式计算即可得解；
（2）列出树状图，求出所有等可能的情况总数和所得数字之和是6的情况个数，用概率公式计算即可得到答案．
解：（1）硬币正面朝上的频率为820=0.4，
故答案为：0.4；
（2）树状图如下：
一共有8种等可能的情况，其中所得数字之和是8的有2种，
∴所得数字之和是6的概率是28=14．
总结提升：本题考查列树状图求概率，涉及频数与频率，解题的关键是列出树状图．
4．(2023•内蒙古）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的概率．
思路引领：（1）直接利用概率公式可得结果．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）∵口袋中共有4个小球，且小球上数字是奇数的有2个，
∴摸出小球上的数字是奇数的概率为24=12．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中点在函数y＝﹣x+4的图象上的有（1，3），（3，1），共2种，
∴由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的概率为212=16．
总结提升：本题考查列表法与树状图法、一次函数图象上点的坐标特征、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数总情况数．
5．(2023•淮安）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 13 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
思路引领：（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数，
∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是13．
故答案为：13．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：（1，1），（1，3），（3，1），（3，3），共4种，
∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为49．
总结提升：本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
6．(2023•徐州）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 23 ；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
思路引领：（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽得2张扑克牌的数字不同的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为23，
故答案为：23；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽得2张扑克牌的数字不同的结果有4种，
∴抽得2张扑克牌的数字不同的概率为46=23．
总结提升：此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．(2023•镇江）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于 13 ；
（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
思路引领：（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，再由概率公式求解即可．
解：（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于12+1=13，
故答案为：13；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，
∴2次都摸到红球的概率为19．
总结提升：本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．(2023•南通）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 13 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．
思路引领：（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是13，
故答案为：13；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，
∴两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率为29．
总结提升：此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．(2023•朝阳）某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是 14 ．
（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
思路引领：（1）根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是14，
故答案为：14；
（2）列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有4种结果，
所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为416=14．
总结提升：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．(2023•鞍山）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用A，B表示）和八年级的两名学生（用C，D表示）获得优秀奖．
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 12 ．
（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
思路引领：（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是24=12，
故答案为：12；
（2）列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果，
所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为812=23．
总结提升：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
类型二 数据统计与概率综合
11．(2023•河池）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 50 ，圆心角β＝ 144 度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
思路引领：（1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
（2）求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
（3）由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：（1）本次调查的样本容量是：10÷20%＝50，
则圆心角β＝360°×2050=144°，
故答案为：50，144；
（2）成绩优秀的人数为：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），
补全条形统计图如下：
（3）1200×2050=480（人），
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，
∴恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为212=16．
总结提升：此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．(2023•青海）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 8 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
思路引领：（1）由众数和中位数的定义求解即可；
（2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解；
（3）由七、八年级的总人数分别乘以优秀率，再相加即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，再由概率公式求解即可．
解：（1）由众数的定义得：a＝8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为：8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）500×80%+500×60%＝700（人），
即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；
（4）把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为B，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为612=12．
总结提升：本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、统计表、中位数、众数等知识；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
13．(2023•荆门）为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：
数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示．
（1）试确定a的值及测评成绩的平均数x，并补全条形图；
（2）记测评成绩为x，学校规定：80≤x＜90时，成绩为合格；90≤x＜97时，成绩为良好；97≤x≤100时，成绩为优秀．求扇形统计图中m和n的值；
（3）从成绩为优秀的学生中随机抽取2人，求恰好1人得97分、1人得98分的概率．
思路引领：（1）根据统计表中给出的数据和平均数的定义，可得a的值以及平均数x的值并补全条形图；
（2）根据数据除以总数等于百分比求解；
（3）根据简单事件的概率公式求解．
解：（1）由题意可知，a＝20﹣（2+1+3+2+1+3+2+1）＝5，
∴a＝5，
x=120（88×2+89+90×5+91×3+95×2+96+97×3+98×2+99）＝93，
补全的条形统计图如图所示：
（2）
m=1+220×100＝15；
n=3+2+120×100＝30；
（3）列表格如下：
所有等可能的结果有30种，其中恰好1人得97分、1人得98分的有12种，
∴P（恰好1人得97分、1人得98分）=1230=25，
故概率为：1230=25．
总结提升：本题考查条形统计图，扇形统计图、平均数，概率，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．(2023•巴中）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 200 人，其中参加围棋社的有 40 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
思路引领：（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．
（3）用树状图表示3男2女共5名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可．
解：（1）抽取的学生共有：80÷40%＝200（人），
参加围棋社的有：200﹣50﹣30﹣80＝40（人）；
故答案为：200，40；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有：3200×30200=480（人）；
（3）画树状图如下：
∵所有等可能出现的结果总数为20个，其中抽到一男一女的情况数有12个，
∴恰好抽到一男一女概率为1220=35．
总结提升：本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率．
15．(2023•日照）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）x＝ 30% ，y＝ 16% ，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是 95 ，众数是 94 ；
（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
思路引领：（1）先求出被调查的总人数，继而可求得y、x的值；
（2）将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；
（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可；
（4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）被调查的总人数为4÷8%＝50（人），
∴优秀对应的百分比y=850×100%＝16%，
则一般对应的人数为50﹣（4+23+8）＝15（人），
∴其对应的百分比x=1550×100%＝30%，
补全图形如下：
故答案为：30%，16%．
（2）将这组数据重新排列为91，93，94，94，96，98，99，100，
所以其中位数为94+962=95，众数为94，
故答案为：95、94；
（3）估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为1200×16%＝192（人）；
（4）画树状图为：
共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，
所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为612=12．
总结提升：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．(2023•资阳）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
思路引领：（1）用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，即可解决问题；
（2）用全校共有学生人数乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的比例即可；
（3）画出树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种．再根据概率公式即可求解．
解：（1）本次调查的学生人数为：80÷40%＝200（人），
则科普类的学生人数为：200﹣40﹣50﹣80＝30（人），
补全条形统计图如下：
（2）愿意参加劳动社团的学生人数为：3600×50200=900（人）；
（3）把阅读、美术、劳动社团分别记为A、B、C，
画出树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种，
∴甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为39=13．
总结提升：此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．(2023•菏泽）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 40 名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 72 度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 560人 ；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
思路引领：（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（名），C组人数为40﹣（4+16+12）＝8（名），
补全图形如下：
故答案为：40；
（2）C组所对应的扇形圆心角为360°×840=72°，
故答案为：72；
（3）估计该校喜欢跳绳的学生人数约是1400×1640=560（人），
故答案为：560人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为612=12．
总结提升：此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
18．(2023•黔西南州）神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我的航天梦”科技活动周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制作；B：航天资料收集；C：航天知识竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生（每名学生必选一项且只能选择一项），并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝ 100 ，n＝ 35 ；并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
（3）在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？
思路引领：（1）用航模制作的人数和所占的百分比，求出m的值，再分别求出B、C的人数及B所占的百分比，然后补全统计图即可；
（2）用总人数乘以选择参观科学馆的人数所占的百分比即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙被分在同一组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：（1）m＝10÷10%＝100；
航天知识竞赛的人数有：100×15%＝15（人），
航天资料收集的人数有：100﹣10﹣40﹣15＝35（人），
n%=35100×100%＝35%，即n＝35，
补全统计图如下：
故答案为：100，35；
（2）根据题意得：
1800×40%＝720（人），
答：大约有720人选择参观科学馆；
（3）由题意列表得：
共有12种等可能的结果数，其中甲、乙被分在同一组的有4种，
则甲、乙被分在同一组的概率是412=13．
总结提升：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．(2023•淄博）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 120 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 99 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
思路引领：（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%＝120（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×33120=99°，
故答案为：120，99；
（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120×54°360°=18（名），
则选修“园艺”的学生人数为：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（名），
补全条形统计图如下：
（3）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为525=15．
总结提升：本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．(2023•黄石）某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：
请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 50 名学生；表中a＝ 20 ，b＝ 0.28 ，c＝ 0.08 ；
（2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数；
（3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率．
思路引领：（1）由一般的频数和频率，求本次调查的总人数，然后即可计算出a、b、c的值；
（2）由众数和平均数的定义即可得出答案；
（3）画树状图，共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，再由概率公式即可得出答案．
解：（1）本次抽取的学生共有：12÷0.24＝50（名），
∴a＝50×0.40＝20，b＝14÷50＝0.28，c＝4÷50＝0.08，
故答案为：50，20，0.28，0.08；
（2）∵所抽查学生阅读量为4本的学生最多，有20名，
∴所抽查学生阅读量的众数为4，
平均数为：150×（3×12+4×20+5×14+6×4）＝4.2；
（3）画树状图如下：
共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，
∴所选2名同学中有男生的概率为612=12．
总结提升：此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表、众数、平均数等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
模块二 2023中考押题预测
21．（2023•雁塔区校级模拟）春节期间，小颖同学计划跟随父母来西安旅游，决定采用抽签的方式从“1﹣大唐不夜城现代唐人街”，“2﹣大唐芙蓉园”，“3﹣大明宫”，“4﹣西安明城墙景区”，“5﹣大唐西市”中选择两个地方去游览，抽签规则如下：把五个地点分别写在五张背面相同的卡片的正面，然后背面朝上放在水平桌面上搅匀后，随机抽取一张，不放回，再抽取一张．
（1）小颖随机抽取一张卡片，抽取到的地点是“大唐不夜城现代唐人街”的概率为 15 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的概率．
思路引领：（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）由题意得，小颖随机抽取一张卡片，抽取到的地点是“大唐不夜城现代唐人街”的概率为15．
故答案为：15．
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中小颖选择去“1﹣大唐不夜城现代唐人街”和“2﹣大唐芙蓉园”这两个地方的结果有2种，
∴小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的概率为220=110．
总结提升：本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．（2023•庐阳区校级模拟）学校即将开展红色经典诵读活动，李老师给学生推荐了3种不同的名著A，B，C．甲，乙两位同学分别从中任意选一种阅读，假设选任意一种都是等可能的．
（1）甲同学选中名著B的概率是 13 ．
（2）请你利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选中的名著不相同的概率．
思路引领：（1）根据概率公式求解即可．
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，再由概率公式求解即可．
（1）∵共有3种不同的名著A，B，C，
∴其名著B的概率是：13；
（2）根据题意画图
共有9种等可能的情况数，其中甲、乙两位同学选中的名著不相同的有9种，
则甲、乙两位同学选中的名著不相同的概率为：69=23．
总结提升：本题考查了用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（2023•泰山区一模）某校为了响应市政府号召，在“创文明城市”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图：条形统计图和扇形统计图．
（1）求本次调查的学生人数和m的值；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小明同学随机选择两天，那么其中有一天是星期五的概率是多少？
思路引领：（1）用C主题的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数；求出A主题所占的百分比即可求得m的值．
（2）分别求出B主题和D主题的人数，补全条形统计图即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及其中有一天是星期五的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）本次调查的学生人数为25÷25%＝100（人）．
∵m%=35100×100%=35%，
∴m＝35．
（2）B主题的人数为100×35%＝35（人），
D主题的人数为100﹣35﹣35﹣25＝5（人）．
补全条形统计图如图．
（3）设星期一至星期五分别记为1，2，3，4，5，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中有一天是星期五的结果有：（1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共8种，
∴其中有一天是星期五的概率为820=25．
总结提升：本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
24．（2023•南明区校级模拟）某电子品牌商下设台式电脑部、平板电脑部、手机部等．2022年的前五个月该品牌全部商品销售额共计600万元．下表表示该品牌商2022年前五个月的月销售额（统计信息不全）：图1表示该品牌手机部各月销售额占该品牌所有商品当月销售额的百分比情况统计图；图2表示5月份手机部各机型销售数量占5月份手机部销售总量的百分比统计图．该品牌月销售额统计表（单位：万元）
（1）若要表示手机部A机型这5个月销售量的变化趋势，该采用 折线 统计图；
（2）该品牌5月份的销售额是 120 万元，手机部5月份的销售额是 36 万元；
（3）小明和小红准备在A，B，E三款手机中选择一款手机购买，请问他们选择同一款手机的概率是多少？
思路引领：（1）根据折线统计图的特点即可得出答案；
（2）用五个月的全部商品销售额减去前四个月的销售额即可得到5月份的销售额，根据图1，手机占5月销售额的30%即可得出答案．
解：（1）折线统计图可以显示销售量变化趋势，
故答案为：折线；
（2）600﹣180﹣90﹣115﹣95＝120（万元），
120×30%＝36（万元），
故答案为：120，36；
（3）画树状图如下：
∴一共有9种等可能的情况，们选择同一款手机的情况是3种，
∴他们选择同一款手机的概率是39=13．
总结提升：本题考查了统计图的选择，统计表，掌握折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况，②显示数据变化趋势是解题的关键．
25．（2023•徐州模拟）将A，B，C三个景点的名称写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率是 13 ；
（2）先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或画树状图法，求抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率．
思路引领：（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况，再找到抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的情况，最后利用概率公式计算即可．
解：（1）∵3张卡片中名称为A的只有1张，
∴随机抽取一张，抽到A卡片的概率是13，
故答案为：13；
（2）由题意可列表格如下：
由表格可知共有9种等可能的情况，其中抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的情况有5种，
∴抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率为59．
总结提升：本题考查简单的概率计算，列表或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况是解题关键．
26．（2023•莱西市一模）“用可以再生的血液，挽救无法重来的生命”．某单位开展“世界献血日”自愿义务献血活动，参与献血者的血型有“A、B、AB、O”四种类型．现有4个自愿献血者，2人为O型，1人为A型，1人为B型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为O型的概率．
思路引领：画出树状图，找到所有等可能情况，用两人血型均为O型的情况数除以总的情况数即可得到答案．
解：树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中两人血型均为O型的有2种，
故两人血型均为O型的概率为：212=16．
总结提升：此题考查了树状图或列表法，熟练准确画出树状图或列表是解题的关键．
27．（2023•前郭县一模）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加该活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现采取随机抽取的方式对这四名同学进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，求恰好抽到小艺同学的概率；
（2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表的方法求两名同学均来自八年级的概率．
思路引领：（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两名同学均来自八年级的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）随机抽取一名同学，共有4种等可能的结果，其中抽到小艺同学的只有1种，
∴恰好抽到小艺同学的概率为 14．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级，即小志和小晴的结果有2种，
∴两名同学均来自八年级的概率为212=16．
总结提升：本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
28．（2023•宿迁模拟）在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外其它完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，则该卡片上写有数字1的概率是 27 ；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，请利用画树状图或列表法求这个两位数大于22的概率．
思路引领：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率．
解：（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，
∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是27，
故答案为：27；
（2）组成的所有两位数列表为：
∴这个两位数大于22的概率为712．
总结提升：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
29．（2023•崂山区一模）共享概念已经进入人们的生活，某同学收集了自己感兴趣的4个共享领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A，B，C，D四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．
思路引领：画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”，即A和D的结果有2种，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率为212=16．
总结提升：本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
30．（2023•梁山县模拟）梁山县某学校在落实“双减”的背景下，决定在课后延时服务中组织学生开展社团活动，现准备开设手工、摄影、航模，编程四门校本课程，规定每名学生必须且只能选修一门校本课程，学校对七年级学生选修校本课程的情况进行了抽样调查，根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）补全条形统计图和扇形统计图；
（2）若本次调查中选择“航模”课程中的女生占20%，则在全校2800名学生中，请你估计约有多少名女生会选择“航模”课程；
（3）将2名选修“航模”的学生和2名选修“编程”的学生编为一组，再从中随机抽取2人，请用画树状图的方法求出2人都选修“航模”的概率．
思路引领：（1）根据选修“编程”的人数除以占比得出总人数，然后求得选修“手工”的人数以及选修“航模”的占比，补充统计图即可求解；
（2）根据样本估算总体，用2800×35%×20%即可求解．
（3）根据画梳树状图法求概率即可求解．
解：（1）总人数为72÷8%＝900（人），
∴选择“手工”的人数为900×25%＝225（人），
选修“航模”的占比为315900×100%=35%，
补全条形统计图和扇形统计图：
（2）2800×35%×20%＝196（人），
∴约有196名女生会选择“航模”课程．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中2人都选修“航模”的情况有2种，
∴2人都选修“航模”的概率P=212=16．
总结提升：本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
31．（2023•茅箭区一模）2020年3月我国因“新冠病毒”的疫情，都不能如期开学，我市某校网上开设了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程，要求学生在家选择一项网上学习，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）若该校共有2000名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数．
（3）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，请用树状图或列表法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母A，B，C，D表示）
思路引领：（1）用选择“棋类”的学生人数除以其所占的百分比可得本次随机调查的学生人数．
（2）先求出选择“书画”类的学生人数，进而可得选择“戏曲”类的学生人数，根据用样本估计总体，用2000乘以本次随机调查中选择“戏曲”类的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）本次随机调查的学生人数为30÷15%＝200（名）．
（2）由题意得，选择“书画”类的学生人数为200×25%＝50（人），
∴选择“戏曲”类的学生人数为200﹣50﹣80﹣30＝40（人），
∴估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为2000×40200=400（人）．
（3）列表如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类，即B和C的结果有2种，
∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为212=16．
总结提升：本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
32．（2023•大丰区一模）2023年盐城市初中毕业升学体育考试有必考项目立定跳远和一项选考项目，男生选考项目为掷实心球或引体向上，女生选考项目为掷实心球或仰卧起坐．
（1）小明（男）从选考项目中任选一个，选中引体向上的概率为 12 ；
（2）小明（男）和小红（女）分别从选考项目中任选一个，求两人都选择掷实心球的概率．（用树状图或列表法写出分析过程）
思路引领：（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两人都选择掷实心球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）∵男生选考项目为掷实心球或引体向上，
∴小明（男）从选考项目中任选一个，选中引体向上的概率为12．
故答案为：12．
（2）设掷实心球记为A，引体向上记为B，仰卧起坐记为C，
画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两人都选择A．掷实心球的结果有1种，
∴两人都选择掷实心球的概率为14．
总结提升：本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
33．（2023•市北区一模）小明和小亮用如图所示的，两个均匀、可以自由转动的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别任意转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，即可以配成紫色．此时小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表格的方法说明理由．
思路引领：根据题意列出图表得出所有等可能的结果数，再找出不能配成紫色的结果数，再根据概率公式计算出小明和小亮胜的概率，然后比较小亮胜的概率和小明胜的概率的大小，即可判断这个游戏是否公平．
解：根据题意列表如下：
共有6种等可能的结果数，其中能配成紫色的结果数为3，
所以小明胜的概率是36=12，小亮胜的概率是12，
∵12=12，
∴这个游戏公平．
总结提升：本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
34．（2023•莱芜区一模）读书是文化建设的基础，为了充分发挥读书启智润心的正能量，十四届政协委员林丽颍建议设立了“国家读书日”，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了30户家庭进行问卷调查，将调查结果分为4个等级：A、B、C、D．整理如下：
下面是家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据：1，1.2，1.3，1.5，1.2，1，1.5，1.4，1.7，1.2，1.2，1，1.8，1.6，1.5．
家庭成年人阅读时间统计表：
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ 9 ，b＝ 6 ；
（2）B组数据的众数是 1.2 ，中位数是 1.2 ；
（3）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为 72 度，m＝ 30 ；
（4）该社区宣传管理人员有1男2女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
思路引领：（1）由家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据可得答案．
（2）根据众数和中位数的定义可得答案．
（3）用360°乘以C等级的人数所占的百分比，即可求出C组对应扇形的圆心角的度数；求出B等级的人数所占的百分比即可得出答案．
（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中“1男1女”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）由家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据可知，a＝9，b＝6．
故答案为：9；6．
（2）∵1≤x＜1.5小时内的数据中，1.2出现的次数最多，
∴B组数据的众数是1.2．
将1≤x＜1.5小时内的数据按从小到大排列，排在第5个的是1.2，
∴B组数据的中位数是1.2．
故答案为：1.2；1.2．
（3）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为360°×630=72°．
m%=930×100%＝30%，
∴m＝30．
故答案为：72；30．
（4）设1名男生记为A，2名女生记为B，C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好选中“1男1女”的结果有：AB，AC，BA，CA，共4种，
∴恰好选中“1男1女”的概率为46=23．
总结提升：本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、众数、中位数，能够理解频数（率）分布表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及众数和中位数的定义是解答本题的关键．
35．（2023•越秀区一模）“校园音乐之声“结束后，王老师整理了所有参赛选手的比赛成绩（单位：分），绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图：
（1）求本次比赛参赛选手总人数，并补全频数分布直方图；
（2）成绩在E区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机选取两人，求恰好选中两名女生的概率．
思路引领：（1）用成绩在D区域的学生人数除以其所占的百分比可得本次比赛参赛选手总人数；用本次比赛参赛选手总人数分别减去成绩在A，B，C，D区域的学生人数，可求出成绩在E区域的人数，补全条形统计图即可．
（2）根据题意可知，女生为2人，男生为3人，画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中两名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）本次比赛参赛选手总人数为9÷25%＝36（人）．
成绩在95≤x＜100区域的人数为36﹣4﹣7﹣11﹣9＝5（人）．
补全频数分布直方图如图．
（2）设成绩在E区域的选手中，女生为a人，则男生为（a+1）人，
∴a+（a+1）＝5，
解得a＝2，
∴女生为2人，男生为3人．
记2名女生分别为A，B，3名男生分别为C，D，E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选中两名女生的结果有：AB，BA，共2种，
∴恰好选中两名女生的概率为220=110．
总结提升：本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布直方图、扇形统计图，能够理解频数（率）分布直方图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
36．（2023•梁溪区一模）如图，在一个3×3的棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内继续随机放入棋子（每一方格内最多放入一枚棋子），如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”．
（1）如果随机放入1枚棋子，出现“三连珠”的概率是 45 ．
（2）如果随机放入2枚棋子，求棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
思路引领：（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20个等可能的结果，棋盘内同时出现三个“三连珠”的结果有4个，再由概率公式求解即可．
解：（1）棋盘内已有四枚棋子，在剩余的5个方格内随机放入一枚棋子，能出现“三连珠”的位置是1、2、3、5四个位置，
∴出现“三连珠”的概率是45．
故答案为：45．
（2）画树状图如图：
共有20个等可能的结果，棋盘内同时出现三个“三连珠”的有（1，3）、（3，1）、（3，5）、（5，3），共4个结果，
∴棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率为420=15．
∴棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率为15．
总结提升：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
37．（2023•工业园区一模）如图，某停车场剩下四个车位，小明观察小汽车的停车情况．
（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“003”号车位的概率是 14 ；
（2）若有两辆小汽车停车，求这两辆车停在不相邻车位的概率．
思路引领：（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
解：（1）∵一共有四个车位，每个车位被选择的概率相同，
∴有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是14，
故答案为：14；
（2）设这四个车位分别用A、B、C、D表示，列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中两辆车停在不相邻车位的结果数有6种，
∴两辆车停在不相邻车位的概率为 612=12．
总结提升：本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
38．（2023•新抚区三模）某中学九年（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m＝ 10 ，n＝ 20 ，表示“足球”的扇形的圆心角是 72 度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
思路引领：（1）用选择篮球的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，再用本次调查的学生人数分别减去选择排球、篮球、乒乓球的学生人数，可求出选择足球的学生人数，补全条形统计图即可．
（2）用选择排球的学生人数除以调查总人数再乘以100%，可得m%，同理可得n%，用360°乘以n%，即可求出“足球”的扇形的圆心角度数．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及选出的2名学生恰好是1男1女的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）本次调查的学生人数为12÷30%＝40（人），
选择足球的学生人数为40﹣4﹣12﹣16＝8（人）．
补全条形统计图如图．
（2）m%=440×100%＝10%，
n%=840×100%＝20%，
m＝10，n＝20，
表示“足球”的扇形的圆心角是360°×20%＝72°．
故答案为：10；20；72．
（3）设4名学生中3名男生分别记为A，B，C，1名女生记为D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1男1女的结果有AD，BD，CD，DA，DB，DC，共6种，
∴选出的2名学生恰好是1男1女的概率为612=12．
总结提升：本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
39．（2023•衡水模拟）对甲、乙两家公司员工月收入情况进行调查，并把调查结果分别绘制成统计表和不完整的条形统计图（月收入为9千元的数据不全）．
甲公司员工月收入统计表
乙公司员工月收入统计图
（1）若在甲公司随机选择一名员工，则该员工月收入超过4千元的概率为 25 ；
（2）若甲、乙两家公司员工月收入的平均数相同，请通过计算补全条形统计图；
（3）若甲公司有一名员工辞职了，从本月停发该员工工资，其他员工工资不变，嘉淇通过计算发现，该公司剩下9名员工月收入的平均数比原10名员工月收入的平均数减小了，则该名辞职的员工可能 经理或副经理 （填写员工序号）．
思路引领：（1）利用概率公式计算即可；
（2）根据平均数相同，求出月收入为9千元的人数即可；
（3）根据剩下9名员工月收入的平均数比原10名员工月收入的平均数减小了，得出辞职的那名员工工资高于平均数，从而得出辞职的那名员工可能是经理或副经理．
解：（1）由统计表可得：甲公司共10人，其中月收入超过4千元的有4人，
∴在甲公司随机选择一名员工，则该员工月收入超过4千元的概率为：410=25；
故答案为：25；
（2）设乙公司月收入为9千元的有x人，
则2×1+3×5+5×2+9x1+5+2+x=（8.8+6.2+4.5+4.2+3.8+3.7+3.6+3.6+3.6+3）÷10，
解得x＝2，
补全条形统计图如下：
（3）甲公司的平均工资为8.8+6.2+4.5+4.2+3.8+3.7+3.6+3.6+3.6+3）÷10＝4.5（千元），
由题意可知，辞职的那名员工工资高于4.5千元，所以辞职的那名员工可能是经理或副经理．
故答案为：经理或副经理．
总结提升：本题考查了概率公式，加权平均数和条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
成绩/分
88
89
90
91
95
96
97
98
99
学生人数
2
1
a
3
2
1
3
2
1
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
甲
乙
丙
丁
甲
δ
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙
等级
一般
较好
良好
优秀
阅读量/本
3
4
5
6
频数
12
a
14
4
频率
0.24
0.40
b
c
月份
1月
2月
3月
4月
5月
该品牌月销售额
180
90
115
95
第一次第二次
A
B
C
A
A，A
A，B
A，C
B
B，A
B，B
B，C
C
C，A
C，B
C，C
小贤
小晴
小志
小艺
小贤
小晴、小贤
小志、小贤
小艺、小贤
小晴
小贤、小晴
小志、小晴
小艺、小晴
小志
小贤、小志
小晴、小志
小艺、小志
小艺
小贤、小艺
小晴、小艺
小志、小艺
十位数
个位数
1
2
3
4
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
红
蓝
蓝
红
（红，红）
（红，蓝）
（红，蓝）
蓝
（蓝，红）
（蓝，蓝）
（蓝，蓝）
等级
阅读时间（小时）
频数
A
0≤x＜1
12
B
1≤x＜1.5
a
C
1.5≤x＜2
b
D
x≥2
3
合计
30
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
员工序号
经理
副经理
职员A
职员B
职员C
职员D
职员E
职员F
职员G
职员H
月收入
/千元
8.8
6.2
4.5
4.2
3.8
3.7
3.6
3.6
3.6
3
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