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中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题33中考命题核心元素一次函数的K值妙用(原卷版+解析)
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这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题33中考命题核心元素一次函数的K值妙用(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了典例剖析+针对训练，2023中考押题预测等内容，欢迎下载使用。
类型1 k与特殊角
k值与特殊角角的关系：当k＝±1时⇔与x轴的夹角为45°；当k＝±eq \f(\r(3),3)时⇔与x轴的夹角为30°；当k＝±eq \r(3)时⇔与x轴的夹角为60°.
典例1（2023•尧都区模拟）如图所示，已知点A坐标为（6，0），直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为（ ）
A．23B．33C．3D．63
针对训练
1．(2023•高新区二模）如图，一次函数y＝x+22的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为 ．
2．(2023•黄冈中学自主招生）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是 ．
类型2 k与平移
直线的平移规律：上加下减，左加右减．
典例2(2023•通州区二模）一次函数y=34x+3与y=34x+n的图象之间的距离等于4，则n的值为（ ）
A．﹣8或2B．8或﹣2C．5或﹣5D．﹣1或7
针对训练
1．（2023•朝阳区二模）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象可以由y＝2x的图象平移得到，且经过点（0，1），则这个一次函数的表达式为 ．
2．(2023•易县模拟）如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为边在x轴的下方作等边三角形OAC，将点C向上平移m个单位长度，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则m＝（ ）
A．2−3B．2+3C．4−3D．4+3
类型3 k与折叠
典例3 如图，直线y=−3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若把△AOB沿着直线AB翻折，点O落在点C处，则点C的坐标是 ．
针对训练
1．（2023•黑河一模）如图，直线y＝kx+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴左侧作等边三角形OBC，将△OBC沿y轴翻折后，点C的对应点C′恰好落在直线y＝kx+4上，则k的值为（ ）
A．3B．﹣1C．−33D．−3
2．（ 济南中考）如图，直线y=−33x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（ ）
A．（3，3）B．（3，3）C．（2，23）D．（23，4）
类型4 k与旋转
典例4（2023•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）
针对训练
1．（2023•自贡模拟）如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为 ．
2．（2023•南岗区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b分别交x、y轴于B、A两点，且AB＝82．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是y轴负半轴上一点，纵坐标为d，点D是直线AB上一点，横坐标为t，d与t的函数关系为d＝t+4，将线段CD绕点C顺时针旋转90°，得到线段CE，求E点坐标；
（3）在（2）的条件下，线段CD交x轴于点M，CE交x轴于点P，G为点P右侧x轴上一点，连接GE并延长交直线AB于F，N是线段CE上一点，连接MN，过点E作EK⊥EC交过点A且平行于x轴的直线于点K，连接MK，若MK平分∠DMN，∠PEG＝45°，3AF＝4BD，求点N的坐标．
类型5 隐含的k
典例5 已知点A（4m，3m），且m＞0，点B为x轴正半轴上一点，点P为∠AOB内一点，OP＝5，则△PAB周长的最小值为 ．
针对训练
1．已知平面直角坐标系内有两点P（4，2）与Q（a，a+2），当PQ的长最小时，a的值为 ．
2．（2023春•临潼区期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．
模块二 2023中考押题预测
一．选择题（共5小题）
1．(2023•德化县期中）若一次函数y＝（k﹣3）x+（3k﹣1）的图象经过点A（﹣2，7），则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．23D．−23
2．(2023•海拉尔区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x+4分别交x轴，y轴于点A，点B，线段AB上有一点C，点C的横坐标为65，过点C的直线y＝kx+b与直线AB垂直，交y轴于点D，则不等式kx+b≥0的所有负整数解的和是（ ）
A．﹣10B．﹣6C．﹣3D．﹣1
3．如图，在等边三角形ABO中，边OA在x轴上，点A的坐标为（﹣m，0），直线y=−32x+23与x轴交于点C，与y轴交于点D，将△ABO沿x轴向右平移3个单位，点B的对应点B'恰好落在直线CD上，则点B'的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（3，3）C．（2，23）D．（2，2）
4．（2023秋•河东区期末）如图，直线y=−33x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO'B，则点O'的坐标是（ ）
A．（32，32）B．（32，2）C．（1，32）D．（1，3）
5．（2023•深圳模拟）如图，直线AB：y＝﹣3x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C（﹣1，0），D为y轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE长度最小时，线段CD的长为（ ）
A．10B．17C．5D．27
二．填空题（共6小题）
6．（2023秋•润州区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（2，﹣1），点P在y轴上，当PA+PB的值最小时，P的坐标是 ．
7．(2023•南京模拟）已知A（2，5），B（m，0）是平面直角坐标系xOy中的两点，这两点之间的距离的最小值为 ．
8．(2023•大同模拟）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B逆时针旋转30°后，直线交x轴于点C，则线段AC的长为 ．
9．（2023春•绵阳期末）先将函数y＝kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，再将函数y＝3x+b的图象向上平移1个单位长度，若平移后的两个函数的图象重合，则2k−3b= ．
10．(2023秋•内丘县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°，则旋转后的直线的函数表达式为 ．
11．(2023春•岳阳楼区期末）如图，已知一次函数y=−34x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，与直线y=54x相交于点C．过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．
①点C坐标是 ；
②若点E是直线y=54x上的一个动点，且处于直线AB下方，当△APE是以∠EAP为直角的等腰直角三角形时，点E的坐标是 ．
三．解答题（共2小题）
12．(2023•天津模拟）如图，直线y＝x+3交y轴于点A，交x轴于点B，经过点（2，2）且平行于直线y＝﹣2x的直线交x轴于点C，交y轴于点D，交AB于点E．
（1）直线CD的解析式为 ；
（2）求△EBC的面积；
（3）P是直线AB上的一个动点，过点P作PQ∥y轴，交直线CD于点Q，若PQ＝2AD，求点P的坐标．
13．(2023•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y=x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
专题33 中考命题核心元素一次函数的K值妙用（解析版）
模块一 典例剖析+针对训练
类型1 k与特殊角
k值与特殊角角的关系：当k＝±1时⇔与x轴的夹角为45°；当k＝±eq \f(\r(3),3)时⇔与x轴的夹角为30°；当k＝±eq \r(3)时⇔与x轴的夹角为60°.
1．（2023•尧都区模拟）如图所示，已知点A坐标为（6，0），直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为（ ）
A．23B．33C．3D．63
思路引领：根据直线y＝x+b可以求得∠BCO的度数，然后根据三角形的外角和不相邻内角的关系可以求得∠BAO的度数，再根据锐角三角函数即可求得b的值．
解：设直线y＝x+b与x轴交于点C，
将y＝0代入y＝x+b，得x＝﹣b，
将x＝0代入y＝x+b，得y＝b，
∴OB＝OC＝b，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠α＝75°，∠α＝∠OCB+∠BAC，
∴∠BAC＝30°，
即∠BAO＝30°，
∵点A（6，0），∠BOA＝90°，点B（0，b），
∴OA＝6，OB＝b，
∴tan30°=b6，
解得，b＝23，
故选：A．
总结提升：本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
针对训练
1．(2023•高新区二模）如图，一次函数y＝x+22的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为 ．
思路引领：根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
解：∵一次函数y＝x+22的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y＝22．
令y＝0，则x＝﹣22，
则A（﹣22，0），B（0，22），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB=(22)2+(22)2=4，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC=AD2+CD2=2x，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD=BC2−CD2=3x，
又BD＝AB+AD＝4+x，
∴4+x=3x，
解得：x＝23+2，
∴AC=2x=2（23+2）＝26+22，
故答案是：26+22．
总结提升：本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
2．(2023•黄冈中学自主招生）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是 ．
思路引领：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．
解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵AB＝23，
∴AE=3，PA＝2，
∴PE＝1．
∵点D在直线y＝x上，
∴∠AOC＝45°，
∵∠DCO＝90°，
∴∠ODC＝45°，
∴∠PDE＝∠ODC＝45°，
∴∠DPE＝∠PDE＝45°，
∴DE＝PE＝1，
∴PD=2．
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴点D的横坐标为2，
∴OC＝2，
∴DC＝OC＝2，
∴a＝PD+DC＝2+2．
故答案为：2+2．
总结提升：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y＝x与x轴的夹角是45°．
类型2 k与平移
直线的平移规律：上加下减，左加右减．
典例2(2023•通州区二模）一次函数y=34x+3与y=34x+n的图象之间的距离等于4，则n的值为（ ）
A．﹣8或2B．8或﹣2C．5或﹣5D．﹣1或7
思路引领：设直线y=34x+3与坐标轴交于A（0，3），B（﹣4，0），直线y=34x+n与y轴交于点P，作PM⊥AB于M．由△ABO∽△APM，得PMBO=APAB，因为AB=32+42=5，所以44=PA5，推出PA＝5，推出点P坐标为（0，﹣2），n＝﹣2，根据对称性可知，当n＝8时，也满足条件．
解：如图，
∵不妨设直线y=34x+3与坐标轴交于A（0，3），B（﹣4，0），直线y=34x+n与y轴交于点P，作PM⊥AB于M．
∵△ABO∽△APM，
∴PMBO=APAB，
∵AB=32+42=5，
∴44=PA5，
∴PA＝5，
∴点P坐标为（0，﹣2），
∴n＝﹣2，
根据对称性可知，当n＝8时，也满足条件．
故选：B．
总结提升：本题考查两条直线平行问题，相似三角形的判定和性质，解此题的关键是求出PA的长．
针对训练
1．（2023•朝阳区二模）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象可以由y＝2x的图象平移得到，且经过点（0，1），则这个一次函数的表达式为 ．
思路引领：根据一次函数平移时k不变可知k＝2，然后把（0，1）代入求出b的值即可．
解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象可以由y＝2x的图象平移得到，
∴k＝2，
∵一次函数y＝2x+b的图象经过点（0，1），
∴b＝1，
∴一次函数表达式为y＝2x+1．
故答案为y＝2x+1．
总结提升：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数平移的性质是解答此题的关键．
2．(2023•易县模拟）如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为边在x轴的下方作等边三角形OAC，将点C向上平移m个单位长度，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则m＝（ ）
A．2−3B．2+3C．4−3D．4+3
思路引领：由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，结合等边三角形的性质即可得出点C的坐标，再将点C的横坐标代入直线AB中可求出点C′的坐标，由点C、C′的坐标可得出m的值．
解：当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0）．
∵△OAC为以OA为边的等边三角形，
∴点C的坐标为（﹣1，−3）．
当x＝﹣1时，y＝2x+4＝2，
∴点C′的坐标为（﹣1，2），
∴m＝2﹣（−3）＝2+3．
故选：B．
总结提升：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及平移，根据一次函数图象上点的坐标特征结合等边三角形的性质找出点C、C′的坐标是解题的关键．
类型3 k与折叠
典例3 (2023秋•温江区校级期中）如图，直线y=−3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若把△AOB沿着直线AB翻折，点O落在点C处，则点C的坐标是 ．
思路引领：如图，作辅助线，首先求出OA、OB、OC的长，进而证明△OAB∽△ECO，求出OE、CE的长即可解决问题．
解：如图，连接OC，交AB于点D；过点C作CE⊥x轴于点E；
由题意得：OD＝CD，OD⊥AB；
对于直线y=−3x+3，当x＝0时，y=3；当y＝0时，x＝1，
∴OA＝1，OB=3；AB=OA2+OB2=2
由面积公式：12OA⋅OB=12AB⋅OD，
∴OD=32，OC＝2OD=3；
方法①：∵OD⊥AB，OA⊥OB，
∴∠OBA＝∠COE，而∠BOA＝∠OEC，
∴△OAB∽△ECO，
∴ABOC=OBOE=OACE，而OA＝1，OB=3，AB＝2，OC=3
∴OE=32，CE=32，
方法②：可得OB=3，OA＝1，
则∠OBA＝30°，
则∠OBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠EOC＝30°，
∴CE=32，OE=32，
∴点C的坐标为（32，32）．
故答案为：（32，32）．
总结提升：该题以直角坐标系为载体，以翻折变换为方法，以相似三角形的判定及其性质的应用为考查的核心构造而成；对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．
针对训练
1．（2023•黑河一模）如图，直线y＝kx+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴左侧作等边三角形OBC，将△OBC沿y轴翻折后，点C的对应点C′恰好落在直线y＝kx+4上，则k的值为（ ）
A．3B．﹣1C．−33D．−3
思路引领：由等边三角形的性质和折叠的性质得出∠ABO＝∠OBC＝60°，由三角函数求出OA，得出点A的坐标，代入直线y＝kx+4求出k即可．
法一、解：∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∵直线y＝kx+4，当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
由折叠的性质得：∠ABO＝∠OBC＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴OA=3OB＝43，
∴A（43，0），
把点A（43，0）代入直线y＝kx+4得：
43k+4＝0，
解得：k=−33．
故选：C．
法二、解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，CD平分∠BCO，点D是OB的中点，
∴∠BCD＝∠OCD＝30°，
∵直线y＝kx+4，当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，OD＝2，
∴CD=3OD＝23，
∴C（﹣23，2），
∵点C和点C′关于y轴对称，
∴C′（23，2），
把点C′（23，2）代入直线y＝kx+4得：
23k+4＝2，
解得：k=−33．
故选：C．
总结提升：本题考查了等边三角形的性质、翻折变换的性质、三角函数、求一次函数的解析式；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质是解决问题的关键．
2．(2023•济南）如图，直线y=−33x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（ ）
A．（3，3）B．（3，3）C．（2，23）D．（23，4）
思路引领：作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，由直线y=−33x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出B（0，2），A（23，0），和∠BAO＝30°，运用直角三角形求出MB和MO′，再求出点O′的坐标．
解：如图，作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，
∵直线y=−33x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴B（0，2），A（23，0），
∴∠BAO＝30°，
由折叠的特性得，O′B＝OB＝2，∠ABO＝∠ABO′＝60°，
∴MB＝1，MO′=3，
∴OM＝3，ON＝O′M=3，
∴O′（3，3），
故选：A．
总结提升：本题主要考查了折叠问题及一次函数问题，解题的关键是运用折叠的特性得出相等的角与线段．
类型4 k与旋转
典例4（2023•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）
思路引领：先根据函数图象分别求出OA、OB的长度，再通过旋转之后对应边相等可求出点A1的坐标．
解：由函数图象得B点的坐标为（0，4），
将y＝0代入y＝2x+4，可得x＝﹣2，
故A点的坐标为（﹣2，0），
∴OA＝2，OB＝4，
∴BO1＝OB＝4，
故A1的横坐标为4，
又∵A1O1＝OA＝2，
故A1的纵坐标为2，
∴点A1的坐标是（4，2）．
故选：B．
总结提升：本题主要考查一次函数与几何图形结合在一起的应用，旋转前后对应边长度不变是解题的关键．
针对训练
1．（2023•自贡模拟）如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为 ．
思路引领：过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．首先证明△CPE≌△PDF，得到DF＝PE＝2，推出BD＝BF+DF＝4，由BD＝4AD，推出AD＝1，AB＝OB＝5，CE＝PF＝3，D（5，4），C（0，5），利用待定系数法求出直线CD的解析式，利用方程组即可求出点Q的坐标．
解：过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．
∵AB⊥OB，
∴∠OBF＝∠EOB＝∠FEO＝90°，
∴四边形EOBF是矩形，
∵P（2，2），
∴OE＝PE＝BF＝2，
∵∠CPD＝90°，
∴∠CPE+∠DPF＝90°，∠ECP+∠CPE＝90°，
∴∠ECP＝∠DPF，
在△CPE和△PDF中，
∠PEC=∠PFD∠PCE=∠DPFPC=PD，
∴△CPE≌△PDF（AAS），
∴DF＝PE＝2，
∴BD＝BF+DF＝4，
∵BD＝4AD，
∴AD＝1，AB＝OB＝5，
∴CE＝PF＝3，
∴D（5，4），C（0，5），
设直线CD的解析式为y＝kx+b则有b=55k+b=4，解得k=−15b=5，
∴直线CD的解析式为y=−15x+5，
由y=xy=−15x+5解得x=256y=256，
∴点Q的坐标为（256，256）．
当点D在直线OP的上方时，同法可得C（0，3），D（3，4），
∴直线CD的解析式为y=13x+3，
由y=xy=13x+3，解得x=92y=92，
∴Q（92，92），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（256，256）或（92，92）．
总结提升：本题考查一次函数的应用、待定系数法、全等三角形的判定和性质、二元一次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．
2．（2023•南岗区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b分别交x、y轴于B、A两点，且AB＝82．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是y轴负半轴上一点，纵坐标为d，点D是直线AB上一点，横坐标为t，d与t的函数关系为d＝t+4，将线段CD绕点C顺时针旋转90°，得到线段CE，求E点坐标；
（3）在（2）的条件下，线段CD交x轴于点M，CE交x轴于点P，G为点P右侧x轴上一点，连接GE并延长交直线AB于F，N是线段CE上一点，连接MN，过点E作EK⊥EC交过点A且平行于x轴的直线于点K，连接MK，若MK平分∠DMN，∠PEG＝45°，3AF＝4BD，求点N的坐标．
思路引领：（1）由直线关系式表示出OA，OB的长，再利用勾股定理求出b即可；
（2）点D是直线AB上一点，横坐标为t，表示出D的坐标，求出CF的长，将线段CD绕点C顺时针旋转90°通过构造△DCF和△CEG全等，得出E的坐标；
（3）连接DE，得DE⊥GF，设BD=32a，则AF=42a，AD=82−32a，AE=42；在Rt△DEF中，根据射影定理AE2＝AB•AF，可得a=23（2舍去），OC＝2；可证四边形DCEK是正方形，根据半角结论，可知DM+EN＝MN，在Rt△MCN中，利用勾股定理可得CN长度，从而得出N点坐标．
解：（1）直线y＝x+b，令x＝0时，则y＝b，
令y＝0时，则x＝﹣b，
∴OA＝OB＝b，
在Rt△OAB中，AB2＝OB2+OA2，
则2b2＝（82）2，解得b＝8，
∴直线AB的解析式为：y＝x+8；
（2）如图1，过点D作DF∥x轴交y轴于点F，过点E作GE⊥y轴于点G，
∵D在直线AB上，D点横坐标为t，
∴D的纵坐标yD＝t+8，
∴F点坐标为（0，t+8），
∵点C坐标为（0，t+4），
∴CF＝t+8﹣（t+4）＝4，
在Rt△DFC中，∠FDC+∠DCF＝90°，
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°，得到线段CE，
∴∠ECG+∠DCF＝90°，CD＝CE，
∴∠FDC＝∠GCE，
在△DCF和△CEG中，
∠DFC=∠CGE∠FDC=∠GCECD=EC，
∴△DCF≌△CEG（AAS），
∴EG＝CF＝4，CG＝DF＝﹣t，
∵OC＝﹣（t+4），
∴OG＝CG﹣OC＝﹣t+（t+4）＝4，
∴点E的坐标为（4，4）．
（3）如图，连接DE，DK，KN，过D点作DH⊥x轴于点H，
由第（2）小问知，E（4，4），CD＝CE，CD⊥CE，
∴∠CED＝45°，
∵∠PEG＝45°，
∴∠DEG＝∠PEG+∠CED＝90°，即DE⊥FG，
设BD=32a，AF=42a，则AD=82−32a，AE=42，
根据A（0，8），E（4，4）易证△AOE是等腰直角三角形，∠EAO＝45°，
又∵△AOB是等腰直角三角形，∠BAO＝45°，
∴∠EAB＝90°，即EA⊥DF，
在Rt△DEF中，根据射影定理AE2＝AB•AF，可得a=23（2舍去），
∴BD=22，DH＝BH＝2，OC＝2，D（﹣6，2），C（0，﹣2），DC=213，
由DH＝CO，∠DHM＝∠COM，∠DMH＝∠CMO 得，
△MDH≌△MCO（AAS），
∴DM＝CM=13，
由AE＝OE，∠EAK＝∠EOC＝135°，∠AEK＝∠OEC，
得△EAK≌△EOC（AAS），
∴EK＝EC，AK＝OC＝2，K（﹣2，8），
根据D（﹣6，2），K（﹣2，8），E（4，4）可得DK＝KE=213，
∵CD＝CE＝EK＝KD，CD⊥CE，
∴四边形DCEK是正方形，
过点K作KQ⊥MN于Q，
在Rt△KDM和Rt△KQM中，∠KDM＝∠KQM＝90°，∠KMD＝∠KMQ，AM＝AM，
∴△KDM≌△KQM（AAS），
∴KD＝KQ，DM＝QM，
∵KD＝KE，
∴KE＝KQ，
在Rt△KEN和Rt△KQN中，KN＝KN，KE＝KQ 得，
Rt△KEN≌Rt△KQN（HL），
∴EN＝QN．
在Rt△MCN中，MN＝QM+QN＝DM+EN=13+（EC﹣CN）=313−CN，CM=13，
由勾股定理MN2＝CM2+CN2，可得CN=4313，
根据C（0，﹣2），E（4，4）可得直线CE：y=32x−2，
设N（m，32m−2），可得m=83，
∴N的坐标为（83，2）．
总结提升：本题考查了求一次函数解析式的方法，三角形全等的判定及性质，勾股定理，正方形的性质和判断等，在第三问中，关键之处在于发现四边形DCEK是正方形，根据半角模型，可得DM+EN＝MN这个数量关系，从而求解的，题目综合性较强．
类型5 隐含的k
典例5 已知点A（4m，3m），且m＞0，点B为x轴正半轴上一点，点P为∠AOB内一点，OP＝5，则△PAB周长的最小值为 ．
思路引领：作点P关于OA，OB的对称点分别为点E，点F，连接EF，由轴对称的性质可得OE＝OP＝OF＝5，∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB，AP＝AE，BP＝PF，由△PAB周长＝AP+BP+AB＝AE+BF+AB，可得当点A，点B，点E，点F共线时，AE+BF+AB的值最小，即最小值为EF，由锐角三角函数可求EH的长，即可求解．
解：如图，作点P关于OA，OB的对称点分别为点E，点F，连接EF，过点O作OH⊥EF于H，
∵点P关于OA，OB的对称点分别为点E，点F，
∴OE＝OP＝OF＝5，∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB，AP＝AE，BP＝PF，
∵△PAB周长＝AP+BP+AB＝AE+BF+AB
∴当点A，点B，点E，点F共线时，AE+BF+AB的值最小，即最小值为EF，
∵∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB，
∴∠EOF＝2∠AOB，
∵OE＝OF＝5，OH⊥EF，
∴EH＝FH，∠EOH=12∠EOF＝∠AOB，
∵点A（4m，3m），
∴tan∠AOB=34
∴tan∠EOH=EHOH=34，且OE＝5，
∴EH＝3
∴EF＝6，
即△PAB周长的最小值为6
故答案为：6
总结提升：本题考查了轴对称﹣最短路径问题，确定当△PAB周长的最小时点A，点B的位置是本题的关键．
针对训练
1．（2023秋•和平区校级月考）已知平面直角坐标系内有两点P（4，2）与Q（a，a+2），当PQ的长最小时，a的值为 ．
思路引领：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用两点间的距离公式，再根据配方法可求PQ的最小值．
解：∵直角平面坐标系内有两点，点P（4，2）与点Q（a，a+2），
∴PQ=(a−4)2+(a+2−2)2=2(a−2)2+8，
∴当a＝2时，PQ的最小值为22．
故答案为：2．
总结提升：考查了勾股定理和两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2．
2．（2023春•临潼区期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．
思路引领：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A（5，0），B（0，5）代入可得5k+b=0b=5，求出k、b的值即可得出答案；
（2）由题意可知直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，则直线AP经过OB的中点（0，52），设直线AP的解析式为y＝mx+n，把A（5，0），（0，52）代入，即可求出直线AP的解析式，再把P（a，a﹣1）代入即可得求出a的值，即可得出答案．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把点A（5，0），B（0，5）代入上式，
得5k+b=0b=5，
解得：k=−1b=5，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+5；
（2）∵直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，
∴直线AP经过OB的中点（0，52），
设直线AP的解析式为y＝mx+n，
把A（5，0），（0，52）代入上式，
得5m+n=0n=52，
解得m=−12n=52，
∴直线AP的解析式为y=−12x+52，
把p（a，a﹣1）代入y=−12x+52中，
得−12a+52=a−1，
解得：a=73，
∴点P的坐标为（73，43）．
总结提升：本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练应用待定系数法求出函数系数的值是解决本题的关键．
一次函数k
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．(2023春•德化县期中）若一次函数y＝（k﹣3）x+（3k﹣1）的图象经过点A（﹣2，7），则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．23D．−23
思路引领：利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可求出k的值．
解：∵一次函数y＝（k﹣3）x+（3k﹣1）的图象经过点A（﹣2，7），
∴7＝﹣2（k﹣3）+（3k﹣1），
解得：k＝2，
∴k的值为2．
故选：A．
总结提升：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
2．(2023•海拉尔区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x+4分别交x轴，y轴于点A，点B，线段AB上有一点C，点C的横坐标为65，过点C的直线y＝kx+b与直线AB垂直，交y轴于点D，则不等式kx+b≥0的所有负整数解的和是（ ）
A．﹣10B．﹣6C．﹣3D．﹣1
思路引领：先求出C点坐标，再根据CD⊥AB，可得CD的解析式：y=34x+b，代入C点坐标，可得b的值，然后解不等式即可．
解：将点C横坐标代入直线y=−43x+4，
得y=−43×65+4=125，
∴C（65，125），
根据题意，得CD的解析式：y=34x+b，
代入C点坐标，得34×65+b=125，
解得b=32，
∴CD的解析式：y=34x+32，
当34x+32≥0时，得x≥﹣2，
∴负整数解有﹣2，﹣1，
∴不等式kx+b≥0的所有负整数解的和为﹣2+（﹣1）＝﹣3，
故选：C．
总结提升：本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握两直线垂直与一次函数系数的关系以及一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．
3．如图，在等边三角形ABO中，边OA在x轴上，点A的坐标为（﹣m，0），直线y=−32x+23与x轴交于点C，与y轴交于点D，将△ABO沿x轴向右平移3个单位，点B的对应点B'恰好落在直线CD上，则点B'的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（3，3）C．（2，23）D．（2，2）
思路引领：根据等边三角形表示出点B的坐标，再根据平移的性质得出B'（−12m+3，32m），代入一次函数解析式，求得m的值即可求解．
解：∵在等边三角形ABO中，边OA在x轴上，点A的坐标为（﹣m，0），
∴B（−12m，32m），
将△ABO沿x轴向右平移3个单位，得到B'（−12m+3，32m），
∵点B的对应点B'恰好落在直线CD上，
∴32m=−32(−12m+3)+23，
解得m＝2，
∴B'（2，3），
故选：A．
总结提升：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变换﹣平移，表示出B'的坐标是解题的关键．
4．（2023秋•河东区期末）如图，直线y=−33x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO'B，则点O'的坐标是（ ）
A．（32，32）B．（32，2）C．（1，32）D．（1，3）
思路引领：作O′M⊥y轴，交y轴于点M，O′N⊥x轴，交x轴于点N，由直线y=−33x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出B（0，1），A（3，0），和∠BAO＝30°，运用直角三角形求出MB和MO′，再求出点O′的坐标．
解：如图，作O′M⊥y轴，交y轴于点M，O′N⊥x轴，交x轴于点N，
∵直线y=−33x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴B（0，1），A（3，0），
∴∠BAO＝30°，
由折叠的特性得，O′B＝OB＝1，∠ABO＝∠ABO′＝60°，
∴MB=12，MO′=32，
∴OM=32，ON＝O′M=32，
∴O′（32，32），
故选：A．
总结提升：本题主要考查了折叠问题及一次函数问题，解题的关键是运用折叠的特性得出相等的角与线段．
5．（2023•深圳模拟）如图，直线AB：y＝﹣3x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C（﹣1，0），D为y轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE长度最小时，线段CD的长为（ ）
A．10B．17C．5D．27
思路引领：如图，设D（0，m）．由题意得到B（3，0），求得OD＝m，OB＝3，过E作EH⊥x于H，根据旋转的性质得到∠DBE＝90°，BD＝BE，根据全等三角形的性质得到EH＝OB＝3，BH＝OD＝m，根据勾股定理得到CE=CH2+EH2=(4−m)2+32=(m−4)2+9，于是得到当m＝4时，CE长度最小，求得D（0，4），根据勾股定理即可得到结论．
解：如图，设D（0，m）．由题意：B（3，0），
∴OD＝m，OB＝3，过E作EH⊥x于H，
∴∠EHB＝∠BOD＝90°，
∵把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE∴∠DBE＝90°，BD＝BE，
∴∠ODB+∠OBD＝∠OBD+∠EBH＝90°，
∴∠BDO＝∠EBH，
∴△BOD≌△EHB（AAS），
∴EH＝OB＝3，BH＝OD＝m，
∵点C（﹣1，0），
∴OC＝1，
∴CH＝4﹣m，
∴CE=CH2+EH2=(4−m)2+32=(m−4)2+9，
∴当m＝4时，CE长度最小，
∴D（0，4），
∴OD＝4，
∴CD=OC2+OD2=12+42=17，
故选：B．
总结提升：本题考查一次函数图象上的点的特征，坐标与图形的变化，旋转变换、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，学会利用参数构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共6小题）
6．（2023秋•润州区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（2，﹣1），点P在y轴上，当PA+PB的值最小时，P的坐标是 ．
思路引领：如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，连接PA，点P即为所求．求出直线BA′的解析式即可解决问题．
解：如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，连接PA，点P即为所求．
设直线BA′的解析式为y＝kx+b，
∵A′（﹣1，2），B（2，﹣1），
则有：−k+b=22k+b=−1，
解得k=−1b=1，
∴直线BA′的解析式为y＝﹣x+1，
∴P（0，1），
故答案为：（0，1）．
总结提升：本题考查轴对称最短问题，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点坐标问题．
7．(2023•南京模拟）已知A（2，5），B（m，0）是平面直角坐标系xOy中的两点，这两点之间的距离的最小值为 ．
思路引领：根据点A和点B的坐标，可以表示出两点之间的距离，然后根据非负数的性质，即可得到这两点之间的距离的最小值．
解：∵A（2，5），B（m，0），
∴AB=(2−m)2+(5−0)2=(2−m)2+25，
∵（2﹣m）2≥0，
∴当m＝2时，AB取得最小值5，
故答案为：5．
总结提升：本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用非负数的性质求最值．
8．(2023•大同模拟）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B逆时针旋转30°后，直线交x轴于点C，则线段AC的长为 ．
思路引领：根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
解：∵一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y＝1．
令y＝0，则x＝1，
则A（1，0），B（0，1），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB=2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC=AD2+CD2=2x，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD=BC2−CD2=3x，
又BD＝AB+AD=2+x，
∴2+x=3x，
解得：x=23−1，
∴AC=2x=2×23−1=3+1，
故答案是：3+1．
总结提升：本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
9．（2023春•绵阳期末）先将函数y＝kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，再将函数y＝3x+b的图象向上平移1个单位长度，若平移后的两个函数的图象重合，则2k−3b= ．
思路引领：直接根据“上加下减，左加右减”的原则即可求得k、b的值，代入计算即可．
解：将函数y＝kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，所得函数为y＝kx﹣1，
将函数y＝3x+b的图象向上平移1个单位长度，所得函数为y＝3x+b+1，
∵平移后的两个函数的图象重合，
∴k＝3，b+1＝﹣1，
∴b＝﹣2，
∴2k−3b=6+6=23，
故答案为：23．
总结提升：本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
10．(2023秋•内丘县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°，则旋转后的直线的函数表达式为 ．
思路引领：根据一次函数y＝﹣2x+4的图像与x轴、y轴分别相交于A、B两点，得到A（2，0），B（0，4），得到AO＝2，BO＝4，根据旋转的性质得到△BAO∽△ACO，得到OC＝1，然后利用待定系数法即可求解．
解：∵一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（2，0），B（0，4），
∴AO＝2，BO＝4，
将直线AB绕点A顺时针旋转90°，交y轴于C，
根据旋转的性质得到△BAO∽△ACO，
∴OBOA=OAOC，即42=2OC，
∴OC＝1．
∴C（0，1），
设直线AC为y＝kx﹣1，
代入A（2，0）得2k﹣1＝0，
解得k=12，
∴旋转后的直线的函数表达式为y=12x﹣1．
故答案为：y=12x﹣1．
总结提升：本题考查了一次函数与几何变换，旋转的关系，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
11．(2023春•岳阳楼区期末）如图，已知一次函数y=−34x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，与直线y=54x相交于点C．过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．
①点C坐标是 ；
②若点E是直线y=54x上的一个动点，且处于直线AB下方，当△APE是以∠EAP为直角的等腰直角三角形时，点E的坐标是 ．
思路引领：①解方程组，求得直线的交点坐标，于是得到结论；
②根据一次函数y=−34x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，根据题意画出图形，过点A作AM⊥BP于M，过点E作EN⊥x轴于N，证明△MPA≌△NEA（AAS），根据全等三角形的性质即可求解．
解：①∵一次函数y=−34x+6的图象与直线y=54x相交于点C．
∴y=−34x+6y=54x，
解得x=3y=154，
∴点C（3，154），
故答案为：（3，154）；
②∵一次函数y=−34x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴令y＝0，则−34x+6＝0，
∴x＝8，
令x＝0，则y＝6，
∴点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；
设点E（m，54m）、点P（n，6）；
如图，过点A作AM⊥BP于M，过点E作EN⊥x轴于N，
∴∠PMA＝∠ENA＝90°，
∵BP∥x轴，
∴∠MAO＝90°，
∴∠MAE+∠NAE＝90°，
∵∠MAE+∠MAP＝90°，
∴∠MAP＝∠NAE，
在△MPA和≌△NEA中，
∠PMA=∠ENA∠MAP=∠NAEAP=AE，
∴△MPA≌△NEA（AAS），
∴MA＝NA＝6，MP＝NE，
即54m＝n﹣8，8﹣m＝6，解得：m＝2，
∴点E（2，52）．
故答案为：（2，52）．
总结提升：本题是一次函数综合题，考查两直线平行或相交问题，一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确的作出所需要的辅助线，构造直角三角形．
三．解答题（共2小题）
12．(2023•天津模拟）如图，直线y＝x+3交y轴于点A，交x轴于点B，经过点（2，2）且平行于直线y＝﹣2x的直线交x轴于点C，交y轴于点D，交AB于点E．
（1）直线CD的解析式为 ；
（2）求△EBC的面积；
（3）P是直线AB上的一个动点，过点P作PQ∥y轴，交直线CD于点Q，若PQ＝2AD，求点P的坐标．
思路引领：（1）依题意设直线CD的解析式为：y＝﹣2x+b，把（2，2）代入y＝﹣2x+b即可得出答案；
（2）由y=x+3y=−2x+6可得E（1，4），再由三角形面积公式进行解答即可；
（3）设P（x，x+3），则Q（x，﹣2x+6），得出PQ＝|x+3﹣（﹣2x+6）|，再由PQ＝2AD得，|x+3﹣（﹣2x+6）|＝6，解方程即可得出答案．
解：（1）依题意设直线CD的解析式为：y＝﹣2x+b，
把（2，2）代入y＝﹣2x+b得：2＝﹣4+b，
∴b＝6，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣2x+6．
故答案为：y＝﹣2x+6；
（2）由y=x+3y=−2x+6，
解得x=1y=4，
∴E（1，4），
当y＝0时，0＝x+3，
解得：x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
当y＝0时，0＝﹣2x+6，
解得：x＝3，
∴C（3，0），
∴BC＝6，
∴S△EBC=12×BC×yE=12×6×4=12；
（3）设P（x，x+3），则Q（x，﹣2x+6），
由PQ＝2AD得，|x+3﹣（﹣2x+6）|＝6，
解得：x＝3或﹣1，
∴P（3，6）或（﹣1，2）．
总结提升：本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，涉及到求两个函数的交点坐标，三角形的面积公式，线段的长度的表达式，掌握以上知识点是解题的关键．
13．(2023•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y=x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
思路引领：（1）根据定义画出函数图象即可；
（2）画出函数图象，结合图象可知，当直线y＝﹣x+m经过（0，2）时，有3个公共点；函数y＝x2﹣2x+2（x＞0）与直线y＝﹣x+m有一个交点时，即m=74时有3个公共点；根据临界情况可知，m＝2或m=74时，函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点；
（3）画出函数图象，结合图象可知，当y＝x2+2nx+2经个点A时，n=32，此时有3个交点；当y＝x2﹣2nx+2的顶点在CD上时，n＝2，此时有5个交点；根据临界情况可得32＜n＜2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；当y＝x2﹣2nx+2经过点C时，n=136，此时有5个交点，根据临界情况可得n＞136时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点．
解：（1）如图：
（2）如图：y＝x2﹣2x+2与y轴的交点为（0，2），
当直线y＝﹣x+m经过（0，2）时，m＝2，此时函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有3个公共点；
当x2﹣2x+2＝﹣x+m时，x2﹣x+2﹣m＝0有两个相等的实数根时，Δ＝1﹣8+4m＝0，
解得m=74，
此时函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有3个公共点；
∴m=74或m＝2时，函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点；
（3）如图3，当y＝x2+2nx+2经个点A时，1﹣2n+2＝0，
解得n=32，
当n=32时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有3个交点；
当y＝x2﹣2nx+2的顶点在CD上时，8−4n24=−2，
解得n＝2或n＝﹣2（舍），
当n＝2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有5个交点；
∴32＜n＜2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；
如图4，当y＝x2﹣2nx+2经过点C时，9﹣6n+2＝﹣2，
解得n=136，
当n=136时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有5个交点，
∴n＞136时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；
综上所述：32＜n＜2或n＞136时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点．
总结提升：本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，根据定义，能够画出正确的函数图象，根据函数图象能能够找到临界情况是解题的关键
类型1 k与特殊角
k值与特殊角角的关系：当k＝±1时⇔与x轴的夹角为45°；当k＝±eq \f(\r(3),3)时⇔与x轴的夹角为30°；当k＝±eq \r(3)时⇔与x轴的夹角为60°.
典例1（2023•尧都区模拟）如图所示，已知点A坐标为（6，0），直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为（ ）
A．23B．33C．3D．63
针对训练
1．(2023•高新区二模）如图，一次函数y＝x+22的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为 ．
2．(2023•黄冈中学自主招生）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是 ．
类型2 k与平移
直线的平移规律：上加下减，左加右减．
典例2(2023•通州区二模）一次函数y=34x+3与y=34x+n的图象之间的距离等于4，则n的值为（ ）
A．﹣8或2B．8或﹣2C．5或﹣5D．﹣1或7
针对训练
1．（2023•朝阳区二模）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象可以由y＝2x的图象平移得到，且经过点（0，1），则这个一次函数的表达式为 ．
2．(2023•易县模拟）如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为边在x轴的下方作等边三角形OAC，将点C向上平移m个单位长度，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则m＝（ ）
A．2−3B．2+3C．4−3D．4+3
类型3 k与折叠
典例3 如图，直线y=−3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若把△AOB沿着直线AB翻折，点O落在点C处，则点C的坐标是 ．
针对训练
1．（2023•黑河一模）如图，直线y＝kx+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴左侧作等边三角形OBC，将△OBC沿y轴翻折后，点C的对应点C′恰好落在直线y＝kx+4上，则k的值为（ ）
A．3B．﹣1C．−33D．−3
2．（ 济南中考）如图，直线y=−33x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（ ）
A．（3，3）B．（3，3）C．（2，23）D．（23，4）
类型4 k与旋转
典例4（2023•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）
针对训练
1．（2023•自贡模拟）如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为 ．
2．（2023•南岗区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b分别交x、y轴于B、A两点，且AB＝82．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是y轴负半轴上一点，纵坐标为d，点D是直线AB上一点，横坐标为t，d与t的函数关系为d＝t+4，将线段CD绕点C顺时针旋转90°，得到线段CE，求E点坐标；
（3）在（2）的条件下，线段CD交x轴于点M，CE交x轴于点P，G为点P右侧x轴上一点，连接GE并延长交直线AB于F，N是线段CE上一点，连接MN，过点E作EK⊥EC交过点A且平行于x轴的直线于点K，连接MK，若MK平分∠DMN，∠PEG＝45°，3AF＝4BD，求点N的坐标．
类型5 隐含的k
典例5 已知点A（4m，3m），且m＞0，点B为x轴正半轴上一点，点P为∠AOB内一点，OP＝5，则△PAB周长的最小值为 ．
针对训练
1．已知平面直角坐标系内有两点P（4，2）与Q（a，a+2），当PQ的长最小时，a的值为 ．
2．（2023春•临潼区期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．
模块二 2023中考押题预测
一．选择题（共5小题）
1．(2023•德化县期中）若一次函数y＝（k﹣3）x+（3k﹣1）的图象经过点A（﹣2，7），则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．23D．−23
2．(2023•海拉尔区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x+4分别交x轴，y轴于点A，点B，线段AB上有一点C，点C的横坐标为65，过点C的直线y＝kx+b与直线AB垂直，交y轴于点D，则不等式kx+b≥0的所有负整数解的和是（ ）
A．﹣10B．﹣6C．﹣3D．﹣1
3．如图，在等边三角形ABO中，边OA在x轴上，点A的坐标为（﹣m，0），直线y=−32x+23与x轴交于点C，与y轴交于点D，将△ABO沿x轴向右平移3个单位，点B的对应点B'恰好落在直线CD上，则点B'的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（3，3）C．（2，23）D．（2，2）
4．（2023秋•河东区期末）如图，直线y=−33x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO'B，则点O'的坐标是（ ）
A．（32，32）B．（32，2）C．（1，32）D．（1，3）
5．（2023•深圳模拟）如图，直线AB：y＝﹣3x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C（﹣1，0），D为y轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE长度最小时，线段CD的长为（ ）
A．10B．17C．5D．27
二．填空题（共6小题）
6．（2023秋•润州区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（2，﹣1），点P在y轴上，当PA+PB的值最小时，P的坐标是 ．
7．(2023•南京模拟）已知A（2，5），B（m，0）是平面直角坐标系xOy中的两点，这两点之间的距离的最小值为 ．
8．(2023•大同模拟）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B逆时针旋转30°后，直线交x轴于点C，则线段AC的长为 ．
9．（2023春•绵阳期末）先将函数y＝kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，再将函数y＝3x+b的图象向上平移1个单位长度，若平移后的两个函数的图象重合，则2k−3b= ．
10．(2023秋•内丘县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°，则旋转后的直线的函数表达式为 ．
11．(2023春•岳阳楼区期末）如图，已知一次函数y=−34x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，与直线y=54x相交于点C．过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．
①点C坐标是 ；
②若点E是直线y=54x上的一个动点，且处于直线AB下方，当△APE是以∠EAP为直角的等腰直角三角形时，点E的坐标是 ．
三．解答题（共2小题）
12．(2023•天津模拟）如图，直线y＝x+3交y轴于点A，交x轴于点B，经过点（2，2）且平行于直线y＝﹣2x的直线交x轴于点C，交y轴于点D，交AB于点E．
（1）直线CD的解析式为 ；
（2）求△EBC的面积；
（3）P是直线AB上的一个动点，过点P作PQ∥y轴，交直线CD于点Q，若PQ＝2AD，求点P的坐标．
13．(2023•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y=x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
专题33 中考命题核心元素一次函数的K值妙用（解析版）
模块一 典例剖析+针对训练
类型1 k与特殊角
k值与特殊角角的关系：当k＝±1时⇔与x轴的夹角为45°；当k＝±eq \f(\r(3),3)时⇔与x轴的夹角为30°；当k＝±eq \r(3)时⇔与x轴的夹角为60°.
1．（2023•尧都区模拟）如图所示，已知点A坐标为（6，0），直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为（ ）
A．23B．33C．3D．63
思路引领：根据直线y＝x+b可以求得∠BCO的度数，然后根据三角形的外角和不相邻内角的关系可以求得∠BAO的度数，再根据锐角三角函数即可求得b的值．
解：设直线y＝x+b与x轴交于点C，
将y＝0代入y＝x+b，得x＝﹣b，
将x＝0代入y＝x+b，得y＝b，
∴OB＝OC＝b，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠α＝75°，∠α＝∠OCB+∠BAC，
∴∠BAC＝30°，
即∠BAO＝30°，
∵点A（6，0），∠BOA＝90°，点B（0，b），
∴OA＝6，OB＝b，
∴tan30°=b6，
解得，b＝23，
故选：A．
总结提升：本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
针对训练
1．(2023•高新区二模）如图，一次函数y＝x+22的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为 ．
思路引领：根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
解：∵一次函数y＝x+22的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y＝22．
令y＝0，则x＝﹣22，
则A（﹣22，0），B（0，22），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB=(22)2+(22)2=4，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC=AD2+CD2=2x，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD=BC2−CD2=3x，
又BD＝AB+AD＝4+x，
∴4+x=3x，
解得：x＝23+2，
∴AC=2x=2（23+2）＝26+22，
故答案是：26+22．
总结提升：本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
2．(2023•黄冈中学自主招生）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是 ．
思路引领：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．
解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵AB＝23，
∴AE=3，PA＝2，
∴PE＝1．
∵点D在直线y＝x上，
∴∠AOC＝45°，
∵∠DCO＝90°，
∴∠ODC＝45°，
∴∠PDE＝∠ODC＝45°，
∴∠DPE＝∠PDE＝45°，
∴DE＝PE＝1，
∴PD=2．
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴点D的横坐标为2，
∴OC＝2，
∴DC＝OC＝2，
∴a＝PD+DC＝2+2．
故答案为：2+2．
总结提升：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y＝x与x轴的夹角是45°．
类型2 k与平移
直线的平移规律：上加下减，左加右减．
典例2(2023•通州区二模）一次函数y=34x+3与y=34x+n的图象之间的距离等于4，则n的值为（ ）
A．﹣8或2B．8或﹣2C．5或﹣5D．﹣1或7
思路引领：设直线y=34x+3与坐标轴交于A（0，3），B（﹣4，0），直线y=34x+n与y轴交于点P，作PM⊥AB于M．由△ABO∽△APM，得PMBO=APAB，因为AB=32+42=5，所以44=PA5，推出PA＝5，推出点P坐标为（0，﹣2），n＝﹣2，根据对称性可知，当n＝8时，也满足条件．
解：如图，
∵不妨设直线y=34x+3与坐标轴交于A（0，3），B（﹣4，0），直线y=34x+n与y轴交于点P，作PM⊥AB于M．
∵△ABO∽△APM，
∴PMBO=APAB，
∵AB=32+42=5，
∴44=PA5，
∴PA＝5，
∴点P坐标为（0，﹣2），
∴n＝﹣2，
根据对称性可知，当n＝8时，也满足条件．
故选：B．
总结提升：本题考查两条直线平行问题，相似三角形的判定和性质，解此题的关键是求出PA的长．
针对训练
1．（2023•朝阳区二模）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象可以由y＝2x的图象平移得到，且经过点（0，1），则这个一次函数的表达式为 ．
思路引领：根据一次函数平移时k不变可知k＝2，然后把（0，1）代入求出b的值即可．
解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象可以由y＝2x的图象平移得到，
∴k＝2，
∵一次函数y＝2x+b的图象经过点（0，1），
∴b＝1，
∴一次函数表达式为y＝2x+1．
故答案为y＝2x+1．
总结提升：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数平移的性质是解答此题的关键．
2．(2023•易县模拟）如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为边在x轴的下方作等边三角形OAC，将点C向上平移m个单位长度，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则m＝（ ）
A．2−3B．2+3C．4−3D．4+3
思路引领：由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，结合等边三角形的性质即可得出点C的坐标，再将点C的横坐标代入直线AB中可求出点C′的坐标，由点C、C′的坐标可得出m的值．
解：当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0）．
∵△OAC为以OA为边的等边三角形，
∴点C的坐标为（﹣1，−3）．
当x＝﹣1时，y＝2x+4＝2，
∴点C′的坐标为（﹣1，2），
∴m＝2﹣（−3）＝2+3．
故选：B．
总结提升：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及平移，根据一次函数图象上点的坐标特征结合等边三角形的性质找出点C、C′的坐标是解题的关键．
类型3 k与折叠
典例3 (2023秋•温江区校级期中）如图，直线y=−3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若把△AOB沿着直线AB翻折，点O落在点C处，则点C的坐标是 ．
思路引领：如图，作辅助线，首先求出OA、OB、OC的长，进而证明△OAB∽△ECO，求出OE、CE的长即可解决问题．
解：如图，连接OC，交AB于点D；过点C作CE⊥x轴于点E；
由题意得：OD＝CD，OD⊥AB；
对于直线y=−3x+3，当x＝0时，y=3；当y＝0时，x＝1，
∴OA＝1，OB=3；AB=OA2+OB2=2
由面积公式：12OA⋅OB=12AB⋅OD，
∴OD=32，OC＝2OD=3；
方法①：∵OD⊥AB，OA⊥OB，
∴∠OBA＝∠COE，而∠BOA＝∠OEC，
∴△OAB∽△ECO，
∴ABOC=OBOE=OACE，而OA＝1，OB=3，AB＝2，OC=3
∴OE=32，CE=32，
方法②：可得OB=3，OA＝1，
则∠OBA＝30°，
则∠OBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠EOC＝30°，
∴CE=32，OE=32，
∴点C的坐标为（32，32）．
故答案为：（32，32）．
总结提升：该题以直角坐标系为载体，以翻折变换为方法，以相似三角形的判定及其性质的应用为考查的核心构造而成；对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．
针对训练
1．（2023•黑河一模）如图，直线y＝kx+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴左侧作等边三角形OBC，将△OBC沿y轴翻折后，点C的对应点C′恰好落在直线y＝kx+4上，则k的值为（ ）
A．3B．﹣1C．−33D．−3
思路引领：由等边三角形的性质和折叠的性质得出∠ABO＝∠OBC＝60°，由三角函数求出OA，得出点A的坐标，代入直线y＝kx+4求出k即可．
法一、解：∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∵直线y＝kx+4，当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
由折叠的性质得：∠ABO＝∠OBC＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴OA=3OB＝43，
∴A（43，0），
把点A（43，0）代入直线y＝kx+4得：
43k+4＝0，
解得：k=−33．
故选：C．
法二、解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，CD平分∠BCO，点D是OB的中点，
∴∠BCD＝∠OCD＝30°，
∵直线y＝kx+4，当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，OD＝2，
∴CD=3OD＝23，
∴C（﹣23，2），
∵点C和点C′关于y轴对称，
∴C′（23，2），
把点C′（23，2）代入直线y＝kx+4得：
23k+4＝2，
解得：k=−33．
故选：C．
总结提升：本题考查了等边三角形的性质、翻折变换的性质、三角函数、求一次函数的解析式；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质是解决问题的关键．
2．(2023•济南）如图，直线y=−33x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（ ）
A．（3，3）B．（3，3）C．（2，23）D．（23，4）
思路引领：作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，由直线y=−33x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出B（0，2），A（23，0），和∠BAO＝30°，运用直角三角形求出MB和MO′，再求出点O′的坐标．
解：如图，作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，
∵直线y=−33x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴B（0，2），A（23，0），
∴∠BAO＝30°，
由折叠的特性得，O′B＝OB＝2，∠ABO＝∠ABO′＝60°，
∴MB＝1，MO′=3，
∴OM＝3，ON＝O′M=3，
∴O′（3，3），
故选：A．
总结提升：本题主要考查了折叠问题及一次函数问题，解题的关键是运用折叠的特性得出相等的角与线段．
类型4 k与旋转
典例4（2023•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）
思路引领：先根据函数图象分别求出OA、OB的长度，再通过旋转之后对应边相等可求出点A1的坐标．
解：由函数图象得B点的坐标为（0，4），
将y＝0代入y＝2x+4，可得x＝﹣2，
故A点的坐标为（﹣2，0），
∴OA＝2，OB＝4，
∴BO1＝OB＝4，
故A1的横坐标为4，
又∵A1O1＝OA＝2，
故A1的纵坐标为2，
∴点A1的坐标是（4，2）．
故选：B．
总结提升：本题主要考查一次函数与几何图形结合在一起的应用，旋转前后对应边长度不变是解题的关键．
针对训练
1．（2023•自贡模拟）如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为 ．
思路引领：过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．首先证明△CPE≌△PDF，得到DF＝PE＝2，推出BD＝BF+DF＝4，由BD＝4AD，推出AD＝1，AB＝OB＝5，CE＝PF＝3，D（5，4），C（0，5），利用待定系数法求出直线CD的解析式，利用方程组即可求出点Q的坐标．
解：过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．
∵AB⊥OB，
∴∠OBF＝∠EOB＝∠FEO＝90°，
∴四边形EOBF是矩形，
∵P（2，2），
∴OE＝PE＝BF＝2，
∵∠CPD＝90°，
∴∠CPE+∠DPF＝90°，∠ECP+∠CPE＝90°，
∴∠ECP＝∠DPF，
在△CPE和△PDF中，
∠PEC=∠PFD∠PCE=∠DPFPC=PD，
∴△CPE≌△PDF（AAS），
∴DF＝PE＝2，
∴BD＝BF+DF＝4，
∵BD＝4AD，
∴AD＝1，AB＝OB＝5，
∴CE＝PF＝3，
∴D（5，4），C（0，5），
设直线CD的解析式为y＝kx+b则有b=55k+b=4，解得k=−15b=5，
∴直线CD的解析式为y=−15x+5，
由y=xy=−15x+5解得x=256y=256，
∴点Q的坐标为（256，256）．
当点D在直线OP的上方时，同法可得C（0，3），D（3，4），
∴直线CD的解析式为y=13x+3，
由y=xy=13x+3，解得x=92y=92，
∴Q（92，92），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（256，256）或（92，92）．
总结提升：本题考查一次函数的应用、待定系数法、全等三角形的判定和性质、二元一次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．
2．（2023•南岗区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b分别交x、y轴于B、A两点，且AB＝82．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是y轴负半轴上一点，纵坐标为d，点D是直线AB上一点，横坐标为t，d与t的函数关系为d＝t+4，将线段CD绕点C顺时针旋转90°，得到线段CE，求E点坐标；
（3）在（2）的条件下，线段CD交x轴于点M，CE交x轴于点P，G为点P右侧x轴上一点，连接GE并延长交直线AB于F，N是线段CE上一点，连接MN，过点E作EK⊥EC交过点A且平行于x轴的直线于点K，连接MK，若MK平分∠DMN，∠PEG＝45°，3AF＝4BD，求点N的坐标．
思路引领：（1）由直线关系式表示出OA，OB的长，再利用勾股定理求出b即可；
（2）点D是直线AB上一点，横坐标为t，表示出D的坐标，求出CF的长，将线段CD绕点C顺时针旋转90°通过构造△DCF和△CEG全等，得出E的坐标；
（3）连接DE，得DE⊥GF，设BD=32a，则AF=42a，AD=82−32a，AE=42；在Rt△DEF中，根据射影定理AE2＝AB•AF，可得a=23（2舍去），OC＝2；可证四边形DCEK是正方形，根据半角结论，可知DM+EN＝MN，在Rt△MCN中，利用勾股定理可得CN长度，从而得出N点坐标．
解：（1）直线y＝x+b，令x＝0时，则y＝b，
令y＝0时，则x＝﹣b，
∴OA＝OB＝b，
在Rt△OAB中，AB2＝OB2+OA2，
则2b2＝（82）2，解得b＝8，
∴直线AB的解析式为：y＝x+8；
（2）如图1，过点D作DF∥x轴交y轴于点F，过点E作GE⊥y轴于点G，
∵D在直线AB上，D点横坐标为t，
∴D的纵坐标yD＝t+8，
∴F点坐标为（0，t+8），
∵点C坐标为（0，t+4），
∴CF＝t+8﹣（t+4）＝4，
在Rt△DFC中，∠FDC+∠DCF＝90°，
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°，得到线段CE，
∴∠ECG+∠DCF＝90°，CD＝CE，
∴∠FDC＝∠GCE，
在△DCF和△CEG中，
∠DFC=∠CGE∠FDC=∠GCECD=EC，
∴△DCF≌△CEG（AAS），
∴EG＝CF＝4，CG＝DF＝﹣t，
∵OC＝﹣（t+4），
∴OG＝CG﹣OC＝﹣t+（t+4）＝4，
∴点E的坐标为（4，4）．
（3）如图，连接DE，DK，KN，过D点作DH⊥x轴于点H，
由第（2）小问知，E（4，4），CD＝CE，CD⊥CE，
∴∠CED＝45°，
∵∠PEG＝45°，
∴∠DEG＝∠PEG+∠CED＝90°，即DE⊥FG，
设BD=32a，AF=42a，则AD=82−32a，AE=42，
根据A（0，8），E（4，4）易证△AOE是等腰直角三角形，∠EAO＝45°，
又∵△AOB是等腰直角三角形，∠BAO＝45°，
∴∠EAB＝90°，即EA⊥DF，
在Rt△DEF中，根据射影定理AE2＝AB•AF，可得a=23（2舍去），
∴BD=22，DH＝BH＝2，OC＝2，D（﹣6，2），C（0，﹣2），DC=213，
由DH＝CO，∠DHM＝∠COM，∠DMH＝∠CMO 得，
△MDH≌△MCO（AAS），
∴DM＝CM=13，
由AE＝OE，∠EAK＝∠EOC＝135°，∠AEK＝∠OEC，
得△EAK≌△EOC（AAS），
∴EK＝EC，AK＝OC＝2，K（﹣2，8），
根据D（﹣6，2），K（﹣2，8），E（4，4）可得DK＝KE=213，
∵CD＝CE＝EK＝KD，CD⊥CE，
∴四边形DCEK是正方形，
过点K作KQ⊥MN于Q，
在Rt△KDM和Rt△KQM中，∠KDM＝∠KQM＝90°，∠KMD＝∠KMQ，AM＝AM，
∴△KDM≌△KQM（AAS），
∴KD＝KQ，DM＝QM，
∵KD＝KE，
∴KE＝KQ，
在Rt△KEN和Rt△KQN中，KN＝KN，KE＝KQ 得，
Rt△KEN≌Rt△KQN（HL），
∴EN＝QN．
在Rt△MCN中，MN＝QM+QN＝DM+EN=13+（EC﹣CN）=313−CN，CM=13，
由勾股定理MN2＝CM2+CN2，可得CN=4313，
根据C（0，﹣2），E（4，4）可得直线CE：y=32x−2，
设N（m，32m−2），可得m=83，
∴N的坐标为（83，2）．
总结提升：本题考查了求一次函数解析式的方法，三角形全等的判定及性质，勾股定理，正方形的性质和判断等，在第三问中，关键之处在于发现四边形DCEK是正方形，根据半角模型，可得DM+EN＝MN这个数量关系，从而求解的，题目综合性较强．
类型5 隐含的k
典例5 已知点A（4m，3m），且m＞0，点B为x轴正半轴上一点，点P为∠AOB内一点，OP＝5，则△PAB周长的最小值为 ．
思路引领：作点P关于OA，OB的对称点分别为点E，点F，连接EF，由轴对称的性质可得OE＝OP＝OF＝5，∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB，AP＝AE，BP＝PF，由△PAB周长＝AP+BP+AB＝AE+BF+AB，可得当点A，点B，点E，点F共线时，AE+BF+AB的值最小，即最小值为EF，由锐角三角函数可求EH的长，即可求解．
解：如图，作点P关于OA，OB的对称点分别为点E，点F，连接EF，过点O作OH⊥EF于H，
∵点P关于OA，OB的对称点分别为点E，点F，
∴OE＝OP＝OF＝5，∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB，AP＝AE，BP＝PF，
∵△PAB周长＝AP+BP+AB＝AE+BF+AB
∴当点A，点B，点E，点F共线时，AE+BF+AB的值最小，即最小值为EF，
∵∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB，
∴∠EOF＝2∠AOB，
∵OE＝OF＝5，OH⊥EF，
∴EH＝FH，∠EOH=12∠EOF＝∠AOB，
∵点A（4m，3m），
∴tan∠AOB=34
∴tan∠EOH=EHOH=34，且OE＝5，
∴EH＝3
∴EF＝6，
即△PAB周长的最小值为6
故答案为：6
总结提升：本题考查了轴对称﹣最短路径问题，确定当△PAB周长的最小时点A，点B的位置是本题的关键．
针对训练
1．（2023秋•和平区校级月考）已知平面直角坐标系内有两点P（4，2）与Q（a，a+2），当PQ的长最小时，a的值为 ．
思路引领：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用两点间的距离公式，再根据配方法可求PQ的最小值．
解：∵直角平面坐标系内有两点，点P（4，2）与点Q（a，a+2），
∴PQ=(a−4)2+(a+2−2)2=2(a−2)2+8，
∴当a＝2时，PQ的最小值为22．
故答案为：2．
总结提升：考查了勾股定理和两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2．
2．（2023春•临潼区期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．
思路引领：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A（5，0），B（0，5）代入可得5k+b=0b=5，求出k、b的值即可得出答案；
（2）由题意可知直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，则直线AP经过OB的中点（0，52），设直线AP的解析式为y＝mx+n，把A（5，0），（0，52）代入，即可求出直线AP的解析式，再把P（a，a﹣1）代入即可得求出a的值，即可得出答案．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把点A（5，0），B（0，5）代入上式，
得5k+b=0b=5，
解得：k=−1b=5，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+5；
（2）∵直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，
∴直线AP经过OB的中点（0，52），
设直线AP的解析式为y＝mx+n，
把A（5，0），（0，52）代入上式，
得5m+n=0n=52，
解得m=−12n=52，
∴直线AP的解析式为y=−12x+52，
把p（a，a﹣1）代入y=−12x+52中，
得−12a+52=a−1，
解得：a=73，
∴点P的坐标为（73，43）．
总结提升：本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练应用待定系数法求出函数系数的值是解决本题的关键．
一次函数k
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．(2023春•德化县期中）若一次函数y＝（k﹣3）x+（3k﹣1）的图象经过点A（﹣2，7），则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．23D．−23
思路引领：利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可求出k的值．
解：∵一次函数y＝（k﹣3）x+（3k﹣1）的图象经过点A（﹣2，7），
∴7＝﹣2（k﹣3）+（3k﹣1），
解得：k＝2，
∴k的值为2．
故选：A．
总结提升：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
2．(2023•海拉尔区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x+4分别交x轴，y轴于点A，点B，线段AB上有一点C，点C的横坐标为65，过点C的直线y＝kx+b与直线AB垂直，交y轴于点D，则不等式kx+b≥0的所有负整数解的和是（ ）
A．﹣10B．﹣6C．﹣3D．﹣1
思路引领：先求出C点坐标，再根据CD⊥AB，可得CD的解析式：y=34x+b，代入C点坐标，可得b的值，然后解不等式即可．
解：将点C横坐标代入直线y=−43x+4，
得y=−43×65+4=125，
∴C（65，125），
根据题意，得CD的解析式：y=34x+b，
代入C点坐标，得34×65+b=125，
解得b=32，
∴CD的解析式：y=34x+32，
当34x+32≥0时，得x≥﹣2，
∴负整数解有﹣2，﹣1，
∴不等式kx+b≥0的所有负整数解的和为﹣2+（﹣1）＝﹣3，
故选：C．
总结提升：本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握两直线垂直与一次函数系数的关系以及一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．
3．如图，在等边三角形ABO中，边OA在x轴上，点A的坐标为（﹣m，0），直线y=−32x+23与x轴交于点C，与y轴交于点D，将△ABO沿x轴向右平移3个单位，点B的对应点B'恰好落在直线CD上，则点B'的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（3，3）C．（2，23）D．（2，2）
思路引领：根据等边三角形表示出点B的坐标，再根据平移的性质得出B'（−12m+3，32m），代入一次函数解析式，求得m的值即可求解．
解：∵在等边三角形ABO中，边OA在x轴上，点A的坐标为（﹣m，0），
∴B（−12m，32m），
将△ABO沿x轴向右平移3个单位，得到B'（−12m+3，32m），
∵点B的对应点B'恰好落在直线CD上，
∴32m=−32(−12m+3)+23，
解得m＝2，
∴B'（2，3），
故选：A．
总结提升：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变换﹣平移，表示出B'的坐标是解题的关键．
4．（2023秋•河东区期末）如图，直线y=−33x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO'B，则点O'的坐标是（ ）
A．（32，32）B．（32，2）C．（1，32）D．（1，3）
思路引领：作O′M⊥y轴，交y轴于点M，O′N⊥x轴，交x轴于点N，由直线y=−33x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出B（0，1），A（3，0），和∠BAO＝30°，运用直角三角形求出MB和MO′，再求出点O′的坐标．
解：如图，作O′M⊥y轴，交y轴于点M，O′N⊥x轴，交x轴于点N，
∵直线y=−33x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴B（0，1），A（3，0），
∴∠BAO＝30°，
由折叠的特性得，O′B＝OB＝1，∠ABO＝∠ABO′＝60°，
∴MB=12，MO′=32，
∴OM=32，ON＝O′M=32，
∴O′（32，32），
故选：A．
总结提升：本题主要考查了折叠问题及一次函数问题，解题的关键是运用折叠的特性得出相等的角与线段．
5．（2023•深圳模拟）如图，直线AB：y＝﹣3x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C（﹣1，0），D为y轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE长度最小时，线段CD的长为（ ）
A．10B．17C．5D．27
思路引领：如图，设D（0，m）．由题意得到B（3，0），求得OD＝m，OB＝3，过E作EH⊥x于H，根据旋转的性质得到∠DBE＝90°，BD＝BE，根据全等三角形的性质得到EH＝OB＝3，BH＝OD＝m，根据勾股定理得到CE=CH2+EH2=(4−m)2+32=(m−4)2+9，于是得到当m＝4时，CE长度最小，求得D（0，4），根据勾股定理即可得到结论．
解：如图，设D（0，m）．由题意：B（3，0），
∴OD＝m，OB＝3，过E作EH⊥x于H，
∴∠EHB＝∠BOD＝90°，
∵把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE∴∠DBE＝90°，BD＝BE，
∴∠ODB+∠OBD＝∠OBD+∠EBH＝90°，
∴∠BDO＝∠EBH，
∴△BOD≌△EHB（AAS），
∴EH＝OB＝3，BH＝OD＝m，
∵点C（﹣1，0），
∴OC＝1，
∴CH＝4﹣m，
∴CE=CH2+EH2=(4−m)2+32=(m−4)2+9，
∴当m＝4时，CE长度最小，
∴D（0，4），
∴OD＝4，
∴CD=OC2+OD2=12+42=17，
故选：B．
总结提升：本题考查一次函数图象上的点的特征，坐标与图形的变化，旋转变换、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，学会利用参数构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共6小题）
6．（2023秋•润州区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（2，﹣1），点P在y轴上，当PA+PB的值最小时，P的坐标是 ．
思路引领：如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，连接PA，点P即为所求．求出直线BA′的解析式即可解决问题．
解：如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，连接PA，点P即为所求．
设直线BA′的解析式为y＝kx+b，
∵A′（﹣1，2），B（2，﹣1），
则有：−k+b=22k+b=−1，
解得k=−1b=1，
∴直线BA′的解析式为y＝﹣x+1，
∴P（0，1），
故答案为：（0，1）．
总结提升：本题考查轴对称最短问题，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点坐标问题．
7．(2023•南京模拟）已知A（2，5），B（m，0）是平面直角坐标系xOy中的两点，这两点之间的距离的最小值为 ．
思路引领：根据点A和点B的坐标，可以表示出两点之间的距离，然后根据非负数的性质，即可得到这两点之间的距离的最小值．
解：∵A（2，5），B（m，0），
∴AB=(2−m)2+(5−0)2=(2−m)2+25，
∵（2﹣m）2≥0，
∴当m＝2时，AB取得最小值5，
故答案为：5．
总结提升：本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用非负数的性质求最值．
8．(2023•大同模拟）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B逆时针旋转30°后，直线交x轴于点C，则线段AC的长为 ．
思路引领：根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
解：∵一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y＝1．
令y＝0，则x＝1，
则A（1，0），B（0，1），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB=2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC=AD2+CD2=2x，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD=BC2−CD2=3x，
又BD＝AB+AD=2+x，
∴2+x=3x，
解得：x=23−1，
∴AC=2x=2×23−1=3+1，
故答案是：3+1．
总结提升：本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
9．（2023春•绵阳期末）先将函数y＝kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，再将函数y＝3x+b的图象向上平移1个单位长度，若平移后的两个函数的图象重合，则2k−3b= ．
思路引领：直接根据“上加下减，左加右减”的原则即可求得k、b的值，代入计算即可．
解：将函数y＝kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，所得函数为y＝kx﹣1，
将函数y＝3x+b的图象向上平移1个单位长度，所得函数为y＝3x+b+1，
∵平移后的两个函数的图象重合，
∴k＝3，b+1＝﹣1，
∴b＝﹣2，
∴2k−3b=6+6=23，
故答案为：23．
总结提升：本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
10．(2023秋•内丘县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°，则旋转后的直线的函数表达式为 ．
思路引领：根据一次函数y＝﹣2x+4的图像与x轴、y轴分别相交于A、B两点，得到A（2，0），B（0，4），得到AO＝2，BO＝4，根据旋转的性质得到△BAO∽△ACO，得到OC＝1，然后利用待定系数法即可求解．
解：∵一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（2，0），B（0，4），
∴AO＝2，BO＝4，
将直线AB绕点A顺时针旋转90°，交y轴于C，
根据旋转的性质得到△BAO∽△ACO，
∴OBOA=OAOC，即42=2OC，
∴OC＝1．
∴C（0，1），
设直线AC为y＝kx﹣1，
代入A（2，0）得2k﹣1＝0，
解得k=12，
∴旋转后的直线的函数表达式为y=12x﹣1．
故答案为：y=12x﹣1．
总结提升：本题考查了一次函数与几何变换，旋转的关系，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
11．(2023春•岳阳楼区期末）如图，已知一次函数y=−34x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，与直线y=54x相交于点C．过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．
①点C坐标是 ；
②若点E是直线y=54x上的一个动点，且处于直线AB下方，当△APE是以∠EAP为直角的等腰直角三角形时，点E的坐标是 ．
思路引领：①解方程组，求得直线的交点坐标，于是得到结论；
②根据一次函数y=−34x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，根据题意画出图形，过点A作AM⊥BP于M，过点E作EN⊥x轴于N，证明△MPA≌△NEA（AAS），根据全等三角形的性质即可求解．
解：①∵一次函数y=−34x+6的图象与直线y=54x相交于点C．
∴y=−34x+6y=54x，
解得x=3y=154，
∴点C（3，154），
故答案为：（3，154）；
②∵一次函数y=−34x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴令y＝0，则−34x+6＝0，
∴x＝8，
令x＝0，则y＝6，
∴点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；
设点E（m，54m）、点P（n，6）；
如图，过点A作AM⊥BP于M，过点E作EN⊥x轴于N，
∴∠PMA＝∠ENA＝90°，
∵BP∥x轴，
∴∠MAO＝90°，
∴∠MAE+∠NAE＝90°，
∵∠MAE+∠MAP＝90°，
∴∠MAP＝∠NAE，
在△MPA和≌△NEA中，
∠PMA=∠ENA∠MAP=∠NAEAP=AE，
∴△MPA≌△NEA（AAS），
∴MA＝NA＝6，MP＝NE，
即54m＝n﹣8，8﹣m＝6，解得：m＝2，
∴点E（2，52）．
故答案为：（2，52）．
总结提升：本题是一次函数综合题，考查两直线平行或相交问题，一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确的作出所需要的辅助线，构造直角三角形．
三．解答题（共2小题）
12．(2023•天津模拟）如图，直线y＝x+3交y轴于点A，交x轴于点B，经过点（2，2）且平行于直线y＝﹣2x的直线交x轴于点C，交y轴于点D，交AB于点E．
（1）直线CD的解析式为 ；
（2）求△EBC的面积；
（3）P是直线AB上的一个动点，过点P作PQ∥y轴，交直线CD于点Q，若PQ＝2AD，求点P的坐标．
思路引领：（1）依题意设直线CD的解析式为：y＝﹣2x+b，把（2，2）代入y＝﹣2x+b即可得出答案；
（2）由y=x+3y=−2x+6可得E（1，4），再由三角形面积公式进行解答即可；
（3）设P（x，x+3），则Q（x，﹣2x+6），得出PQ＝|x+3﹣（﹣2x+6）|，再由PQ＝2AD得，|x+3﹣（﹣2x+6）|＝6，解方程即可得出答案．
解：（1）依题意设直线CD的解析式为：y＝﹣2x+b，
把（2，2）代入y＝﹣2x+b得：2＝﹣4+b，
∴b＝6，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣2x+6．
故答案为：y＝﹣2x+6；
（2）由y=x+3y=−2x+6，
解得x=1y=4，
∴E（1，4），
当y＝0时，0＝x+3，
解得：x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
当y＝0时，0＝﹣2x+6，
解得：x＝3，
∴C（3，0），
∴BC＝6，
∴S△EBC=12×BC×yE=12×6×4=12；
（3）设P（x，x+3），则Q（x，﹣2x+6），
由PQ＝2AD得，|x+3﹣（﹣2x+6）|＝6，
解得：x＝3或﹣1，
∴P（3，6）或（﹣1，2）．
总结提升：本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，涉及到求两个函数的交点坐标，三角形的面积公式，线段的长度的表达式，掌握以上知识点是解题的关键．
13．(2023•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y=x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
思路引领：（1）根据定义画出函数图象即可；
（2）画出函数图象，结合图象可知，当直线y＝﹣x+m经过（0，2）时，有3个公共点；函数y＝x2﹣2x+2（x＞0）与直线y＝﹣x+m有一个交点时，即m=74时有3个公共点；根据临界情况可知，m＝2或m=74时，函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点；
（3）画出函数图象，结合图象可知，当y＝x2+2nx+2经个点A时，n=32，此时有3个交点；当y＝x2﹣2nx+2的顶点在CD上时，n＝2，此时有5个交点；根据临界情况可得32＜n＜2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；当y＝x2﹣2nx+2经过点C时，n=136，此时有5个交点，根据临界情况可得n＞136时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点．
解：（1）如图：
（2）如图：y＝x2﹣2x+2与y轴的交点为（0，2），
当直线y＝﹣x+m经过（0，2）时，m＝2，此时函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有3个公共点；
当x2﹣2x+2＝﹣x+m时，x2﹣x+2﹣m＝0有两个相等的实数根时，Δ＝1﹣8+4m＝0，
解得m=74，
此时函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有3个公共点；
∴m=74或m＝2时，函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点；
（3）如图3，当y＝x2+2nx+2经个点A时，1﹣2n+2＝0，
解得n=32，
当n=32时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有3个交点；
当y＝x2﹣2nx+2的顶点在CD上时，8−4n24=−2，
解得n＝2或n＝﹣2（舍），
当n＝2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有5个交点；
∴32＜n＜2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；
如图4，当y＝x2﹣2nx+2经过点C时，9﹣6n+2＝﹣2，
解得n=136，
当n=136时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有5个交点，
∴n＞136时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；
综上所述：32＜n＜2或n＞136时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点．
总结提升：本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，根据定义，能够画出正确的函数图象，根据函数图象能能够找到临界情况是解题的关键
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