中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题34中考命题核心元素铅锤法求面积(原卷版+解析)

这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题34中考命题核心元素铅锤法求面积(原卷版+解析)，共41页。试卷主要包含了典例剖析+针对训练，2023中考押题预测等内容，欢迎下载使用。
模型一 三角形面积问题
【模型解读】 作以下定义：如图①，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h)．于是可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝eq \f(1,2)ah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
典例1 (2023•会理县校级模拟）铅锤定理：一个三角形，从一条边上的两个顶点作垂线，且互相平行，铅锤定理就是一种求三角形面积的特殊方法，主要解决的是斜三角形面积问题．具体公式是：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半．该三角形面积等于两垂线乘积的一半．如图1所示：S△OAB=12ℎl．
应用：
（1）如图2所示：平面直角坐标系中，点A（4，4），点B（6，2），点C（4，1）求：△OAB的面积；
（2）抛物线y1=k1x2+b1x+c经过点原点O且与x轴交于点C（6，0）直线y2＝k2x+b2经过原点和点B（4，4），点P在抛物线上移动，且在直线OB的上方．
（a）求抛物线和直线OB的解析式；
（b）当△OBP面积最大时，求P的坐标．
针对训练
1．（2023•沈阳）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2=k2x（x＞0）的图象相交于点A（3，23），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是 ．
典例2（2023•岳阳县一模）如图，抛物线y=12x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；
针对训练
1．(2023•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
2．(2023•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
模型二 四边形面积问题
【模型解读】 求四边形的面积问题时，可将四边形分割成两个三角形，从而转变成求三角形的面积问题．
典例3(2023•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；
针对训练
1．(2023秋•平阴县期末）如图，已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，点Q为任意一点，是否存在点P、Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请直接写出P，Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
模块二 2023中考押题预测
1．（2023春•雨花区校级月考）如图，已知函数y＝x+3的图象与函数y=kx(k≠0)的图象交于A、B两点，连接BO并延长交函数y=kx(k≠0)的图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为12，则k的值为 ．
2．如图，我们可以用“三角形面积等于水平宽（a）与铅垂高（h）乘积的一半”的方法来计算三角形面积．已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C（0，5）
（1）求抛物线的解析式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点M的坐标；
（3）求△BCM的面积．
3．（2023秋•梅江区校级期末）抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（3，0），交y轴于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是线段AB上方抛物线上一动点，当△PAB的面积最大值时，求出此时P点的坐标；
（3）点Q是线段AO上的动点，直接写出12AQ+BQ的最小值为 ．
4．(2023秋•临淄区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．
5．（2023•中原区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线顶点D的坐标为（1，﹣4），直线BC与对称轴相交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为直线x＝1右方抛物线上的一点（点M不与点B重合），设点M的横坐标为m，记A、B、C、M四点所构成的四边形面积为S，若S＝3S△BCD，请求出m的值；
（3）点P是线段BD上的动点，将△DEP沿边EP翻折得到△D'EP，是否存在点P，使得△D'EP与△BEP的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出BP的长，若不存在，请说明理由．
6．（2023•酒泉一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
7．(2023春•李沧区期末）对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：
如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l1，l2，l1，l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l3，l4，l3，l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高．
【结论提炼】
容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S=12dh”
【结论应用】
为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．
已知：如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为 ，所以△ABC面积的大小为 ．
【再探新知】
三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索：
（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是 ；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是 ，由此发现：用“S=12dh”这一方法对求图4中四边形的面积 ．（填“适合”或“不适合”）
（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是 ，用其它的方法进行计算得到面积的大小是 ，由此发现：用“S=12dh”这一方法对求图5中四边形的面积 ．（“适合”或“不适合”）
（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现：用“S=12dh”这一方法对求图6中四边形的面积 ．（填“适合”或“不适合”）
【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“S=12dh”来求面积．那么，可以用“S=12dh”来求面积的四边形应满足的条件是： ．
专题34 中考命题核心元素铅锤法求面积（解析版）
模块一 典例剖析+针对训练
模型一 三角形面积问题
【模型解读】 作以下定义：如图①，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h)．于是可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝eq \f(1,2)ah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
【常见铅垂法】
(1)竖切，面积公式均为S＝eq \f(1,2)dh .
(2)横切，面积公式均为S＝eq \f(1,2)dh .
典例1 (2023•会理县校级模拟）铅锤定理：一个三角形，从一条边上的两个顶点作垂线，且互相平行，铅锤定理就是一种求三角形面积的特殊方法，主要解决的是斜三角形面积问题．具体公式是：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半．该三角形面积等于两垂线乘积的一半．如图1所示：S△OAB=12ℎl．
应用：
（1）如图2所示：平面直角坐标系中，点A（4，4），点B（6，2），点C（4，1）求：△OAB的面积；
（2）抛物线y1=k1x2+b1x+c经过点原点O且与x轴交于点C（6，0）直线y2＝k2x+b2经过原点和点B（4，4），点P在抛物线上移动，且在直线OB的上方．
（a）求抛物线和直线OB的解析式；
（b）当△OBP面积最大时，求P的坐标．
思路引领：（1）利用铅锤法直接求三角形面积即可；
（2）（a）利用待定系数法求函数的解析式即可；
（b）过点P作PM∥y轴交于M点，设P（t，−12t2+3t），则M（t，t），再用铅锤法求三角形面积的最大值即可．
解：（1）∵A（4，4），点C（4，1），
∴AC＝3，
∴S△OAB=12×6×3＝9；
（2）（a）∵抛物线y1=k1x2+b1x+c经过点原点O，
∴c＝0，
∵点C（6，0）经过抛物线，
∴36k1+6b1＝0，
∴b1＝﹣6k1，
∴y1＝k1x2﹣6k1x，
将点B（4，4）代入y1＝k1x2﹣6k1x，
∴16k1﹣24k1＝4，
解得k1=−12，
∴抛物线的解析式为y1=−12x2+3x，
∵直线y2＝k2x+b2经过原点和点B（4，4），
∴b2＝0，k2＝1，
∴直线OB的解析式为y＝x；
（b）过点P作PM∥y轴交于M点，
设P（t，−12t2+3t），则M（t，t），
∴PM=−12t2+2t，
∴S△OPB=12×4（−12t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4，
当t＝2时，△OPB的面积有最大值4，此时P（2，4）．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，铅锤法求三角形的面积是解题的关键．
针对训练
1．（2023•沈阳）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2=k2x（x＞0）的图象相交于点A（3，23），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是 23 ．
思路引领：把点A（3，23）代入y1＝k1x和y2=k2x（x＞0）可求出k1、k2的值，即可正比例函数和求出反比例函数的解析式，过点B作BD∥x轴交OA于点D，结合点B的坐标即可得出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积．
解：（1）∵正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2=k2x（x＞0）的图象相交于点A（3，23），
∴23=3k1，23=k23，
∴k1＝2，k2＝6，
∴正比例函数为y＝2x，反比例函数为：y=6x，
过点B作BD∥x轴交OA于点D，
∵点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，
∴y=63=2，
∴B（3，2），
∴D（1，2），
∴BD＝3﹣1＝2．
∴S△AOB＝S△ABD+S△OBD=12×2×（23−2）+12×2×2＝23，
故答案为23．
总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．
典例2（2023•岳阳县一模）如图，抛物线y=12x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；
（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y=12x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果；
（2）连接OP，设点P（m，12m2−2m﹣6），分别表示出S△POC，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果；
（3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．
解：（1）当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
当y＝0时，12x2﹣2x﹣6＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）方法一：如图1，
连接OP，
设点P（m，12m2−2m﹣6），
∴S△POC=12OC⋅xP=12×6⋅m=3m，
S△BOP=12OB⋅|yP|=3(−12m2+2m+6），
∵S△BOC=12OB⋅OC=12×6×6=18，
∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝3m+3（−12m2+2m+6）﹣18
=−32（m﹣3）2+272，
∴当m＝3时，S△PBC最大=272，此时P（3，−152）；
方法二：如图2，
作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴PD＝（m﹣6）﹣（12m2−2m﹣6）=−12m2+3m，
∴S△PBC=12PD⋅OB=12×6⋅(−12m2+3m)=−32（m﹣3）2+272，
∴当m＝3时，S△PBC最大=272，此时P（3，−152），
（3）如图3，
当▱ACFE时，AE∥CF，
∵抛物线对称轴为直线：x=−2+62=2，
∴F1点的坐标：（4，﹣6），
如图4，
当▱ACEF时，
作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
当y＝6时，12x2﹣2x﹣6＝6，
∴x1＝2+27，x2＝2﹣27，
∴F2（2+27，6），F3（2﹣27，6），
综上所述：F（4，﹣6）或（2+27，6）或（2﹣27，6）．
总结提升：本题考查了二次函数及其图象性质，平行四边形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，转化条件．
针对训练
1．(2023•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
思路引领：（1）根据A（1，0），AB＝4求出B（﹣3，0），把A、B的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）过Q作QE⊥x轴于E，设P（m，0），则PA＝1﹣m，易证△PQA∽△BCA，利用相似三角形的性质即可求出QE的长，又因为S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA，进而得到△CPQ面积和m的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求出面积最大值．
（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴1+b+c=09−3b+c=0，
解得b=2c=−3，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
设P（m，0），则PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴CF＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴QECF=APAB，即QE4=1−m4，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA
=12PA•CF−12PA•QE
=12（1﹣m）×4−12（1﹣m）（1﹣m）
=−12（m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴当m＝﹣1时 S△CPQ有最大值2，
∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．
总结提升：本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系．此题综合性较强，中等难度，是一道很好的试题．
5．(2023•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断S1S2+S2S3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）将点A，B的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，可分别表达△OAB和△PAB的面积，根据题意列出方程求出PN的长，设出点P的坐标，表达PN的长，求出点P的坐标即可；
（3）由PD∥OB，可得△DPC∽△BOC，所以CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，所以S1S2=CDCB，CDCB=CPCO，则S1S2+S2S3=2PDOB．设直线AB交y轴于点F．则F（0，163），过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，易证PDG∽△OBF，所以PD：OB＝PG：OF，设P（n，−43n2+163n）（1＜n＜4），由（2）可知，PG=−43n2+203n−163，所以S1S2+S2S3=2PDOB=2PGOF=38PG=−12（n−52）2+98．利用二次函数的性质可得出最值．
解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，
∴16a+4b=0a+b=4，解得a=−43b=163．
∴抛物线的解析式为：y=−43x2+163x．
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t，
将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，
∴4k+t=0k+t=4，
解得k=−43t=163．
∵A（4，0），B（1，4），
∴S△OAB=12×4×4＝8，
∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，
∴S△PAB＝S△PNB+S△PNA=12PN×BE+12PN×AM=32PN＝4，
∴PN=83．
设点P的横坐标为m，
∴P（m，−43m2+163m）（1＜m＜4），N（m，−43m+163），
∴PN=−43m2+163m﹣（−43m+163）=83．
解得m＝2或m＝3；
∴P（2，163）或（3，4）．
总结提升：本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角函数、三角形面积、相似三角形的判定与性质等基础知识，考查数形结合、函数与方程，函数建模等数学思想方法，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养．
模型二 四边形面积问题
【模型解读】 求四边形的面积问题时，可将四边形分割成两个三角形，从而转变成求三角形的面积问题．
典例3(2023•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；
思路引领：（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求得结果；
（2）可推出△PCB是直角三角形，进而求出△BOC和△PBC的面积之和，从而求得四边形BOCP的面积；
（3）作PE∥AB交BC的延长线于E，根据△PDE∽△ADB，求得PDAD的函数解析式，从而求得P点坐标，进而分为点P和点A和点Q分别为直角顶点，构造“一线三直角”，进一步求得结果；
（4）作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．根据△GLC≌△CRH可表示出H点坐标，从而表示出点K坐标，进而表示出I坐标，根据MT＝IW，构建方程求得n的值．
解：（1）由题意得，
a−2+c=0c=3，
∴a=−1c=3，
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∵PC2+BC2＝[1+（4﹣3）2]+（32+32）＝20，PB2＝[（3﹣1）2+42]＝20，
∴PC2+BC2＝PB2，
∴∠PCB＝90°，
∴S△PBC=12PC⋅BC=12×2×32=3，
∵S△BOC=12OB⋅OC=12×32=92，
∴S四边形BOCP＝S△PBC+S△BOC＝3+92=152；
总结提升：本题考查了二次函数及其图象性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“一线三直角”模型及需要较强计算能力．
针对训练
1．(2023秋•平阴县期末）如图，已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，点Q为任意一点，是否存在点P、Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请直接写出P，Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）先求得A，B，C三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．
解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
当y＝0时，43x+4=0，
∴x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）⋅（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a=−43，
∴抛物线的表达式为：y=−43(x−1)⋅(x+3)=−43x2−83x+4；
（2）如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D(m，−43m2−83m+4)，E(m，43m+4)，
∴DE=−43m2−83m+4−(43m+4)=−43m2−4m，
∴S△ADC=12DE⋅OA=32⋅(−43m2−4m)=−2m2−6m，
∵S△ABC=12AB⋅OC=12×4×4=8，
∴S=−2m2−6m+8=−2(m+32)2+252，
∴当m=−32时，S最大=252，
当m=−32时，y=−43×(−32−1)×(−32+3)=5，
∴D(−32，5)；
（3）设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n=138，
∴P(−1，138)，
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC，
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ=4−138=198，
∴Q(−2，198)．
总结提升：本题考查了二次函数及其图象性质，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点．
模块二 2023中考押题预测
1．（2023春•雨花区校级月考）如图，已知函数y＝x+3的图象与函数y=kx(k≠0)的图象交于A、B两点，连接BO并延长交函数y=kx(k≠0)的图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为12，则k的值为 74 ．
思路引领：连接OA．根据反比例函数的对称性可得OB＝OC，那么S△OAB＝S△OAC=12S△ABC＝6．求出直线y＝x+3与y轴交点D的坐标．设A（a，a+3），B（b，b+3），则C（﹣b，﹣b﹣3），根据S△OAB＝6，得出a﹣b＝4 ①．根据S△OAC＝4，得出﹣a﹣b＝3 ②，①与②联立，求出a、b的值，即可求解．
解：如图，连接OA．
由题意，可得OB＝OC，
∴S△OAB＝S△OAC=12S△ABC＝6．
设直线y＝x+3与y轴交于点D，则D（0，3），
设A（a，a+3），B（b，b+3），则C（﹣b，﹣b﹣3），
∴S△OAB=12×3×（a﹣b）＝6，
∴a﹣b＝4 ①．
过A点作AM⊥x轴于点M，过C点作CN⊥x轴于点N，
则S△OAM＝S△OCN=12k，
∴S△OAC＝S△OAM+S梯形AMNC﹣S△OCN＝S梯形AMNC＝6，
∴12（﹣b﹣3+a+3）（﹣b﹣a）＝6，
将①代入，得
∴﹣a﹣b＝3②，
①+②，得﹣2b＝7，b=−72，
①﹣②，得2a＝1，a=12，
∴A（12，72），
∴k=12×72=74．
故答案为74．
总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式等知识，综合性较强，难度适中．根据反比例函数的对称性得出OB＝OC是解题的突破口．
2．如图，我们可以用“三角形面积等于水平宽（a）与铅垂高（h）乘积的一半”的方法来计算三角形面积．已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C（0，5）
（1）求抛物线的解析式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点M的坐标；
（3）求△BCM的面积．
思路引领：（1）利用A，B，C点坐标结合交点式，求出二次函数解析式即可；
（2）利用配方法求出二次函数对称轴和顶点坐标即可；
（3）利用△BCM的面积＝S四边形COBM﹣S△COB＝S四边形CODM+S△MDB﹣S△COB，进而得出答案．
解：（1）将A，B点代入二次函数解析式可得：
y＝a（x+1）（x﹣5），
再将C（0，5）代入函数解析式得：
5＝﹣5a，
解得：a＝﹣1．
故二次函数解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+4x+5；
（2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴该抛物线的对称轴为：直线x＝2，顶点M的坐标为；（2，9）；
（3）方法一：如图所示：过点M作MD⊥x轴于点D，
△BCM的面积＝S四边形COBM﹣S△COB
＝S四边形CODM+S△MDB﹣S△COB
=12（5+9）×2+12×9×3−12×5×5
＝15．
方法二：设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则5k+b=0b=5，
解得：k＝﹣1，b＝5，
则直线BC的解析式为：y＝﹣x+5，
当x＝2时，y＝3，
则M到直线BC的铅直高度为：9﹣3＝6，
故△BCM的面积为：12×5×6＝15．
总结提升：此题主要考查了二次函数的应用以及三角形面积求法和配方法求二次函数顶点坐标，正确分割图形求出其面积是解题关键．
3．（2023秋•梅江区校级期末）抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（3，0），交y轴于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是线段AB上方抛物线上一动点，当△PAB的面积最大值时，求出此时P点的坐标；
（3）点Q是线段AO上的动点，直接写出12AQ+BQ的最小值为 732−32 ．
思路引领：（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PG∥y轴交AB于点G，设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），则S△PAB=−32（t−32）2+278，再由此求解即可；
（3）作∠OAK＝30°，过点B作BK⊥AK交于K点，交x轴于点Q，则12AQ+BQ＝BK，求出BK的长即可．
解：（1）将点A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴3k+m=0m=3，
解得k=−1m=3，
∴y＝﹣x+3，
过点P作PG∥y轴交AB于点G，
设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），
∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴S△PAB=12×3×（﹣t2+3t）=−32（t−32）2+278，
当t=32时，△PAB的面积有最大值278，
此时P（32，154）；
（3）作∠OAK＝30°，过点B作BK⊥AK交于K点，交x轴于点Q，
∵∠OAK＝30°，
∴QK=12AQ，
∴12AQ+BQ＝QK+QB＝BK，
∵∠BKA＝∠BOA＝90°，∠BQO＝∠AQK，
∴∠BOQ＝∠OAK＝30°，
∵OB＝3，
∴OQ=3，BQ＝23，
∵OA＝3，
∴AQ＝3−3，
∴QK=12（3−3）=32−32，
∴BK＝23+32−32=332+32，
∴12AQ+BQ的最小值为332+32，
故答案为：332+32．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，胡不归求最短距离的方法是解题的关键．
4．(2023秋•临淄区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．
思路引领：（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点D作DE∥y轴交BC于点E，利用三角形的面积公式即可求得结论；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点P在BC上方时，利用平行线的判定与性质可得点C，P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；②当点P在BC下方时，设PC交x轴于点H，设HB＝HC＝m，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得m值，则点H坐标可求；利用待定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），
∴4a−2b+c=064a+8b+c=0c=4，
解得：a=−14b=32c=4，
∴抛物线的表达式为y=−14x2+32x+4；
（2）如图，过点D作DE∥y轴交BC于点E，交x轴于点F，
∵B（8，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为y=−12x+4，
设D（m，−14m2+32m+4），
则E（m，−12m+4），
∵D为抛物线上第一象限内一点，
∴DE＝DF﹣EF＝（−14m2+32m+4）﹣（−12m+4）=−14m2+2m，
∴△DCB面积=12×8×DE＝4（−14m2+2m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16，
∴当m＝4时，△DCB面积最大，最大值为16；
（3）①当点P在BC上方时，如图，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴PC∥AB，
∴点C，P的纵坐标相等，
∴点P的纵坐标为4，
令y＝4，则−14x2+32x+4＝4，
解得：x＝0或x＝6，
∴P（6，4）；
②当点P在BC下方时，如图，
设PC交x轴于点H，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴HC＝HB．
设HB＝HC＝m，
∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，
在Rt△COH中，
∵OC2+OH2＝CH2，
∴42+（8﹣m）2＝m2，
解得：m＝5，
∴OH＝3，
∴H（3，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+n，
∴n=43k+n=0，
解得：k=−43n=4，
∴y=−43x+4，
∴y=−43x+4y=−14x2+32x+4，
解得：x1=0y1=4，x2=343y2=−1009，
∴P（343，−1009）．
综上所述，点P的坐标为（6，4）或（343，−1009）．
总结提升：本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
5．（2023•中原区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线顶点D的坐标为（1，﹣4），直线BC与对称轴相交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为直线x＝1右方抛物线上的一点（点M不与点B重合），设点M的横坐标为m，记A、B、C、M四点所构成的四边形面积为S，若S＝3S△BCD，请求出m的值；
（3）点P是线段BD上的动点，将△DEP沿边EP翻折得到△D'EP，是否存在点P，使得△D'EP与△BEP的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出BP的长，若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）根据抛物线顶点D的坐标为（1，﹣4），写出抛物线的顶点式，再将A（﹣1，0）代入解析式，求得a的值，则可得抛物线的解析式；
（2）设M（m，m2﹣2m﹣3），先求得直线BC的解析式为y＝x﹣3，再得出点E的坐标，然后由S△BCD＝S△CDE+S△BDE求得S△BCD，进而根据S＝3S△BCD，得出S的值，再分类讨论：①当点M在x轴上方时，m＞3，②当点M在x轴下方时，1＜m＜3，分别得出关于m的方程，求解即可；
（3）存在点P，使得△D'EP与△BEP的重叠部分图形为直角三角形．设抛物线的对称轴交x轴于点F，利用勾股定理求得BD，再分类讨论：①如图3，EP⊥DB于P，△DEP沿着EP边翻折得到△D'EP，判定△EPD∽△BFD，从而得比例式，求得DP的值，再根据BP＝BD﹣DP可得BP的值；②如图4，当ED'⊥BD于点H时，与①同理可得△DEH∽△DBF，从而可得比例式，求得DH和EH 的值，再设PH＝x，用含x的式子表示出D'P、D'H，由勾股定理可得关于x的方程，解得x，则可得出BP的值；③如图5，当D'P⊥BC于点G时，作EI⊥BD于点I，由①②的结论可得EI和BI的值，再由勾股定理得出BE，进而得出BG；判定△BPG∽△BEI，从而得比例式，求得BP的值，则问题得解．
解：（1）∵抛物线顶点D的坐标为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把A（﹣1，0）代入得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设M（m，m2﹣2m﹣3），
∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
∵A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，
∴E（1，﹣2）；
∴DE＝2，
∴S△BCD＝S△CDE+S△BDE
=12DE×（xB﹣xC）
=12×2×3
＝3，
∴S＝3S△BCD＝9，
分两种情况：
①当点M在x轴上方时，m＞3，如图1，
S＝S△ACB+S△ABM
=12AB×OC+12AB×yM
=12×4×3+12×4（m2﹣2m﹣3）
＝2m2﹣4m
＝9，
解得m1=2+222，m2=2−222（舍去），
∴m=2+222；
②当点M在x轴下方时，1＜m＜3，如图2，连接OM，
∴S＝S△AOC+S△OCM+S△OBM
=12OA×OC+12OC×xM+12OB×（﹣yM）
=12×1×3+12×3m+12×3（﹣m2+2m+3）
=−32m2+92m+6，
解得m1＝1（舍去），m2＝2，
∴m＝2．
综上所述，S＝3S△BCD时，m的值为2+222或2；
（3）存在点P，使得△D'EP与△BEP的重叠部分图形为直角三角形．
设抛物线的对称轴交x轴于点F，BD=22+42=25．
①如图3，EP⊥DB于P，△DEP沿着EP边翻折得到△D'EP，
∵∠EDP＝∠BDF，∠EPD＝∠BFD＝90°，
∴△EPD∽△BFD，
∴DPDF=DEDB，即DP4=225，
解得DP=455，
∴BP＝BD﹣DP
＝25−455
=655；
②当ED'⊥BD于点H时，如图4，
与①同理可得△DEH∽△DBF，
∴DHDF=DEDB=EHBF，即DH4=225=EH2，
解得DH=455，EH=255，
在Rt△PHD'中，设PH＝x，
则D'P＝DP＝DH﹣HP=455−x，D'H＝D'E﹣EH＝DE﹣EH＝2−255，
∴x2+(2−255)2=(455−x)2，
解得x＝1−55，
∴BP＝BD﹣DP
＝BD﹣（DH﹣HP）
＝BD﹣DH+HP
＝25−455+1−55
=5+1；
③如图5，当D'P⊥BC于点G时，作EI⊥BD于点I，
由①②可知，EI=255，BI=655，
由翻折的性质可知∠EPI＝∠EPG，
∴EG＝EI=255．
∵BE=BF2+EF2=22，
∴BG＝BE﹣EG＝22−255．
∵∠GBP＝∠IBE，∠BGP＝∠BIE，
∴△BPG∽△BEI，
∴BPBE=BGBI，即BP22=22−255655，
∴BP=453−223=45−223．
综上所述，当△D'EP与△BEP的重叠部分图形为直角三角形时，BP的长为655或5+1或45−223．
总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数图象上的点的坐标特点、多边形的面积、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
6．（2023•酒泉一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
思路引领：（1）直接根据待定系数法进行求解即可；
（2）由二次函数的性质得OC＝3，然后根据勾股定理和等腰三角形的性质得CP1＝DP2＝CP3＝CD，作CH⊥对称轴于H，即可得到答案；
（3）首先得点B（3，0），待定系数法得直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+3），F（ a，﹣a2+2a+3），利用面积公式可得答案．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴−1−m+n=0n=3，
∴m=2n=3，
∴抛物线的表达式；y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在，如图：
∵C（0，3），
∴OC＝3，
在直角三角形OCB中，由勾股定理，得CD=10，
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CD＝PD=10，
∴P1（1，10），P2（1，−10），
PC＝PD时，设P（1，b），
1+（b﹣3）2＝b2，
∴b＝6，
∴P3（1，6），
∴P1（1，10）或P2（1，−10）或P3（1，6）；
（3）当y＝0时，0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，由图象得，
b=30=2k+b，
∴b=3k=−1，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
设E（a，﹣a+3），F（ a，﹣a2+2a+3），
∴EF＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a（0≤a≤3），
S△CDB=12BD•OC=12×2×3=3，
S△CBF＝S△CDB+S△BEF=−32a2+92a，
∵S四边形COBF＝S△BCD+S△BCF=−32a2+92a+3=−32（a−32）2+518，
∴当a=32时，S四边形COBF最大值为518，
y=−32+3=32，
∴E（32，32）．
总结提升：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质；灵活应用三角形的面积公式；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
7．(2023春•李沧区期末）对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：
如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l1，l2，l1，l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l3，l4，l3，l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高．
【结论提炼】
容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S=12dh”
【结论应用】
为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．
已知：如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为 4 ，所以△ABC面积的大小为 20 ．
【再探新知】
三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索：
（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是 36 ；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是 37.5 ，由此发现：用“S=12dh”这一方法对求图4中四边形的面积 不合适 ．（填“适合”或“不适合”）
（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是 36 ，用其它的方法进行计算得到面积的大小是 36 ，由此发现：用“S=12dh”这一方法对求图5中四边形的面积 合适 ．（“适合”或“不适合”）
（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现：用“S=12dh”这一方法对求图6中四边形的面积 合适 ．（填“适合”或“不适合”）
【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“S=12dh”来求面积．那么，可以用“S=12dh”来求面积的四边形应满足的条件是： 一条对角线等于水平宽或铅垂高 ．
思路引领：【结论应用】直接代入公式即可；
【再探新知】（1）求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围四个三角形面积可得答案；
（2）（3）与（1）同理；
【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S=12dh”来求面积．
解：【结论应用】由图形知，铅垂高为4，S△ABC=12×10×4=20，
故答案为：4，20；
【再探新知】
（1）∵四边形ABCD的水平宽为8，铅垂高为9，
∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，
利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9−12×2×6−12×3×5−12×6×5−12×3×4=37.5，
∴用“S=12dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适，
故答案为：36，37.5，不合适；
（2）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为8，
∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，
利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9−12×3×5−12×6×5−12×3×6−12×3×3=36，
∴用“S=12dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，
故答案为：36，36，合适；
（3）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为10，
∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为45，
利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为10×9−12×5×7−12×4×6−12×5×3−12×4×4=45，
∴用“S=12dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，
故答案为：合适；
【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S=12dh”来求面积，
故答案为：一条对角线等于水平宽或铅垂高．
总结提升：本题主要考查了图形的面积，坐标与图形，割补法求不规则图形的面积等知识，由特殊到一般，采用类比的方法是解题的关键．