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中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题30中考命题核心元素全等三角形的基本模型的应用(原卷版+解析)
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这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题30中考命题核心元素全等三角形的基本模型的应用(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了典例剖析+针对训练，2023中考押题预测等内容，欢迎下载使用。
模型一 平移模型
【模型解读】 有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等．
基本图形：
典例1(2023春•广州期中）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．
针对训练
1．（2023春•高州市校级月考）如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：∠E＝∠F．
（2）若EA＝CA，∠A＝40°，求∠D的度数．
2．(2023秋•武城县月考）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE∥BC，∠ADE＝∠ECB，
（1）求证：△AED≌△EBC；
（2）当AB＝6时，求CD的长．
模型二 对称模型
【模型解读】 所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．
基本图形：
典例2 （2023秋•黄埔区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）测量OB与OD、∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想．
（3）在“筝形”ABCD中，已知AC＝6，BD＝4，求“筝形”ABCD的面积．
针对训练
1．(2023秋•梁溪区校级期中）已知：如图，AC、DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
（1）求证：△ABO≌△DCO；
（2）若∠OBC＝34°，求∠OCB的度数．
模型三 一线三垂直
【模型解读】 一线：经过直角顶点的直线(BE)；三垂直：直角两边互相垂直(AC⊥CD)，分别过直角两边上的点向过直角顶点的直线作垂线(AB⊥BC，DE⊥CE)．利用“同角的余角相等”找等角(如∠1＝∠2)．
基本图形：
典例3(2023秋•汝城县期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上运动，且始终保持BE＝CF．连接AE、BF．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求证：AE⊥BF；
（3）若AB＝10cm，红蚂蚁P以2.6厘米/秒的爬行速度从点B出发，黑蚂蚁Q以3厘米/秒的爬行速度从点C同时出发，都逆时针沿正方形ABCD的边爬行，求经过多长时间，两只蚂蚁第一次在正方形ABCD的哪条边上相遇？
针对训练
1．（2023•苏州）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求AB+CDBC的值．
2．(2023•定远县模拟）如图，已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点．
（1）如图1，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是 ；
（2）如图2，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是 ；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BE的延长线交直线AD于点M，求证：CP＝AM；
（4）如图4，已知BC＝4，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d1，线段CF的长度为d2，试求出点P在运动的过程中d1+d2的最大值．
模型四 旋转模型
【模型解读】 可看成将三角形绕着公共顶点旋转一定角度，旋转后的图形与原图形之间存在两种情况：
(1)无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角中．
(2)有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差得到等角．
典例4（2023秋•长丰县月考）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．
（1）求证：BD＝CE．
（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．
（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．
针对训练
1．(2023春•驻马店期末）如图，在△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，
N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．
（1）试说明：△ABE≌△DBC；
（2）探索BM和BN的位置关系和数量关系，并说明理由．
2．（2023•南通一模）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，
GD．
（1）如图1，求证EB＝GD；
（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝32，求BE的长．
模块二 2023中考押题预测
1．（2023秋•西山区期末）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
2．（2023秋•开福区月考）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠C＝40°，求∠B的度数；
（2）若AD平分∠BDE，求证：AE＝AC．
3．(2023秋•南昌期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的长．
4．如图（1）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止
（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP △PCD（填：“≌”或“～”）；
（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）拓展延伸：设AE＝t，当△EPF面积为4.2时，直接写出所对应的t的值．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C点任作一条直线PQ，过A作AM⊥PQ于M，过B作BN⊥PQ于N．
（1）如图1，当直线MN在△ABC的外部时，MN，AM，BN有什么关系呢？为什么？
（2）如图2，当直线MN经过△ABC内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出MN与AM，BN之间的数量关系并说明理由
.
6．（2023•泗洪县三模）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：AE＝CF．
7．（2023秋•迁安市期末）小明将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连结DC．猜想线段CD与BE的数量关系和位置关系，并证明．
8．（2023•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．
（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；
（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．
9．（2023秋•盐都区期末）已知：如图，AC与BD相交于点O，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为点C、D，且AC＝BD．求证：OA＝OB．
10．（2023•南通一模）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．
（1）如图1，求证EB＝GD；
（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝32，求BE的长．
11．（2023春•沙坪坝区校级月考）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点D在直线BC上，过B作BA的垂线交AD的延长线于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝30°，tan∠EAB=12，BC=23，求AE的长；
（2）如图2，点F是CA延长线上的一点，连接FE交BC于点M，若CF＝CB，且∠CAE＝∠FBA，求证AF＝2CM；
（3）如图3，AC＝1，BC＝2，点M为AE的中点，连接BM，CM，当|BM﹣CM|最大时，直接写出ABBM的值．
专题30 中考命题核心元素全等三角形的基本模型的应用（解析版）
模块一 典例剖析+针对训练
模型一 平移模型
【模型解读】 有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等．
基本图形：
典例1(2023春•广州期中）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．
思路引领：根据线段的和差得到AB＝DE，由平行线的性质得到∠A＝∠EDF，根据全等三角形的判定定理证得结论．
证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
AB=DE∠A=∠EDFAC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
总结提升：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
针对训练
1．（2023春•高州市校级月考）如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：∠E＝∠F．
（2）若EA＝CA，∠A＝40°，求∠D的度数．
思路引领：（1）由EA∥FB，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠A＝∠EBD，由AB＝CD可得出AC＝BD，结合EA＝FB即可证出△EAC≌△FBD（SAS），再利用全等三角形的性质可证出∠E＝∠F；
（2）由EA＝CA，利用等边对等角可得出∠E＝∠ACE，结合∠A＝40°可求出∠ACE＝70°，由△EAC≌△FBD，再利用全等三角形的性质可求出∠D＝70°．
（1）证明：∵EA∥FB，
∴∠A＝∠EBD．
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝BC+CD，
即AC＝BD．
在△EAC和△FBD中，
EA=FB∠A=∠FBDAC=BD，
∴△EAC≌△FBD（SAS），
∴∠E＝∠F．
（2）解：∵EA＝CA，
∴∠E＝∠ACE．
∵∠A＝40°，
∴∠ACE=12×（180°﹣40°）＝70°．
∵△EAC≌△FBD，
∴∠D＝∠ACE＝70°．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS，证出△EAC≌△FBD；（2）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠ACE的度数是解题的关键．
2．(2023秋•武城县月考）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE∥BC，∠ADE＝∠ECB，
（1）求证：△AED≌△EBC；
（2）当AB＝6时，求CD的长．
思路引领：（1）根据平行线的性质得∠AED＝∠B，再利用AAS证明△AED≌△EBC即可；
（2）利用SAS证明△DEC≌△BCE，得CD＝BE，从而得出答案．
（1）证明：∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠B，
在△AED与△EBC中，
∠ADE=∠ECB∠AED=∠BAE=BE，
∴△AED≌△EBC（AAS）；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵△AED≌△EBC，
∴ED＝BC，
在△DEC和△BCE中，
DE=BC∠DEC=∠ECBEC=CE，
∴△DEC≌△BCE（SAS），
∴CD＝BE，
∵点E为AB的中点，
∴BE=12AB＝3，
∴CD＝BE＝3．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
模型二 对称模型
【模型解读】 所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．
基本图形：
典例2（2023秋•黄埔区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）测量OB与OD、∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想．
（3）在“筝形”ABCD中，已知AC＝6，BD＝4，求“筝形”ABCD的面积．
思路引领：（1）根据SSS即可得出结论；
（2）由△ABC≌△ADC，得出∠BAC＝∠DAC，进而根据SAS判断出△ABO≌△ADO，即可得出结论；
（3）由∠BOA＝∠DOA判断出AC⊥BD，即可求出答案．
（1）证明：在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）解：OB＝OD，∠BOA＝∠DOA，
证明：由（1）知，△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABO和△ADO中，
AB=AD∠BAC=∠DACAO=AO，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴OB＝OD，∠BOA＝∠DOA；
（3）由（2）知，∠BOA＝∠DOA，
∵∠BOA+∠DOA＝180°，
∴∠BOA＝90°，
即AC⊥BD，
∴“筝形”ABCD的面积为12BD•AC=12×4×6＝12．
总结提升：此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，“筝形”的面积求法，判断出△ABC≌△ADC是解本题的关键．
针对训练
1．(2023秋•梁溪区校级期中）已知：如图，AC、DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
（1）求证：△ABO≌△DCO；
（2）若∠OBC＝34°，求∠OCB的度数．
思路引领：（1）根据AAS即可得出结论；
（2）由△ABO≌△DCO，得出OB＝OC，即可推出结果．
（1）证明：在△ABO和△DCO中，
∠AOB=∠DOC∠ABO=∠DCOAB=CD，
∴△ABO≌△DCO（AAS）；
（2）解：由（1）知，△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝34°．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
模型三 一线三垂直
【模型解读】 一线：经过直角顶点的直线(BE)；三垂直：直角两边互相垂直(AC⊥CD)，分别过直角两边上的点向过直角顶点的直线作垂线(AB⊥BC，DE⊥CE)．利用“同角的余角相等”找等角(如∠1＝∠2)．
基本图形：
典例3(2023秋•汝城县期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上运动，且始终保持BE＝CF．连接AE、BF．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求证：AE⊥BF；
（3）若AB＝10cm，红蚂蚁P以2.6厘米/秒的爬行速度从点B出发，黑蚂蚁Q以3厘米/秒的爬行速度从点C同时出发，都逆时针沿正方形ABCD的边爬行，求经过多长时间，两只蚂蚁第一次在正方形ABCD的哪条边上相遇？
思路引领：（1）由正方形的性质可得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等；
（2）由全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠CAF，然后求出∠BAE+∠ABF＝∠ABC＝90°，判断出AE⊥BF；
（3）由黑蚂蚁Q的路程﹣红蚂蚁P的路程＝30cm，列出方程可求解．
证明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
在△ABE和△BCF中，
AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAE+∠ABF＝∠CAF+∠ABF＝∠ABC＝90°，
∴AE⊥BF；
（3）设经过x秒，两只蚂蚁第一次相遇，
由题意可得：3x﹣2.6x＝30
∴x＝75秒，
∴75×3＝5×40+25，
∴经过75秒，两只蚂蚁第一次在正方形ABCD的AB边上相遇．
总结提升：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△BCF是解题的关键．
针对训练
1．（2023•苏州）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求AB+CDBC的值．
思路引领：（1）由“AAS”可知△BAP≌△CPD，可得BP＝CD，AB＝PC，可得结论；
（2）过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由（1）可知EF＝AE+DF，由等腰直角三角形的性质可得BE＝AE，CF＝DF，AB=2AE，CD=2DF，即可求解．
证明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°，
∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC，
又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，
∴△BAP≌△CPD（AAS），
∴BP＝CD，AB＝PC，
∴BC＝BP+PC＝AB+CD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
由（1）可知，EF＝AE+DF，
∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，
∴BE＝AE，CF＝DF，AB=2AE，CD=2DF，
∴BC＝BE+EF+CF＝2（AE+DF），
∴AB+CDBC=2(AE+DF)2(AE+DF)=22．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
2．(2023•定远县模拟）如图，已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点．
（1）如图1，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是 AP⊥BC ；
（2）如图2，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是 CF＝BE+EF ；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BE的延长线交直线AD于点M，求证：CP＝AM；
（4）如图4，已知BC＝4，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d1，线段CF的长度为d2，试求出点P在运动的过程中d1+d2的最大值．
思路引领：（1）利用等腰三角形的性质可得答案；
（2）利用AAS证明△ACF≌△BAE，得CF＝AE，AF＝BE即可；
（3）由（2）同理可证CF＝AE．再利用ASA证明△CFP≌△AEM，得CP＝AM；
（4）用两种方法表示△ABC的面积，可得d1+d2=8AP，当AP⊥BC时，AP最小，此时AP＝2，可得答案．
解：（1）∵点D是BC的中点，
∴AP⊥BC，
故答案为：AP⊥BC；
（2）CF＝BE+EF，
∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∠BAE＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴△ACF≌△BAE（AAS），
∴CF＝AE，AF＝BE，
∴CF＝BE+EF，
故答案为：CF＝BE+EF；
（3）CP＝AM，理由如下：
证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP．
∴∠AFC＝∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠FAC＝90°，
∠ACF+∠FAC＝90°．
∴∠BAE＝∠ACF．
又∵AB＝AC．
∴△ACF≌△BAE（AAS）．
∴∠BAE＝∠ACF，CF＝AE．
∵在等腰Rt△ABC中，点D是BC的中点．
∴∠BAD＝∠ACD＝45°
∵∠BAE＝∠ACF．
∴∠EAM＝∠FCP．
在△CFP和△AEM中，
∠FCP＝∠EAM，CF＝AE，∠CFP＝∠AEM
∴△CFP≌△AEM（ASA），
∴CP＝AM；
（4）∵AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=4，
由图形可知，S△ABC=S△APB+S△APC=12AP⋅BE+12AP⋅CF=4，
∴d1+d2=8AP，
∴当AP⊥BC时，AP最小，此时AP＝2；
∴d1+d2最大值为4．
总结提升：本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，利用面积法表示出d1+d2=8AP是解决问题（4）的关键．
模型四 旋转模型
【模型解读】 可看成将三角形绕着公共顶点旋转一定角度，旋转后的图形与原图形之间存在两种情况：
(1)无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角中．
(2)有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差得到等角．
典例4（2023秋•长丰县月考）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．
（1）求证：BD＝CE．
（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．
（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．
思路引领：（1）根据AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD，从而得出∠BAD＝∠CAE，即可得出△BAD≌△CAE，进而可以解决问题；
（2）结合（1）证明∠COF＝∠BAC＝48°，进而可以解决问题；
（3）连接AO，证明△ADO≌△AEG，可得AG＝AO，∠DAO＝∠EAG，然后证明∠COF＝∠OAG，根据AG∥BD，可得∠AOF＝∠OAG，再根据等腰三角形的性质即可解决问题．
（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠AFB＝∠CFO，
∴∠COF＝∠BAC＝48°，
∴∠COD＝180°﹣∠COF＝180°﹣48°＝132°，
答：∠COD的度数为132°．
（3）证明：如图，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵AD＝AE，GE＝OD，
在△ADO和△AEG中，
AD=AE∠ADO=∠AEGGE=DO，
∴△ADO≌△AEG（SAS），
∴AG＝AO，∠DAO＝∠EAG，
∵AG＝OC，
∴OA＝OC，
∵∠OAG＝∠DAO+∠DAG，
∴∠OAG＝∠EAG+∠DAG＝∠DAE＝∠BAC，
由（2）知：∠COF＝∠BAC，
∴∠COF＝∠OAG，
∵AG∥BD，
∴∠AOF＝∠OAG，
∴∠COF＝∠AOF，
∵OA＝OC，
∴BD⊥AC．
总结提升：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质以及角之间的关系，判断出∠COF＝∠AOF，是解本题的关键．
针对训练
1．(2023春•驻马店期末）如图，在△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，
N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．
（1）试说明：△ABE≌△DBC；
（2）探索BM和BN的位置关系和数量关系，并说明理由．
思路引领：（1）根据SAS可证明△ABE≌△DBC；
（2）证得∠BAM＝∠BDN．证明△ABM≌△DBN．得出BM＝BN，∠ABM＝∠DBN．得出∠ABD＝90°．则结论得证．
（1）证明：∵DB是高，
∴∠ABE＝∠DBC＝90°．
在△ABE和△DBC中，
AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC，
∴△ABE≌△DBC（SAS）；
（2）解：BM＝BN，BM⊥BN，理由如下：
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAM＝∠BDN，
在△ABM 和△DBN中，
AB=DB∠BAM=∠BDNAM=DN，
∴△ABM≌△DBN（SAS），
∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，
∴∠DBN+∠DBM＝∠ABM+∠DBM＝∠ABD＝90°，
∴MB⊥BN．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
2．（2023•南通一模）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，
GD．
（1）如图1，求证EB＝GD；
（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝32，求BE的长．
思路引领：（1）根据正方形性质求出A＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠GAE＝90°，求出∠BAE＝∠DAG，根据SAS推出△AGD≌△AEB即可；
（2）根据勾股定理求出DH、EG，求出GH，根据全等得出BE＝DG，即可求出答案．
（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△AGD和△AEB中，
AG=AE∠GAD=∠EABAD=AB，
∴△AGD≌△AEB（SAS），
∴EB＝GD；
（2）解：作AH⊥DG于H，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AD＝AB＝5，AE＝AG＝32．
∴由勾股定理得：EG=(32)2+(32)2=6，
AH＝GH=12EG＝3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴DH=AD2−AH2=4，
∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．
总结提升：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，能求出△AGD≌△AEB是解此题的关键
模块二 2023中考押题预测
1．（2023秋•西山区期末）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
思路引领：根据BE＝CF求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理SSS推出即可．
证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC 和△DEF中，
AB=DEBC=EFAC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
2．（2023秋•开福区月考）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠C＝40°，求∠B的度数；
（2）若AD平分∠BDE，求证：AE＝AC．
思路引领：（1）由AD＝AB，得∠B＝∠ADB．由AE∥BC，得∠EAC＝∠C，那么∠C+∠DAC＝∠EAC+∠DAC，即∠ADB＝∠DAE．由∠BAD＝∠CAE，得∠BAC＝∠DAE，那么∠B＝∠BAC．已知∠C＝40°，根据三角形内角和定理求得∠B＝70°．
（2）欲证AE＝AC，可证△ABC≌△ADE．由AD平分∠BDE，得∠BDA＝∠ADE，那么∠B＝∠ADE．由∠BAD＝∠CAE，得∠BAC＝∠DAE，从而推断出△ABC≌△ADE．
解：（1）∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB．
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C．
又∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝∠C．
∵∠BDA＝∠C+∠DAC，
∴∠BDA＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC．
又∵∠B＝∠BDA，
∴∠B＝∠BAC．
∵∠C＝40°，
∴∠B+∠BAC＝180°﹣∠C＝140°．
∴2∠B＝140°．
∴∠B＝70°．
（2）由（1）得：∠B＝∠ADB．
∵AD平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠ADE．
∴∠B＝∠ADE．
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC．
∴∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAEAB=AD∠B=∠ADE，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
∴AE＝AC．
总结提升：本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
3．(2023秋•南昌期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的长．
思路引领：（1）由“AAS”可证△ACB≌△EBD；
（2）由全等三角形的性质可得BC＝DB＝12，AC＝EB，即可求解．
（1）证明：∵∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB，
∴∠DEB+∠ABC＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠DEB＝∠A，
在△ACB和△EBD中，
∠ACB=∠EBD=90°∠A=∠DEBAB=DE，
∴△ACB≌△EBD（AAS）；
（2）解：∵△ACB≌△EBD，
∴BC＝DB，AC＝EB，
∵E是BC的中点，
∴EB=12BC，
∵DB＝12，BC＝DB，
∴BC＝12，
∴AC＝EB=12BC＝6．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
4．如图（1）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止
（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP ∽ △PCD（填：“≌”或“～”）；
（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）拓展延伸：设AE＝t，当△EPF面积为4.2时，直接写出所对应的t的值．
思路引领：（1）根据矩形的性质找出∠B＝∠C＝90°，再通过角的计算得出∠BAP＝∠CPD，由此即可得出△ABP∽△PCD；
（2）过点F作FH⊥PC于点H，根据矩形的性质以及角的计算找出∠B＝∠FHP＝90°、∠BEP＝∠HPF，由此即可得出△BEP∽△HPF，根据相似三角形的性质，找出边与边之间的关系即可得出结论；
（3）分点E在AB和AD上两种情况考虑，根据相似三角形的性质找出各边的长度，再利用分割图形求面积法找出S与t之间的函数关系式，令S＝4.2求出t值，此题得解．
解：（1）如图2中，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAP+∠BPA＝90°．
∵∠MPN＝90°，
∴∠BPA+∠CPD＝90°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
故答案为：∽．
（2）是定值．如图3，过点F作FH⊥PC于点H，
∵矩形ABCD中，AB＝2，
∴∠B＝∠FHP＝90°，HF＝AB＝2，
∴∠BPE+∠BEP＝90°．
∵∠MPN＝90°，
∴∠BPE+∠HPE＝90°，
∴∠BEP＝∠HPF，
∴△BEP∽△HPF，
∴PEPF=BPHF，
∵BP＝1，
∴PEPF=12．
（3）分两种情况：
①如图3，当点E在AB上时，0≤t≤2．
∵AE＝t，AB＝2，
∴BE＝2﹣t．
由（2）可知：△BEP∽△HPE，
∴BEHP=PEPF，即2−tHP=12，
∴HP＝4﹣2t．
∵AF＝BH＝PB+PH＝5﹣2t，
∴S＝S矩形ABHF﹣S△AEF﹣S△BEP﹣S△PHF＝AB•AF−12AE•AF−12BE•PB−12PH•FH＝t2﹣4t+5（0≤t≤2）．
当S＝4.2时，t2﹣4t+5＝4.2，
解得：t＝2±455．
∵0≤t≤2，
∴t＝2−455；
②如图4，当点E在AD上时，0≤t≤1，过点E作EK⊥BP于点K，
∵AE＝t，BP＝1，
∴PK＝1﹣t．
同理可证：△PKE∽△FCP，
∴PKFC=EKPC，即1−tFC=12，
∴FC＝2﹣2t．
∴DF＝CD﹣FC＝2t，DE＝AD﹣AE＝5﹣t，
∴S＝S矩形EKCD﹣S△EKP﹣S△EDF﹣S△PCF＝CD•DE−12EK•KP−12DE•DF−12PC•FC＝t2﹣2t+5（0≤t≤1）．
当S＝4.2时，t2﹣2t+5＝4.2，
解得：t＝1±55．
∵0≤t≤1，
∴t＝1−55．
综上所述：当点E在AB上时，S＝t2﹣4t+5（0≤t≤2），当S＝4.2时，t＝2−455；当点E在AD上时，S＝t2﹣2t+5（0≤t≤1），当S＝4.2时，t＝1−55．
总结提升：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）熟练掌握相似三角形的判定定理；（2）根据相似三角形的性质找出PEPF=BPHF；（3）分点E在AB和AD上两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系是关键．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C点任作一条直线PQ，过A作AM⊥PQ于M，过B作BN⊥PQ于N．
（1）如图1，当直线MN在△ABC的外部时，MN，AM，BN有什么关系呢？为什么？
（2）如图2，当直线MN经过△ABC内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出MN与AM，BN之间的数量关系并说明理由.
思路引领：（1）先根据垂直的定义得到∠AMC＝∠CNB＝90°，则∠MAC+∠ACM＝90°，又∠ACB＝90°，则∠ACM+∠NCB＝90°，可得∠MAC＝∠NCB，根据“AAS”可证明△ACM≌△CBN，即得AM＝CN，CM＝BN，故MN＝MC+CN＝AM+BN；
（2）与（1）证明方法一样可得到△ACM≌△CBN，根据全等的性质得AM＝CN，CM＝BN，故MN＝CN﹣CM＝AM﹣BN．
解：（1）MN＝AM+BN；理由如下：
∵AM⊥PQ于M，BN⊥PQ于N，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠MAC+∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
在△ACM和△CBN中，
∠AMC=∠CNB∠MAC=∠NCBAC=BC，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM＝CN，CM＝BN，
∴MN＝MC+CN＝AM+BN；
（2）（1）中的结论不成立，MN与AM、BN之间的数量关系为MN＝AM﹣BN．理由如下：
∵AM⊥PQ于M，BN⊥PQ于N，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠MAC+∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
在△ACM和△CBN中，
∠AMC=∠CNB∠MAC=∠NCBAC=BC，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM＝CN，CM＝BN，
∴MN＝CN﹣CM＝AM﹣BN．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
6．（2023•泗洪县三模）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：AE＝CF．
思路引领：先证∠AEB＝∠CFD，再根据AAS证△ABE≌△CDF，从而得出AE＝CF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形性质和判定，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
7．（2023秋•迁安市期末）小明将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连结DC．猜想线段CD与BE的数量关系和位置关系，并证明．
思路引领：证明△ABE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质即可解决问题．
解：BE＝CD．CD⊥BE．
证明：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
即∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝45°，
∴∠ACD+∠ACB＝45°+45°＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴CD⊥BE．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证明△ABE≌△ACD是解题的关键．
8．（2023•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．
（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；
（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．
思路引领：（1）结论：AG=2BC+EC．证明△AFM≌△EFC（SAS），推出EC＝AM，∠M＝∠ECF，再证明△ACM≌△BCG（AAS），推出AM＝BG，可得结论．
（2）分两种情形：点E在线段DC的延长线上时，点E在线段CD的延长线上时，分别画出图形考虑问题即可．
解：（1）结论：AG=2BC+EC．
理由：如图1中，延长CF到M，使得FM＝CF．
∵AF＝EF，∠AFM＝∠EFC，FM＝FC，
∴△AFM≌△EFC（SAS），
∴EC＝AM，∠M＝∠ECF，
∵GC⊥CF，
∴∠GCF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACM＝∠BCG，
∵CD⊥AB，
∴∠G+∠GCD＝90°，∠GCD+∠ECF＝90°，
∴∠G＝∠ECF＝∠M，
∵CA＝CB，
∴△ACM≌△BCG（AAS），
∴AM＝BG，
∴EC＝BG，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴AB=2BC，
∴AG＝AB+BG=2BC+EC．
（2）①如图2﹣1中，当点E在线段DC的延长线上时，AG＝|2BC﹣EC|．
理由：延长CF到H，使得FH＝CF．
同法可证，△AFH≌△EFC（SAS），△ACH≌△BCG（AAS），
∴EC＝AH，AH＝BG，
∵AB=2BC，
∴AG＝|2BC﹣EC|．
②如图2﹣2中，当等E在线段CD的延长线上时，AG=2BC+CE．证明方法类似（1）．
总结提升：本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（2023秋•盐都区期末）已知：如图，AC与BD相交于点O，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为点C、D，且AC＝BD．求证：OA＝OB．
思路引领：根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，进而解答即可．
证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AC=BDAB=BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠BAC＝∠ABD，
∴OA＝OB．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD解答是解题的关键．
10．（2023•南通一模）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，
GD．
（1）如图1，求证EB＝GD；
（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝32，求BE的长．
思路引领：（1）根据正方形性质求出A＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠GAE＝90°，求出∠BAE＝∠DAG，根据SAS推出△AGD≌△AEB即可；
（2）根据勾股定理求出DH、EG，求出GH，根据全等得出BE＝DG，即可求出答案．
（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△AGD和△AEB中，
AG=AE∠GAD=∠EABAD=AB，
∴△AGD≌△AEB（SAS），
∴EB＝GD；
（2）解：作AH⊥DG于H，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AD＝AB＝5，AE＝AG＝32．
∴由勾股定理得：EG=(32)2+(32)2=6，
AH＝GH=12EG＝3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴DH=AD2−AH2=4，
∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．
总结提升：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，能求出△AGD≌△AEB是解此题的关键．
11．（2023春•沙坪坝区校级月考）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点D在直线BC上，过B作BA的垂线交AD的延长线于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝30°，tan∠EAB=12，BC=23，求AE的长；
（2）如图2，点F是CA延长线上的一点，连接FE交BC于点M，若CF＝CB，且∠CAE＝∠FBA，求证AF＝2CM；
（3）如图3，AC＝1，BC＝2，点M为AE的中点，连接BM，CM，当|BM﹣CM|最大时，直接写出ABBM的值．
思路引领：（1）在Rt△ABC中，解直角三角形求出AB，再在Rt△ABE中，求出BE，利用勾股定理可得结论．
（2）如图2中．过点E作ET⊥BC于T．证明△BCA≌△ETB（AAS），推出AC＝BT，BC＝ET，因为CF＝CB，可得CF＝ET，AF＝CT，再证明△FCM≌△ETM（AAS），推出CM＝MT，可得结论．
（3由题意|BM﹣MC|＝|AM﹣MC|，可得|MA﹣MC|≤AC，推出当点M在AC的延长线上时，|MA﹣MC|的值最大（如图3﹣2中），利用相似三角形的性质求出AE，可得结论．
（1）解：如图1中，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝23，∠ABC＝30°，
∴AC＝BC•tan30°＝2，AB＝2AC＝4，
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，tan∠EAB=BEAB=12，
∴BE＝2，
∴AE=BE2+AB2=22+42=25．
（2）证明：如图2中．过点E作ET⊥BC于T．
∵CF＝CB，∠C＝90°，
∴∠CFB＝45°，
∵∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠ABF+∠AFB，∠CAE＝∠ABF，
∴∠EAB＝∠AFB＝45°，
∵∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，
∴BA＝BE，
∵∠ETB＝∠C＝∠ABE＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，∠ABC+∠EBT＝90°，
∴∠BAC＝∠EBT，
∴△BCA≌△ETB（AAS），
∴AC＝BT，BC＝ET，
∵CF＝CB，
∴CF＝ET，AF＝CT，
∵∠C＝∠ETM＝90°，∠CMF＝∠TME，
∴△FCM≌△ETM（AAS），
∴CM＝MT，
∴AF＝2CM．
（3）解：如图3﹣1中，
∵∠ABE＝90°，AM＝ME，
∴BM＝MA＝ME，
∴|BM﹣MC|＝|AM﹣MC|，
∵|MA﹣MC|≤AC，
∴当点M在AC的延长线上时，|MA﹣MC|的值最大（如图3﹣2中），
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=12+22=5，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABE，
∴△ACB∽△ABE，
∴AB2＝AC•AE，
∴AE＝5，
∵AM＝ME，
∴BM=12AE=52，
∴ABBM=552=255．
总结提升：本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
模型一 平移模型
【模型解读】 有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等．
基本图形：
典例1(2023春•广州期中）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．
针对训练
1．（2023春•高州市校级月考）如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：∠E＝∠F．
（2）若EA＝CA，∠A＝40°，求∠D的度数．
2．(2023秋•武城县月考）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE∥BC，∠ADE＝∠ECB，
（1）求证：△AED≌△EBC；
（2）当AB＝6时，求CD的长．
模型二 对称模型
【模型解读】 所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．
基本图形：
典例2 （2023秋•黄埔区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）测量OB与OD、∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想．
（3）在“筝形”ABCD中，已知AC＝6，BD＝4，求“筝形”ABCD的面积．
针对训练
1．(2023秋•梁溪区校级期中）已知：如图，AC、DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
（1）求证：△ABO≌△DCO；
（2）若∠OBC＝34°，求∠OCB的度数．
模型三 一线三垂直
【模型解读】 一线：经过直角顶点的直线(BE)；三垂直：直角两边互相垂直(AC⊥CD)，分别过直角两边上的点向过直角顶点的直线作垂线(AB⊥BC，DE⊥CE)．利用“同角的余角相等”找等角(如∠1＝∠2)．
基本图形：
典例3(2023秋•汝城县期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上运动，且始终保持BE＝CF．连接AE、BF．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求证：AE⊥BF；
（3）若AB＝10cm，红蚂蚁P以2.6厘米/秒的爬行速度从点B出发，黑蚂蚁Q以3厘米/秒的爬行速度从点C同时出发，都逆时针沿正方形ABCD的边爬行，求经过多长时间，两只蚂蚁第一次在正方形ABCD的哪条边上相遇？
针对训练
1．（2023•苏州）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求AB+CDBC的值．
2．(2023•定远县模拟）如图，已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点．
（1）如图1，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是 ；
（2）如图2，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是 ；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BE的延长线交直线AD于点M，求证：CP＝AM；
（4）如图4，已知BC＝4，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d1，线段CF的长度为d2，试求出点P在运动的过程中d1+d2的最大值．
模型四 旋转模型
【模型解读】 可看成将三角形绕着公共顶点旋转一定角度，旋转后的图形与原图形之间存在两种情况：
(1)无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角中．
(2)有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差得到等角．
典例4（2023秋•长丰县月考）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．
（1）求证：BD＝CE．
（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．
（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．
针对训练
1．(2023春•驻马店期末）如图，在△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，
N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．
（1）试说明：△ABE≌△DBC；
（2）探索BM和BN的位置关系和数量关系，并说明理由．
2．（2023•南通一模）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，
GD．
（1）如图1，求证EB＝GD；
（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝32，求BE的长．
模块二 2023中考押题预测
1．（2023秋•西山区期末）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
2．（2023秋•开福区月考）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠C＝40°，求∠B的度数；
（2）若AD平分∠BDE，求证：AE＝AC．
3．(2023秋•南昌期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的长．
4．如图（1）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止
（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP △PCD（填：“≌”或“～”）；
（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）拓展延伸：设AE＝t，当△EPF面积为4.2时，直接写出所对应的t的值．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C点任作一条直线PQ，过A作AM⊥PQ于M，过B作BN⊥PQ于N．
（1）如图1，当直线MN在△ABC的外部时，MN，AM，BN有什么关系呢？为什么？
（2）如图2，当直线MN经过△ABC内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出MN与AM，BN之间的数量关系并说明理由
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6．（2023•泗洪县三模）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：AE＝CF．
7．（2023秋•迁安市期末）小明将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连结DC．猜想线段CD与BE的数量关系和位置关系，并证明．
8．（2023•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．
（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；
（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．
9．（2023秋•盐都区期末）已知：如图，AC与BD相交于点O，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为点C、D，且AC＝BD．求证：OA＝OB．
10．（2023•南通一模）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．
（1）如图1，求证EB＝GD；
（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝32，求BE的长．
11．（2023春•沙坪坝区校级月考）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点D在直线BC上，过B作BA的垂线交AD的延长线于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝30°，tan∠EAB=12，BC=23，求AE的长；
（2）如图2，点F是CA延长线上的一点，连接FE交BC于点M，若CF＝CB，且∠CAE＝∠FBA，求证AF＝2CM；
（3）如图3，AC＝1，BC＝2，点M为AE的中点，连接BM，CM，当|BM﹣CM|最大时，直接写出ABBM的值．
专题30 中考命题核心元素全等三角形的基本模型的应用（解析版）
模块一 典例剖析+针对训练
模型一 平移模型
【模型解读】 有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等．
基本图形：
典例1(2023春•广州期中）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．
思路引领：根据线段的和差得到AB＝DE，由平行线的性质得到∠A＝∠EDF，根据全等三角形的判定定理证得结论．
证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
AB=DE∠A=∠EDFAC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
总结提升：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
针对训练
1．（2023春•高州市校级月考）如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：∠E＝∠F．
（2）若EA＝CA，∠A＝40°，求∠D的度数．
思路引领：（1）由EA∥FB，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠A＝∠EBD，由AB＝CD可得出AC＝BD，结合EA＝FB即可证出△EAC≌△FBD（SAS），再利用全等三角形的性质可证出∠E＝∠F；
（2）由EA＝CA，利用等边对等角可得出∠E＝∠ACE，结合∠A＝40°可求出∠ACE＝70°，由△EAC≌△FBD，再利用全等三角形的性质可求出∠D＝70°．
（1）证明：∵EA∥FB，
∴∠A＝∠EBD．
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝BC+CD，
即AC＝BD．
在△EAC和△FBD中，
EA=FB∠A=∠FBDAC=BD，
∴△EAC≌△FBD（SAS），
∴∠E＝∠F．
（2）解：∵EA＝CA，
∴∠E＝∠ACE．
∵∠A＝40°，
∴∠ACE=12×（180°﹣40°）＝70°．
∵△EAC≌△FBD，
∴∠D＝∠ACE＝70°．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS，证出△EAC≌△FBD；（2）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠ACE的度数是解题的关键．
2．(2023秋•武城县月考）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE∥BC，∠ADE＝∠ECB，
（1）求证：△AED≌△EBC；
（2）当AB＝6时，求CD的长．
思路引领：（1）根据平行线的性质得∠AED＝∠B，再利用AAS证明△AED≌△EBC即可；
（2）利用SAS证明△DEC≌△BCE，得CD＝BE，从而得出答案．
（1）证明：∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠B，
在△AED与△EBC中，
∠ADE=∠ECB∠AED=∠BAE=BE，
∴△AED≌△EBC（AAS）；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵△AED≌△EBC，
∴ED＝BC，
在△DEC和△BCE中，
DE=BC∠DEC=∠ECBEC=CE，
∴△DEC≌△BCE（SAS），
∴CD＝BE，
∵点E为AB的中点，
∴BE=12AB＝3，
∴CD＝BE＝3．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
模型二 对称模型
【模型解读】 所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．
基本图形：
典例2（2023秋•黄埔区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）测量OB与OD、∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想．
（3）在“筝形”ABCD中，已知AC＝6，BD＝4，求“筝形”ABCD的面积．
思路引领：（1）根据SSS即可得出结论；
（2）由△ABC≌△ADC，得出∠BAC＝∠DAC，进而根据SAS判断出△ABO≌△ADO，即可得出结论；
（3）由∠BOA＝∠DOA判断出AC⊥BD，即可求出答案．
（1）证明：在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）解：OB＝OD，∠BOA＝∠DOA，
证明：由（1）知，△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABO和△ADO中，
AB=AD∠BAC=∠DACAO=AO，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴OB＝OD，∠BOA＝∠DOA；
（3）由（2）知，∠BOA＝∠DOA，
∵∠BOA+∠DOA＝180°，
∴∠BOA＝90°，
即AC⊥BD，
∴“筝形”ABCD的面积为12BD•AC=12×4×6＝12．
总结提升：此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，“筝形”的面积求法，判断出△ABC≌△ADC是解本题的关键．
针对训练
1．(2023秋•梁溪区校级期中）已知：如图，AC、DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
（1）求证：△ABO≌△DCO；
（2）若∠OBC＝34°，求∠OCB的度数．
思路引领：（1）根据AAS即可得出结论；
（2）由△ABO≌△DCO，得出OB＝OC，即可推出结果．
（1）证明：在△ABO和△DCO中，
∠AOB=∠DOC∠ABO=∠DCOAB=CD，
∴△ABO≌△DCO（AAS）；
（2）解：由（1）知，△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝34°．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
模型三 一线三垂直
【模型解读】 一线：经过直角顶点的直线(BE)；三垂直：直角两边互相垂直(AC⊥CD)，分别过直角两边上的点向过直角顶点的直线作垂线(AB⊥BC，DE⊥CE)．利用“同角的余角相等”找等角(如∠1＝∠2)．
基本图形：
典例3(2023秋•汝城县期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上运动，且始终保持BE＝CF．连接AE、BF．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求证：AE⊥BF；
（3）若AB＝10cm，红蚂蚁P以2.6厘米/秒的爬行速度从点B出发，黑蚂蚁Q以3厘米/秒的爬行速度从点C同时出发，都逆时针沿正方形ABCD的边爬行，求经过多长时间，两只蚂蚁第一次在正方形ABCD的哪条边上相遇？
思路引领：（1）由正方形的性质可得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等；
（2）由全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠CAF，然后求出∠BAE+∠ABF＝∠ABC＝90°，判断出AE⊥BF；
（3）由黑蚂蚁Q的路程﹣红蚂蚁P的路程＝30cm，列出方程可求解．
证明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
在△ABE和△BCF中，
AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAE+∠ABF＝∠CAF+∠ABF＝∠ABC＝90°，
∴AE⊥BF；
（3）设经过x秒，两只蚂蚁第一次相遇，
由题意可得：3x﹣2.6x＝30
∴x＝75秒，
∴75×3＝5×40+25，
∴经过75秒，两只蚂蚁第一次在正方形ABCD的AB边上相遇．
总结提升：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△BCF是解题的关键．
针对训练
1．（2023•苏州）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求AB+CDBC的值．
思路引领：（1）由“AAS”可知△BAP≌△CPD，可得BP＝CD，AB＝PC，可得结论；
（2）过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由（1）可知EF＝AE+DF，由等腰直角三角形的性质可得BE＝AE，CF＝DF，AB=2AE，CD=2DF，即可求解．
证明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°，
∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC，
又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，
∴△BAP≌△CPD（AAS），
∴BP＝CD，AB＝PC，
∴BC＝BP+PC＝AB+CD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
由（1）可知，EF＝AE+DF，
∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，
∴BE＝AE，CF＝DF，AB=2AE，CD=2DF，
∴BC＝BE+EF+CF＝2（AE+DF），
∴AB+CDBC=2(AE+DF)2(AE+DF)=22．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
2．(2023•定远县模拟）如图，已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点．
（1）如图1，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是 AP⊥BC ；
（2）如图2，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是 CF＝BE+EF ；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BE的延长线交直线AD于点M，求证：CP＝AM；
（4）如图4，已知BC＝4，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d1，线段CF的长度为d2，试求出点P在运动的过程中d1+d2的最大值．
思路引领：（1）利用等腰三角形的性质可得答案；
（2）利用AAS证明△ACF≌△BAE，得CF＝AE，AF＝BE即可；
（3）由（2）同理可证CF＝AE．再利用ASA证明△CFP≌△AEM，得CP＝AM；
（4）用两种方法表示△ABC的面积，可得d1+d2=8AP，当AP⊥BC时，AP最小，此时AP＝2，可得答案．
解：（1）∵点D是BC的中点，
∴AP⊥BC，
故答案为：AP⊥BC；
（2）CF＝BE+EF，
∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∠BAE＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴△ACF≌△BAE（AAS），
∴CF＝AE，AF＝BE，
∴CF＝BE+EF，
故答案为：CF＝BE+EF；
（3）CP＝AM，理由如下：
证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP．
∴∠AFC＝∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠FAC＝90°，
∠ACF+∠FAC＝90°．
∴∠BAE＝∠ACF．
又∵AB＝AC．
∴△ACF≌△BAE（AAS）．
∴∠BAE＝∠ACF，CF＝AE．
∵在等腰Rt△ABC中，点D是BC的中点．
∴∠BAD＝∠ACD＝45°
∵∠BAE＝∠ACF．
∴∠EAM＝∠FCP．
在△CFP和△AEM中，
∠FCP＝∠EAM，CF＝AE，∠CFP＝∠AEM
∴△CFP≌△AEM（ASA），
∴CP＝AM；
（4）∵AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=4，
由图形可知，S△ABC=S△APB+S△APC=12AP⋅BE+12AP⋅CF=4，
∴d1+d2=8AP，
∴当AP⊥BC时，AP最小，此时AP＝2；
∴d1+d2最大值为4．
总结提升：本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，利用面积法表示出d1+d2=8AP是解决问题（4）的关键．
模型四 旋转模型
【模型解读】 可看成将三角形绕着公共顶点旋转一定角度，旋转后的图形与原图形之间存在两种情况：
(1)无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角中．
(2)有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差得到等角．
典例4（2023秋•长丰县月考）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．
（1）求证：BD＝CE．
（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．
（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．
思路引领：（1）根据AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD，从而得出∠BAD＝∠CAE，即可得出△BAD≌△CAE，进而可以解决问题；
（2）结合（1）证明∠COF＝∠BAC＝48°，进而可以解决问题；
（3）连接AO，证明△ADO≌△AEG，可得AG＝AO，∠DAO＝∠EAG，然后证明∠COF＝∠OAG，根据AG∥BD，可得∠AOF＝∠OAG，再根据等腰三角形的性质即可解决问题．
（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠AFB＝∠CFO，
∴∠COF＝∠BAC＝48°，
∴∠COD＝180°﹣∠COF＝180°﹣48°＝132°，
答：∠COD的度数为132°．
（3）证明：如图，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵AD＝AE，GE＝OD，
在△ADO和△AEG中，
AD=AE∠ADO=∠AEGGE=DO，
∴△ADO≌△AEG（SAS），
∴AG＝AO，∠DAO＝∠EAG，
∵AG＝OC，
∴OA＝OC，
∵∠OAG＝∠DAO+∠DAG，
∴∠OAG＝∠EAG+∠DAG＝∠DAE＝∠BAC，
由（2）知：∠COF＝∠BAC，
∴∠COF＝∠OAG，
∵AG∥BD，
∴∠AOF＝∠OAG，
∴∠COF＝∠AOF，
∵OA＝OC，
∴BD⊥AC．
总结提升：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质以及角之间的关系，判断出∠COF＝∠AOF，是解本题的关键．
针对训练
1．(2023春•驻马店期末）如图，在△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，
N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．
（1）试说明：△ABE≌△DBC；
（2）探索BM和BN的位置关系和数量关系，并说明理由．
思路引领：（1）根据SAS可证明△ABE≌△DBC；
（2）证得∠BAM＝∠BDN．证明△ABM≌△DBN．得出BM＝BN，∠ABM＝∠DBN．得出∠ABD＝90°．则结论得证．
（1）证明：∵DB是高，
∴∠ABE＝∠DBC＝90°．
在△ABE和△DBC中，
AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC，
∴△ABE≌△DBC（SAS）；
（2）解：BM＝BN，BM⊥BN，理由如下：
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAM＝∠BDN，
在△ABM 和△DBN中，
AB=DB∠BAM=∠BDNAM=DN，
∴△ABM≌△DBN（SAS），
∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，
∴∠DBN+∠DBM＝∠ABM+∠DBM＝∠ABD＝90°，
∴MB⊥BN．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
2．（2023•南通一模）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，
GD．
（1）如图1，求证EB＝GD；
（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝32，求BE的长．
思路引领：（1）根据正方形性质求出A＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠GAE＝90°，求出∠BAE＝∠DAG，根据SAS推出△AGD≌△AEB即可；
（2）根据勾股定理求出DH、EG，求出GH，根据全等得出BE＝DG，即可求出答案．
（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△AGD和△AEB中，
AG=AE∠GAD=∠EABAD=AB，
∴△AGD≌△AEB（SAS），
∴EB＝GD；
（2）解：作AH⊥DG于H，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AD＝AB＝5，AE＝AG＝32．
∴由勾股定理得：EG=(32)2+(32)2=6，
AH＝GH=12EG＝3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴DH=AD2−AH2=4，
∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．
总结提升：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，能求出△AGD≌△AEB是解此题的关键
模块二 2023中考押题预测
1．（2023秋•西山区期末）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
思路引领：根据BE＝CF求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理SSS推出即可．
证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC 和△DEF中，
AB=DEBC=EFAC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
2．（2023秋•开福区月考）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠C＝40°，求∠B的度数；
（2）若AD平分∠BDE，求证：AE＝AC．
思路引领：（1）由AD＝AB，得∠B＝∠ADB．由AE∥BC，得∠EAC＝∠C，那么∠C+∠DAC＝∠EAC+∠DAC，即∠ADB＝∠DAE．由∠BAD＝∠CAE，得∠BAC＝∠DAE，那么∠B＝∠BAC．已知∠C＝40°，根据三角形内角和定理求得∠B＝70°．
（2）欲证AE＝AC，可证△ABC≌△ADE．由AD平分∠BDE，得∠BDA＝∠ADE，那么∠B＝∠ADE．由∠BAD＝∠CAE，得∠BAC＝∠DAE，从而推断出△ABC≌△ADE．
解：（1）∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB．
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C．
又∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝∠C．
∵∠BDA＝∠C+∠DAC，
∴∠BDA＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC．
又∵∠B＝∠BDA，
∴∠B＝∠BAC．
∵∠C＝40°，
∴∠B+∠BAC＝180°﹣∠C＝140°．
∴2∠B＝140°．
∴∠B＝70°．
（2）由（1）得：∠B＝∠ADB．
∵AD平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠ADE．
∴∠B＝∠ADE．
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC．
∴∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAEAB=AD∠B=∠ADE，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
∴AE＝AC．
总结提升：本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
3．(2023秋•南昌期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的长．
思路引领：（1）由“AAS”可证△ACB≌△EBD；
（2）由全等三角形的性质可得BC＝DB＝12，AC＝EB，即可求解．
（1）证明：∵∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB，
∴∠DEB+∠ABC＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠DEB＝∠A，
在△ACB和△EBD中，
∠ACB=∠EBD=90°∠A=∠DEBAB=DE，
∴△ACB≌△EBD（AAS）；
（2）解：∵△ACB≌△EBD，
∴BC＝DB，AC＝EB，
∵E是BC的中点，
∴EB=12BC，
∵DB＝12，BC＝DB，
∴BC＝12，
∴AC＝EB=12BC＝6．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
4．如图（1）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止
（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP ∽ △PCD（填：“≌”或“～”）；
（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）拓展延伸：设AE＝t，当△EPF面积为4.2时，直接写出所对应的t的值．
思路引领：（1）根据矩形的性质找出∠B＝∠C＝90°，再通过角的计算得出∠BAP＝∠CPD，由此即可得出△ABP∽△PCD；
（2）过点F作FH⊥PC于点H，根据矩形的性质以及角的计算找出∠B＝∠FHP＝90°、∠BEP＝∠HPF，由此即可得出△BEP∽△HPF，根据相似三角形的性质，找出边与边之间的关系即可得出结论；
（3）分点E在AB和AD上两种情况考虑，根据相似三角形的性质找出各边的长度，再利用分割图形求面积法找出S与t之间的函数关系式，令S＝4.2求出t值，此题得解．
解：（1）如图2中，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAP+∠BPA＝90°．
∵∠MPN＝90°，
∴∠BPA+∠CPD＝90°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
故答案为：∽．
（2）是定值．如图3，过点F作FH⊥PC于点H，
∵矩形ABCD中，AB＝2，
∴∠B＝∠FHP＝90°，HF＝AB＝2，
∴∠BPE+∠BEP＝90°．
∵∠MPN＝90°，
∴∠BPE+∠HPE＝90°，
∴∠BEP＝∠HPF，
∴△BEP∽△HPF，
∴PEPF=BPHF，
∵BP＝1，
∴PEPF=12．
（3）分两种情况：
①如图3，当点E在AB上时，0≤t≤2．
∵AE＝t，AB＝2，
∴BE＝2﹣t．
由（2）可知：△BEP∽△HPE，
∴BEHP=PEPF，即2−tHP=12，
∴HP＝4﹣2t．
∵AF＝BH＝PB+PH＝5﹣2t，
∴S＝S矩形ABHF﹣S△AEF﹣S△BEP﹣S△PHF＝AB•AF−12AE•AF−12BE•PB−12PH•FH＝t2﹣4t+5（0≤t≤2）．
当S＝4.2时，t2﹣4t+5＝4.2，
解得：t＝2±455．
∵0≤t≤2，
∴t＝2−455；
②如图4，当点E在AD上时，0≤t≤1，过点E作EK⊥BP于点K，
∵AE＝t，BP＝1，
∴PK＝1﹣t．
同理可证：△PKE∽△FCP，
∴PKFC=EKPC，即1−tFC=12，
∴FC＝2﹣2t．
∴DF＝CD﹣FC＝2t，DE＝AD﹣AE＝5﹣t，
∴S＝S矩形EKCD﹣S△EKP﹣S△EDF﹣S△PCF＝CD•DE−12EK•KP−12DE•DF−12PC•FC＝t2﹣2t+5（0≤t≤1）．
当S＝4.2时，t2﹣2t+5＝4.2，
解得：t＝1±55．
∵0≤t≤1，
∴t＝1−55．
综上所述：当点E在AB上时，S＝t2﹣4t+5（0≤t≤2），当S＝4.2时，t＝2−455；当点E在AD上时，S＝t2﹣2t+5（0≤t≤1），当S＝4.2时，t＝1−55．
总结提升：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）熟练掌握相似三角形的判定定理；（2）根据相似三角形的性质找出PEPF=BPHF；（3）分点E在AB和AD上两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系是关键．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C点任作一条直线PQ，过A作AM⊥PQ于M，过B作BN⊥PQ于N．
（1）如图1，当直线MN在△ABC的外部时，MN，AM，BN有什么关系呢？为什么？
（2）如图2，当直线MN经过△ABC内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出MN与AM，BN之间的数量关系并说明理由.
思路引领：（1）先根据垂直的定义得到∠AMC＝∠CNB＝90°，则∠MAC+∠ACM＝90°，又∠ACB＝90°，则∠ACM+∠NCB＝90°，可得∠MAC＝∠NCB，根据“AAS”可证明△ACM≌△CBN，即得AM＝CN，CM＝BN，故MN＝MC+CN＝AM+BN；
（2）与（1）证明方法一样可得到△ACM≌△CBN，根据全等的性质得AM＝CN，CM＝BN，故MN＝CN﹣CM＝AM﹣BN．
解：（1）MN＝AM+BN；理由如下：
∵AM⊥PQ于M，BN⊥PQ于N，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠MAC+∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
在△ACM和△CBN中，
∠AMC=∠CNB∠MAC=∠NCBAC=BC，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM＝CN，CM＝BN，
∴MN＝MC+CN＝AM+BN；
（2）（1）中的结论不成立，MN与AM、BN之间的数量关系为MN＝AM﹣BN．理由如下：
∵AM⊥PQ于M，BN⊥PQ于N，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠MAC+∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
在△ACM和△CBN中，
∠AMC=∠CNB∠MAC=∠NCBAC=BC，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM＝CN，CM＝BN，
∴MN＝CN﹣CM＝AM﹣BN．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
6．（2023•泗洪县三模）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：AE＝CF．
思路引领：先证∠AEB＝∠CFD，再根据AAS证△ABE≌△CDF，从而得出AE＝CF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形性质和判定，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
7．（2023秋•迁安市期末）小明将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连结DC．猜想线段CD与BE的数量关系和位置关系，并证明．
思路引领：证明△ABE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质即可解决问题．
解：BE＝CD．CD⊥BE．
证明：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
即∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝45°，
∴∠ACD+∠ACB＝45°+45°＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴CD⊥BE．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证明△ABE≌△ACD是解题的关键．
8．（2023•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．
（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；
（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．
思路引领：（1）结论：AG=2BC+EC．证明△AFM≌△EFC（SAS），推出EC＝AM，∠M＝∠ECF，再证明△ACM≌△BCG（AAS），推出AM＝BG，可得结论．
（2）分两种情形：点E在线段DC的延长线上时，点E在线段CD的延长线上时，分别画出图形考虑问题即可．
解：（1）结论：AG=2BC+EC．
理由：如图1中，延长CF到M，使得FM＝CF．
∵AF＝EF，∠AFM＝∠EFC，FM＝FC，
∴△AFM≌△EFC（SAS），
∴EC＝AM，∠M＝∠ECF，
∵GC⊥CF，
∴∠GCF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACM＝∠BCG，
∵CD⊥AB，
∴∠G+∠GCD＝90°，∠GCD+∠ECF＝90°，
∴∠G＝∠ECF＝∠M，
∵CA＝CB，
∴△ACM≌△BCG（AAS），
∴AM＝BG，
∴EC＝BG，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴AB=2BC，
∴AG＝AB+BG=2BC+EC．
（2）①如图2﹣1中，当点E在线段DC的延长线上时，AG＝|2BC﹣EC|．
理由：延长CF到H，使得FH＝CF．
同法可证，△AFH≌△EFC（SAS），△ACH≌△BCG（AAS），
∴EC＝AH，AH＝BG，
∵AB=2BC，
∴AG＝|2BC﹣EC|．
②如图2﹣2中，当等E在线段CD的延长线上时，AG=2BC+CE．证明方法类似（1）．
总结提升：本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（2023秋•盐都区期末）已知：如图，AC与BD相交于点O，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为点C、D，且AC＝BD．求证：OA＝OB．
思路引领：根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，进而解答即可．
证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AC=BDAB=BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠BAC＝∠ABD，
∴OA＝OB．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD解答是解题的关键．
10．（2023•南通一模）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，
GD．
（1）如图1，求证EB＝GD；
（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝32，求BE的长．
思路引领：（1）根据正方形性质求出A＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠GAE＝90°，求出∠BAE＝∠DAG，根据SAS推出△AGD≌△AEB即可；
（2）根据勾股定理求出DH、EG，求出GH，根据全等得出BE＝DG，即可求出答案．
（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△AGD和△AEB中，
AG=AE∠GAD=∠EABAD=AB，
∴△AGD≌△AEB（SAS），
∴EB＝GD；
（2）解：作AH⊥DG于H，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AD＝AB＝5，AE＝AG＝32．
∴由勾股定理得：EG=(32)2+(32)2=6，
AH＝GH=12EG＝3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴DH=AD2−AH2=4，
∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．
总结提升：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，能求出△AGD≌△AEB是解此题的关键．
11．（2023春•沙坪坝区校级月考）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点D在直线BC上，过B作BA的垂线交AD的延长线于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝30°，tan∠EAB=12，BC=23，求AE的长；
（2）如图2，点F是CA延长线上的一点，连接FE交BC于点M，若CF＝CB，且∠CAE＝∠FBA，求证AF＝2CM；
（3）如图3，AC＝1，BC＝2，点M为AE的中点，连接BM，CM，当|BM﹣CM|最大时，直接写出ABBM的值．
思路引领：（1）在Rt△ABC中，解直角三角形求出AB，再在Rt△ABE中，求出BE，利用勾股定理可得结论．
（2）如图2中．过点E作ET⊥BC于T．证明△BCA≌△ETB（AAS），推出AC＝BT，BC＝ET，因为CF＝CB，可得CF＝ET，AF＝CT，再证明△FCM≌△ETM（AAS），推出CM＝MT，可得结论．
（3由题意|BM﹣MC|＝|AM﹣MC|，可得|MA﹣MC|≤AC，推出当点M在AC的延长线上时，|MA﹣MC|的值最大（如图3﹣2中），利用相似三角形的性质求出AE，可得结论．
（1）解：如图1中，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝23，∠ABC＝30°，
∴AC＝BC•tan30°＝2，AB＝2AC＝4，
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，tan∠EAB=BEAB=12，
∴BE＝2，
∴AE=BE2+AB2=22+42=25．
（2）证明：如图2中．过点E作ET⊥BC于T．
∵CF＝CB，∠C＝90°，
∴∠CFB＝45°，
∵∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠ABF+∠AFB，∠CAE＝∠ABF，
∴∠EAB＝∠AFB＝45°，
∵∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，
∴BA＝BE，
∵∠ETB＝∠C＝∠ABE＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，∠ABC+∠EBT＝90°，
∴∠BAC＝∠EBT，
∴△BCA≌△ETB（AAS），
∴AC＝BT，BC＝ET，
∵CF＝CB，
∴CF＝ET，AF＝CT，
∵∠C＝∠ETM＝90°，∠CMF＝∠TME，
∴△FCM≌△ETM（AAS），
∴CM＝MT，
∴AF＝2CM．
（3）解：如图3﹣1中，
∵∠ABE＝90°，AM＝ME，
∴BM＝MA＝ME，
∴|BM﹣MC|＝|AM﹣MC|，
∵|MA﹣MC|≤AC，
∴当点M在AC的延长线上时，|MA﹣MC|的值最大（如图3﹣2中），
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=12+22=5，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABE，
∴△ACB∽△ABE，
∴AB2＝AC•AE，
∴AE＝5，
∵AM＝ME，
∴BM=12AE=52，
∴ABBM=552=255．
总结提升：本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
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