中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题31中考命题核心元素有关中点问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题31中考命题核心元素有关中点问题(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了典例剖析+针对训练，2023中考押题预测等内容，欢迎下载使用。

模型一 倍长中线
【模型解读】 当已知条件中出现三角形中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题．解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
基本图形：
典例1 (2023•南宁模拟）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，可根据SAS证明△ABD≌△ECD，则AB＝EC．
【类比探究】如图②，在△DEF中，DE＝3，DF＝7，点G是EF的中点，求中线DG的取值范围；
【拓展应用】如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点．若AE是∠BAD的平分线．试探究AB，AD，DC之间的等量关系，并证明你的结论．
针对训练
1．（2023•贵阳模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是（ ）
A．16B．163C．8D．83
模型二 中位线
【模型解读】 当已知条件中同时出现两个及两个以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时，也常考虑构造中位线．
基本图形：

典例2如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N．求证：MQ＝QN．
针对训练
1．(2023春•凤翔县期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝10，则EF的长为（ ）
A．8B．10C．5D．4
2．如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形．
模型三 等腰三角形“三线合一”
【模型解读】 当出现等腰三角形时，常作底边的中线，可利用“三线合一”的性质解题．
基本图形：
典例3（高平市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，求DE的长．
针对训练
1．（2023秋•下城区期中）如图，在钝角△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝70°，则∠BAC＝ ，若将题目改为在锐角△ABC中，其它条件不变，则∠BAC＝ ．
2．(2023秋•扬州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC的中点，
（1）求AD长；
（2）若DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F，求证：DE＝DF．
3．（2011春•内江期末）如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD＝30°，BD=CD=12AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．
请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：
（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝a，则BC＝ ；
（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD＝5cm，∠B＝30°时，△ACD的周长＝ ．
（3）如图3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA＝ ．
（4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD＝∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．
模型四 直角三角形斜边中线
【模型解读】 当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后利用直角三角形斜边的中线性质解决问题．
基本图形：
典例4如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF、EG、DG．求证：（1）EG＝DG；
（2）GF⊥DE．
针对训练
1．(2023秋•上城区期中）已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD．
（2）若∠BAD＝45°，连接MB、MD，判断△MBD的形状，并说明理由．
2．(2023秋•闵行区期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，AB=12DE，AD∥BC．
求证：∠CBA＝3∠CBE．
模型五 三角形边的垂直平分线
【模型解读】 当三角形某一边的垂线过该边的中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到BE＝CE，进而证明线段间的数量关系．
基本图形：
典例5（2023秋•姜堰区期中）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，求△CDE的周长；
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
针对训练
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD＝5，则AE＝ ．
2．(2023秋•无棣县期中）如图，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝2，FG＝4，GC＝3，则△ABC的周长为 ．
模块二 2023中考押题预测
1．(2023秋•新吴区期中）如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝6．过C作∠BAC的角平分线的垂线，垂足为D，点E为DC边的中点连结BD，CD，则S△BEC的最大值为（ ）
A．10B．9.2C．8D．7.5
2．（2023春•青龙县期末）在△ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝5，D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长为（ ）
A．4B．3.5C．3D．2.5
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与BC的垂直平分线DF交于点D，连接AD，CD，则∠ABC与∠ADC之间的数量关系为 ．
4．（2023春•市南区期末）如图，点D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠A＝63°，则∠D＝ ．
5．如图，AD是△ABC的中线，AB＝AC＝13，BC＝10，求AD长．
6．（2023秋•东阳市校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求AC的长及斜边AB边上的高；
（2）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（3）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．
7．如图所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，AC的中点为M，BD的中点为N，判断MN与BD之间的位置关系，并说明理由．
8．(2023•茂南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，BE∥CD，CE∥AB．试判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．
9．（2023秋•洛阳期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长．
10．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M、N分别是AD，EF的中点．求证：MN⊥EF．
11．(2023•朝阳区校级一模）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF＝EF，求证：BD＝CE，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过D点作DG∥AC交BC于G，进而解决了该问题．（不需证明）
【探究】如图③，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．
【应用】如图④，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF=2，∠GEF＝90°，则GF的长为 ．
专题31中考命题核心元素有关中点问题（解析版）
模块一 典例剖析+针对训练
模型一 倍长中线
【模型解读】 当已知条件中出现三角形中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题．解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
基本图形：

典例1 （(2023•南宁模拟）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，可根据SAS证明△ABD≌△ECD，则AB＝EC．
【类比探究】如图②，在△DEF中，DE＝3，DF＝7，点G是EF的中点，求中线DG的取值范围；
【拓展应用】如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点．若AE是∠BAD的平分线．试探究AB，AD，DC之间的等量关系，并证明你的结论．
思路引领：【类比探究】结论：2＜DG＜5．延长DG至H，使GH＝DG，连接FH，证明△DGE≌△HGF（SAS），再依据DF﹣FH＜DH＜DF+FH，即可得出结论．
【拓展应用】结论：AD＝AB+DC．证明△CEF≌△BEA（AAS），推出AB＝CF，再证明DA＝DF即可解决问题．
【类比探究】解：如图②，延长DG至H，使GH＝DG，连接FH，
∵点G是EF的中点，
∴EG＝FG，
在△DGE和△HGF中，
EG=FG∠DGE=∠HGFDG=HG，
∴△DGE≌△HGF（SAS），
∴FH＝DE＝3，
在△DFH中，DF﹣FH＜DH＜DF+FH，
∴7﹣3＜DH＜7+3，
∵DH＝2DG，
∴4＜2DG＜10，
∴2＜DG＜5；
【拓展应用】解：结论：AD＝AB+DC．
理由：如图③中，延长AE、DC交于F，
∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠EAB，
∵点E是BC的中点
∴CE＝EB，
∵∠CEF＝∠AEB，
∴△CEF≌△BEA（AAS），
∴AB＝CF．
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠EAB，
∵∠EAB＝∠CFE，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
∵DF＝DC+CF＝DC+AB，
∴AD＝AB+DC．
总结提升：本题属于四边形综合题，主要考查了是全等三角形的判定和性质、三角形中线和角平分线，三角形三边关系等，合理添加辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．
针对训练
1．（2023•贵阳模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是（ ）
A．16B．163C．8D．83
思路引领：延长CD到H，使DH＝CD，由线段中点的定义得到AD＝BD，根据全等三角形的性质得到AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，根据三角形的面积公式计算，得到结论．
解：∵DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACD＝30°，
延长CD到H，使DH＝CD，连接AH，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADH与△BCD中，
CD=HD∠CDB=∠HDABD=AD，
∴△ADH≌△BCD（SAS），
∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，
∵∠ACH＝30°，
∴CH=3AH＝43，
∴△ABC的面积＝△ACH的面积=12×4×43=83，
故选：D．
总结提升：本题考查的是全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
模型二 中位线
【模型解读】 当已知条件中同时出现两个及两个以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时，也常考虑构造中位线．
基本图形：

典例2 如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N．求证：MQ＝QN．
思路引领：根据正方形性质AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，求出∠GAB＝∠EAC，证出△BAG≌△EAC，再根据三角形中位线求出即可．
证明：连接BG和CE交于O，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，
∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，
∴∠GAB＝∠EAC，
在△BAG和△EAC中，
AB=AE∠BAG=∠EACAG=AC，
∴△BAG≌△EAC（SAS），
∴BG＝CE．
∵BE、BC、CG的中点M、Q、N，
∴MQ=12CE，QN=12BG，
∵BG＝CE，
∴QN＝MQ．
总结提升：本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据正方形性质AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC．
针对训练
1．(2023春•凤翔县期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝10，则EF的长为（ ）
A．8B．10C．5D．4
思路引领：根据等腰三角形的三线合一得到CE＝ED，根据三角形内角和定理解答即可．
解：∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴CE＝ED，
∵CE＝ED，CF＝FB，
∴EF=12BD=12×10＝5，
故选：C．
总结提升：本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
2．如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形．
思路引领：首先要连接MB、MD，然后证明△FBM≌△MDH，从而求出两边相等，且有一角为90°．
证明：连接MB、MD，设FM与AC交于点P，
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形，
∴MD∥AC，且MD=12AC＝BC＝BF；
MB∥CE，且MB=12CE＝CD＝DH，
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴∠CBM＝∠CDM，
又∵∠FBP＝∠HDC，
∴∠FBM＝∠MDH，
在△FBM和△MDH中，
BF=MD∠FBM=∠HDMBM=DH
∴△FBM≌△MDH（SAS），
∴FM＝MH，且∠FMB＝∠MHD，∠BFM＝∠DMH．
∴∠FMB+∠HMD＝180°﹣∠FBM，
∵BM∥CE，
∴∠AMB＝∠E，
同理：∠DME＝∠A．
∴∠AMB+∠DME＝∠A+∠AMB＝∠CBM，
∴∠FMH＝180°﹣（∠AMB+∠DME）﹣（∠FMB+∠HMD）
＝180°﹣∠CBM﹣（180°﹣∠FBM）
＝∠FBC＝90°，
∴△FMH是等腰直角三角形．
总结提升：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，平行四边形的性质和判定应用，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等，本题综合考查了等腰三角形的判定，偏难，学生要综合运用学过的几何知识来证明．
模型三 等腰三角形“三线合一”
【模型解读】 当出现等腰三角形时，常作底边的中线，可利用“三线合一”的性质解题．
基本图形：
典例3(2023秋•高平市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，求DE的长．
思路引领：首先连接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE的长．
解：连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD=12BC＝5，
∴AD=AB2−BD2=12，
又∵DE⊥AB，
∴12BD•AD=12AB•ED，
∴ED=BD⋅ADAB=5×1213=，
解得：DE=6013．
总结提升：此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
针对训练
1．（2023秋•下城区期中）如图，在钝角△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝70°，则∠BAC＝ 35° ，若将题目改为在锐角△ABC中，其它条件不变，则∠BAC＝ 75° ．
思路引领：当∠ABC为钝角时，由AB+BH＝CH可得出AB＝BC，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求出∠BAC的度数；当∠ABC为锐角时，过点A作AD＝AB，交BC于点D，根据等腰三角形的性质可得出∠ADB＝∠ABH＝70°、BH＝DH，结合AB+BH＝CH、CH＝CD+DH可得出CD＝AB＝AD，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求出∠C的度数，再根据三角形内角为180°即可求出∠BAC的度数．
解：当∠ABC为钝角时，如图：
∵AB+BH＝CH，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA=12∠ABH＝35°；
当∠ABC为锐角时，过点A作AD＝AB，交BC于点D，如图所示：
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABH＝70°，BH＝DH．
∵AB+BH＝CH，CH＝CD+DH，
∴CD＝AB＝AD，
∴∠C=12∠ADB＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABH﹣∠C＝75°．
故答案为：35°，75°．
总结提升：本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，做出等腰三角形是解题的关键．
2．(2023秋•扬州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC的中点，
（1）求AD长；
（2）若DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F，求证：DE＝DF．
思路引领：（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再利用勾股定理即可；
（2）利用等腰三角形的性质得AD是等腰△BAC的角平分线，再根据角平分线的性质即可证明结论．
（1）解：如图，连接AD，
∵D为BC的中点，BC＝10，
∴BD＝5，
又∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AD=AB2−BD2=132−52=12；
（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是等腰△BAC的角平分线，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
总结提升：本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握勾股定理以及角平分线的性质是解题的关键．
3．（2011春•内江期末）如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD＝30°，BD=CD=12AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．
请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：
（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝a，则BC＝ a2 ；
（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD＝5cm，∠B＝30°时，△ACD的周长＝ 15cm ．
（3）如图3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA＝ 3：1 ．
（4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD＝∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．
思路引领：（1）根据三角形内角和定理推知∠A＝30，∠C＝90°．
（2）根据线段垂直平分线的性质知CD＝BD，则△ACD的周长等于AC+AB；
（3）如图3，连接AD．利用等腰三角形的性质、垂直的定义推知∠B＝∠ADE＝30°，然后由”30度角所对的直角边是斜边的一半“分别求得BE、AE的值；
（4）如图4，根据三角形外角的性质，可以得到∠PBQ＝30°，根据直角三角形的性质即可得到．
解：
（1）∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，且∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝30，∠C＝90°，
∴BC=12AB=a2．
故填：a2；
（2）如图2，∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，AD＝BD．
又∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC=12AB，
∴△ACD的周长＝AC+AB＝3BD＝15cm．
故填：15cm；
（3）如图3，连接AD．
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，
∴∠BAD＝60°．
又∵DE⊥AB，
∴∠B＝∠ADE＝30°，
∴BE=32BD，AE=12AD，
∴BE：EA=32BD：12AD，
又∵BD=3AD，
∴BE：AE＝3：1．
故填：3：1．
（4）BP＝2PQ．理由如下
∵△ABC为等边三角形．
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ABE＝∠CAD，∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ．
总结提升：本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质．直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
模型四 直角三角形斜边中线
【模型解读】 当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后利用直角三角形斜边的中线性质解决问题．
基本图形：
典例4(2023秋•射阳县校级月考）如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF、EG、DG．求证：（1）EG＝DG；
（2）GF⊥DE．
思路引领：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行证明；
（2）由（1）知DG＝EG，再根据等腰三角形三线合一的证明即可．
证明：（1）∵BD、CE是高，点G是BC的中点，
∴GE=12BC，GD=12BC，
∴GE＝GD；
（2）证明：由（1）知DG＝EG，
∴△GED是等腰三角形，
∵F是DE的中点，
∴GF⊥DE．
总结提升：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作出辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
针对训练
1．(2023秋•上城区期中）已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD．
（2）若∠BAD＝45°，连接MB、MD，判断△MBD的形状，并说明理由．
思路引领：（1）依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到BM＝DM，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到MN⊥BD．
（2）依据等腰三角形外角的性质，即可得到∠BMC＝2∠BAM，∠DMC＝2∠DAM，再根据∠BAD＝45°，可得∠BMC+∠DMC＝2∠BAD＝90°，依据BM＝DM，即可得到△BDM是等腰直角三角形．
解：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点，
∴Rt△ABC中，BM=12AC，
Rt△ACD中，DM=12AC，
∴BM＝DM，
又∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
（2）等腰直角三角形，理由：
∵M是AC的中点，
∴AM=12AC＝BM，
∴∠BAM＝∠ABM，
∴∠BMC＝2∠BAM，
同理可得∠DMC＝2∠DAM，
又∵∠BAD＝45°，
∴∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD＝90°，
又∵BM＝DM，
∴△BDM是等腰直角三角形．
总结提升：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质以及等腰直角三角形的判定的运用，熟记各性质是解题的关键．
2．(2023秋•闵行区期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，AB=12DE，AD∥BC．
求证：∠CBA＝3∠CBE．
思路引领：取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形的性质求出AF＝DF＝FE=12DE，推出DF＝AF＝AB，根据等腰三角形的性质求出∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，求出∠ABF＝2∠D，∠CBE＝∠D，即可得出答案．
证明：
取DE的中点F，连接AF，
∵AD∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠DAE＝∠ACB＝90°，
∴AF＝DF＝EF=12DE，
∵AB=12DE，
∴DF＝AF＝AB，
∴∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，
∴∠AFB＝∠D+∠DAF＝2∠D，
∴∠ABF＝2∠D，
∵AD∥BC，
∴∠CBE＝∠D，
∴∠CBA＝∠CBE+∠ABF＝3∠CBE．
总结提升：本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中．
模型五 三角形边的垂直平分线
【模型解读】 当三角形某一边的垂线过该边的中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到BE＝CE，进而证明线段间的数量关系．
基本图形：
典例5（2023秋•姜堰区期中）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，求△CDE的周长；
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
思路引领：（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，EC＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到∠A+∠B＝55°，根据等腰三角形的性质、结合图形计算即可．
解：（1）∵直线l是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
同理，EC＝EB，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DA+DE+EB＝AB＝10；
（2）∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∵DA＝DC，EC＝EB，
∴∠ACD＝∠A，∠ECB＝∠B，
∴∠DCE＝∠ACB﹣∠DCA﹣∠ECB＝∠ACB﹣∠A﹣∠B＝70°．
总结提升：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
针对训练
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD＝5，则AE＝ 254 ．
思路引领：依据直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理，即可得到AC的长，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，再根据勾股定理列方程，即可得出AE的长．
解：如图，连接BE，
∵AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE＝BE，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AB＝2CD＝10，
又∵BC＝6，
∴AC＝8，
设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
∵∠BCE＝90°，
∴Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，
即（8﹣x）2+62＝x2，
解得x=254，
∴AE=254，
故答案为：254．
总结提升：本题主要考查了勾股定理以及线段垂直平分线的性质的运用，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
2．(2023秋•无棣县期中）如图，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝2，FG＝4，GC＝3，则△ABC的周长为 22 ．
思路引领：利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
解：∵BD垂直平分AG，
∴BA＝BG＝BF+FG＝2+4＝6，
∵CE垂直平分AF，
∴CA＝CF＝CG+FG＝3+4＝7，
∴BC＝BF+CF＝2+7＝9，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝6+7+9＝22．
故答案为：22．
总结提升：本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
模块二 2023中考押题预测
一．选择题（共2小题）
1．(2023秋•新吴区期中）如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝6．过C作∠BAC的角平分线的垂线，垂足为D，点E为DC边的中点连结BD，CD，则S△BEC的最大值为（ ）
A．10B．9.2C．8D．7.5
思路引领：延长AB，CD交点于F，可证△ADF≌△ADC（ASA），得出AC＝AF，DF＝CD，则S△BEC=14S△BCF，当BF⊥BC时，S△BFC最大面积为30，即S△BEC最大面积为7.5．
解：如图：延长AB，CD交点于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在△ADF和△ADC中，
∠ADF=∠ADCAD=AD∠FAD=∠CAD，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC＝AF，DF＝CD；
∵AC﹣AB＝6，
∴AF﹣AB＝6，即BF＝6；
∵DF＝DC，
∵E是CD的中点，
∴S△BEC=14S△BFC，
∴当BF⊥BC时，S△BFC面积最大，
即S△BEC最大面积=14×12×10×6＝7.5．
故选：D．
总结提升：本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到S△BEC=14S△BFC是解题的关键．
2．（2023春•青龙县期末）在△ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝5，D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长为（ ）
A．4B．3.5C．3D．2.5
思路引领：证DE是△ABC的中位线，再由三角形中位线定理求解即可．
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC＝2.5，
故选：D．
总结提升：本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与BC的垂直平分线DF交于点D，连接AD，CD，则∠ABC与∠ADC之间的数量关系为 ∠ADC＝2∠ABC ．
思路引领：根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，BD＝CD，BG＝CG，由等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠BAD，∠CBD＝∠BCD，∠CBG＝∠BCG，进而得到∠DCG＝∠BAD，由三角形外角定理得到∠HGC＝2∠CBG，根据三角形内角和定理得∠ADC＝∠HGC，即可得到∠ADC＝2∠ABC．
解：设AB，DF相交于G，AB，CD相交于H，
连接BD，CG，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD，
∵DF是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，BG＝CG，
∴∠CBD＝∠BCD，∠CBG＝∠BCG，
∴∠CBD﹣∠CBG＝∠BCD﹣∠BCG，∠HGC＝2∠CBG，
∴∠HBD＝∠DCG＝∠BAD，
在△ADH和△CGH中，
∵∠DCG＝∠BAD，∠AHD＝∠CHG，
根据三角形内角和定理得∠ADC＝∠HGC，
∴∠ADC＝2∠ABC，
故答案为：∠ADC＝2∠ABC．
总结提升：本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角定理，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解决问题的关键．
4．（2023春•市南区期末）如图，点D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠A＝63°，则∠D＝ 126° ．
思路引领：连接AD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等看得到AD＝BD＝CD，根据等边对等角可得∠ABD＝∠BAD，∠ACD＝∠CAD，然后求出∠ABD+∠ACD+∠BAC，再根据三角形的内角和等于180°求出∠DBC+∠DCB，再次利用三角形的内角和定理求解即可．
解：如图，连接AD，
∵点D是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠ABD＝∠BAD，∠ACD＝∠CAD，
∴∠ABD+∠ACD+∠BAC＝2∠BAC＝2×63°＝126°，
在△ABC中，根据三角形的内角和定理得，∠DBC+∠DCB＝180°﹣126°＝54°，
在△DBC中，根据三角形的内角和定理得，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣54°＝126°．
故答案为：126°．
总结提升：本题考查了线段垂直平分线的性质，四边形的内角和是360度，熟记性质并作辅助线构造出四边形是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
5．如图，AD是△ABC的中线，AB＝AC＝13，BC＝10，求AD长．
思路引领：利用勾股定理和等腰三角形的性质求得AD的长度即可．
解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是中线，
∴AD⊥BC，BD＝5，
∴∠ADB＝90°，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝144，
∴AD＝12．
总结提升：本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出AD是解决问题的关键．
6．（2023秋•东阳市校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求AC的长及斜边AB边上的高；
（2）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（3）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．
思路引领：（1）利用勾股定理可求得AC，根据三角形的面积公式可求得斜边AB边上的高；
（2）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC=AB2−BC2=52−32=4，
设斜边AB边上的高为h，
根据三角形的面积公式得12AC•BC=12AB•h，
∴h=AC⋅BCAB=3×45=125；
（2）设存在点P，使得PA＝PB，
此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，
即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，
解得：t=2516，
∴当t=2516时，PA＝PB；
（3）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
在△APC和△APE中，
∠C=∠AEP=90°∠CAP=∠EAPAP=AP，
∴△APC≌APE（AAS），
∴AE＝AC＝4，PC＝PE，
∵AC+CP＝2t，
∴BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，
解得：t=83，
当点P在点A时，t=4+3+52=6，
综上所述，当t=83或6时，P在△ABC的角平分线上．
总结提升：本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
7．如图所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，AC的中点为M，BD的中点为N，判断MN与BD之间的位置关系，并说明理由．
思路引领：连接MB、MD，根据直角三角形的性质得到BM=12AC，DM=12AC，根据等腰三角形的三线合一证明．
解：MN⊥BD，
理由如下：连接MB、MD，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，AC的中点为M，
∴BM=12AC，DM=12AC，
∴BM＝DM，又N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
总结提升：本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8．(2023•茂南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，BE∥CD，CE∥AB．试判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．
思路引领：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．
解：四边形CEBD为菱形，
证明如下：
∵BE∥CD，CE∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在Rt△ACB中，D为AB中点，
∴CD为Rt△ACB斜边上的中线，
∴CD＝BD，
∴四边形CEBD为菱形．
总结提升：本题主要考查了菱形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，属于中考常考题型．
9．（2023秋•洛阳期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长．
思路引领：（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB、EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形的周长公式求出OB+OC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，计算即可．
解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长5cm，
∴AD+DE+EA＝5cm，
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；
（2）∵△OBC的周长为13cm，
∴OB+OC+BC＝13cm，
∵BC＝5cm，
∴OB+OC＝8cm，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．
总结提升：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M、N分别是AD，EF的中点．求证：MN⊥EF．
思路引领：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME＝MF，根据等腰三角形三线合一证明结论．
证明：连接ME、MF，
∵DE⊥AB，M是AD的中点，
∴ME=12AD，
∵DF⊥AC，M是AD的中点，
∴MF=12AD，
∴ME＝MF，又N是EF的中点，
∴MN⊥EF．
总结提升：本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
11．(2023•朝阳区校级一模）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF＝EF，求证：BD＝CE，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过D点作DG∥AC交BC于G，进而解决了该问题．（不需证明）
【探究】如图③，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．
【应用】如图④，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF=2，∠GEF＝90°，则GF的长为 2+1 ．
思路引领：【探究】分别延长DC、AE，交于G点，根据已知条件可以得到△ABE≌△GCE，由此得到AB＝CG，又AB∥DC，∠BAE＝∠EAF，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明AF＝GF，即可得出结论．
【应用】延长GE交CB的延长线于M．只要证明△AEG≌△BEM，推出AG＝CM＝1，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题．
【探究】解：AB＝AF+CF．
如图1，分别延长DC、AE，交于G点，
∵AB∥DC，
∴∠B＝∠GCE，∠BAE＝∠EGC，
∵E为BC边的中点，
∴BE＝CE，
∴△ABE≌△GCE（AAS），
∴AB＝CG，
又∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠G
而∠BAE＝∠EAF，
∴∠G＝∠EAF，
∴AF＝GF，
∴AB＝CG＝GF+CF＝AF+CF．
【应用】解：如图2，延长GE交CB的延长线于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CM，
∴∠AGE＝∠M，
在△AEG和△BEM中，
∠AEG=∠MEB∠AGE=∠MAE=BE，
∴△AEG≌△BEM（AAS），
∴GE＝EM，AG＝BM＝1，
∵EF⊥MG，
∴FG＝FM，
∵BF=2，
∴MF＝BF+BM＝1+2，
∴GF＝FM=2+1．
故答案为：2+1．
总结提升：本题是四边形综合题，考查正方形的性质、三角形的中线、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．