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中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题4选择题重点出题方向圆中的计算专项训练(原卷版+解析)
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这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题4选择题重点出题方向圆中的计算专项训练(原卷版+解析)，共59页。试卷主要包含了2022中考真题集训等内容，欢迎下载使用。
1．(2023•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80°B．100°C．140°D．160°
2．(2023•阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠C＝35°，则∠ABO的度数是（ ）
A．35°B．55°C．60°D．70°
3．(2023•巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC=BD，∠CDB＝30°，AC＝23，则OE＝（ ）
A．32B．3C．1D．2
4．(2023•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝63，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α≤360°），B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．(2023•东营）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．4cmB．8cmC．12cmD．16cm
6．(2023•宁夏）把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即OC＝2cm，∠BOF＝120°）．则阴影部分的面积为（ ）
A．（23−23π）cm2B．（83−23π）cm2
C．（83−83π）cm2D．（163−83π）cm2
7．(2023•朝阳）如图，在⊙O中，点A是BC的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（ ）
A．24°B．26°C．48°D．66°
8．(2023•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
A．π3B．3π5C．2π3D．3π4
9．(2023•安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OAnBn∁nDnEn，当n＝2022时，正六边形OAnBn∁nDnEn的顶点Dn的坐标是（ ）
A．（−3，﹣3）B．（﹣3，−3）C．（3，−3）D．（−3，3）
10．(2023•安顺）如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5﹣πB．5−π2C．52−π2D．52−π4
11．(2023•丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则BC的长为（ ）
A．6πB．2πC．32πD．π
12．(2023•枣庄）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28°B．30°C．36°D．56°
13．(2023•鄂尔多斯）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米
14．(2023•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
15．(2023•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．363B．243C．183D．723
16．(2023•济宁）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
17．(2023•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（ ）
A．（2﹣23，3）B．（0，1+23）C．（2−3，3）D．（2﹣23，2+3）
18．(2023•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC=12OD，则∠ABD的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
19．(2023•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
20．(2023•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2
21．(2023•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
22．(2023•牡丹江）如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
23．(2023•柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．16πB．24πC．48πD．96π
24．(2023•河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）
A．25°B．35°C．40°D．50°
25．(2023•长春）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）
A．138°B．121°C．118°D．112°
26．(2023•贵港）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
27．(2023•贵阳）如图，已知∠ABC＝60°，点D为BA边上一点，BD＝10，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是（ ）
A．5B．52C．53D．55
28．(2023•聊城）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则BD的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
29．(2023•营口）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
A．43B．8C．42D．4
30．(2023•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
31．(2023•铜仁市）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
32．(2023•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9B．6C．3D．12
33．(2023•深圳）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，DE为圆的直径，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（ ）
A．1：3B．1：2C．2：2D．（2−1）：1
34．(2023•广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25mD．圆锥的侧面积为5πm2
35．(2023•遵义）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π8−18B．π8−14C．π2−18D．π2−14
36．(2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和BC的长分别为（ ）
A．4，π3B．33，πC．23，4π3D．33，2π
模块二 2023中考押题预测
37．（2023•南平模拟）如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，若∠BCA＝50°，则∠BDA等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
38．（2023•雁塔区校级二模）A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（ ）
A．70°或110°B．35°C．145°D．35°或145°
39．(2023•微山县二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（ ）
A．33πB．233πC．3πD．23π
40．(2023•湖里区二模）如图，在△ABC中，AC＝4，以点C为圆心，2为半径的圆与边AB相切于点D，与AC，BC分别交于点E和点F，点H是优弧EF上一点，∠EHF＝70°，则∠BDF的度数是（ ）
A．35°B．40°C．55°D．60°
41．(2023•碑林区校级模拟）如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
42．(2023•武进区二模）如图，C，D在⊙O上，AB是直径，∠D＝64°，则∠BAC＝（ ）
A．64°B．34°C．26°D．24°
43．(2023•市南区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC与BD交于点E，且BD为⊙O的直径，已知∠BDC＝40°，∠AEB＝110°，则∠ABC＝（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
44．(2023•泰安二模）如图，⊙O中，AB=CB，过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D，若∠ABC＝46°，则∠ADC的度数是（ ）
A．74°B．67°C．66°D．60°
45．(2023•宣威市模拟）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A．3π2 B．10π3C．6π D．以上答案都不对
46．(2023•泰山区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（ ）
A．3B．23C．26D．43
47．(2023•市南区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
48．(2023•苏家屯区一模）如图，已知点A，B，C，D在⊙O上，AC平分∠BAD，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（ ）
A．60°B．50°C．70°D．80°
49．(2023•郧西县模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD切⊙O于点D，E是⊙O一点，连接DE，BE，若AB＝4，∠E＝30°，则CD＝（ ）
A．33B．4C．23D．3
50．(2023•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（ ）
A．8＜m≤45B．45＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10
51．(2023•峄城区校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝2，DE＝53，则AE+CE＝（ ）
A．5+53B．5+43C．5+33D．7+33
52．(2023•赛罕区校级一模）若点P是直线y＝﹣x+2上一动点，∠OMP＝90°，则△OMP外接圆面积的最小值为（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
53．(2023•市北区校级二模）如图，BD是⊙O的切线，∠BCE＝32°，则∠D＝（ ）
A．32°B．29°C．26°D．28°
54．(2023•青山区校级四模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，以BD为直径作⊙O，分别与菱形的边相交于点E，F，G，H，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π3+23B．2π3+43C．4π3+23D．4π3+43
55．(2023•会东县校级模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB的度数为（ ）
A．55°B．65°C．70°D．90°
56．(2023•兴义市模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．25°B．40°C．50°D．80°
57．(2023•涟源市校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，若∠C＝58°，则∠OAB的大小为（ ）
A．32°B．58°C．65°D．40°
58．(2023•铜仁市校级模拟）如图，⊙O中，若∠ABC＝30°，过点A作⊙O的切线与OC的延长线交于点P，且PA＝23，则⊙O的半径等于（ ）
A．3B．32C．3D．2
59．(2023•宁波模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB的最小值为（ ）
A．2B．3C．23D．4
60．(2023•昭阳区校级模拟）如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC的点B′处，点C的对应点为点C′，则阴影部分的面积为（ ）
A．23π+23B．43π+43C．3+πD．32π−3
专题4 选择题重点出题方向圆中的计算专项训练（原卷版）
模块一 2022中考真题集训
1．(2023•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80°B．100°C．140°D．160°
思路引领：先根据圆周角定理求得∠D的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数即可．
解：∵∠AOC＝160°，
∴∠ADC=12∠AOC＝80°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，
故选：B．
总结提升：此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
2．(2023•阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠C＝35°，则∠ABO的度数是（ ）
A．35°B．55°C．60°D．70°
思路引领：由圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，又由OA＝OB，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABO的度数．
解：连接OA，
∵∠C＝35°，
∴∠AOB＝2∠C＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO=12（180°﹣∠AOB）＝55°．
故选：B．
总结提升：此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
3．(2023•巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC=BD，∠CDB＝30°，AC＝23，则OE＝（ ）
A．32B．3C．1D．2
思路引领：连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．
解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，BC=BD，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝∠CDB＝30°，AC=23，
∴AE＝AC•cs∠BAC＝3，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB=ACcs∠BAC=4，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
4．(2023•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝63，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α≤360°），B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
思路引领：设⊙O与边BA的延长线、射线AC分别相切于点T、点G，连接OA交⊙O于点L，连接OT，作AE⊥BC于点E，OH⊥BC于点H，先求得BE＝CE＝33，∠B＝∠ACB＝30°，则AE＝BE•tan30°＝3，再证明OA∥BC，则OH＝AE＝OT＝OL＝3，可证明直线BC与⊙O相切，再求得OA＝2OT＝6，则AL＝3，作AK⊥B′C′于点K，由旋转得AK＝AE＝3，∠AKB′＝∠AEB＝90°，直线B′C′与⊙O相切存在三种情况，一是△ABC绕点A旋转到点K与点L重合，二是△ABC绕点A旋转到B′C′∥OA，三是△ABC绕点A旋转到B′C′与BC重合，即旋转角α＝360°，分别加以说明即可．
解：如图1，由题意可知⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3，
设⊙O与边BA的延长线、射线AC分别相切于点T、点G，连接OA交⊙O于点L，连接OT，
∴AT⊥OT，OT＝3，
作AE⊥BC于点E，OH⊥BC于点H，则∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝63，
∴BE＝CE=12BC＝33，∠B＝∠ACB=12（∠180﹣∠BAC）＝30°，
∴AE＝BE•tan30°＝33×33=3，
∵∠TAC＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠OAG＝∠OAT=12∠TAC＝30°，
∴∠OAG＝∠ACB，
∴OA∥BC，
∴OH＝AE＝OT＝OL＝3，
∴直线BC与⊙O相切，
∵∠ATO＝90°，
∴OA＝2OT＝6，
∴AL＝3，
作AK⊥B′C′于点K，由旋转得AK＝AE＝3，∠AKB′＝∠AEB＝90°，
如图2，△ABC绕点A旋转到点K与点L重合，
∵∠OLB′＝180°﹣∠ALB′＝180°﹣∠AKB′＝90°，
∴B′C′⊥OL，
∵OL为⊙O的半径，
∴B′C′与⊙O相切；
如图3，△ABC绕点A旋转到B′C′∥OA，作OR⊥B′C′交C′B′的延长线于点R，
∵OR＝AK＝3，
∴B′C′与⊙O相切；
当△ABC绕点A旋转到B′C′与BC重合，即旋转角α＝360°，则B′C′与⊙O相切，
综上所述，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切3次，
故选：C．
总结提升：此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、锐角三角函数以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，画出图形并且正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
5．(2023•东营）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．4cmB．8cmC．12cmD．16cm
思路引领：求得半圆形铁皮的半径即可求得围成的圆锥的母线长．
解：设半圆形铁皮的半径为rcm，
根据题意得：πr＝2π×4，
解得：r＝8，
所以围成的圆锥的母线长为8cm，
故选：B．
总结提升：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于半圆铁皮的弧长，难度不大．
6．(2023•宁夏）把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即OC＝2cm，∠BOF＝120°）．则阴影部分的面积为（ ）
A．（23−23π）cm2B．（83−23π）cm2
C．（83−83π）cm2D．（163−83π）cm2
思路引领：先求出∠COF，进而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，进而求出BE，最后用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案．
解：在Rt△OCF中，∠COF＝180°﹣∠BOF＝60°，
∴∠OFC＝30°，
∵OC＝2cm，
∴OF＝2OC＝4cm，
连接OE，则OE＝OF＝4cm，
在Rt△BOE中，∠B＝30°，
∴∠DOE＝60°，OB＝2OE＝8cm，
根据勾股定理得，BE=OB2−OE2=43cm，
∴S阴影＝S△BOE﹣S扇形DOE=12BE•OE−60π⋅42360=12×43×4−83π＝（83−83π）cm2，
故选：C．
总结提升：此题主要考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键．
7．(2023•朝阳）如图，在⊙O中，点A是BC的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（ ）
A．24°B．26°C．48°D．66°
思路引领：直接利用圆周角求解．
解：∵点A是BC的中点，
∴AC=AB，
∴∠AOB＝2∠ADC＝2×24°＝48°．
故选：C．
总结提升：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．(2023•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
A．π3B．3π5C．2π3D．3π4
思路引领：解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面积公式求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵BA＝BE＝2，BC=3，
∴cs∠CBE=CBBE=32，
∴∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∴S扇形BAE=60⋅π⋅22360=2π3，
故选：C．
总结提升：本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．
9．(2023•安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OAnBn∁nDnEn，当n＝2022时，正六边形OAnBn∁nDnEn的顶点Dn的坐标是（ ）
A．（−3，﹣3）B．（﹣3，−3）C．（3，−3）D．（−3，3）
思路引领：由题意旋转8次应该循环，因为2022÷8＝252…6，所以Dn的坐标与D6的坐标相同．
解：由题意旋转8次应该循环，
∵2022÷8＝252…6，
∴Dn的坐标与D6的坐标相同，
如图，过点D6H⊥OE于点H，
∵∠DOD6＝90°，∠DOE＝30°，OD＝OD6＝23，
∴OH＝OD6•cs60°=3，HD6=3OH＝3，
∴D6（−3，﹣3），
∴顶点Dn的坐标是（−3，﹣3），
故选：A．
总结提升：本题考查正多边形与圆，坐标与图形变化﹣性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
10．(2023•安顺）如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5﹣πB．5−π2C．52−π2D．52−π4
思路引领：连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD＝90°，根据切线的性质得到∠PAO＝∠PDO＝90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE＝3，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
解：连接AC，OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC是⊙O的直径，∠AOD＝90°，
∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，
∴∠PAO＝∠PDO＝90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA＝OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P＝90°，AP＝AO，AC∥PE，
∴∠E＝∠ACB＝45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC＝2AO＝2，DE=2CD＝2，
∴AP＝PD＝AO＝1，
∴PE＝3，
∴图中阴影部分的面积=12（AC+PE）•AP−12AO2•π=12（2+3）×1−12×12•π=12（5﹣π）=52−π2，
故选：C．
总结提升：本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．(2023•丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则BC的长为（ ）
A．6πB．2πC．32πD．π
思路引领：先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可．
解：∵直径AB＝6，
∴半径OB＝3，
∵圆周角∠A＝30°，
∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，
∴BC的长是60π×3180=π，
故选：D．
总结提升：本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的弧的长度是nπr180．
12．(2023•枣庄）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28°B．30°C．36°D．56°
思路引领：连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可．
解：连接OA，OB．
由题意，∠AOB＝86°﹣30°＝56°，
∴∠ACB=12∠AOB＝28°，
故选：A．
总结提升：本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题．
13．(2023•鄂尔多斯）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米
思路引领：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，根据等边三角形的判定得出△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，求出优弧AB所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可．
解：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，
∵等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，
∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，
∴△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，
∴优弧AB所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，
∴花坛的周长为2×240π×3180=8π（米），
故选：C．
总结提升：本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．
14．(2023•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
思路引领：由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.1kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出1000个这样的锚标浮筒需用锌量．
解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3m，
圆锥的高为0.4m，
则圆锥的母线长为：0.32+0.42=0.5m．
∴圆锥的侧面积S1＝π×0.3×0.5＝0.15π（m2），
∵圆柱的高为1m．
圆柱的侧面积S2＝2π×0.3×1＝0.6π（m2），
∴浮筒的表面积＝2S1+S2＝0.9π（m2），
∵每平方米用锌0.1kg，
∴一个浮筒需用锌：0.9π×0.1kg，
∴1000个这样的锚标浮筒需用锌：1000×0.9π×0.1＝90π≈282.6（kg）．
故选：A．
总结提升：本题考查了圆锥表面积的计算和圆柱表面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，难度中等．
15．(2023•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．363B．243C．183D．723
思路引领：根据AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定理求出CD，即可求出四边形的面积．
解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，EC=OC2−OE2=36−9=33，
∴CD＝2CE＝63，
∴四边形ACBD的面积=12AB⋅CD=12×12×63=363．
故选：A．
总结提升：本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
16．(2023•济宁）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
思路引领：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．
解：∵底面圆的直径为6cm，
∴底面圆的半径为3cm，
∴圆锥的侧面积=12×8×2π×3＝24πcm2．
故选：D．
总结提升：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．(2023•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（ ）
A．（2﹣23，3）B．（0，1+23）C．（2−3，3）D．（2﹣23，2+3）
思路引领：根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），
在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM=12×120°＝60°，
∴CM=12BC＝2，BM=32BC＝23，
∴点C的横坐标为﹣（23−2）＝2﹣23，纵坐标为1+2＝3，
∴点C的坐标为（2﹣23，3），
故选：A．
总结提升：本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．
18．(2023•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC=12OD，则∠ABD的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
思路引领：连接OB，则OC=12OB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案．
解：如图：
连接OB，则OB＝OD，
∵OC=12OD，
∴OC=12OB，
∵OC⊥AB，
∴∠OBC＝30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∠ABD＝30°+75°＝105°．
故选：D．
总结提升：本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
19．(2023•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
思路引领：由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
总结提升：此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
20．(2023•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2
思路引领：根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可．
解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
=120π×9360−120π×94360
＝2.25πm2．
故选：D．
总结提升：本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=nπR2360是解题的关键．
21．(2023•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
思路引领：根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，
设圆心角的度数是n度．
则nπ×3180=2π，
解得：n＝120．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
22．(2023•牡丹江）如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
思路引领：由BD是⊙O的直径，可求得∠BCD＝90°，又由圆周角定理可得∠D＝∠A＝50°，继而求得答案．
解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠D＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝40°．
故选：C．
总结提升：此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
23．(2023•柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．16πB．24πC．48πD．96π
思路引领：先求出弧AA′的长，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可．
解：弧AA′的长，就是圆锥的底面周长，即2π×4＝8π，
所以扇形的面积为12×8π×12＝48π，
即圆锥的侧面积为48π，
故选：C．
总结提升：本题考查圆锥的计算，掌握弧长公式以及扇形面积的计算公式是正确解答的前提．
24．(2023•河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）
A．25°B．35°C．40°D．50°
思路引领：由圆周角定理可求得∠AOP的度数，由切线的性质可知∠PAO＝90°，则可求得∠P．
解：∵∠ABC＝25°，
∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥AB，
∴∠PAO＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，
故选：C．
总结提升：本题主要考查切线的性质及圆周角定理，根据圆周角定理和切线的性质分别求得∠AOP和∠PAO的度数是解题的关键．
25．(2023•长春）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）
A．138°B．121°C．118°D．112°
思路引领：根据圆的内接四边形对角互补得到∠A＝180°﹣121°＝59°，根据圆周角定理即可得到∠BOD＝2∠A的度数．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝180°﹣121°＝59°，
∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，
故选：C．
总结提升：本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．
26．(2023•贵港）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
思路引领：根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABC＝90°，进而求出∠CAB，根据圆周角定理解答即可．
解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
∵∠ACB＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
由圆周角定理得：∠BPC＝∠CAB＝50°，
故选：C．
总结提升：本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
27．(2023•贵阳）如图，已知∠ABC＝60°，点D为BA边上一点，BD＝10，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是（ ）
A．5B．52C．53D．55
思路引领：解法一：根据题意和等边三角形的判定，可以得到BE的长．
解法二：先根据直径所对的圆周角是90°，然后根据直角三角形的性质和直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，可以求得BE的长．
解：解法一：连接OE，
由已知可得，OE＝OB=12BD＝5，
∵∠ABC＝60°，
∴△BOE是等边三角形，
∴BE＝OB＝5，
故选：A．
解法二：由题意可得，
BD为⊙O的直径，
∴∠BED＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EDB＝30°，
∵BD＝10，
∴BE＝5，
故选：A．
总结提升：本题考查等边三角形的判定与性质、与圆相关的知识，解答本题的关键是明确题意，求出△OBE的形状．
28．(2023•聊城）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则BD的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
思路引领：根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可．
解：连接BC，
∵∠AOC＝80°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠P＝30°，
∴∠BCD＝10°，
∴BD的度数是20°．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
29．(2023•营口）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
A．43B．8C．42D．4
思路引领：连接AB，可得△ABC是直角三角形，利用圆周角定理可得∠ABC＝∠ADC＝30°，在Rt△ABC中，AC＝4，利用三角函数可求出BC的长．
解：连接AB，如图所示，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°．
∵∠ADC＝30°，
∴∠ABC＝∠ADC＝30°．
∴在Rt△ABC中，
tan∠ABC=ACBC，
∴BC=ACtan∠ABC．
∵AC＝4，
∴BC=4tan30°=43．
故选：A．
总结提升：本题考查了圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角相等”是解题的关键．
30．(2023•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
思路引领：由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理求出∠CME＝60°．
解：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝∠DOE＝60°，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴∠CME=12∠COE＝60°，
故选：D．
总结提升：本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠COM＝120°是解决问题的关键．
31．(2023•铜仁市）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
思路引领：根据圆周角定理即可求解．
解：∵OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，∠AOB＝80°，
∴∠C=12∠AOB=40°．
故选：B．
总结提升：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
32．(2023•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9B．6C．3D．12
思路引领：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE＝CE，得到弓形BE的面积＝弓形CE的面积，则S阴影=S△ABE=S△ABC−S△BCE=12×6×6−12×6×3=9．
解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE＝45°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝45°，
∴∠EOC＝90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，
∴S阴影=S△ABE=S△ABC−S△BCE=12×6×6−12×6×3=9，
故选：A．
总结提升：本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．
33．(2023•深圳）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，DE为圆的直径，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（ ）
A．1：3B．1：2C．2：2D．（2−1）：1
思路引领：根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，可以先证明△ABC和△COD，再由∴S△COD＝S△COE=12S△DCE，进而得出S△ABC=12S△DCE，即△ABC和△CDE面积之比为1：2．
解：解法一：如图，连接OC，
∵BC是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥BC，
即∠OCB＝90°，
∴∠COD+∠OBC＝90°，
又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝∠COD，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DCE＝90°，即∠OCE+∠OCD＝90°，
又∠A+∠E＝90°，而∠E＝∠OCE，
∴∠A＝∠OCD，
在△ABC和△COD中，
∠A=∠OCD∠ABC=∠CODAC=CD，
∴△ABC≌△COD（AAS），
又∵EO＝DO，
∴S△COD＝S△COE=12S△DCE，
∴S△ABC=12S△DCE，
即△ABC和△CDE面积之比为1：2；
解法二：如图，连接OC，过点B作BF⊥AC，
∵BC是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥BC，
即∠OCB＝90°，
∴∠COD+∠BCD＝90°，
又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝∠COD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
又∵∠A+∠E＝90°＝∠ODC+∠E，
∴∠A＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴AF=12AC=12CD，
∵△ABF∽△DEC，
∴BFEC=AFCD=12，
∴△ABC和△CDE面积之比（12AC•BF）：（12CD•EC）
＝BF：EC
＝1：2．
故选：B．
总结提升：本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
34．(2023•广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2
B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m
D．圆锥的侧面积为5πm2
思路引领：利用圆的面积公式对A选项进行判断；利用圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高可对B选项进行判断；根据勾股定理可对C选项进行判断；由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式可对D选项进行判断．
解：∵底面圆半径DE＝2m，
∴圆柱的底面积为4πm2，所以A选项不符合题意；
∵圆柱的高CD＝2.5m，
∴圆柱的侧面积＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B选项不符合题意；
∵底面圆半径DE＝2m，即BC＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，
∴圆锥的母线长AB=1．52+22=2.5（m），所以C选项符合题意；
∴圆锥的侧面积=12×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D选项不符合题意．
故选：C．
总结提升：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱的计算．
35．(2023•遵义）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π8−18B．π8−14C．π2−18D．π2−14
思路引领：图中阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC的面积．
解：以OD为半径作弧DN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD＝OC，∠DOC＝90°，
∵∠EOB＝∠FOD，
∴S扇形BOM＝S扇形DON，
∴S阴影＝S扇形DOC﹣S△DOC=90π×(22)2360−14×1×1=π8−14，
故选：B．
总结提升：本题考查了正方形的性质，扇形的面积，关键是求出阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC的面积．
36．(2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和BC的长分别为（ ）
A．4，π3B．33，πC．23，4π3D．33，2π
思路引领：连接OB、OC，根据正六边形的性质求出∠BOC，根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，根据垂径定理求出BM，根据勾股定理求出OM，根据弧长公式求出BC的长．
解：连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠BOC=360°6=60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴BC＝OB＝6，
∵OM⊥BC，
∴BM=12BC＝3，
∴OM=OB2−BM2=62−32=33，
BC的长为：60π×6180=2π，
故选：D．
总结提升：本题考查的是正多边形和圆、弧长的计算，正确求出正六边形的中心角是解题的关键．
37．（2023•南平模拟）如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，若∠BCA＝50°，则∠BDA等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
思路引领：直接根据圆周角定理进行解答即可．
解：∵∠BCA和∠BDA是AB所对的圆周角，且∠BCA＝50°，
∴∠BDA＝∠BCA＝50°，
故选：C．
总结提升：本题主要考查了圆周角定理，理解同弧所对圆周角相等是解答关键．
38．（2023•雁塔区校级二模）A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（ ）
A．70°或110°B．35°C．145°D．35°或145°
思路引领：分两种情况：当点C在A、B两点之外时；当点C在A、B两点之间时，由圆周角定理即可计算出∠ACB．
解：当点C在A、B两点之外时，如图：
∵∠AOB＝70°，
∴∠ACB=12∠AOB＝35°；
当点C在A、B两点之间时，如图：
∵∠AOB＝70°，
∴∠ACB=12（360°﹣∠AOB）＝145°，
故∠ACB的度数为35°或145°．
故选：D．
总结提升：本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
39．(2023•微山县二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（ ）
A．33πB．233πC．3πD．23π
思路引领：连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可求得圆的半径，然后根据弧长公式求得即可．
解：连接OD，BC．
∵CD⊥AB，OC＝OD，
∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB＝∠OBD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴OD＝DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵OC∥DB，
∴S△OBD＝S△CBD，
∴图中阴影部分的面积=60⋅π⋅OC2360=2π，
∴OC＝23或﹣23（舍去），
∴BC的长=60π⋅23180=233π，
故选：B．
总结提升：本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，弧长的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
40．(2023•湖里区二模）如图，在△ABC中，AC＝4，以点C为圆心，2为半径的圆与边AB相切于点D，与AC，BC分别交于点E和点F，点H是优弧EF上一点，∠EHF＝70°，则∠BDF的度数是（ ）
A．35°B．40°C．55°D．60°
思路引领：连接CD，由切线的性质得出CD⊥AB，∠CDB＝90°，利用解直角三角形求出∠ACD＝60°，由圆周角定理求出∠ACB＝140°，进而求出∠DCB＝80°，再利用等腰三角形的性质求出∠CDF的度数，继而求出∠BDF的度数．
解：如图，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵AC＝4，CD＝2，
∴cs∠ACD=CDAC=24=12，
∴∠ACD＝60°，
∵∠EHF＝70°，
∴∠ACB＝2∠EHF＝140°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝140°﹣60°＝80°，
∵CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD=180°−80°2=50°，
∴∠BDF＝∠CDB﹣∠CDF＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
总结提升：本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
41．(2023•碑林区校级模拟）如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
思路引领：过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分线，可求出∠POQ，进而可求出∠BOC．
解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，
∴∠APO＝∠AQO＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∵DE＝FG＝MN，
∴OP＝OK＝OQ，
∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，
∴∠BOC=12×(360°−130°)=115°．
故选：C．
总结提升：本题主要考查垂径定理，解题关键是构造出辅助线——弦心距．
42．(2023•武进区二模）如图，C，D在⊙O上，AB是直径，∠D＝64°，则∠BAC＝（ ）
A．64°B．34°C．26°D．24°
思路引领：连接BC，先利用同弧所对的圆周角相等求出∠B，再根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB＝90°，最后利用直角三角形两锐角互余进行计算即可解答．
解：连接BC，
∵∠D＝64°，
∴∠D＝∠B＝64°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝26°，
故选：C．
总结提升：本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
43．(2023•市南区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC与BD交于点E，且BD为⊙O的直径，已知∠BDC＝40°，∠AEB＝110°，则∠ABC＝（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
思路引领：根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DBC，计算即可．
解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣40°＝50°，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC＝40°，
∴∠ABD＝180°﹣∠AEB﹣∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝80°，
故选：D．
总结提升：本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为90°、直角三角形的性质是解题的关键．
44．(2023•泰安二模）如图，⊙O中，AB=CB，过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D，若∠ABC＝46°，则∠ADC的度数是（ ）
A．74°B．67°C．66°D．60°
思路引领：连接OA，由圆周角定理求出∠OCB＝∠OBC＝23°，由切线的性质求出∠OCD＝90°，由平行线的性质可求出答案．
解：连接OA，
∵BC=AB，
∴∠BOC＝∠AOB，
∵OB＝OC，OB＝OA，
∴∠BCO＝∠OBC，∠OAC＝∠OBA，
∴∠OBA＝∠CBO，
∵∠ABC＝46°，
∴∠OCB＝∠OBC＝23°，
∵CD是圆的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠BCD＝∠BCO+∠OCD＝113°，
∵CB∥AD，
∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣113°＝67°．
故选：B．
总结提升：本题考查了平行线的性质，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
45．(2023•宣威市模拟）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A．3π2B．10π3
C．6πD．以上答案都不对
思路引领：根据图形可以得出AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC＝S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′求出其值即可．
解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝60°．
∵AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积=60π⋅62360−60π⋅42360=103π．
故选：B．
总结提升：本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．
46．(2023•泰山区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（ ）
A．3B．23C．26D．43
思路引领：连接AC，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，从而得到∠ACD＝∠CDA，得出AC＝AD＝7，然后利用勾股定理计算AE的长．
解：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CDA，
∴AC＝AD＝7，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE=AC2−CE2=72−52=26．
故选：C．
总结提升：本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．
47．(2023•市南区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
思路引领：先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
∵DF=BC，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故选：C．
总结提升：本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
48．(2023•苏家屯区一模）如图，已知点A，B，C，D在⊙O上，AC平分∠BAD，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（ ）
A．60°B．50°C．70°D．80°
思路引领：直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．
解：∵AC平分∠BAD，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．
49．(2023•郧西县模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD切⊙O于点D，E是⊙O一点，连接DE，BE，若AB＝4，∠E＝30°，则CD＝（ ）
A．33B．4C．23D．3
思路引领：连接OD、BD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，而∠A＝∠E＝30°，AB＝4，则BD=12AB=2，即可根据勾股定理求得AD=AB2−BD2=23，由切线的性质得∠ODC＝90°，而∠COD＝2∠E＝60°，则∠C＝30°＝∠A，所以CD＝AD＝23，于是得到问题的答案．
解：连接OD、BD，则OD＝OA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠E＝30°，AB＝4，
∴BD=12AB=2，
∴AD=AB2−BD2=42−22=23，
∵CD切⊙O于点D，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC＝90°，
∵∠COD＝2∠E＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠COD＝30°＝∠A，
∴CD＝AD＝23，
故选：C．
总结提升：此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
50．(2023•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（ ）
A．8＜m≤45B．45＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10
思路引领：连接PD，DF，OC，BD，利用垂径定理可得AB是CD的垂直平分线，则PC＝PD；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式PD+PF≥DF（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论．
解：如图，连接PD，DF，OC，BD，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝ED=12CD＝4，
∵AB＝10，
∴OC=12AB＝5，
∴OE=OC2−CE2=3，
∴BE＝OE+OB＝8．
∴BD=BE2+DE2=45．
∵P是直径AB上的动点，CD⊥AB，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴PC＝PD．
∵m＝PC+PF，
∴m＝PD+PF，
∵PD+PF≥DF（当D，P，F在一条直线上时取等号），点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，
∴DC＜DF≤直径，
∴8＜m≤10．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，利用圆的对称性解答是解题的关键．
51．(2023•峄城区校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝2，DE＝53，则AE+CE＝（ ）
A．5+53B．5+43C．5+33D．7+33
思路引领：过点O作OM⊥CD于点M，连接OD，根据垂径定理解答即可．
解：过点O作OM⊥CD于点M，连接OD，
∴CM＝DM，
∵∠CEA＝30°，
∴∠OEM＝∠CEA＝30°，
在Rt△OEM中，∵OE＝2，
∴OM=12OE＝1，EM＝OE•cs30°＝2×32=3，
∵DE＝53，
∴DM＝DE﹣EM＝53−3=43，
∵OM过圆心，OM⊥CD，
∴CD＝2DM，
∴CD＝83，
∴CE＝CD﹣DE＝33，
∵OM＝1，DM＝43，
∴在Rt△DOM中，OD=OM2+DM2=1+48=7，
∴OA＝OD＝7，
∴AE＝OA﹣OE＝7﹣2＝5，
∴AE+CE＝5+33．
故选：C．
总结提升：此题考查了垂径定理和直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法．
52．(2023•赛罕区校级一模）若点P是直线y＝﹣x+2上一动点，∠OMP＝90°，则△OMP外接圆面积的最小值为（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
思路引领：根据题意设P（m，﹣m+2），可得OP2＝m2+（﹣m+2）2＝2（m﹣1）2+2，当m＝1时，OP2最小是2，要使△OMP外接圆面积最小，12OP最小，然后利用圆的面积公式即可解决问题．
解：如图，PM切圆O于点M，
∴OM⊥PM，
∴∠OMP＝90°，
∵点P是直线y＝﹣x+2上一动点，
∴设P（m，﹣m+2），
∴OP2＝m2+（﹣m+2）2＝2（m﹣1）2+2，
当m＝1时，OP2最小是2，
∴OP=2，
要使△OMP外接圆面积最小，12OP最小，
∴△OMP外接圆面积的最小值为（12OP）2π＝（12×2）2π=π2．
故选：B．
总结提升：本题考查一次函数图象上的动点问题，解题的关键是表示出OP的长．
53．(2023•市北区校级二模）如图，BD是⊙O的切线，∠BCE＝32°，则∠D＝（ ）
A．32°B．29°C．26°D．28°
思路引领：连接OB，根据圆周角定理得到∠BOD＝60°，根据切线的性质得到∠OBD＝90°，于是得到∠D＝90°﹣60°＝30°．
解：连接OB，
∵∠BCE＝32°，
∴∠BOD＝2∠C＝64°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∴∠D＝90°﹣64°＝26°，
故选：C．
总结提升：本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
54．(2023•青山区校级四模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，以BD为直径作⊙O，分别与菱形的边相交于点E，F，G，H，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π3+23B．2π3+43C．4π3+23D．4π3+43
思路引领：阴影部分可以看成两个全等的扇形和两个全等的三角形，再求面积和．
解：连接AC，
∵∠A＝60°，AB＝4，
∴∠HOE＝∠GOF＝60°，AB＝AD＝DC＝BC＝DB＝4，圆半径OD＝2，
AO=42−22=23，AC＝43，FG=12×43=23，△HOG的高为12OD=12×2＝1，
∴两个扇形面积2×π×22×60360=43π，两个三角形的面积2×12×23×1＝23，
∴阴影部分的面积为43π+23．
故选：C．
总结提升：本题考查了求不规则图形的面积，解题的关键是掌握规则图形的面积计算公式，把不规则图形分割成规则图形，再求面积和．
55．(2023•会东县校级模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB的
度数为（ ）
A．55°B．65°C．70°D．90°
思路引领：根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形内角和为360°计算，得到答案．
解：∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝110°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，
故选：C．
总结提升：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
56．(2023•兴义市校级模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．25°B．40°C．50°D．80°
思路引领：由⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝80°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠ACB的度数．
解：∵∠OBA＝50°，OA＝OB，
∴∠AOB＝80°，
∵⊙O是△ABC的外接圆，，
∴∠ACB12∠AOB=12×80°＝40°．
故选：B．
总结提升：本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
57．(2023•涟源市校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，若∠C＝58°，则∠OAB的大小为（ ）
A．32°B．58°C．65°D．40°
思路引领：连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
解：如图，连接OB，
∵∠C＝58°，
∴∠AOB＝2∠C＝116°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB=12×（180°﹣116°）＝32°，
故选：A．
总结提升：本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，根据圆周角定理求出∠AOB是解题的关键．
58．(2023•铜仁市校级模拟）如图，⊙O中，若∠ABC＝30°，过点A作⊙O的切线与OC的延长线交于点P，且PA＝23，则⊙O的半径等于（ ）
A．3B．32C．3D．2
思路引领：连接OA，由切线的性质及圆周角定理求出∠P＝30°，由直角三角形的性质可得出答案．
解：连接OA，
∵圆O的圆周角∠ABC对弧AC，且∠ABC＝30°，
∴圆心角∠AOC＝60°．
又∵直线PA与圆O相切于点A，且OA是半径，
∴OA⊥PA，
Rt△PAO中，PA＝23，∠AOC＝60°，
∴∠P＝30°，
∴OA＝PA•tan30°＝23⋅33=2，
故选：D．
总结提升：本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
59．(2023•宁波模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB的最小值为（ ）
A．2B．3C．23D．4
思路引领：此题根据切线的性质以及勾股定理，根据垂线段最短的性质进行分析，把要求PB的最小值转化为求AP的最小值，进而可以解决问题．
解：如图，连接AB，AP．
根据切线的性质定理，得AB⊥PB．
要使PB最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则AP⊥x轴于P，
此时P点的坐标是（﹣3，0），AP＝4，
在Rt△ABP中，AP＝4，AB＝2，
∴PB=AP2−AB2=23．
则PB最小值是23．
故选：C．
总结提升：本题考查了切线的性质和坐标与图形的性质．此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．
60．(2023•昭阳区校级模拟）如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC的点B′处，点C的对应点为点C′，则阴影部分的面积为（ ）
A．23π+23B．43π+43C．3+πD．32π−3
思路引领：连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，根据旋转的性质得出扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝4，求出△ABB′是等边三角形，求出∠ABF＝60°，解直角三角形求出BF和AF，再根据阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）求出答案即可．
解：连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，则∠AFB＝90°，如图，
∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B落在扇形BAC的弧上的点B'处，点C的对应点为点C'，
∴扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝4，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF=12AB＝2，由勾股定理得：AF=42−22=23，
∴阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）
=90π×42360−（60π×42360−12×4×23）
=43π+43，
故选：B．
总结提升：此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，那么扇形的面积S=nπr2360．
1．(2023•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80°B．100°C．140°D．160°
2．(2023•阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠C＝35°，则∠ABO的度数是（ ）
A．35°B．55°C．60°D．70°
3．(2023•巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC=BD，∠CDB＝30°，AC＝23，则OE＝（ ）
A．32B．3C．1D．2
4．(2023•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝63，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α≤360°），B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．(2023•东营）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．4cmB．8cmC．12cmD．16cm
6．(2023•宁夏）把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即OC＝2cm，∠BOF＝120°）．则阴影部分的面积为（ ）
A．（23−23π）cm2B．（83−23π）cm2
C．（83−83π）cm2D．（163−83π）cm2
7．(2023•朝阳）如图，在⊙O中，点A是BC的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（ ）
A．24°B．26°C．48°D．66°
8．(2023•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
A．π3B．3π5C．2π3D．3π4
9．(2023•安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OAnBn∁nDnEn，当n＝2022时，正六边形OAnBn∁nDnEn的顶点Dn的坐标是（ ）
A．（−3，﹣3）B．（﹣3，−3）C．（3，−3）D．（−3，3）
10．(2023•安顺）如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5﹣πB．5−π2C．52−π2D．52−π4
11．(2023•丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则BC的长为（ ）
A．6πB．2πC．32πD．π
12．(2023•枣庄）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28°B．30°C．36°D．56°
13．(2023•鄂尔多斯）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米
14．(2023•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
15．(2023•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．363B．243C．183D．723
16．(2023•济宁）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
17．(2023•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（ ）
A．（2﹣23，3）B．（0，1+23）C．（2−3，3）D．（2﹣23，2+3）
18．(2023•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC=12OD，则∠ABD的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
19．(2023•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
20．(2023•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2
21．(2023•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
22．(2023•牡丹江）如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
23．(2023•柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．16πB．24πC．48πD．96π
24．(2023•河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）
A．25°B．35°C．40°D．50°
25．(2023•长春）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）
A．138°B．121°C．118°D．112°
26．(2023•贵港）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
27．(2023•贵阳）如图，已知∠ABC＝60°，点D为BA边上一点，BD＝10，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是（ ）
A．5B．52C．53D．55
28．(2023•聊城）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则BD的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
29．(2023•营口）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
A．43B．8C．42D．4
30．(2023•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
31．(2023•铜仁市）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
32．(2023•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9B．6C．3D．12
33．(2023•深圳）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，DE为圆的直径，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（ ）
A．1：3B．1：2C．2：2D．（2−1）：1
34．(2023•广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25mD．圆锥的侧面积为5πm2
35．(2023•遵义）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π8−18B．π8−14C．π2−18D．π2−14
36．(2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和BC的长分别为（ ）
A．4，π3B．33，πC．23，4π3D．33，2π
模块二 2023中考押题预测
37．（2023•南平模拟）如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，若∠BCA＝50°，则∠BDA等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
38．（2023•雁塔区校级二模）A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（ ）
A．70°或110°B．35°C．145°D．35°或145°
39．(2023•微山县二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（ ）
A．33πB．233πC．3πD．23π
40．(2023•湖里区二模）如图，在△ABC中，AC＝4，以点C为圆心，2为半径的圆与边AB相切于点D，与AC，BC分别交于点E和点F，点H是优弧EF上一点，∠EHF＝70°，则∠BDF的度数是（ ）
A．35°B．40°C．55°D．60°
41．(2023•碑林区校级模拟）如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
42．(2023•武进区二模）如图，C，D在⊙O上，AB是直径，∠D＝64°，则∠BAC＝（ ）
A．64°B．34°C．26°D．24°
43．(2023•市南区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC与BD交于点E，且BD为⊙O的直径，已知∠BDC＝40°，∠AEB＝110°，则∠ABC＝（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
44．(2023•泰安二模）如图，⊙O中，AB=CB，过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D，若∠ABC＝46°，则∠ADC的度数是（ ）
A．74°B．67°C．66°D．60°
45．(2023•宣威市模拟）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A．3π2 B．10π3C．6π D．以上答案都不对
46．(2023•泰山区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（ ）
A．3B．23C．26D．43
47．(2023•市南区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
48．(2023•苏家屯区一模）如图，已知点A，B，C，D在⊙O上，AC平分∠BAD，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（ ）
A．60°B．50°C．70°D．80°
49．(2023•郧西县模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD切⊙O于点D，E是⊙O一点，连接DE，BE，若AB＝4，∠E＝30°，则CD＝（ ）
A．33B．4C．23D．3
50．(2023•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（ ）
A．8＜m≤45B．45＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10
51．(2023•峄城区校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝2，DE＝53，则AE+CE＝（ ）
A．5+53B．5+43C．5+33D．7+33
52．(2023•赛罕区校级一模）若点P是直线y＝﹣x+2上一动点，∠OMP＝90°，则△OMP外接圆面积的最小值为（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
53．(2023•市北区校级二模）如图，BD是⊙O的切线，∠BCE＝32°，则∠D＝（ ）
A．32°B．29°C．26°D．28°
54．(2023•青山区校级四模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，以BD为直径作⊙O，分别与菱形的边相交于点E，F，G，H，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π3+23B．2π3+43C．4π3+23D．4π3+43
55．(2023•会东县校级模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB的度数为（ ）
A．55°B．65°C．70°D．90°
56．(2023•兴义市模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．25°B．40°C．50°D．80°
57．(2023•涟源市校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，若∠C＝58°，则∠OAB的大小为（ ）
A．32°B．58°C．65°D．40°
58．(2023•铜仁市校级模拟）如图，⊙O中，若∠ABC＝30°，过点A作⊙O的切线与OC的延长线交于点P，且PA＝23，则⊙O的半径等于（ ）
A．3B．32C．3D．2
59．(2023•宁波模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB的最小值为（ ）
A．2B．3C．23D．4
60．(2023•昭阳区校级模拟）如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC的点B′处，点C的对应点为点C′，则阴影部分的面积为（ ）
A．23π+23B．43π+43C．3+πD．32π−3
专题4 选择题重点出题方向圆中的计算专项训练（原卷版）
模块一 2022中考真题集训
1．(2023•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80°B．100°C．140°D．160°
思路引领：先根据圆周角定理求得∠D的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数即可．
解：∵∠AOC＝160°，
∴∠ADC=12∠AOC＝80°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，
故选：B．
总结提升：此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
2．(2023•阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠C＝35°，则∠ABO的度数是（ ）
A．35°B．55°C．60°D．70°
思路引领：由圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，又由OA＝OB，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABO的度数．
解：连接OA，
∵∠C＝35°，
∴∠AOB＝2∠C＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO=12（180°﹣∠AOB）＝55°．
故选：B．
总结提升：此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
3．(2023•巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC=BD，∠CDB＝30°，AC＝23，则OE＝（ ）
A．32B．3C．1D．2
思路引领：连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．
解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，BC=BD，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝∠CDB＝30°，AC=23，
∴AE＝AC•cs∠BAC＝3，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB=ACcs∠BAC=4，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
4．(2023•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝63，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α≤360°），B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
思路引领：设⊙O与边BA的延长线、射线AC分别相切于点T、点G，连接OA交⊙O于点L，连接OT，作AE⊥BC于点E，OH⊥BC于点H，先求得BE＝CE＝33，∠B＝∠ACB＝30°，则AE＝BE•tan30°＝3，再证明OA∥BC，则OH＝AE＝OT＝OL＝3，可证明直线BC与⊙O相切，再求得OA＝2OT＝6，则AL＝3，作AK⊥B′C′于点K，由旋转得AK＝AE＝3，∠AKB′＝∠AEB＝90°，直线B′C′与⊙O相切存在三种情况，一是△ABC绕点A旋转到点K与点L重合，二是△ABC绕点A旋转到B′C′∥OA，三是△ABC绕点A旋转到B′C′与BC重合，即旋转角α＝360°，分别加以说明即可．
解：如图1，由题意可知⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3，
设⊙O与边BA的延长线、射线AC分别相切于点T、点G，连接OA交⊙O于点L，连接OT，
∴AT⊥OT，OT＝3，
作AE⊥BC于点E，OH⊥BC于点H，则∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝63，
∴BE＝CE=12BC＝33，∠B＝∠ACB=12（∠180﹣∠BAC）＝30°，
∴AE＝BE•tan30°＝33×33=3，
∵∠TAC＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠OAG＝∠OAT=12∠TAC＝30°，
∴∠OAG＝∠ACB，
∴OA∥BC，
∴OH＝AE＝OT＝OL＝3，
∴直线BC与⊙O相切，
∵∠ATO＝90°，
∴OA＝2OT＝6，
∴AL＝3，
作AK⊥B′C′于点K，由旋转得AK＝AE＝3，∠AKB′＝∠AEB＝90°，
如图2，△ABC绕点A旋转到点K与点L重合，
∵∠OLB′＝180°﹣∠ALB′＝180°﹣∠AKB′＝90°，
∴B′C′⊥OL，
∵OL为⊙O的半径，
∴B′C′与⊙O相切；
如图3，△ABC绕点A旋转到B′C′∥OA，作OR⊥B′C′交C′B′的延长线于点R，
∵OR＝AK＝3，
∴B′C′与⊙O相切；
当△ABC绕点A旋转到B′C′与BC重合，即旋转角α＝360°，则B′C′与⊙O相切，
综上所述，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切3次，
故选：C．
总结提升：此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、锐角三角函数以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，画出图形并且正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
5．(2023•东营）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．4cmB．8cmC．12cmD．16cm
思路引领：求得半圆形铁皮的半径即可求得围成的圆锥的母线长．
解：设半圆形铁皮的半径为rcm，
根据题意得：πr＝2π×4，
解得：r＝8，
所以围成的圆锥的母线长为8cm，
故选：B．
总结提升：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于半圆铁皮的弧长，难度不大．
6．(2023•宁夏）把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即OC＝2cm，∠BOF＝120°）．则阴影部分的面积为（ ）
A．（23−23π）cm2B．（83−23π）cm2
C．（83−83π）cm2D．（163−83π）cm2
思路引领：先求出∠COF，进而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，进而求出BE，最后用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案．
解：在Rt△OCF中，∠COF＝180°﹣∠BOF＝60°，
∴∠OFC＝30°，
∵OC＝2cm，
∴OF＝2OC＝4cm，
连接OE，则OE＝OF＝4cm，
在Rt△BOE中，∠B＝30°，
∴∠DOE＝60°，OB＝2OE＝8cm，
根据勾股定理得，BE=OB2−OE2=43cm，
∴S阴影＝S△BOE﹣S扇形DOE=12BE•OE−60π⋅42360=12×43×4−83π＝（83−83π）cm2，
故选：C．
总结提升：此题主要考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键．
7．(2023•朝阳）如图，在⊙O中，点A是BC的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（ ）
A．24°B．26°C．48°D．66°
思路引领：直接利用圆周角求解．
解：∵点A是BC的中点，
∴AC=AB，
∴∠AOB＝2∠ADC＝2×24°＝48°．
故选：C．
总结提升：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．(2023•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
A．π3B．3π5C．2π3D．3π4
思路引领：解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面积公式求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵BA＝BE＝2，BC=3，
∴cs∠CBE=CBBE=32，
∴∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∴S扇形BAE=60⋅π⋅22360=2π3，
故选：C．
总结提升：本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．
9．(2023•安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OAnBn∁nDnEn，当n＝2022时，正六边形OAnBn∁nDnEn的顶点Dn的坐标是（ ）
A．（−3，﹣3）B．（﹣3，−3）C．（3，−3）D．（−3，3）
思路引领：由题意旋转8次应该循环，因为2022÷8＝252…6，所以Dn的坐标与D6的坐标相同．
解：由题意旋转8次应该循环，
∵2022÷8＝252…6，
∴Dn的坐标与D6的坐标相同，
如图，过点D6H⊥OE于点H，
∵∠DOD6＝90°，∠DOE＝30°，OD＝OD6＝23，
∴OH＝OD6•cs60°=3，HD6=3OH＝3，
∴D6（−3，﹣3），
∴顶点Dn的坐标是（−3，﹣3），
故选：A．
总结提升：本题考查正多边形与圆，坐标与图形变化﹣性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
10．(2023•安顺）如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5﹣πB．5−π2C．52−π2D．52−π4
思路引领：连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD＝90°，根据切线的性质得到∠PAO＝∠PDO＝90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE＝3，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
解：连接AC，OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC是⊙O的直径，∠AOD＝90°，
∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，
∴∠PAO＝∠PDO＝90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA＝OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P＝90°，AP＝AO，AC∥PE，
∴∠E＝∠ACB＝45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC＝2AO＝2，DE=2CD＝2，
∴AP＝PD＝AO＝1，
∴PE＝3，
∴图中阴影部分的面积=12（AC+PE）•AP−12AO2•π=12（2+3）×1−12×12•π=12（5﹣π）=52−π2，
故选：C．
总结提升：本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．(2023•丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则BC的长为（ ）
A．6πB．2πC．32πD．π
思路引领：先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可．
解：∵直径AB＝6，
∴半径OB＝3，
∵圆周角∠A＝30°，
∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，
∴BC的长是60π×3180=π，
故选：D．
总结提升：本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的弧的长度是nπr180．
12．(2023•枣庄）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28°B．30°C．36°D．56°
思路引领：连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可．
解：连接OA，OB．
由题意，∠AOB＝86°﹣30°＝56°，
∴∠ACB=12∠AOB＝28°，
故选：A．
总结提升：本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题．
13．(2023•鄂尔多斯）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米
思路引领：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，根据等边三角形的判定得出△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，求出优弧AB所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可．
解：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，
∵等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，
∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，
∴△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，
∴优弧AB所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，
∴花坛的周长为2×240π×3180=8π（米），
故选：C．
总结提升：本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．
14．(2023•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
思路引领：由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.1kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出1000个这样的锚标浮筒需用锌量．
解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3m，
圆锥的高为0.4m，
则圆锥的母线长为：0.32+0.42=0.5m．
∴圆锥的侧面积S1＝π×0.3×0.5＝0.15π（m2），
∵圆柱的高为1m．
圆柱的侧面积S2＝2π×0.3×1＝0.6π（m2），
∴浮筒的表面积＝2S1+S2＝0.9π（m2），
∵每平方米用锌0.1kg，
∴一个浮筒需用锌：0.9π×0.1kg，
∴1000个这样的锚标浮筒需用锌：1000×0.9π×0.1＝90π≈282.6（kg）．
故选：A．
总结提升：本题考查了圆锥表面积的计算和圆柱表面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，难度中等．
15．(2023•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．363B．243C．183D．723
思路引领：根据AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定理求出CD，即可求出四边形的面积．
解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，EC=OC2−OE2=36−9=33，
∴CD＝2CE＝63，
∴四边形ACBD的面积=12AB⋅CD=12×12×63=363．
故选：A．
总结提升：本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
16．(2023•济宁）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
思路引领：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．
解：∵底面圆的直径为6cm，
∴底面圆的半径为3cm，
∴圆锥的侧面积=12×8×2π×3＝24πcm2．
故选：D．
总结提升：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．(2023•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（ ）
A．（2﹣23，3）B．（0，1+23）C．（2−3，3）D．（2﹣23，2+3）
思路引领：根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），
在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM=12×120°＝60°，
∴CM=12BC＝2，BM=32BC＝23，
∴点C的横坐标为﹣（23−2）＝2﹣23，纵坐标为1+2＝3，
∴点C的坐标为（2﹣23，3），
故选：A．
总结提升：本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．
18．(2023•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC=12OD，则∠ABD的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
思路引领：连接OB，则OC=12OB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案．
解：如图：
连接OB，则OB＝OD，
∵OC=12OD，
∴OC=12OB，
∵OC⊥AB，
∴∠OBC＝30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∠ABD＝30°+75°＝105°．
故选：D．
总结提升：本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
19．(2023•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
思路引领：由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
总结提升：此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
20．(2023•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2
思路引领：根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可．
解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
=120π×9360−120π×94360
＝2.25πm2．
故选：D．
总结提升：本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=nπR2360是解题的关键．
21．(2023•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
思路引领：根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，
设圆心角的度数是n度．
则nπ×3180=2π，
解得：n＝120．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
22．(2023•牡丹江）如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
思路引领：由BD是⊙O的直径，可求得∠BCD＝90°，又由圆周角定理可得∠D＝∠A＝50°，继而求得答案．
解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠D＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝40°．
故选：C．
总结提升：此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
23．(2023•柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．16πB．24πC．48πD．96π
思路引领：先求出弧AA′的长，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可．
解：弧AA′的长，就是圆锥的底面周长，即2π×4＝8π，
所以扇形的面积为12×8π×12＝48π，
即圆锥的侧面积为48π，
故选：C．
总结提升：本题考查圆锥的计算，掌握弧长公式以及扇形面积的计算公式是正确解答的前提．
24．(2023•河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）
A．25°B．35°C．40°D．50°
思路引领：由圆周角定理可求得∠AOP的度数，由切线的性质可知∠PAO＝90°，则可求得∠P．
解：∵∠ABC＝25°，
∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥AB，
∴∠PAO＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，
故选：C．
总结提升：本题主要考查切线的性质及圆周角定理，根据圆周角定理和切线的性质分别求得∠AOP和∠PAO的度数是解题的关键．
25．(2023•长春）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）
A．138°B．121°C．118°D．112°
思路引领：根据圆的内接四边形对角互补得到∠A＝180°﹣121°＝59°，根据圆周角定理即可得到∠BOD＝2∠A的度数．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝180°﹣121°＝59°，
∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，
故选：C．
总结提升：本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．
26．(2023•贵港）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
思路引领：根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABC＝90°，进而求出∠CAB，根据圆周角定理解答即可．
解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
∵∠ACB＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
由圆周角定理得：∠BPC＝∠CAB＝50°，
故选：C．
总结提升：本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
27．(2023•贵阳）如图，已知∠ABC＝60°，点D为BA边上一点，BD＝10，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是（ ）
A．5B．52C．53D．55
思路引领：解法一：根据题意和等边三角形的判定，可以得到BE的长．
解法二：先根据直径所对的圆周角是90°，然后根据直角三角形的性质和直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，可以求得BE的长．
解：解法一：连接OE，
由已知可得，OE＝OB=12BD＝5，
∵∠ABC＝60°，
∴△BOE是等边三角形，
∴BE＝OB＝5，
故选：A．
解法二：由题意可得，
BD为⊙O的直径，
∴∠BED＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EDB＝30°，
∵BD＝10，
∴BE＝5，
故选：A．
总结提升：本题考查等边三角形的判定与性质、与圆相关的知识，解答本题的关键是明确题意，求出△OBE的形状．
28．(2023•聊城）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则BD的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
思路引领：根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可．
解：连接BC，
∵∠AOC＝80°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠P＝30°，
∴∠BCD＝10°，
∴BD的度数是20°．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
29．(2023•营口）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
A．43B．8C．42D．4
思路引领：连接AB，可得△ABC是直角三角形，利用圆周角定理可得∠ABC＝∠ADC＝30°，在Rt△ABC中，AC＝4，利用三角函数可求出BC的长．
解：连接AB，如图所示，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°．
∵∠ADC＝30°，
∴∠ABC＝∠ADC＝30°．
∴在Rt△ABC中，
tan∠ABC=ACBC，
∴BC=ACtan∠ABC．
∵AC＝4，
∴BC=4tan30°=43．
故选：A．
总结提升：本题考查了圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角相等”是解题的关键．
30．(2023•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
思路引领：由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理求出∠CME＝60°．
解：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝∠DOE＝60°，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴∠CME=12∠COE＝60°，
故选：D．
总结提升：本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠COM＝120°是解决问题的关键．
31．(2023•铜仁市）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
思路引领：根据圆周角定理即可求解．
解：∵OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，∠AOB＝80°，
∴∠C=12∠AOB=40°．
故选：B．
总结提升：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
32．(2023•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9B．6C．3D．12
思路引领：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE＝CE，得到弓形BE的面积＝弓形CE的面积，则S阴影=S△ABE=S△ABC−S△BCE=12×6×6−12×6×3=9．
解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE＝45°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝45°，
∴∠EOC＝90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，
∴S阴影=S△ABE=S△ABC−S△BCE=12×6×6−12×6×3=9，
故选：A．
总结提升：本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．
33．(2023•深圳）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，DE为圆的直径，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（ ）
A．1：3B．1：2C．2：2D．（2−1）：1
思路引领：根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，可以先证明△ABC和△COD，再由∴S△COD＝S△COE=12S△DCE，进而得出S△ABC=12S△DCE，即△ABC和△CDE面积之比为1：2．
解：解法一：如图，连接OC，
∵BC是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥BC，
即∠OCB＝90°，
∴∠COD+∠OBC＝90°，
又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝∠COD，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DCE＝90°，即∠OCE+∠OCD＝90°，
又∠A+∠E＝90°，而∠E＝∠OCE，
∴∠A＝∠OCD，
在△ABC和△COD中，
∠A=∠OCD∠ABC=∠CODAC=CD，
∴△ABC≌△COD（AAS），
又∵EO＝DO，
∴S△COD＝S△COE=12S△DCE，
∴S△ABC=12S△DCE，
即△ABC和△CDE面积之比为1：2；
解法二：如图，连接OC，过点B作BF⊥AC，
∵BC是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥BC，
即∠OCB＝90°，
∴∠COD+∠BCD＝90°，
又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝∠COD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
又∵∠A+∠E＝90°＝∠ODC+∠E，
∴∠A＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴AF=12AC=12CD，
∵△ABF∽△DEC，
∴BFEC=AFCD=12，
∴△ABC和△CDE面积之比（12AC•BF）：（12CD•EC）
＝BF：EC
＝1：2．
故选：B．
总结提升：本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
34．(2023•广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2
B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m
D．圆锥的侧面积为5πm2
思路引领：利用圆的面积公式对A选项进行判断；利用圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高可对B选项进行判断；根据勾股定理可对C选项进行判断；由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式可对D选项进行判断．
解：∵底面圆半径DE＝2m，
∴圆柱的底面积为4πm2，所以A选项不符合题意；
∵圆柱的高CD＝2.5m，
∴圆柱的侧面积＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B选项不符合题意；
∵底面圆半径DE＝2m，即BC＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，
∴圆锥的母线长AB=1．52+22=2.5（m），所以C选项符合题意；
∴圆锥的侧面积=12×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D选项不符合题意．
故选：C．
总结提升：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱的计算．
35．(2023•遵义）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π8−18B．π8−14C．π2−18D．π2−14
思路引领：图中阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC的面积．
解：以OD为半径作弧DN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD＝OC，∠DOC＝90°，
∵∠EOB＝∠FOD，
∴S扇形BOM＝S扇形DON，
∴S阴影＝S扇形DOC﹣S△DOC=90π×(22)2360−14×1×1=π8−14，
故选：B．
总结提升：本题考查了正方形的性质，扇形的面积，关键是求出阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC的面积．
36．(2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和BC的长分别为（ ）
A．4，π3B．33，πC．23，4π3D．33，2π
思路引领：连接OB、OC，根据正六边形的性质求出∠BOC，根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，根据垂径定理求出BM，根据勾股定理求出OM，根据弧长公式求出BC的长．
解：连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠BOC=360°6=60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴BC＝OB＝6，
∵OM⊥BC，
∴BM=12BC＝3，
∴OM=OB2−BM2=62−32=33，
BC的长为：60π×6180=2π，
故选：D．
总结提升：本题考查的是正多边形和圆、弧长的计算，正确求出正六边形的中心角是解题的关键．
37．（2023•南平模拟）如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，若∠BCA＝50°，则∠BDA等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
思路引领：直接根据圆周角定理进行解答即可．
解：∵∠BCA和∠BDA是AB所对的圆周角，且∠BCA＝50°，
∴∠BDA＝∠BCA＝50°，
故选：C．
总结提升：本题主要考查了圆周角定理，理解同弧所对圆周角相等是解答关键．
38．（2023•雁塔区校级二模）A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（ ）
A．70°或110°B．35°C．145°D．35°或145°
思路引领：分两种情况：当点C在A、B两点之外时；当点C在A、B两点之间时，由圆周角定理即可计算出∠ACB．
解：当点C在A、B两点之外时，如图：
∵∠AOB＝70°，
∴∠ACB=12∠AOB＝35°；
当点C在A、B两点之间时，如图：
∵∠AOB＝70°，
∴∠ACB=12（360°﹣∠AOB）＝145°，
故∠ACB的度数为35°或145°．
故选：D．
总结提升：本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
39．(2023•微山县二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（ ）
A．33πB．233πC．3πD．23π
思路引领：连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可求得圆的半径，然后根据弧长公式求得即可．
解：连接OD，BC．
∵CD⊥AB，OC＝OD，
∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB＝∠OBD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴OD＝DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵OC∥DB，
∴S△OBD＝S△CBD，
∴图中阴影部分的面积=60⋅π⋅OC2360=2π，
∴OC＝23或﹣23（舍去），
∴BC的长=60π⋅23180=233π，
故选：B．
总结提升：本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，弧长的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
40．(2023•湖里区二模）如图，在△ABC中，AC＝4，以点C为圆心，2为半径的圆与边AB相切于点D，与AC，BC分别交于点E和点F，点H是优弧EF上一点，∠EHF＝70°，则∠BDF的度数是（ ）
A．35°B．40°C．55°D．60°
思路引领：连接CD，由切线的性质得出CD⊥AB，∠CDB＝90°，利用解直角三角形求出∠ACD＝60°，由圆周角定理求出∠ACB＝140°，进而求出∠DCB＝80°，再利用等腰三角形的性质求出∠CDF的度数，继而求出∠BDF的度数．
解：如图，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵AC＝4，CD＝2，
∴cs∠ACD=CDAC=24=12，
∴∠ACD＝60°，
∵∠EHF＝70°，
∴∠ACB＝2∠EHF＝140°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝140°﹣60°＝80°，
∵CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD=180°−80°2=50°，
∴∠BDF＝∠CDB﹣∠CDF＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
总结提升：本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
41．(2023•碑林区校级模拟）如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
思路引领：过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分线，可求出∠POQ，进而可求出∠BOC．
解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，
∴∠APO＝∠AQO＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∵DE＝FG＝MN，
∴OP＝OK＝OQ，
∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，
∴∠BOC=12×(360°−130°)=115°．
故选：C．
总结提升：本题主要考查垂径定理，解题关键是构造出辅助线——弦心距．
42．(2023•武进区二模）如图，C，D在⊙O上，AB是直径，∠D＝64°，则∠BAC＝（ ）
A．64°B．34°C．26°D．24°
思路引领：连接BC，先利用同弧所对的圆周角相等求出∠B，再根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB＝90°，最后利用直角三角形两锐角互余进行计算即可解答．
解：连接BC，
∵∠D＝64°，
∴∠D＝∠B＝64°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝26°，
故选：C．
总结提升：本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
43．(2023•市南区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC与BD交于点E，且BD为⊙O的直径，已知∠BDC＝40°，∠AEB＝110°，则∠ABC＝（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
思路引领：根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DBC，计算即可．
解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣40°＝50°，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC＝40°，
∴∠ABD＝180°﹣∠AEB﹣∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝80°，
故选：D．
总结提升：本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为90°、直角三角形的性质是解题的关键．
44．(2023•泰安二模）如图，⊙O中，AB=CB，过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D，若∠ABC＝46°，则∠ADC的度数是（ ）
A．74°B．67°C．66°D．60°
思路引领：连接OA，由圆周角定理求出∠OCB＝∠OBC＝23°，由切线的性质求出∠OCD＝90°，由平行线的性质可求出答案．
解：连接OA，
∵BC=AB，
∴∠BOC＝∠AOB，
∵OB＝OC，OB＝OA，
∴∠BCO＝∠OBC，∠OAC＝∠OBA，
∴∠OBA＝∠CBO，
∵∠ABC＝46°，
∴∠OCB＝∠OBC＝23°，
∵CD是圆的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠BCD＝∠BCO+∠OCD＝113°，
∵CB∥AD，
∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣113°＝67°．
故选：B．
总结提升：本题考查了平行线的性质，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
45．(2023•宣威市模拟）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A．3π2B．10π3
C．6πD．以上答案都不对
思路引领：根据图形可以得出AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC＝S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′求出其值即可．
解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝60°．
∵AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积=60π⋅62360−60π⋅42360=103π．
故选：B．
总结提升：本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．
46．(2023•泰山区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（ ）
A．3B．23C．26D．43
思路引领：连接AC，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，从而得到∠ACD＝∠CDA，得出AC＝AD＝7，然后利用勾股定理计算AE的长．
解：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CDA，
∴AC＝AD＝7，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE=AC2−CE2=72−52=26．
故选：C．
总结提升：本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．
47．(2023•市南区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
思路引领：先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
∵DF=BC，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故选：C．
总结提升：本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
48．(2023•苏家屯区一模）如图，已知点A，B，C，D在⊙O上，AC平分∠BAD，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（ ）
A．60°B．50°C．70°D．80°
思路引领：直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．
解：∵AC平分∠BAD，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．
49．(2023•郧西县模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD切⊙O于点D，E是⊙O一点，连接DE，BE，若AB＝4，∠E＝30°，则CD＝（ ）
A．33B．4C．23D．3
思路引领：连接OD、BD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，而∠A＝∠E＝30°，AB＝4，则BD=12AB=2，即可根据勾股定理求得AD=AB2−BD2=23，由切线的性质得∠ODC＝90°，而∠COD＝2∠E＝60°，则∠C＝30°＝∠A，所以CD＝AD＝23，于是得到问题的答案．
解：连接OD、BD，则OD＝OA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠E＝30°，AB＝4，
∴BD=12AB=2，
∴AD=AB2−BD2=42−22=23，
∵CD切⊙O于点D，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC＝90°，
∵∠COD＝2∠E＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠COD＝30°＝∠A，
∴CD＝AD＝23，
故选：C．
总结提升：此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
50．(2023•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（ ）
A．8＜m≤45B．45＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10
思路引领：连接PD，DF，OC，BD，利用垂径定理可得AB是CD的垂直平分线，则PC＝PD；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式PD+PF≥DF（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论．
解：如图，连接PD，DF，OC，BD，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝ED=12CD＝4，
∵AB＝10，
∴OC=12AB＝5，
∴OE=OC2−CE2=3，
∴BE＝OE+OB＝8．
∴BD=BE2+DE2=45．
∵P是直径AB上的动点，CD⊥AB，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴PC＝PD．
∵m＝PC+PF，
∴m＝PD+PF，
∵PD+PF≥DF（当D，P，F在一条直线上时取等号），点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，
∴DC＜DF≤直径，
∴8＜m≤10．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，利用圆的对称性解答是解题的关键．
51．(2023•峄城区校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝2，DE＝53，则AE+CE＝（ ）
A．5+53B．5+43C．5+33D．7+33
思路引领：过点O作OM⊥CD于点M，连接OD，根据垂径定理解答即可．
解：过点O作OM⊥CD于点M，连接OD，
∴CM＝DM，
∵∠CEA＝30°，
∴∠OEM＝∠CEA＝30°，
在Rt△OEM中，∵OE＝2，
∴OM=12OE＝1，EM＝OE•cs30°＝2×32=3，
∵DE＝53，
∴DM＝DE﹣EM＝53−3=43，
∵OM过圆心，OM⊥CD，
∴CD＝2DM，
∴CD＝83，
∴CE＝CD﹣DE＝33，
∵OM＝1，DM＝43，
∴在Rt△DOM中，OD=OM2+DM2=1+48=7，
∴OA＝OD＝7，
∴AE＝OA﹣OE＝7﹣2＝5，
∴AE+CE＝5+33．
故选：C．
总结提升：此题考查了垂径定理和直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法．
52．(2023•赛罕区校级一模）若点P是直线y＝﹣x+2上一动点，∠OMP＝90°，则△OMP外接圆面积的最小值为（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
思路引领：根据题意设P（m，﹣m+2），可得OP2＝m2+（﹣m+2）2＝2（m﹣1）2+2，当m＝1时，OP2最小是2，要使△OMP外接圆面积最小，12OP最小，然后利用圆的面积公式即可解决问题．
解：如图，PM切圆O于点M，
∴OM⊥PM，
∴∠OMP＝90°，
∵点P是直线y＝﹣x+2上一动点，
∴设P（m，﹣m+2），
∴OP2＝m2+（﹣m+2）2＝2（m﹣1）2+2，
当m＝1时，OP2最小是2，
∴OP=2，
要使△OMP外接圆面积最小，12OP最小，
∴△OMP外接圆面积的最小值为（12OP）2π＝（12×2）2π=π2．
故选：B．
总结提升：本题考查一次函数图象上的动点问题，解题的关键是表示出OP的长．
53．(2023•市北区校级二模）如图，BD是⊙O的切线，∠BCE＝32°，则∠D＝（ ）
A．32°B．29°C．26°D．28°
思路引领：连接OB，根据圆周角定理得到∠BOD＝60°，根据切线的性质得到∠OBD＝90°，于是得到∠D＝90°﹣60°＝30°．
解：连接OB，
∵∠BCE＝32°，
∴∠BOD＝2∠C＝64°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∴∠D＝90°﹣64°＝26°，
故选：C．
总结提升：本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
54．(2023•青山区校级四模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，以BD为直径作⊙O，分别与菱形的边相交于点E，F，G，H，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π3+23B．2π3+43C．4π3+23D．4π3+43
思路引领：阴影部分可以看成两个全等的扇形和两个全等的三角形，再求面积和．
解：连接AC，
∵∠A＝60°，AB＝4，
∴∠HOE＝∠GOF＝60°，AB＝AD＝DC＝BC＝DB＝4，圆半径OD＝2，
AO=42−22=23，AC＝43，FG=12×43=23，△HOG的高为12OD=12×2＝1，
∴两个扇形面积2×π×22×60360=43π，两个三角形的面积2×12×23×1＝23，
∴阴影部分的面积为43π+23．
故选：C．
总结提升：本题考查了求不规则图形的面积，解题的关键是掌握规则图形的面积计算公式，把不规则图形分割成规则图形，再求面积和．
55．(2023•会东县校级模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB的
度数为（ ）
A．55°B．65°C．70°D．90°
思路引领：根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形内角和为360°计算，得到答案．
解：∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝110°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，
故选：C．
总结提升：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
56．(2023•兴义市校级模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．25°B．40°C．50°D．80°
思路引领：由⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝80°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠ACB的度数．
解：∵∠OBA＝50°，OA＝OB，
∴∠AOB＝80°，
∵⊙O是△ABC的外接圆，，
∴∠ACB12∠AOB=12×80°＝40°．
故选：B．
总结提升：本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
57．(2023•涟源市校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，若∠C＝58°，则∠OAB的大小为（ ）
A．32°B．58°C．65°D．40°
思路引领：连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
解：如图，连接OB，
∵∠C＝58°，
∴∠AOB＝2∠C＝116°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB=12×（180°﹣116°）＝32°，
故选：A．
总结提升：本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，根据圆周角定理求出∠AOB是解题的关键．
58．(2023•铜仁市校级模拟）如图，⊙O中，若∠ABC＝30°，过点A作⊙O的切线与OC的延长线交于点P，且PA＝23，则⊙O的半径等于（ ）
A．3B．32C．3D．2
思路引领：连接OA，由切线的性质及圆周角定理求出∠P＝30°，由直角三角形的性质可得出答案．
解：连接OA，
∵圆O的圆周角∠ABC对弧AC，且∠ABC＝30°，
∴圆心角∠AOC＝60°．
又∵直线PA与圆O相切于点A，且OA是半径，
∴OA⊥PA，
Rt△PAO中，PA＝23，∠AOC＝60°，
∴∠P＝30°，
∴OA＝PA•tan30°＝23⋅33=2，
故选：D．
总结提升：本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
59．(2023•宁波模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB的最小值为（ ）
A．2B．3C．23D．4
思路引领：此题根据切线的性质以及勾股定理，根据垂线段最短的性质进行分析，把要求PB的最小值转化为求AP的最小值，进而可以解决问题．
解：如图，连接AB，AP．
根据切线的性质定理，得AB⊥PB．
要使PB最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则AP⊥x轴于P，
此时P点的坐标是（﹣3，0），AP＝4，
在Rt△ABP中，AP＝4，AB＝2，
∴PB=AP2−AB2=23．
则PB最小值是23．
故选：C．
总结提升：本题考查了切线的性质和坐标与图形的性质．此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．
60．(2023•昭阳区校级模拟）如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC的点B′处，点C的对应点为点C′，则阴影部分的面积为（ ）
A．23π+23B．43π+43C．3+πD．32π−3
思路引领：连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，根据旋转的性质得出扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝4，求出△ABB′是等边三角形，求出∠ABF＝60°，解直角三角形求出BF和AF，再根据阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）求出答案即可．
解：连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，则∠AFB＝90°，如图，
∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B落在扇形BAC的弧上的点B'处，点C的对应点为点C'，
∴扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝4，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF=12AB＝2，由勾股定理得：AF=42−22=23，
∴阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）
=90π×42360−（60π×42360−12×4×23）
=43π+43，
故选：B．
总结提升：此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，那么扇形的面积S=nπr2360．
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