数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程巩固练习

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1．若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为直线经过，两点，
所以直线的斜率为．
设直线的倾斜角为，则，
又，
所以，
所以直线的倾斜角为．
故选：C
2．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，直线的斜率，直线的斜率．
由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，
因此直线的倾斜角的取值范围是．
故选：C
3．圆与圆的公共弦长为（ ）
A．6B．C．4D．
【答案】A
【解析】圆与圆的方程相减得，即．又到直线的距离为1，所以公共弦长为．
故选：A
4．已知直线l：在x轴上的截距的取值范围是（，3），则其斜率的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．或
【答案】D
【解析】已知直线l：(2+a)x+(a−1)y−3a=0，所以(x+y-3)a+2x-y=0
，所以直线过点，
由题知，在轴上的截距取值范围是，
所以直线端点的斜率分别为：，如图：
或.
故选：D.
5．圆关于直线对称的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为圆的圆心为，半径为，
且关于直线对称的点为，
所以所求圆的圆心为、半径为，
即所求圆的标准方程为.
故选：D.
6．点M在圆上，点N在直线上，则|MN|的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】由题意可知，圆心，半径为，
所以圆心到的距离为，
所以的最小值为.
故选：C.
7．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标是（ ）
A．1B．-7C．1或-1D．2或-7
【答案】A
【解析】由题M（-1，2），N（1，4），则线段MN的中点坐标为（0，3），
易知，则经过M，N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线上．
设圆心为，则圆S的方程为．
当取最大值时，圆必与轴相切于点（由题中结论得），
则此时P的坐标为，代入圆S的方程，得，
解得或，即对应的切点分别为P（1，0）和．
因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
又过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，
所以，故点P（1，0）为所求，即点P的横坐标为1.
故选:A．
8．如图，“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成．若该图案经过点，点M是该图案上一动点，N是其图象上点M关于直线的对称点，连接，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数经过点，所以.
设直线与函数相切，
联立消去y，得．
，解得．
则直线与直线间的距离为．
故MN的最大值为．
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（多选）已知直线，其中，则（ ）
A．当时，直线l与直线垂直
B．若直线l与直线平行，则
C．直线l过定点
D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【解析】对于A，当时，直线l的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为，所以当时，直线l与直线垂直，所以A正确，
对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B错误，
对于C，当时，，与无关，故直线l过定点，所以C正确，
对于D，当时，直线l的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，
故选：AC
10．已知直线l过点，且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则（ ）
A．直线l的方程为B．直线l与直线的倾斜角互补
C．直线l在y轴上的截距为1D．这样的直线l有两条
【答案】ABC
【解析】因为直线l与及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与的倾斜角互补，故B正确；
由直线的斜率为，知直线l的斜率为，可得直线l的方程为，即l的方程为，故A正确；
令，得，所以l在y轴上的截距为1，故C正确；
过点且斜率为的直线只有一条，故D错误．
故选：ABC．
11．已知、，直线上有一动点，则（ ）
A．直线的斜率为B．直线的截距式方程为
C．点关于直线对称的点的坐标为D．的最大值为
【答案】AC
【解析】对于A选项，直线的斜率为，A对；
对于B选项，直线的截距式方程为，B错；
对于C选项，设原点关于直线对称的点为，
则直线的斜率为，可得，
线段的中点为，点在直线上，则，
所以，，解得，
所以，点关于直线对称的点的坐标为，C对；
对于D选项，若，，则，D错.
故选：AC.
12．已知为坐标原点，圆：，则下列结论正确的是（ ）
A．圆与圆内切
B．直线与圆相离
C．圆上到直线的距离等于1的点最多两个
D．过直线上任一点作圆的切线，切点为，，则四边形面积的最小值为
【答案】ACD
【解析】圆的圆心，半径，而圆的圆心，
所以，所以圆与圆内切，A正确；
圆心到直线的距离，故圆和直线相切或相交，B错误；
因为圆心到直线的距离为：，
因为，
又因为圆的半径为1，所以上到直线的距离等于1的点最多两个，故C正确；
过直线上任一点作圆的切线，切点为，，四边形面积为：
，当垂直直线时，有最小值，且，
因为，
所以，则四边形面积的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线经过点，，，则直线倾斜角的取值范围是_____.
【答案】
【解析】直线经过点，，
，
，
，
设直线的倾斜角为，则，
得，
故答案为：.
14．过点且与点、等距离的直线的方程为______．
【答案】或
【解析】分以下两种情况讨论：
①，且直线的斜率为，此时直线的方程为；
②直线过线段的中点，直线的斜率为，
此时直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
故答案为：或.
15．过四点，，，中的三点的一个圆的方程为______.
【答案】或
【解析】设圆的一般方程为，
若圆过三点，
则，解得，
此时圆的一般方程为；
若圆过三点，
则，解得，
此时圆的一般方程为；
若圆过三点，
则，解得，
此时圆的一般方程为；
若圆过三点，
则，解得，
此时圆的一般方程为；
故答案为：或
或或
16．已知点，点在轴上，点在直线上，则的周长的最小值为______．
【答案】
【解析】设点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，
如图所示，连接交于点，交轴于点，
由对称性可知，，
所以，，
当且仅当、、、四点共线时，等号成立，
因为点与关于直线对称，
所以，解得，所以．
因为与关于轴对称，所以，
所以的周长的最小值为．
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（1）求过点且平行于直线的直线的方程；
（2）求过点且垂直于直线的直线的方程．
【解析】（1）由题意，直线的斜率为
由直线方程的点斜式有：
即过点且平行于直线的直线的方程为：
（2）由题意，直线的斜率为
故与直线垂直的直线斜率
由直线方程的点斜式有：
即过点且垂直于直线的直线的方程为
18．（12分）
已知直线.
(1)若直线不能过第三象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【解析】(1)由，
当时，直线的方程为，此时直线不过第三象限，合乎题意；
当时，在直线的方程中，令，可得，
令，可得，
若直线不过第三象限，则，解得.
综上所述，.
(2)由（1）可知，，
又在轴负半轴，在轴正半轴，所以，，可得.
，当且仅当时等号成立，
所以，的最小值为，此时直线的方程.
19．（12分）
如图，射线与轴正半轴的夹角分别为和，过点的直线分别交，于点．
(1)当线段的中点为时，求的方程；
(2)当线段的中点在直线上时，求的方程．
【解析】（1）由于射线与轴正半轴的夹角分别为和，射线：．：．设，的中点为点，由中点坐标公式求得，．点坐标，点坐标．故的斜率为，又，：．
（2）的中点在直线上，，即，，：．
20．（12分）
如图所示，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，顶点A与顶点B关于原点O对称，且底边AB和CD的长分别为6和，高为3．
(1)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程；
(2)若点N的坐标为(5,2)，点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．
【解析】（1）设，
由已知可得：，
由得：
，
∴圆的圆心为，半径为，
∴圆的方程为：．
（2）设，
∵为线段的中点，∴，
代入点所在圆的方程得：
，
∴点的轨迹方程为．
21．（12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆，过点O及点的圆N与圆M外切．
(1)求圆N的标准方程．
(2)直线MN上是否存在点B，使得过点B分别作圆M与圆N的切线，切点分别为P，Q（不重合），满足？若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意知，圆N的圆心N在直线上（圆心N在线段OA的垂直平分线上）.
设，圆N的半径为r．因为圆N与圆M外切，且圆M的圆心M（2，4），半径为.
所以，即，①
又，即，②
由①②得，
即，故，即.
再代入②可得，
解得或，又，得，所以．
故所求圆N的标准方程为．
（2）设，由可知，
即，所以，
即，
整理得．①
又直线MN的方程为，②
所以由①②解得，，或，，
由于P，Q两点不重合，故，不合题意，舍去．
故存在点B（6，8）符合题意．
22．（12分）
已知直线：，，为坐标原点，动点满足，动点的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与圆：交于不同的两点，当∠时，求的值；
(3)若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点．
【解析】（1）设点，依题意知，整理得，曲线的方程为
（2）点为圆心，∠，点到的距离，；
（3）由题意可知：四点共圆且在以为直径的圆上，(对角互补的四边形的四顶点共圆)
设，则圆心，半径 得即又在圆：上即 (直线是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程)由得 ，直线过定点.