2022-2023学年高二数学 人教A版2019选择性必修第一册 同步讲义 第二章 直线和圆的方程（单元测试卷） Word版含解析

第二章 直线和圆的方程（单元测试卷）

一、单选题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的斜率是直线的斜率的相反数，在y轴上的截距为2，则直线l的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求得直线斜率，由斜截式得直线方程．

【详解】直线的斜率是，因此直线的斜率是，又在y轴上的截距为2，

所以直线方程为，

故选：C．

2．（2022·全国·高二课时练习）已知，，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB的中点的直线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据中点坐标公式可得直线在轴截距，根据截距式即可求解直线的截距式方程.

【详解】由中点坐标公式可得线段AB的中点为，故可知轴上的截距为4，故直线的方程为.

故选：B

3．（2022·全国·高二课时练习）已知两直线与，则与间的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平行线间距离公式即可求解.

【详解】直线的方程可化为（使用两条平行直线间的距离公式时，x，y的系数要对应相等），显然，所以与间的距离为．

故选:D．

4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（       ）

A．外离 B．相交 C．内切 D．外切

【答案】B

【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系．

【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上，

所以，解得，所以圆的圆心为，半径为．

因为圆的圆心为，半径为，所以，

故，所以圆与圆的位置关系是相交．

故选：B．

5．（2022·福建省福州第二中学高二期末）已知直线平分圆：，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意知直线过圆的圆心得到，求的最大值可转化为的最小值的倒数，利用基本不等式的妙用求最值即可.

【详解】圆：，圆心，

直线平分圆：，

直线过圆心，即，

，

当且仅当，即，的最大值为.

故选：B

6．（2022·全国·高二课时练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据直线和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可.

【详解】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.

当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得.

设，则.由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则.

故选：C.

7．（2022·河南·修武一中高二开学考试（理））已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则当最小时，（       ）

A．4 B． C．8 D．

【答案】D

【分析】首先求出直线过定点，即可求出弦的最小值，求出直线的倾斜角的倾斜角，再利用锐角三角函数计算可得.

【详解】解：直线过定点，最小时，，

圆心到直线的距离，，

因为，所以此时，所以直线的倾斜角为，

过点作交于点，则，

在中，所以.

故选：D

8．（2023·全国·高三专题练习）已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（       ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得，进而由向量模的计算公式可得，分析可得在以为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案．

【详解】根据题意，设，，，

以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向建立坐标系，

则，，设，则，

若，则有，

则在以为圆心，半径为2的圆上，

设为点，则，则有，

即，

则的取值范围为；

故选：D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（2022·湖南·长沙一中高一期末）下列说法正确的是（       ）

A．直线在y轴上的截距为2

B．直线，过定点

C．过点且与直线平行的直线方程是

D．过点且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程为

【答案】BC

【分析】求出直线在y轴上的截距，可判断A;求得直线，过的定点的坐标，判断B;利用直线的平行关系可求出过点且与直线平行的直线方程，判断C;分两种情况求出过点且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程，判断D,即可得答案.

【详解】对于A，对于直线，令x=0得，

所以直线在y轴上的截距为：故A不正确；

对于B，直线，,故该直线过定点，故B正确；

对于C，因为所求直线与直线平行，

因此，可设所求直线为，又所求直线过点，

所以，解得，故所求直线方程为，故C正确；

对于D，过点且在两坐标轴上的截距相等的直线，

当在两坐标轴上的截距为0时，直线方程为；

当在两坐标轴上的截距不为0时，设为，则，解得，

则直线方程为，故D不正确；

故选：BC．

10．（2022·山东青岛·二模）已知，则下述正确的是（       ）

A．圆C的半径 B．点在圆C的内部

C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交

【答案】ACD

【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可

【详解】由，得，则圆心，半径，

所以A正确，

对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，

对于C，因为圆心到直线的距离为，

所以直线与圆C相切，所以C正确，

对于D，圆的圆心为，半径，

因为，，

所以圆与圆C相交，所以D正确，

故选：ACD

11．（2022·重庆南开中学高一期末）已知圆，过点的直线交圆于A，B两点，下列说法正确的是（       ）

A．当时，的最小值是

B．当时，的取值范围是

C．当时，为定值

D．当，且时，

【答案】ABCD

【分析】根据圆的几何性质判断A，由圆上点与圆内点的距离最值分别为过该点直径端点判断B，根据直线与圆相交，根与系数的关系，向量运算判断C，根据圆的几何性质及线段中点求解判断D.

【详解】当时，，则，点在圆内，当为直线AB的中垂线时，

，故A正确；

当时，，则，点在圆内，

由圆的性质知，，，故的取值范围是，故B正确；

当时，在圆外，当直线斜率存在时，设直线为，

设，联立方程可得，当时，

，，

，

当直线斜率不存在时，直线为，则，

，综上为定值,

故C正确；

当时， ，在圆外，设且交点为，则,由知，设，

则，解得，所以在直角三角形中，故，所以，故D正确.

故选：ABCD

12．（2023·河北·高三阶段练习）已知圆上两点A、B满足，点满足：，则下列结论中正确的是（       ）

A．当时，

B．当时，过M点的圆C的最短弦长是

C．线段的中点纵坐标最小值是

D．过M点作图C的切线且切点为A，B，则的取值范围是

【答案】CD

【分析】根据给定条件可得点在线段的垂直平分线上，对于A，利用弦长公式求得线段的长，由线段的垂直平分线平行于轴，即可判断出A；对于B，当 时，点在圆内，结合弦长和半径即可判断出结果；对于C，令线段的中点，根据勾股定理结合放缩法即可求得结果；对于D，利用切线长定理即可求得的取值范围，即可判断出D．

【详解】解：圆的圆心，半径，令圆心到直线距离为，

对于A，令直线，即，显然有，

线段的垂直平分线平行于轴，此时点不存在，即不存在，A不正确；

对于B，当 时，点在圆内，而圆的直径长为2，则过 点的圆的最短弦长小于2，而，B不正确；

对于C，令线段的中点，则，

则，即，解得，当且仅当时取等号，

所以，C正确；

对于D，依题意及切线长定理得：，

解得或，

所以的取值范围是，D正确．

故选：CD．

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．（2022·全国·高二专题练习）直线经过点，，，则直线倾斜角的取值范围是_____.

【答案】

【分析】根据两点间斜率公式可得斜率，再结合参数范围可得斜率取值范围，进而可得倾斜角范围.

【详解】直线经过点，，

，

，

，

设直线的倾斜角为，则，

得，

故答案为：.

14．（2022·内蒙古包头·高一期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______．

【答案】

【分析】设交点坐标分别为和，根据题意得到，求得的值，进而求得直线的方程.

【详解】设直线与和，分别交于点和，

因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得，

所以和，则，

可得直线的方程为，即.

故答案为：.

15．（2022·广东·中山一中高三阶段练习）已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.

【答案】

【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解.

【详解】由，得，

所以圆的圆心为，半径为，

因为圆，所以圆的圆心为，半径为，

因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，

即，解得，

所以的值为.

故答案为：.

16．（2022·全国·高二课时练习）已知点P（m，n）在圆上运动，则的最大值为______．

【答案】64

【分析】表示圆C上的点P到点的距离的平方，利用数形结合分析即得解.

【详解】解：由题得圆心C（2，2），半径r＝3．

表示圆C上的点P到点的距离的平方，

因为，所以，即的最大值为64．

故答案为：64

四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2022·全国·高二专题练习）根据所给条件求直线方程.

(1)直线过点，倾斜角的正弦值为；

(2)直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为；

(3)直线过点，.

【答案】(1)或

(2)或

(3)

【分析】（1）利用点斜式方程可得答案；

（2）利用截距式方程可得答案；

（3）先求出斜率再用点斜式方程可得答案.

(1)

，，

则直线方程为，

即或.

(2)

依题意得，直线的横截距、纵截距均不为，

可设直线方程为，

代入点，可得，解得或，

所以所求直线方程为或，

即所求直线方程为或.

(3)

直线斜率，

则所求直线方程为，整理得.

18．（2022·全国·高二课时练习）已知圆．

(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；

(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C相切，求圆D的方程．

【答案】(1)或；

(2)或或或．

【分析】(1)设的直线方程为(可以避开斜率为0和不存在情况)，再用圆心到直线距离等于半径找出关系即可；

(2)讨论圆D与圆内切还是外切，分别计算出两种情况时的圆心坐标即可.

（1）

圆的圆心，半径，

因为直线过定点，所以可设直线的方程为，

因为直线与圆C相切，所以，整理得，则或，

当时，直线的方程为；

当时，直线的方程为．所以直线的方程为或.

（2）

因为圆D的圆心在直线上，所以可设，则．

当圆D与圆C外切时，，

即，解得或，所以圆D的方程为或．

当圆D与圆C内切时，，即，解得或，所以圆D的方程为或．

综上，圆D的方程为或或或．

19．（2022·全国·高二课时练习）已知三角形ABC，，，，以BA，BC为邻边作平行四边形ABCD．

(1)求点D的坐标：

(2)过点A的直线l交线段BC于点E．若，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)x＝1

【分析】（1）根据平行四边形得到，列出方程组，求出D点的横纵坐标；

（2）根据面积的倍数关系得到，设出E点坐标，从而列出方程组，求出E点的横纵坐标，从而得到直线l的方程.

（1）

由题可知，以BA，BC为邻边的平行四边形ABCD满足，

所以，所以．

（2）

要使，点E在线段BC上，则，

设，

则，

又直线l过，故直线l的方程为：x＝1．

20．（2022·全国·高二单元测试）从①与直线4x－3y＋5＝0垂直，②过点（5，－5），③与直线3x＋4y＋2＝0平行这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．

问题：已知直线l过点，且______．

(1)求直线l的一般式方程；

(2)若直线l与圆相交于点P，Q，求弦PQ的长．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)3x＋4y＋5＝0

(2)4

【分析】(1)根据直线方程的表达式，代入条件计算即可.(2)根据直线与圆相交，结合弦长公式即可求解.

（1）

方案一：选条件①．

（1）因为直线4x－3y＋5＝0的斜率为，且与直线l垂直，所以直线l的斜率为，

依题意，直线l的方程为，即3x＋4y＋5＝0．

方案二：选条件②．

（1）因为直线l过点（5，－5）及（1，－2），

所以直线l的方程为，即．

方案三：选条件③．

（1）因为直线3x＋4y＋2＝0的斜率为，直线l与直线3x＋4y＋2＝0平行，

所以直线l的斜率为．

依题意，直线l的方程为，即3x＋4y＋5＝0．

（2）

方案一：选条件①．

（2）圆的圆心（0，0）到直线3x＋4y＋5＝0的距离为．

又圆的半径为，所以．

方案二：选条件②．

（2）解析同方案一中（2）．

方案三：选条件③．

（2）解析同方案一中（2）．

21．（2022·全国·高二单元测试）已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点．

(1)求的轨迹方程；

(2)当时，求l的方程及的面积

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）利用圆的性质可得，进而即得；

（2）由题可知点O在线段PM的垂直平分线上，然后利用点斜式方程及点到直线的距离公式结合条件即得.

（1）

由圆，可化为，

所以圆心为，半径为4，

设，则，，

由题设知，故，

即．

由于点P在圆C的内部，

所以M的轨迹方程是．

（2）

由上可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，

由于，

故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，

从而，

因为ON的斜率为3，所以的斜率为，

故的方程为，即，

又，

O到的距离为，，

所以的面积为．

22．（2022·重庆南开中学高一期末）平面直角坐标系中，圆M经过点，，.

(1)求圆M的标准方程；

(2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.

（i）过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；

（ii）设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.

【答案】(1)

(2)（i）7；（ii）在定直线上

【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出，即可得解；

（2）（i）设直线的方程为，分和两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，再根据即可得出答案；

（ii）设，联立，利用韦达定理求得，求出直线OP，BQ的方程，联立求出交点坐标即可得出结论.

(1)

解：设圆M的方程为，

则，解得，

所以圆M的标准方程为；

(2)

解：设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

（i）若，则直线斜率不存在，

则，，

则，

若，则直线得方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

则

，

当且仅当，即时，取等号，

综上所述，因为，

所以S的最大值为7；

（ii）设，

联立，消得，

则，

直线的方程为，

直线的方程为，

联立，解得，

则

，

所以，

所以点N在定直线上.

【点睛】本题考查了利用待定系数法求圆的标准方程，考查了圆的弦长问题及圆中四边形的面积的最值问题，还考查了圆中的定直线问题，有一定的计算量.