数学第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角第1课时教案

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解题大招一 三角形内角和定理的证明方法
证明三角形内角和定理的几种思路归纳：
例1 请分别按上表中图③、图④的思路继续下去，证明三角形内角和定理．
证明：图③中，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠B，∠CED＝∠A.
∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠C，∠EDF＝∠CED，∴∠EDF＝∠A.
∵∠BDF＋∠EDF＋∠CDE＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.
如图④，标注字母E，F，G.
∵l1∥l2∥l3，∴∠CAE＝∠ACG，∠CBF＝∠BCG，
∠BAE＋∠ABF＝180°，即∠1＋∠CAE＋∠2＋∠CBF＝180°.
∴∠1＋∠ACG＋∠2＋∠BCG＝180°，
即∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°.
解题大招二 利用三角形内角和定理解决折叠类问题
图形折叠前后，重合的角是相等的，利用这个性质求角度时一定要找准相等的角，再用三角形内角和定理求有关的角度．
例2 (1)如图，∠ABC＝50°，点D，E分别在射线BA，BC上，将△BED沿着DE折叠，若点B恰好落在射线DA上的点B′处，则∠BEB′的度数是（ B ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
解析：∵将△BED沿着DE折叠，点B恰好落在射线DA上的点B′处，∴∠B＝∠BB′E＝50°，∴∠BEB′＝180°－∠B－∠BB′E＝180°－50°－50°＝80°.故选B.
(2)把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图所示，若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（ C ）
A．15° B．20° C．25° D．35°
解析：∵△ABC沿EF翻折，∴∠BEF＝∠B′EF，∠CFE＝∠C′FE，
∴180°－∠AEF＝∠1＋∠AEF，180°－∠AFE＝∠2＋∠AFE.
∵∠1＝95°，∴∠AEF＝eq \f(1,2)×(180°－95°)＝42.5°.
∵∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∴∠AFE＝180°－60°－42.5°＝77.5°，
∴180°－77.5°＝∠2＋77.5°，∴∠2＝25°.故选C.
解题大招三 “平行线＋角平分线”情形下利用三角形内角和定理求角度
此类题具有一定的综合性与拓展性，培养学生分析、解决问题的能力．题目中给出的平行线＋角平分线的条件的作用是转化角度，其解题核心是三角形内角和定理的运用．在后面的学习中我们将了解“平行线＋角平分线”会得到等腰三角形，这里感受模型即可．
例3 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝eq \f(1,2)∠ACB＝30°，
∴∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.
又DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°.
解题大招四 利用三角形内角和定理构造方程求角度(方程思想)
若已知三角形一个内角的度数及另两个内角之间的数量关系，或只知道三个内角之间的数量关系
(如度数之比、角度之间的倍分关系等)，一般利用“三角形三个内角的和等于180°”列方程(组)求解．
例4 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C＝2∠A，BD是△ABC的角平分线，求∠A与∠ADB的度数．
解：设∠A＝x°，则∠ABC＝∠C＝2x°.
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴x°＋2x°＋2x°＝180°，解得x＝36，
∴∠A＝36°，∠ABC＝72°.
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝eq \f(1,2)∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝108°.
培优点一 三角形内角和定理与高、角平分线的综合探究
例1 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC.
(1)若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数；
(2)若∠C－∠B＝30°，则∠DAE＝15°；
(3)若∠C－∠B＝α(∠C>∠B)，求∠DAE的度数(用含α的式子表示)．
解：(1)由已知可得，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°.
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝eq \f(1,2)∠BAC＝35°.
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝50°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝15°.
(2)解析：∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C.
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝eq \f(1,2)∠BAC＝eq \f(1,2)(180°－∠B－∠C)＝90°－eq \f(1,2)(∠B＋∠C)．
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝90°－∠B，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝(90°－∠B)－[90°－eq \f(1,2)(∠B＋∠C)]＝eq \f(1,2)(∠C－∠B)．
∵∠C－∠B＝30°，∴∠DAE＝eq \f(1,2)×30°＝15°，故答案为15°.
(3)同(2)，∵∠C－∠B＝α，∴∠DAE＝eq \f(1,2)α.
模型提炼：已知AE，AD分别为△ABC的角平分线和高(∠B>∠C)．如图①，
AD在△ABC的内部时，∠DAE＝eq \f(1,2)(∠B－∠C)；如图②，AD在△ABC的外部时，
∠DAE＝eq \f(1,2)(∠ABC－∠C)．
培优点二 “8”字模型的综合探究
例2 (教材P16T5变式题)如图①，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，
我们把形如图①的图形称为“8字形”．试解答下列问题：
在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系
：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；
(2)仔细观察，在图②中，“8字形”的个数为6；
(3)在图②中，若∠D＝40°，∠B＝36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，利用(1)的结论，试求∠P的度数；
(4)在(3)的条件下，若∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系？(直接写出结论即可)
解：(1)解析：在△AOD中，∠AOD＝180°－∠A－∠D，
在△BOC中，∠BOC＝180°－∠B－∠C.
∵∠AOD＝∠BOC，
∴180°－∠A－∠D＝180°－∠B－∠C，
∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C.
(2)解析：以M为交点有1个，△AMD与△CMP；
以O为交点有4个，△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△AOD与△CON；
以N为交点有1个，△ANP与△CNB，
∴“8字形”共有6个．
(3)∵∠D＝40°，∠B＝36°，
∴∠OAD＋40°＝∠OCB＋36°，
∴∠OCB－∠OAD＝4°.
∵AP，CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAM＝eq \f(1,2)∠OAD，∠PCM＝eq \f(1,2)∠OCB.
又∠DAM＋∠D＝∠PCM＋∠P，
∴∠P＝∠DAM＋∠D－∠PCM＝∠D－eq \f(1,2)(∠OCB－∠OAD)＝40°－eq \f(1,2)×4°＝38°.
(4)解析：根据(1)中的结论得，∠OAD＋∠D＝∠OCB＋∠B，∠DAM＋∠D＝∠PCM＋∠P，
∴∠OCB－∠OAD＝∠D－∠B，∠PCM－∠DAM＝∠D－∠P.
∵AP，CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAM＝eq \f(1,2)∠OAD，∠PCM＝eq \f(1,2)∠OCB，
∴eq \f(1,2)(∠D－∠B)＝∠D－∠P，
整理得，2∠P＝∠B＋∠D.
模型提炼：如图，AC与BD相交于点O，则∠A＋∠B＝∠C＋∠D.
模型拓展：若BP，DP分别是∠ABC，∠ADC的平分线，则∠P＝eq \f(1,2)(∠A＋∠C)．
教学目标
课题
11.2.1 第1课时 三角形的内角和
授课人
素养目标
探索并证明三角形的内角和定理，学会解决与求角度有关的实际问题，体会转化的数学思想．
教学重点
三角形内角和定理及其运用．
教学难点
三角形内角和定理的推理过程.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：提出疑问，启发思维
设计意图
提出问题引发学生思考，为后面证明三角形内角和定理做铺垫.
【问题引入】
我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.如图，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的.
度量法
剪拼法
先把一个三角形的3个角剪下来，再拼一拼．看一看，拼成了一个什么角？
如何用推理的方法去验证呢？
【教学建议】
从直观思维到逻辑思维的转变，即是小学到初中的思维方式的转变，此处提问可引起学生的反思，更深刻体会逻辑证明的重要性，方便引入新课.
活动二：动手操作，探究新知
设计意图
通过动手操作，逐步引导学生对三角形内角和定理进行证明，培养学生的演绎推理能力，使学生能熟练地运用演绎推理法解决问题.
探究点 三角形内角和定理的证明
探究
通过活动一的启发，我们在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
在上面的拼合中，有不同的方法．下面我们来分析一种较为常见的方法：
如图①，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上.
问题1 想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？
由“内错角相等，两直线平行”可知l∥BC.
【教学建议】
对于三角形的内角和等于180°的结论，学生在前两个学段已经知道，但当时是通过实验得出的，并没有经过系统的证明．本活动中仍从前两个学段已做过的实验入手，一方面可以激发学生兴趣，另一方面可以使学生从实验中发现证明的思路．讲
教学步骤
师生活动
由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论.
已知：△ABC.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC.
∵l∥BC，∴ ∠2＝∠4 (两直线平行，
内错角相等)．同理∠3＝∠5.
∵ ∠1，∠4，∠5组成平角，
∴ ∠1＋∠4＋∠5＝180°(平角的定义).
∴ ∠1＋∠2＋∠3＝180°(等量代换).
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理：
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°.
问题2 由图②，你能想出三角形内角和定理的其他证法吗？
图②的拼合方法是将三角形的两个内角移到第三个内角的同一侧，三个角合成一个平角，说明∠B的一条边是BC的延长线，还出现了一条过点C的直线l，移动后的∠B和∠A各有一条边在l上．由“内错角相等，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”可知l∥AB，进而想出证明三角形内角和是180°的另一种方法：
如图，延长BC，过点C作直线l，使l∥AB.
∵l∥AB，∴∠1＝∠4，∠2＝∠5.
∵∠3，∠4，∠5组成平角，
∴∠3＋∠4＋∠5＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.
拓展：由三角形内角和定理可知，任意一个三角形中，至少有两个锐角，至多有一个钝角或直角，且三角形中最大的内角不小于60°.
【对应训练】
为了证明三角形的内角和是180°，王老师给出了如图所示作辅助线的方法(过点C作CD∥AB)，请按照这个思路完成证明.
解：∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝180°.
∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，
∴∠B＋∠ACB＋∠ACD＝180°，
即∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
解的拼合方法，是将三角形的两个内角移到第三个内角的两侧．过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC，即可实现上述目的．让学生体会直线l是因为解决问题的需要自然产生的，使三角形的三个内角与组成平角的三个角分别相等，从而得出要证明的结论．教师可以告诉学生，三角形内角和定理的证明方法有很多，但不管哪种方法，其根本思路都是设法将问题转化为“平角”或“两直线平行，同旁内角互补”来解题，这是数学中转化思想的重要体现．注意跟学生强调做题时推理的严谨性和书写的规范性.
活动三：知识升华，巩固提升
设计意图
通过例题讲述引导学生经历使用三角形内角和定理解题的过程，强化知识的掌握
例1 (教材P12例1)如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线. 求∠ADB的度数.
分析：∠ADB是△ABD的一个内角，在△ABD中，B＝75°，如果能求出∠BAD的度数，就能求出∠ADB的度数.
解：由∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD＝12∠BAC＝20°.
在△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－75°－20°＝85°.
【教学建议】
通过例题教学使学生养成说理的思维习惯，培养逻辑论证能力．例1是利用三角形内角和定理解几何题，例2则结合了实际背景．例2中，给出了一
教学步骤
师生活动
程度，并做练习题进行巩固.
例2 (教材P12例2)如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？
分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.
解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.
由AD∥BE，得∠BAD＋∠ABE＝180°.
所以 ∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，
∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°.
在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
问题 对于例2，你还能想出其他解法吗？
如图，过点C作CF∥AD，则CF∥BE.
由CF∥AD，得∠ACF＝∠CAD＝50°.
由CF∥BE，得∠BCF＝∠EBC＝40°.
所以∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝50°＋40°＝90°.
因为∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°，
所以∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－90°－30°＝60°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
【对应训练】
教材P13练习第1～2题.
图中标注出这些角，这样容易求出∠CAB的度数．方位角以正北、正南为基准，所以AD∥BE，从而同旁内角互补，这是求出∠ABC的度数的关键．求出∠CAB，∠ABC的度数，进而可求出∠ACB的度数．通过例2及后面的问题打造一题多解，培养学生思维的发散能力．
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.
【课堂总结】课堂总结师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.你能证明三角形的内角和等于180°吗？
2.用三角形内角和定理解题的方法掌握了吗？能解决与实际相关的问题吗？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P16～17习题11.2第1，2，3，7，9题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．
板书设计
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和
1.三角形内角和定理的证明. 2.三角形内角和定理的应用．
教学步骤
师生活动
教学反思
本节课的设计是先让学生动手操作，以便使学生对三角形的内角和有一定感性认识，然后再根据拼图说出结论成立的理由，由浅入深，循序渐进，学生易接受．教师引导学生对三角形的三个内角进行拼合，可以出现不同的方法，这样能让学生充分发挥自己的主动性和创新能力.