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初中北师大版2 矩形的性质与判定同步达标检测题
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这是一份初中北师大版2 矩形的性质与判定同步达标检测题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD=∠BCE时，线段AE的最小值是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
3.已知四边形ABCD的对角线相交于点O，则下列条件中不能判定它是矩形的是( )
A. AB=CD，AB//CD，∠BAD=90∘
B. AO=CO，BO=DO，AC=BD
C. ∠BAD=∠ABC=90∘，∠BCD+∠ADC=180∘
D. ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90∘
4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为( )
A. 4.8B. 2.4C. 2.5D. 2.6
5.如图，四边形OABC是矩形，A(2,1)，B(0,5)，点C在第二象限，则点C的坐标是( )
A. (−1,3)B. (−1,2)C. (−2,3)D. (−2,4)
6.如图，矩形ABCD中，AD=12，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是( )
A. 6
B. 6 3
C. 12
D. 8 3
7.如图，在四边形ABCD中，AB // CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为( )
A. 4B. 4.5C. 5D. 6
8.如图所示，点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF//AB，分别交AD，BC于点E，F，连接MD，MB.若DE=2，EM=5，则阴影部分的面积为( )．
A. 5B. 10C. 12D. 14
9.如图，在矩形ABCD中，AB>BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中的矩形共有( )
A. 5个B. 8个C. 9个D. 11个
10.已知矩形ABCD的边长AB=6，对角线AC，BD交于点O且∠AOB=60°，则AC的长为( )
A. 6B. 12C. 6 3D. 12 3
11.如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE=AC，连接DE.若∠E=70°，则∠ACB的度数是( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
12.三角形△ABC中，AB=AC=4，BC=2，E，F分别是边AB，AC上的动点，且AE=CF，则CE+BF的最小值为( )
A. 3 2B. 2 6C. 5.4D. 5.6
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为________cm．
14.如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF.若MF=AB，则∠DAF= ______度.
15.如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为______．
16.已知四边形ABCD，其中AD//BC，AB⊥BC，将DC沿DE折叠，C落于C′，DC′交CB于G，且ABGD为长方形(如图1)；再将纸片展开，将AD沿DF折叠，使A点落在DC延长线上一点A′(如图2)，在两次折叠过程中，两条折痕DE、DF所成的角为______度．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．
18.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．
(1)当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长：AP=____，BQ=____；
(2)当运动时间为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形？
(3)当运动时间为多少秒时，四边形ABQP为矩形？
19.(本小题8分)
四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，且点E与点F关于直线CD对称，过点E作EG//AF交CD于点G，连接FG，DE．
(1)求证：四边形DEGF是菱形；
(2)若AB=10，AF=BC=8，求四边形DEGF的面积．
20.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把ΔBAE沿BE向矩形内部折叠，点A的对应点A′恰好落在∠BCD的平分线上．
(1)请利用没有刻度的直尺和圆规在图①中作出点A′；(注：不写作法，保留作图痕迹)
(2)在图②中求线段CA′的长．
21.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上一点．
(1)如图①，只用无刻度直尺在CD上作出点F，使得四边形AECF为平行四边形；
(2)如图②，用直尺和圆规作出矩形EFGH，使得点F、G、H分别在BC、CD、DA上．(保留作图痕迹)
22.(本小题8分)
在□ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，连接AF、CH、AG、CE，AF、CE相交于点M，AG、CH相交于点N．
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)若四边形AMCN是矩形，连接AC、BD，则AC、BD满足的数量关系是___________．
23.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，BC=6，AB=9，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．
(1)求证：CF=CG；
(2)求EF的长．
24.(本小题8分)
下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
25.(本小题8分)
点O为矩形ABCD的中心．
(1)命题1：如图①，过点O的直线EF⊥AC，分别交AD，BC于点E，F，则四边形AFCE是菱形．
命题2：如图②，P，Q两点在AB，CD上，且线段PQ过点O，过点O的直线EF⊥PQ，分别交AD，BC于点E，F，则四边形PFQE是菱形．
请先判断两个命题的真假，并选择一个真命题进行证明．
(2)若把图①的四边形AFCE的面积记为S1，图②的四边形PFQE的面积记为S2，则S1_________S2.(填“>”或“<”或“=”)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理求得DE长度，再利用直角三角形斜边上的中线求得DF长度，即可得到结论．
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC=14，
∴DE=12BC=7，
∵∠AFB=90°，AB=8，
∴DF=12AB=4，
∴EF=DE−DF=7−4=3，
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
∵∠ABD=∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE=90°，
∴∠CEB=90°，
∵CT=TB=6，
∴ET=12BC=6，AT= AB2+BT2= 82+62=10，
∵AE≥AT−ET，
∴AE≥4，
∴AE的最小值为4，
故选：B．
如图，取BC的中点T，连接AT，ET.首先证明∠CEB=90°，求出AT，ET，根据AE≥AT−ET，可得结论．
本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出AT，ET的长，属于中考常考题型．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是矩形的判定定理，但考生应注意的是由矩形的判定引申出来的各图形的判定．难度一般．矩形的判定定理有：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．(2)有三个角是直角的四边形是矩形．(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
【解答】
解：A.一个角为直角的平行四边形为矩形，故A正确；B.∵AO=CO，BO=DO，则四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，则四边形ABCD是矩形，故B正确；
C.∠BCD+∠ADC=180°，但∠BCD不一定与∠ADC相等，根据矩形的判定定理，故C不正确；
D.因为四边形内角和为360°，且∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°，故可得到四个内角都是90°，根据矩形的判定(有三个角是直角的四边形是矩形)，故D正确．
故选C．
4.【答案】B
【解析】解：过点A作AM⊥BC于点M′，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC= 82+62=10，
∴AM′=8×610=245．
∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∴四边形AEMF是矩形，
∴AM=EF，MN=12AM，
∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合，
∴MN=12AM′=125=2.4．
故选：B．
过点A作AM⊥BC于点M′，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出AM′的长．根据题意得出四边形AEMF是矩形，故可得出AM=EF，MN=12AM，当MN最小时，AM最短，此时M与M′重合，据此可得出结论．
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AM的最小值是关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
过C作CE⊥y轴于E，过A作AF⊥y轴于F，得到∠CEO=∠AFB=90°，根据矩形的性质得到AB=OC，AB//OC，根据全等三角形的性质得到CE=AF，OE=BF，BE=OF，于是得到结论．
【解答】
解：过C作CE⊥y轴于E，过A作AF⊥y轴于F，
∴∠CEO=∠AFB=90°，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB=OC，AB//OC，
∴∠ABF=∠COE，
∴△OCE≌△BAF(AAS)，
同理△BCE≌△OAF，
∴CE=AF，OE=BF，BE=OF，
∵A(2,1)，B(0,5)，
∴AF=CE=2，BE=OF=1，OB=5，
∴OE=4，
∴点C的坐标是(−2,4)，
故选：D．
6.【答案】B
【解析】解：如图，将线段AD沿AC翻折得到线段AF，过点F作FH⊥AD于H，连接PF．
∵∠DAC=30°，AD=12，
由翻折可知，∠CAF=∠DAC=30°，AF=AD=12，PF=PD，
∵PD+PE=FP+PE，
又∵FP+PE≥FH，
∴PD+PD的最小值就是线段FH的长，
在Rt△AFH中，∵∠AHF=90°，∠HAF=60°，AF=12，
∴AH=6，FH=6 3，
∴PE+PD的最小值为6 3，
故选：B．
如图，将线段AD沿AC翻折得到线段AF，过点F作FH⊥AD于H，连接PF.证明PF=PD，推出PD+PE=FP+PE≥FH，求出FH即可解决问题．
本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，根据中位线定理得到点F的运动轨迹是解题关键.首先作出辅助线，得到点F的运动轨迹是△ABM的中位线，从而得到线段EF扫过图形即为△EFH，由中位线定理求得EH长，再结合勾股定理中位线定理求得HF边上的高EL即可．
【解答】
解：如图，连接AM，取AM，BM中点H，G，连接EH，EG，过E作EK⊥CD于K，过H作HT⊥AB于T，作DS⊥AB于S，作EL⊥HF于L．
∵E为DM中点，F为NM中点，且N在A，B之间运动，则F的运动轨迹是线段HG，即线段EF扫过图形为△EHG，
∵HG是△ABM的中位线，
∴HG=12AB=4，
∵∠C=90°，AB//CD，
∴∠B=90°，
∴四边形DCBS为矩形，
∴BS=CD=5，BC=DS，
∴AS=AB−BS=3，
由勾股定理DS=BC= 52−32=4，
∵EH分别为DM，AM中点，
∴EK，HT分别为△DCM，△ABM的中位线，
∴EK=12CM，HT=12BM，
∴EK+HT=12(CM+BM)=12BC=2，
∴EL=2，
∴△EHF的面积为12×4×2=4．
故选A．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示，作MP⊥AB于点P，并延长PM，交DC于点Q，则四边形DEMQ、四边形QMFC、四边形AEMP、四边形MPBF都是矩形，
∴S△DEM=S△DQM，S△QCM=S△MFC，S△AEM=S△APM，S△MPB=S△MFB，S△ABC=S△ADC，
∴S△ABC−S△AMP−S△MCF=S△ADC−S△AEM−S△MQC，
∴S矩形DEMQ=S矩形MPBF．
∵DE=2，EM=5，
∴S▵DEM=S▵MFB=12×2×5=5．
∴S阴影=5+5=10．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查矩形的判定，难度一般.矩形是指有一个内角是直角的平行四边形．
设EG和HF相交于O，找出图中四边形DEOH、EAFO、HOGC、OFBG、DAFH、HFBC、DEGC、EABG、ABCD为矩形．
【解答】
解：设EG与HF相交于点O，
∵矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，
∴DC//EG//AB，AD//FH//BC，
∴∠DAF=∠DEG=∠HOG=∠HFB=90°
∴四边形DEOH，EAFO，HOGC，OFBG，DAFH，HFBC，DEGC，EABG，ABCD为矩形；
则图中矩形有矩形DEOH，EAFO，HOGC，OFBG，DAFH，HFBC，DEGC，EABG，ABCD，共9个．
故选C．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
由矩形的性质可得AC=BD，AO=BO=CO=DO，可证△AOB是等边三角形，可得AO=BO=AB=6，即可求解．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=BO=CO=DO，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=BO=AB=6，
∴AC=2AO=12，
故选：B．
11.【答案】A
【解析】解：连接BD，交AC于O，
∵矩形ABCD，
∴BD=AC，OB=OC，
∵BE=AC，
∴BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=70°，
∴∠CBD=180°−∠BDE−∠BED=40°，
∵OB=OC，
∴∠ACB=∠CBD=40°．
故选：A．
连接BD，交AC于O，由矩形的性质得BD=AC，OB=OC，从而得出BD=BE，利用等边对等角求得∠BDE=∠BED=70°，从而由三角形内角和定理求得∠CBD=40°，即可由等边对等角求解．
本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．正确作出辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，矩形的判定和性质等有关知识．
作AG//BC，截取AG=BC，连接GE，GC，作GH⊥BC，AM⊥BC，证明△GAE≌△BCF，推出BF=EG，可得当G，E，C在同一直线上时，GE+CE=CG，此时值最小，即CE+BF的值最小，求出CG的长，可得结论．
【解答】
解：作AG//BC，截取AG=BC，连接GE，GC，作GH⊥BC交CB延长线于H，AM⊥BC与M，
∵AB=AC=4
∴∠ACB=∠ABC
∵AG//BC
∴∠GAB=∠ABC
∴∠GAE=∠BCF
∵AG=BC=2，∠GAE=∠BCF，AE=CF
∴△GAE≌△BCF
∴GE=BF
当G，E，C在同一直线上时，GE+CE=CG，此时值最小，即CE+BF的值最小
∵GH⊥BC，AM⊥BC，AG//BC
∴四边形AMHG是矩形
∴MH=AG=2，AM=GH
∵AB=AC=4，BC=2，AM⊥BC
∴CM=1，AM= 15
∴CH=3
∴CG= 15+32=2 6
∴CE+BF的最小值为2 6
13.【答案】2.4
【解析】【分析】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．连接CD，根据勾股定理求出AB的长，然后证明四边形CFDE是矩形，得到EF=CD，得到当CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后利用面积法求出CD的长即可．
【解答】
解：如图，连接CD．
∵∠ACB=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，
∴AB= 32+42=5cm，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF=CD．
由垂线段最短可得，当CD⊥AB时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小，
此时，S▵ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CD，
即12×4×3=12×5⋅CD，
解得CD=2.4 cm，
∴EF最小=2.4 cm．
14.【答案】18
【解析】解：连接DM，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°．
∵M是AC的中点，
∴DM=AM=CM，
∴∠FAD=∠MDA，∠MDC=∠MCD．
∵DC，DF关于DE对称，
∴DF=DC，
∴∠DFC=∠DCF．
∵MF=AB，AB=CD，DF=DC，
∴MF=FD．
∴∠FMD=∠FDM．
∵∠DFC=∠FMD+∠FDM，
∴∠DFC=2∠FMD．
∵∠DMC=∠FAD+∠ADM，
∴∠DMC=2∠FAD．
设∠FAD=x°，则∠DFC=4x°，
∴∠MCD=∠MDC=4x°．
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC=180°，
∴2x+4x+4x=180．
∴x=18．
故答案为：18．
连接DM，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△AMD和△MCD为等腰三角形，∠DAF=∠MDA，∠MCD=∠MDC；由折叠可知DF=DC，可得∠DFC=∠DCF；由MF=AB，AB=CD，DF=DC，可得FM=FD，进而得到∠FMD=∠FDM；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠DFC=2∠FMD；最后在△MDC中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形内角和定理列出方程是解题的关键．
15.【答案】10
【解析】【分析】
先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，利用数形结合的思想，根据图形确定点P到点D的最短距离解决问题．
【解答】
解：如图，连接PD，DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=8，BE=3，
∴AE=5，
∵AD=12，
∴DE= 52+122=13，
由折叠得：EB=EP=3，
∵EP+DP≥ED，
∴当E、P、D共线时，DP最小，
∴DP=DE−EP=13−3=10；
故答案为：10．
16.【答案】45
【解析】解：设∠EDC=x，∠GDF=y，
由折叠性质可知，∠EDG=x，∠ADF=∠CDF=2x+y，
由∠ADG=90°，得2x+y+y=90°，
∴x+y=45°，
故∠EDF=x+y=45°，
故答案为：45．
设∠EDC=x，∠GDF=y，根据折叠性质可知，∠EDG=x，∠ADF=∠CDF=2x+y，然后利用∠ADG=90°列出2x+y+y=90°求得x+y的值即可求得答案．
本题考查了长方形的性质及折叠的性质，解题的关键是了解折叠不变量，并根据题意得到2x+y+y=90°，难度中等．
17.【答案】证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
【解析】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的定义等知识点的综合运用．
根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由角平分线的定义结合平角定义可得∠DAE=90°，利用已知条件和矩形判定的条件即可求证．
18.【答案】解：(1)tcm；(26−3t)cm；
(2)由题意可得：PD=AD−AP=(24−t)cm，QC=3tcm，
∵AD//BC，
∴PD//QC，
设当运动时间为t秒时PD=QC，此时四边形PQCD为平行四边形．
由PD=QC得，24−t=3t，
解得t=6，
∴当运动时间为6秒时，四边形PQCD为平行四边形．
(3)∵AD//BC，
∴AP//BQ，
设当运动时间为t秒时AP=BQ，四边形ABQP为平行四边形．
由AP=BQ得：t=26−3t，
解得：t=132，
又∵∠B=90°
∴平行四边形ABQP为矩形．
∴当运动时间为132秒时，四边形ABQP为矩形．
【解析】【分析】
此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
(1)根据题意可直接得出；
(2)由在四边形ABCD中，AD//BC，可得当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形，即可得方程：24−t=3t，解此方程即可求得答案；
(3)由在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，可得当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，即可得方程：t=26−3t，解此方程即可求得答案．
【解答】
解：(1)由题意知AP=tcm，BQ=(26−3t)cm，
故答案为tcm；(26−3t)cm；
(2)见答案；
(3)见答案．
19.【答案】证明：(1)∵点E与点F关于直线 CD对称，
∴FD=ED，FG=EG，且DG=DG，
∴△FDG≌△EDG(SSS)，
∴∠EDG=∠FDG，
∵EG//AF，
∴∠EGD=∠FDG，
∴∠EGD=∠EDG，
∴ED=EG，
∴FD=ED=FG=EG，
∴四边形DEGF是菱形；
(2)连接FC，EC，
∵∠A=∠B=90°，
∴AF//CB，且AF=BC=8，
∴四边形ABCF是平行四边形，且∠A=90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴CE=CF=AB=10，
∴BE=6，
∴AE=4，
设FD=ED=FG=EG=x，则AD=8−x，
在Rt△ADE中，42+(8−x)2=x2，
∴x=5．
∴S=5×4=20．
【解析】(1)由折叠的性质可得FD=ED，FG=EG，可证△FDG≌△EDG，可得∠EDG=∠FDG，由平行线的性质可得∠EGD=∠FDG=∠EDG，可得ED=EG，可得结论；
(2)先证四边形ABCF是矩形，可得AB=CF，由折叠的性质可得CE=CF=10，由勾股定理可求BE，AE，DF的长，即可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质等知识，灵活运用这些性质解决是本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，点 A′ 即为所求；
(2)如图所示，过点 A′ 作 A′M⊥BC 于点 M ，
∵ 点 A 的对应点 A′ 恰落在 ∠BCD 的平分线上，
∴ 设 CM=A′M=x ，则 BM=7−x ，
又由折叠的性质知 AB=A′B=5 ，
在直角△ A′MB 中，由勾股定理得到： A′M2=A′B2−BM2=25−(7−x)2 ，
∴25−(7−x)2=x2 ，
∴x=3 或 x=4 ，
在等腰 Rt △ A′CM 中， CA′= 2A′M ，
∴CA′=3 2 或 4 2 ．
【解析】本题考查了矩形的性质，翻折变换(折叠问题).解题的关键是作出辅助线，构建直角△ A′MB 和等腰直角△ A′CM ，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来．
(1)先作 ∠BCD 的角平分线，再以点 B 为圆心，以 AB 为半径画弧，以 E 为圆心，以 AE 为半径画弧与前弧交于点 A′ ，此时点 A′ 在 ∠BCD 的平分线上；
(2)过点 A′ 作 A′M⊥BC 于点 M .设 CM=A′M=x ，则 BM=7−x .在直角△ A′MB 中，由勾股定理得到： A′M2=A′B2−BM2=25−(7−x)2 .由此求得 x 的值，然后在等腰 Rt △ A′CM 中由 CA′= 2A′M 求解即可．
21.【答案】解：(1)如图①，点F，四边形AECF即为所求作．
(2)如图②，四边形EFGH即为所求作．
【解析】(1)连接AC，BD交于点O，连接OE，延长EO交CD于点F，点F即为所求作．
(2)连接AC，BD交于点O，连接OE，延长EO交CD于点G，以O为圆心OG为半径作弧交BC于点F，延长FO交AD于点H，连接EF，FG，GH，EH，四边形EFGH即为所求．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∵E是AB的中点，
∴AE=12AB，
同理CG=12CD，
∴AE=CG，
∵AE//CG，AE=CG，
∴四边形AECG为平行四边形，
∴EC//AG．
同理AF//CH．
∵EC//AG，AF//CH，
∴四边形AMCN为平行四边形．
(2)BD=3AC．
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形重心性质的运用，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法以及三角形重心性质．
(1)证明四边形AFCH是平行四边形，可得AM//CN，证明四边形AECG是平行四边形，可得EC//AG．，进而得出四边形AMCN是平行四边形；
(2)连接BD，AC，根据三角形重心的知识即可解答．
【解答】
解：(1)见答案;
(2)连接BD，AC，
在□ABCD中，AC，BD互相平分，则O为AC，BD的中点
∵M，N分别是△ABC，△ADC的重心
∴B，M，N，D在同一直线上，且BM=2OM，DN=2ON
∵四边形AMCN是矩形
∴OA=OC=OM=ON
∴BD=3OM+3ON=3MN=3AC
23.【答案】解：(1)证明：根据题意，在矩形ABCD中，则
AB=CD，BC=AD，∠A=∠EDG=90°，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG，
∴EF=EG，DG=AF=12；
∵CE⊥FG，
∴CG=CF；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=9，AE=12AB=12BC=3，
∠B=90°，
设AF=x，
由(1)得：△AEF≌△DEG，
∴DG=AF=x，
∴BF=9−x，CF=CG=9+x，
在Rt△CBF中：BC2+BF2=CF2，
∴62+(9−x)2=(9+x)2，
解得：x=1，
∴AF=1，
在Rt△EAF中：EF= AF2+EF2= 12+32= 10．
【解析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解得关键是熟练根据所学的知识，正确得到CG=CF
(1)由题意，先证明△AEF≌△DEG，则EF=EG，DG=AF=12，利用等腰三角形的性质，求出CG=CF；
(2)设AF=x，可得DG=AF=x，BF=9−x，CF=CG=9+x，由BC2+BF2=CF2可求AF=1，再由EF= AF2+EF2即可求解．
24.【答案】证明：方法一：∵点O 是AC 边的中点，
∴OA=OC，
又∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90∘，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴OB=12BD=12AC．
方法二：∵ BO 是斜边AC 的中线，
∴点O是AC 的中点，
∵ BC 的中点D，
∴ OD 是△ABC的中位线，
∴OD//AB，
，
∴ OD 垂直平分线BC ，
∴OB=OC，
∵OC=12AC，
∴BO=12AC．
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
方法一：先证明四边形ABCD是平行四边形，进而证明四边形ABCD是矩形，则由矩形的性质可得OB=12BD=12AC．
方法二：证明OD 是△ABC的中位线，得到OD//AB，则OD 垂直平分BC ，由线段垂直平分线的性质可得OB=OC=12AC．
25.【答案】1)两个命题均为真命题．命题1证明如下：
证明：∵点O为矩形ABCD的中心，
∴点O是AC的中点．
∵EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线．
∴FA=FC，EA=EC，OA=OC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC．
∴∠EAO=∠ECO．
在△AOE和▵COF中，∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF.
∴▵AOE≌▵COF(ASA)．
∴AE=CF．
∴AE=CE=CF=AF．
∴四边形AECF为菱形．
命题2证明：如图，连接AC，则经过点O，OA=OC
∵四边形是矩形
∴AB//CD
∴∠PAO=∠CQO
又∠POA=∠QOC
∴▵POA≅▵QOC
∴OP=OQ
同命题1，可证明▵AOE≅▵COF，得OE=OF
又EF⊥PQ
∴四边形PFQE为菱形．
(2)如图，E′F′⊥AC，由图知，OC>OQ，OE′>OE
∴OE′•OC>OQ•OE
∵EF=2OE，PQ=2OQ，AC=2OC，E′F′=2OE′
∴AC•EFAC•E′F′>PQ•EF
∵S1=12AC•E′F′，S2=12PQ•EF
∴S1>S2
【解析】【分析】(1)命题1证明：由点O为矩形ABCD的中心，可证EF是AC的垂直平分线，于是FA=FC，EA=EC，OA=OC，进一步证▵AOE≌▵COF(ASA)，得AE=CF，于是四边形AECF为菱形．命题2证明：连接AC，则经过点O，OA=OC，四边形是矩形，可得∠PAO=∠CQO，求证▵POA≅▵QOC，得OP=OQ，同命题1，可证明▵AOE≅▵COF，得OE=OF，得证四边形PFQE为菱形．
(2)如图，E′F′⊥AC，由图知，OC>OQ，OE′>OE，所以OE′•OC>OQ•OE，得AC•E′F′>PQ•EF，由菱形面积公式，得S1>S2．
本题考查中矩形的性质、垂直平分线的性质，菱形的判定，菱形的面积计算，全等三角形判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形求证线段及角相等是解题的关键．
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在▵ABC中，∠ABC=90∘，BO 是斜边AC 的中线．
求证：BO=12AC．
方法一
证明：如图，延长BO 至点D，使得OD=OB，连接AD,CD．
方法二
证明：如图，取BC 的中点D，连接OD ．
1.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD=∠BCE时，线段AE的最小值是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
3.已知四边形ABCD的对角线相交于点O，则下列条件中不能判定它是矩形的是( )
A. AB=CD，AB//CD，∠BAD=90∘
B. AO=CO，BO=DO，AC=BD
C. ∠BAD=∠ABC=90∘，∠BCD+∠ADC=180∘
D. ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90∘
4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为( )
A. 4.8B. 2.4C. 2.5D. 2.6
5.如图，四边形OABC是矩形，A(2,1)，B(0,5)，点C在第二象限，则点C的坐标是( )
A. (−1,3)B. (−1,2)C. (−2,3)D. (−2,4)
6.如图，矩形ABCD中，AD=12，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是( )
A. 6
B. 6 3
C. 12
D. 8 3
7.如图，在四边形ABCD中，AB // CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为( )
A. 4B. 4.5C. 5D. 6
8.如图所示，点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF//AB，分别交AD，BC于点E，F，连接MD，MB.若DE=2，EM=5，则阴影部分的面积为( )．
A. 5B. 10C. 12D. 14
9.如图，在矩形ABCD中，AB>BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中的矩形共有( )
A. 5个B. 8个C. 9个D. 11个
10.已知矩形ABCD的边长AB=6，对角线AC，BD交于点O且∠AOB=60°，则AC的长为( )
A. 6B. 12C. 6 3D. 12 3
11.如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE=AC，连接DE.若∠E=70°，则∠ACB的度数是( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
12.三角形△ABC中，AB=AC=4，BC=2，E，F分别是边AB，AC上的动点，且AE=CF，则CE+BF的最小值为( )
A. 3 2B. 2 6C. 5.4D. 5.6
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为________cm．
14.如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF.若MF=AB，则∠DAF= ______度.
15.如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为______．
16.已知四边形ABCD，其中AD//BC，AB⊥BC，将DC沿DE折叠，C落于C′，DC′交CB于G，且ABGD为长方形(如图1)；再将纸片展开，将AD沿DF折叠，使A点落在DC延长线上一点A′(如图2)，在两次折叠过程中，两条折痕DE、DF所成的角为______度．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．
18.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．
(1)当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长：AP=____，BQ=____；
(2)当运动时间为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形？
(3)当运动时间为多少秒时，四边形ABQP为矩形？
19.(本小题8分)
四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，且点E与点F关于直线CD对称，过点E作EG//AF交CD于点G，连接FG，DE．
(1)求证：四边形DEGF是菱形；
(2)若AB=10，AF=BC=8，求四边形DEGF的面积．
20.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把ΔBAE沿BE向矩形内部折叠，点A的对应点A′恰好落在∠BCD的平分线上．
(1)请利用没有刻度的直尺和圆规在图①中作出点A′；(注：不写作法，保留作图痕迹)
(2)在图②中求线段CA′的长．
21.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上一点．
(1)如图①，只用无刻度直尺在CD上作出点F，使得四边形AECF为平行四边形；
(2)如图②，用直尺和圆规作出矩形EFGH，使得点F、G、H分别在BC、CD、DA上．(保留作图痕迹)
22.(本小题8分)
在□ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，连接AF、CH、AG、CE，AF、CE相交于点M，AG、CH相交于点N．
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)若四边形AMCN是矩形，连接AC、BD，则AC、BD满足的数量关系是___________．
23.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，BC=6，AB=9，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．
(1)求证：CF=CG；
(2)求EF的长．
24.(本小题8分)
下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
25.(本小题8分)
点O为矩形ABCD的中心．
(1)命题1：如图①，过点O的直线EF⊥AC，分别交AD，BC于点E，F，则四边形AFCE是菱形．
命题2：如图②，P，Q两点在AB，CD上，且线段PQ过点O，过点O的直线EF⊥PQ，分别交AD，BC于点E，F，则四边形PFQE是菱形．
请先判断两个命题的真假，并选择一个真命题进行证明．
(2)若把图①的四边形AFCE的面积记为S1，图②的四边形PFQE的面积记为S2，则S1_________S2.(填“>”或“<”或“=”)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理求得DE长度，再利用直角三角形斜边上的中线求得DF长度，即可得到结论．
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC=14，
∴DE=12BC=7，
∵∠AFB=90°，AB=8，
∴DF=12AB=4，
∴EF=DE−DF=7−4=3，
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
∵∠ABD=∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE=90°，
∴∠CEB=90°，
∵CT=TB=6，
∴ET=12BC=6，AT= AB2+BT2= 82+62=10，
∵AE≥AT−ET，
∴AE≥4，
∴AE的最小值为4，
故选：B．
如图，取BC的中点T，连接AT，ET.首先证明∠CEB=90°，求出AT，ET，根据AE≥AT−ET，可得结论．
本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出AT，ET的长，属于中考常考题型．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是矩形的判定定理，但考生应注意的是由矩形的判定引申出来的各图形的判定．难度一般．矩形的判定定理有：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．(2)有三个角是直角的四边形是矩形．(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
【解答】
解：A.一个角为直角的平行四边形为矩形，故A正确；B.∵AO=CO，BO=DO，则四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，则四边形ABCD是矩形，故B正确；
C.∠BCD+∠ADC=180°，但∠BCD不一定与∠ADC相等，根据矩形的判定定理，故C不正确；
D.因为四边形内角和为360°，且∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°，故可得到四个内角都是90°，根据矩形的判定(有三个角是直角的四边形是矩形)，故D正确．
故选C．
4.【答案】B
【解析】解：过点A作AM⊥BC于点M′，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC= 82+62=10，
∴AM′=8×610=245．
∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∴四边形AEMF是矩形，
∴AM=EF，MN=12AM，
∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合，
∴MN=12AM′=125=2.4．
故选：B．
过点A作AM⊥BC于点M′，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出AM′的长．根据题意得出四边形AEMF是矩形，故可得出AM=EF，MN=12AM，当MN最小时，AM最短，此时M与M′重合，据此可得出结论．
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AM的最小值是关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
过C作CE⊥y轴于E，过A作AF⊥y轴于F，得到∠CEO=∠AFB=90°，根据矩形的性质得到AB=OC，AB//OC，根据全等三角形的性质得到CE=AF，OE=BF，BE=OF，于是得到结论．
【解答】
解：过C作CE⊥y轴于E，过A作AF⊥y轴于F，
∴∠CEO=∠AFB=90°，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB=OC，AB//OC，
∴∠ABF=∠COE，
∴△OCE≌△BAF(AAS)，
同理△BCE≌△OAF，
∴CE=AF，OE=BF，BE=OF，
∵A(2,1)，B(0,5)，
∴AF=CE=2，BE=OF=1，OB=5，
∴OE=4，
∴点C的坐标是(−2,4)，
故选：D．
6.【答案】B
【解析】解：如图，将线段AD沿AC翻折得到线段AF，过点F作FH⊥AD于H，连接PF．
∵∠DAC=30°，AD=12，
由翻折可知，∠CAF=∠DAC=30°，AF=AD=12，PF=PD，
∵PD+PE=FP+PE，
又∵FP+PE≥FH，
∴PD+PD的最小值就是线段FH的长，
在Rt△AFH中，∵∠AHF=90°，∠HAF=60°，AF=12，
∴AH=6，FH=6 3，
∴PE+PD的最小值为6 3，
故选：B．
如图，将线段AD沿AC翻折得到线段AF，过点F作FH⊥AD于H，连接PF.证明PF=PD，推出PD+PE=FP+PE≥FH，求出FH即可解决问题．
本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，根据中位线定理得到点F的运动轨迹是解题关键.首先作出辅助线，得到点F的运动轨迹是△ABM的中位线，从而得到线段EF扫过图形即为△EFH，由中位线定理求得EH长，再结合勾股定理中位线定理求得HF边上的高EL即可．
【解答】
解：如图，连接AM，取AM，BM中点H，G，连接EH，EG，过E作EK⊥CD于K，过H作HT⊥AB于T，作DS⊥AB于S，作EL⊥HF于L．
∵E为DM中点，F为NM中点，且N在A，B之间运动，则F的运动轨迹是线段HG，即线段EF扫过图形为△EHG，
∵HG是△ABM的中位线，
∴HG=12AB=4，
∵∠C=90°，AB//CD，
∴∠B=90°，
∴四边形DCBS为矩形，
∴BS=CD=5，BC=DS，
∴AS=AB−BS=3，
由勾股定理DS=BC= 52−32=4，
∵EH分别为DM，AM中点，
∴EK，HT分别为△DCM，△ABM的中位线，
∴EK=12CM，HT=12BM，
∴EK+HT=12(CM+BM)=12BC=2，
∴EL=2，
∴△EHF的面积为12×4×2=4．
故选A．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示，作MP⊥AB于点P，并延长PM，交DC于点Q，则四边形DEMQ、四边形QMFC、四边形AEMP、四边形MPBF都是矩形，
∴S△DEM=S△DQM，S△QCM=S△MFC，S△AEM=S△APM，S△MPB=S△MFB，S△ABC=S△ADC，
∴S△ABC−S△AMP−S△MCF=S△ADC−S△AEM−S△MQC，
∴S矩形DEMQ=S矩形MPBF．
∵DE=2，EM=5，
∴S▵DEM=S▵MFB=12×2×5=5．
∴S阴影=5+5=10．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查矩形的判定，难度一般.矩形是指有一个内角是直角的平行四边形．
设EG和HF相交于O，找出图中四边形DEOH、EAFO、HOGC、OFBG、DAFH、HFBC、DEGC、EABG、ABCD为矩形．
【解答】
解：设EG与HF相交于点O，
∵矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，
∴DC//EG//AB，AD//FH//BC，
∴∠DAF=∠DEG=∠HOG=∠HFB=90°
∴四边形DEOH，EAFO，HOGC，OFBG，DAFH，HFBC，DEGC，EABG，ABCD为矩形；
则图中矩形有矩形DEOH，EAFO，HOGC，OFBG，DAFH，HFBC，DEGC，EABG，ABCD，共9个．
故选C．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
由矩形的性质可得AC=BD，AO=BO=CO=DO，可证△AOB是等边三角形，可得AO=BO=AB=6，即可求解．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=BO=CO=DO，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=BO=AB=6，
∴AC=2AO=12，
故选：B．
11.【答案】A
【解析】解：连接BD，交AC于O，
∵矩形ABCD，
∴BD=AC，OB=OC，
∵BE=AC，
∴BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=70°，
∴∠CBD=180°−∠BDE−∠BED=40°，
∵OB=OC，
∴∠ACB=∠CBD=40°．
故选：A．
连接BD，交AC于O，由矩形的性质得BD=AC，OB=OC，从而得出BD=BE，利用等边对等角求得∠BDE=∠BED=70°，从而由三角形内角和定理求得∠CBD=40°，即可由等边对等角求解．
本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．正确作出辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，矩形的判定和性质等有关知识．
作AG//BC，截取AG=BC，连接GE，GC，作GH⊥BC，AM⊥BC，证明△GAE≌△BCF，推出BF=EG，可得当G，E，C在同一直线上时，GE+CE=CG，此时值最小，即CE+BF的值最小，求出CG的长，可得结论．
【解答】
解：作AG//BC，截取AG=BC，连接GE，GC，作GH⊥BC交CB延长线于H，AM⊥BC与M，
∵AB=AC=4
∴∠ACB=∠ABC
∵AG//BC
∴∠GAB=∠ABC
∴∠GAE=∠BCF
∵AG=BC=2，∠GAE=∠BCF，AE=CF
∴△GAE≌△BCF
∴GE=BF
当G，E，C在同一直线上时，GE+CE=CG，此时值最小，即CE+BF的值最小
∵GH⊥BC，AM⊥BC，AG//BC
∴四边形AMHG是矩形
∴MH=AG=2，AM=GH
∵AB=AC=4，BC=2，AM⊥BC
∴CM=1，AM= 15
∴CH=3
∴CG= 15+32=2 6
∴CE+BF的最小值为2 6
13.【答案】2.4
【解析】【分析】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．连接CD，根据勾股定理求出AB的长，然后证明四边形CFDE是矩形，得到EF=CD，得到当CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后利用面积法求出CD的长即可．
【解答】
解：如图，连接CD．
∵∠ACB=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，
∴AB= 32+42=5cm，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF=CD．
由垂线段最短可得，当CD⊥AB时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小，
此时，S▵ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CD，
即12×4×3=12×5⋅CD，
解得CD=2.4 cm，
∴EF最小=2.4 cm．
14.【答案】18
【解析】解：连接DM，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°．
∵M是AC的中点，
∴DM=AM=CM，
∴∠FAD=∠MDA，∠MDC=∠MCD．
∵DC，DF关于DE对称，
∴DF=DC，
∴∠DFC=∠DCF．
∵MF=AB，AB=CD，DF=DC，
∴MF=FD．
∴∠FMD=∠FDM．
∵∠DFC=∠FMD+∠FDM，
∴∠DFC=2∠FMD．
∵∠DMC=∠FAD+∠ADM，
∴∠DMC=2∠FAD．
设∠FAD=x°，则∠DFC=4x°，
∴∠MCD=∠MDC=4x°．
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC=180°，
∴2x+4x+4x=180．
∴x=18．
故答案为：18．
连接DM，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△AMD和△MCD为等腰三角形，∠DAF=∠MDA，∠MCD=∠MDC；由折叠可知DF=DC，可得∠DFC=∠DCF；由MF=AB，AB=CD，DF=DC，可得FM=FD，进而得到∠FMD=∠FDM；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠DFC=2∠FMD；最后在△MDC中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形内角和定理列出方程是解题的关键．
15.【答案】10
【解析】【分析】
先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，利用数形结合的思想，根据图形确定点P到点D的最短距离解决问题．
【解答】
解：如图，连接PD，DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=8，BE=3，
∴AE=5，
∵AD=12，
∴DE= 52+122=13，
由折叠得：EB=EP=3，
∵EP+DP≥ED，
∴当E、P、D共线时，DP最小，
∴DP=DE−EP=13−3=10；
故答案为：10．
16.【答案】45
【解析】解：设∠EDC=x，∠GDF=y，
由折叠性质可知，∠EDG=x，∠ADF=∠CDF=2x+y，
由∠ADG=90°，得2x+y+y=90°，
∴x+y=45°，
故∠EDF=x+y=45°，
故答案为：45．
设∠EDC=x，∠GDF=y，根据折叠性质可知，∠EDG=x，∠ADF=∠CDF=2x+y，然后利用∠ADG=90°列出2x+y+y=90°求得x+y的值即可求得答案．
本题考查了长方形的性质及折叠的性质，解题的关键是了解折叠不变量，并根据题意得到2x+y+y=90°，难度中等．
17.【答案】证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
【解析】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的定义等知识点的综合运用．
根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由角平分线的定义结合平角定义可得∠DAE=90°，利用已知条件和矩形判定的条件即可求证．
18.【答案】解：(1)tcm；(26−3t)cm；
(2)由题意可得：PD=AD−AP=(24−t)cm，QC=3tcm，
∵AD//BC，
∴PD//QC，
设当运动时间为t秒时PD=QC，此时四边形PQCD为平行四边形．
由PD=QC得，24−t=3t，
解得t=6，
∴当运动时间为6秒时，四边形PQCD为平行四边形．
(3)∵AD//BC，
∴AP//BQ，
设当运动时间为t秒时AP=BQ，四边形ABQP为平行四边形．
由AP=BQ得：t=26−3t，
解得：t=132，
又∵∠B=90°
∴平行四边形ABQP为矩形．
∴当运动时间为132秒时，四边形ABQP为矩形．
【解析】【分析】
此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
(1)根据题意可直接得出；
(2)由在四边形ABCD中，AD//BC，可得当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形，即可得方程：24−t=3t，解此方程即可求得答案；
(3)由在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，可得当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，即可得方程：t=26−3t，解此方程即可求得答案．
【解答】
解：(1)由题意知AP=tcm，BQ=(26−3t)cm，
故答案为tcm；(26−3t)cm；
(2)见答案；
(3)见答案．
19.【答案】证明：(1)∵点E与点F关于直线 CD对称，
∴FD=ED，FG=EG，且DG=DG，
∴△FDG≌△EDG(SSS)，
∴∠EDG=∠FDG，
∵EG//AF，
∴∠EGD=∠FDG，
∴∠EGD=∠EDG，
∴ED=EG，
∴FD=ED=FG=EG，
∴四边形DEGF是菱形；
(2)连接FC，EC，
∵∠A=∠B=90°，
∴AF//CB，且AF=BC=8，
∴四边形ABCF是平行四边形，且∠A=90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴CE=CF=AB=10，
∴BE=6，
∴AE=4，
设FD=ED=FG=EG=x，则AD=8−x，
在Rt△ADE中，42+(8−x)2=x2，
∴x=5．
∴S=5×4=20．
【解析】(1)由折叠的性质可得FD=ED，FG=EG，可证△FDG≌△EDG，可得∠EDG=∠FDG，由平行线的性质可得∠EGD=∠FDG=∠EDG，可得ED=EG，可得结论；
(2)先证四边形ABCF是矩形，可得AB=CF，由折叠的性质可得CE=CF=10，由勾股定理可求BE，AE，DF的长，即可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质等知识，灵活运用这些性质解决是本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，点 A′ 即为所求；
(2)如图所示，过点 A′ 作 A′M⊥BC 于点 M ，
∵ 点 A 的对应点 A′ 恰落在 ∠BCD 的平分线上，
∴ 设 CM=A′M=x ，则 BM=7−x ，
又由折叠的性质知 AB=A′B=5 ，
在直角△ A′MB 中，由勾股定理得到： A′M2=A′B2−BM2=25−(7−x)2 ，
∴25−(7−x)2=x2 ，
∴x=3 或 x=4 ，
在等腰 Rt △ A′CM 中， CA′= 2A′M ，
∴CA′=3 2 或 4 2 ．
【解析】本题考查了矩形的性质，翻折变换(折叠问题).解题的关键是作出辅助线，构建直角△ A′MB 和等腰直角△ A′CM ，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来．
(1)先作 ∠BCD 的角平分线，再以点 B 为圆心，以 AB 为半径画弧，以 E 为圆心，以 AE 为半径画弧与前弧交于点 A′ ，此时点 A′ 在 ∠BCD 的平分线上；
(2)过点 A′ 作 A′M⊥BC 于点 M .设 CM=A′M=x ，则 BM=7−x .在直角△ A′MB 中，由勾股定理得到： A′M2=A′B2−BM2=25−(7−x)2 .由此求得 x 的值，然后在等腰 Rt △ A′CM 中由 CA′= 2A′M 求解即可．
21.【答案】解：(1)如图①，点F，四边形AECF即为所求作．
(2)如图②，四边形EFGH即为所求作．
【解析】(1)连接AC，BD交于点O，连接OE，延长EO交CD于点F，点F即为所求作．
(2)连接AC，BD交于点O，连接OE，延长EO交CD于点G，以O为圆心OG为半径作弧交BC于点F，延长FO交AD于点H，连接EF，FG，GH，EH，四边形EFGH即为所求．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∵E是AB的中点，
∴AE=12AB，
同理CG=12CD，
∴AE=CG，
∵AE//CG，AE=CG，
∴四边形AECG为平行四边形，
∴EC//AG．
同理AF//CH．
∵EC//AG，AF//CH，
∴四边形AMCN为平行四边形．
(2)BD=3AC．
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形重心性质的运用，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法以及三角形重心性质．
(1)证明四边形AFCH是平行四边形，可得AM//CN，证明四边形AECG是平行四边形，可得EC//AG．，进而得出四边形AMCN是平行四边形；
(2)连接BD，AC，根据三角形重心的知识即可解答．
【解答】
解：(1)见答案;
(2)连接BD，AC，
在□ABCD中，AC，BD互相平分，则O为AC，BD的中点
∵M，N分别是△ABC，△ADC的重心
∴B，M，N，D在同一直线上，且BM=2OM，DN=2ON
∵四边形AMCN是矩形
∴OA=OC=OM=ON
∴BD=3OM+3ON=3MN=3AC
23.【答案】解：(1)证明：根据题意，在矩形ABCD中，则
AB=CD，BC=AD，∠A=∠EDG=90°，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG，
∴EF=EG，DG=AF=12；
∵CE⊥FG，
∴CG=CF；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=9，AE=12AB=12BC=3，
∠B=90°，
设AF=x，
由(1)得：△AEF≌△DEG，
∴DG=AF=x，
∴BF=9−x，CF=CG=9+x，
在Rt△CBF中：BC2+BF2=CF2，
∴62+(9−x)2=(9+x)2，
解得：x=1，
∴AF=1，
在Rt△EAF中：EF= AF2+EF2= 12+32= 10．
【解析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解得关键是熟练根据所学的知识，正确得到CG=CF
(1)由题意，先证明△AEF≌△DEG，则EF=EG，DG=AF=12，利用等腰三角形的性质，求出CG=CF；
(2)设AF=x，可得DG=AF=x，BF=9−x，CF=CG=9+x，由BC2+BF2=CF2可求AF=1，再由EF= AF2+EF2即可求解．
24.【答案】证明：方法一：∵点O 是AC 边的中点，
∴OA=OC，
又∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90∘，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴OB=12BD=12AC．
方法二：∵ BO 是斜边AC 的中线，
∴点O是AC 的中点，
∵ BC 的中点D，
∴ OD 是△ABC的中位线，
∴OD//AB，
，
∴ OD 垂直平分线BC ，
∴OB=OC，
∵OC=12AC，
∴BO=12AC．
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
方法一：先证明四边形ABCD是平行四边形，进而证明四边形ABCD是矩形，则由矩形的性质可得OB=12BD=12AC．
方法二：证明OD 是△ABC的中位线，得到OD//AB，则OD 垂直平分BC ，由线段垂直平分线的性质可得OB=OC=12AC．
25.【答案】1)两个命题均为真命题．命题1证明如下：
证明：∵点O为矩形ABCD的中心，
∴点O是AC的中点．
∵EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线．
∴FA=FC，EA=EC，OA=OC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC．
∴∠EAO=∠ECO．
在△AOE和▵COF中，∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF.
∴▵AOE≌▵COF(ASA)．
∴AE=CF．
∴AE=CE=CF=AF．
∴四边形AECF为菱形．
命题2证明：如图，连接AC，则经过点O，OA=OC
∵四边形是矩形
∴AB//CD
∴∠PAO=∠CQO
又∠POA=∠QOC
∴▵POA≅▵QOC
∴OP=OQ
同命题1，可证明▵AOE≅▵COF，得OE=OF
又EF⊥PQ
∴四边形PFQE为菱形．
(2)如图，E′F′⊥AC，由图知，OC>OQ，OE′>OE
∴OE′•OC>OQ•OE
∵EF=2OE，PQ=2OQ，AC=2OC，E′F′=2OE′
∴AC•EFAC•E′F′>PQ•EF
∵S1=12AC•E′F′，S2=12PQ•EF
∴S1>S2
【解析】【分析】(1)命题1证明：由点O为矩形ABCD的中心，可证EF是AC的垂直平分线，于是FA=FC，EA=EC，OA=OC，进一步证▵AOE≌▵COF(ASA)，得AE=CF，于是四边形AECF为菱形．命题2证明：连接AC，则经过点O，OA=OC，四边形是矩形，可得∠PAO=∠CQO，求证▵POA≅▵QOC，得OP=OQ，同命题1，可证明▵AOE≅▵COF，得OE=OF，得证四边形PFQE为菱形．
(2)如图，E′F′⊥AC，由图知，OC>OQ，OE′>OE，所以OE′•OC>OQ•OE，得AC•E′F′>PQ•EF，由菱形面积公式，得S1>S2．
本题考查中矩形的性质、垂直平分线的性质，菱形的判定，菱形的面积计算，全等三角形判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形求证线段及角相等是解题的关键．
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在▵ABC中，∠ABC=90∘，BO 是斜边AC 的中线．
求证：BO=12AC．
方法一
证明：如图，延长BO 至点D，使得OD=OB，连接AD,CD．
方法二
证明：如图，取BC 的中点D，连接OD ．
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